Исследование планарных многослойных киральных метаматериалов на основе спиральных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Почепцов Андрей Олегович

• Почепцов Андрей Олегович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Почепцов Андрей Олегович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КИРАЛЬНОГО МЕТАМАТЕРИАЛА НА ОСНОВЕ СПИРАЛЕЙ

1.1. Материальные уравнения для кирального метаматериала

1.2 Дифференциальные уравнения первого и второго порядка для электромагнитного поля в киральной среде

1.3. Формулы для составляющих векторов электромагнитного поля в киральном метаматериале

1.4. Математическая модель кирального метаматериала на основе однозаходных спиральных включений

1.5 Анализ дисперсии кирального метаматериала на основе спиралей

Выводы по главе

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОТРАЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ ОТ ПЛАНАРНОГО КИРАЛЬНОГО СЛОЯ НА ОСНОВЕ МНОГОВИТКОВЫХ СПИРАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Постановка задачи

2.2. Определение электромагнитного поля в киральном метаматериале

2.3. Электромагнитное поле в диэлектрической области

2.4. Электромагнитное поле в диэлектрической области

2.5 Использование граничных условий. Система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов отражения и прохождения

2.6. Анализ численных результатов

Выводы по главе

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОТРАЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ ОТ МНОГОСЛОЙНЫХ

КИРАЛЬНЫХ МЕТАМАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ МНОГОВИТКОВЫХ СПИРАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

3.1. Постановка задачи

3.2. Электромагнитное поле в киральном слое (область 3)

3.3. Электромагнитное поле в диэлектрическом слое (область 2)

3.4 Расчет электромагнитного поля в областях 1 и

3.5. Решение граничной задачи

3.6. Численные результаты

3.6.1. Случай спиральных элементов с 3 витками

3.6.2. Случай спиральных элементов с 2 витками

3.6.3. Случай спиральных элементов с 2 витками с толщиной контейнера 10 см

3.7. Матричный метод для расчета характеристик многослойных киральных метаматериалов

3.7.1. Тензор поверхностного импеданса обобщенного кирального слоя

3.7.2. Матрица передачи обобщенного кирального слоя

3.7.3. Применение метода матриц передачи для расчета характеристик планарных двухслойных киральных метаструктур

3.7.4. Анализ численных результатов

Выводы по главе

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ЧЕРЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫЕ КИРАЛЬНЫЕ МЕТАМАТЕРИАЛЫ

4.1. Обобщенная модель периодически неоднородной киральной среды

4.2. Распространение плоской электромагнитной волны в периодически неоднородной системе из чередующихся киральных слоев с различными материальными параметрами

4.3 Анализ дисперсионных характеристик собственных волн периодически неоднородной

киральной среды

4.3.1 Структура из периодически чередующихся положительно киральных и диэлектрических слоёв на основе правых форм зеркально ассиметричных элементов и диэлектрических слоёв с разными значениями диэлектрической и магнитной

проницаемостей

4.3.2. Структура из периодически чередующихся отрицательно киральных и диэлектрических слоёв на основе левых форм зеркально ассиметричных элементов и диэлектрических слоёв с разными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей

4.3.3 Структура из периодически чередующихся киральных слоёв на основе правых и левых форм зеркально асимметричных элементов с одинаковыми значениями параметра киральности, но разными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей

Выводы по главе

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время наблюдается значительное развитие технологий создания искусственных материалов. Речь идет прежде всего об искусственных композиционных структурах, которые называются метаматериалами. Мета-материалы с уникальными для естественных сред свойствами, появились в результате значительного развития таких областей науки, как физика, материаловедение, инженерия и химия. Существует большое количество научных изданий и статей [1-10], в которых подробно обсуждаются уникальные электромагнитные свойства метаматериалов. Значительный интерес к исследованию электромагнитных свойств метаматериалов связан также с таким явлением, как отрицательное преломление [11-16] (среда Веселаго, left-handed media). Метаматериал в общем смысле представляет собой композиционную среду, составленную как минимум из двух материалов с различными электрофизическими и химическими свойствами [1]. Один материал выступает в роли контейнера (обычно это однородная среда), из другого материала изготовляются включения (элементы), которые затем определенным образом размещаются в контейнере. Обобщенная структура метаматериала приведена на рис. В

W

Рис. В.1. — Обобщенная модель метаматериала

К уникальным свойствам метаматериалов можно отнести не только возможность отрицательного преломления, но и превышение субволнового предела (линза Пендри) [17], сильную оптическую активность в киральных метаматериалах [15] и взаимодействие между мета-атомами [15]. Здесь уместно ввести термин «киральный метаматериал». Киральность — это свойство объекта не совпадать со отражением в плоском зеркале. Киральная среда (метаматериал) — это материал, в котором в качестве включений используются элементы зеркально асимметричной формы. Электродинамика киральных сред получила свое активное развитие в 90-е гг. XX века. Известно много научных работ, в которых исследованы основные электромагнитные свойства киральной среды [18-24].

В статьях [25, 26] рассмотрены основные вопросы теории метаматериалов. Сразу следует заметить, что в 2000-х гг. получила развития теория метаматериалов СВЧ диапазона. Так, в частности, киральный метаматериал представляет собой совокупность проводящих микроэлементов киральной формы, равномерно размещенных и произвольно ориентированных в диэлектрической среде [18-24]. В настоящее время технология создания метаматериалов шагнула к терагерцовым и оптическим частотам.

Как известно, в электродинамике свойства материальной среды описываются двумя параметрами: относительной диэлектрической проницаемостью £ и относительной магнитной проницаемостью № . Диэлектрическая проницаемость, по сути, описывает величину отклика среды на внешнее электрическое поле, то есть процесс поляризации. В свою очередь, магнитная проницаемость — это отклик среды на внешнее магнитное поле. Как известно, в естественных диэлектрических и магнитных средах эти отклики не связаны между собой, то есть векторы индукций связаны только с напряженно-стями соответствующих видов полей, а именно:

1> = 1>(Ё), В = Ё(Й)

В метаматериалах, как в структурах с пространственной дисперсией эти локальные соотношения переходят в связанные, что приводит, в свою очередь, к усложнению формы материальных уравнений:

5 = в(Ё,й), в = в(й,Ё).

Таким образом, классификация современных сред усложняется и ее наглядно иллюстрирует рис.В.2 [15].

и

1 II I

8<0, ц>0 8>0, ja>0

metals, doped most dielectric

semiconductors materials -►

s<0, ji<0 s>0, ja<0

no natural someferrites

materials

III IV

Рис. В.2. — Классификация сред [15] На рис. В.2 показано «пространство материальных параметров». Область 1 в I квадранте соответствует диэлектрическим материалам, у которых обе проницаемости положительные. В квадрант II входят металлы, сегнето-электрики и легированные полупроводники, у которых на частотах, ниже плазменной, диэлектрическая проницаемость меньше нуля. В квадрант IV входят ферриты, у которых на резонансных частотах магнитная проницаемость является отрицательной. И, наконец, область III соответствует средам с отрицательным преломлением, в которых на определенных частотах обе проницаемости являются отрицательными. В естественной природе таких материалов не существует, и они по определению могут быть только композиционными, то есть относиться к классу метаматериалов. Свойства такого

7

материала теоретически предсказал более 50-ти лет назад Веселаго [27]. Разумеется, в 60-е гг. XX века экспериментов по созданию сред с отрицательным преломлением не было, и работа Веселаго была «забыта» до середины 90-х гг. XX века. В [16, 26] Пендри впервые предложил использовать искусственные композиционные среды для создания отрицательного преломления. По сути, именно Пендри своими работами создал новую область исследований — электродинамика метаматериалов.

Как уже упоминалось, одним из примеров метаматериалов являются киральные среды. С чем связан такой значительный интерес к их исследованию? Рассмотрим самый простой и очень эффективный киральный элемент — проводящую тонкопроволочную спираль. Форма спирали позволяет в одном элементе сосредоточить два вида электромагнитных диполей. Витки спирали представляю собой магнитные диполи, а переходы от одного витка к другому — электрические диполи. Далее элементы размещаются определенным образом в среде-контейнере. Возникает интересный момент, связанный с тем, что в результате микроскопические элементы общей структуры, так как их размеры меньше длины падающей электромагнитной волны, её не чувствует и играет роль макроскопической результат переизлучения всей совокупность контейнер+элементы. Такую структуру нужно уже характеризовать эффективными диэлектрической и магнитной проницаемостями, учитывающими как свойства контейнера, так и форму микроскопических включений. Таким образом, встает вопрос построения математической модели ки-рального метаматериала на основе конкретных микроскопических включений с учетом дисперсионных явлений. В диссертационной работе будет построена модель кирального метаматериала на основе проводящих многовит-ковых спиралей, которая в отличие от других моделей будет учитывать и взаимодействие между соседними микроэлементами.

В свое время Пендри [28] предложил использовать трехмерные структуры из металлических проводников для достижения крайне низкой плазменной частоты, а также двойные разомкнутые кольца для получения сильно

искусственного магнитного эффекта. Для разомкнутых колец была найдена резонансная частота, на которой эффективная магнитная проницаемость меняет свой знак. Заметим, что преимущество киральных элементов заключается в том, что в одном элементе совмещены как электрическая, так и магнитная микрочастицы и отпадает необходимость в использовании двух отдельных совокупностей элементов.

Заметим, что во многих случаях очень сложно получить аналитические выражения для эффективной диэлектрической и магнитной проницаемостей метаматериала. В этом случае используется процедура расчета коэффициентов отражения и прохождения электромагнитной волны от микроэлемента (совокупности элементов), основанная на численных алгоритмах, таких методах как: конечных разностей во временной области и конечных элементов [29-34]. В связи с этим многие исследования метаматериалов связаны со значительным использованием коммерческих программных продуктов, таких как CST Microwave Studio, COMSOL Multiphysics и ANSOFT HFSS.

Остановимся более подробно на киральных метаматериалах. По сути, свое начало киральность в электродинамике берет из областей химии и биологии. Известны, киральные (хиральные) биомолекулы, обладающие асимметричной конфигурацией атомов. Хиральная молекула и свое зеркальное отображение называются энантиомерами, которые часто обозначается как «правая» и «левая» формы.

Материальные уравнения для киральной среды имеют следующий вид

[18]:

D = sE- i%H, В = juH + i%E,

В киральном материале собственными волнами являются моды с право (ПКП) и левокруговыми (ЛКП) поляризациями, которые обладают различными постоянными распространения. Третьяков и Пендри в свое время независимо предложили киральный метаматериал в качестве альтернативного пути достижения отрицательного преломления [6, 35].

В настоящее время принято использовать две модели киральной среды. Объемная модель предполагает, что в качестве контейнера выступает трехмерный слой однородного материала и сами киральные элементы также являются трехмерными (спирали, разомкнутые кольца с выступающими концами и т.п.). Планарная модель представляет собой совокупность плоских двухмерных элементов ^-элементы, гаммадионы, двойные разомкнутые кольца и др.), размещенную на поверхности планарной однородной среды.

В настоящее время в качестве моделей объемных киральных элементов используются цилиндры с проводимостью вдоль винтовых линий поверхности (модели тонкопроволочной спирали) [36-39]; разомкнутые кольца с прямолинейными концами [40], сферы со спиральной проводимостью [41]; в качестве двумерных — частицы в виде греческой буквы О (омега-среда) [42, 43], S-элементов [44-46], гаммадионов [47] и др.

Однако не стоит полагать, что теория киральных сред зародилась лишь в конце XX века.

В 1898 году учёный Д.Ч. Бозе рассматривал свойства поляризации сред с искривленной конфигурацией [48]. Это были первые эксперименты по ки-ральным средам в микроволновой области. В 1914 году Линдман изучал среды, представлявшие собой совокупность беспорядочно ориентированных тонких проволок, закрученных в спираль [49]. В настоящее время созданы устройства СВЧ, такие как антенны, линии передачи, поляризаторы на основе искусственных киральных сред [50-52].

Таким образом, области применения в технике киральных сред весьма широкие — маслоотражающие покрытия, частотно селективные защитные экраны, волноводы с киральным заполнением, частотно и поляризационно селективные фильтры, поляризаторы, киральные антенны, антенны на ки-ральных подложках и т.п.

Заметим, что в диссертационной работе рассмотрено другое применение киральных метаматериалов на основе спиральных элементов — частотно селективное изменение направления вектора Умова-Пойнтинга, позволяю-

щее на определенных частотах выполнять преобразование нормально (ради-ально) падающего СВЧ излучения.

В 1948 году Телледжен [53] впервые объединил электрический и магнитный диполи в общий элемент с целью получения новых уникальных электромагнитных свойств. Однако вплоть до настоящего времени аналитического описания киральных материалов на основе разомкнутых колец, а также спиральных элементов, являются предметом дискуссий.

Громадный вклад в изучение свойств киральных метаматериалов внёс Третьяков С.А. Именно он стоял у истоков современной теории метаматериалов в России. В работе [54] была изучена реализация возможности отрицательного преломления. Показана возможность отрицательного преломления вблизи резонансных частот спирального микроэлемента. В работе [55] проведено исследование частиц со спиральной проводимостью с оптимизированными материальными параметрами. Это позволяет создавать уникальные среды с равными диэлектрическими, магнитными и киральными проницаемостями. В работе изучены электромагнитные свойства двух спиральных структур: элемента Телледжена, который состоит из разомкнутого кольца с выступающими прямолинейными участками и классической спирали.

В работе [36] проводится обзор теоретических результатов по проблематике создания и исследования киральных метаматериалов в СВЧ-диапазоне. Результаты получены для длинных спиральных элементов с малым по сравнению с длиной волны радиусом витков и матрицы из подобных спиральных элементов. В исследуемых метаматериалах возникают сильные поляризационно-селективные резонансные явления.

В работах [56, 57] были рассмотрены модели Максвелла-Гарнетта для случая киральных включений.

В диссертационной работе в качестве объектов исследования выбраны тонкопроволочные элементы в виде многовитковых проводящих спиралей, а также метаматериал на основе матрицы указанных микроэлементов. Соглас-

но рассмотренной выше проблематике, можно отметить необходимость создания математической модели киральной среды на основе спиральных элементов, которая бы приводила к аналитическим частотным зависимостям эффективной диэлектрической проницаемости и относительного параметра киральности и учитывала бы взаимосвязь между соседними микроэлементами, а также конечный радиус проводников, образующих спиральный элемент. Далее интерес представляет получение новых интересных физических явлений, возникающих при взаимодействии электромагнитного поля СВЧ с киральным метаматериалом. В [33, 34] показано, что в киральных метамате-риалах на основе элемента Телледжена и многовитковых спиралей возможно преобразование нормально падающего электромагнитного излучение в рассеяние в азимутальной плоскости на отдельных частотах. В диссертационной работе доказано существование подобного эффекта и в метаматериале на основе многовитковых спиралей, и кроме того, показано существование мульти частотного преобразования на ряде дискретных частот. Также интерес представляет разработка методов и анализ многослойных (в том числе, периодически неоднородных) киральных метаструктур на основе спиральных элементов, чему также немало уделено внимания в диссертационной работе. В результате авторских исследований, доказана возможность использования периодически неоднородного кирального метаматериала для выполнения фильтрации волн с круговыми поляризациями и создание СВЧ аналогов оптических ключей на их основе.

По материалам диссертационной работы опубликован ряд работ [58-77, 86-87].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование планарных многослойных киральных метаматериалов на основе спиральных элементов»

Цель работы и задачи работы.

Целью диссертационной работы является получение математической модели киральной среды на основе совокупности распределенных в диэлектрическом контейнере спиральных элементов и проведение анализа прохождения и отражения плоских электромагнитных волн (ПЭМВ) от многослой-

ных и периодически неоднородных метаструктур. В работе для достижения цели решаются следующие задачи:

- построение дисперсионной модели кирального метаматериала на основе идеально проводящих спиралей;

- анализ отражения плоских электромагнитных волн от планарного слоя кирального метаматериала при использовании полученной дисперсионной модели;

- анализ отражения плоских электромагнитных волн от двухслойного ки-рального метаматериала при использовании полученной дисперсионной модели;

- адаптация матричного метода для использования в случае многослойных киральных метаматериалов;

- анализ прохождения плоских электромагнитных волн через планарную периодически неоднородную киральную метаструктуру.

Объект исследования — киральные метаматериалы.

Предмет исследования — электродинамические характеристики кираль-ных метаматериалов.

Научная новизна работы состоит в разработке новых теоретических положений в искусственных композиционных средах:

1. Получена математическая модель киральной среды на основе спиральных элементов, учитывающие дисперсионные свойства материальных параметров и взаимодействие между соседними элементами.

2. Выявлены особенности отражения плоских электромагнитных волн от одно и многослойных киральных метаструктур на основе совокупности ки-ральных элементов.

3. Доказана возможность частотно селективного перенаправления падающего потока электромагнитной энергии в плоскость одно и многослойных киральных метаструктур на основе киральных элементов.

4. Выявлены особенности распространения плоских электромагнитных волн в планарных периодически неоднородных киральных метаматериалов на основе совокупности киральных элементов.

5. Доказано, что периодически неоднородные киральные метаматериалы обладают частотной и поляризационной селективностью и позволяют выполнять функции фильтров волн с круговыми поляризациями.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы состоит в разработке математической модели тонкопроволочной спирали и киральной среды на основе совокупности таких спиралей, учитывающей дисперсию материальных параметров с учетом взаимодействия между соседними элементами, а также в построении математической модели периодически неоднородной киральной метаструктуры на основе слоев с разными значениями материальных параметров. Практическая ценность работы заключается в том, что предложена структура кирального метаматериала на основе спиральных элементов с целью получения частотно селективного рассеяния нормально (радиально) падающей ПЭМВ в плоскости метаматериала. Это свойство может быть использовано при проектировании частотно селективных устройств СВЧ, позволяющих концентрировать микроволновую энергию в самом метаматериале на заранее заданных частотах. Кроме того, предложены варианты периодически неоднородных ме-таструктур для создания частотно и поляризационно селективных фильтров волн с круговыми поляризациями.

Методология и методы исследования. Работа основана на математическом аппарате электродинамики, методах математического моделирования, численных методах решения трансцендентных систем линейных алгебраических уравнений. Результаты численных расчетов, полученные с использованием эффективных алгоритмов расчета, были положены в основу создания пакета прикладного ПО.

Достоверность и обоснованность результатов работы подтверждается:

- использованием обоснованных физических моделей и строгих (или с известными оценками сходимости) математических методов решения поставленных задач;

- сравнением полученных результатов работы с расчетными данными, полученными при использовании разных методов вычислений;

- сравнением полученных результатов с частными случаями из работ других авторов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получена математическая модель тонкопроволочного идеально проводящего кирального элемента и метаструктура на основе совокупности таких элементов, учитывающая дисперсию материальных параметров и взаимодействие между соседними элементами.

2. Теоретически предсказан эффект рассеяния плоской электромагнитной волны в плоскости одно и двухслойной киральной метаструктуры на основе киральных элементов.

3. Построена математическая модель планарной периодически неоднородной киральной метаструктуры на основе чередующихся слоев с различными значениями материальных параметров.

4. Теоретически предсказана возможность создания на основе периодически неоднородных киральных метаструктур частотно селективных фильтров волн с круговыми поляризациями.

Личный вклад автора. В данной диссертационной работе диссертант является автором математических моделей, проведения численного моделирования. Все результаты данной диссертационной работы получены автором лично.

Специальность и отрасль науки, которой соответствует диссертация.

Диссертационное исследование соответствует п.2. «Изучение линейных и не-линейных процессов излучения, распространения, дифракции, рассения, взаимодействия и трансформации волн в естественных и искусственных средах.», п.3. «Разработка, исследование и создание новых электродинамических систем и устройств формирования и передачи радиосигналов: резонаторов, волноводов, фильтров и антенных систем в радио, оптическом и ИК -диапазоне.», п.6. «Разработка физических основ и создание новых волновых технологий модификации и обработки материалов.» паспорта специальности 01.04.03 - Радиофизика. Тема диссертации соответствует отрасли технических наук.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы апробировались на международных научно-технических конференциях: XV МНТК «ПТиТТ» (г. Казань, 2014); XIII, XIV, XV «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 2015; г. Самара, 2016; г. Казань, 2017), а также на Российских научных конференциях профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГУТИ (г. Самара, 2014-2018).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 87 наименований и содержит 135 страниц текста, в том числе 39 рисунков.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КИРАЛЬНОГО МЕТАМАТЕРИАЛА НА ОСНОВЕ СПИРАЛЕЙ

1.1. Материальные уравнения для кирального метаматериала

Киральный метаматериал моделируется путем размещения в однородной диэлектрической среде элементов зеркально асимметричной формы [6]. Эти элементы представляют собой электромагнитные частицы, так как их линейные размеры меньше длины СВЧ волны. Киральные включения выполняются из металла (медь, алюминий и т.п.). Форма и размеры элементов зеркально асимметричной формы оказывают влияние на значение параметра ки-ральности (о котором речь пойдет ниже), а также на эффективную диэлектрическую проницаемость всего метаматериала в целом. В качестве однородной диэлектрической среды (контейнера) чаще всего используются материалы с небольшим значением относительной диэлектрической проницаемости (например, пенополистирол и т.п.).

Впервые формальный вывод материальных уравнений для киральной среды был рассмотрен в работах Линделла и Сиволы — ученых из Хельсин-ской лаборатории искусственных сред [18]. Формальность вывода материальных уравнений означает, что в итоговые соотношения будет входить некоторый обобщенный коэффициент (параметр киральности) в виде постоянной, явный вид которой затем будет определяться формой и размерами ки-ральных микровключений. Отличием киральной среды, состоящей из зеркально асимметричных включений, является то, что каждый элемент представляет собой связанную совокупность электрического и магнитного диполей [18].

3 = ЕЁ + 1%Й, В = цЙ±1%Ё. (1.1.1)

В соотношениях (1.1.1) верхние знаки соответствуют киральной среде на основе спиралей с правой закруткой, а нижние знаки — киральной среде на основе левовинтовых спиралей.

Соотношения (1.1.1) называются материальными уравнениями для искусственной киральной среды в формализме Линделла-Сиволы [18]. Они являются обобщенными, так как в них присутствует параметр киральности % в виде некоторой константы. Для реальных моделей кирального метаматериала необходимо учесть дисперсионные зависимости диэлектрической проницаемости и параметра киральности, а также получить явное соотношение для %, учитывающее форму зеркально асимметричного элемента, его размеры и расстояние между соседними композитами. В большинстве случаев это является самой сложной задачей построения математической модели кирального метаматериала. В диссертационной работе в дальнейшем будет получена формула для относительного параметра киральности в случае спирального композита.

В заключение раздела приведем материальные уравнения для киральной среды (1.1.1) в системе единиц СИ [15]:

3 = &0&Ё + 1%у1&0)л0Н, В = ]л0]лН±1Ху[щ^Ё, (1-1.2)

где е0 — электрическая постоянная вакуума; ц0 — магнитная постоянная вакуума. Заметим, что абсолютный показатель киральности % =

имеет размерность показателя преломления.

Для описания метаматериала как совокупности киральных микроэлементов, размещенных в однородном контейнере можно воспользоваться формулой Максвелла-Гарнетта с учетом дисперсии материальных параметров:

£ ео ег 6С

-— = а—-—;

е + 2е8 е г + 2е8

В2

е8 (ю) = е г +; (1.1.3)

ю0 - ю

X (ю ) = А в 2Ю

С ( ®2 - ю2)

где е г — относительная диэлектрическая проницаемость контейнера; в 0 — параметр, имеющий размерность частоты и связанный с внутренними процессами в среде; с — скорость света; А — параметр, имеющий размерность длины; а — объемная концентрация микроэлементов в контейнере.

Зависимости материальных параметров е8 (ю) и % (ю) связаны с конкретным видом кирального элемента. Далее в работе будет получен их явный вид для тонкопроволочного многовиткового спирального элемента.

1.2 Дифференциальные уравнения первого и второго порядка для электромагнитного поля в киральной среде

Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для комплексных амплитуд векторов электромагнитного поля в киральной среде на основе правых форм киральных элементов в случае гармонической зависимости векторов поля от времени. Для этого в уравнения Максвелла подставим материальные уравнения для киральной среды (1.1.1) и получим:

хоХЁ = кЛ-щЙ + уЁ\,

. , . ' (1-2.1) хоХН = к0игЕ + %Н),

где к0 = ю/ с — волновое число для плоской однородной волны в вакууме; с — скорость света в вакууме.

Из уравнений (1.2.1) следует обобщение принципа перестановочной двойственности [22] на случай киральной среды:

E^^H, е<=>-ц, х^^Х- (1-2.2)

Как всегда, при решении электродинамических задач уравнения Максвелла напрямую не решают, а сначала получают дифференциальные уравнения второго порядка (например, уравнения Гельмгольца в случае диэлектрической среды).

Выведем дифференциальные уравнения второго порядка для векторов Ё и Й ЭМП в киральной среде.

Будем считать, что материальные параметры киральной среды г, ц и %

не зависят от координат, то есть среда является однородной. Метаматериал можно считать однородным, когда включения расположены на одинаковых расстояниях друг от друга, что имеет место в нашем случае.

Применив операцию rot к каждой части уравнения для вектора Ё (1.2.1), получаем:

rotroti? = к^-щтХЙ + %rot£). (1.2.3)

Подставим в уравнение (1.2.3) соотношения (1.2.1) и после преобразований, получим:

rot rot Ё = kQ (-iju rot Й + х rot Ё) =

= це к2Ё - Иук1гЙ + к2Х2Ё = (1.2.4)

? / ? \ ~~* ? ~~* = Ц8И + Х )Е -2ik0}i%H.

Воспользовавшись известным соотношением векторного анализа [79]:

rot rot Ё = grad div E-V2E, перепишем дифференциальное уравнение (1.2.4) следующим образом:

У2Ё + к20 (sjll + x2)^ = grad div + 2 ikfayH. (1.2.5)

Применив операцию rot к каждой части уравнения для вектора Й (1.2.1) и производя преобразования в итоге получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

V 2Й + kl (ejLi + X2 )н = graddiv/f - 2ikfe%E. (1.2.6)

Запишем третье и четвертое уравнения Максвелла для векторов электромагнитного поля (ЭМП) в киральной среде при отсутствии источников поля (р = j = 0):

div(e£)-idiv(x#) = 0,

v ' v ' (1.2.7)

Для однородной киральной среды из системы дифференциальных уравнений (1.2.7) несложно получить:

div£ = 0, div# = 0. (1.2.8)

Используя соотношения (1.2.8), перепишем дифференциальные уравнения (1.2.5) и (1.2.6) в следующем виде:

v2e+к1{щ+г2)Ё- 2ikfa%H = о,

, \ (1-2.9)

V2// + (ец + X2 )н + 2И$г%Ё = 0.

Введем обозначения:

n = — относительный показатель преломления среды-контейнера;

пс =^п2 + %2 — относительный показатель преломления кирального метаматериала с киральными включениями.

Дифференциальные уравнения второго порядка (1.2.9) являются связанными относительно функций Е и Н и при % = 0 переходят в однородные уравнения Гельмгольца для электромагнитного поля в однородной диэлектрической среде:

У2Ё + к^£^Ё = 0, У2Й + к$£\±Н = 0. (1.2.10)

Как известно, в киральных средах распространяются волны с право (ПКП) и левокруговыми (ЛЕСП) поляризациями.

Представим векторы Ё и Й суммарного электромагнитного поля в киральной среде следующим образом [3, 5, 7]:

Ё = ЁК+ЁЬ, Й = (1.2.11)

где Ёк — напряженность электрического поля волны ГЖП; Ёь — напряженность электрического поля волны ЛКП.

Функции Ёк и Ёь в научной литературе часто называют полями Белъ-трами [18, 21].

Подставим представления поля в виде (1.2.11) в уравнения (1.2.9) и после некоторых преобразований получим:

Ч2ЁК + У2^ + к1 (я + х)2 ЁК + к1 (я + х)2 Ёь + - 2к1пгЁ1 = 0;

+ + (1-2.12)

I.

9 ~*" 9 —•

+ 2к(} 1щЕц +2к0ш%Еь = 0. После некоторых преобразований уравнения (1.2.12) сводятся к следующим соотношениям:

У2ЁК + У2ЁЬ + к2 (п + х)2 ЁК + к2 (п + х)2 Ёь + 2к2пхЁК - 2к2пХЁь = 0, У2ЁК - У2ЁЬ + к2 (п + х)2 ЕК - к2 (п + х)2 + 2к2пХЁК + = 0.

Почленно складывая и вычитая уравнения (1.2.13), получаем два однородных уравнения Гельмгольца относительно функций ЕК и Еь :

У2Ё„ + к1ЁК = 0;

К К К (1.2.14)

где

кК = к0 (п + х) и к1 = к0 (п ~х) — волновые числа для волны ПКП и ЛКП соответственно;

В случае х = 0 из уравнении для волновых чисел из (1.2.14) следует кК = кь = к0п, что свидетельствует о распространении только одной волны в

диэлектрической среде с волновым числом к = к^^/вц.

Следовательно, в безграничной киральной среде нормальными волнами являются две волны с право- и левокруговыми поляризациями и разными волновыми числами кп г.

1.3. Формулы для составляющих векторов электромагнитного поля в киральном метаматериале

В данном разделе рассмотрим алгоритм вычисления всех составляющих векторов электромагнитного поля в киральном метаматериале [24].

Продольные составляющие ЭМП в киральной среде Е,, Н, будут определяться суперпозицией волн ПКП и ЛКП, согласно формуле (1.2.14):

" №Е^ - ^ )

Е, = ЕВ; + Е^, Н, = м— I £В; - Е^ ), (1.3.1)

Где Е, — продольная составляющая вектора суммарной напряженности электрического поля в киральной среде; Н, — продольная составляющая вектора суммарной напряженности магнитного поля в киральной среде; ЕК

— продольная составляющая вектора напряженности электрического поля волны ПКП в киральной среде; Еь — продольная составляющая вектора

напряженности электрического поля волны ЛКП в киральной среде.

Для определения поперечных составляющих ЭМП необходимо снова записать уравнения Максвелла в дифференциальной форме для комплексных амплитуд векторов электромагнитного поля в киральной среде на основе правых форм киральных элементов (1.2.1):

го ХЁ = к0(-щЙ + %Ё),

. , . V (1-3.2)

го ХН = к0[1£.Е + %Ну

Будем считать, что размер метаструктуры вдоль оси О, гораздо больше его размеров вдоль двух других координатных осей:

й2 > йх; й2 > йу, (1.3.3)

где — размер метаструктуры вдоль оси Ох; dy — размер метаструктуры вдоль оси Оу; dz — размер метаструктуры вдоль оси Ох.

При выполнении условий (1.3.3) можно считать, что:

Э/& = 0, (1.3.4)

что соответствует отсутствию зависимости векторов ЭМП от координаты 2. Спроецируем уравнения Максвелла (1.3.2) на ось Ох с учетом (1.3.4):

с)Е

(го1 = = ~ + каЕх; 4 'х ду

дн (115)

(гоШ) =—^ = 1к0гЕх + к0%Нх. К 'х ду

Умножим первое уравнение (1.3.5) на х ,второе — на ¡ц , затем сложим поученные уравнения, в результате чего получим следующее соотношение:

ОЕ дН I \

Х-^ + = -Ехко (ец-х2 )• (1.3.6)

Из формулы (1.3.6) несложно выразить составляющую Ех ЭМП в ки-ральной среде:

Е = - 1

х к к0

( п2-Х2 )

ОЕг . дН2

х— +1 ц—^^

-у -у

(1.3.7)

Теперь умножим первое уравнение (1.3.5) на -¡е, второе — на х и сложим полученные уравнения, в результате чего получим:

ОЕ дН

~ = - Н хк0

ду ду

Из формулы (1.3.8) несложно выразить составляющую Нх ЭМП в ки-ральной среде:

+ Х°Т = -Нхко (ец-х2). (1.3.8)

Н. =- 1

- X

ко (п2-х2^

• дЕ2 дН2 -г е—- + х—2

-у ду

(1.3.9)

Выражения (1.3.6) и (1.3.9) связывают между собой х - составляющие векторов ЭМП с продольными компонентами.

Спроецируем уравнения Максвелла (1.3.2) на ось Оу с учетом условия (1.3.4):

с)Е

(геля) = = + к0%Еу;

У (1.3.10)

(Г01 /7) = —^ = ¿к(]&Еу + к0%Ну.

Умножим первое уравнение (1.3.10) на х ,второе — на ¡^, затем сложим поученные уравнения, в результате чего получим следующее соотношение:

"''Ц и = ~Еук°(8Ц_Х2)' (13.11)

Из выражения (1.3.11) несложно выразить составляющую Ey ЭМП в киральной среде:

1 Г дИ dEz 1 Е, =——-— IЦ—- + X—- . (1.3.12)

'У 1 (2 2 ко(п -X

. дИ дЕ.

1Ц—- + X—-

дх дх

Теперь умножим первое уравнение (1.3.10) на —¡е, второе — на х и сложим полученные уравнения, в результате чего получим:

/8 z

дЕ- X^ = -Иуко (8 Ц-X2). (1.3.13)

дх дх

Из выражения (1.3.13) несложно выразить составляющую Иу ЭМП в киральной среде:

И, = - 1

У кп (п 2-X2)

• дЕ дИ.

/ 8---X--

дх дх

(1.3.14)

v0i

Выражения (1.3.12) и (1.3.14) связывают между собой у - составляющие векторов ЭМП с продольными компонентами.

Продольные составляющие векторов ЭМП в киральной среде определяются из уравнений (1.3.1).

Таким образом, выражения для определения поперечных составляющих векторов электромагнитного поля в киральной среде имеют следующий вид:

E

ko (n2 — Х2 )

H = —

1

E

x ko(n2—Х2; 1

-ez . -hz

х— + iß—

ду ду _

. -ez -h,

—is^r^ + Х

-y -y

ko ( n2 —х2 )

H = —

1

y ko(n2—Х2;

• -Hz -E iß—- + Х—--x -x

■ -Ez -Hz is—- — Х z

-x -x

Выражения (1.3.15) совпадают с приведенными в [5].

(1.3.15)

1.4. Математическая модель кирального метаматериала на основе однозаходных спиральных включений

Рассмотрим киральный метаматериал на основе однозаходных проводящих спиралей. Такой элемент в научной литературе также называется модифицированным элементом Телледжена [53, 54].

Построим математическую модель кирального метаматериала на основе равномерно распределенных в диэлектрическом контейнере многовитко-вых спиральных элементов.

Для описания метаматериала как совокупности киральных микроэлементов, размещенных в однородном контейнере, воспользуемся формулой Максвелла-Гарнетта с учетом дисперсии материальных параметров (1.1.13). В соотношении (1.1.13) необходимо получить явный вид функций е8 (ю) и

X (ю), которые определяют дисперсию материальных параметров, связанную

с использованием конкретного вида кирального включения.

В нашем случае, зеркально асимметричный элемент представляет собой тонкопроволочную металлическую спираль (рис. 1.1), состоящую из N витков радиуса Я, расположенных друг от друга на расстоянии к . Обозначим через I длину спирали в развернутом состоянии, а через г — радиус тонкой проволоки.

Рис. 1.1. — Однозаходная тонкопроволочная спираль (модифицированный элемент Телледжена)

Для расчета резонансной частоты спирали воспользуемся формулой Томсона [79]:

л(ЫЛ)

где Ь — индуктивность спирали; С — емкость спирали, учитывающая меж-витковую и межэлементную емкости. Формула (1.4.1) в Гауссовой СЕ.

Рассмотрим поперечный разрез кирального метаматериала (рис. 1.2):

Тонкая проволока

а

2 (Я + г)

2г - диаметр проволоки

Н - высота слоя (оправки)

а - угол накрутки

а - шаг накрутки

2 ( Я + г ) - диаметр оправки

Материал оправки:

пенополистирол С-35 или С-50

Материал проволоки:

медь

Цилиндрическая оправка из пенополистирола

Рис. 1.2. — Поперечный разрез цилиндрической оправки, на которую накручен тонкопроволочный киральный элемент

На рис. 1.2 введены следующие обозначения: Н — высота контейнера; а — расстояние между витками спирали; Я — внутренний радиус спирали; г — радиус проволоки; а — угол накрутки спирали; N — число витков спирали.

Индуктивность спирали вычисляется по формуле:

N 2 Б nN 2 Я 2

1 = ^ г= --' (1.4.2)

где Б — площадь витка спирали; р0 — магнитная постоянная вакуума, в гауссовой системе единиц измерения: р 0 = 1; р г — относительная магнитная проницаемость среды; I — длина развернутой проволоки; Я — внутренний радиус спирали.

Емкость самой проводящей проволоки определяется из формулы для емкости прямолинейного проводника:

I -ю"9 ^^

Спр = С0Сг--> (1.4.3)

181п

" 1

V г У

где с г — относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположена проволока; г — радиус проволоки; с 0 — электрическая постоянная вакуума, в гауссовой системе единиц измерения: £0 = 1.

Емкость спирального элемента определяется емкостью проволоки, межвитковой емкости и межэлементной емкости:

с = Спр + С^ + Сж. (1.4.4)

Межвитковая емкость спирали определяется следующим образом:

= е°вгБ-( N -1), (1.4.5)

а

где Б мк = я

9 о"

(Я + 2г) - Я — площадь кольца, образуемого проволочным

элементом; а — расстояние между витками спирали; N — число витков спирали.

Расстояние между витками спирали можно выразить через высоту контейнера Н и число витков спирали N следующим образом:

а = #г, (146)

N +1

Подставляя в формулу (1.4.5) выражение (1.4.6) и выражение для площади кольца, получаем:

с„„ — ■

808г К

(Я + 2г)2 - Я2 (Ж2 -1)

Н

(1.4.7)

Межэлементная емкость спирали определяется следующим образом:

(1.4.8)

с — 1 808г^мэ

4

а

где

_ N(2 Я + 2г)

^ мэ =--2г — площадь пространства заполненного спираля-

соб а

ми; г — радиус проволоки; А — расстояние между киральными элементами;

К

а

2( n +1)

угол накрутки спирали.

1

Коэффициент — связан с пространственным расположением кираль-

ных элементов в контейнере.

Подставляя в формулу (1.4.8) выражения для угла накрутки спирали и площади, занимаемой спиралями, получаем:

С

808ггЖ (Я + Г)

мэ

А соб

К

(1.4.9)

2( N +1)

где Я — внутренний радиус спирали; а — угол накрутки спирали; г — радиус проволоки; А — расстояние между киральными элементами; N — число витков; 8 г — диэлектрическая проницаемость контейнера.

Подставляя выражения (1.4.3). (1.4.7) и (1.4.9) в выражение для полной

емкости (1.4.4), получаем:

С — 8о8г

I-10

-9

181п

'2Л

+

V г у

808г К

+ -

(Я + 2г)2 - Я2 ](Ж2 - ^ 808ггЖ(Я + г)

(1.4.10)

Н

А соб

К

2( N +1) _

С учетом (1.4.1), (1.4.2) и (1.4.10) для резонансной частоты спирали получаем:

ю0 =

X-

c

X

8г Мт

Л

Ж

181п

l • 10~9 к +

-1

(R + 2г)2 - R2](N2 -^(R + Г)

H

(1.4.11)

+

А соб

V г

к

2( N +1)

Введя обозначения п = у/8гИг , из формулы (1.4.11) получаем:

/о =

2к3/2 п

X

X-

л/7

NR

I • 10

-9

к

(R + 2г)2 - R2](^ -1) rN(R + г)

(1.4.12)

181п

'2Л

-1

Н

А соб

V г У

к

2( N +1)

Как видно из (1.4.12), резонансная частота спирального элемента определяется свойствами среды-контейнера (показатель преломления п), радиусом и числом витков спирали, длиной и радиусом проводника, образующих спираль и высотой контейнера.

Дисперсия диэлектрической проницаемости определяется следующим образом [80]:

8, (ю) = 8г + 2р° 2 ' (/) = 8г +

г 2 2 Ю0 -Ю

4к2 (/о2 - /2 У

(1.4.13)

вде Р0 — параметр, имеющий размерность частоты и связанный с внутренними процессами в среде.

Подставляя соотношение (1.4.12) во вторую формулу из (1.4.13), получаем выражение для эффективной диэлектрической проницаемости среды при наличии металлических спиралей с учетом дисперсии:

+ -

р2

4к 2

Л'

4к3п2 (

-/ 2

N2 Я 2

I -10

-9 к

(Я + 2г)2 - Я2](N2 -1) ГN(Я + г)

181п| 21 |-1

г

Н

А соб

к

2( N +1)

(1.4.14)

V у

Дисперсия параметра киральности в модели Гарнетта определяется следующим образом [19]:

х(ю) — А-

Ро ю

с (ю^ -ю2)

■; х( /) — А

Ро /

2кс (/о2 - / 2)

(1.4.15)

где

А — параметр, связанный с расстоянием между соседними спиралями. Подставляя выражение (1.4.12) во вторую формулу из (1.4.15) для относительного параметра киральности при наличии металлических спиралей с учетом дисперсии имеет вид:

х( /) — А-

Ро7

2кс

4к3п2 (

N 2 Я2

I -10-9 , к[(я + 2г)2 - я2 ](N2 -^(Я + г) Н

181п| 21 |-1

А соб

К

2( N +1)

(1.4.16)

В п. 1.2 показано, что в киральной среде распространяются две волны ПКП и ЛКП с постоянными распространения кк ь — к0 (п ± х).

Используя формулы (1.4.14) и (1.4.16), получаем явные соотношения для постоянного распространения волн ПКП и ЛКП:

Ь - к0

М/±х(/)

- кп

1

8 +_е0_

+ 4я2 (/о2 - /2 )

ц± А-

р2 /

2 яс (/о2 - / 2)

(1.4.17)

где /0 определяется соотношением (1.4.12).

Таким образом, киральный метаматериал на основе равномерно распределенной в диэлектрическом контейнере совокупности спиральных микроэлементов может быть описан следующим образом на основе формулы Максвелла-Гарнетта:

£ ео ег 6С

-— - а—-—;

е + 2е8 е г + 2е8

в2

ез (ю)-ег ■ 2 2

®2 -ю

(1.4.18)

X (ю)-А-

в 2ю

®2 -ю2)

где явный вид е8 (ю) и х (ю) определяется соотношениями (1.4.14) и (1.4.16).

В результате для описания кирального метаматериала на основе много-витковых спиралей равномерно распределенных и хаотически ориентированных в однородном диэлектрическом контейнере предлагается использовать следующую математическую модель, включающую в себя материальные уравнения, формулу Максвелла-Гарнетта и полученные дисперсионные уравнения для материальных параметров:

3 = 8(со)Ё - ¿х(ю)Я, В = \±Н + ¿х(®)£, е(ю)-(е г + £(ю)) £(ю)

- а-

е(ю) + 2 (е г +^(ю)) 3е г + 2^(ю) х(ю)-а в0

(1.4.18)

ю0 - ю

:(ю^ - ю2 )

Функция е(ю) находится из решения 3-го уравнения из (1.4.18).

1.5 Анализ дисперсии кирального метаматериала на

основе спиралей

В работе были произведены расчеты зависимостей эффективной диэлектрической проницаемости (ЭДП), относительного параметра кирально-сти и волновых чисел волн ПКП и ЛКП. Под ЭДП понимается диэлектрическая проницаемость всей метаструктуры с учетом проницаемости контейнера с расположенными внутри киральными элементами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Почепцов Андрей Олегович, 2018 год

Список использованных источников

1. Capolino F. Theory and Phenomena of Metamaterials. — CRC Press/Taylor & Francis, 2009. — 992 p.

2. Johnson R.C. Antenna Engineering Handbook. 3rd Edition. — McGraw-Hill, Inc., USA, 1993. — 1512p.

3. Smith, D. R., Padilla, W. J., Vier, D. C., Nemat-Nasser, S. C., and Schultz, S., Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 4184.

4. Pendry, J. B., Holden, A. J., Robbins, D. J., and Stewart, W. J., IEEE T. Microw. Theory 47 (1999) 2075.

5. Pendry, J. B., Schurig, D., and Smith, D. R., Science 312 (2006) 1780.

6. Pendry, J. B., Science 306 (2004) 1353.

7. Schurig, D. et al., Science 314 (2006) 977.

8. Caloz C., Itoh T. Electromagnetic metamaterials: Transmition line theory and microwave applications. The engineering approach. New York. Wiley Inter-science.2006.

9. A. Sarychev and V. Shalaev, Electrodynamics of Metamaterials, World Scientific, Singapore (2007).

10. Tie J.C., Smith, D.R., Ruopeng Liu. Metamaterials: Theory, Design and Application. Springer, 2010. - 376p.

11. V. Shalaev, W. Cai, U. Chettiar, H.-K. Yuan, A. Sarychev, V. Drachev, and A. Kildishev, "Negative index of refraction inoptical metamaterials," Opt. Lett. 30, 3356-3358 (2005).

12. A.N. Lagarkov and V.N. Kissel, "Near-perfect imaging in a focusing system based on a left-handed-material plate," Phys. Rev. Lett. 92, 077401:1-4 (2004).

13. Smith D.R., Padilla W.T., Vier D.C. et al. Composite medium with simultaneously negative permittivity and permeability// Phys.Rev.2000. V.84.P.4184.

14. S. Zhang, W. Fan, N. Panoiu, K. Malloy, R. Osgood, and S. Brueck, "Experimental demonstration of near-infrared negative-index metamaterials," Phys. Rev. Lett. 95,137404 (2005).

15. Yongmin Liu, Xiang Zhang. Metamaterials: a new frontier of science and technology // Chem. Soc. Rev.,2011, 40, 2494-2507.

16. A. Kildishev, V. Drachev, U. Chettiar, V. Shalaev, D. Werner, and D. Kwon, "Comment on 'Negative refractive index in artificial metamaterials,'" Opt. Lett. 32(11), 1510-1511 (2007).

17. Pendry, J. B. (2000). Negative Refraction Makes a Perfect Lens. Physical Review Letters. 85 (18): 3966-9.

18. Lindell, I.V. Electromagnetic waves in chiral and bi-isotropic media [Текст] / I.V. Lindell, A.H. Sihvola, S.A. Tretyakov, A.J. Viitanen. — London: Artech House, .— 1994. — 291 p.

19. Lakhtakia A., Varadan V.K., Varadan V.V. Time-harmonic electromagnetic fields in chiral media. Lecture Notes in Physics. Berlin: Heidelberg and Boston: Springer-Verlag, 1989. — 121 p.

20. Lakhtakia A., Varadan V.V., Varadan V.K. Field equations, Huygens's principle, integral equations, and theorems for radiation and scattering of electromagnetic waves in isotropic chiral media // Journal of the Optical Soc. Of America, 1988. — V.5. — №2. — P.175-184.

21. Третьяков С.А. Электродинамика сложных сред: киральные, биизо-тропные и некоторые бианизотропные материалы // Радиотехника и электроника, 1994. — Т.39. — №10. — С.1457-1470.

22. Lakhtakia A., Varadan V.V., Varadan V.K. Field equations, Huygens's principle, integral equations, and theorems for radiation and scattering of electromagnetic waves in isotropic chiral media // Journal of the Optical Soc. Of America, 1988. — V.5. — №2. — P.175-184.

23. M. H., Varadan V. V., Varadan V. K. Rotation and dichroism associated with microwave propagation in chiral composite samples // Radio Sci. — V.26. — 1991. —№5. — P.1327-1334.

24. Неганов В.А., Осипов О.В. Отражающие, волноведущие и излучающие структуры с киральными элементами — М.: Радио и связь, 2006. — 280с.

25. D. R. Smith, J. B. Pendry and M. C. K. Wiltshire,Science, 2004, 305, 788-792.

26. S. A. Ramakrishna,Rep. Prog. Phys., 2005, 68, 449-521.

27. Веселаго, В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями s и ц [Текст] / В.Г. Веселаго //УФН. 1967.— Т. 92.— №7.— С.517-526.

28. J. B. Pendry, A. J. Holden, W. J. Stewart and I. Youngs,Phys. Rev. Lett., 1996, 76, 4773-4776.

29. D. R. Smith, S. Schultz, P. Markos and C. M. Soukoulis,Phys. Rev. B: Condens. Matter, 2002, 65, 195104.

30. X. D. Chen, B. I. Wu, J. A. Kong and T. M. Grzegorczyk,Phys. Rev. E: Stat. Phys., Plasmas, Fluids, Relat. Interdiscip. Top., 2005, 71, 046610.

31. D. R. Smith, D. C. Vier, Th. Koschny and C. M. Soukoulis,Phys. Rev. E: Stat. Phys., Plasmas, Fluids, Relat. Interdiscip. Top., 2005, 71, 036617.

32. C. Menzel, T. Paul, C. Rockstuhl, T. Pertsch, S. Tretyakov and F. Le-derer,Phys. Rev. B: Condens. Matter, 2010, 81, 035320.

33. Осипов, О.В. Использование эффекта азимутального рассеяния электромагнитных волн метаструктурой на основе элементов Телледжена в прикладных задачах электродинамики [Текст] / О.В. Осипов, А.М. Плотников, Н.Р. Салимова // Инфокоммуникационные технологии. 2012. — Т.10. — №1. — С.8-15.

34. Осипов, О.В. Влияние формы спиральных элементов на рассеивающие свойства бианизотропной метасреды / О.В. Осипов, А.М. Плотников,

H.Р. Салимова // Инфокоммуникационные технологии. — 2014. — Т.12. — №

I. — С. 19-24.

35. S. Tretyakov, I. Nefedov, A. Sihvola, S. Maslovski and C. Simovski,J. Electromagn. Waves Appl., 2003, 17, 695-706.

36. Каценеленбаум Б.З., Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров А.Д. Ки-ральные электродинамические объекты // Успехи физических наук, 1997. — Т.167. — №11. — С.1201-1212.

37. Sivov A.N., Shatrov A.D., Chuprin A.D. Investigation of multifilar helical antennas with small radius and large pitch angle on basis of eigenmodes of infinite sheath helix // Electron. Letters, 1994. — V.30. — №19. — P.1558-1560.

38. Сивов А.Н., Чуприн А.Д., Шатров А.Д. // Радиотехника и электроника, 1996. — Т.41. — №8. — С.918-921.

39. Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров А.Д. // Радиотехника и электроника, 1997. — Т.42. — №11.

40. Tretyakov S.A., Mariotte F. Maxwell Garnett modeling of uniaxial chiral composites with bianisotropic inclusions // Journal of electromagnetic waves and applications, 1995. — V.9. — №7/8 — С.1011-1025.

41. Шевченко В.В. Дифракция на малой киральной частице // Радиотехника и электроника, 1995. — Т.40. — №12. — С.1777-1788.

42. Lindell I.V., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Plane-wave propagation in a uniaxial chiro-omega medium // Microwave Opt. Technol. Letters, 1993. — V.6.

— №9. — P.517-520.

43. Saadoun M.M.I., Engheta N. A. reciprocal phase shifter using novel pseu-dochiral or omega-medium // Microwave and Optical Technology Letters., 1992.

— V.5. — №4. — P.184-188.

44. Просвирнин, С.Л. Преобразование поляризации при отражении волн микрополосковой решеткой из элементов сложной формы [Текст] / С.Л. Просвирнин // Радиотехника и электроника, 1999. — Т.44. — №6. — C.681-686.

45. Prosvirnin, S.L. Analysis of electromagnetic wave scattering by plane periodical array of chiral strip elements [Текст] / S.L.Prosvirnin // Proceedings of 7th International Conference on Complex Media «Bianisotropic-98», 1998. — P.185.

46. Васильева, Т.Ц., Просвирнин С.Л. Дифракция электромагнитных волн на плоской решетке из киральных полосковых элементов сложной фор-

мы / Т.Ц. Васильева, С.Л. Просвирнин [Текст] //Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 1998. — Т.1. — №4. — С.5-9.

47. Zhao, R. Conjugated gammadion chiral metamaterial with uniaxial optical activity and negative refractive index [Текст] / R. Zhao, L. Zhang, J. Zhou, T. Koschny, and C. M. Soukoulis,// Phys. Rev.,2011 — B 83(3) — 035105.

48. Bose, J.C. On the rotation of plane of polarisation of electric waves by a twisted structure [Текст] / J.C. Bose // Proc. Roy. Soc., 1898. — V.63. — P.146.

49. Lindman, K. F. Om en genom ett isotropt system av spiralformiga resonatorer alstrad rota-tionspolarisation av de elektromagnetiska vagorna [Текст] / K. F. Lindman // Ofver-sigt af Finska Vetenskaps-Societetens forhandlingar. A. Ma-tematik och naturvetenskaper, 1914-1915, — Vol. LVII. — № 3. — P. 1.

50. E. Plum, J. Zhou, J. Dong, V. A. Fedotov, T. Koschny, C. M. Soukoulis and N. I. Zheludev,Phys. Rev. B: Condens. Matter, 2009, 79, 035407.

51. J. Zhou, J. Dong, B. Wang, T. Koschny, M. Kafesaki and C. M. Soukou-lis,Phys. Rev. B: Condens. Matter, 2009, 79, 121104.

52. X. Xiong, W. H. Sun, Y. J. Bao, M. Wang, R. W. Peng, C. Sun, X. Lu, J. Shao, Z. F. Li and N. B. Ming,Phys. Rev. B: Condens. Matter, 2010, 81, 075119.

53. Tellegen, B.D.H. The Gyrator, a New Electric Network Element [Текст] / B.D.H. Tellegen // Philips Research Reports, 1948. —3, 81—P.81.

54. Tretyakov, S.A. Artificial Tellegen Particle [Текст] / S.A. Tretyakov, and S.I. Maslovski, I.S. Nefedov, and A.J. Viitanen, P.A. Belov, A. Sanmartin // Electromagnetics, 2003. — V.23(8). — P.665.

55. Saenz, E. Modeling of Spirals with Equal Dielectric, Magnetic, and Chiral Susceptibilities [Текст] / E. Saenz, I. Semchenko, S. Khakhomov, K. Guven, R. Gonzalo, E. Ozbay, and S. Tretyakov,// Electromagnetics, 2003. — V.28. — P.476.

56. Lakhtakia, A. On the Maxwell-Garnett model of chiral composites [Текст] / A. Lakhtakia // Journal of Materials Research, — V.8(4) — P.917.

57. Weiglhofer, W.S. Maxwell-Garnett model for composites of electrically small objects [Текст] / W.S. Weiglhofer, A. Lakhtakia and J.C. Monzon:// Mi-crow. Opt. Technol. Lett., 1993 —V.6 — №12 —P.681.

58. Осипов, О.В. Киральный метаматериал для частотно селективной концентрации энергии сверхвысокочастотного излучения/ О.В. Осипов, В.И. Юрасов, А.О. Почепцов // Инфокоммуникационные технологии. — 2014. — Т.12. — №4. — С. 76-82.

59. Клюев, Д.С. Анализ микрополосковой антенны на киральной подложке с учетом пространственной дисперсии / Д.С. Клюев, А.М. Нещерет, О.В. Осипов, А.О. Почепцов // Успехи современной радиоэлектроники. — 2015. — №11. — С. 67-72.

60. Осипов, О.В. Исследование электромагнитных характеристик ки-рального метаматериала на основе идеально проводящих элементов в виде взаимно ортогональных спиралей / О.В. Осипов, Д.С. Клюев, А.О. Почепцов, Е.С. Резепова, В.П. Кубанов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2017. — Т.20. — № 1. — С. 4-10.

61. Клюев, Д.С Матричные методы расчета характеристик многослойных планарных метаматериалов при наличии киральности и пространственной дисперсии / Д.С. Клюев, О.В. Осипов, А.О. Почепцов, Е.С. Резепова // Инфокоммуникационные технологии. — 2017. — Т.15. — №3. — С. 217-226.

62. Осипов, О.В. Учет кросс-поляризационных явлений при отражении плоской электромагнитной волны от кирального метаматериала на основе многовитковых спиралей / О.В. Осипов, В.И. Юрасов, А.О. Почепцов // Проблемы техники и технологий телекоммуникаций: тезисы докладов XV ПТиТТ, 18-21 ноя., 2014 г., г. Казань. — Казань, 2014. — Т.2. — С. 161-163.

63. Осипов, О.В. Эффект азимутального рассеяния при отражении плоской электромагнитной волны от кирального метаматериала на основе много-витковых спиралей, расположенного на диэлектрической подложке/ О.В. Осипов, В.И. Юрасов, А.О. Почепцов // Проблемы техники и технологий те-

лекоммуникаций: тезисы докладов XV ПТиТТ, 18-21 ноя., 2014 г., г. Казань. — Казань, 2014. — Т.2. — С. 164-166.

64. Осипов, О.В. Приближенные граничные условия для тонкого ки-рального метаматериала на основе многовитковых спиралей с учетом дисперсии материальных параметров/ О.В. Осипов, В.И. Юрасов, Т.А. Антипо-ва, А.О. Почепцов // Проблемы техники и технологий телекоммуникаций: тезисы докладов XV ПТиТТ, 18-21 ноя., 2014 г., г. Казань. — Казань, 2014. — Т.2. — С. 154-157.

65. Осипов, О.В. Исследование электродинамических характеристик ме-таматериалов на основе одно и двухзаходных спиральных элементов/ О.В. Осипов, Д.Н. Панин, А.О. Почепцов // Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации: тезисы докладов V ИТРТ, 30 апр., 2015 г., г. Тольятти. — Тольятти, 2015. — №5-2. — С. 134-141.

66. Осипов, О.В. Расчет электромагнитных характеристик метаматериа-ла на основе одновитковых спиралей, размещенных в диэлектрике / О.В. Осипов, А.О. Почепцов, Е.С. Резепова // Проблемы техники и технологий телекоммуникаций: тезисы докладов XVI ПТиТТ, 16-18 ноя., 2015 г., г. Уфа. — Уфа, 2015. — Т.1. — С. 288-289.

67. Осипов, О.В. Частотно селективный концентратор электромагнитной энергии СВЧ на основе метаматериала с матрицей объемных взаимоортогональных одновитковых спиралей / О.В. Осипов, А.О. Почепцов, Е.С. Резепо-ва // Проблемы техники и технологий телекоммуникаций: тезисы докладов XVI ПТиТТ, 16-18 ноя., 2015 г., г. Уфа. — Уфа, 2015. — Т.1. — С. 290-292.

68. Осипов, О.В. Частотно селективный концентратор электромагнитной энергии СВЧ на основе двухслойного кирально-диэлектрического метамате-риала с матрицей одновитковых спиралей / О.В. Осипов, А.О. Почепцов, Е.С. Резепова // Проблемы техники и технологий телекоммуникаций: тезисы докладов XVI ПТиТТ, 16-18 ноя., 2015 г., г. Уфа. — Уфа, 2015. — Т.1. — С. 292-294.

69. Осипов, О.В., Анализ рассеяния плоской электромагнитной волны на метаструктуре, образованной матрицей из трехзаходных спиральных элементов / О.В. Осипов, А.М. Плотников, А.О. Почепцов, Н.Р. Бирюкова // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов XIII ФТПВП, 21-25 сен., 2015 г., г. Казань. — Казань, 2015. — С.169-171.

70. Осипов, О.В., Анализ отражения плоской электромагнитной волны от метаматериала на основе контейнера из пенополистирола и двумерной матрицы многовитковых спиральных элементов / О.В. Осипов, В.И. Юрасов, А.О. Почепцов // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов XIII МНТК, 21-25 сен., 2015 г., г. Казань. — Казань, 2015. — С.171-173.

71. Осипов, О.В. Анализ характеристик метаматериалов на основе одиночных и скрещенных спиральных элементов / О.В. Осипов, Д.С. Клюев, А.О. Почепцов, Е.С. Резепова // Информационные технологии. Радиоэлек-троника.Телекоммуникации: тезисы докладов VI ИТРТ, 31 мар., 2016 г., г. Тольятти. — Тольятти, 2016. — №6-2. — С. 151-158.

72. Осипов, О.В., Малоотражающее покрытие в СВЧ диапазоне на основе двухслойного кирального метаматериала на проводящей подложке / О.В. Осипов, А.О. Почепцов // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов XIV ФТПВП, 22-24 ноя., 2016 г., г. Самара. — Самара, 2016. — С.150-151.

73. Осипов, О.В., Электродинамический анализ отражения плоской электромагнитной волны от двухслойного метаматериала «киральный слой на основе спиралей - диэлектрический слой»/ О.В. Осипов, В.И. Юрасов, А.О. Почепцов // Российская научная конференция профессорско-преподавательского состава,научных сотрудников и аспирантов: тезисы докладов XXII НК ППС ПГУТИ, 2-6 фев., 2015 г., г. Самара. — Самара, 2015. — С.130.

74. Осипов, О.В., Односторонние приближенные граничные условия для кирального метаматериала на основе спиралей/ О.В. Осипов, В.И. Юрасов,

А.О. Почепцов // Российская научная конференция профессорско-преподавательского состава,научных сотрудников и аспирантов: тезисы докладов XXII НК ППС ПГУТИ, 2-6 фев., 2015 г., г. Самара. — Самара, 2015. — С.131.

75. Осипов, О.В., Анализ отражения плоской электромагнитной волны от планарного кирального метаматериала на основе спиралей, размещенных в пенополистироле/ О.В. Осипов, В.И. Юрасов, А.О. Почепцов // Российская научная конференция профессорско-преподавательского состава,научных сотрудников и аспирантов: тезисы докладов XXII НК ППС ПГУТИ, 2-6 фев., 2015 г., г. Самара. — Самара, 2015. — С.132.

76. Осипов, О.В., Исследование электродинамических свойств метама-териала на основе классических и взаимоперпендикулярных спиральных элементов/ О.В. Осипов, А.О. Почепцов, Е.С. Резепова // Российская научная конференция профессорско-преподавательского состава,научных сотрудников и аспирантов: тезисы докладов XXIII НК ППС ПГУТИ, 1-5 фев., 2016 г., г. Самара. — Самара, 2016. — С.147.

77. Осипов, О.В., Матричный метод расчета характеристик многослойных метаматериалов с учетом дисперсии материальных параметров/ О.В. Осипов, А.О. Почепцов, Е.С. Резепова // Российская научная конференция профессорско-преподавательского состава,научных сотрудников и аспирантов: тезисы докладов XXIII НК ППС ПГУТИ, 1-5 фев., 2016 г., г. Самара. — Самара, 2016. — С.148.

78. Шевченко В.В. Киральные электромагнитные объекты и среды // Со-росовский образовательный журнал, 1998. — №2. — С.109-114.

79. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука, 1989. —544 с.

80. Semchenko, I. V. Research on chiral and bianisotropic media in Byelorussia and Russia in the last ten years [Текст] / V. Semchenko, S. A. Tretyakov, and A. N. Serdyukov //Progress In Electromagnetics Research, 1996. — V. 12. — P. 335.

81. Неганов В.А., Осипов О.В. Электродинамика отражающих и волно-ведущих структур с искусственными киральными слоями // Успехи современной радиоэлектроники, 2005. —№8. — С.20-45.

82. Волькенштейн М.В. Молекулярная оптика. — М.-Л.: Наука, 1951.

83. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. — М.: Наука, 1979. — 383 с.

84. Osipov, V.A. Approximate Boundary Conditions for Thin Chiral Layers with Curvilinear Surfaces [Текст] / O. V. Osipov and T. A. Panferova // Journal of Communications Technology and Electronics. - 2010. - V. 55(5). - P. 532-534.

85. Dolbichkin, A. A. Approximate Method of Solving the Problem of Diffraction of a Plane Electromagnetic Wave by a Thin Chiral Layer Covering a Perfectly Conducting Plane [Текст] / Dolbichkin, A. A.; Neganov, V. A.; Osipov, O. V. // Technical Physics. - 2005. - V.50(1). - P. 125-128.

86. Осипов, О.В., Расчет характеристик двухслойного метаматериала на основе спиральных элементов с учетом дисперсии материальных параметров/ О.В. Осипов, А.О. Почепцов // Российская научная конференция профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов: тезисы докладов XXIII НК ППС ПГУТИ, 1-5 фев., 2016 г., г. Самара. — Самара, 2016. — С.149.

87. Осипов, О.В., Частотно и поляризационно селективные свойства однородного кирального метаматериала на идеально проводящей подложке / О.В. Осипов, А.О. Почепцов // Российская научная конференция профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов: тезисы докладов XXIV НК ППС ПГУТИ, 30 янв.-3 фев., 2017 г., г. Самара. — Самара, 2017. — С.172.