Исследование сингулярных полей напряжений в конструкциях соединений из разнородных материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Зорнина, Наталья Александровна

• Зорнина, Наталья Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Зорнина, Наталья Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1 НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ

1.1 Геометрически линейная постановка

1.2 Геометрически нелинейная постановка

ГЛАВА 2 МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ

2.1 Метод конечных элементов в геометрически линейных задачах

2.2 Метод конечных элементов в геометрически нелинейных задачах

2.3 Использование изопараметрических элементов в методе конечных элементов для решения геометрически нелинейной задачи

2.4 Построение выражений для основных к переходных матриц четырехузлового элемента с использованием функций формы

ГЛАВА 3 БАЗОВАЯ ЗАДАЧА. ЛИНЕЙНАЯ ПОСТАНОВКА

3.1 Решение методом конечных элементов

3.2 Разрешение сингулярности в рамках линейной задачи

3.3 Техническое приложение результатов Стержень, прикрепленный к основанию в соответствии с предложенными мерами ликвидации сингулярности

3.4 Заключение и выводы по главе 3

ГЛАВА 4 БАЗОВАЯ ЗАДАЧА. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ПОСТАНОВКА

4.1 Основная задача. Растяжение

4.1.1. Шаг А. Первый шаг нагружения

4.1.2. Шаг Б. Шаг нагружения при котором угол наклона образующей близок к 30°

4.1.3. Шаг В

4.1.4. Шаг Г

4.1.5. ШагД

4.2 Сжатие

4.3 Заключение и выводы по главе 4

ГЛАВА 5 КЛЕЕВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ

5.1 Растяжение. Геометрически линейное решение

5.2 Сжатие. Геометрически линейное решение

5.3 Геометрически нелинейный анализ клеевого соединения

5.4 Геометрически нелинейный анализ клеевого соединения с профилированной кромкой

5.5 Заключение и выводы по главе 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование сингулярных полей напряжений в конструкциях соединений из разнородных материалов»

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшей задачей механики деформируемого твердого тела является оценка прочности конструкций и ее соединений. Практический опыт эксплуатации конструкций позволяет судить о том, что в процессе нагружения в зоне соединения образуются области, в которых напряжения существенно превышают типичные значения, есть области высокой концентрации напряжений. Точки, в которых напряжения возрастают неограниченно, стремятся к бесконечности, принято называть сингулярными. Эти бесконечные напряжения могут быть отягощены теми или иными сильными эффектами. В частности существуют такие области, в которых традиционная сингулярность сопровождается нарушением закона парности касательных напряжений. Такие области являются объектом исследования в настоящей работе.

В качестве базовой задачи выбрана задача о закреплении круглого цилиндрического стержня на абсолютно жестком основании, нагруженном вдоль вертикальной оси.

Рис. 1. Цилиндрический стержень на абсолютно жестком основании

Стержень выполнен из упругого материала с заданными характеристиками, основание принято абсолютно жестким. В месте сопряжения торцевой поверхности стержня с жестким основанием образуется малая угловая область с возникающим острым концентратором напряжений. Сингулярные точки находятся на окружности, по которой

поверхность цилиндра пересекается с перпендикулярной плоскостью закрепления. На боковой поверхности касательные напряжения равны нулю, а в сечении закрепления при приближении к кромке касательные напряжения стремятся к бесконечности. Большие деформации сдвига принципиально меняют геометрию поверхности тела даже в тех случаях, когда они возникают в сколь угодно малой области. Сингулярность усугубляется тем, что на свободной боковой поверхности, перпендикулярной к основанию, касательные напряжения равны нулю, т.е. нарушается закон парности касательных напряжений.

Целью работы является исследование напряженно деформируемого состояния в геометрически линейной постановке и установление характера распределения напряжений по объему стержня, включая область особых точек. Исследуются методы, позволяющие ликвидировать сингулярность в базовой модели. Проводилось решение задачи в геометрически нелинейной постановке с выяснением возможности разрешения сингулярности в результате изменения геометрии угла соединения под действием высоких касательных нагрузок.

Случаи возникновения сингулярных полей напряжений, подразумевающих наличие особых точек, рассматривались многими авторами. В основу исследуемого направления следует отнести работы Нейбра Г., Черепанова Г.П., Новожилова В.В., Михайлова С.Е., Каландия А.И., Ибрагимова В.А., Нифагина В.А.[22, 24, 42, 46, 47, 48, 64], а также работы в области математической теории упругости Партона В.З., Перлина П.И., Борзенкова С.М., Матвеенко В.П. [8,39,50] . В работе Каландия А.Щ24] установлено, что наличие нерегулярных точек значительно усложняет построение решения, адекватного реальной картине распределения напряжений и деформаций. И даже при гладких краевых условиях в особых точках возможно появление сингулярных напряжений. Большой вклад в исследование задач теории упругости в окрестности особых точек внесли Кондратьев В.А., Мазья В.Г., Пламеневский Б.А., Эскин Г.И.[27]. Они показали, что решение в окрестности этих точек может быть представлено в виде асимптотического ряда бесконечно дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей. Эти решения зависят только от краевых условий и локальных характеристик (угла примыкания).

В работах Партона В.З., Перлина П.И., Матвеенко В.П. [39, 50]был проведен анализ способов нахождения особых решений для случаев

возникновения сингулярных полей напряжений.Были изучены особые решения уравнений теории упругости, определены их математический и физический смысл. Установлено, что определение напряженно деформируемого состояния в окрестности угловой точки сводится к двум основным задачам: построение сингулярных решений и определение коэффициентов коэффициенты интенсивности напряжений при них. играющих существенную роль в механике разрушения.

При решении таких задач могут быть выделены два основных подхода: построение решений, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и однородным граничным условиям для областей, содержащих особы точкиили применение преобразований Меллина. Оба подхода приводят задачу к характеристическому уравнению относительно показателя сингулярности. Для оценки сингулярных напряжений необходимо знать число корней характеристического уравнения. При наличии таких корней вероятность реализации напряженного состояния с бесконечной особенностью в точке тем больше, чем больше их число. При исследовании поля напряжений с качественной стороны важно знать характер первых корней этого уравнения (комплексные они или действительные) [39].

Существуют другие подходы к анализу сингулярных областей. В работе Морозова Н.Ф., Семенова Б.Н.[45] был исследован подход для определения разрушающих нагрузок с применением критерия хрупкого разрушения Новожилова В.В. [47] на примере упругой плоскости, ослабленной луночным отверстием при задании на бесконечности поля напряжений, слагающегося из одноосного растяжения и чистого сдвига.

В упруго-пластических задачах о концентраторах напряжений в рамках различных теорий пластичности получил распространение вариант метода возмущений, описанный в статье В. А. Нифагина[48] .Применение стандартного метода возмущений дает существенную погрешность на границе области концентратора напряжений за счет того, что базовым является линейное решение (первый член), в то время как в окрестности угловой точки базовой является нелинейная часть диаграммы деформирования (кубический член). Для исследования напряженно-деформируемого состояния тела был разработан другой вариант метода, в котором первый член разложения получался на основе кубического слагаемого закона деформирования, а остальные члены выступали в качестве поправок к нему. Варианты такого подхода были использованы для тел с трещинами при различных определяющих соотношениях теорий

пластичности, применении локальных характеристик совместно с критериями разрушения, а также при построении эффективных алгоритмов численного анализа полных решений с помощью сращивания полей напряжений вблизи угловой точки и на удалении от нее.

Одной из основных гипотез классической механики сплошных сред является принцип напряжений Коши, устанавливающий эквивалентность действия всех внутренних сил, приложенных к элементарной площадке, действию их равнодействующей, приложенной к центру площадки. Действие произвольной системы сил эквивалентно действию главного вектора и главного момента. При этом в среде возникают моментные напряжения, образующие несимметричные тензоры.Чтобы учесть эти факторы, необходимо допустить в среде наличие дополнительных степеней свободы и рассмотреть физически бесконечно малый объем не как материальную точку, а как более сложный объект, обладающий новыми степенями свободы: ротационными, осцилляторными или способностью к микродеформации. Таким образом можно предположить у физически бесконечно малого объема существование внутренней структуры зернистого или волокнистого строения реальных материалов.

В теории Коссера каждая материальная точка континуума наделяется свойствами твердого тела путем учета рациональных степеней свободы. Появление модели Коссера ознаменовало собой переход в механике сплошных сред от механики Ньютона, исходным объектом которой является материальная точка, к механике Эйлера, имеющей в качестве исходного объекта твердое тело. [43, 44]

Существуют некоторые эффекты, такие как затухание волн илизначительная дисперсия, которые плохо описываются классическими моделями сплошной среды. Для описания таких свойств подходят неклассические модели с дополнительными степенями свободы, такие как моментная теория упругости или среда Коссера. [34, 49]

Отличительная особенность редуцированной среды Коссера заключается в том, что в статике она неотличима от классической сплошной среды, в которой вращательные степени свободы не являются независимыми, так как выражаются через перемещения, а тензор напряжений является статически определимым [33].

В работах [35, 52, 72]проведено исследование и сравнение способов нахождения определяющих соотношений несимметричной теории упругости

с использованием асимптотических методов осреднения композитов с периодической структурой. Рассматривается композит с упругой матрицей и регулярными сферическими упругими включениями меньшей жесткости, для которого определяются материальные константы среды Коссера и подтверждается существенность эффектов моментной теории.

Существуют другие подходы к анализу сингулярных областей: в механике трещин. Общее состояние исследований в данной области достаточно полно отражают работы [76, 77], где в рамках двумерной задачи для трещин рассмотрены практически все возможные варианты. Задача исследования напряжений для пространственных трещин отличается необходимостью построения трехмерного решения. В работах [3, 14, 15, 68, 69, 70, 71, 74, 82] получены численные результаты.Возникновение сингулярности связано с появлением острых концентраторов в остриях трещин, радиус скругления в которых стремится к нулю. В работах [28, 39]описана возможность численного построения сингулярных решений трехмерных задач теории упругости для анализа характера сингулярности в окрестности вершин двух пересекающихся плоских клиновидных трещин при различных граничных условиях на боковых гранях. Проблема сингулярности напряженного состояния в вершинах трещин решается методами механики разрушения, основанными на анализе устойчивости трещин, который проводится энергетическими и силовыми методами, начало которым было положено исследованиями Гриффитса и Ирвина. В работах Харлаба В.Д.[67, 68, 69] обсуждаемая проблема связывается с градиентным эффектом прочности, согласно которому неоднородность поля напряжений повышает прочность упругого тела.

Развиваемый в работе подход к сингулярности состоит в том, что всякая сингулярность должна быть раскрыта, поскольку бесконечных напряжений никакой материал выдержать не может. Для снижения уровня концентрации напряжений используются различные приемы, в том числе выбор оптимальной геометрии примыкания в окрестности особых точек. В работе Севодиной Н.В.[59]исследовалась задача выбора оптимального варианта конструктивного исполнения изделий в окрестности особых точек, обеспечивающего оптимальное распределение напряжений в угловой зоне соединения. Решение проводилось методом конечных элементов с использованием типовых конечных элементов. Выводы по работе сводятся к тому, что концентрации напряжений можно избежать путем создания скругления в месте примыкания частей конструкции.

В диссертационной работе исследуется случай нарушения закона парности касательных напряжений, влекущий возникновение сингулярности в области концентратора напряжений, возникающем на границе материалов с существенно различными упругими свойствами. Под сингулярностью в данной работе понимается появление особых точек, в которых при исследовании напряженного состояния все компоненты напряжений стремятся к бесконечности, вместе с напряжениями к бесконечности стремятся и деформации, в результате чего граничные условия в исследуемой области выполняться не могут. Такого рода сингулярности встречаются в инженерных задачах при расчетах соединений разнородных материалов с разными упругими характеристиками.

ГЛАВА 1 НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ

1.1 Геометрически линейная постановка

В работе выполнено исследование напряженного состояния вблизи особой точки в линейной и нелинейной постановке. В основе геометрически линейной теории упругости лежат предположения о малости деформаций и поворотов. В точках с бесконечной концентрацией касательных напряжений деформации сдвига вместе с напряжениями стремятся к бесконечности и, следовательно, в окрестности особой точки условия линейной теории некорректны. Тем не менее, линейное решение представляет определенный интерес. Покажем, что современные численные методы позволяют его получить для всего тела за исключением сколь угодно малой области, примыкающей к точке сингулярности.

Напряжения описываются тензором напряжений, компоненты которого представляют собой нормальные и касательные напряжения, действующие на площадках, которые параллельны координатным плоскостям.В декартовых координатах тензор напряжений имеет вид.

V

II

Где Ох, Оу, а2- нормальные напряжения.Тх2и Т2Х- касательные напряжения.

N

■а

// А»/}

У

.¿х-

Рис. 1.1. Элементарный параллелепипед

В классической линейной теории упругости тензор симметричен. Касательные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным

площадкам, удовлетворяют закону парности, Т7Х = тХ2. В обсуждаемой задаче именно эти напряжения создают проблему. В сингулярной точке в поперечном сечении они стремятся к бесконечности, а на свободной боковой поверхности равны нулю, т.е. закону парности касательных напряжений они не удовлетворяют.

Напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия.

дтп _

= 0

дх —--ду 1-— &

К доу 1 у

дх \ ду дг

1 Г

дх ду дг

= 0

(2)

Рассматриваемая нами конструкция представляет собой стержень цилиндрической формы, симметричный относительно вертикальной оси ъ и деформирующийся под действием сил, равномерно приложенных по торцевому сечению.Поставленная задачабудет решаться в цилиндрической системе координат, где за ось вращения примем ось г, ось же перпендикулярную к ней, обозначим через г. Так как каждая меридиональная

плоскость 7Х представляет плоскость симметрии как в отношении формы, так и в отношении нагрузки тела, то в меридиональных плоскостях касательных напряжений быть не может. Поэтому для каждой точки тела, расположенной на меридиональной плоскости, площадка, содержащая эту точку, является главной площадкой рассматриваемого напряженного состояния. Главное напряжение, действующее по этой площадке, обозначим через <70.

В осесимметричных задачах, в цилиндрических координатах тензор напряжений имеет вид.

0,

II 0, 0

0, а.

(3)

Где СХГ, стп, (Урадиальные, окружные и осевые нормальные Т Т

напряжения. гг и ^ — касательные напряжения.

В линейной упругой задаче деформации связаны с напряжениями законом Гука.

(е) = [е](о)

(4)

(е) =

где

^ р Л м

Ьг

£е (а) = / а0

КУп) \Хгг)

н-

Е

V

1 -ц -ц • 0

1 -и 0

1 0

0 0 0 2(1 +

V

Уравнения равновесия в осесимметричной задаче имеют вид:

г до. д / ч ог ог

-Ю-ов+г^=0.

дг дг

Обозначая упругие перемещения точки в направлении оси г через ж, в направлении радиуса черезм (в тангенциальном направлении перемещение отсутствует), геометрические уравнения для данного случая можем представить в виде:

£. =

дм?

а? * =

£е — .

и

Г

ди дг

дм? ди

Угг

дг дг

(6)

Обобщенная формулировка закона Гука в форме Ламе имеет вид:

(а) = [С]"1(8)

(7)

Физические уравнения, выражающие напряжения через деформации, в линейной задаче имеют вид (обратные соотношения для осесимметричной задачи):

О" = Ю — + дг

сгг=2в — + М

дг

ств=20- + № г

Г

г

дм? ди — + —

дг дг

Л

(8)

Где в,А, - упругие постоянные Ламе. ^ ~ кл , -модуль сдвига, X =-^-

При решении задачи в перемещениях объемное расширение (относительное изменение объема) определяется через компоненты деформации и равно:

дк> ди и — + — + —

дг дг г

Задача определения напряжений в теле вращения, загруженном симметрично относительно оси, сводится к нахождению двух функций и и, которые должны удовлетворять в каждой точке двум уравнениям равновесия и одновременно граничным условиям на поверхности тела.

Заметим, что в линейной задаче приращения деформаций связаны с приращениями напряжений такими же соотношениями.

Как было отмечено выше, в осесимметричной задаче одно главное

напряжение есть окружное нормальное напряжение ^о , два других главных напряжения определяются формулой:

Сингулярные напряжения предполагается исследовать вгеометрически нелинейной постановке, которая подразумевает, что перемещения точек тела могут быть соизмеримы с его размерами; деформации и повороты не являются малыми, условия равновесия должны выполняются в деформированном состоянии тела.

Системы координат

При решении геометрически нелинейных задач используются две основные системы координат: пространственная и материальная. Пространственная система координат, оси которой зафиксированы в пространстве, а материальные точки перемещаются относительно этих осей. Оси материальной системы координат фиксированы на материальных точках тела, материальные координаты точек тела неизменны во времени.

Конфигурации.

Конфигурацией называют взаимное расположение координат точек, лежащих на вершинах геометрической модели образца относительно начала координат, с учетом величины прилагаемой нагрузки в данный момент времени.Различают исходную конфигурацию, в которой тело находится в

(10)

1.2 Геометрически нелинейная постановка

начальный момент времени, текущую конфигурацию, в которую оно переходит в произвольный момент времени конечную конфигурацию, соответствующую заданным расчетным значениям нагрузок, отсчетную конфигурацию, относительно которой вычисляется изменения напряженного и деформированного состояния.Пространственные координаты в отсчетной конфигурации принимают в качестве материальных координат точек.

Чаще всего в качестве отсчетной конфигурации выбирают начальную, но возможны и другие варианты, один из которых будет использован в работе.

Уравнения, описывающие движение тела, записываются в приращениях и интегрируются численно, пошагово. На каждом шаге нагрузки получают малые приращения.Отсчетная конфигурация в начале расчета совпадает с начальной. На каждом следующем шаге в качестве отсчетной конфигурации принимается текущая конфигурация в конце предыдущего шага. Материальные координаты пересчитываются на новую отсчетную конфигурацию с учетом произошедших перемещений.

Напряжения

В геометрически нелинейных задачах в разных случаях используются разные тензоры напряжений. В работе используется тензоры напряжений Коши и Кирхгофа.

Компоненты тензора напряжений Коши (тензора истинных напряжений) представляют собой нормальные и касательные напряжения, действующие на площадках, выделенных в рассматриваемой конфигурации, параллельно пространственным координатным плоскостям. Свойства этого тензора такие же, как и у тензора напряжений в линейных задачах. Он симметричен и в пространственных координатных осях удовлетворяет тем же уравнениям равновесия.

Компоненты тензора напряжений Кирхгофа отличаются от

компонентов тензора напряжений Коши множителем J, который равен отношению объема элемента в рассматриваемой конфигурации к его начальному объему.

К'.....(11)

- кратность изменения объема.

г ¿V

щ (12)

¿У -объем деформируемого элемента; ^^о - объем в начальном состоянии.

Предполагается, что геометрически нелинейная задача будет решаться численным интегрированием уравнений, описывающих деформирование тела по процессу деформирования.Никаких тензоров больших деформаций в работе не вводится. Малые приращения деформации определяются по отношению к текущей конфигурации. Компоненты тензора приращения деформаций представляют собой приращение относительных удлинений малых векторов, которые в текущей конфигурации параллельны пространственным координатным осям к их длине в текущей конфигурации и приращения сдвиговых деформаций равны изменению прямого угла между взаимно перпендикулярными в отсчетной конфигурации векторами. Если материальные оси не поворачиваются, то интегрирование тензора приращений деформаций приводит к тензору логарифмических деформаций.

Физические соотношения в геометрически нелинейных задачах.

Задача решается в дифференциальной форме, методом пошагового интегрирования, поэтому физические соотношения будут записываться в дифференциальном виде.

В нелинейных задачах будут рассмотрены только такие материалы, для которых физические уравнения, записанные в дифференциальной форме, линейны. Нелинейные физические соотношения оставим на будущее.

При этом для того, что бы эти деформации были упругими, соотношения должны связывать компоненты приращений энергетически сопряженных тензоров. Компоненты тензора напряжений, фигурирующие в этих соотношениях, должны совершать работу на приращениях энергетически сопряженных деформаций.

Существует некоторый набор энергетически сопряженных тензоров, используемых в геометрически нелинейных задачах.

При решении геометрически нелинейных задач используются разные тензоры напряжений, описывающие напряженное и деформированное состояние:

1. Тензор напряжений Коши (истинные напряжения).

2. Тензоры Пиола-Кирхгофа, 1 и 2 рода (тензоры условных напряжений).

3. Тензоры деформаций Альманси и Грина.

4. Тензоры логарифмической деформации.

Как было сказано, внастоящей работе используются тензоры напряжений Коши и Кирхгофа.

Работа напряжений, приращение потенциальной энергии и энергетически сопряженные тензоры.

При деформациях напряжения совершают работу и в каждом элементе

объёма тела накапливается некоторая потенциальная энергия УУ. В упругом

теле Ж является функцией состояния тела.

Посчитаем потенциальную энергию, заключенную в единице объема элемента тела. Выделим в начальном недеформируемом состоянии

теланекоторый объем который в деформируемом состоянии

>

превратится в элементарный параллелепипед, с ребрами с1х,с1у,с}г параллельными координатным осям пространственной системы координат.

Рис. 1.2Элементарный объем в деформированном состоянии

Приращения IV. приходящиеся на единицу начального объема тела, будут равны работе, которую совершают напряжения на приращениях деформации. Работа вычисляется как свертка напряжений Коши с приращениями деформаций, отнесенных к текущим размерам элемента:

<ЗА = (о • ■ ¿/е) • с!хс1ус]г = (а • -б/г) • дУ

напряжения Коши (истинные напряжения). сГУ-объем элемента в текущем состоянии.

Преобразуем выражение (13) для того, что бы можно было вычислить изменение потенциальной энергии в единице начального объема.

Тензоры напряжений и деформаций, свертка которых определяет изменение потенциальной энергии, называются энергетически сопряженными тензорами.Таким образом, тензор напряжений Кирхгофа и тензор приращений деформаций, определенных по отношению к текущим размерам тела являются энергетически сопряженными тензорами.

При построении матрицы жесткости КЭ, работа узловых сил на приращениях узловых перемещений сопоставляется с вариацией потенциальной энергии конечного элемента. При вычислении потенциальной энергии должны быть использованы энергетически сопряженные тензоры.

ГЛАВА 2

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ

2.1 Метод конечных элементов в геометрически линейных задачах

Для выполнения необходимых расчетов в работе использовался метод конечных элементов.

Метод КЭ успешно применяется в самых различных задачах. Он был создан для решения сложных уравнений теории упругости и строительной механики. Основные зависимости между геометрическими и физическими величинами в механике сплошной среды выводятся на элементе дифференциально малых размеров. Зависимости между средними значениями этих величин, предполагая их непрерывность, распространяются с бесконечно малых элементов на всю рассматриваемую область. Таким образом появляются дифференциальные уравнения обычные или частные, интегральные или интеграло-дифференциальные, которые с соответствующими контурными и инициальными условиями определяют в

математическом смысле соответствующую граничную задачу.

17

(14)

Метод конечных элементов относится к методу дискретного анализа. В отличие от остальных численных методов, основывающихся на математической дискретизации уравнений граничных проблем, МКЭ базируется на физической дискретизации рассматриваемойобласти. Вместо элементов дифференцированно малых размеров основу всех исследований составляет часть области конечных размеров-подобласть или конечный элемент. По этой причине основные уравнения, с помощью которых описывается состояние в отдельных элементах, являются обычными алгебраическими вместо дифференциальных и интегральных.

С точки зрения физической интерпретации это означает, что рассматриваемая область как сплошная среда с бесконечно многими степенями свободы заменяется дискретной моделью связанных между собой конечных элементов с конечным числом степеней свободы. Поскольку число дискретных моделей для одной граничной проблемы неограниченно велико, то основная задача заключается в том, чтобы выбрать ту модель, которая лучше всего аппроксимирует соответствующую граничную проблему. Хотя и нет точных критериев, обеспечивающих выбор наилучшей дискретной модели, что в большей мере относится к инженерной интуиции и профессиональному опыту, теория конечных элементов, как и примеры ее применения в анализе и расчете проблем, позволяет ответить на этот весьма важный вопрос.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зорнина, Наталья Александровна, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Барсуков С.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Сингулярность напряжений в угловых точках фронта трещин, находящейся на границе раздела двух сред.// МТТ. 2002. N.2. С.77-85.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений Т.Н. М.: Наука, 1966. 632 с.

3. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости.//Изд. МИР, г. Москва, 1972 г., С.

4. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред// Наука 1989. С.245-294.

5. Белоус П.А. Осесимметричные задачи теории упругости // г. Одесса, ОГПУ 2000 г. С. 1-147.

6. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.:Мир, 1982.-248 с.

7. Борзенков С.М., Матвеенко В.П. Оптимизация упругих тел в окрестности особых точек. // Изв. АН МТТ. - 1996. №2. - с.93-100.

8.Борзенков С.М., Матвеенко В.П. Полуаналитические сингулярные элементы для плоских и пространственных задач теории упругости // Изв. АН МТТ. - 1995. №6. - с.48-61.

9. Васильев В.В. Симметрия тензора напряжений и сингулярные решения в теории упругости // Известия Российской Академии Наук. Механика твердого тела. №2, 2010 г. - с.62-72

10. Ворович И.И. О поведении решений особых краевых задач теории упругости в окрестности особых точек границы. // Тез. Докл. III Все-союз. Съезда по теорет. и прикл. Механике 1968. С. 80.

11. Восторов В.К. Хрупкое разрушение металлоконструкций с внутренней трещиной при сложных нагружениях // Промышленное и гражданское строительство, № 4, 2007 г.

12. Герман Л.Р., Томе P.M. Преобразование уравнений поля упругой среды к новой форме, пригодной для всех допустимых значений коэффициента Пуассона.// Прикладная механика. Труды Американского общества инженеров-механиков. 1964. N. 1. С.166-167.

13. Герман JI.P. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов// Ракетная техника и космонавтика. 1965. N.10. С. 139-144.

14. Глушкова Н.В., Глушков Е.В., Хофф Р. Сингулярность напряжений в многогранных угловых точках упругих разномодульных соединений.// ДАН. 2000. Т.370. N.2. С.181-185.

15. Глушков Е.В., Глушкова Н. В., Лапина О.Н. Показатели сингулярности упругих напряжении в точке выхода трещины на поверхность//Изв. РАН. МТТ. - 1998. -N. 5. - Р. 146-153.

16. Денисюк И.Т. Напряжения вблизи конической точки поверхности раздела сред.// Изв. РАН. МТТ. N.3 С.68-77.

17. Ерофеев В.И. Братья Коссера и механика обобщенных континуумов // Вычислительная механика сплошных сред.-2009.-Т.2,№ 4. -С. 5-10

18. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.:Мир, 1975.-542С.

19. Зорнина H.A., Федоров A.C. Способ определения концентрации напряжений в особых точках соединений конструкций, выполненных из разнородных материалов, Научно-практический журнал «Биржа интеллектуальной собственности, №12 (декабрь) 2011 г., стр. 47.

20. Зорнина H.A., Федоров A.C. Исследование концентрации напряжений вблизи особых точек в геометрически нелинейной постановке. Научный журнал «Изобретательство», Т. XII. № 8. 2012 г.

21. Зорнина H.A., Федоров А.С.Метод исследования концентрации напряжений в узлах соединений корабельных рулевых

устройств при сжатии в геометрически нелинейной постановке». Научный журнал «Изобретательство, Т. XIII. № 6. 2013 г., стр. 52.

22. Ибрагимов В.А., Нифагин В.А. // «Теоретическая и прикладная механика» Мн., 1988. N0 15. С. 50.

23. Ишлинскии А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности М., 2001.

24. Каландия А.И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов.// Прикл. матем. и мех. 1969. Т.ЗЗ. N.1. С. 132135.

25. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука. 1972. 576 с.

26. Копельман Л. А. Сопротивляемость сварных узлов хрупкому разрушению. Л.: Машиностроение, 1978.

27. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнении в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Московск. мат. общ. - 1967. - Т. 16. - С. 209-292.

28. КорепановаТ.О., Матвеенко В.П., Севодина Н.В. Численныи анализ сингулярности напряжений в вершине пространственных пересекающихся трещин. //Вычислительная механика сплошных сред.-2011 -Т.4№ 3.-С.68-73

29. Корнев В.М. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача). // ПМТФ. 2002. Т. 43, №1. С. 153-159.

30. Кулеш М.А., Грекова Е.Ф., Шардаков И.Н. Задача распространения поверхностной волны в редуцированной среде Коссера // Акустический журнал. 2009. Том 55, №2. С. 216-225.

31. Лущик О.Н. Сингулярные конечные элементы. Обзор и классификация. // Изв. РАН. МТТ. 2000. N. 2. С.103-114.

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. -М.: Наука, 1973. - 749 с.

33. Лалин В.В., Зданчук E.B. Об одной модели сыпучих сред. Волны в редуцированной среде Коссера // Инженерно-строительный журнал, №5, 2012 С. 65-71.

34. Лалин В.В. О классификации сплошных сред. Новые модели в строительной механике // VII международная конференция «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте». Тезисы. СПб, 2008. С. 123.

35. Леонов A.B. Асимптотический подход к осреднению неоднородной среды Коссера // Фундаментальные исследования. -2010.-№9-стр. 106-107.

36. Ловеикин A.B., Улитко А.Ф. Об особенности поля напряжении в несжимаемом полупространстве, ослабленном двумя приповерхностными клиновидными трещинами // Изв. РАН. МТТ. — 2009.-N. 4.-Р. 108-120.

37. Либовиц Г., Эфтис Дж., Джонс Д. Некоторые недавние теоретические и экспериментальные исследования по механике разрушения//Механика разрушения. М.: Мир, 1980.

38. Матвеенко В.П. Метод численного анализа сигулярности напряжений в угловых точках трехмерных тел.// Изв. РАН. МТТ. 1995. N. 5. С.71-77.

39. Матвеенко В.П., Накарякова Т.О., Севодина Н.В., Шардаков И.Н. Сингулярность напряжении в вершине однородных и составных конусов при разных граничных условиях // ПММ. - 2008. -Т. 72, No. 3. - С. 487-494.

40. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Высшая школа. 1967. 546 с.

41. Мешков Ю. Я. Физические основы разрушения стальных конструкций. Киев: Наукова думка, 1981

42. Михайлов С.Е. Сингулярность напряжений в окрестности ребра в составном неоднородном анизотропном теле и некоторые приложения к композитам. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1979. N.5 с. 103-110.

43. Михлин С. Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости. - СПб.: Изд-во С.Петербургского Университета, 1994.- 272с.

44. Морозов Н.Ф. «Проблемы хрупкого разрушения и их исследование методами теории упругости» Механика и научно-технический прогресс. Т. 3: Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. С. 54-63.

45. Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. «Применение критерия хрупкого разрушения В.В. Новожилова при определении разрушающих нагрузок для угловых вырезов в условиях сложного напряженного состояния» Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. №1. С. 122126.

46. Нейбер Г. «Концентрация напряжений» М.: Гостехтеоретиздат, 1947.

47. Новожилов В.В. «О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности» Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33, вып. 2. С. 212-222.

48. Нифагин В.А. Оценка напряженного состояния упруго-пластического тела в окрестности угловой точки. // Вестник БГУ. Сер. 1. 2010. №3. С.102-106.

49. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости. //ПММ. 1964. Т. 28. С. 401-408.

50. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости.//М.: Наука. - 1981.- 688с.

51. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжении около трещин в пластинах и оболочках. Наукова Думка, Киев, 1976, 443 с.

52. Победря Б.Е., Омаров С.Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды /.Е. Победря, С.Е. Омаров // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика, Механика. -2007.-№3. -С. 56-58.

53. «Расчеты и испытания на прочность. Методы и программа расчета на ЭВМ плоских и осесимметричных элементов конструкций с учетом физической и геометрической нелинейностей. Методические рекомендации. MP 152-86» ВНИИНМАШ Госстандарта, 1985, 100 стр.

54. Розин A.JI. Вариационные постановки задач для упругих систем.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1978.

55. Саакян A.B., Квадратурные формулы типа Гаусса для вычисления определенных интегралов с весовой функцией.// Сб. науч. трудов "Контактные и смешанные граничные задачи механики деформируемого твердого тела", Ереван, 1999, с. 117-119.

56. Саакян A.B., Метод дискретных особенностей в применении к решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнении// Труды VI-ой международной конференции «Проблемы динамики взаимодеиствия деформируемых сред», Горис, 21-26 сентября 2008, с. 383-387.

57. Севостьянов В.Н., Сидорова Г.И., ИсайкинА.С., Фриштер Л.Ю. Способ моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций и сооружений.// Авт. свидетельства №1767368, № 1767369, дата per. 08.06.92.

58. Севостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю., Трушина Н.Е. Учет погрешности, вызываемой неравенством коэффициентов Пуассона материалов модели и натуры при решении объёмной задачи // Сб. трудов под ред. Г.Л.Хесина, №188, М. : МИСИ, 1982, с. 169-181.

59. Севодина Н. В., Федоров А. Ю, Фонарев А. В. Поиск конструктивных решений для снижения концентрации напряжений в упругих телах //Сб. трудов VII Всероссийской научной конференции, г. Самара, 2010г., С. 321-324.

60. Серенсен С. В., Махутов Н. А. Сопротивление хрупкому разрушению элементов конструкций // Проблемы прочности. 1971. № 4.

61. Степанова JI.В «Математические методы механики разрушения» Самара, Издательство «Самарский университет». 2006232 с.

62. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977.-349с.

63. Секулович М. Метод конечных элементов // «Стройиздат», г.Москва 1993 г., С. 8-9

64. Черепанов Г.П. «Механика твердого деформированного тела.»Л., 1979.С.467.

65. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин // Москва Наука 1996 г., С. 54-119.

66.Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах // Изд. «Машиностроение» 1986 г., С. 10-139.

67. Харлаб В.Д., Садиков П.В. О проверке прочности в сингулярных точках // Вестник гражданских инженеров.-2009 г.-№ 3 (20).-С 146-148.

68. Харлаб В.Д., Минин В.А. Критерий прочности, учитывающий влияние градиента напряженного состояния// Исследование по механике строительных конструкций и материалов: межвуз. темат сб. тр. - Л.: ЛИСИ, 1989.-С.53-57.

69. Харлаб В.Д. Сингулярный критерий прочности // Исследование по механике строительных конструкций и материалов: межвуз. темат сб. тр. - Л.: ЛИСИ, 1989.-С.58-63.

70.Z.P. Bazant, L.M. Keer. Singularities of elastic stresses and of harmonic functions at conical notches and inclusions. Int. J. Solids Struct. 1974, V.10, №9, 957-965.

71.Z.P. Bazant. Three-dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity lines: a general method. Intern. J. Eng Sci. 1974, V.12, № 3, 221-243

72.Benthem J.P. State of stress at the vertex of a quarter-infinite crack in a half-space // Int. J. Solids and Structures. - 1977. - V. 13, N. 5. - P. 479-492.

73. Benthem J.P. The quarter-infinite crack in a half-space: Alternative and additional solutions // Int. J. Solids and Structures. - 1977. -V. 16, N. 2.-P. 119-130.

74. Bigoni D. and Drugan W.J. Analytical derivation of Cosserat moduli via homogenization of heterogeneous elastic materials. / J. Appl. Mech., 74, 2007. C. 741-753.

75. Grekova E.F., Kulesh M. A., Herman G. C. Waves in linear elastic edia with microrotations, part 2. Isotropic reduced Cosserat model // Bull. Seismol. Soc. Am., 2009. Vol. 99, No 2B. Pp. 1423-1428.

76. Ghahremani F., Shih C.F. Corner singularities of three-dimensional planar interface crack // ASME (Ser. E.) J. Appl. Mech. - 1992. -V. 59, N. 1.-P. 61-68.

77. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. «The Finite Element Method (Fifth Edition)». Volume 1: The Basis. - Oxford: Butterworth-Heinemann, -2000, 707 p.

78. Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity - I: Removal, interpretation, and analysis // Appl. Mech. Rev. - 2004. - V. 57, N. 4.-P. 251-297.

79. Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity - II: Asymptotic identification // Appl. Mech. Rev. - 2004. -V. 57, N. 4. - P. 385-439.

80. Toupin R.A. Elastic materials with couple stress. Arch. Rat. Mech. Anal. 1962. V. 11. No. 5. Pp. 1189-1196.

81. MacCullagh J. An essay towards a dynamical theory of crystalline reflection and resractioon //Nrans. Roy. Irish. Acad. Sci., 1839.-V.21.-P. 17-50.

82. Mindlin R. D., Tiersten H.F. Effects of couple-stresses in liner

elasticity. Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. Vol. 11. No. 5. Pp. 1183-1188.

96

83. Muller D.E. A method for solving algebraic equation using an automatic computer // Math. Tables and Other Aids to Computation. - 1956. -V. 10.-P. 208-215.

84. Folias E.S. On the three-dimensional theory of cracked plates // Trans. ASME (Ser. E.) J. Appl. Mech. - 1975. - V. 42, N. 3. - P. 663-674.

85. Vasil'ev V.V., Stress tensor symmetry and singular solutions in the theory of elasticity // Mechanics of Solids. 2010. T. 45. № 2. C. 205-213.