Исследование процедур глобальной оптимизации с адаптивными стохастическими моделями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.02, кандидат физико-математических наук Городецкий, Станислав Юрьевич

• Городецкий, Станислав Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Городецкий, Станислав Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЗАДАЧИ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ПРОЦЕДУРЫ ПОИСКА С ВЕРОЯТНОСТНЫМИ МОДЕЛЯМИ ФУНКЦИЙ. . /з

1.1. Постановка задач многоэкстремальной поисковой оптимизации./

1.2. Использование вероятностных моделей функций при решении многоэкстремальных задач

1.3. Неполные стохастические модели при построении поисковых процедур. •

1.3.1. Неполные стохастические модели некоторых много экстремальных задач.

1.3.2. Построение поисковых процедур на основе неполных стохастических моделей

ГЛАВА 2. УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ И ОЦЕНКИ КОНЦЕНТРАЦИЙ ИСПЫТАНИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПРОЦЕДУР . ПОИСКА.

2.1. Исследование сходимости для одного класса процедур поиска.«

2.1.1. Класс Т-представимых процедур поиска. Классификация. Типы поведения и сходимости. Ц]

2.1.2. Условия сходимости процедур К , & и М -типов.

2.2. Асимптотическая динамика поиска для процедур со "всюду плотной" сходимостью

2.2.1. Постановка задачи.^

2.2.2. Метод аналитического исследования относительной концентрации испытаний . 5"

глава 3. процедуры безусловной многоэкстремальной оптимизации с адаптивными стохастическими моделями.

3.1. Неполные адаптивные стохастические модели для процедур поиска.65"

3.2. Процедуры глобальной оптимизации /общий случай/

3.2.1. Построение процедур поиска и исследование сходимости.

3.2.2. Аналитическое исследование относительной концентрации испытаний на кусочно-линейных и кусочно-постоянных моделях функций . . 7д

3.3. Процедуры глобальной оптимизации /случай известного минимального значения функции/ . . g$

3.3.1. Учет информации о минимальном значении функции.

3.3.2. Процедуры решения систем уравнений и неравенств

3.4. Вычислительный эксперимент.<jу

3.5. Организация останова поиска глобального экстремума ./fg

ГЛАВА 4. ПРОЦЕДУРЫ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ О ГРАНИЧЕНИЯМИ НА ОСНОВЕ АДАПТИВНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

4.1. Подходы к учету нелинейных ограничений в процедурах с адаптивными стохастическими моделями

4.2. Процедуры поиска, основанные на преобразовании задачи с ограничениями./

4.3. Процедуры поиска, основанные на стохастических моделях минимизируемой функции и функций ограничений .1^2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование процедур глобальной оптимизации с адаптивными стохастическими моделями»

Методы оптимизации функций переменных составляют важный раздел системного анализа и являются средством решения различных прикладных задач.

При проектировании динамических и статических конструкций, при выборе условий, режимов и параметров функционирования машин и механизмов, протекания процессов, при статистическом оценивании и в других важных практических задачах принятие оптимальных решений часто сводится к решению задач оптимизации. В общем случае возникающие в приложениях оптимизационные задачи являются многоэкстремальными. Причем, достоверная априорная информация об их свойствах может быть весьма незначительной, а определение значений оптимизируемых показателей - весьма сложным, требующим значительных /вычислительных/ затрат.

В настоящее время методам и разработке методов оптимизации функций И переменных посвящена обширная литература, результаты вошли во многие монографии и продолжают публиковаться в научной периодике. Большая часть результатов при этом относится к одноэкстремальному случаю.

Многоэкстремальные задачи менее исследованы как в прикладном, так и в теоретическом отношениях и их дальнейшее изучение является актуальным. Особенно это относится к зада -чам, в которых определение оптимизируемых показателей связано со значительными вычислительными затратами и,следовательно, требу -ется оптимизация самого процесса поиска оптимального решения. Проблематика, связанная с многоэкстремальными задачами, активно разрабатывается советскими и зарубежными авторами. Результаты в этой области получены в работах Д.И.Батшцева, В.П.Булатова,

Р.П.Брента, Г.С.Ганшина, Ю.Б.Гермейера, Б.А.Гришагина,Ю.М.Данилина, Ю.Г.Евтушенко, А.ГДилинскаса, В.В.Иванова, В.Я.Катковни-ка, А.Г.Коротченко, Х.Д.Кушнера, В.Б.Леонова, Г.С.Лбова, А.Б.Медведева, Г.А.Медведева, В.С.Михалевича, Н.Н.Моисеева, Й.Б.Моцкуса, Ю.И.Неймарка, Б.Т.Поляка, С.А.Пиявского, Л.А.Раст-ригина, И.М.Соболя, Р.Г.Стронгина, А.Г.Сухарева, А.А.Фельдбаума, Д.С.Хилла, В.К.Чичинадзе, Ш.Л.Черноусько, В.Р.Шалтяниса, Д.Б.Юдина и многих других авторов.

Основные результаты в области разработки процедур многоэкстремальной оптимизации связаны с использованием неформальных подходов /распространением на многоэкстремальный случай методов локального поиска, применением сглаживания и фильтрации, случайным поиском и др./, построением покрытий, оптимальными процедурами поиска и их упрощениями. Распространенным общим способом учета нелинейных ограничений является метод штрафов.

В математическом отношении построение процедур глобального поиска, экономно использующих поисковые возможности, во многом связано с созданием оптимальных процедур для различных классов оптимизируемых функций. К настоящему времени в этом направлении более разработан максиминный подход. С его позиций основные результаты получены для класса функций, удовлетворяющих условию Липшица, его аналогам и модификациям.

Всего несколько десятков публикаций посвящено другому /вероятно стному/ подходу -построению и исследованию оптимальных в среднем процедур на основе вероятностных моделей многоэкстремальных функций .В этом направлении удается получить процедуры,применимые при различных /в том числе,весьма слабых/ предположениях, что адекватно сложным прикладным задачам с малой априорной ин -формацией. Основные успехи в создании поисковых вычислительных процедур в рамках вероятностного подхода достигнуты в задачах с одной оптимизируемой переменной. Использование этих вычисли -тельных процедур в случае УЪ переменных связано с методами редукции размерности /многошаговая схема, отображения типа кривых Пеано и др./, при этом вероятностные модели исходных tl -мерных задач не используются. Непосредственное построение поиска по п переменным в рамках вероятностного подхода предполагает задание вероятностных моделей многоэкстремальных функций tv переменных. Вопрос создания таких процедур при И> I менее разработан по сравнению с одномерным случаем. Практически не исследован вопрос о специальных способах учета нелинейных ограничений в рамках вероятностного подхода. Такие способы предложены только для от -дельных классов ограничений. В исследованиях по сходимости процедур /при числе переменных большем единицы/ до настоящего времени отсутствовали результаты, позволяющие с общих позиций анализировать сходимость и ее тип для некоторых разрабатываемых процедур глобальной оптимизации. Отсутствовали также способы аналитического изучения свойств относительного сгущения точек испытаний для ряда существующих и разрабатываемых процедур.

Диссертационная работа посвящена дальнейшим ис -следованиям на основе вероятностного подхода актуальной задачи создания новых процедур глобальной оптимизации и, таким образом, выполнена в малоизученном направлении разработок в этой области. Основной целью работы является построение и исследование с единых позиций процедур решения задач глобальной оптимизации Я переменных, применимых при весьма слабых предположениях о классе минимизируемых функций и функций ограничений. При этом основное внимание уделяется указанным выше малоисследованным вопросам.

В работе использованы следующие методы и подходы. Построение процедур поиска в диссертационной работе основано на понятиях и подходах теории оптимальных решений и исследования операций, информационно-статистической теории поиска, некоторых разделах теории вероятности. При численном исследовании построенных процедур используется метод математического мо -делирования.

Ниже дается краткое изложение основных новых научных результатов, содержащихся в диссертации.

В работе выделен новый класс Г -представимых процедур поиска решения задач глобальной оптимизации. Процедуры этого класса размещают точку каждого очередного испытания задачи в максимуме специально построенного /характеристического/ функционала, зависящего от предыстории поиска. Данный класс включает в себя многие известные процедуры поиска одного и tv переменных, а также разработанные в диссертации процедуры с неполными /адаптивными/ стохастическими моделями. В одношагово-оптимальных процедурах характеристический функционал совпадает с функцией среднего или гарантированного выигрыша на шаге. Рассмотрено несколько типов сходимости к глобальному минимуму /связанных с различ -ной априорной информацией о задаче/ и установлены условия их существования для Т -представимых процедур в виде требований к характеристическому функционалу и классу функций. Тем самым установлена связь типа сходимости с типом процедуры поиска в рамках выделенного класса процедур.

-9В работе предложены конкретные неполные вероятностные описания /модели/ многоэкстремальных функций /названные адаптивными стохастическими моделями/, построенные так, что основанные на них процедуры глобальной оптимизации обладают сходностью одного из рассмотренных типов.

На основе неполных адаптивных стохастических моделей получены новые процедуры решения для задач глобальной оптимизации с нелинейными ограничениями в форме неравенств, а также задач без таких ограничений, когда область поиска имеет простой вид /на -пример, является гиперкубом/. В последнем случае рассмотрено несколько новых процедур, обладающих сходностью на различных, в том числе достаточно широких классах функций, включающих непрерывные и некоторые кусочно-непрерывные функции. Такие классы являются моделями реальных задач, в которых сложность вычислительных процессов, определяющих значение /и, быть может, другие характеристики/ многоэкстремальной функции, делает свойства этих функций плохо предсказуемыми. Показано, что сходимость построенных процедур поиска достигается за счет всюду плотного в пределе размещения точек испытаний функции в области поиска /таким же типом сходности обладают известные байесовские процедуры глобальной оптимизации/.

Для анализа поведения поисковых последовательностей "всюду плотно"сходящихся процедур введены новые понятия относительной концентрации испытаний и порядка относительной концентрации,описывающие сгущение точек испытаний в одной части области поиска по отношению к другой ее части. Предложена математическая постановка задачи исследования относительной концентрации испытаний "всюду плотно" сходящихся процедур. При некоторых предположениях о характеристическом функщонале Т -предетавимой процедуры поиска предложена и теоретически обоснована общая методика ее решения. Тем самым впервые получен способ теоретического обоснования эффективности "всюду плотно" сходящихся процедур. Эта методика применена к исследованию построенных в диссертационной работе процедур с адаптивными стохастическими моделями и к некоторым известным процедурам других авторов /на кусочно-линейных и кусочно-постоянных моделях многоэкстремальных функций одного и

И переменных/. Получены явные аналитические оценки асимптотической /при достаточно большом числе испытаний/ зависимости относительной концентрации от минимизируемой функции.

Предложен способ останова поиска по значению характеристического функционала в точке текущего испытания, гарантирующий отыскание глобального минимума. При этом предполагается известной верхняя оценка /заданного вида/ значений минимизируемой функции и радиус шаров с центрами в точках глобального минимума, содержащихся в областях притяжения этих точек.

В диссертационной работе рассмотрены также задачи глобальной оптимизации специального вида, когда известно значение минимизируемой функции в глобальном минимуме /они могут порождаться,например, задачами решения систем уравнений и неравенств/.Получены модификации рассмотренных в диссертационной работе процедур, учитывающие дополнительную известную информацию таким образ ом,что изменяется тип сходимости. Найдены достаточные условия,при которых все предельные точки последовательности точек испытаний принадлежат множеству глобальных минимумов. Построены также специальные процедуры решения систем уравнений и неравенств в исходной форме /без сведения их к оптимизационным задачам/. При этом использованы адаптивные стохастические модели левых частей систем. Получены условия сходимсяти полученных процедур только ко множеству решений.

В задаче глобальной оптимизации с нелинейными ограничениями /в форле неравенств/ предложены новые способы их учета. При этом используются вероятностные модели не только минимизируемой функции, но и функций ограничений. Построено несколько процедур,обладающих сходдаозтью на весьма широких классах задач. В отличие от общего метода штрафов условный глобальный минимум отыскивается в ходе однократного решения задачи. Получены асимптотические оценки относительной концентрации испытаний на кусочно-постоянных моделях этих задач. В частности, показано, что для нескольких из предложенных процедур расстояние между точками испытаний имеет в допустимой области более высокий порядок малости по сравнению с областью, где ограничения не выполняются, в самой допустимой области границы относительной концентрации испытаний принимают максимальные значения на множестве условных глобальных минимумов.

На защиту выносятся следующие ос -новные результаты :

I. Выделен новый класс Т -представимых процедур, включающий процедуры поиска глобального минимума по п переменным с адаптивными стохастическими моделями, а также ряд известных процедур. В его границах определено несколько подклассов, относи -тельно которых установлены условия для сходимости различных типов.

2. Для описания поведения поисковых последовательностей "всюду плотно" сходящихся процедур введено новое понятие относительной концентрации испытаний, предложен и теоретически обоснован метод получения аналитических оценок относительной концентрации для класса процедур глобального поиска.

3. Предложен новый способ учета нелинейных граничений, основанный на использовании неполных адаптивных стохастических моде -лей минимизируемых функций и функций ограничений. В соответствии с ним построены новые процедуры поиска. На защиту также выносятся методы и результаты их исследования.

4. Получены новые процедуры для поиска глобального минимума /с адаптивными стохастическими моделями/ в задачах без нелинейных ограничений, построенные и изученные на основе результатов теоретического исследования сходимости, аналитических оценок относительной концентрации испытаний и результатов экспериментального исследования на ЭВМ.

Диссертационная работа имеет следующую с труктуру и объем. Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения и занимает 148 машинописных страниц. Кроме того, в работе имеется 22 рисунка, 3 таблицы, список литературы из 150 наименований и приложение объемом 3 & машинописных страниц.

Заключение диссертации по теме «Теория систем, теория автоматического регулирования и управления, системный анализ», Городецкий, Станислав Юрьевич

Основные результаты исследований, включенных в диссертацию, опубликованы в II научных работах [10,23-32] ,из которых 4 работы выполнены без соавторов.

Примечание: Все теоретические результаты диссертационной работы /в частности, формулировки и доказательства всех теорем и лемм/, а также конкретные процедуры глобальной оптимизации с адаптивными стохастическими моделями и примеры численного счета, включенные в диссертационную работу, получены лично ее автором. В совместных работах [10,23-28] Ю.И.Неймарком осуществлялось общее руководство исследованиями, постановка задач. Ему принадлежат идея и общая форт использования неполных адаптивных стохастических моделей функций при построении процедур глобальной оптимизации без ограничений. Результаты других соавторов в диссертационной работе не используются,за исключением результата численного эксперимента по определению эффективности двух процедур оптимизации, выполненного с участием В.А.Фадеева [28] на основе црограмм оптимизации, разработанных автором диссертационной работы.

Разработанные в диссертационной работе процедуры глобальной оптимизации применялись в НИИ прикладной математики и кибернетики при Горьковском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени Н.И.Лобачевского при выполнении тем "Реадин" /с номером государственной регистрации Х-10044/ и "Резонанс РВО", а также при выполнении договоров о творческом сотрудничестве между НИИ ПМК и предприятием п/я В-8624 от 04.05.79 и 01.07.81 и, Броме того, используются в Кировском политехническом институте в учебном процессе и при выполнении НИР.

Экономический эффект от использования результатов работы составляет 72,620 тысяч рублей. Соответствующие акты и справки приведены в приложении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрены задачи поиска глобального минимума многоэкстремальных целевых функций /определенных в ограниченной замкнутой области пространства как при наличии дополнительных нелинейных ограничений /в форме неравенств/, так и без таких ограничений. Кроме того,при отсутствии ограничений рассмотрен специальный случай, определяемый тем, что известно значение целевой функции в глобальном минимуме. Этот случай,в частности, порождается задачами решения систем уравнений и неравенств.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Городецкий, Станислав Юрьевич, 1984 год

1. Алгоритмы оптимизации проектных решений /Под ред.Половинкина А.И. - М.: Энергия, 1976. - 244 с.

2. Александров Б.В., Горский Н.Д., Поляков А.О. Рекурсивные алгоритмы обработки и представления данных. В кн.:Алгоритмы и системы автоматизации исследований и проектирования. М.,1980, с.40-78.

3. Антонов Г.Е., Катковник В.Я. Фильтрация и сглаживание функций многих переменных для целей поиска глобального экстремума.-Автоматика и вычислительная техника,1970, Р 4, с.32-38.

4. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977.-343 с.

5. Бабий А.Н. Алгоритм нахождения значения глобального экстремума функций нескольких переменных с заданной точностью.- Кибернетика, 1978, Ш 5, с.52-55.

6. Базара М. ,Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. -М.: Мир, 1982. 583 с.

7. Баталов Б.В., Козенков Г.Г., Петров В.М., Соколов А.Г. О численных методах оптимального проектирования переключательных схем. Микроэлектроника, 1974, т.З, № I, с.57-67.

8. Батищев Д.И. Поисковые методы оптимального проектирования. -М.: Советское радио, 1975. 216 с.

9. Бочаров И.Н., Фельдбаум А.А. Автоматический оптимизатор для поиска минимального из нескольких минимумов /глобальный оптимизатор/. Автоматика и теле механика, 1962, т. 23, № 3, с.289--301.

10. Ю.Брежко С.П., Городецкий С.Ю., Неймарк Ю.И. Об одном алгоритме глобальной численной оптимизации. В кн.: Динамика систем. Оптимизация и адаптация. - Горький, 1979, с.90-108.

11. П.Брусов B.C. ,Пиявский С.А. Вычислительный алгоритм оптимально-163го покрытия областей плоскости,- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1971, т.II, № 2, с.304-312.

12. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации.-Новосибирск: Наука, 1977.- 161 с.

13. Вайсборд Э.М., Юдин Д.Б. Многоэкстремальная стохастическая аппроксимация.- Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1968, № 5, с.3-13.

14. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.-M.s Наука, 1980. 518 с.

15. Ганшин Г.С. Вычисление наибольшего значения функции.-Журнал вычислительной математики и математической физики, 1976,т.16, Р I, с.30-39.

16. Ганшин Г.С. Оптимальные пассивные алгоритмы вычисления наибольшего значения функции на отрезке.- Журнал вычислительной математики и математической физики,1977, т.17, № 3, с.562--571.

17. Гельфанд И.М.,Цетлин M.JI. Принцип нелокального поиска в системах автоматической оптимизации.- Доклады АН СССР , 1961, т.137, № 2, с. 295-298.

18. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций,- М.: Наука, 1971. 3 33 с.

19. Гилл Ф., Мюррей У. Численные методы условной оптимизации.-М.: Мир, 1977 290 с.

20. Гирлин С.К. Об оптимальных по точности интерполяции и минимизации функций класса Известия вузов. Математика, 1978, № 10, с.95-98.

21. Гихман Н.Н., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов." М:Наука,1965. 654 с.

22. Горбунова И.О., Неймарк Ю.И.,Плесков А.В.,Фадеев В.А. Об адаптивной поисковой оптимизации с учетом градиента.-В кн.: Динамика систем. Оптимизация и адаптация. Горький,1981,с.62-73.

23. Городецкий С.Ю. ,Неймарк Ю.й. О поисковых характеристиках алгоритма глобальной оптимизации с адаптивной стохастической моделью.- В кн.: Проблемы случайного поиска. Вып.9. Рига, 1981, с.83-105.

24. Городецкий С.Ю.,Неймарк Ю.И. Алгоритмы и программы глобальной оптимизации многоэкстремальных функций нескольких переменных. В кн.: Тезисы докладов Ш Всесоюзного семинара"Чис-ленные методы нелинейного программирования", часть I. Харьков, 1979, с.86-87.

25. Городецкий С.Ю., Неймарк Ю.И. Применение глобальной поисковой оптимизации с адаптивной стохастической моделью к отысканию абсолютного минимума функций нескольких переменных.-В кн.: Динамика систем. Оптимизация и адаптация. Горький, 1981, с.43-61.

26. Городецкий С.Ю.,Неймарк Ю.й. ,Теклина Л.Г. Выделение сигнала заданной формы методом прямой оптимизации.- В кн.: Применение методов случайного поиска в САПР , 4.2. Таллин, 1980, с.35-39.

27. Городецкий С.Ю.,Неймарк Ю.И.,Фадеев В.А. Экспериментальные данные по оптимизации многоэкстремальных функций многих переменных методом поиска с адаптивной стохастической моделью.

28. В кн.: Математическая статистика и ее приложения. Вып.7, Томск, 1981, с.33-37.

29. Городецкий С.Ю. Ускоренный отбор ближних точек с использованием инвертированных списков.- В кн.: Тезисы докладов научной конференции молодых ученых Волго-Вятского региона, посвященной 60-летию образования СССР. Горький,1983, с.91-92.

30. Городецкий С.Ю. Условная глобальная оптимизация со стохастической моделью.- В кн.: Тезисы докладов конференции молодых ученых Горьковской области, посвященной 150-летию Д.И.Менделеева. Горький,1984, с./33-/3^.

31. Гришагин В.А. Операционные характеристики некоторых алгоритмов глобального поиска.- В кн.: Проблемы случайного поиска. Вып.7. Рига, 1978 , с. 198-206.

32. Гришагин В.А. Сравнительное исследование динамики поиска двух алгоритмов глобальной оптимизации. В кн.: Динамика систем. Вып.18/3/. Горький,1979, с.76-89.

33. Гришагин В.А. Об условиях сходимости для одного класса алгоритмов глобального поиска.- В кн.: Тезисы докладов Ш Всесоюзного семинара"Численные методы нелинейного программирования"

34. Харьков: изд.ХГУ, 1979, с.82-84.

35. Гришагин В.А. Алгоритм решения многомерных многоэкстремальных штрафных задач.- В кн.: Оптимизация и математическое обеспечение САПР. Горький, 1982, с.52-65.

36. Гришагин В.А. Исследование одного класса численных методов решения многоэкстремальных задач: Автореф.диссертации на соискание ученой степени канд.физ.-мат.наук.-Горький, 1983,--16 с.

37. Громенко В.М.,Гурин JI.C. К вопросу о наилучшем алгоритме оптимизации.- Автоматика и вычислительная техника, 1970, № 6 , с.45-52.

38. Гурин JI.C., Лобач В.П. Комбинация метода Монте-Карло с методом скорейшего спуска при решении некоторых экстремальных задач.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1962, т.2, Ш>, с.499-502.

39. Данилин Ю.М. Оценка эффективности одного алгоритма отыскания абсолютного минимума.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1971, т.II, №4, с.1026-1031.

40. Данилин Ю.М. ,Пиявский С.А. Об одном алгоритме отыскания абсолютного минимума.- В кн.: Теория оптимальных решений .Вып. 2. Киев, 1967, с.25-37.

41. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения.- М.: Мир, 1974. 491 с.

42. Демьянов В.Ф.,Васильев Л.В. Не дифференцируемая оптимизация.-М.: Наука, 1981. 384 с.

43. Дягтерев Г.И. Методы оптимизации. -М.: Советское радио, 1980. 270 с.

44. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации.- М.: Наука, 1982. 432 с.

45. Емельянов С.В., Борисов В.И., Малевич А.А., Черкашин A.M. Модели и методы векторной оптимизации.- В кн.: Итоги науки и техники, Сер.Техническая кибернетика.- М.,1973, т.5,с.386-447.

46. Еремин И.И. О методе "штрафов" в выпуклом программировании.-Кибернетика, 1977, № 4, с.63-67.

47. Жилинскас А.Г. Одношаговый байесовский метод поиска экстремума функций одной переменной.- Кибернетика,1975, № I, с. 139-144.

48. Жилинскас А.Г. Одношаговый байесовский алгоритм минимизации в присутствии помех.- В кн.: Теория оптимальных решений. Вып.1. Вильнюс, 1975, с.9-22.

49. Жилинскас А.Г. Метод одномерной многоэкстремальной минимизации.- Известия АН СССР . Техническая кибернетика, 1976, № 4, с.71-74.

50. Жилинскас А.Г. Об одном упрощении одношагового байесовского алгоритма поиска минимума.- В кн.: Автоматическое оптимальное проектирование инженерных объектов и технологических процессов. Часть I. Горький, 1974, с. 71-78.

51. Жилинскас А.Г Исследование задач многомерной экстраполяциив условиях неопределенности.- В кн.: Теория оптимальных решений. Вып.4. Вильнюс, 1978, с.27-53.

52. Жилинскас А.,Каткаускайте А. Построение статистических мо-173делей функций при неполной информации,- Б кн.: Доклады УП Всесоюзной конференции по теории кодирования и передачи информации. Часть I. М.,1978, с.70-74.

53. Жилинскас А.Г. ,Каткаускайте А.И. О существовании случайной функции,согласованной с отношением условного правдоподобия.-Кибернетика, 1982, Р 4, с.80-83.

54. Жилинскас А.Г., Моцкус Й.Б. Об одном байесовом методе поиска минимума.- Автоматика и вычислительная техника,1972, № 4,с.42-44.

55. Жилинскас А.Г.,Моцкус Й.Б.,Тимофеев JI.JI. Байесов метод поиска экстремума с ограниченной памятью.- Автоматика и вычислительная техника, 1972, Р 6, с.37-42.

56. Зализняк И.ф.,Лигун А.А. Об оптимальных стратегиях поиска глобального минимума функций.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1978, т.18, № 2, с.314-321.

57. Захаров В.В. Метод интегрального сглаживания в многоэкстремальных и стохастических задачах. -Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1970, Р 4, с.19-25.

58. Зверева И.Д. Вычисление локальных экстремумов функции нескольких переменных по методу деформируемого многогранника /ФОРТРАН -подпрограмма/. В кн.: Математическое обеспечение САПР. Горький, 1983, с.63-77.

59. Иванов В.В. Об оптимальных алгоритмах минимизации функций некоторых классов.- Кибернетика, 1972, Р 4, с.81-94.

60. Иванов C.JI.,Катковник В.Я. Выбор параметров и реализация алгоритмов предельной оптимизации.-Кибернетика и вычислительная техника. Вып.56, Киев,1982, с.45-49.

61. Карманов В.Г. Математическое программирование.- М.: Наука, 1975. 272 с.

62. Катковник В.Я. Линейные оценки и стохастические задачи оптимизации.- М.: Наука, 1976. 487 с.

63. Красовский А.А., Белоглазов И.Н., Чигин Г.П. Корреляционно-экстремальные системы. М: Наука, 1979.-ft ff7с.

64. Корн Г.,Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М: Наука, 1977. 831 с.

65. Коротченко А.Г. Об одном алгоритме поиска наибольшего значения одномерных функций.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1978, т.18, IP 3, с.563-573.

66. Лбов Г.С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных.- Новосибирск: Наука, 1981. 160 с.

67. Лбов Г.С.,Трунов А.А. Об одном алгоритме поиска глобального экстремума функций. В кн.: Вычислительные системы. Вып.67. Новосибирск, 1976, с.69-76.

68. Леонов В.В. Метод покрытий для отыскания глобального максимума функций от многих переменных. В кн.: Исследования по кибернетике / Под ред.Ляпунова А.А. М.,1970, с.41-52.

69. Мангассариан 0. Нелинейное программирование.-В кн.Исследование операций.- Том Is Методологические основы и математические методы.- M.s Мир, 1981, с.267-288.

70. Медведев А.В. Непараметрические системы адаптации.- Новосибирск: Наука, 1983, 174 с.

71. Медведев Г.А.,Тарасенко В.П. Вероятностные методы исследования экстремальных систем.- М: Наука, 1967. 456 с.

72. Мелешко В.И. Поиск глобального экстремума перераспределением плотности вероятности.- Автоматика и вычислительная техника, 1971, № 5, с.29-32.

73. Метод оврагов и его использование в задачах рентгеноструктур-ного анализа. И.К.Гельфанд,Е.Б.Вул,С.П.Гинзбург,Ю.Г.Федоров,1. M.: Наука, 1966г?3с.

74. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение. Кибернетика, 1965, W I, с.45-55.

75. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение.- Кибернетика, 1965, № 2, с.85-89.

76. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П.,Столярова Е.Н. Методы оптимиза -ции. М.: Наука, 1978, - 352 с.

77. Моцкус Й.Б. Многоэкстремальные задачи в проектировании.-М.: Наука, 1967. ~ZlSc.

78. Моцкус Й.Б. О байесовских методах поиска экстремума.- Автоматика и вычислительная техника, 1972, № 3, с.53-62.

79. Моцкус Й.Б. О методах поиска экстремума с наименьшей средней погрешностью.- В кн.: Вопросы кибернетики.Проблемы случайного поиска. Вып.33. М.,1978, с.30-39.

80. Моцкус Й.Б. Достаточные условия сходимости байесовских методов к абсолютному минимуму непрерывных функций.- В кн.:Теория оптимальных решений. Вып.4. Вильнюс, 1978, с.67-88.

81. Моцкус Й.Б. Достаточные условия сходимости байесовских методов к глобальному минимуму непрерывных функций.- В кн.: Теория оптимальных решений .Вып.6. Вильнюс, 1980, с.9-17.

82. Моцкус Й.Б. Исследование простого байесого алгоритма для реше' ния многоэкстремальных задач.-Вильнюс,1979.- 8 с.-Рукопись представлена Институтом математики и кибернетики АН Литовской ССР. Деп. в ВИНИТИ 1979, W 4291-7Э.

83. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы.-М.:Наука,1978.-336 с.

84. Немировский А.С.,Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.: Наука, 1980.- 383 с.

85. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений.- М.: Иностранная литература, 1963. 219 с.

86. Певный А.Б. Об оптимальных стратегиях поиска максимума функций с ограниченной старшей производной.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1982, т.22, № 5,с. I06I-I066.

87. Петерсон И.Ф. Статистическая оптимизация посредством сглаживания.- Изв.АН СССР. Техническая кибернетика, 1969, № 2, с.73-79.

88. Пиявский С.А. Алгоритм отыскания абсолютного минимума функций. В кн.: Теория оптимальных решений. Вып.2. Киев,1967, с.13-24.

89. Пиявский С.А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстремума функций.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1972, № 4, с. 888-896.

90. Додиновский Б.В.,Ногин В.Д. Парето -оптимальные решения • многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.- 256 с.

91. Полая Э. Численные методы оптимизации.- М.:Наука,1974. -376 с.

92. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию.- М. :Наука, 1983.-384с.

93. Поляк Б.Т. Методы минимизации при наличии ограничений.

94. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ.- М., 1974, т.12, с.167-184.

95. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремаль- 177ных задачах.- М.: Наука, 1975. 319 с.

96. Пшеничный Б.Н.,Марченко Д.И. Об одном подходе к нахождению глобального минимума.- В кн.: Теория оптимальных решений. Киев, 1962, W 2, с.3-12.

97. Ю1.Растригин JI.A. Статистические методы поиска.- М.:Наука, 1968. 376 с.

98. Растригин Л.А.,Рипа К.К. Автоматная, теория случайного поиска.- Рига: Зинатне, 1973. -34Zc.

99. Соболь И.М. Многомерные. квадратурные формулы и функции Хаара.- М.:Наука, 1969. 288 с.

100. Соболь И.М.,Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями.- М.: Наука, 1981.- НО с.

101. Соболь И.М.,Статников Р.Б. ЛП-поиск и задачи оптимального конструирования.- В кн.: Проблемы случайного поиска. Вып.1. Рига, 1975, с.117-135.

102. Юб.Стронгин Р.Г. Информационный метод многоэкстремальной минимизации при измерениях с помехами.- Изв.АН СССР, Техническая кибернетика, 1969, № 6, с.118-126.

103. Ю7.Стронгин Р.Г. Выбор испытаний и условие остановки в одномерном глобальном поиске.- Известия ВУЗов. Радиофизика, 1971, т.14, № 3, с.432-440.

104. Стронгин Р.Г. Вероятностный подход к задаче определения корня функции.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1972, т.12, № I, с.3-13.

105. Ю9.Стронгин Р.Г. Информационно-статистическая теория поиска экстремума функций.- Известия ВУЗов. Радиофизика, 1972, т. 15, № 7, с.997-1005.

106. НО.Стронгин Р.Г. Информационно-статистический метод решения систем нелинейных уравнений.- В кн.: Проблемы случайного поиска, Вып.4. Рига, 1975, с.54-65.

107. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных зада -чах / информационно-статистические алгоритмы/.-М. :Наука,1978. 239 с.

108. Стронгин Р.Г. ,Роготнева Е.А. Минимизация многоэкстремальных функций, имеющих разрыв.- В кн.: Тез.докл.Ш Всес.семинара "Численные методы нелинейного программирования". Харьков,1979, с.17-19.

109. Стронгин Р.Г. Простой алгоритм поиска глобального экстремума функций нескольких переменных и его использование в задаче аппроксимации функций. Изв.ВУЗов, Радиофизика, 1972, т.15,№ 7, с.1077-1084.

110. Сухарев А.Г. Об оптимальных стратегиях поиска экстремума.-Журнал вычислительной математики и математической физики, 1976, т.16, № I, с.20-30.

111. Сухарев А.Г. Наилучшие стратегии последовательного поиска экстремума.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1972, т.12, № I, с.35-50.

112. Сухарев А.Г. Оптимальный поиск экстремума.- М.:изд-во Московского университета, 1975, 100 с.

113. Сухарев А.Г. Оптимальный поиск корня функции, удовлетворяющей условию Липшица.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1976, т.16, № I, с.20-30.

114. Сухарев А.Г. Построение оптимального на один шаг стохасти112.1. ИЗ.ческого алгоритма поиска экстремума,- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1981, т.21, IP 6, с. I385-I40I.

115. Сухарев А.Г. Глобальный экстремум и методы его отыскания.-В кн.: Математические методы в исследовании операций. М., 1981, с .4-37.

116. Тарасова В.П. Оптимальные стратегии поиска области наибольших значений для некоторого класса функций.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1978, т. 18,1. Р 4, с.886-896.

117. Тарасова В.П. Оптимальные алгоритмы поиска отрезка наибольших значений для некоторого класса функций.- В кн.: Методы оптимизации и их применения.- Новосибирск: Наука, 1982, с.112-133.

118. Тимонов JI.H. Алгоритмы поиска глобального экстремума.-Известия ВУЗов АН СССР.Техническая кибернетика, 1977, Ш 3, с.53-60.

119. Трауб Дк., Вожьняковский X. Общая теория оптимальный алгоритмов.- М.: Мир, 1983.- с.

120. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума.- М.: Наука, 1967.267 с.

121. Устюжанинов В.Г. О существовании и эффективности оптимальных алгоритмов случайного поиска.- В кн.: Проблемы случайного поиска. Вып.9. Рига, 1981, с.9-29.

122. Фадеев В.А. Одномерный алгоритм глобального поиска с учетом производной.- В кн.: Тезисы докладов научной конференции молодых ученых Волго-Вятского региона,посвященной 60-ти летию образования СССР. Горький, 1983, с.92-93.

123. Федоров В.В. Численные методы максимина.- М. :Наука,1979.-m- 278 с.

124. Федорова И.Б. Поиск глобального оптимума в многоэкстремальных задачах.- Б кн.: Теория оптимальных решений .Вып.4. Вильнюс, 1978, с.93-100.

125. Фиакко А.,Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование .- М.: Мир,1973. 240 с.

126. Хилл Дж. С.,Гибсон Дк.И. Способ автоматической оптимизации многоэкстремальных функций.- В кн.: Теория самонастраивающихся систем управления. М., 1969, с.309-319.

127. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.-М.: Мир, 1975, 534 с.

128. Цетлин М.Л. Исследование по теории автоматов и моделированию биологических систем,- М.:Наука, 1969. 316 с.

129. Черноусько Ф.Л. ,Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска,- М.: Наука, 1978. 270 с.

130. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации.- М.:Наука, 1983. 256 с.

131. Шалтянис В.Р. Об одном методе многоэкстремальной оптимизации.- Автоматика и вычислительная техника, 1971, № 3,с.33-38.

132. Экстремальная радионавигация. / В.И.Алексеев,A.M.Кориков, Р.И.Полонников,В.П.Тарасенко.- М.:Наука, 1978.- 279 с.

133. Эльстер К.-Х., Гроссман X.Решение нелинейных оптимизационных задач с помощью штрафных и барьерных функций.- В кн.: Применение исследования операций в экономике. М.,1979,с.95-161.

134. Юдин Д.Б. Методы количественного анализа сложных систем,I.-Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1965, № 1,с.3-13.

135. Curve in the Ptcsence oj ttoise- Transactionsoj the AS ME, Basic Епоя-пеегопа

136. J9№, v. i6, Л /, A 97- Ш ^

137. Sckayen I. p. Stochastic, inteipolatine^ juneting-appUcations in optimization. -3. Inst. tUath. ooncc OLppBy J9ZO, v. Л67 jv p. 95 /04.