Исследование равновесных состояний нелинейных систем с мультипликативным взаимодействием процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Тушин, Александр Сергеевич

• Тушин, Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Тушин, Александр Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ

1.1. Динамические системы с нелинейными взаимодействиями процессов мультипликативного типа

1.2. Общие свойства моделей мультипликативных систем

1.2.1. Модель в отклонениях относительно произвольной особой точки

1.2.2. Модель системы с учетом постоянного воздействия

1.2.3. Модель первого приближения

1.2.4. Влияние на динамику соотношений линейной и нелинейной форм модели

1.3. Выводы по главе 1

2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЯХ ОТ НИХ

2.1. Общие исходные соотношения исследования устойчивости в малом мультипликативных систем

2.2. Исследование устойчивости в малом положений равновесия модели общего вида мультипликативной системы второго порядка

2.2.1. Определение особых точек

2.2.2. Нахождение условий устойчивости особых точек и динамики процессов в их окрестностях

2.2.3. Классификация особых точек и нахождение соответствующих условий на параметры системы

2.3. Исследование устойчивости положений равновесия системы произвольного порядка с мультипликативной нелинейностью одного типа

2.4. Исследование модели с мультипликативной связью «чужих» переменных в уравнениях

2.5. Выводы по главе 2

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ ВТОРЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА

3.1. Исследование устойчивости с помощью функции Ляпунова вида квадратичной формы

3.2. Постановка и решение задачи наилучшего выбора параметров квадратичной формы функции Ляпунова

3.3. Определение областей устойчивости с помощью квадратичной формы функции Ляпунова

3.4. Разработка и исследование модифицированной функции Ляпунова для мультипликативных систем

3.5. Выводы по главе 3

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО ТИПА

4.1. Особенности нелинейного элемента мультипликативного типа

4.2. Нахождение периодических процессов на основе баланса по постоянной составляющей и основной гармонике сигналов

4.3. Нахождение периодических процессов с учетом гармонического баланса по второй гармонике

4.4. Примеры исследования периодических режимов

4.4.1. Исследование модели Вольтерра-Лотки межвидовой конкуренции

4.4.2. Исследование системы с несколькими нелинейными элементами мультипликативного типа

4.5. Выводы по главе 4

5. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

5.1. Разработка программного модуля МАТЬАВ исследования нелинейных систем с мультипликативными связями переменных

5.2. Определение допустимых режимов работы системы гарантированного питания

5.3. Выводы по главе 5

3

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование равновесных состояний нелинейных систем с мультипликативным взаимодействием процессов»

ВВЕДЕНИЕ

Цель диссертации состоит в разработке обобщенной модели и исследовании равновесных состояний динамических объектов с нелинейным взаимодействием процессов мультипликативного характера.

Актуальность работы. Модели нелинейных динамических систем с мультипликативными взаимодействиями процессов широко распространены на практике и встречаются при описании объектов и систем различной физической природы. Они часто встречаются при описании процессов в электромеханических системах, при исследовании динамики твердого тела, геомагнитного поля и атмосферных процессов Земли, исследовании процессов в экологических системах, при системном анализе заболеваемости, исследовании динамики химических процессов и в других случаях.

Известные подходы к исследованию процессов в данных системах базируются, в основном, на результатах имитационного моделирования. В ряде работ, посвященных анализу технических объектов, производится линеаризация моделей с последующим использованием линейной теории управления для исследования динамики в малой окрестности установившихся режимов. Анализ модели с помощью более общих методов исследования нелинейных систем имеет место лишь в отдельных работах (второй метод Ляпунова).

Несмотря на распространенность систем с мультипликативными связями процессов, они не рассматриваются с позиций единого класса нелинейных систем. Отсутствует анализ возможностей и особенностей применения наиболее распространенных классических методов исследования нелинейных систем при исследовании объектов данного класса. Значимость этой задачи определяется также целесообразностью рассмотрения методов

исследования нелинейных технических систем на системы другой природы, порождающие при описании модели мультипликативного типа. Поэтому задача разработки обобщенной модели систем с мультипликативными взаимодействиями процессов и изучение особенностей ее динамики является актуальной и в подобной постановке в литературе не встречается.

Задачи диссертации

1. Анализ объектов и систем различной физической природы с мультипликативным взаимодействием процессов и разработка их обобщенной модели.

2. Исследование влияния мультипликативных связей переменных на динамические свойства модели.

3. Исследование динамики систем в малой окрестности от положения равновесия.

4. Исследование устойчивости в большом равновесных положений мультипликативных систем.

5. Исследование периодических режимов мультипликативных систем.

Методы исследования - теория управления, теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, имитационное моделирование.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана обобщенная модель динамических систем различной физической природы с нелинейными взаимодействиями процессов мультипликативного характера. Получены зависимости общих динамических свойств модели от масштабного соотношения линейной и мультипликативной компонент ее уравнений нормальной форме Коши.

2. Разработана общая классификационная таблица для мультипликативных систем второго порядка, устанавливающая связь возможных типов

динамики системы в окрестности особых точек с условиями на параметры ее модели.

3. Для мультипликативных систем предложена модифицированная форма функции Ляпунова, позволяющая существенно увеличить по сравнению с оптимальной квадратичной величину области выполнения условий устойчивости по второму методу Ляпунова.

4. Показана возможность распространения на системы с нелинейным элементом мультипликативного типа метода гармонического баланса исследования периодических режимов. Для модели общего вида получены уравнения гармонического баланса по постоянной составляющей и основной гармонике и предложен графоаналитический метод их решения, оперирующий с характеристиками только линейных звеньев исходной модели.

Практическая значимость результатов

• Основные теоретические результаты работы доведены до уровня их практического применения (методики применения, классификационные таблицы).

• Разработан программный модуль, позволяющий на основе полученных результатов проводить исследования возможных установившихся режимов, определять их устойчивость с нахождением областей устойчивости, определять наличие автоколебаний с нахождением их параметров.

Достоверность полученных результатов. Обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждается результатами имитационного моделирования, сравнением с известными экспериментальными данными, а также сопоставлением полученных в работе результатов с результатами, полученными для частных случаев другими исследователями, представленными в литературных источниках.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на трех научно-технических конференциях и семинарах и опубликованы в 6 печатных работах, включая 2 статьи в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемых источников. Текст диссертации изложен на 136 страницах. Список литературы включает 76 наименований. В работе содержится 34 рисунка и 4 таблицы.

1. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

ПЕРЕМЕННЫХ

1.1. Динамические системы с нелинейными взаимодействиями процессов мультипликативного типа

Динамические системы с нелинейным характером взаимодействия процессов имеют широкое распространение на практике. Ниже приведены некоторые из известных моделей.

Электромеханические системы

А. Модель двигателя постоянного тока смешанного возбуждения

В работе [70] исследуется динамика системы гарантированного питания с двигателем постоянного тока при наличии сериесных обмоток, то есть системы: "двигатель постоянного тока смешанного возбуждения — трехфазный генератор". При управлении по возбуждению она описывается следующей системой уравнений:

сИя

ия = 1ягя + ^Я

IИв

ив = ¿вгв + Ьв — + с30)Ц МДВ = (А ¿я + С2£в)£я

мДв=;-^+мст + мг

+ СгШя + С2С01В

(1.1)

1/в = Кус — К2 (с - ^дат^))

где ия, ив - напряжения якоря и обмотки возбуждения соответственно, гя, ¿в -токи якоря и обмотки возбуждения яа) - частота вращения ротора двигателя. Остальные обозначения относятся к константам, определяемым

9

электрическими и механическими параметрами объекта и значениями уставок.

В этой системе момент нагрузки Мг не зависит от частоты вращения со, что предполагает оснащение генератора стабилизатором напряжения. Данное описание двигателя является стандартным и его можно встретить в литературе, посвященной исполнительным двигателям автоматических устройств [32, 33,40, 41, 58].

В работе [70] исследуется устойчивость системы в малой окрестности рабочего режима путем линеаризации модели (1.1) с последующей проверкой переходных процессов на основе (1.1) путем имитационного моделирования.

Путем преобразований систему (1.1) можно привести к виду модели в нормальной форме Коши:

(йхг

dt

= а4х2 + а5х3 + а6х2х 3 + с2 С1-2)

dx2

dt

dxз _ 2

= a7xl + а8Х1Х2 + с3

где хх = iH, х2 = iB, х3 — а> и alt... .clq,^,^, с3 — const. Правые части уравнений модели (1.2) представляют собой сумму двух форм относительно переменных - линейных и нелинейных, с нелинейностями мультипликативного типа.

Б. Модель трехфазного асинхронного двигателя

Еще одним примером электромеханической системы может служить

трехфазный асинхронный двигатель, рассмотренный в работе [4].

Рассматриваемая система представляет собой схему из повышающего

выпрямителя и комбинации "инвертор - асинхронный двигатель". Модель

асинхронного двигателя описывается следующей системой уравнений:

10

сИ5а

(И

(И

лФга

дЛ

¿фгр

ап V

]

= _й2 Ьа + йфга + а3рПфгр + а3Уза = -О-гЬр - О-ъР^Фга + 8фгр +

(1.3)

■ А, ■ Л ? п

га Фг^за) ~у J i¿

где фгсс, фгр — компоненты потока ротора, ¿зсс, ¿5р — компоненты тока статора, П - угловая скорость. Аналогичные системы нелинейных уравнений приводятся в других работах, посвященных управлению асинхронными двигателями [73, 39].

Система (1.3) исследуется путем рассмотрения ее линеаризованной формы в окрестности рабочего режима.

Обозначив ¿5а = хъ = х2 , фга = х3 , фгр = х4 , Л = х5, систему (1.3) можно привести к виду:

( с1х! &хг

йг с1х4

сИ йх5

= а3х2 + я4X4 С15Х3Х5 Н" с2

= Я12Х5 + а13Х2Х з + ^4^X4 + С3

(1.4)

Структура модели (1.4) аналогично модели (1.2). В отличии от нее уравнения системы (1.4) не содержит мультипликативных составляющих с переменной, соответствующей производной уравнения.

В. Модель энергоблока

Так же мультипликативные взаимодействия встречаются в сложных объектах, чья математическая модель имеет более высокий порядок. Примером такого случая может служить модель энергоблока СГ2-500-4У2 [46], которая описывает процессы в энергоблоке и представляет собой систему дифференциальных уравнений двенадцатого порядка:

¿1 йх2

(И

¿х з

£П ~сй

¿X 5

¿г

¿хь dt йх7

ИГ

с1х8

йх9

— Яц*! + 0^12-^2 "I" а13Х3 а14х4 ^412*4*12

= а21х± + а22х 2 + а23х3 + с2 = а31Х! + а32х2 + а33х3

= 0^41^1 + Я44Х4 + £145X5 + Ь^12х^х12

— Я54Х4 + = а67х7

= а78х3

— &86Х6 + а87х7 + а88Х8 + а812*12 + с8

(1.5)

¿х10

(И ¿ХЦ

— а910Х10 + с9

<а

¿х12

— аюи*!! + с10

— а119х9 + а1110х10 + а1Ш^п + Ьх д

— &126Х6 + ^14Х1Х4 + ЬЦХ1Х5 + ^24Х2Х4 "I" ^34*3*4

где q = V(ащ*! + а112х2 + а113х3)2 + (а114х4 + а115х5)2, ^ - х5 - проекции потокосцеплений на оси координат; х6 — х8 - момент турбины, его первая и вторая производная соответственно, х9 - напряжение возбудителя, х10, х1г -внутренние переменные автоматического регулятора вращения, х12 -скольжение. Можно видеть, что не все уравнения в приведенной модели (1.5) содержат нелинейности.

Еще одной особенностью приведенных выше моделей систем в форме Коши, описывающих электромеханические системы, является, за исключением (1.2), наличие собственной составляющей в линейной части всех уравнений.

Модель динамики твердого тела

В работах [10, 16, 38, 36, 37, 43] приводится модель вращения твердого тела относительно неподвижной точки в вязкой среде при отсутствии внешних сил. Принимая форму тела простой, что не приводит к образованию вихрей, описание динамики движения тела при малых угловых скоростях в общем случае имеет вид:

М = М ХАМ + ВМ (1.6)

где М — вектор кинетического момента в системе координат, связанной с телом; А - диагональная матрица размерности 3; В - матрица размерности 3.

Динамика таких систем, как правило, исследуется моделированием. В работах [38, 10, 28] находятся параметры системы (1.6), при которых в фазовом пространстве имеют место движения типа странный аттрактор:

гМг = агМг + а2М2 + а3М2М3

■ М2 = а4М2 + а5М± + а6М1М3 (1.7)

,М3 = а7М3 + а8М1М2

Для модели (1.7) при а2 = а4 = 0 в [38] рассматривается случай системы

Гринхилла [6], в которой траектории стремятся к нулю, оставаясь на

некотором конусе. Там же найдены параметры (1.7), соответствующие

наличию предельного цикла движений в фазовом пространстве.

В работах [22, 38] приводятся условия существования у систем вида (1.6) неавтономных интегралов движения.

В приведенных системах уравнения не содержат мультипликативную составляющую по собственной переменной.

13

Модель Рикитаки

Геомагнитное поле Земли, как показывают исследования [72], имеет случайный характер периодов инверсии и вариации. Такое поведение магнитной оси возникает из-за того, что земное динамо работает в режимах, близких к неустойчивому состоянию. Т. Рикитаки была предложена электромеханическая модель двойного динамо (рис.1), для объяснения процессов в магнитном поле Земли.

Рис. 1. Модель двойного динамо.

При вращении диска 1 со скоростью сх)1 в магнитном поле В в нем возникает ток, направленный от периферии к центру или наоборот, в зависимости от направления а)1 и В. Это в свою очередь приведет к образованию тока 1г в контуре А, который начнет влиять на ток в диске 2. Такое взаимодействие изменит скорость вращения второго диска а)2, а следовательно и возбуждаемого им тока /2. Аналогичным образом диск 2 будет влиять на диск 1. В результате данные процессы можно описать следующей системой уравнений:

(

¿1 т

(И2

■"2 бХ

£¿0)!

к йЬ

&г

(1.8)

= Мш - Мх2\х1г = Му,2 - М211112

где кроме указанных переменных остальные обозначения соответствуют константам.

Для полученной модели [3, 8, 35, 74], при некоторых значениях ее параметров, возможны неустойчивые процессы характеризующиеся изменяем направления создаваемого ею магнитного поля.

Путем замен в (1.8), предложенных Рикитаки, можно перейти к рассмотрению системы Коши вида:

г(1х1

йХ

йг

¿х3 (И

(IX4

— — а^Х} + х2х3

— —а2х2 + х^х4

— а3х3 х^х2 4" 1

— а4х4 х^х2 "Ь1

(1.9)

где х1гх2 — безразмерные токи; х3,х4 — безразмерные угловые скорости; а±, а2, а3, а4 — коэффициенты.

В работе [71] для системы (1.9) исследуются вопросы устойчивости при положительном значении параметров. Для нее также доказано существование пяти равновесных положений, четыре из которых имеют одинаковый характер устойчивости, и приведено условие, при котором пятое положение равновесия является «седлом». С помощью компьютерного моделирования путем вариации параметров в системе обнаружены устойчивые движения, предельные циклы и хаотические процессы.

Пренебрегая трением, модель (1.9) можно свести [62] к системе Зго порядка следующего вида:

Г(1х1

— Яц*! + х2х3

йх2

1. — ~а22х2 + Х2Х3

(1.10)

11х3

Особенностью моделей (1.9), (1.10) является наличие только собственной переменной в линейных компонентах и ее отсутствие в нелинейных компонентах всех уравнений. Здесь под собственной подразумевается переменная, относительно производной которой составлено уравнение.

Система Лоренца-Стенфло

Система Лоренца-Стенфло для акустико-гравитационных волн в атмосфере Земли описывает динамику атмосферных явлений. В общем виде эта динамика описывается системой [9, 17, 25]:

где р — давление; р — плотность газа; V — вертикальная скорость движения

скорость звука (у - постоянная адиабаты).

Ленхарт Стенфло в своей работе [24] приводит процедуру упрощения, в результате которой система (1.11) приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

4

(1.11)

частиц среды; g - ускорение силы тяжести; с = уур/р - адиабатическая

гс1х

— = —ах + ау + В\м at

<1у

— = ух - у - хг

(1.12)

йЬ \~cLt

= —02 + ху

—х — а\л/

Исследование системы Лоренца-Стенфло путем численного моделирования приводится в работе [2], в частности показано, что у системы (1.12) возможно три равновесных положения. В работе [29] для системы (1.12), при условии выполнения некоторых соотношений параметров, предложена функция Ляпунова классического вида квадратичной формы. С помощью описанной функции определены выражения верхней и нижней границы области устойчивых движений.

Система Пиковского-Рабиновича-Трахтенгерца (ПРТ-система)

Еще одной мультипликативной системой описания атмосферных процессов является система Пиковского-Рабиновича-Трахтенгерца [18, 19, 69] (ПРТ-система), которая описывает волны в плазме, распространяющиеся вдоль магнитного поля, при грозовом разряде.

Дифференциальные уравнения для амплитуды трех волн получаются из гидродинамических уравнений для радиочастотного осциллятора электронного газа и кинетического уравнения для ионно-звуковой волны. Полагая амплитуды волн в плазме постоянным в работе [18] получена следующая система в безразмерной форме:

гйак

йг ¿Ьх

(И 6Х

= ~Ьхак1 -угак + ЪЪХ = акак1 + у2Ъх + К ак

— ак^х ~ ак1

(1.13)

ак, Ъх, ак1 - нормированные величины амплитуд волн.

Обозначением переменных ак = х1г Ъх = х2, ак1 = х3 можно перейти к рассмотрению системы (1.13) в следующем виде:

( йх1

(И &х2

Их

ЙХз

— И-^Х-^ "I" л2х2 х2х3

— о.3X1 -Ь &42х2 "4" х-^х3

— ~х3 + х^х2

(1.14)

В работе [15] показано, что в системе (1.14) существует три положения равновесия. Для двух смещенных особых точек приведены выражения их координат в общем виде, а для тривиальной — условие устойчивости в малом. Далее в работе приводятся выражения интегралов движения при различных ограничениях на параметры системы, что позволяет авторам предложить поверхности в фазовом пространстве, ограничивающие хаотические процессы в системе. В работе [56] также рассматривается построение локализирующих множеств для системы (1.14).

Модель турбулентного движения жидкости

Упрощенной моделью описания турбулентного движения жидкости в слое постоянной глубины является система Лоренца. Помимо описания конвекции в слое, она нашла применение при описании динамики других физических процессов, таких как конвекция в кольцевой трубке и одномодовый лазер. Система Лоренца [1, 12, 23, 20, 65] описывается следующей системой уравнений:

(йх1 ¿х з

&г

= ~(ТХ1 + <тх2

_ у "V" -V*

— I Л1 л2 Л^Л3

— Ьхз -И х-^х2

(1.15)

где х1г х2, х3 - переменные; а,г,Ь - постоянные системы.

Система Лоренца является классическим примером возникновения устойчивого хаотического процесса в фазовом пространстве и исследованию ее динамики посвящено много работ. Известны [57] аналитические выражения координат трех ее особых точек. Там же приведены значения параметров, при которых в системе (1.15) существуют сходящиеся траектории. В работах [11, 26, 61, 64] исследуются вопросы устойчивости движений в системе Лоренца, границ области устойчивых движений и критических значений параметров, влияющих на ее динамику, на основе анализа отображения Пуанкаре и диаграмм бифуркации.

Модель межвидовой конкуренции

Процессы межвидовой конкуренции, возникающие в ситуациях «хищник-жертва», «паразит-хозяин» и других видах взаимодействий между двумя конкурирующими видами, могут быть описаны системой Вольтерра-Лотки [5, 13,34, 42, 59, 60]:

й

— = ах — сух

(1.16)

Аг = ~РУ + ¿ху

где хну- количество жертв и хищников; а, ($,с,й— коэффициенты.

В работе [42] приводятся аналитические выражения для координат обих особых точек модели и нелинейные соотношения, связывающие х и у. С помощью анализа и построения показано, что в области положительных значений переменных и параметров системы (1.16) всегда существуют периодические движения вокруг смещенного положения равновесия.

Модель Жаботинского-Корзухина

В химии выделяют целый класс химических реакций (реакция

Белоусова-Жаботинского), характеризующихся наличием колебательных

режимов[21, 75]. Одной из моделей, описывающей такого рода реакции

стала модель Жаботинского-Корзухина:

19

dt (1х2

(И с1х3

(1г

= — х2) — к0х±х3

= к^х^С х2) к2х2 = ^2*2 ~~ Ь3Х3

где х2 = [Се4+], С = [Се4+]0 + [Се3+]0, х1 - концентрация автокатализатора, х3 = [Вг~]. Система (1.17) описывает динамику следующей реакции:

„ , НВг03

Се3+-1 Се4+

(1.18)

Особенность реакции (1.18) заключается наличии колебаний концентраций окисленной и восстановленной форм катализатора Се (церий), где в качестве восстановителя используется бромноватая кислота.

Модель динамического порога заболеваний

В работах [17, 27, 14, 30] приводится модель, описывающая динамику заболеваний болезнью «рука-нога-рот» (НБМО) у детей. Исследованная динамика описывается следующей системой уравнений:

Б = А —

N

- (/1 + а)Б + 5Д

Е = --(и + Ш

N (1.19)

/ = кЕ - + q + ег+ у{)1

<2 = <7/-(/Л-£2+У2)<2 УЯ=у11 + у^-(<[1 + 6 + а)Я

в которой дети разделяются на группы: 5 - восприимчивые, Е -

подвергшиеся заболеванию, I - инфицированные, (} - на карантине, И -

выздоровевшие. Точкой обозначены производные по времени.

Путем анализа спектрального радиуса линеаризованной системы и

моделирования процессов в работе [17] найдены условия, при которых в

системе (1.19) существуют предельный цикл, и условия, соответствующие

спаду заболевания (устойчивый режим).

Систему (1.19) можно привести к виду:

дЛ йх2

¿х3

Аг (1х4

&г йх5

\~cLF

— 12-^Х^ -I- 0*2X5 ^зХ-±х3

— 0.4X2 о$х^х3 = 0^X2 "4" 0.7X3

= а8х3 + ОдХ4 = а10х3 + а1±х4 + о12х$

(1.20)

Модель представляет собой совокупность трех линейных и двух нелинейных уравнений. Последние содержат одинаковые нелинейные компоненты мультипликативного типа.

1.2. Общие свойства моделей мультипликативных систем

Анализ литературных источников, некоторые из которых были приведены выше в разделе 1.1, позволяет сделать ряд выводов:

1. Мультипликативные модели встречаются при формализации процессов объектов различной физической природы - электромеханики, механики, физики атмосферы, биоэкологии, химических реакций, медицинских, магнитного поля Земли и др.

2. Уравнения в форме Коши содержат сумму двух форм - относительно переменных состояния и относительно мультипликативной формы их парного взаимодействия.

3. В правых частях уравнений присутствуют постоянные для £ > 0 составляющие обычно соответствующие уставкам в физических системах или постоянным возмущениям, например (1.1), (1-5).

4. Линейные и нелинейные суммы в уравнениях моделей описания процессов в различных системах, как правило, содержат неполные

21

наборы составляющих форм. Ряд уравнений модели может не содержать нелинейных форм, например (1.5), (1.15), (1.20).

5. Можно выделить достаточно распространенный тип моделей, в уравнениях которых отсутствуют мультипликативные нелинейности, соответствующие взаимодействию с собственной составляющей, относительно которой составлено уравнение: (1.10), (1.12), (1.14),

Отсутствуют подходы к исследованию динамики рассмотренных систем с позиций исследования моделей единого класса. Результаты исследования динамических свойств различных систем получены, как правило, путем имитационного моделирования. В ряде работ анализ динамики производится с использованием упрощенных линеаризованных моделей. Только в отдельных частных случаях для моделей низкого порядка применялся аппарат аналитического исследования. Изложенное делает актуальной задачу исследования систем мультипликативного типа с позиций единого класса нелинейных динамических систем.

Таким образом, модели систем различной физической природы с нелинейным взаимодействием процессов мультипликативного вида, некоторые свойства которых приведены в [49], могут рассматриваться как частные случаи модели единого класса нелинейных динамических систем, характеризующиеся мультипликативным типом нелинейной связи переменных состояния. Обобщенная модель данного класса систем может быть представлена в следующем виде:

(1.15).

п

71—1 П

7=1 у=1к=]+1

где ац и Щк> Цк\. = 0 - постоянные параметры системы, - определяется внешними воздействиями.

'jk>uJk\j>k

1.2.1. Модель в отклонениях относительно произвольной особой

точки

При исследовании динамики нелинейных систем одним из важных аспектов является изучение характера поведения процессов в окрестности ее особых точек. Процедура исследования упрощается, если это равновесное положение находится в начале координат. Однако, как можно было видеть из обзора в части 1.1, у исследуемого класса систем может одновременно существовать несколько равновесных положений в фазовом пространстве. Это означает, что каждую особую точку следует исследовать отдельно. А процедура переноса начала координат в смещенную особую точку и рассмотрение системы в отклонениях упростило бы задачу исследования.

Рассмотрим случай системы (1.21) при условии = 0, т.е. системы

вида:

б. П П_1 П

= ач */ + ^ ^ Ккху*к' I = 1,71 (1.22)

;=1 у=1 к=у+1

Ниже будет показано, что система (1.21) может быть приведена к виду (1.22).

В общем случае система уравнений (1.22) может иметь несколько особых точек. Значения их координат находятся приравниванием нулю производных в левых частях уравнений (1.22):

П 71-1 п

^Гауху + ^ ^ КкхУхк = £ = 1,П (1-23)

7=1 у=1 к-у+1

Решением системы (1.23) являются значения координат особых точек в фазовом пространстве (V = 1, г, г — количество решений). В системе (1.22) всегда будет существовать как минимум одно решение, совпадающее с

началом координат х-31 = О, I = 1, п (тривиальное решение). Предположим существование еще одной, смещенной относительно начала координат, особой точки х?. Тогда процессы л:£ в системе (1.22) можно записать в новых координатах щ, относительно которых равновесное положение будет несмещенным, следующей заменой переменных:

+ ¿ = 1,71. (1-24)

После подстановки (1.24) в систему (1.22) получим систему уравнений относительно новой системы координат с центром в исследуемой особой

точке х°:

п 71—1 71 71 71-1 71

йщ

7=1 у=1к=у+1 7=1 у=1к=у+1 (1-25)

I = 1,71,

П

где ау - ау + с учетом . = 0. Последние две суммы в уравнениях

5=1

(1.25) являются левыми частями уравнений (1.23) в особой точке, а следовательно равны нулю. В результате система примет вид:

71 П-1 71

-¿¡г = ^ йу и7 + ^ ^ КкиуЩ > I = 1, П, (1.26)

7=1 у=1 /с=у+1

Вид системы (1.26) совпадает с исходной системой (1.22), и более того, нелинейная составляющая осталась неизменной. Следовательно, рассмотрение системы в смещенной особой точке меняет только значения параметров при линейных элементах в правых частях уравнений.

Рассмотрим пример перехода к системе в отклонениях на конкретной системе:

— = —4хх + Зх2 + 5х-,х2 at

йх2 _ (1-27)

- — 2x1 2Х2 Зххх2 aí

Из соотношений (1.23) находим координаты особых точек:

(х01 = (0; 0)

Ь02 = (-1; 2) С'28»

_02

Перейдем к рассмотрению системы (1.27) в особой точке х . Для этого

воспользуемся заменой (1.24) и подставим полученные в (1.28) параметры -02

координат х . В результате получим систему:

Сйщ

= 6 щ — 2и2 + 51^2

аи2 ' (1.29)

= -4щ +и2- Зщи2

где щ = хх + 1, и2 = х2 — 2, с началом координат в смещенной для системы (1.27) особой точке. Координаты стационарных точек (1.29) соответственно равны:

(й02 = (0; 0)

1301 = С1; -2) (130)

На рис.2 представлены фазовые портреты исследуемых систем. Линиями обозначены интегральные кривые, квадратами - координаты особых точек (1.30), а стрелками - направления движения интегральных кривых.

Рис. 2. Фазовые портреты слева системы (1.27) и справа системы (1.29).

Нетрудно видеть, что взаимные расположения стационарных точек и характер движений около них совпадают в разных координатных плоскостях.

Таким образом, при исследовании динамики в окрестности равновесных положений можно воспользоваться уравнением в отклонениях (1.24) для смещенных точек равновесия и такое рассмотрение не выведет за рамки систем вида (1.22).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тушин, Александр Сергеевич, 2013 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Albu L.-L., Non-linear models: applications in economics // MPRA Paper No. 3100, posted 07. November 2007.

2. Ekota T. A Numerical Study of the Lorenz and Lorenz-Stenflo Systems //Doctoral Thesis.- Stockholm, 2005

3. Ershov S.V., Malinetskii G.G., Rusmaikin A.A. A generalized two-disk dynamo model // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam., 1989, vol. 47, pp. 251-277.

4. Fadili A., Giri F., Magri A., Dugard L., Ouadi H. Induction Motor Control in Presence of Magnetic Saturation: Speed Regulation and Power Factor Correction // IEEE International Conference on 2-4 Sept. 2004 V.lp. 75 -80.

5. Gandolfo G. Mathematical methods and models in economic dynamics.-Amsterdam: North-Holland Publ., 1971.

6. Greenhill A. G. On the motion of a top and allied problems in dynamics. Quart. J., 1877, v. XI, p. 176-194.

7. Harel D. A visual formalism for complex systems, science of computer programming 8, 1987, p 231-274.

8. Jun, W.X., Sen, L.J., Rong, C.G.: Chaos synchronization of Rikitake chaotic attractor using the passive control technique. Nonlinear Dyn. 53, 45—53 2008.

9. Khalil, H. Nonlinear Systems, 2nd ed. Prentice Hall, New York, 1996

10.Leipnik R. B., Newton T.A. Double strange attractor in rigid body motion with linear feedback control. Phys. Lett., 1981, v. 86(2), 2, p. 63-67.

11 .Li D., Lu J., Wu X., Chen G. Estimating the bounds for the Lorenz family of chaotic systems // Chaos, Solitons and Fractals. 2005.V. 23, N2. P. 529-534.

12.Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, p. 130-141.

13.Lotka A. Elements of physical biology.- Baltimore: Williams and Wilkins, 1925

14.Nakata, Y., Kuniya, T.: Global dynamics of a class of SEIRS epidemic models in aperiodic environment. J. Math. Anal. Appl. 363, 230-237, 2010

15.Neukirch S. Integrals of motion and semi-permeable surfaces to bound the amplitude of a plasma instability//Centre for Nonlinear Dynamics and its Applications, University College London November 17, 2000.

16.Newton T. A., Martin D., Leipnik R. B. A double strange attractor. Dynamical Systems Approaches to Nonlinear Problems in Systems and Circuits. 1988, pp. 117-127.

17.Petviashvili V. I. and Pokhotelov O. A. Solitary Waves in Plasmas and in the Atmosphere.: Gordon and Breach.

18.Pikovski A.S., Rabinovich M.I., Trakhtengerts V.Y. Onset of stochasticity in decay confinement of parametric instability // Sov. Phys. JETP. 1978. V. 47, N4. P. 715-719.

19.Pikovsky A.S., Rabinovich M.I., Stochastic oscillations in dissipative systems, Math. Phys. Rev. 2 (1981), 8-24.

20.Pogromsky A.Yu., Santoboni G., Nijmeijer H. An ultimate bound on the trajectories of the Lorenz system and its applications // Nonlinearity. 2003. V. 16. P.1597-1605.

21.Rossler, O.E. An Equation for Continous Chaos, Physics Letters, 57A, 1976.

22.Schwarz F., Steeb W. Symmetries and first integrals for dissipative systems

Jorn. Phys. A, Math. Ger., 17 (1984), pp. 819-823

23.Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange Attractors. Springer Series in Applied Mathematics 41; Springer, Berlin, 1982.

24.Stenflo L. Equations Describing Solitary Atmospheric Waves Physica Scripta 43 (1991), pages 599-600.

25.Stenflo L. Generalized Lorenz equations for acoustic-gravity waves in the atmosphere, Phys. Scr. 53 , 83-84.

26.Swinnerton-Dyer P. Bounds for trajectories of the Lorenz system: an

illustration of how to choose Liapunov functions // Phys. Letters A. 2001. V. 281, N2-3. P. 161-167.

27. Tiing, F.C.S., Labadin, J.: A simple deterministic model for the spread of hand, foot and mouth disease (HFMD) in Sarawak. In: 2008 Second Asia International Conferenceon Modelling & Simulation, pp. 947-952, 2008

28. Wang X., Ge C. Adaptive control and synchronization of the Newton-Leipnik systems .- L: Journal of Information and Computing Science, Vol. 3, No. 4, 2008,pp. 281-289.

29.Zeraoulia E., Sprott J. Boundedness of the Lorenz-Stenflo system. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2010.

30.Zhao X.-Q.: Dynamical Systems in Population Biology. Springer, New York, 2003.

31.Агафонов C.A., Герман А.Д., Муратова T.B. Дифференциальные уравнения. - М: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004г.

32.Арменский Е.В. Электромашинные устройства автоматики : Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности "Автоматика и телемеханика" / Е.В. Арменский, И.В. Кузина, Г.Б. Фалк - М.: Высшая школа, 1986 .— 247 с.

33.Бабиков, М.А. Элементы и устройства автоматики : Учеб.пособие для втузов / М.А. Бабиков, А.В. Косинский .— М.: Высшая школа, 1975 .— 464 с.

34.Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. -М.: Наука, 1969.

35.Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука,1984. 176 с.

36.Борисов А.В., Мамаев И.С. Адиабатический хаос в динамике твердого тела. Reg & Ch. Dyn., 1997, т. 2, №2, с. 65-78

37.Борисов A.B., Симаков H.H. Бифуркация удвоения периода в динамике твердого тела. Reg & Ch. Dyn., 1997, т. 2, №1, с. 64-75

38.Борисов A.B.,Мамаев И.С Динамика твердого тела .-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 384 стр.

39.Булгаков A.A. Частотное управление асинхронными двигателямию. -3-е перераб. изд . -М: Энергоатомиздат, 1982. - 216 с.

40.Волков Н.И., Миловзоров В.П. Электромашинные устройства автоматики : Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телемеханика" / Н. И. Волков, В. П. Миловзоров .— 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1986 .— 335 с.

41.Вольдек А. И. Электрические машины: Учебник для студентов высш. техн. учебн. заведений/ Изд. 2-е, перераб. и доп- JI: "Энергия", 1974. -840 с.

42.Вольтерра В., Математическая теория борьбы за существование. Пер. с франц. О. Н. Бондаренко. Под ред и послесловием Ю. М. Свирежева. М.: Наука, 1976. 287 с. ISBN 5-93972-312-8

43.Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с.

44.Грантмахер Ф. Р. Теория матриц.- М.: Гостехиздат, 1953

45.Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB: учебный курс.- Спб.: Питер.- 2001

46.Державин О.М., Лазарев H.A., Сидорова Е.Ю., «Исследование динамической модели энергоблока на основе теории сингулярных возмущений». /Державин О.М., Лазарев H.A., Сидорова Е.Ю. // Труды международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии" т.З.- Изд. дом МЭИ, 2010 .- С. 271-279.

47.Державин О.М., Тушин A.C. Исследование областей устойчивости нелинейных динамических систем мультипликативного типа. Международный форум информатизации "МФИ-2012": Труды

международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии". В 3 т. Т.З. - М.: Изд-во МЭИ, 2012 .- С. 33-38.

48. Державин О.М., Тушин A.C. Исследование устойчивости равновесных состояний нелинейных систем с мультипликативными связями. Международный форум информатизации "МФИ-2011": Труды международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии". В 3 т. Т.1.-М.: Изд-во МЭИ, 2011. - С. 142148.

49. Державин О.М., Тушин A.C. Некоторые свойства нелинейных динамических систем с мультипликативными связями переменных // Вестник МЭИ .- 2012 .- №5 .- С. 73-79.

50. Державин О.М., Тушин A.C. О динамике нелинейной системы с мультипликативными связями переменных. Международный форум информатизации "МФИ-2010": Труды международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии". В 3 т. Т.З. - М.: Изд-во МЭИ, 2010 . - С. 280-289.

51.Державин О.М., Тушин A.C. О подобии процессов в нелинейных мультипликативных системах. Международный научно-технический семинар «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (ХХИ;2013;Алушта): Труды / Моск. авиац. ин-т им. С. Орджоникидзе (МАИ) и др. - М. : Научтехлитиздат, 2013. -С. 75-76.

52. Державин О.М., Тушин A.C. Об исследовании устойчивости нелинейных систем мультипликативного типа // Вестник МЭИ .- 2012 .-№6 .- С. 198-203.

53.Дьяконов В. П. Maple 8 в математике, физике и образовании. - М.: COJIOH-Пресс. - 2003.

54. Дьяконов В. П. MATLAB 6/6.5 + Simulink 4/5 в математике и моделировании. Полное руководство пользователя. -М.: Солон-Р.-2002.

55.Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применения в системах оптимизации / Ю. Г. Евтушенко. - М.:Наука, 1982.-432 с.

56.Канатников А.Н. Инвариантные компакты динамических систем М. Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. - 231с.

57.Каплан Д. Л., Йоркв Дж. А. Претурбулентность: режим, наблюдаемый в течении жидкости, описываемой моделью Лоренца // Странные аттракторы: Сб.ст. /Под ред. Я. Г.Синая, Л.П.Шильникова. - М.: Мир, 1981. С. 213-238.

58.Ключев В.И. Теория электропривода. - М.: Энергоатомиздат, 1985. -560 с.

59.Колмагоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики. Вып. 5. - М., 1972

60.Кузенков O.A., Рябова Е.А.., Круподерова K.P. Математические модели процессов отбора. - H.H.: Нижегородский университет, 2012.- 183с.

61.Кузнецов С. П., Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // Динамический хаос (курс лекций). — М.: Физматлит, 2001.

62.Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаки // Странные аттракторы: Сб.ст. /Под ред. Я. Г.Синая, Л.П.Шильникова. -М.: Мир, 1981. С. 164-292.

63.Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова /Ж. Ла-Салль, С. Лефшец,.- М: Мир, 1964 .- 162 с.

64.Леонов Г.А. Об оценках аттракторов системы Лоренца // Вестник ЛГУ, 1988. Сер. 1 Вып. 1. С. 32-37

65.Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы: Сб.ст. /Под ред. Я. Г.Синая, Л.П.Шильникова. - М.: Мир, 1981. С. 88-116с.

66. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения (впервые опубликована 1892г.).- М: Гостехиздат, 1950

67.Малкин И. Г. Теория устойчивости движения /Малкин И.Г. . - 2-е изд., стереотип . - М.: Эдиториал УРСС, 2004 . - 432 с.

68.Малкин, И. Г., Теория устойчивости движения /Малкин И.Г. . - 2-е изд., стереотип . - М.: Эдиториал УРСС, 2004 . - 432 с.

69.Пиковский А. С., Рабинович М. И., Трахтенгерц В. Ю. Возникновение стохастичности при распадном ограничении параметрической неустойчивости//ЖЭТФ. 1978. Т. 74. С. 1366-1374

70.Подольский Д.С. "Разработка и исследование динамической модели параллельно работающих электромеханических систем". Дисс. на соискание канд. техн. наук. М., 2007.

71.Потапов В. И. Визуализация фазовых траекторий динамической системы Рикитаки, Нелинейная динамика Т. 6, № 2, 2010, 255-265 с.

72.Рикитаке Т. Электромагнетизм и внутреннее строение Земли. Л.: Недра, 1968. 332 с.

73.Сандлер А. С., Сарбатов P.C. Автоматическое частотное управление асинхронными двигателями. - М: Энергия, 1974. - 328 с.

74.Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. М.: Мир, 1973. 334 с.

75.Филд Р., Бургер М. Колебания и бегущие волны в химических системах /под. ред. A.M. Жаботинского. - М: «Мир», 1988.

76.Шильников Л.П., Шильников А. Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике .- М: Институт компьютерных исследований, 2003. - 248 стр.