Исследование поверхностных планетарных волн в атмосфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.30, кандидат наук Лукинов, Алексей Александрович

• Лукинов, Алексей Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Лукинов, Алексей Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ

В АТМОСФЕРЕ

1.1. Теория линейных поверхностных волн в баротропной невращающейся атмосфере

1.1.1 Основные уравнения

1.2. Внутренние волны в невращающейся атмосфере

1.2.1 Простое решение

1.3. К теории линейных поверхностных волн во вращающейся баротропной атмосфере в приближении /-плоскости (волны Кельвина)

1.3.1 Основные уравнения

1.4. Исследование планетарных поверхностных волн Россби в баротропной атмосфере в приближении бета-плоскости

1.4.1 Основные уравнения

ВЫВОДЫ К ПЕРВОЙ ГЛАВЕ

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В

АТМОСФЕРЕ

2.1 К теории линейных гравитационных волн в атмосфере при отсутствии завихренности

2.1Л Постановка задачи

2.1.2 Основные уравнения

2.1.3 Волны в протяженных слоях атмосферы

2.1.4 Приземные волны (длинные волны)

2.2 Альтернативный вывод скорости распространения линейных гравитационных волн в атмосфере

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Основные уравнения

2.3 К теории линейных волн во вращающейся атмосфере в

приближении / -плоскости

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Основные уравнения

2.4 К теории линейных волн во вращающейся атмосфере конечной толщины

2.4.1 Постановка задачи

2.4.2 Основные уравнения

2.5 Краткое резюме к второй главе

ВЫВОДЫ К ВТОРОЙ ГЛАВЕ

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН РОССБИ В

АТМОСФЕРЕ

3.1 Исследование планетарных волн Россби в приближении бета-плоскости

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Основные уравнения

3.2 Теория линейных планетарных поверхностных волн Россби-Блиновой в сферических координатах

3.3 Исследование экваториальных волн Россби-Блиновой

3.4. Краткое резюме к третьей главе

ВЫВОДЫ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование поверхностных планетарных волн в атмосфере»

ВВЕДЕНИЕ

Основной задачей физики атмосферы является исследование закономерности развития полей основных метеорологических величин таких, как давление, температура и влажность. Динамика этих полей в атмосфере носит сложный, меняющийся с течением времени характер [3, 7, 9, 13, 14, 15, 23, 27, 28, 31, 43, 45, 47]. Но, несмотря на сложный характер развития этих полей, основные особенности их динамики из года в год повторяются, то есть носят сезонный характер. В этом и заключается сложность процедуры прогноза состояния атмосферы, главной составляющей которого является прогноз динамики барических образований, изотерм и влажности. Для анализа движения воздушных масс в атмосфере Земли их классифицируют по масштабу, охватываемому тем или иным движением. В качестве параметра, определяющего масштаб движения, выступает число Россби. В частности, рассматривают как динамику барических образований такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (а значит, силой Кориолиса) можно пренебречь, так и динамику барических образований такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (а значит, силой Кориолиса) пренебречь нельзя. При описании движений атмосферы прибегают к некоторым модельным представлениям. Одной из распространенных форм движения в атмосфере являются волны.

Исследованиям волн в атмосфере посвящено много работ [9, 27, 37, 41, 47, 50, 55, 56, 79, 84, 86, 88 - 105, 110]. Но, несмотря на это, имеются ряд нерешенных проблем в исследовании волн в атмосфере. Одна из таких проблем заключается в том, что при анализе волновых движений в атмосфере используют приближение мелкой воды. Это относится как к процессам с большим числом Россби, так и к процессам с малым числом Россби. При этом в этих моделях зависимостью плотности воздуха от температуры пренебрегают. Поэтому остается открытым вопрос о влиянии перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение, на скорость

распространения волн. Тем более, что классические теории, не учитывающие эту зависимость плотности воздуха от функции перегрева, приводят к завышенным значениям скорости распространения волн в атмосфере.

Актуальность проблемы. Работа посвящена исследованию динамики распространения волн в атмосфере. Под волной понимается возмущение барического поля.

В атмосфере наблюдается исключительно большое разнообразие волновых и вихревых движений, механизм формирования и динамика развития которых не в полной мере ясны. Поэтому разработка математической модели волновых движений в атмосфере с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение, а также исследование скорости распространения планетарных волн различного масштаба являются актуальными проблемами физики атмосферы.

Целью настоящей диссертационной работы является исследование волн в атмосфере с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Установить зависимость скорости распространения волны в атмосфере от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) можно пренебречь, т.е. при малых числах Россби.

2. Указанную выше задачу решить как в приближении мелкой воды, т.е. для тонкой в смысле вертикальной протяженности атмосферы, так и для атмосферы с бесконечной вертикальной протяженностью, а также для атмосферы конечной толщины.

3. Установить зависимость скорости распространения планетарных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое

движение в атмосфере такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) пренебречь нельзя, т.е. при малых числах Россби.

4. Указанную выше задачу решить как в приближении бета-плоскости, так и в общем случае сферических координат.

Объектом исследования являются атмосферные волны, под которыми понимаются возмущения барических образований.

Предметом исследования является разработка математической модели, описывающей динамику распространения атмосферных волн с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение.

Научная новизна диссертации:

1. Показано, что для волн в атмосфере малого масштаба, когда можно пренебречь вращением Земли, т.е. силой Кориолиса, другими словами при малых числах Россби, в волновое движение вовлекается только лишь охладившийся за счет адиабатического подъема первоначально теплый у поверхности земли воздух.

2. Учет вращения Земли приводит к дисперсии планетарных волн. Картина при этом качественно отличается от волн малого масштаба. Дисперсия приводит к тому, что в волновое движение может вовлекаться как холодный воздух с произвольной длиной волны, так и теплый воздух, длина волны которого меньше критического значения.

3. Анализ волн Россби в приближении бета-плоскости с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева показал, что в волновое движение также вовлекается только холодный воздух. При этом имеют место три волны, одна из них движется в положительном направлении, а две другие в противоположном. Кроме того, в приближении бета-плоскости также, как и для волн с большим числом Россби, в волновое движение вовлекаются холодные волны с произвольной длиной волны и

теплые волны, длина волны которых меньше критического значения. Причем теплые волны движутся только лишь в положительном направлении.

4. Анализ волн Россби в сферических координатах с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева показал, что, как и в приближении бета-плоскости, в волновое движение вовлекается холодный воздух. При этом имеют место три волны, одна из них движется в положительном направлении, а две другие в противоположном.

5. Найдено критическое значение порядка моды волны икр, которое

соответствует случаю, когда две положительные волны вырождаются в одну. При значениях п > якр будет иметь место две положительные волны и одна

отрицательная. А при п < лкр будет иметь место только лишь одна

отрицательная волна

6. Показано, что в волновое движение для произвольной широты места может вовлекаться не только холодный воздух, но и теплый. Однако на экваторе имеют места только лишь холодные волны. Но для значения

функции перегрева А ¿Г = 2 °С теплые волны с первой модой возможны уже на широте (р = 1°.

7. Таким образом, получается следующая картина. Холодные волны, мода которых меньше критического значения, движутся против часовой стрелки. К ним относятся волны с большими длинами волн. Холодные волны, мода которых больше критического значения, образуют «тройки», одна из которых движется против часовой стрелки, а две другие по часовой стрелке. Теплая волна движется только лишь в положительном направлении.

8. В результате наложения волн, распространяющихся в противоположных направлениях, происходит их интерференция, то есть возникают области усиления и ослабления амплитуды волн.

Научная и практическая значимость. Результаты, полученные в работе, уточняют существующие представления о динамике планетарных

волн и могут быть использованы в практике прогнозирования динамики барических образований.

Положения, выносимые на защиту:

1. Установленная зависимость скорости распространения атмосферных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, но такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) можно пренебречь, т.е. при малых числах Россби.

2. Установленная зависимость скорости распространения атмосферных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, но такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) пренебречь нельзя, т.е. при больших числах Россби.

3. Установленная зависимость скорости распространения планетарных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, но в приближении бета-плоскости.

4. Установленная зависимость скорости распространения планетарных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, в общем случае сферических координат.

Публикации.По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе 2 статьи в рецензируемых изданиях из перечня ВАК, в международном журнале, входящем в базу Scopus.

Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 111 наименований. Материал диссертации содержит 140 страниц, 15 рисунков. 2 таблицы.

Во введении обоснована актуальность разрабатываемой темы, сформулирована цель работы, решаемые задачи, объект и предмет исследования, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведен аналитический обзор существующих математических методов анализа волновых движений в атмосфере. Особое внимание уделено анализу уравнений динамики атмосферы в различных приближениях. Глава закончена анализом литературного обзора и выделением актуальных проблем, требующих решения.

Во второй главе развивается теория линейных гравитационных волн с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение. Задача решается как для масштабов, в которых можно пренебречь влиянием вращения Земли на динамику атмосферных процессов, так и для масштабов, в которых этим влиянием пренебречь нельзя. При этом рассматриваются все три случая вертикальной протяженности атмосферы: конечная толщина, бесконечно протяженная и приближение мелкой воды (тонкая атмосфера).

В третьей главе исследуется влияние функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение, на скорость распространения волн Россби. Задача решается как в приближении бета плоскости, так и в общем случае сферических координат.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Личный вклад соискателя.

Автором лично проведен аналитический обзор существующих математических моделей волновых движений в атмосфере. Соискатель принимал активное участие в развитии теории линейных гравитационных волн в атмосфере различного горизонтального масштаба и вертикальной протяженности. Основные выводы и положения диссертационной работы сформулированы лично автором.

ГЛАВА 1. ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ

В АТМОСФЕРЕ

1.1. Теория линейных поверхностных волн в баротропной невращающейся атмосфере

1.1.1. Основные уравнения Уравнение движения. Рассмотрим движение сухого воздуха, описываемого уравнением движения идеальной жидкости в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, без учета силы Кориолиса [9, 27,30,41,47, 50,55,78, 84, 86,91, 102, 103, 104, 110]:

Ы р{

(1.1.1)

В проекциях на оси координат (рис. 1) оно записывается в виде [9, 55, 91]:

(1.1.2)

ди ди ди ди 1 (др^

--\-и--\-у--— =--

д1 дх ду дг р;

дх

ду ду ду ду 1 (др^

--1-и--1-V — +м>— =--—

д1 дх ду дг р; ^ ду

дм дм дм дм 1

--Уи--\-У--ЬИ>-=--

дг дх ду дг р;

/

(<к) \дг )

ё

(1.1.3)

(1.1.4)

В состоянии равновесия (статики) [9, 48, 55, 91]:

дх ду

1

(1.1.5)

Ре V дг

В уравнениях (1.1.1) - (1.1.4) p¡ - плотность воздушной частицы; ре -плотность окружающей воздушную частицу атмосферы. Для баротропной атмосферы

Р5=Ре- (1-1-6)

Давление можно представить в виде р = р + р . Тогда уравнения (1.1.2) - (1.1.4) запишутся в виде [9, 55, 91]

и

ди ди ди ди 1 -Л-U-+ V--h W-=--

dt дх ду dz р(

dv dv dv

— + и--\-v—

dt дх ду

dw dw dw dw

--1-u--hv--b w— = -

dt дх ду dz

dv 1

w— =--

dz pe

\dx j dy

1

Pe

dp + p dz

~g =

\_djy_

Pe dz

(1.1.8)

(1.1.9)

Уравнение неразрывности в декартовой системе координат [41]:

(1.1.10)

Эр | э(рц) | а(рг^) [

dt дх ду dz

Будем считать, что плотность движущейся воздушной частицы не изменяется:

^ = 0.

dt

Заметим, что это равенство не равносильно к условию: р = const. В этом случае уравнение неразрывности сведется к выражению [47]:

div v = 0. (1.1.11)

В проекциях на оси координат отсутствие дивергенции запишется в виде:

du dv dw

= 0.

(1.1.12)

дх ду дг

Уравнение поверхности запишем в виде [9, 55, 91]:

(1.1.13)

Дифференцируя обе части (1.1.13) по времени /, получим [9, 55, 91, 103]:

™5=Л/+шЪ+г;г1 у* (1.1.14)

Линеаризуем систему уравнений (1.1.7) - (1.1.9), пренебрегая в них вертикальным ускорением [9, 55, 91, 103]:

ди 1 (др'^

dt

dv ~dt

Ре V дх )

Pel

ду.

(1.1.15)

(1.1.16)

Ре dz

Линеаризуем уравнение (1.1.14) [9, 55, 91, 103]:

z = zs- (1.1.18)

Интегрируем уравнение (1.1.17) по переменной z [9, 55, 91, 103]:

Р' = Pegri. (1.1.19)

С учетом выражения (1.1.19) система уравнений (1.1.15) - (1.1.16), (1.1.19) запишется в виде [9, 55, 91, 103]:

ди

<9rj

dt дх dv _ Эг|

(1.1.20) (1.1.21)

р' = ревл. (1.1.22)

Вертикальная составляющая скорости у плоской поверхности земли (без учета орографии) равна нулю [9, 55, 91, 103]:

к^^О. (1.1.23)

Возьмем производную по переменной х от (1.1.20) и по переменной у от (1.1.21) и сложим [9, 55, 91, 103]:

д_

dt

ди dv дх ду

= ~g

^ д2г\ <Э2г|^ дх2 ду2

С учетом уравнения неразрывности (1.1.12) запишем [9, 55, 91, 103]:

д dw

dt dz

= g

^ д2г\ дх2 ду2

(1.1.24)

Уравнение переноса вихря получается из уравнений движений (1.1.20) и (1.1.21) дифференцированием (1.1.20) по переменной у, а (1.1.21) по переменной х и вычитанием полученных выражений [9, 55, 91, 103]:

дП2 дг

Отсюда следует, что в линейной теории волн вертикальная составляющая вихря скорости остается постоянной во времени. Поэтому можно положить её равной нулю [9, 55, 91, 103]:

Пг = д1_8и=0

дх ду

В общем случае компоненты скорости можно представить в виде [9]:

(1.1.26)

Эф Эш Эф

, V- —--—, м? = —

дх ду ду дх дг

Здесь первое слагаемое описывает потенциальную составляющую скорости, а второе слагаемое - соленоидальную составляющую. При этом выполняется уравнение неразрывности (1.1.12), из которой следует [9, 55, 91, 103]:

Э2ф Э2ф Э2ф л

—тг +—£ +—=- = 0.

(1.1.27)

дх ду дг

т.е. потенциал скорости подчиняется уравнению Лапласа. Вертикальная составляющая вихря равна [9, 55, 91, 103]:

^ +¿Ч = 0. (1.1.28)

дх2 ду2)

Будем искать решение полученной системы в виде [9, 55, 91, 103]::

д ^Эф д Г Эф ЭхИ

дх 1 ду дХ ; ду кдх ду] V

и = 11е Тогда [9, 55,91, 103]:

_ _ду ди _ — " —

г дУ дил

дх ду

дх ду

Из уравнений (1.1.20), (1.1.21) и (1.1.12) получим

д2

еш = П02еш = 0.

(1.1.29)

(1.1.30)

/со С/ = -g

дх

■ т/

г сок = -е—.

ду'

(1.1.31)

(1.1.32)

дх ду dz

Отсюда:

и = А (1.1.34)

со дх

К = . (1.1.35)

со ду

Сравнивая полученные равенства с выражениями (1.1.26), для амплитуд потенциала скорости и функции тока находим

Ф = ¥ = 0. (1.1.36)

со

Отсюда, для амплитуды вертикальной составляющей скорости получим

и, = ЭФ = .г5£ (1137)

дг со дг

Из уравнения Лапласа для потенциала скорости следует:

д2г д2г д2г

дх2 ду2 дг2

= 0. (1.1.38)

Решение этого уравнения будем искать в виде [9, 55, 91, 103]:

Z = Z(z)exp[-/(Á:1x + к2у)]. (1.1.39)

Тогда для амплитуды возмущения поверхности получим уравнение

^--k2Z = 0, (1.1.40)

дг

2 2 2

где к = + • Это уравнение имеет решение

Z = АхеЪ + А2е-Ь, (1.1.41)

где Ai, Л2 - константы, к- волновое число, величина положительная. Из граничного условия (1.1.23) и уравнения (1.1.37) следует, что

— = 0, z = -h. (1.1.42)

дг

Подставляя выражение (1.1.41) для амплитуды X в граничное условие (1.1.42), получим

Ахе~кк - А2екк = О

Отсюда следует, что

л А кИ

, А =—е

-кИ

Подставляя эти равенства в выражение (1.1.41), для амплитуды возмущения получим

А_ ~2

Подставляя в уравнение (1.1.24) выражение для величины г/ из формул (1.1.29), получим

^ = + ) = А • сИ [к {к + г)]. (1.1.43)

. дЖ т — = £

дг

дх2 ду2

(1.1.44)

Из уравнения (1.1.18) следует

Ж = т2.

Подставляя полученное выражение в уравнение (44), получим

2 дг -о ^ = £

дг

дх2 ду2

С учетом уравнения (1.1.38) получим

2 дг д2г

дг дг

Один раз проинтегрируем и запишем

27 д2 со г =

дг

С учетом выражения (1.1.43) для значения г = 0 получим дисперсионное соотношение [9, 55, 91, 103]:

со = .

Отсюда для скорости волны запишем [9, 55, 91, 103]:

Де 8 ~~ ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения); к = -

Л,

волновое число, X — длина волны; к - эффективная толщина атмосферы. В приближении бесконечно протяженной по вертикали атмосферы Аг/г —> оо (или Х«к, короткие волны) скорость поверхностной волны соответственно записывается в виде

(1.1.47)

А в приближении длинных волн кк«1 (или X» к, длинные волны) скорость поверхностной волны описывается выражением [9, 55, 91, 103]:

с = (1-1-48)

Если провести расчеты [91] по формуле (1.1.48) для высоты к = 5 км, то для скорости поверхностной волны получим с = 220 м/с. Характерное значение скорости распространение барических возмущений в атмосфере порядка (Юч-20) м/с. Очевидно, что выражения для скорости

распространения волны, представленные формулами (1.1.46) - (1.1.48), не могут количественно описывать распространение барических возмущений в атмосфере. А именно это представляет практический интерес при исследовании волновых процессов.

Таким образом, для возмущенной поверхности волны получим

Л = А - сЬ (кк)е^х+к2у-^, оэ = (кк) . (1.1.49)

Одна из причин такого несовпадения теории с данными наблюдений заключается в том, что атмосфера не баротропная, а бароклинная.

1.2. Внутренние волны в невращающейся атмосфере

Поверхностным волнам в атмосфере посвящено много работ, начиная с классических исследований Лапласа (1779), Кельвина (1879), Пуанкаре

(1910). В этих работах рассматривались волны в баротропной атмосфере. Недостаток этих исследований заключается в том, что, во-первых, атмосфера не баротропная, а, во-вторых, атмосфера безгранична. Этот недостаток устраняется в теории внутренних волн Тейлора - Гольдштейна (1931 г.).

В этом разделе мы рассмотрим теорию Тейлора - Гольдштейна. Уравнение Тейлора — Гольдштейна является волновым уравнением для линейных гравитационных внутренних волн. Рассмотрим двухмерные уравнения Эйлера для не вращающегося и невязкого течения. В приближении Буссинеска запишем [102]

др

ди ди ди 1

--ь и--— =--

д( дх дг

сЫ? сЫ> д\х> 1 ( др

— + и — +тл?—---—

д1 дх дг р; V дг

ди ди> ^ — + — = 0, дх дг

др др др

■8-

(1.2.1) (1.2.2)

(1.2.3)

(1.2.4)

5/ дх дг

Уравнение (1.2.1) есть уравнение движения в направлении оси х. Уравнение (1.2.2) есть уравнение движения в направлении оси г. Уравнение (1.2.3) полная производная плотности по времени равна нулю, т.е. плотность воздушной частицы в процессе движения остается постоянной, хотя это не означает, что плотность воздуха одинакова в каждой точке. С учетом уравнения неразрывности

видно, что из уравнения (1.2.4) следует равенство нулю дивергенции скорости.

Линеаризуем указанные выше уравнения в соответствие с представлением [102]

д (х, = д0 (г) + цх (*, г, ¿),

(1.2.5)

где д0 (г) принимает установившееся, однородное по горизонтали значение, а д^х^,^ является возмущением первого порядка. Мы также полагаем, что в невозмущенном состоянии имеет место уравнение статики, т.е.:

дх ду ре V дг)

Тогда уравнения (1.2.1) - (1.2.4) примут вид

1

ди ди дщ — + и0 — + и>—-дг дх дг

Ре

V Э.Х у

дм

дм

дt

1 дР\ ЛГ и0 — =--— + аА7£,

дх ре дг

ди дм п +— = 0,

дх дг

(1.2.6)

(1.2.7)

(1.2.8)

др1

Ы

и0

дх

дг

р1=-реаА Т, АТ =

реа

50

ае

■ + м0

Э/ Эл:

IV

^ = 0.

дг

(1.2.9)

где ре - плотность воздуха невозмущенной атмосферы. Таким образом, перепишем полученную систему уравнений [102]:

др

ди ди диг> 1 Л

— + и0 — + —- =--—

5? дх дг ре V дх

дм дм

а?

дх

1 др'

Ре дг

aATg,

ди дм — + —

дх дг

= 0.

(1.2.6)

(1.2.7)

(1.2.8)

реа

(дв эел

--ь -

V о1 дх /

-и^ = 0, (1.2.9)

&

Представим решение в виде волны [102]

и{х,2;) = и{2)е*кх~Ш\ (1.2.10)

Р1 (х,г,{) = Я(г)/^, = ЩТУ^'^, (1.2.11)

р'(х,г,г) = Р(2)е1'(кх-а"\ (1.2.12)

м>(х,2,1) = 1¥(2)е1(кх-Ш\ (1.2.13)

Уравнения (1.2.6) - (1.2.9) принимают вид

г)и Р

Ч(йи + Ит0и + Т¥^-9- = -Ис — , (1.2.14)

дг ре

1 дР —

-/со Ж + /Ь0Г =---+ a^Tg, (1.2.15)

Ре &

/Ш + —= 0, (1.2.16)

&

-/реаАГ(со-Ь0)-Ж^- = 0. (1.2.17)

Заметим, что так как г/0 > Р •> ^ •> Ре являются функциями только 2, то мы можем заменить частные производные на полные. Удобно ввести определение внутренней частоты С0|, как частоты волны относительно потока, т.е. частоты волны, измеренной наблюдателем, движущимся вместе с потоком со скоростью г/0; следовательно

СО; = со — и§к. (1.2.18)

Заметим, что со - это частота волны, наблюдаемая в покоящейся системе отсчета, например, с помощью барографа, установленного на поверхности земли. Чимонас и Хайнз (1986) определяют со как доплеровский сдвиг внутренней частоты волны. Скорость ветра в (1.2.18) является

компонентой фонового ветра в направлении распространения волны. Если мы рассмотрим два горизонтальных направления, то можно записать

со; = ш-мд^-г'о/= со-(уь, к), (1.2.19)

где - вектор горизонтальной скорости фонового ветра. Если мы запишем (1.2.18) как

о) = со (1.2.20)

то отсюда видно, что наблюдаемая частота со больше, чем внутренняя со^ если волна распространяется в направлении ветра, и меньше, чем со;, если волна распространяется против ветра. Из (1.2.20) для наблюдаемой горизонтальной фазовой скорости волны получим [88, 102]

с* = + =С1 +м0> (1.2.21)

где = — - внутренняя фазовая скорость волны в направлении оси х. к

Частота С0{ играет важную роль в особенностях распространения гравитационных внутренних волн. Используя соотношения для плотности воздуха

1 Эр

а ^ \ < /л I > > I А п

Ре дг Те К для потенциальной температуры:

(Р^К/Ср 13» ду

$ = те

Ро р)

О Эг те

для частоты Брента- Вяйсяля [9, 55, 91, 102, 103]:

„ Аду;

Ъдг ]1Те "

а также (1.2.18), уравнения (1.2.14) - (1.2.17) запишем в виде

дг ре

. ... 1 дР — =---aATg,

Ре дг

•иг А

1Ш +-= 0,

-гсо

¡аДГ + ос(уА - у)^ = 0.

(1.2.23)

(1.2.24)

(1.2.25)

Хайнз (1960) называет уравнения (1.2.22) - (1.2.25) как поляризационные уравнения, потому что они дают относительные фазы и амплитуды различных мод волны. Решая (1.2.22) - (1.2.25) относительно Ж, получим

+

к д2щ <¡>1 дх2

а

д2Ж дг2

{УА ~У)

к дщ Ю; дг

к дщ со; дг

а

(УА ~У)

дЖ

дг

Ы{УА-У)ё-

СО;

Ж = 0. (1.2.26)

Так как

где Я =

1

Ре = РеОе У ' = РеОе

а

"(уа-у)

записать в виде

высота изотермической атмосферы, то (1.2.26) можно

д2Ж дг2

к диг

чсо; дг Я5У

дЖ

дг

+

2. 2 к д м0 1 к ди0 + 1 gk 2

СО; дг2 Я5 СО; & я5 СО?

Ж = 0.

(1.2.27)

Мы можем упростить это уравнение, введя новую переменную

= (1.2.28)

Подставляя (1.2.28) в (1.2.27), получим уравнение Тейлора Гольдштейна (Taylor, 1931; Goldstein, 1931) [102]

d2w 1 а2/ ~ +——w +

6z2 / &2

к диг

1

со j dz н,

s У

i d-Lw+

f dz

fdz

к диг

1

CDj dz H,

s

dW

dz

+

f 2 2 ^

к d Uq 1 к duQ 1 gk 2

к

оо; dz1 hs CDj dz hs 0)?

W = 0.

Если принять

. 1 5/ 2—— + fdz

к dur

1

coj dz H,

s у

fdz

= 0, = —

к duc

1

coj 5z я.

s У

/ = ехр

к duQ

2hs 2со, dz

J 2 tf„

dz

= exp

2o>j

w0

z it

2tf- 2 CO;

— /О Ь 1

"0

z £

-Uq

w = eltfs 2coi

то можно получить [102]

d2W dz2

к due

к d Uq 1 к duQ

2t0i dz2 2Hs C0j dz ^2c0j dz

Л

H* со?

s "Jj

4 Я.

Ж = 0

s у (1.2.29)

Заметим, что если (2.28) использовать в (2.22), то получим

г &

z

"яё

-и0

гсо

ре=ре0г W = e2H» 2(°i JF,

z к z к

öz pe0

(1.2.30)

Чтобы иметь совместимую систему обозначений, мы должны определить новые переменные О и Р, т.е.

г А:

-«о

(1.2.31)

C/ = e27/s 2C0J ^

----«о

р = е 2Яя 2щ Р. Аналогично, использование (2.28) в (2.25) приводит

г к

7Г7.Нс 2 ох

-щаАТ + а(уА - у)

= 0.

(1.2.33)

г к

----1--М0

щаАТе 2Я* 2со' +а(уА-у)Ж = 0,

г к

Щ

АТ = АТе2Н* 2щ .

Мы можем записать (1.2.29) в более компактной форме, представляя производные штрихами, а также используя (1.2.18). Тогда уравнение Тейлора - Гольдштейна запишется в форме [102]

д2й

+

н

и0

и0

—------»— -«—

(с-м0)2 2(с-«о) 2 н$с-и0 [2(с-и0)

и0

4н:

ж=о,

(1.2.34)

где для упрощения мы заменили обозначение сх на с.

Аналитические решения для уравнения (1.2.34) возможны, и в некоторых случаях решения в виде специальных функций (например, функции Бесселя) известны; однако, решения с точки зрения плоских волн требуют, чтобы член в скобках в (1.2.34) был постоянен. Поэтому решения

для плоской волны ищем в виде

г к

Однако, используя соотношения

Ре

— \

РеО чРе /

1/2

— е 5

можно также записать

=

ГРеОЛ

V Ре у

1/2

(1.2.36)

Так как плотность окружающего волну воздуха уменьшается с высотой, то из (1.2.37) следует, что амплитуда вертикальной проекции скорости с высотой увеличивается.

1.2.2. Простое решение

Мы начнем рассмотрение решений уравнения Тейлора - Гольдштейна (1.2.34) с простого случая постоянной фоновой стратификации ./V, и когда длина волны намного меньше чем Н%.

В случае отсутствия скорости фонового ветра уравнение (1.2.34) принимает вид [102]

/ \

д2Ж

■ +

дг'

Я

4т

1

ж = о,

(1.2.37)

■ +

дг'

4 н:

\

IV = 0.

Общее решение этого уравнения имеет вид

IV = Ае1тг + Ве~1тг,

(1.2.38)

(1.2.39)

где вертикальное волновое число дается выражением

2 ,2 т = к

чЯ3со2 ,

Решая (1.2.40) относительно со, получим дисперсионное соотношение

я, т2+к2

Часто (Нокоп 2004) делают не достаточно аргументированное

допущение, что для внутренних волн в первом приближении имеет место соотношение:

1 Эре 1 дЗ УУ2

ре & $ дг g Тогда дисперсионное соотношение для внутренних волн принимает вид [9, 55,91, 103]::

со = ±Ы- к

у1т2+к2

где N - частота плавучести Брента - Вяйсяля.

Дисперсионное соотношение - возможно, самый важный элемент в линейной теории волн, потому что оно связывает циклическую частоту волны со структурой волны и физическими характеристиками атмосферы. Это дисперсионное соотношение устанавливает связь между всеми переменными волны, то есть к, т и со. Мы не можем произвольно задать значения этим переменным. Каждый набор значений является единственным для данного состояния атмосферы, то есть они - собственные значения. Общим решением уравнения (1.2.39) является

= е2Н5 + Ве1{кх-т2-ш) | ^ 1 2АТ)

Решение А представляет положительную компоненту уравнения (1.2.40), а решение В представляет отрицательную компоненту. Мы видим, что для решения А фазовой скоростью в направлении оси г является

СО т

Тангенс угла наклона линий постоянной фазы в плоскости (х,г) равен

сЪс

кх + тг — сог^, к--Ь т— = 0,

сЬ _ к сЬс т

Для решения В эти величины равны

--

со т

(1.2.44)

(1.2.45)

и

сЬ _ к сЬс т

(1.2.46)

Волновой вектор и фронт волны для этих случаев показаны на рисунке

1.2.1.

Рисунок 1.2.1. Волновой вектор и фронт волны для волны распространяющейся вверх (а) и для волны, распространяющейся вниз (Ь). (Ыарро, 2002).

Из дисперсионного соотношения (1.2.41) мы видим, что

to = N k = N • cos p, (1.2.47)

y]m2+k2

где P - угол, который волновой вектор составляет с горизонталью, как показано на рисунке 2.1. Несколько важных аспектов распространения волн подразумеваются под этим простым результатом. Например, если N изменяется с высотой, то волны постоянной частоты распространяются вдоль криволинейных траекторий. Частота волны не может быть больше, чем частота Брента - Вяйсяля N. Когда со = N, то р = 0, значит, волна распространяется горизонтально, а частицы воздуха колеблются вертикально (заметим, что в этом случае нет дисперсии). Когда то¡N очень малая величина, соответствуя сильному расслоению или длинным волнам, р

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лукинов, Алексей Александрович, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атмосфера. Справочник. Под редакцией Седунова Ю.С. - Л.: Гидрометеоиздат, 1991, 509 с.

2. Ашабоков Б.А. Калажоков Х.Х. Нестационарная трехмерная модель градовых облаков с учетом микрофизических процессов. //Материалы Всесоюзного семинара по физике образования градовых процессов и активным воздействиям на них, 1988, с. 3 - 12.

3. Борисова В. В., Шакина Н. П. Использование потенциального вихря для расчета высоты и температуры тропопаузы. //Труды Гидрометцентра СССР, 1989, вып. 305, С. 98 - 117.

4. Волочай М.А., Грицаева М.Н., Ларченко И.Н., Закинян Р.Г. Основные факторы, влияющие на развитие крупномасштабных вихревых процессов на Северном Кавказе. Материалы 54-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука — региону». -Ставрополь: СГУ, 2009, С. 64 - 66.

5. Волочай М.А. Грицаева М.Н. Причины возникновения вихревых и вращательных движений в атмосфере. //Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. - 2010, № 2, С. 39 - 41.

6. Волочай М.А., Грицаева М.Н., Закинян Р.Г. Свободная конвекция влажного воздуха. Материалы 55-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». - Ставрополь: СГУ, 2010, С. 16-19.

7. Геохланян Т. X., Шакина Н.П. Атмосферные фронты. - М.: Знание, 1978, 56 с.

8. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость жидкости. - М.: Наука, 1972, 320 с.

9. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. - М.: Мир, 1986, Т. 1, 399 е.; Т. 2,416 с.

10. Гинзбург Э. И., Гуляев В. Т., Жалковская JI. В. Динамические модели свободной атмосферы. - Новосибирск: Наука, 1987, 290 с.

П.Гледзер А.Е., Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Пономарев В.М. Режимы Хэдли и Россби в простейшей модели конвекции вращающейся жидкости. //Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2006, т. 42, № 4, С. 435 - 459.

12. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. Системы гидродинамического типа и их применение. - М.: Наука, 1981, 367 с.

13. Голицын Г.С. Исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями. - JL: Гидрометеоиздат, 1980, 55 с.

14. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды. - Д.: Гидрометеоиздат, 1991, 222 с.

15. Гордин В.А. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Аналитические аспекты. — JL: Гидрометеоиздат, 1987, 255 с.

16. Грицаева М.Н. Разработка математической модели и методика расчета параметров атмосферной циркуляции. /Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. - Нальчик, 2011.

17. Грицаева М.Н., Волочай М.А. Влияние центробежной силы инерции в геострофической модели атмосферы //Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Естественные науки, 2010, № 1, С. 41 - 44.

18. Грицаева М.Н., Волочай М.А., Закинян Р.Г. Влияние центробежной силы инерции на градиентный ветер в крупномасштабных вихревых процессах. Материалы 54-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». - Ставрополь: СГУ, 2009, С. 78 - 79.

19. Грицаева М.Н., Волочай М.А., Закинян Р.Г. Возникновение свободной конвекции вязкого воздуха. Материалы 55-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». -Ставрополь: СГУ, 2010, С. 23 - 26.

20. Грицаева М.Н. Волочай М.А., Закинян Р.Г. Геострофическая модель атмосферы с учетом центробежной силы инерции // Вестник Ставропольского Государственного Университета, 2009, № 63, С. 100 — 106.

21. Грицаева М.Н., Волочай М.А., Закинян Р.Г. Оценка влияния центробежной силы инерции в геострофической модели атмосферы. Материалы 54-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». - Ставрополь: СГУ, 2009, С. 102 — 103.

22. Грицаева М.Н., Волочай М.А., Закинян Р.Г. Поворот геострофического ветра в тропосфере при учете центробежной силы инерции. Материалы 54-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». - Ставрополь: СГУ, 2009, С. 80 - 81.

23. Дзердзеевский Б.Л. Общая циркуляция атмосферы и климат. — М.: Наука, 1975,288 с.

24. Дикий Л.А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. -Л.: Гидрометеоиздат, 1976, 108 с.

25. Дикий Л.А. Теория колебаний земной атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1969, 196 с.

26. Динамика погоды (под ред. С. Манабе). - Л.: Гидрометеоиздат, 1988, 418 с.

27. Динамическая метеорология. Теоретическая метеорология. /Под ред. Д. Л. Лайхтмана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1976, 607 с.

28. Добрышман Е.М. Влияние возмущений поля давления на структуру поля ветра в центральной части тайфуна. // Метеорология и гидрология, 2000, № 1, С. 5 - 21.

29. Довгалюк Ю. А., Веремей Н. Е., Владимиров С. А., Дрофа А. С., Затевахин М. А., Игнатьев А. А., Морозов В. Н., Пастушков Р. С., Синькевич А. А., Стасенко В. Н., Степаненко В. Д., Шаповалов А. В., Щукин Г. Г. Концепция разработки трехмерной модели осадкообразующего конвективного облака. I. Структура модели и основные уравнения гидротермодинамического блока //Труды ГГО им. А.И. Воейкова Выпуск 558. - СПб.: 2008, С. 102-142.

30. Должанский Ф.В. Лекции по геофизической гидродинамике. М.: ИВМ РАН, 2006, 378 с.

31. Дымников В.П. Устойчивость и предсказуемость крупномасштабных атмосферных процессов. - М.: ИВМ РАН, 2007, 283 с.

32. Закинян Р.Г., Атабиев М.Д., Волочай М.А., Грицаева М.Н. Изменение параметров поднимающегося подоблачного воздуха //Естественные и технические науки, 2010, № 2, С. 297 - 303.

33. Закинян Р.Г., Крупкин A.A., Лукинов A.A., Смерек Ю.Л. Колебания атмосферы при агеострофическом состоянии. // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. — 2014.-№5.-С. 49-53.

34. Закинян Р.Г., Зеф A.A., Лукинов A.A., Смерек Ю.Л. Исследование характера зависимости агеострофической составляющей скорости ветра от времени. //Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Естественные науки. - 2014. -№ 5. - С. 54 -57.

35. Захаровская H.H., Ильинич В.В. Метеорология и климатология: учебное пособие для ВУЗов. - М.: Колос, 2004, 127 с.

36. Зверев A.C. Синоптическая метеорология. - Л.: Гидрометеоиздат, 1977,712 с.

37. Иванов М. И. Волновые движения жидкости в сложных областях с учетом вращения. /Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. - Москва, 2008.

38. Иванова А. Р. Методика расчета карты максимального ветра. i Метеорология и гидрология, 1989, № 4, С. 59-64.

39. Ингель JI.X. К теории конвективных восходящих струй. // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2008, т. 44, № 2, С. 178 - 185.

40. Интенсивные атмосферные вихри. Под редакцией Бенгтсона Л.И., Лайтхила Дж. - М.: Мир, 1985, 368 с.

41. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 1. -М.: Физматгиз, 1963, 584 с.

42. Крупкин А.А., Грицаева М.Н., Ларченко И.Н., Закинян Р.Г. Линейная теория волн в атмосфере. Материалы 55-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». — Ставрополь: СГУ, 2010, С. 38-42.

43. Крупномасштабные динамические процессы в атмосфере (под ред. Б. Хоскинса, Р. Пирса). - М.: Мир, 1988, 428 с.

44. Ларченко И.Н., Волочай М.А., Грицаева М.Н., Закинян Р.Г. Система уравнений боковой конвекции. Материалы 55-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». -Ставрополь: СГУ, 2010, С. 45-48.

45. Лоренц Э.Н. Природа и теория общей циркуляции атмосферы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1970, 259 с.

46. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. -Л.: Гидрометеоиздат, 1974, 303 с.

47. Матвеев Л.Т. Теория общей циркуляции атмосферы и климата Земли. - Л.: Гидрометеоиздат, 1991, 295 с.

48. Матвеев Л.Т. Физика атмосферы. - СПб: Гидрометеоиздат, 2000, 779 с.

49. Макоско A.A., Панин Б.Д. Динамика атмосферы в неоднородном поле силы тяжести. - СПб: РГГМУ, 2002, 245 с.

50. Монин A.C. Теоретические основы геофизической гидродинамики. -Л.: Гидрометеоиздат, 1988, 424 с.

51. Наливкин Д.В. Ураганы, бури и смерчи. - Л.: Наука, 1969, 487 с.

52. Облака и облачная атмосфера. Справочник. / Под ред. И.П.Мазина и А.Х. Хргиана //. - Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 647 с.

53. Обухов A.M. Турбулентность и динамика атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1988, 408 с.

54. Пальмен Э., Ньютон Ч. Циркуляционные системы атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1973, 616 с.

55. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. - М.: Мир, 1984, т.1, т.2, 811 с.

56. Петвиашвили В. П., Похотелов O.A. Уединенные волны в плазме и атмосфере. - М.: Энергоатомиздат, 1989, 200 с.

57. Петросянц М.А., Гущина Д.Ю. Крупномасштабное взаимодействие глобальной циркуляции атмосферы с температурой поверхности экваториальной части Тихого океана. //Метеорология и гидрология, 1998, №5, С. 5-24.

58. Погорельцев А. И. Моделирование планетарных волн и их влияния на зонально усредненное обращение в средней атмосфере. /Pogoreltsev A.I. Simulation of planetary waves and their influence on the zonally averaged circulation in the middle atmosphere // Earth, Planets and Space, 1999, V. 51, №7/8, P. 773-784.

59.Погосян X. П., Циклоны. - Л.: Гидрометеоиздат, 1976, 148 с.

60. Погосян Х.П. Общая циркуляция атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1972,394 с.

61. Погосян Х.П., Павловская A.A. Аномалии атмосферной циркуляции, приземного давления и температуры в связи с квазидвухлетней цикличностью. - Л.: Гидрометеоиздат, 1977.

62. Роджерс P.P. Краткий курс физики облаков /Пер. с англ. - Л.: Гидрометеоиздат, 1979, 231 с.

63. Рубинштейн К.Г., Егорова E.H. Влияние межгодовых аномалий температуры поверхности океана на изменчивость циркуляции атмосферы. Результаты численных экспериментов. //Метеорология и гидрология, 2002, № 2, С. 5 - 15.

64.Сальникова М.Г., Самсонов В.А. О движении вязкой несжимаемой жидкости на вращающемся шаре в центральном поле ньютоновского притяжения // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №2. С. 133-141

65. Семенченко Б.А. Физическая метеорология. - М.: Аспект Пресс, 2002, 415с.

66. Скриптунова Е. Н., Шакина Н. П. Автоматизированный метод прогноза зон активной конвекции. Метеорология и гидрология, 1991, №5, с. 15-19.

67. Сонечкин Д.М. Стохастичность в модели общей циркуляции атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1984,280 с.

68. Столыпина Н.В. Сезонные изменения интенсивности циркуляции в стратосфере северного полушария. - Л.: Гидрометеоиздат, 1981, 78 с.

69. Сулаквелидзе Г.К. Ливневые осадки и град. - Л.: Гидрометеоиздат, 1967,412 с.

70. Тараканов Г.Г. Конвекция и системы движения в тропиках- Л.: Гидрометеоиздат, 1986, 66 с.

71. Тарасенко Д.А. Структура и циркуляция стратосферы и мезосферы северного полушария. - Л.: Гидрметеоиздат, 1988, 288 с.

72. Угрюмов А. И., Харькова Н. В. Современные изменения климата Санкт-Петербурга и колебания циркуляции атмосферы. //Метеорология и гидрология, 2008, № 1, С. 24 - 30.

73. Федченко Л.М. Беленцова В.А. О способах расчета некоторых параметров конвекции //Труды ВГИ, вып. 34, 1977, С. 76 - 87.

74. Фролов А. В., Важник А. И., Цветков В. И., Астахова Е. Д. Глобальная спектральная модель атмосферы с высоким разрешением по вертикали. //Метеорология и гидрология, 2000, № 2, С. 10-21.

75. Хаин А.П., Сутырин Г.Г. Тропические циклоны и их взаимодействие с океаном. - Л.: Гидрометеоиздат, 1983, 272 с.

76. Хайруллин, Р. Р. Структура и динамика циклогенеза в северном полушарии. - Казань, 1989, 165 с.

77. Холтон Дж. Р. Динамическая метеорология стратосферы и мезосферы. -Л.: Гидрометеоиздат, 1979, 222 с

78. Хргиан А.Х. Физика атмосферы. - М.: изд-во МГУ, 1986, 328 с.

79. Хук У.Х., Госсард Э.Э. Волны в атмосфере. - М.: Мир, 1978, 532 с.

80. Чон В.Х., Мохов И.И. Модельные оценки чувствительности центров действия атмосферы к глобальным климатическим изменениям. //Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2006, т. 42, № 6, С. 749 -756.

81.Шакина Н. П. Иванова А. Р., Скриптунова Е. Н., Борисова В. В. Новый подход к представлению информации о максимальном ветре на картах струйных течений. Метеорология и гидрология, 1993, № 12, С. 40 - 47.

82.Шакина Н. П. Динамика атмосферных фронтов и циклонов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1985, 260 с.

83.Шакина Н. П., Скриптунова Е. Н., Иванова А. Р., Беркович Л. В., Ткачева Ю. В. Диагностические исследования и моделирование процессов циклогенеза, фронтогенеза и погодных условий на различных стадиях развития циклонов. //Труды Гидрометцентра России, 2000, вып. 335, С. 3 - 25.

84. Шакина Н. П. Лекции по динамической метеорологии. - М.: ТРИАДА ЛТД, 2013.- 160 с.

85.Шметер С.М. Физика конвективных облаков. - Л.: Гидрометеоиздат, 1972, 230 с.

86.Эккарт К. Гидродинамика океана и атмосферы. - М.: Научный мир, 2004, 328 с.

87.Ярошевич М.И. Некоторые взаимосвязи этапов развития тропических циклонов. //Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2007, т. 43, № 1, С. 61 -68.

88.Chimonas, G. and Hines, С. О. Doppler ducting of atmospheric gravity waves. J. Geophys. Res.91:1219-1230, 1986.

89. Haurwitz B. The motion of atmospheric disturbances on the spherical Earth // J.Mar. Res. 1940. V. 3. P. 254-267.

90. Hines, С. O. Internal atmospheric gravity waves at ionospheric heights. Can. J. Phys. 38:1441-1481, 1960.

91.Holton J.R. An Introduction to Dynamic Meteorology. Forth edition. Elsevier, 2004, p. 540.

92.Homer M.S. Boundary value problem for the Laplace tidal wave equation // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1990. V. 428. №1874. P. 157-180.

93.Hough S.S. On the application of harmonic analysis to the dynamical theory of tides, part I. On Laplace's "Oscillations of the first species" and on the dynamics of ocean currents // Phil. Trans. Roy. Soc. L. (A). 1897. V. 189. P. 201-257.

94.Kasahara A. Normal modes of ultralong waves in the atmosphere // Mon. Wea.Rev. 1976. V. 104. P. 669-690.

95.Kasahara A. Numerical integration of the global barotropic primitive equations with Hough harmonic expansions // J. Atm. Sci. 1977. V. 34. P. 687-701

96.Kasahara A., Qian J.-H. Normal modes of a global nonhydrostatic atmospheric model //Mon. Wea. Rev. 2000. V. 128. №10. P. 3357-3375.

97.Longuet-Higgins M.S. The eigenfunctions of Laplace's tidal equations over a sphere //Phil. Trans. Roy. Soc. L. (A). 1968. V. 262. P. 511-607.

98.Margules M. Luftbewegungen in einer rotereuden Sphäroidschale // Sitz, der Math.- Naturwiss. Klasse. Kais. Akad. Wiss. Wien. Abt. IIa. 1892. B. 101. S. 597-626.

99.Margules M. Luftbewegungen in einer rotereuden Sphäroidschale, Teil II // Sitz, der Math.-Naturwiss. Klasse. Kais. Akad. Wiss. Wien. Abt. IIa. 1893. B. 102. S. 11-56.

100. Margules M. Luftbewegungen in einer rotereuden Sphäroidschale, Teil III // Sitz, der Math.-Naturwiss. Klasse. Kais. Akad. Wiss. Wien. Abt. IIa. 1893. B. 102. S. 1369-1421.

101. Neamtan S.M. The motion of harmonic waves in the atmosphere // J. Meteorol.1946. V. 3. P. 53-56.

102. Nappo C.J. An Introduction to Atmospheric Gravity Waves. International

geophysics series, vol. 85. Elsevier, 2002, p. 279.

103. Pedlosky J. Waves in the Ocean and Atmosphere. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2003, p. 260.

104. Plumb R. Alan. Atmospheric and Oceanic Circulations. - Spring 2003, 181 p.

105. Rossby C.-G. et coll. Relation between variations in the intensity of the zonal circulation of the atmosphere and the displacements of the semipermanent centers of action// J. Mar. Res. 1939. V. 2. P. 38-55.

106. Rubinstein K., Egorova E. "Estimation of Season Change of characteristics of Atmosphere and Surface in model of General Circulation of Atmosphere of Hydrometcentre of Russia." Proceeding of Hydrometcentre of Russia, N 333, 1998, p. 34 - 68.

107. Rubinstein K., Shmakin A. Changes of hydrological cycles in land and atmosphere in Europe and Asia in case of deforestation Siberia (results of GCM numerical experiment) Proceedings of The Second International Conference on Climate and Water, Espoo, Finland, 17-20 August, 1998, V. l,p. 233-241.

108. Schwarztrauber P.N., Kasahara A. The vector harmonic analysis of Laplace's tidal equations // Siam J. Sci. Stat. Comjmt. 1985. V. 6. P. 464491.

109. www.climatel01_Atmospheric с1гси1айоп_Общая циркуляция атмосферы, mht

110. Zdunkowski W., Bott A. Dynamics of the Atmosphere: a Course in Theoretical Meteorology. - Cambridge University Press, 2003, p. 719.

111. Zakinyan R.G., Zakinyan A.R., Lukinov A.A. Two-dimensional analytical model of dry air thermal convection. //Meteorology and Atmospheric Physics. 2015. DOI 10.1007/s00703-015-0368-2.