Исследование предсказуемости среднемесячных аномалий приземной температуры в северном полушарии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.30, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Елена Сергеевна

• Кузнецова, Елена Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецова, Елена Сергеевна

Введение

1 Представление метеорологических полей посредством эмпирических ортогональных составляющих

1.1 Теоретические основы метода эмпирических ортогональных составляющих

1.2 Описание исходных данных

1.3 Аппроксимация полей среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии методом эмпирических ортогональных составляющих

1.4 Вейвлет-анализ временных последовательностей главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии

2 Основы математической теории динамических систем

2.1 Динамическая система и её математическая модель. Основные понятия теории динамических систем

2.2 Основная классификация динамических систем

2.3 Понятие аттрактора динамической системы

2.4 Детерминированный хаос. Сценарии перехода к хаосу

2.5 Некоторые способы определения размерности аттрактора

2.6 Временные метеорологические последовательности, их аттракторы и предел предсказуемости

3 Применение методов теории динамических систем к анализу свойств временных метеорологических последовательностей

4 Исследование фрактальных свойств временных метеорологических рядов методом нормированного размаха

5 Статистическое моделирование метеорологических процессов и исследование их предсказуемости

5.1 Линейные статистические модели «сигнал плюс шум»

5.2 Оценка прогнозируемости среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии на основе модели «сигнал плюс шум»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование предсказуемости среднемесячных аномалий приземной температуры в северном полушарии»

Не вызывает сомнений тот факт, что успехи метеорологии оцениваются прежде всего успехами, достигнутыми в области прогноза погоды с различной заблаговременностью. Проблема прогноза погоды является одной из важнейших проблем, имеющих большое научное и практическое значение. Главная трудность, возникающая при её решении, например, с помощью существующих моделей общей циркуляции атмосферы связана прежде всего с проблемой детерминистской предсказуемости состояния атмосферы, из-за которой предел предсказуемости является резко ограниченным и, по мнению большинства специалистов, составляет примерно одну - две недели [1].

Появление замечательных работ Лоренца [2, 3] в начале 60-х гг., инициированных как работы по физическому моделированию макротурбулентности в системе общей циркуляции атмосферы, указало на фундаментальную причину непредсказуемости: неустойчивость всех атмосферных процессов. Анализируя игрушечные (toy-model) атмосферные модели, Лоренц обнаружил феномен хаотического поведения неустойчивых фазовых траекторий в нелинейной, диссипативной динамической системе, известный сейчас как странный аттрактор. Эта работа оказала большое влияние на саму теорию динамических систем, но еще долгое время в разработке гидродинамических моделей сохранялась идеология, основанная на «линейном» мышлении, где основные причины непредсказуемости объяснялись, главным образом, внешними воздействиями на атмосферу [4]. И только с конца 70-х гг. началось развитие ди-намико-стохастического подхода [5, 6, 7] к проблеме долгосрочного прогноза погоды, опиравшегося на современную теорию динамического хаоса.

Изучение предсказуемости крупномасштабных процессов в атмосфере методами, основанными на гидродинамическом моделировании, требует больших вычислительных усилий, связанных с огромными затратами машинного времени, поэтому к решению проблемы предсказуемости следует привлекать также другие методы, в частности статистические, основанные на исследовании поведения климатической системы и описывающих её метеорологических последовательностей. Последние могут формироваться как непосредственно по эмпирическим данным, характеризующим атмосферу в локальных точках пространства, так и посредством усреднения «срочных» данных на некоторых временных интервалах (сутки, пентады, декады, месяцы, сезоны, годы) или по некоторому региону, так и с помощью аналитической аппроксимации геофизических полей рядами по ортогональным базисным функциям. В этом случае временные последовательности формируются из коэффициентов разложения (иначе из главных компонентов), являющихся случайными функциями времени.

Очевидно, что для разработки оптимальной статистической прогностической модели некоторого временного ряда, прежде всего, необходимо провести всесторонний анализ особенностей этого ряда и получить количественные характеристики этих особенностей. В качестве математического инструментария, с помощью которого выполняется анализ свойств временных рядов, можно применить комплекс различных методов, таких, как: цифровой спектральный анализ, Фурье-анализ, метод «гусеницы», R/S-анализ по Харсту, вейвлет-анализ, а также анализ с помощью методов качественной теории динамических систем. В связи со сказанным становится ясным, что умение извлечь объективную информацию о закономерностях, которые несет временной ряд, представляет собой сложную задачу.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании предсказуемости полей аномалий приземной температуры воздуха с использованием современных методов, что позволит улучшить качество долгосрочных прогнозов погоды.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Синтезировать временные последовательности коэффициентов разложения полей среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии с помощью метода эмпирических ортогональных составляющих и выявить информационное содержание этих разложений.

2. Проанализировать внутреннюю структуру рядов главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии.

3. Определить размерности зональных аттракторов динамических систем, генерирующих временные ряды главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии.

4. Проанализировать предсказуемость полей среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии на основе методов теории динамических систем.

5. Провести анализ фрактальных свойств временных рядов главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии.

6. Оценить возможности статистического прогнозирования среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии.

Для решения поставленных задач использовались современные методы статистического анализа, такие как методы теории динамических систем, статистическое моделирование, вейвлет-анализ, метод нормированного размаха, а также метод естественных ортогональных функций.

Научная новизна. Новые результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем:

1. На основе синтеза различных современных методов (методы теории динамических систем, вейвлет-анализ, статистическое моделирование и др.) предложена методика анализа предсказуемости атмосферных процессов.

2. Впервые с помощью методов качественной теории динамических систем обнаружены зональные аттракторы динамических систем, генерирующих временные ряды трех первых главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии; оценены размерности выявленных аттракторов.

3. Впервые методом нормированного размаха выявлены фрактальные свойства временных последовательностей главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии.

4. Впервые исследована предсказуемость временных рядов трех первых главных компонентов среднемесячных аномалий на основе методов качественной теории динамических систем.

Диссертационная работа выполнялась на кафедре метеорологических прогнозов РГГМУ. Основные результаты исследования докладывались на: научно-практической конференции «Современные математические методы и новые информационные технологии при решении навигационных и военно-прикладных задач» (2000 г.); итоговой сессии ученого совета РГГМУ (2003 г.); конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Изменение климата и окружающая среда» (2005 г.).

По теме диссертации опубликовано 5 работ [9 - 13], материалы использованы в научно-исследовательских отчетах кафедры метеорологических прогнозов РГГМУ.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников и приложений.

Первая глава посвящена представлению метеорологических полей посредством эмпирических ортогональных составляющих, а также всестороннему анализу синтезированных рядов главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии.

Вторая глава содержит теоретические основы качественной теории динамических систем. Дается общее определение динамических систем, их основная классификация; вводится понятие аттрактора динамической системы, как её основного свойства, а таюке описываются основные свойства странного аттрактора. Определяется понятие детерминированного хаоса, возникающего в динамических системах, обладающих свойствами открытости (по отношению к обмену энергией), сильной нелинейности и неустойчивости, а также вводятся критерии обнаружения детерминированного хаоса в системе. Постулируются гипотезы, необходимые для применения результатов качественной теории динамических систем к атмосфере. Приводятся некоторые способы определения размерности аттракторов динамических систем, в частности рассматриваются временные метеорологические последовательности и их аттракторы. Показано, что, используя временные ряды наблюдений, можно вычислить предел предсказуемости элементов на аттракторе с помощью суммы положительных показателей Ляпунова, как определяющих скорость разбега-ния траекторий динамической системы.

В третьей главе рассматривается применение методов теории динамических систем к анализу свойств временных метеорологических последовательностей.

В четвертой главе проведено исследование фрактальных свойств временных рядов главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии методом нормированного размаха.

В пятой главе приведены результаты оценки прогнозирования среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии на основе синтезированных моделей главных компонентов.

В заключении приведены основные результаты работы и сформулированы выводы.

Основные положения, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Методика оценки предсказуемости на основе всестороннего анализа временных рядов с использованием методов теории динамических систем.

2. Численные оценки фрактальных характеристик и размерности аттракторов динамических систем, генерирующих зональные временные ряды среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии.

3. Предел предсказуемости, как характеристика рассматриваемого процесса, может достигать десятков месяцев.

4. Построенная авторегрессионная модель главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии позволяет давать прогноз с максимальным упреждением до нескольких месяцев.

5. Показано, что использование недетерминированных базисных функций для аналитического представления совокупности полей среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии целесообразно.

Обоснованность и достоверность результатов полученных в диссертационной работе обусловлена аргументированностью исходных положений, логической непротиворечивостью рассуждений, корректным использованием современного математического аппарата и согласованностью полученных результатов и выводов с некоторыми частными результатами других авторов, фундаментальными теоретическими положениями и имеющимся эмпирическим материалом.

Теоретическая и практическая значимость работы связана с тем, что впервые были использованы поля среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии за 1899 - 2002 гг. для анализа свойств временных последовательностей главных компонентов при помощи широкого арсенала методов, таких как: методы качественной теории динамических систем, вейвлет-анализ, метод нормированного размаха. На основе разнообразных статистических методов и методов теории динамических систем создана методика анализа предела предсказуемости. Полученные с помощью описанных методов качественные и количественные характеристики указанных временных рядов позволят разработать их оптимальные нелинейные модели, использование которых поможет улучшить качество среднесрочных и долгосрочных прогнозов, а также увеличить их заблаговременность.

Результаты диссертации могут быть использованы в научно-исследовательских институтах и оперативных подразделениях Росгидромета при разработке методов долгосрочных прогнозов погоды, при исследовании климата Земли, а также в учебном процессе в лекционных курсах «Методы статистической обработки гидрометеорологической информации», «Долгосрочные прогнозы погоды», «Климатология».

Заключение диссертации по теме «Метеорология, климатология, агрометеорология», Кузнецова, Елена Сергеевна

Заключение

Цель диссертационной работы заключалась в исследовании предсказуемости полей аномалий приземной температуры воздуха с использованием современных методов анализа, таких как: методы качественной теории динамических систем, статистическое моделирование, вейвлет-анализ, метод нормированного размаха. Предложенная методика оценки предсказуемости временных рядов гидрометеорологических величин, основанная на всестороннем анализе временных последовательностей, позволит разработать оптимальные нелинейные модели исследуемых процессов, использование которых повысит качество среднесрочных и долгосрочных прогнозов, а также увеличит их за-благовременность.

Наиболее важные результаты, полученные в настоящей работе, заключаются в следующем:

1. Для аналитического представления совокупности полей среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии целесообразно применять метод ЭОС, поскольку в сравнении с любой другой системой детерминированных ортогональных базисных функций при фиксированном числе членов ряда норма ошибки, усредненная по ансамблю выборочной совокупности полей, минимальна.

2. Оценка точности сходимости разложений полей среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии показала, что для описания примерно 90% общей дисперсии процесса необходимо от 5 (околополюсная область) до 17 главных компонентов (тропическая зона). Ограничиваясь рассмотрением трех первых главных компонентов, можно исключить мелкомасштабные процессы, выдвинув на главный план роль крупномасштабных атмосферных процессов.

3. Выявлен положительный тренд в изменении интенсивности естественных колебаний, характеризуемых первой главной компонентой среднемесячных аномалий приземной температуры на 15 с.ш. и 20 с.ш. (около о

0.03 С/год), на остальных рассмотренных широтах значимый тренд не обнаружен.

4. Сравнительный анализ временного хода осреднённых по 11-летнему периоду трех первых главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в пределах каждой широты Северного полушария, проведённый для зимнего и летнего сезонов, позволил увидеть, в целом, сходную картину в поведении главных компонентов, однако кривые хода в летний период менее плавные и включают короткопериодические колебания большего размаха, чем зимой.

5. Вейвлет-анализ временных последовательностей главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии показал, что практически на всех рассмотренных широтах для всех главных компонентов присутствуют годовые и двухлетние колебания, а также колебания с периодами около 10 лет (от 9 до 13 лет). В средних широтах спектр волн шире что, скорее всего, связано с большей циклонической активностью, чем в высоких широтах. Также показано, что спектр значимых колебаний уменьшается с ростом широты.

6. Получена оценка размерностей зональных аттракторов динамических систем, генерирующих временные ряды главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии: фрактальная размерность аттракторов лежит в интервале от 0.1 до 0.4 при размерности псевдофазового пространства m = 40 и растет с увеличением широты.

7. Оценки предела предсказуемости трех первых главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии на аттракторе показали, что предел предсказуемости находится в интервале от 18 до 40 месяцев. Необходимо отметить, что вычисленный таким образом предел предсказуемости по своему смыслу характеризует внутреннее свойство динамической системы, связанное с ее неустойчивостью, затуханием корреляций и свойством перемешивания.

8. Анализ фрактальных свойств временных рядов главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии показал, что указанные ряды являются трендоустойчивыми с относительно низким уровнем зашумленности, поэтому можно ожидать сохранение наблюдаемой в них тенденции.

9. Получена оценка временных интервалов, на которых рассмотренным процессам свойственны персистентные и антиперсистентные характеристики. В зависимости от широты, среднемесячные аномалии приземной температуры, определяемые главными компонентами, время жизни которых менее чем 11-48 лет для первой главной компоненты, 21 - 60 лет для второй главной компоненты и 18-50 лет для третьей главной компоненты, будут с большей вероятностью ослабляться, чем усиливаться.

10. Показано, что структурная модель «сигнал плюс» шум позволяет давать прогноз временных климатических рядов, при этом сигнал представляет собой АР( 1) модель, оптимальную по критерию Парзена. Результаты проведенного статистического моделирования свидетельствуют о том, что в тропиках сигнал может быть предсказан с упреждением от одного до четырех месяцев, а на широтах 55 с.ш. - 75° с.ш не более чем на один месяц. Временные последовательности вторых и третьих главных компонентов среднемесячных аномалий приземной температуры в Северном полушарии слабо коррелированны и практически непредсказуемы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецова, Елена Сергеевна, 2006 год

1. Мусаелян, Ш.А. Проблемы предсказуемости состояния атмосферы и гидродинамический долгосрочный прогноз погоды Текст. / Ш.А. Мусаелян // Л.: Гидрометеоиздат. 1984. - 184 с.

2. Лоренц, Э. Предсказуемость климата Текст. / Э. Лоренц //В кн.: Физические теории климата и его моделирования Л.: Гидрометеоиздат - 1977. -С. 137-141.

3. Лоренц, Э. Детерминированное непериодическое течение Текст. / Э. Лоренц // В кн.: Странные аттракторы М.: Мир - 1981 - С.88 - 117.

4. Шукла, Дж. Предсказуемость Текст. / Дж. Шукла // В кн. Динамика погоды Л.: Гидрометеоиздат. - 1988. - 421 с.

5. Сонечкин, Д.М. Динамико-стохастический подход к проблеме долгосрочного прогноза (математический аппарат и иллюстрирующие примеры) Текст. / Д.М. Сонечкин // Труды Гидрометцентра СССР. 1982. - Вып.243. -С. 3-78.

6. Сонечкин, Д.М. Стохастичность в моделях общей циркуляции атмосферы Текст. / Д.М. Сонечкин // Л.: Гидрометеоиздат. 1984. - 280 с.

7. Сонечкин, Д.М. Некоторые вопросы исследования и моделирования долгопериодных колебаний общей циркуляции атмосферы Текст. / Д.М. Сонечкин // Труды Гидрометцентра СССР. 1987. - Вып.278. - С. 3 - 27.

8. Сонечкин, Д.М., Изотов, П.Ю. Эксперименты по месячному прогнозу хода погоды в течение месяца и новые данные о синхронизации планетарных волн Текст. / Д.М. Сонечкин, П.Ю. Изотов // Труды Гидрометцентра РФ. 2000. - Вып.ЗЗ 1. - С. 85-96.

9. Багров, Н.А. Аналитическое представление полей Текст. / Н.А. Багров // Труды ЦИП. 1958. - Вып.64. - С. 3 - 25.

10. Багров, Н.А. Аналитическое представление последовательности метеорологических полей посредством естественных ортогональных составляющих Текст. / Н.А. Багров // Труды ЦИП. 1959. - Вып.74. - С. 3 - 24.

11. Багров, Н.А. Разложение метеорологических полей по естественным ортогональным составляющим Текст. / Н.А. Багров // Труды ЦИП. 1960. -Вып. 106. - С. 133 - 138.

12. Багров, Н.А., Стеблянко, В.А. О точности аналитического представления метеорологических полей Текст. / Н.А. Багров, В.А. Стеблянко // Труды ГМЦ СССР. 1968. - Вып.28. - С. 30 - 40.

13. Мещерская, А.В., Руховец, Л.В., Юдин, М.И., Яковлева, Н.И. Естественные составляющие метеорологических полей Текст. / А.В. Мещерская и др. Л.: Гидрометеоиздат. - 1970. - 199 с.

14. Юдин, М.И. Физико-статистический метод долгосрочных прогнозов погоды Текст. / М.И. Юдин // Л.: Гидрометеоиздат. 1968. - 28 с.

15. Елисейкин, С.А., Климов, С.А., Корсиков, А.А. Аналитическое описание климатических полей метеопараметров в слое 0 100 км Текст. / С.А. Елисейкин, С.А. Климов, А.А. Корсиков // Труды ВНИИГМИ-МЦД. - 1990. -Вып.153. - С. 126-131.

16. Калмыкова, Н.М. Аналитическое представление полей метеорологических элементов Текст. / Н.М. Калмыкова // Труды ЦИП. 1956. - Вып.46. -С. 79-83.

17. Морской, Г.И., Руденко, И.Т. Практический гармонический анализ на сфере Текст. / Г.И. Морской, И.Т. Руденко // Труды ЦИП. 1963. -Вып.123. - С. 18-33.

18. Обухов, A.M. О статистически ортогональных разложениях эмпирических функций Текст. / A.M. Обухов // Известия АН СССР. Сер. геофиз. -1960. -№3,- С. 432-439.

19. Попова, Т.В. Представление трехмерных метеорологических полей по полиномам Чебышева Текст. / Т.В. Попова // Труды ГМЦ СССР. 1977. -Вып.170. - С. 13-14.

20. Репинская, Р.П. Базисные функции и статистически оптимальные дифференциальные операторы Текст. / Р.П.Репинская // Межвуз. научнометодич. сб.: Новые технологии в образовательном процессе. СПб.: изд. ВВМУ. - 1997. - Вып.2. - С. 89 - 99.

21. Фортус, М.И. Метод эмпирических ортогональных функций и его применение в метеорологии Текст. / М.И. Фортус // Метеорология и гидрология.- 1980.-№4.-С. 113-119.

22. Сонечкин, Д.М. Об определении естественных составляющих метеорологических полей Текст. / Д.М. Сонечкин // Метеорология и гидрология. 1971.-№3.-С. 22-29.

23. Штейнбок, Д.Б., Мелконян, Г.А. Об одном способе разложения метеорологических полей в двойные ряды Фурье Текст. / Д.Б. Штейнбок, Г.А. Мелконян // Труды ГМЦ СССР. 1976. - Вып.177. - С. 104 - 109.

24. Рубинштейн, Е.С. О применении в климатологии метода разложения температурных полей по ортогональным функциям для исследования структуры полей Текст. / Е.С. Рубинштейн // Труды ГГО. 1970. - Вып.269. -С. 74- 133.

25. Дзердзеевский, Б.Л. Циркуляционные механизмы в атмосфере северного полушария в XX столетии Текст. / Б.Л. Дзердзеевский // Материалыметеорологических исследований. Междуведомственный геофизический комитет при президиуме АН СССР. М. - 1968. - 240 с.

26. Астафьева, Н.М., Покровская, Н.В., Шарков, Е.А. Иерархическая структура глобального тропического циклогенеза Текст. / Н.М. Астафьева, Н.В.Покровская, Е.А.Шарков // Исследования Земли из космоса. 1994. -№2.-С 14-23.

27. Астафьева, Н.М., Сонечкин, Д.М. Мультимасштабный анализ индекса Южного колебания Текст. / Н.М. Астафьева, Д.М. Сонечкин // ДАН. -1995. Т.344. - №4. - С. 539 - 542.

28. Даценко, Н.М., Сонечкин, Д.М. Вейвлетный анализ временных рядов и динамика атмосферы Текст. / Н.М. Даценко, Д.М. Сонечкин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. - №1. - С. 9 - 14.

29. Сонечкин, Д.М. О детализации объективного анализа метеорологических полей Текст. / Д.М. Сонечкин // Труды ГМЦ РФ. 2000. - Вып.331. -С. 97- 105.

30. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения Текст. / Н.М. Астафьева //Успехи физических наук. 1996. - Т.166 -№11. -с.1145 - 1170.

31. Десять лекций по вейвлетам Текст. / Под ред. А.П. Петухова. // Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. - 464с. - (Пер. с англ. Е.В. Мищенко).

32. Christopher Torrence, Gilbert P. Compo. A practical guide to wavelet analysis Text. / Chr. Torrence, Gilbert P. Compo //American Meteorological Society.- 1988.-V.79-№1.-P.61 -78.

33. Анищенко, B.C. Динамические системы Текст. / B.C. Анищенко //Соровский образовательный журнал. 1997. - № 11. - С.77 - 84.

34. Дымников, В.П., Филатов, А.Н. Основы математической теории климата Текст. / В.П. Дымников, А.Н. Филатов // М.: ВИНИТИ. 1994. -254с.

35. Дымников, В.П., Филатов, А.Н. Устойчивость крупномасштабных атмосферных процессов Текст. / В.П. Дымников, А.Н. Филатов // Л.: Гидрометеоиздат. 1990. - 238с.

36. Шустер, Г. Детерминированный хаос. Введение Текст. / Г. Шустер //М.: Мир.- 1988.-240 с.

37. Дымников, В.П., Казанцев, Е.В., Харин, В.В. Характеристики устойчивости и время жизни режимов атмосферной циркуляции Текст. / В.П. Дымников, Е.В. Казанцев, В.В. Харин // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1990 - Т.26 - №4. - С.339 - 349.

38. Хакен, Г. Синергетика: Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах Текст. / Г. Хакен // М.: Мир. 1985. -423с.

39. Функциональный анализ и вычислительная математика Текст. /Под ред. А.Д. Горбунова// М.: Мир. 1969. - 447с. - (Пер. с нем. И.Г. Нидеккер).

40. Филатов, А.Н. Долгосрочный прогноз погоды и устойчивость и предсказуемость атмосферных процессов Текст. / А.Н. Филатов // В кн.: Шестьдесят лет центру гидрометеорологических прогнозов. Л.: Гидрометеоиздат. - 1989. - С.191 - 207.

41. Takens, F. Detecting strange attractors in turbulence Text. / F. Takens // Lect. Notes in Match. Berlin-Heidelberg-N.Y.: Springer. 1981. - № 898. - Pp. 366-381.

42. Сычов, B.B. Вычисление стохастических характеристик по физиологическим данным Текст. / В.В. Сычов // http:impb.psn.ru/~sychyov/html/fractan.shtml.

43. Виноградская, А.А., Зимин, Н.Е., Сонечкин, Д.М. Предельные возможности долгосрочного прогноза погоды по архивным данным Текст. / А.А. Виноградская, Н.Е. Зимин, Д.М. Сонечкин // Метеорология и гидрология. -1990.-№10.-С. 5-12.

44. Бекряев, Р.В. Особенности структуры климатического аттрактора Текст. / Р.В. Бекряев // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1991. -Т. 27.-№10.-С. 1130- 1139.

45. Grassberger, P., Procaccia, J. Characterization of Strange Attractors Text. / P. Grassberg, J. Procaccia // Phys. Rev. Lett. 1983. - V.50. - №5. - Pp. 346-349.

46. Фрактальные свойства метеорологических процессов и полей. Обзорная информация Текст. // Сер.37.21. Метеорология. - 1989. - Вып.6. -Обнинск. - 60 с.

47. Репинская, Р.П. Методы исследования фрактальных свойств временных метеорологических последовательностей Текст. / Р.П. Репинская // Научно-методич. сб.: Новые технологии в образовательном процессе. СПб., изд.: ВМИ. -2000. -Вып.9. -С. 61- 74.

48. Сонечкин Д.М. Об оценке числа степеней свободы крупномасштабных атмосферных процессов Текст. / Д.М. Сонечкин // Труды Гидрометцентра СССР. 1987. - Вып.290. - С. 27 - 39.

49. Федер, Е. Фракталы Текст. / Е. Федер // М.: Мир 1991. - 264 с.

50. Harst, H. Long-term storage capacity of reservoirs Text. / H. Harst // Transactions of American Society of Civil Engineers. 1951. - V. 116. - P.770 -808.

51. Ширяев, A.H. Основы стохастической финансовой математики. T.l Текст. / A.H. Ширяев // М.: ФАЗИС. 1998. - 489с.

52. Кучмент, Л.С., Поюровский, Л.В. Эффект Херста в многолетних колебаниях уровня Каспийского моря Текст. / Л.С. Кучмент, Л.В. Поюровский // Метеорология и гидрология. 1998. - №5. - С.73 - 79.

53. Найденов, В.И., Кожевникова И.А. Гидрофизический механизм явлений Харста Текст. / В.И. Найденов, И.А.Кожевникова // ДАН. 2001. -Т.373. -№1. - С. 45-47.

54. Кликушин, Ю.Н. Метод фрактальной классификации сложных сигналов Текст. / Ю.Н. Кликушин // Журнал радиоэлектроники. 2000. - №4. -http: //j re. ср 1 i re .ru/j re/аргОО/1 /text. html.

55. Бокс, Дж., Дженкинс, Г. Анализ временных рядов: прогноз и управление Текст. / Дж. Бокс, Г. Дженкинс // М.: Мир. 1974. - Вып.1. - 408 с.

56. Поляк, И.И. Методы анализа случайных процессов и полей в климатологии Текст. / И.И. Поляк // Л.: Гидрометеоиздат. 1979. - 255 с.

57. Поляк, И.И. Многомерные статистические модели климата Текст. / И.И. Поляк // Л.: Гидрометеоиздат. 1989. - 184 с.

58. Чувашина И.Е. О статистической предсказуемости в долгосрочных метеорологических прогнозах Текст. / И.Е. Чувашина // Метеорология и гидрология. 1990. - №8. - с.46 - 54.

59. Привальский, В.Е. Климатическая изменчивость (стохастические модели, предсказуемость, спектры) Текст. / В.Е. Привальский // М.: Наука -1985,- 131с.

60. Привальский, В.Е. Статистическая предсказуемость и временной спектр средней годовой температуры воздуха в северном полушарии Текст. / В.Е. Привальский // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1981, т. 17, №10, с. 1011-1021.

61. Привальский, В.Е. О статистической предсказуемости крупномасштабных гидрометеорологических процессов Текст. / В.Е. Привальский // ФАО. 1977. - Т.13. - №4. - С. 371 - 377.

62. Parzen Е. Time series analysis for models of signal plus white noise. Spectral analysis of time series Text. / E. Parzen // Ed. B. Harris John Wiley and Sons. INC - № 4 - L, S. Dep. Univ. Wisconsin - Madison. - 1966. - P. 233-258.

63. Поляк И.И. Статистическая предсказуемость климатических временных рядов Текст. / И.И. Поляк // Метеорология и гидрология. 1986. -№6.-С. 11-20.

64. Репинская, Р.П., Чернецкий, Р.Е. О предсказуемости волновых мод в полях среднемесячной температуры воздуха над Северным полушарием и тенденциях их эволюции Текст. / Р.П. Репинская, Р.Е. Чернецкий // Труды ВНИИГМИ-МЦД. 2000. - Вып. 167. - С. 89 - 94.

65. Репинская Р.П. Оценка статистической предсказуемости волновых мод месячных сумм осадков в Судано-Сахельской зоне Текст. / Р.П. Репинская // Метеорология и гидрология. 1998. - №3. - С. 44 - 53.