Исследование полевых сдвигов резонансов Рамси в ансамбле лазерно охлажденных атомов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Табатчикова Кристина Сергеевна

• Табатчикова Кристина Сергеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Табатчикова Кристина Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ

1 ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ СОВРЕМЕННЫХ СТАНДАРТОВ ЧАСТОТЫ

1.1 Резонанс Рамси

1.2 Атомная интерференция Борде

1.3 Микроволновые стандарты частоты

1.3.1 Цезиевые часы фонтанного типа

1.3.2 Другие типы микроволновых атомных часов

1.4 Оптические стандарты частоты

1.4.1 Стандарт частоты на охлажденных и захваченных в магнитооптическую ловушку атомах кальция

1.4.2 Стандарты частоты на одиночных ионах

1.4.3 Стандарты частоты на оптических решетках

1.5 Приложения стандартов частоты

1.6 Сравнительный анализ современных оптических стандартов частоты

1.7 Теоретический анализ оптических стандартов частоты

2 СПЕКТРОСКОПИЯ РАМСИ НА АНСАМБЛЕ ОХЛАЖДЕННЫХ АТОМОВ В МАГНИТООПТИЧЕСКОЙ ЛОВУШКЕ

2.1 Исходные данные и основные уравнения

2.2 Элементы матрицы плотности ансамбля двухуровневых атомов

2.3 Оптические резонансы Рамси в разнесенных во времени полях

2.4 Эффект отдачи

2.5 Численные оценки

2.6 Основные результаты

3 ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД РАМСИ В ПРЕЦИЗИОННОЙ СПЕКТРОСКОПИИ УЛЬРАХОЛОДНЫХ И ЗАХВАЧЕННЫХ АТОМОВ И ИОНОВ

3.1 Математический формализм

3.2 Схема Рамси с импульсами разной длительности

3.3 Схема Рамси с композитным импульсом

3.4 Прецизионная спектроскопия Рамси ульрахолодных атомов и ионов

3.5 Сопоставление теоретических результатов с экспериментальными данными

3.6 Результаты теоретического исследования обобщенного метода Рамси в спектроскопии локализованных атомов и ионов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение 1. Промежуточные выкладки, необходимые для расчета

элементов матрицы плотности

Приложение 2. Вычисление интегралов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование полевых сдвигов резонансов Рамси в ансамбле лазерно охлажденных атомов»

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день методы точных измерений времени и частоты имеют большое значение для мировой науки и техники. В качестве частных примеров можно привести глобальные коммуникационные сети и точные системы спутниковой навигации, необходимым условием слаженной работы которых является наличие стабильных источников точно известной частоты. Экспериментальный прорыв в оптической спектроскопии связанный с применением обобщенного метода Рамси, открыл широкие перспективы для создания оптических часов с недостижимой до сих пор стабильностью и точностью. Ожидаемое на один-два порядка улучшение этих параметров, помимо очевидных практических выгод, перечисленных выше, даст возможность постановки совершенно новых фундаментальных экспериментов по проверке общей теории относительности и проверки теории дрейфа фундаментальных физических констант. Прогресс в областях, связанных с разработкой стандартов частоты, открывает возможности более глубокого понимания многих физических явлений и дает новые сведения для анализа.

Стандарты частоты на ансамбле нейтральных атомов, захваченных в оптическую решетку и стандарты частоты на одиночных ионах в радиочастотной ловушке весьма перспективны, так как позволяют исключить влияние эффекта Доплера и эффекта отдачи. Необходимым условием достижения предельно узкой ширины резонанса является малая естественная ширина линии перехода, поэтому в современных стандартах частоты чаще всего используются сильно запрещенные переходы. В связи с этим наибольшим частотным сдвигом является полевой сдвиг, так как высокая интенсивность пробного поля, необходимая для возбуждения сильно

запрещенного перехода, неизбежно приводит к сдвигу уровней из-за динамического эффекта Штарка [1]. Учесть влияние полевого сдвига можно, вычисляя поправку к измеряемой частоте резонанса [2], однако введение такой поправки, как показывает практика, весьма затруднительно, например, из-за невысокой точности определения интенсивности возбуждающего поля [3-6].

В работе [7] был предложен новый вариант метода рамсеевской спектроскопии, позволяющий подавлять сдвиг вершины центрального резонанса Рамси из-за полевого сдвига уровней атома во время действия импульсов пробного поля. Суть этого метода заключается в следующем. Ансамбль нейтральных локализованных атомов или одиночный локализованный ион подвергаются действию двух импульсов лазерного излучения. При определенных соотношениях длительностей импульсов зависимость сдвига частоты сигнала от сдвига частоты перехода становится близка к кубической, что и обеспечивает подавление полевого сдвига сигнала. В данной работе рассматривался идеализированный случай: при выборе оптимальных длительностей импульсов, обеспечивающих эффективное подавление полевого сдвига и максимальную амплитуду резонанса, считалось, что лазерное излучение абсолютно монохроматично, а спонтанная релаксация уровней отсутствует. В реальных экспериментальных условиях, когда присутствует спонтанная релаксация уровней и излучение лазера не является строго монохроматичным необходимо проверить сохраняется ли эффект подавления полевого сдвига, а также исследовать зависимость подавления полевого сдвига центрального резонанса Рамси от ширины спектральной линии лазерного излучения. Кроме того необходимо уточнить оптимальные условия возбуждения. В противном случае может быть не достигнута максимальная эффективность подавления полевого сдвига и максимальная амплитуда резонанса.

Несмотря на принципиальные ограничения по точности измерений, характерные для стандартов частоты на охлажденных атомах, захваченных в

магнитооптическую ловушку, (главным образом из-за сдвига, обусловленного силой тяжести) данные стандарты находят практическое применение. Главное достоинство данной схемы заключается в том, что она сочетает достаточно высокую точность измерений с относительно низкой стоимостью по сравнению со схемами на ансамбле нейтральных атомов в оптической решетке или одиночных ионах захваченных в радиочастотную ловушку [8]. В работе [9] был выполнен анализ взаимодействия охлажденных двухуровневых атомов с нижним основным состоянием с последовательностью двух пар встречных импульсов света с точностью до членов четвертого порядка по полю и предложен метод подавления сдвига частоты резонанса обусловленного эффектом отдачи. Чтобы определить, как влияют полевые эффекты на положение, амплитуду и ширину резонанса необходимо проанализировать данную схему с точностью до членов шестого порядка по полю. Кроме того необходимо выяснить, как влияют полевые эффекты на подавление частотного сдвига, связанного с эффектом отдачи.

В соответствии со сказанным выше цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании метода Рамси в прецизионной спектроскопии ультрахолодных атомов и ионов. В частности решаются следующие задачи:

1. Исследуется взаимодействие двухуровневых охлажденных атомов с двумя парами встречных импульсов с точностью до членов шестого порядка по полю.

2. На основе полученной теории исследуется влияние полевых эффектов на положение и ширину резонанса.

3. Выполнен теоретический анализ схемы Рамси с разнесенными во времени импульсами разной длительности, а также схемы Рамси с композитным импульсом с учетом спонтанной релаксации уровней и конечной ширины спектральной линии лазерного излучения.

4. На основе полученной теории определены оптимальные условия возбуждения, обеспечивающие подавление полевого сдвига центрального резонанса.

5. Исследовано влияние конечной ширины спектральной линии лазерного излучения, спонтанной релаксации уровней атомов, а также флуктуаций частоты Раби на эффективность подавления полевого сдвига.

Теоретические результаты, полученные в данной работе, позволяют вычислять длительности импульсов, обеспечивающие максимальную амплитуду резонанса и наиболее эффективное подавление полевого сдвига в схеме Рамси с композитным импульсом. Кроме того полученные результаты позволяют определять максимально достижимую эффективность подавления полевого сдвига резонанса по ширине спектральной линии лазера. Таким образом, теоретические результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы для конструирования и оптимизации стандартов частоты на охлажденных и захваченных атомах и ионах.

На защиту выносятся следующие положения:

1. При взаимодействии охлажденных двухуровневых атомов с двумя парами встречных импульсов электромагнитного излучения вид зависимости населенности уровней от расстройки частоты в четвертом и шестом порядке по полю идентичен. Увеличение амплитуды возбуждающего излучения приводит лишь к эффекту насыщения, то есть изменению амплитуды резонанса Рамси.

2. При взаимодействии охлажденных и локализованных атомов или ионов с электромагнитным излучением по схеме Рамси с двумя разнесенными во времени импульсами разной длительности, типичные флуктуации частоты Раби приводят к резкому снижению эффективности подавления полевого сдвига, обеспечиваемого выбором длительностей импульсов. Схема Рамси с композитным импульсом позволяет исключить влияние флуктуаций частоты Раби.

3. При вычислении длительностей импульсов, обеспечивающих максимальную амплитуду и эффективное подавление полевого сдвига центрального резонанса Рамси необходимо учитывать спонтанную релаксацию атомных уровней и конечную ширину спектральной линии

лазерного излучения. В ином случае эффективность подавления полевого сдвига оказывается существенно ниже.

4. Увеличение ширины спектральной линии лазерного излучения и скорости спонтанной релаксации уровней приводит к сужению области подавления полевого сдвига. При построении современных оптических стандартов частоты чаще всего используют сильнозапрещенные переходы, поэтому эффективность подавления полевого сдвига в основном определяется шириной спектральной линии лазерного излучения.

1 ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ СОВРЕМЕННЫХ СТАНДАРТОВ ЧАСТОТЫ

Методы точных измерений времени и частоты имеют большое значение для мировой науки, техники и экономики. В качестве частных примеров можно привести глобальные коммуникационные сети и точные системы спутниковой навигации, необходимым условием слаженной работы которых является наличие стабильных источников точно известной частоты. Точные измерения частоты атомных переходов позволяют выполнить наиболее чувствительные тесты фундаментальных теорий. Область науки, посвященная стандартам частотны, оказывается тесно связана с прогрессом в этих и многих других областях. Успехи в разработке стандартов частоты открывают новые возможности понимания многих физических явлений и дают дополнительные сведения для анализа.

1.1 Резонанс Рамси

Для уменьшения уширения спектральной линии, обусловленного конечным временем взаимодействия атома с электромагнитным полем, Норманом Рамси был разработан исключительно плодотворный метод [1012]. Суть этого метода заключается в том, что постоянное взаимодействие атома с полем в течение времени Т (метод Раби) заменяется на взаимодействие в течение коротких промежутков времени т, разделенных интервалом временем Т , на протяжении которого частицы свободно эволюционируют в отсутствие поля [13,14].

В радиоспектроскопическом варианте молекулы пучка проходят через две области синфазных полей, которые разнесены в пространстве на расстояние Ь большее по сравнению с размером области локализации

каждого из полей d (рис. 1.1).

Рис.1.1. Схема метода Рамси разнесенных полей: 1 - источник атомов, 2 -радиочастотный генератор, 3 - приемник

Амплитуда вероятности нахождения атома в возбужденном состоянии после второго акта взаимодействия будет суммой двух вкладов. Один вклад представляет собой амплитуду вероятности того, что атом был возбужден при первом взаимодействии и так и остался в возбужденном состоянии после второго взаимодействия. Второй вклад - амплитуда вероятности того, что атом не был возбужден при первом взаимодействии и перешел в возбужденное состояние в течение второго акта взаимодействия с полем. Таким образом, при вычислении полной вероятности нахождения атома в возбужденном состоянии после двух последовательных взаимодействий должен появиться интерференционный член, зависящий от разности фаз между двумя амплитудами вероятности.

Рамси вычислил вероятность нахождения двухуровневой системы в возбужденном состоянии после второго взаимодействия [13,14]:

1 Ъ.г з . Пт . ЗТ^2

Qq 2

р = 4—Qsin — cos—cos---sin—sin— (1)

Q2 2 ^ 2 2 Q 2 2 ) w

где Qq - частота Раби, Q - обобщенная частота Раби, 8 - отстройка частоты

возбуждающего поля от частоты перехода. Зависимость вероятности возбуждения от частоты имеет вид интерференционной картины (рис. 1.2), наблюдаемые резонансы называют резонансами Рамси.

5

Рис. 1.2. Резонансы Рамси

В непосредственной близости от резонанса, то есть при 8 << Q0 выполняется приближенное равенство ^о ~ ^,

и выражение (1) можно

упростить:

р = 1 sin 2 Q 0т(1 + cos 8T )2 (2)

Отсюда следует, что максимальное возбуждение атома достигается при Q0r = ^/ 2, то есть при возбуждении атома двумя импульсами с длительностью каждого ж/2. При одинаковых временах опроса атомов разрешение для метода Рамси оказывается примерно вдвое больше, чем при возбуждении по методу Раби.

На практике необходимо учитывать влияние распределения атомов в пучке по скоростям. Атомы в пучке, летящие с различными скоростями v, проходят вторую зону взаимодействия спустя время T = L/v, откуда следует, что для атомов из разных скоростных групп будут получаться разные периоды интерференционных полос согласно выражению (2). Это означает, что интерференционные полосы для теплового распределения скоростей в атомном пучке при больших отстройках оказываются размытыми, а контраст сохраняется только у нескольких центральных полос.

Привлекательность метода Рамси заключается в том, что в то время как

разрешение определяется временем между двумя импульсами, диапазон скоростей определяется преобразованием Фурье одного импульса. Таким образом, будет задействован широкий спектр атомных скоростей при крайне коротких импульсах с сохранением высокого отношения сигнал/шум.

Распространение метода Рамси на оптический диапазон кажется совсем очевидным, если радиочастотные поля заменить на два когерентных лазерных поля. Однако переход от радиочастотного диапазона, где длина волны X может быть больше размера области с полем d, к оптическому диапазону, где X << d, встречает некоторые трудности. Молекулы со слегка отклоненными направлениями движения пересекают оптические поля в различных фазах. Хотя в первом поле эти молекулы имеют почти одинаковые фазы, но во втором поле фазы взаимодействия сильно отличаются, и резонансы Рамси не возникают. Полный сигнал получается в результате усреднения по фазам взаимодействия, а это означает, что резонансы Рамси замываются. То же самое справедливо для молекул, начинающих движение из различных точек первой зоны взаимодействия и приходящих в одну и ту же точку во второй зоне. Фазы этих молекул распределены случайным образом, и поэтому макроскопической поляризации не наблюдается [15]. К счастью, были разработаны различные методы, которые позволяют преодолеть эти трудности и наблюдать сверх узкие резонансы Рамси в оптическом диапазоне.

1.2 Атомная интерференция Борде

Борде с соавторами [16] показали, что можно получить оптические резонансы Рамси в оптическом диапазоне, если использовать две пары пучков, причем, внутри каждой пары волновые векторы поля являются сонаправленными, а между парами - противоположно направленными.

Поглощая фотон, атом переходит из основного состояния в

возбужденное |е) и получает добавку к собственному импульсу, равную импульсу фотона. В результате передачи импульса у атома меняется

траектория. Если же атом не поглотил фотон, то он пролетает зону взаимодействия без изменения траектории. Вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии после взаимодействия зависит от величины ^ 0т -угла Раби, который можно варьировать, изменяя амплитуду и время взаимодействия. Если угол Раби выбран равным л/1, то атом переходит в

когерентную суперпозицию обоих состояний и |е) с равными

амплитудами. Траектории для этих состояний будут различными, что на языке частиц означало бы, что атом распадается на две части, которые разделяются в пространстве. Следовательно, корректным описанием в данном случае будет описание на языке волновых пакетов, причем волновой пакет атома после взаимодействия распадается на два, распространяющихся в двух различных направлениях. Длина волны, соответствующая каждому из волновых пакетов, есть длина волны Де-Бройля. Аналогичные рассуждения применимы и в случае вынужденного излучения фотона.

Таким образом, лазерное поле можно рассматривать в качестве делителя атомного пучка на два волновых пакета. Если эти волновые пакеты встретятся снова, возникнет интерференция с результирующей амплитудой, которая зависит от их разности фаз (атомная интерференция Борде).

Для наблюдения атомной интерференции в микроволновом диапазоне достаточно двух зон взаимодействия. В оптическом диапазоне из-за того, что смещения атомов вдоль оси z значительно больше длины волны возбуждающего излучения, для наблюдения интерференции Борде волновые пакеты необходимо снова переналожить, например, с помощью дополнительного делителя пучка, как показано на рисунке 1.3.

Возбуждение тремя пространственно разнесенными стоячими волнами (рис. 1.3а) впервые было предложено Баклановым с соавторами [17]. Несколько позже Баргер и соавторы применили этот метод для спектроскопии интеркомбинационного перехода в атомах Са (Л = 657 нм) [18]. В данном случае функцию делителя атомного пучка осуществляет стоячая волна. Схема с четыремя бегущими волнами (рис. 1.3Ь) впервые

была предложена Борде с соавторами. Предельно достижимый контраст этой схемы выше, чем в схеме с тремя стоячими волнами.

Все рассмотренные выше методы возбуждения можно использовать как для спектроскопии атомных или молекулярных пучков, взаимодействующих с пространственно разделенными полями, так и в схемах, где взаимодействие частиц с полем происходит в одном и том же месте, а поле включается и выключается в определенной временной последовательности. Три импульса возбуждения стоячей волной соответствуют схеме Бакланова, два импульса возбуждения двумя встречными бегущими волнами с задержкой Т соответствуют схеме Борде. Возбуждение охлажденных и захваченных атомов разнесенными во времени полями имеет множество преимуществ по сравнению со спектроскопией атомных и молекулярных пучков: отсутствует размывание резонансов за счет распределения атомов по скоростям, отсутствует эффект отдачи и эффект Доплера.

Рис. 1.3. Наблюдение атомной интерференции в оптическом диапазоне с помощью а) схемы Бакланова, Ъ) схемы Борде

1.3 Микроволновые стандарты частоты

1.3.1 Цезиевые часы фонтанного типа

Разработка стандартов частоты ведется во многих странах мира (Великобоитания, Германия, Китай, Россия, США, Франция, Япония и др.). Среди существующих на сегодняшний день стандартов частоты цезиевые часы фонтанного типа занимают особое место, т.к. являются общепринятым первичным стандартом частоты. Далее будет рассмотрен общий принцип работы цезиевых часов фонтанного типа.

Для достижения высокой точности измерения частоты требуется достаточно большое временя взаимодействия атомов с полем. При использовании атомов, охлажденных лазерными методами и обладающих скоростями порядка нескольких сантиметров в секунду, можно увеличить время взаимодействия вплоть до нескольких секунд. Для атомов, обладающих столь низкими скоростями, использование горизонтальной схемы невозможно, поскольку за счет гравитационного притяжения атомы смещаются в вертикальном направлении на несколько метров в течение секунды. В связи с этим обстоятельством была предложена схема атомного фонтана.

Первый атомный фонтан на атомах цезия был создан в ЬРТБ (Париж) [19, 20]. Отдельные детали конструкций этих фонтанов отличаются, все они состоят из трех основных частей (см. рис. 1.4): подготовительной зоны, где атомы накапливаются и охлаждаются, зоны возбуждения, содержащей резонатор и участок для баллистического полета атомов, и третьей зоны для регистрации атомов.

Облако холодных атомов цезия образуется из атомных паров при давлении около 10 Па, испускаемых источником при комнатной температуре. В магнитооптической ловушке накапливается около 107 атомов, которые подвергаются последующему охлаждению в патоке до температуры около 2мкК. В случае необходимости атомы Сб охлаждаются до более низких температур с использованием специальных методов охлаждения.

Рис. 1.4. Устройство атомного фонтана

На следующем этапе атомы необходимо подбросить в вертикальном направлении без увеличения их температуры. Это легко осуществить с помощью движущейся патоки, когда частота лазерного луча,

направленного вниз, отстроена на до = дсо/(2л) в длинноволновую область спектра, а частота о2 луча, направленного вверх, на ду в коротковолновую область по отношению к исходной частоте V на которой происходит охлаждение атомов в патоке.

Помимо конфигурации охлаждающих пучков фонтана, приведенных на рисунке 1. 4, где четыре из шести лучей направлены горизонтально и два вертикально, часто используется так называемая конфигурация «1 1 1». В такой конфигурации гипотетический куб, шесть граней которого перпендикулярны лучам магнитооптической ловушки, ориентирован так, что

две его диагональные вершины лежат на вертикальной оси установки. Такая конфигурация пучков снижает количество рассеянного света в резонаторе и в области баллистического полета. Для того, чтобы подбросить атомы вертикально вверх необходимо, чтобы все три пучка, направленные в нижнюю полуплоскость, были отстроены в длинноволновую область спектра, а остальные - в коротковолновую.

После отключения световых пучков атомы двигаются по баллистическим траекториям. Атомы дважды пролетают высокочастотный резонатор, в котором возбуждается мода ТЕ011, вследствие чего в них происходят переходы между сверхтонкими подуровнями основного состояния = 4, шр = 0) ^ | Г = 3, шр = 0) по схеме Рамси.

1.3.2 Другие типы микроволновых атомных часов

Среди всех атомных часов цезиевые занимают особое место, поскольку эталон времени базируется на микроволновом переходе в атоме Cs. В цезиевых часах используется переход, обладающий наименьшей чувствительностью к магнитному полю, а именно, переход между состояниями = 4, шр = 0 ^ | Г = 3, шр = 0. По своим габаритам цезиевые

часы подходят для размещения в 19-дюймовой приборной стойке и имеют массу менее 25 кг, потребляя менее 50 Вт. Относительная погрешность серийных часов лежит в диапазоне от 2 • 10 12 до 5 • 10 13. После усреднения по 10-и дням измерений нестабильность падает вплоть до 5 • 10 15 [21,22]. Улучшение точности пучковых цезиевых часов может быть достигнуто путем различных модификаций схемы. Например, для того, чтобы повысить разрешение, протяженность рамсеевской зоны свободного пролета атомов в первичных часах примерно в пять раз больше, чем в серийных образцах, и составляет 76 см в случае первичных часов СБ1 и СБ2 из РТВ (Германия). Перераспределение населенности между подуровнями можно осуществлять с помощью оптической накачки. В случае оптической накачки можно использовать более интенсивные и пространственно однородные пучки атомов.

В приложениях, не требующих сверхвысокой точности измерения частоты и времени, используются рубидиевые атомные часы. Рубидиевые стандарты частоты востребованы прежде всего из-за их компактного размера (характерный объем соответствует один литр) и низкой цены. Они находят наибольшее применение в областях, где требуется стабильность на уровне 10-11, поскольку цена кварцевых осцилляторов обладающих такими показателями становится очень высокой. Рубидиевые часы используются в радиовещании, аналоговой и цифровой передаче телевизионного сигнала, навигации, военных системах слежения, передачи и наведения [23,24].

Исключительно высокая стабильность мазеров на интервалах времени от 10с до суток обеспечивает их преимущество перед Cs часами в этом временном интервале. В лабораториях времени обычно используется несколько мазеров для увеличения кратковременной стабильности синтезируемых лабораториями шкал времени. Зачастую ансамбль мазеров, дополненный серийными цезиевыми часами, обеспечивает шкалу времени, используемую в качестве удобного репера частоты для исследования и сертификации стандартов частоты [25]. Стабильность такого ансамбля в Национальном Институте Стандартов и Технологий (МОТ, США) на длительных интервалах времени составляет <уу(г = 0Адень) = 1 • 10 -15,

сгу(т = 1день) = 4 • 10 16, сгу(т = Юдней)= 2,5 • 10 16, сту(т = Шдней) = 8 • 10 16 при

том, что дрейф частоты составляет менее 3 • 10 15 в год.

1.4 Оптические стандарты частоты

Последние несколько лет ознаменовались огромными достижениями в спектроскопии сверхвысокого разрешения и фундаментальной лазерной метрологии. Одной из главных целей является создание первичных оптических стандартов частоты с недостижимой до сих пор частотной неопределенностью на уровне 10 -17 -10 -18.

Повышение точности стандартов частоты всегда сопровождалось повышением частоты используемых осцилляторов, начиная с герцового

диапазона для маятниковых часов, мегагерцового режима работы кварцевых осцилляторов и кончая гигагерцовым диапазоном работы микроволновых атомных часов, частота выросла на десять порядков величины. Действительно, более высокие частоты обладают рядом преимуществ. Прежде всего, при определении ширины резонансной линии Ао поглощения, обратная относительная ширина линии, часто называемая добротностью линии или ее ^-фактором: Q = о0 /Ао, который растет при увеличении о0. Учитывая возможность «разбить» резонансную линию, то есть определить положение ее центра, можно сделать вывод, что относительная погрешность будет обратно пропорциональна Q, и, следовательно, частоте осциллятора. Исследование и подавление систематических эффектов, сдвигающих частоту стандарта, во многом облегчается при использовании высоких частот. Логично ожидать дальнейшего увеличения точности часов при переходе к оптическим стандартам, частота которых на пять порядков выше частоты микроволновых стандартов.

В последнее десятилетие была открыта новая эра в области частотной/временной метрологии, связанная с развитием атомной оптики (лазерное охлаждение и локализация) и революционным прогрессом в прямой одноступенчатой сверхточной связи оптического и микроволнового диапазонов с использованием фемтосекундного синтезатора частот. В результате, впервые оптические стандарты частоты достигли относительной частотной погрешности, меньшей, чем у самых лучших первичных стандартах на основе фонтана атомов Cs [26-31].

Оптические стандарты частоты на основе лазеров с нелинейной поглощающей ячейкой имеют принципиальное ограничение точности воспроизведения частоты. Это связанно с тем, что сужение ширины нелинейного резонанса до величин менее чем 10_11 ограничивается квадратичным эффектом Доплера. Повышение чувствительности измерений на четыре - пять порядков может быть достигнуто только в результате уменьшения абсолютных скоростей атомов за счет снижения температуры до

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Табатчикова Кристина Сергеевна, 2014 год

- / - / -

- / - / - у / -

'3 4,

2 ^ 3 "4/

- / - / - / - / / -

' 2 3

а (|—г—г) а (|—г—г—г) а (I—г—г—г—г)

Учитывая отдельно вычисленные интегралы (см. приложение 2), запишем выражения для В,, :

г„ щч п

В " =

Ьрр

ку

о о

\ с1ге~ГГ\\ Сг^1 + е)

ю ю ю

| Сг2| Сга е

о о о

-(2,Г+2гс>)-г3 ~(2Г+ИЗ^та -(2,Г+2гс>)-г4 -ут3 -(2,Г+2гс>)-г4

ю ю

—| Сг2(1 — е Г2 )| Сг3| Сг

3 J ^ "4

о о

е~2Гт3е~2Гт4

2ё(т3+т4) +

2^(Г3 +Г4 )

2 Г

2 Г

ю ю

+

| Сг2 е Г2| сСг3| ^^^

о о

-(2Г-И8у

ю

ю

ю

ю

ю

ю

ю

—ю

—ю

ю

—ю

ю

ю

ю

4

+

+

4

+

о

ю

о

ю

-(2Г-ИЗ)Та -уТ -(2Г-ИЗ)Та -ут -(2Г-ИЗ)ТА

•е v ' +е Зе v ' + е Зе v '

-\dTl( 1-е-™)

WWW

J d^J d^J dтA

ООО

SÍn2¿>r3 ~{г+Г+ИЗ)т3 e e + e e

isт

sin2¿>(r3+r4) -(r+r*+2isy3 -(2r*-2is)r4 sin2¿)r3

2)тЗ +т4 )

is^

W

Jd4 )l _ e^2 )

W W

•J d^J dтA

О О

-\2r+2iS)T3 -2Гт,

e v ; e 4

sin 2£r3 sin 2£ (г3 + т4 ) is^ 2s )т3 + т4)

sin2¿>r4 sin2¿>(r3+r4) _2fv4 sin2¿>r3 sin2¿>r4

I Q ^

2£т4 2s )т3 + т4 )

W W

•J d^ J dтl

is^ 2Sт4

W

+ J dт2 e

~ГТ2

О О

e~2rr3e-(2r-2iS)r4 SÍn2ST3 + е-(г+Г)т3 е_2Гт4

2 sт.

sin2¿>(r3 +т4)

2s)тз + Т4 )

+

~(r+r*+2isy3 ~(2r*+2isy4 SÍn2^T3

2sт

+ к.с.

(2.11)

Для C'Pp ■

ОО

ï"pp = ^ J d^U ]J dт2 )l + er )•

WW <

IО

W W

•J d^J dтл

О О

-Í2r+2iS\t3 -Í2r+2iS\t4 -Í2r+2iS\t3 _rT -{2r+2iS)t3 _rT

WW

_Jd^)l_e ^^^^^^^

ОО

~{2Г+И5)тъ а-2Гтл SÍn2(5T4 ~{2r+iS)r3 ^{r+f-liSy,

2Sтл

S\n2ÔTA -(f+f*+2íj)r3 2f*r4 SÍn2í^(r3 +r4) is^ is )т3 + т4 )

W W

> + J d^e^1 H d^)l + e"rri )•

W W

•J d^ J dтA

О О

-\2r-2iS)to -Í2r-2iS)T, -\2Г-218)То _rr -\2Г-218)То _rr

gl i j 3e 74

О

♦ <

О

W

О

ю ю

—| Сг2(1 — е Г2 )| Сг<

3 J ^ "4

о о

28гл

~(г+г*\т4 бш28тл -(2г-из)тъ -(г+г*)т4 ът2д(тъ+тЛ .е V ! -- + еу ' еу ' --1--

2 8г4 28 (г + г4 )

— | Сг(1 — е"гГ1)

ю ю

| Сг2(1 + е Г )| Сг\ Сг4

о о

е~2Гтзе~2ГтА

81П28(т3+т4) | с-2гъс-{?+п

28 (Г3 + Г4 )

Бт28г

2 8г

3 | ^т2бт3

2 8г

юю

-2 Г г-.

оо

•е

\2r-2isy, ьт28(т3 +т4) 8ш2<5т 28 (г + г4 ) 28г

л Гт -(г+г*+2и)\г, $т28т, $Ш28Та - + е ъе 1 ; -1-1 +

28г3 28г4

-(2Г-215)гз -(Г+Г-215)Г4 8Ш2^(Т3 + Т4 ) Ът2дтъ

28 (г3 + г4 ) 28г3

+ К.С.

(2.12)

2.3 Оптические резонансы Рамси в разнесенных во времени полях

В работе [8, 11] для того чтобы получить оптические резонансы Рамси использовалась схема Борде (рис. 2.2). Вспоминая выражение (2.1) данная схема может быть описана как:

г+(г )=Г (I)+Г (I — т)

Г_($ ) = Г (I — 2Т — в) + Г (I — 3Т — в)

где

Г (I):

1,1 <г/ 2

(2.13)

(2.14)

[о, I >г/2

где г - длительность импульса, Т - расстояние между импульсами, в -временная задержка прихода второй пары импульсов. Мы считаем, что I > 3Т + в.

Условие (2.13) и неравенство (2.14) накладывают сильные ограничения на число результативных членов в формулах для (Врр^)) и (Ср}^)). Мы учитываем только члены, зависящие от отстройки 8 (резонансные члены).

ю

о

ю

• <

о

ю

Отсюда из каждого произведений из (2.9), (2.10), в которое входит по шестьдесят четыре комбинации Г, для нас значимы только одна или две.

Всего произведений - шесть, по три для (ВрРр^)) и (СрРр^)). Это связано с

тем, что схема следования импульсов света (2.13) является заданной и поэтому реально осуществляется ограниченное число взаимодействий.

г г г г

1 1 1

г г+г> 1 г 1

Рис. 2.2. Наблюдение атомной интерференции в оптическом диапазоне с

помощью схемы Борде

Выпишем интересующие нас комбинации.

Для ($>):

1. а (i—г) а (i—г—г) (i—г—г—г) (i—г—г—г—г)^

(i — г —г—Г—Г—г) а (i — г —Г—Г— 2гъ — 2г4) ^ Г (I — Г — 3Т — в) Г (I — Г —Г— 2Т — в) Г (I — Г —Г—Г— 2Т — ву

•Г (I — г —г—Г—Г— 2Т — в) Г (I — г — г—Г—Г—Г—Т ) •

•Г (I — г — г—Г— 2гъ — 2г4 ) Г (I — Г — 3Т — в) Г (I — Г —Г— 3Т — в) Г (I — Г —Г—Г— 3Т — ву •Г (I — г — г — г3 — г4 — 2Т — в) Г (I — г — г—г—г—г—Т ) • •Г (I — г — г — г2 — 2г3 — 2г4 )

2. а (i—г) а (i—г—г—г) (i—г—г —г—г) (i—г—г — 2г3—г4)-

(i — г —г —Г — 2г3 —г) а (i — г —Г — Г — 2г3 — 2г4) ^

F i t-т-3T-в) F it -т-т3-т4- 2T-в) F it-т-т-т-^- 2T -в)^ •F i t -т-т- 2т3 - т4 - 2T - в) F it-т-т1-т2- 2тъ - т4 - T ) • •F it - т - т - т - 2тъ - 2т4 ) 3. G_ i t-т) G_ it-т-т3) G_ it-т-т -т) G it-т-т - 2тъ -т4)^ •G+ it-т-т -т2 - 2т -т) G i t-т-т -т2 - 2т - 2т) ^ F it-т-3T-в) F it-т-т- 3T-в) F it -т-т-т- 3T-в)^

•F i t -т-т- 2т3 - т - 2T - в) F it -т -т-т- 2т - т - T ) •

•F it-т-т-т- 2т - 2т )

Для (cfj) :

1. G_ i t -т) G_ i t -т -т-т) G it -т-т - т -т) G it -т-т - 2т3 -т4)^

•G+ it-т-т -т2 - 2т -т) G i t-т-т -т - 2т - 2т) ^ F i t-т-3T-в) F it-т-т-т- 2T-в) F it-т-т-т-т- T )• •F it -т-т - 2т -т) F it -т-т -т - 2т3 -т4)^ •F it-т-т-т- 2т - 2т ) F i t-т-3T-в) F it-т-т-т- 2T-в) F (t-т-т-т-т- T )• •F i t -т-т- 2т - т - T) F i t-т-т-т- 2т - т - T) • •F it-т-т-т- 2т - 2т )

2. G_ i t -т) G it -т-т) G it -т-т-т) G it -т-т- 2т - т ) •

•G+ it-т-т -т - 2т -т) G i t-т-т -т - 2т - 2т) ^ F i t-т-3T-в) F it-т-т- 2T-в) F {t-т-т-т- T )• •F it -т-т - 2т -т) F it -т-т -т - 2т3 -т4)^ •F it -т-т-т- 2т - 2т )

з. О (г -г)О (г -г-г)О (г -г-г-г)О (г -г -Г-Г-Г)'

•О (г-г-г -г2 -г3 -г4)О (г-г-г -г - 2гъ - 2г4) ^ ¥ (г-г-3Т-в) ¥ (г-Г-Г- 2Т-в) ¥ (г-г-гх-гъ- т )•

•¥(г - г - г - г - г - Т) ¥ (г - г - г - г - г - г - Т) • •¥ (г - г - г - г - 2гъ - 2г4 )

Мы полагаем, что ¥ (г) фактически ведет себя как дельта функция, ¥ (г) = Г8(г). Тогда интегрирование (р^6/) по г , гх , г2 , г3 и г4 не вызывает

рр / ' 1' 2' 3 4

сложности. В результате член шестого порядка по полю в разложении населенности верхнего уровня в ряд Тейлора имеет вид:

р(р)(г )\ = - (о г)6 е -т )[оов28Т сов2*Т (ИТ+в) +1)+

куо

+ бШ28ТБШ2£Т(ег(Т+в) -1)- соб28Т$>т2еТ^(ег(Т+в) -1) (2.15)

рШ = 4рШ (2.16)

рр у 'I \^рр Равенство (2.16) подтверждено прямым вычислением.

Учитывая предыдущие члены разложения, представленные в работе [9], полный ответ для элемента матрицы плотности с точностью до шестого порядка по полю имеет следующий вид:

(г)) = -^Л(Ог)4е-Т)[сов28Т • [сов2*Т[е^(Т+в) +1)-

Бт 2бТ , 2еТ

(ег(Т+в)-1) + вт28Т Б1п 2еТ(е?(Т+в)-1)1' [1 -(4О г) ] (2.17)

2.4 Эффект отдачи

Члены в (2.17) пропорциональные бш28Т приводят к сдвигам в измеряемой частоте. Этот сдвиг большой и сравним с шириной резонанса

~ 1. Чтобы избавится от него, в [8] было предложено выбрать Т таким, чтобы

£Т = жп (2.18)

где п - целое число (п «6 для [8]). Но точно выполнить условие (2.14) в эксперименте нельзя и это накладывает ограничение на точность измерения

АТ

частоты со — щ ~ , где АТ - точность, с которой выполняется условие

(2.18). Для 40Са б = 2ж • 23.1 • 102 с-1, поэтому, чтобы точность измерения

частоты была порядка 1 Гц необходимо АТ = 10—4.

Предлагается другой способ избавления от сдвига резонанса из-за эффекта отдачи. В формулах (2.13) в является свободным параметром, и никаких ограничений на него при проведенных вычислениях не накладывалось. Если выбрать в = —Т, то вг(Т—Т) = 1 и сдвиговый член из-за эффекта отдачи в (2.17) обращается в нуль. Такой выбор в соответствует схеме эксперимента:

) = Г (I) + Г (I — Т), Г— (I) = Г (I — Т) + Г (I — 2Т)

В этом случае атомы вначале взаимодействуют с импульсом бегущей волны, затем при I = Т с импульсом стоячей волны и, далее, при I = 2Т вновь с импульсом бегущей волны в другом направлении. В этом случае имеем вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии | е) (в импульсном представлении) с точностью до шестого порядка по полю (ку0г << 1)

р22(г) = — 4п^{От)4еегТ со$23Тсо$2еТ 1 — (40Т)21 (2.19)

кУо

то есть, в высших порядках по полю сдвиг резонанса из-за эффекта отдачи полностью исключается.

2.5 Численные оценки

В рассматриваемой схеме возбуждения время полного цикла взаимодействия охлажденных атомов кальция с импульсным лазерным излучением на длине волны 657 нм много меньше характерного времени релаксации верхнего уровня часового перехода. Ансамбль атомов взаимодействует со встречными электромагнитными волнами (рис. 2.2). В связи с этим в уширенной за счет эффекта Доплера спектральной линии возникает провал насыщенного поглощения (провал Лэмба). Поскольку ансамбль атомов взаимодействует с двумя разнесенными во времени импульсами, бегущими в одном направлении, а затем с двумя импульсами, бегущими в противоположном направлении, на провал Лэмба накладываются резонансы Рамси (рис. 2.3) [11, 63, 64].

01_._____,_____._„

-400 -200 0 200 400

5 (kHz)

Рис. 2.3. Интерференционная картина в центре доплеровски уширенной

1 3

интеркомбинационной линии So - Pi для лазерно охлажденных атомов.

Ширина провала Лэмба определяется шириной спектра отдельного импульса. При уменьшении длительности импульса ширина провала Лэмба увеличивается, соответственно увеличивается и количество частиц принимающих участие во взаимодействии, в результате этого к увеличивается уровень сигнала. Амплитуда регистрируемых резонансов

Рамси (интерференционных полос Борде) пропорциональна соъ(23Т). Необходимое спектральное разрешение достигается выбором достаточно длительного интервала Т, разделяющего импульсы бегущие в одном направлении [11, 63, 64]. Вычисленная в данной главе зависимость населенности верхнего уровня от расстройки частоты лазера (формула 2.17) описывает резонансы Рамси вблизи частоты перехода.

На рисунке 2.4 представлена зависимость населенности верхнего уровня часового перехода от отстройки частоты возбуждающего лазера, полученная экспериментально [11]. На данном рисунке отчетливо видны резонансы Рамси. Центральный резонанс смещен примерно на 100 Гц относительно частоты перехода из-за эффекта отдачи.

Рис. 2.4. Резонансы Рамси для импульсов длительностью т = 0.5 рс; Т = 260рс; 0 = 220рс; у = 400 Гц.

Сопоставим полученные теоретические результаты (см. формулу 2.17) с экспериментальными данными (рис. 2.4). Для этого рассмотрим численный пример. На рисунке 2.5 представлены зависимости населенности верхнего уровня от отстройки частоты лазера, соответствующие различным значениям 0. Остальные параметры схемы возбуждения взяты из работы [11].

22.5

Рис. 2.5. зависимости населенности верхнего уровня от отстройки частоты лазера для случая, когда сдвиг центрального резонанса отсутствует (красная кривая); для случая для случая получено экспериментально (синяя линия).

Варьирование промежутка времени между парами импульсов в приводит к изменению амплитуды резонансов, что проще всего пояснить на языке атомных волновых пакетов (интерференция Борде). Промежутки времени Т и в должны быть выбраны таким образом, чтобы к моменту завершения действия последнего импульса происходило полное переналожение атомных волновых пакетов (рис 1.3). В противном случае контрастность интерференционной картины будет, очевидно, снижаться вплоть до полного ее исчезновения. Изменение амплитуды резонансов при варьировании Т было экспериментально продемонстрировано в работах [11, 64]. Случай в = —Т соответствует подавлению сдвига центрального резонанса (см. формула 2.19), обусловленного эффектом отдачи. При построении графика обозначенного синим параметр в = 2201цс был взят из статьи [11]. Сдвиг обусловленный эффектом отдачи в этом случае составляет 100 Гц. Сравнивая график обозначенный синим на рисунке 2.5 с графиком представленным на рисунке 2.4, видно, что результаты теоретических вычислений хорошо согласуются с экспериментальными данными.

2.6 Основные результаты

Населенность верхнего уровня вычислялась в виде разложения в ряд Тейлора по степеням поля. Из полученных результатов видно что, вид зависимости слагаемого шестого порядка по полю от отстройки частоты возбуждающего поля совпадает с видом аналогичной зависимости слагаемого четвертого порядка по полю. Следовательно, увеличение амплитуды возбуждающего излучения приводит лишь к эффекту насыщения, то есть изменению амплитуды резонанса Рамси, форма резонанса при этом сохраняется.

Наряду с достоинствами стандарта частоты на ансамбле лазерно охлажденных атомах Са: компактность, относительно низкая стоимость, достаточно высокая точность измерения частоты присутствуют некоторые недостатки. Основным из которых, для рассмотренной экспериментальной схемы, является принципиальное ограничение по достижимой точности измерений (главным образом из-за сдвига, обусловленного силой тяжести) [57]. Стандарты частоты на ансамбле нейтральных атомов, захваченных в оптическую решетку, и стандарты частоты на одиночных ионах в радиочастотной ловушке выгодно отличаются от стандартов на охлажденных нелокализованных атомах, поскольку позволяют исключить влияние эффекта отдачи, эффекта Доплера, включая сдвиг резонанса, обусловленный силой тяжести. В связи с этим перейдем к теоретическому анализу данных стандартов.

3 ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД РАМСИ В ПРЕЦИЗИОННОЙ СПЕКТРОСКОПИИ УЛЬРАХОЛОДНЫХ И ЗАХВАЧЕННЫХ

АТОМОВ И ИОНОВ

Для достижения предельно узкой ширины резонанса в современных стандартах частоты, как правило, используют сильно запрещенные переходы. Поэтому чтобы получить максимальный сигнал и при этом сохранить частоту Раби порядка нескольких герц необходимо прикладывать сильное пробное поле, что очевидно будет приводить к значительному сдвигу частоты перехода [1]. В работе [7] был предложен новый вариант метода рамсеевской спектроскопии, позволяющий подавлять сдвиг вершины центрального резонанса из-за полевого сдвига уровней атома во время действия импульсов пробного поля. Суть данного метода заключается в следующем. Возбуждение ансамбля нейтральных локализованных атомов или одиночного локализованного иона осуществляется по схеме Рамси с разнесенными во времени импульсами разной длительности (рис. 3.1). Лазерное излучение абсолютно монохроматично, спонтанная релаксация уровней отсутствует.

Теоретический анализ данной схемы показал, что в случае стандартной рамсеевской спектроскопии (когда О0т = О 0т2 =ж/2, где О0 - частота Раби) доминирующая зависимость сдвига вершины центрального резонанса Рамси 6(о0 от сдвига резонансной частоты перехода обусловленного полевым сдвигом А - линейна (рис. 3.2а). Следовательно, сдвиг резонансной частоты перехода во время действия импульсов будет приводить к заметному сдвигу вершины центрального резонанса. При выполнении условия О0(т1+т2) = 2лп (п = 1,2,3,...) эта зависимость становится кубической,

что очевидно приводит к подавлению сдвига спектроскопического сигнала (рис. 3.26).

а.

б.

Рис. 3.1. Рамсеевские импульсы с длительностью темного периода Т. а) последовательность импульсов с длительностями тх и т2; б) последовательность импульсов с фазовым скачком во втором импульсе

Для достижения максимальной величины амплитуды резонанса необходимо, чтобы выполнялось условие

= тг(2ш +1)/ 2 (ш = 0,1,2,...) Таким образом, для того чтобы добиться минимального сдвига вершины центрального резонанса и максимальной амплитуды необходимо чтобы

г-

4п

Г 2ш +1

1

где п и т - любые целые числа. В простейшем случае, когда п = 1, а т = 0 длительности импульсов должны отличаться в три раза.

В условиях реального эксперимента типичные флуктуации частоты Раби достигают порядка нескольких процентов. Такие флуктуации частоты Раби

приводят к нарушению выполнения условия П0(т1+т2) = 2лп

и

эффективность подавления полевого сдвига резко снижается. Влияние

флуктуаций частоты Раби значительно меньше если второй импульс будет композитным, то есть, если в течение второго импульса фаза возбуждающей электромагнитной волны скачком меняется на противоположную (рис. 3.16).

Рис. 3.2. Численный расчет сдвига центрального резонанса дщ в зависимости от величины А/О 0 . а) для стандартной спектроскопии Рамси; б) для обобщенной рамсеевской спектроскопии

Цель настоящей работы заключается в анализе схемы, рассмотренной в работе [7], с учетом спонтанной релаксации энергетических уровней атомов и конечной ширины спектральной линии лазерного излучения, а также уточнении оптимальных условий возбуждения, обеспечивающих подавление полевого сдвига.

о

б.

3.1 Математический формализм

Пусть в узлах оптической решетки на магической длине волны локализованы двухуровневые охлажденные атомы с нижним основным состоянием | ь) и верхним состоянием | е). Атомы локализованы в областях

размеры, которых много меньше длины волны возбуждающего излучения, поэтому эффектом Доплера и эффектом отдачи можно пренебречь. Возбуждение атомов осуществляется по схеме Рамси с двумя разнесенными во времени импульсами разной длительности (рис. 3.1). Требуется выбрать длительности импульсов соответствующие подавлению частотного сдвига и максимальной амплитуде резонанса для двух схем Рамси: схемы с импульсами разной длительности и схемы с композитным импульсом.

Как показано в работах [60,61] в рассматриваемом случае квантовое кинетическое уравнение может быть записано в следующем виде:

|р = —1 [й, р]+ Г{р} (3.1)

ОТ %

где I - мнимая единица, % - постоянная Планка, ? - время, р - матрица плотности:

Р =

' р р л

г^ ее г еь

Рее Рь

Й - гамильтониан, Г{р} - оператор релаксации. Для промежутков времени, когда ансамбль атомов подвергается действию внешнего электромагнитного поля, гамильтониан записывается следующим образом:

- 1

й = -2

г~%8р Ш0Л

V ш0 )

где д =ю — ю$—А - отстройка частоты пробного поля от частоты

возмущенного перехода, А - полный сдвиг частоты перехода во время действия импульса (см. рис. 3.3).

Рис. 3.3. Во время рамсеевских импульсов происходит сдвиг частоты

перехода на величину А

Во время темного периода частота Раби О 0 и полный сдвиг А обращаются в ноль. В таком случае, отстройка частоты пробного поля от частоты невозмущенного перехода: 8 = со-т0. Смена фазы возбуждающего электромагнитного поля на противоположную описывается заменой О на - О0. Оператор релаксации имеет следующий вид:

Г {Р } =

V 2

-УРе

{У + Уа )Р

-1 {У + Уа )Р

е8

8е

УРе

где у - константа спонтанной релаксации уровней, уа - константа затухания

недиагональных элементов р8 и рёе за счет конечной ширины лазерного

излучения. Для диагональных элементов матрицы плотности имеет место следующее условие нормировки

Р8 + Рее = 1 (3.2)

3.2 Схема Рамси с импульсами разной длительности

Поскольку в современных оптических стандартах частоты, как правило, используют сильно запрещенные переходы для нас весьма важно в первую очередь провести теоретический анализ зависимости подавления полевого сдвига центрального резонанса Рамси от ширины спектральной линии

1

лазерного излучения уа. Поэтому в данном разделе мы не учитываем спонтанную релаксацию атомных уровней у.

Учитывая условие нормировки (3.2), квантовое кинетическое уравнение для матрицы плотности (3.1) можно переписать в векторном виде:

р = Ьр + $ (3.3)

где Ь - Лиувиллиан; $ - постоянный вектор; р = {рее ре р вектор элементов матрицы плотности. Во время действия импульсов тх и г2

Г \

0

а

2

а

Ь

0

¡а

- ¡а

2 ,

а о 2

¡8р -р 2

0

(3.4)

¡а

2

0

- ¡8 -уА_

НУр

2

(3.5)

)

во время темного периода Т

$ = 0

(3.6)

Ь =

о о

о

Уа

0 ¡8-^ 0 2

0

0

2 )

(3.7)

Вычислим населенность верхнего энергетического уровня рее в конце действия второго импульса для схемы Рамси с импульсами разной длительности (рис. 3.1а). Для этого система квантовых кинетических уравнений последовательно решается сначала для первого импульса, затем для темного периода и наконец для второго импульса. Населенности уровней

в конце первого импульса являются начальными условиями для квантового кинетического уравнения, описывающего поведение системы во время темного периода, населенности уровней в конце темного периода являются начальными условиями для уравнения, описывающего эволюцию системы во время второго импульса.

Из соображений удобства исключим постоянное слагаемое б, чтобы уравнение (3.3) стало эквивалентно системе однородных линейных дифференциальных уравнений. Произведем замену:

р = а — Ь б

(3.8)

Несложные вычисления дают следующее значение слагаемого Ь б в уравнение (3.8):

с \

рее

рее

\рье У

V а3

1

+ — 2

0

V 0 у

(3.9)

Л—1 —*

Во время темного периода Ь б = 0 [см. формулу (3.6)], таким образом р = а.

Учитывая введенные обозначения, уравнение (3.3) можно переписать в следующем виде:

а = ьа (3.10)

Полученное матричное уравнение эквивалентно системе однородных линейных дифференциальных уравнений:

а1 + а2

Ю.Г

2

— а^

2

= 0

а2 + а1/00 + а2

8

Уа

\

а3 — а1/П0 — а3

р

2 у л

= 0

18п + р 2

= 0

(3.11а) (3.116) (3.11в)

)

Систему уравнений (3.11) будем решать методом Эйлера [62]. Из (3.11а) и (3.116) выразим а3 и а1 соответственно:

ах = а2

¡а

- ап

28р -Уа

V 200 )

2

аз — а2 а^