Исследование особенностей ядерных реакций с участием легких ядер в нестационарном подходе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат наук Науменко Михаил Алексеевич

• Науменко Михаил Алексеевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Науменко Михаил Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ СОСТОЯНИЙ ЛЕГКИХ ЯДЕР МЕТОДОМ ФЕЙНМАНОВСКИХ КОНТИНУАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1.1. Основные подходы к описанию состояний малонуклонных ядер

1.2. Фейнмановские континуальные интегралы в евклидовом времени для малонуклонных ядер

1.3. Реализация метода с использованием параллельных вычислений на основе технологии NVIDIA CUDA

1.4. Сравнение с точно решаемыми задачами для осцилляторных систем

1.5. Свойства основных состояний ядер 3H и 3,4He

1.6. Свойства основных состояний ядер 6He и 6Li

1.7. Свойства основного состояния ядра 9Be

1.8. Выводы

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ СЕЧЕНИЙ ПЕРЕДАЧИ НЕЙТРОНОВ В НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ С ЛЕГКИМИ ЯДРАМИ 3He и 6He

2.1. Экспериментальное изучение передачи нейтронов в реакциях с ядрами 3He и 6He

2.2. Теоретические подходы к описанию передачи и перераспределения нуклонов в низкоэнергетических ядерных реакциях

2.3. Применение нестационарного подхода для анализа реакций передачи с ядрами 3He

2.4. Результаты для реакций передачи с ядрами 3He

2.5. Применение нестационарного подхода для анализа реакций передачи с ядрами 6He

2.6. Результаты для реакций передачи с ядрами 6He

2.7. Выводы

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕЙТРОНОВ В РЕАКЦИЯХ СО СЛАБОСВЯЗАННЫМИ ЯДРАМИ 6Ш и 9Ы ПРИ ЭНЕРГИЯХ 5-60 A МэВ

3.1. Примеры экспериментов по измерению полных сечений реакций 6Не + 28Б1 и 9Ы + 28Б1

3.2. Теоретический анализ энергетических зависимостей полных сечений реакций с ядрами и в рамках оптической модели

3.3. Теоретический анализ энергетических зависимостей полных сечений реакций с ядрами 6He и ^ с применением нестационарного подхода

3.4. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование особенностей ядерных реакций с участием легких ядер в нестационарном подходе»

Актуальность

В настоящее время активно изучаются ядерные реакции с участием изотопов гелия, лития и других легких ядер. Развитие ускорительной техники дало возможность получения высокоинтенсивных пучков радиоактивных ядер и проведения экспериментов с ними [1,2]. Это делает актуальной задачу развития теоретических моделей для описания ядерных реакций с такими ядрами. Исследование процессов слияния ядер и передачи нейтронов в ядерных реакциях, например, 4Не + 197Au [3] и 6Не + 197Au [4-6], позволяет изучать как структуру легких ядер-снарядов, так и свойства тяжелых ядер-мишеней. В недавних экспериментах с рядом легких слабосвязанных ядер были обнаружены необычные особенности. В работах [1,7-9] было обнаружено существенное увеличение сечения слияния в подбарьерной области для реакций 6Не + 197Аи, 6Не + 209Ы и 8Не + 197Аи по сравнению с реакциями с ядром 4Не. Для реакции 6Не + 197Аи [4-6] было обнаружено, что сечение образования изотопа 198Аи в реакции с ядром 6Не заметно отличается от случая реакции с ядром 4Не. В околобарьерной области наблюдаются большие значения сечения образования 198Аи (порядка 1 б), что, очевидно, обусловлено наличием внешних слабосвязанных нейтронов в ядре 6Не. В данном случае можно предположить, что в образование изотопа 198Аи могут вносить вклад два процесса: прямая передача от ядра 6Не к ядру 197Аи одного нейтрона (или двух нейтронов с последующим испарением одного из них) либо развал 6Не с захватом нейтронов ядром-мишенью [4-6]. Для объяснения этих экспериментальных данных необходимо уточнение микроскопического описания указанных процессов. В области надбарьерных энергий выход изотопа 196 Аи сравним и даже превышает выход изотопа 198Аи. Для объяснения этого необходимо уточнение описания как процессов передачи внешнего нейтрона с ядра 197Аи в квазистационарные

состояния ядра 6Не, так и его выбивания, процессов слияния-испарения, а также передачи нуклонов (кластеров) с последующим испарением. Экспериментальные результаты работ [10-14] по измерению полных сечений реакций 4,6Не + и 6'7,9Ы + 28Б1 показали, что полное сечение реакции с ядром 6Не заметно превышает полное сечение реакции с ядром 4Не во всем исследованном диапазоне энергий 5-60 А МэВ, что может быть объяснено большими размерами ядра 6Не из-за наличия у него внешних слабосвязанных нейтронов. Также было обнаружено, что полное сечение реакции с ядром ^ значительно превышает полные сечения реакций с ядрами в относительно узком диапазоне энергий 10-30 А МэВ. С учетом меньшего значения экспериментального среднеквадратичного зарядового радиуса ^ по сравнению с зарядовыми радиусами такое превышение пока не получило полного объяснения.

Актуальным является также отдельное изучение роли процессов передачи нуклонов (и/или их перераспределения) в низкоэнергетических ядро-ядерных столкновениях. Указанные процессы могут проявляться как непосредственно в каналах нуклонных передач (срыва, подхвата, многонуклонных передач), так и в изменении потенциальной энергии системы, что в свою очередь приводит к изменению сечений отдельных каналов (например, слияния) и полного сечения реакции по сравнению с моделью с «замороженными» нуклонами. Именно перераспределением нуклонов было объяснено в работах [15-17] существенное увеличение сечения слияния в подбарьерной области для реакций с рядом ядер, включая 6Не. Такое изменение потенциальной энергии также может служить обоснованием введения зависимости от энергии и орбитального момента в феноменологические потенциалы, используемые в некоторых теоретических моделях. При микроскопическом анализе энергетической зависимости ядро -ядерных оптических фолдинг-потенциалов в работе [18] были использованы нуклонные плотности ядер, не изменяющиеся в ходе столкновения, а зависимость от энергии возникала из-за зависящей от локального импульса относительного движения ядер подынтегральной функции в двойной свертке обменной

составляющей потенциала взаимодействия ядер [18,19]. В таком стационарном подходе, не учитывающем явно перераспределение нуклонов, пока не удалось удовлетворительно объяснить наблюдаемые особенности поведения полного сечения реакции 6He + 28Si по сравнению с реакцией 4He + 28Si.

В настоящее время для описания передачи нуклонов используется ряд теоретических моделей и подходов, в частности борновское приближение метода искаженных волн (Distorted Wave Born Approximation, DWBA) (например, [20,21]), нестационарный метод Хартри-Фока (Time-Dependent Hartree-Fock, TDHF) (например, [22,23]), уравнения Ланжевена (например, [24-26]), нестационарное уравнение Шредингера (Time-Dependent Schrodinger Equation, TDSE) (например, [27-29]). Каждому из них присущи свои особенности и ограничения. Перечислим их кратко. Борновское приближение метода искаженных волн использует (в рамках теории возмущений) волновые функции лишь начального и конечного одночастичных (или коллективных) состояний и не дает возможности анализа динамики происходящих процессов. Расчеты с применением нестационарного метода Хартри-Фока требуют большого времени вычислений и пока выполняются на достаточно крупной сетке с шагом порядка 0.8 фм [22,30], что превышает характерное расстояние осцилляций плотности вероятности для отдельных состояний, поэтому их можно использовать только для ядер тяжелых и средних масс. Уравнения Ланжевена, включающие степени свободы, отвечающие за массовую асимметрию и перераспределение нуклонов, представляют собой уравнения классической механики со случайными силами, приближенно учитывающими усредненные результаты квантовых эффектов, нуклон-нуклонных взаимодействий и так далее, поэтому они применимы только для ядер тяжелых и средних масс.

Передачи отдельных нуклонов при столкновениях с участием легких ядер требуют более точного квантового описания, которое возможно в рамках метода, основанного на решении нестационарного уравнения Шредингера для волновых функций легких частиц (нуклонов, кластеров) в поле остовов ядер, движущихся

по классическим траекториям [29]. Данный метод обеспечивает квантовое описание нескольких независимых частиц, наглядную визуализацию динамики происходящих процессов и быстроту вычислений на мелкой сетке (с шагом 0.10.2 фм, меньшим, чем расстояние осцилляций плотности вероятности для одночастичных состояний). Это позволяет достаточно точно вычислять пространственную структуру волновых функций нуклонов и кластеров. Несмотря на указанные преимущества, данный метод пока применялся для описания передачи нейтронов в небольшом числе реакций, главным образом, с достаточно тяжелыми ядрами-снарядами: 40Са + 967г [31,32], 40Са + 208РЬ, 907г + 208РЬ [32], 48Са + 238и [33], 40Са + 907г [29], 17180 + 27А1 [17], 180 + 58М [17,29,34], 6Не + 197Аи [17,28].

В ряде работ численное решение нестационарного уравнения Шредингера применялось для описания других процессов: для расчета множественности нейтронов в процессе деления [35], для расчета сечения срыва мюона из мезоатома цИе+ [36], для расчета процессов развала слабосвязанных ядер при ядро-ядерных столкновениях [37-40], для расчета фотоионизации и ионизации электронным ударом двухэлектронных атомов и молекул [41], для моделирования ультрахолодных процессов с несколькими телами в атомных ловушках [42]. В работе [43] был предложен набор удобных координат для задачи трех тел в адиабатическом представлении. В работе [44] были рассмотрены трехтельные системы из нуклона и двух ядерных остовов для расчета сечений слияния ядер. В работах [45-47] авторы рассматривали более простые одномерные модели.

Исследование возможности более широкого применения метода, основанного на решении нестационарного уравнения Шредингера, для описания реакций с рядом легких ядер и интерпретации экспериментальных данных определяет теоретическую актуальность темы исследования.

Цели и задачи работы

Первой целью настоящей работы является проведение теоретического описания процессов передачи нейтронов в низкоэнергетических ядерных реакциях с участием легких ядер-снарядов 36Не и представительным набором тяжелых ядер-мишеней на основе численного решения нестационарного уравнения Шредингера. Вторая цель работы заключается в объяснении различий в энергетических зависимостях полных сечений реакций 6Не + и 4Не + 28Б1, а также 9Ы + и 6,7Ы + на основе нестационарного описания

перераспределения внешних нейтронов ядер 6Не и 9Ы. В связи с этим в работе поставлены следующие задачи:

1. Выполнить расчеты сечений образования изотопов 44,4^с в реакции 3Не + 45Бс, 46Sc в реакции 6Не + 45Бс, 657п в реакции 6Не + 647п, 196 198Аи в реакциях 3,6Не + 197Аи с учетом процессов передачи нейтронов и слияния ядер с последующим испарением частиц из составного ядра; выполнить на этой основе сравнение и анализ экспериментальных данных.

2. Исследовать зависимость сечений передачи от энергии и свойств сталкивающихся ядер.

3. Исследовать роль перераспределения внешних слабосвязанных нейтронов в процессе столкновения 6Не + и 9Ы + с целью объяснения особенностей экспериментальных данных по полным сечениям указанных реакций и их отличий от данных для реакций 4Не + и 6,7Ы + 28Б1.

4. Исследовать свойства основных состояний ядер 3Н, 3,4,6Не, 6Ы, 9Ве в рамках квантовой задачи трех и четырех тел на основе фейнмановских континуальных интегралов, а также в оболочечной модели. Решение этой задачи позволит обосновать начальные условия для волновых функций нейтронов ядер-снарядов 3,6Не, участвующих в исследуемых реакциях.

Научная новизна

1. Впервые проведены расчеты сечений передачи нейтронов для значительного числа реакций с участием легких ядер-снарядов 3,6He и представительным набором тяжелых ядер-мишеней на основе численного метода решения нестационарного уравнения Шредингера с учетом спин -орбитального взаимодействия нуклонов.

2. Показано, что в образование изотопа 198Au основной вклад вносит срыв нейтрона с ядер 36He, процесс слияния с последующим испарением частиц из составного ядра дает пренебрежимо малый вклад; получено хорошее согласие результатов расчетов с экспериментальными данными. Показано, что образование изотопа 196Au в реакции с ядром 3He обусловлено подхватом нейтрона ядром 3He.

3. Показано, что в случае образования изотопов 44,46Sc, 64Zn процессы передачи нейтронов и слияния ядер с последующим испарением частиц из составного ядра дают соизмеримые вклады; получено хорошее согласие с экспериментальными данными.

4. Впервые дано объяснение наблюдаемым особенностям полных сечений реакций 4,6He + 28Si и 6'7,9Li + 28Si на основе решения нестационарного уравнения Шредингера и наглядных физических представлений о деформируемой в ходе столкновения внешней нейтронной оболочке слабосвязанных ядер-снарядов 6He и 9Li; получено хорошее согласие расчетов с экспериментальными данными.

5. Впервые проведены расчеты основных состояний легких ядер 3H, 3;4;6He, 6Li, 9Be в рамках метода фейнмановских континуальных интегралов с использованием параллельных вычислений на графических процессорах (технологии NVIDIA CUDA); результаты расчетов согласуются с экспериментальными данными.

Теоретическая и практическая значимость работы

Определение механизмов и ключевых параметров, влияющих на передачи нуклонов в низкоэнергетических ядерных реакциях с участием легких ядер имеет большую научно-практическую значимость. Проведенные расчеты дают возможность более полно исследовать физические процессы, сопровождающие касательные столкновения атомных ядер, и выявить влияние структуры легких ядер-снарядов и свойств тяжелых ядер-мишеней на процессы передачи нуклонов (и/или их перераспределения). Впервые удалось объяснить экспериментальные данные для реакций 3Не + 45Бс, 3Не + 197Аи, 6Не + 45Бс, 6Не + 647п, 6Не + 197Аи, 4Не + 28Б1, 6Не + 28Б1, 7Ы + 28Si и 9Ы + 28Si. Основная часть указанных экспериментальных данных получена в Лаборатории ядерных реакций им. Г. Н. Флерова (ЛЯР) Объединенного института ядерных исследований (ОИЯИ), г. Дубна.

Основные положения, выносимые на защиту

1. На основе численного решения нестационарного уравнения Шредингера проведены расчеты сечений для процессов передачи (срыва и подхвата) нейтрона в реакциях с участием ядер 3Не (3Не + 45 Sc и 3Не + 197Аи) и 6Не (6Не + 45Бс, 6Не + 657п и 6Не + 197Аи). Исследованы зависимости сечений образования изотопов 44,46Бс, 657п, 196,198Аи от энергии столкновения и свойств ядер-мишеней. Получено хорошее согласие с экспериментальными данными по сечениям образования указанных изотопов при совместном учете процессов передачи нейтрона и процессов слияния-испарения в рамках статистической модели.

2. Предложен физический механизм, качественно объясняющий наблюдаемые особенности полных сечений реакций 4,6Не + и 6,7,9Ы + 28Si. На основе решения нестационарного уравнения Шредингера рассчитана поправка к оптическому потенциалу, зависящая от энергии, что впервые позволило

получить хорошее согласие расчетов с экспериментальными данными по полным сечениям указанных реакций.

3. Разработан и реализован новый алгоритм расчета энергии и плотности вероятности основных состояний легких ядер на основе фейнмановских континуальных интегралов в евклидовом времени с использованием параллельных вычислений на графических процессорах (технологии NVIDIA CUDA). Алгоритм значительно сокращает время расчета (более чем в 100 раз) по сравнению с обычными вычислениями и существенно расширяет возможности метода для исследования систем с большим числом степеней свободы.

4. Проведены расчеты основных состояний ядер 3H, 3,4,6He, 6Li, 9Be и получено согласие с экспериментальными данными. Результаты вычислений использованы для уточнения описания реакций с ядрами 3,6He.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. LXV Международная конференция по ядерной физике «Ядро 2015. Новые горизонты в области ядерной физики, атомной, фемто- и нанотехнологий», Санкт-Петербург, Россия, 29 июня - 3 июля 2015 г.

2. XXI International School on Nuclear Physics and Applications & International Symposium on Exotic Nuclei (ISEN-2015), Varna, Bulgaria, 6 - 12 September 2015.

3. Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2016», Архангельск, Россия, 28 марта - 1 апреля 2016 г.

4. Международная Летняя Суперкомпьютерная Академия, Москва, Россия, 23 июня - 2 июля 2016 г.

5. International Workshop on Few-Body Systems (FBS-Dubna-2016), Dubna, Russia, 4 - 7 July 2016.

6. 7th International Conference «Distributed Computing and Grid-technologies in Science and Education» (GRID 2016), Dubna, Russia, 4 - 9 July 2016.

7. VIII International Symposium on EXOtic Nuclei (EXON-2016), Kazan, Russia, 4 - 10 September 2016.

8. 66 Международная научная конференция «Ядро-2016. Использование ядерно-физических методов в науке и технике», Саров, Россия, 11 - 14 октября 2016 г.

9. 25-th International Seminar on Interaction of Neutrons with Nuclei: «Fundamental Interactions & Neutrons, Nuclear Structure, Ultracold Neutrons, Related Topics», Dubna, Russia, 22 - 26 May 2017.

10. 36th International Workshop on Nuclear Theory, Rila Mountains, Bulgaria, 25 June - 1 July 2017.

11. International Conference «Mathematical Modeling and Computational Physics, 2017» (MMCP2017), Dubna, Russia, 3 - 7 July 2017.

12. XXII International School on Nuclear Physics, Neutron Physics and Applications, Varna, Bulgaria, 10 - 16 September 2017.

13. 26th Symposium on Nuclear Electronics and Computing (NEC'2017), Budva, Montenegro, 25 - 29 September 2017.

14. The 3rd International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2017), Moscow, Russia, 2 - 5 October 2017.

Результаты диссертации также докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории ядерных реакций им. Г. Н. Флерова (ЛЯР) и Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова (ЛТФ) Объединенного института ядерных исследований (ОИЯИ), а также группы теоретической и вычислительной физики ЛЯР ОИЯИ.

Работа «Особенности механизма реакций со слабосвязанными легкими ядрами» (авторы: С. М. Лукьянов, Ю. Г. Соболев, А. С. Деникин, В. А. Маслов, М. А. Науменко, Ю. Э. Пенионжкевич, В. В. Самарин, Н. К. Скобелев, А. Куглер, Я. Мразек) была удостоена поощрительной премии ОИЯИ за 2016 год.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ СОСТОЯНИЙ ЛЕГКИХ ЯДЕР МЕТОДОМ ФЕЙНМАНОВСКИХ КОНТИНУАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1.1. Основные подходы к описанию состояний малонуклонных ядер

Одна из целей работы заключалась в проведении расчетов сечений образования изотопов 44,4^с в реакции 3Не + 45Бс, 4^с в реакции 6Не + 45Бс, 657п в реакции 6Не + 647п, 196 198Аи в реакциях 3,6Не + 197Аи. Эксперименты, в которых измерялось сечение образования изотопа 4^с в реакции 6Не + 45Бс [48], а также сечения образования изотопов 196 198Аи, сечение слияния и сечения образования испарительных остатков в реакции 6Не + 197Аи [5], были проведены на ускорительном комплексе DRIBs в Лаборатории ядерных реакций им. Г. Н. Флерова (ЛЯР) Объединенного института ядерных исследований (ОИЯИ), г. Дубна. Эксперименты с ядрами 3Не [49-51] были выполнены на циклотроне и-120М Академии наук Чешской Республики, г. Ржеж совместно с ЛЯР ОИЯИ.

Ядро 3Не с небольшой энергией связи 7.7 МэВ (здесь и далее свойства ядер взяты из базы знаний МКУ [20,52]; смотрите также [53]) привлекательно возможностью исследования простейших процессов передачи одного нейтрона. Ядро 6Не обладает протяженным распределением (так называемым гало), образованным парой внешних слабосвязанных нейтронов (энергия отделения 0.975 МэВ для двух нейтронов и 1.865 МэВ для одного нейтрона [20,53]). В простейшей оболочечной модели [20,54] конфигураций 6Не: а + п + п [55-58] внешние нейтроны в поле ядерного кора (а-кластера) занимают состояние 1 р3/2 и проявляют свойства кластера - динейтрона [59-63]. Ядро 6Не устойчиво благодаря силе спаривания между внешними нейтронами [54], поскольку система а + п (ядро 5Не) связанных состояний не имеет.

Знание свойств и волновой функции основного состояния изотопов гелия необходимо для теоретического описания реакций с их участием, а также представляет собой самостоятельный интерес с точки зрения исследования кластерной структуры (например, [64-67]) и гало (например, [68]) в легких ядрах.

Задача нескольких тел в ядерной физике изучается уже на протяжении длительного времени. Например, в работе [69] были выполнены расчеты ядер 3H и 3He на основе уравнений Фаддеева. Разложение по гиперсферическим функциям (^-гармоникам) [70] использовалось для расчетов ядер 3H в работе [71], 4He - в работе [72], 6He - в работах [58,73], 6He и 12C - в работе [74], 9Be - в работе [75]. Уравнение Шредингера в рамках задачи трех тел с ортогональным проектированием впервые решено для ядра 6Li в работе [76], а для ядер 6He и 6Be - в работе [77]. В работах [56,78] волновые функции системы трех тел были получены с помощью гауссового базиса (например, [56,57,79]) и численного решения системы интегральных уравнений Хилла-Уилера (Hill-Wheeler).

Более простую возможность вычисления энергии E0 и плотности

вероятности

| для основного состояния «-частичной системы дает

метод континуальных интегралов Фейнмана [17,80-87], поскольку он не требует разложения волновой функции по каким-либо базисным функциям. Для вычисления континуальных интегралов в данной работе использовался метод Монте-Карло [88,89], широко применяющийся при моделировании квантовых систем (например, [90]). Этот подход может быть реализован с использованием мнимого (евклидова) времени и непрерывного изменения координат (как в [83,84,91] и в данной работе) или на дискретной координатной сетке (например, [92,93]). Возможность применения метода Монте-Карло с мнимым временем и непрерывным изменением координат для вычисления энергий основных состояний легких ядер вплоть до 4Не была заявлена в [83,84], но вычислительная мощность компьютеров, доступных на тот момент, не позволила получить достоверные результаты, поскольку статистика была очень небольшой. Даже сегодня авторы часто ограничиваются лишь расчетом энергий основных

состояний малонуклонных ядер [91,92] или выполняют более трудоемкий расчет волновых функций на сетке с большим расстоянием между узлами (например, [93]), что также, вероятно, связано с недостатком вычислительной мощности.

В данной работе для ускорения расчетов основных состояний малонуклонных ядер методом континуальных интегралов Фейнмана были использованы современные параллельные вычислительные решения. Алгоритм, позволяющий выполнять параллельные вычисления на графических процессорах, был разработан и реализован на языке программирования C++ с использованием технологии NVIDIA CUDA [94-96]. Результаты показали, что использование параллельных вычислений на графических процессорах очень эффективно для таких расчетов. Универсальность метода континуальных интегралов Фейнмана позволила в едином подходе выполнить расчеты для шести малонуклонных ядер: 3H, 3 4 6He, 6Li, 9Be.

1.2. Фейнмановские континуальные интегралы в евклидовом времени для

малонуклонных ядер

I 2

Энергия E и квадрат модуля волновой функции основного состояния

системы нескольких частиц могут быть найдены с помощью введенных Р. Фейнманом [80] континуальных интегралов (интегралов по траекториям) [8284]. Фейнмановский интеграл

K ( q, t; q,0 ) = J Dq(t' )exp j± S [q(t' )]| = 1 q

exp

r г ^ -Ht h

qo0 (1.1)

V J

представляет собой пропагатор - амплитуду вероятности распространения частицы массы т из точки д0 в точку q за время t. Здесь )] - действие, Н - гамильтониан системы, Вд({) - мера интегрирования [81]. Для не зависящей от времени потенциальной энергии переход к мнимому (евклидову) времени t = - гх дает пропагатор (д, х; д0,0)

КЕ(д,т;д0,0) =

(1.2)

с евклидовым действием

т

^в [ д(т')] = | л т

т ~2

' 2

V Л т'у

+V (д)

(1.3)

где У(д) - потенциальная энергия. Интегрирование по д при периодических граничных условиях д = д дает возможность найти энергию Е0 основного состояния в пределе т ^ го [83,84]

го

Е(т) = | КЕ (д, т; д,0) Лд = Бр

=Х ехр

ёл п

+

го

| ехр

ехр

Г 17-Л

V

(14)

Е \ п У

согй

Ех Й

£(Е)б/Е,

Е (т) ^ ехр

V Ъ

х —^ го

(1.5)

КЕ ( д, т; д,0 ) = £|У я (д)|2ехр

' Я/

%

+

го

| (д)|2

Г /.'- Л

ехр

Ех

V Й у

£(Е>/Е. (1.6)

Здесь и - номера состояний дискретного спектра, g(Е) - плотность уровней непрерывного спектра при Е > Есоп1, ЕС(яЛ - граница непрерывного спектра, для

систем из одной или двух частиц обычно выбираемая равной нулю. Для системы с дискретным спектром и финитным движением частиц вместе с энергией Е0 может быть найден и квадрат модуля волновой функции основного состояния в пределе х^го [83,84]

Кв (д, т; д,0)^|¥ 0(д)|2ехр

ч П у

х —> го.

(1.7)

МпКЕ(д,т;д,0)^Цх¥0(д)\2-Е0х, х^го. (1.8)

Уравнение (1.8) может быть использовано для нахождения энергии Е0 как взятого со знаком минус углового коэффициента линейной части графика зависимости Й1п А", (¿/,т;^/,0) от х. Значения квадрата модуля волновой функции

о

и

Е

и

основного состояния (д)|2 в точках д ограниченной области финитного движения могут быть найдены с помощью выражения (1.7) при значениях т, соответствующих линейной части графика зависимости Ып(д,х;д,0).

Фейнмановский интеграл по траекториям (1.2) можно представить в виде предела многократного интеграла [82-84]

^Е(д,х;д0,0) = Нш {---{ехр

N

N Лт=т

1 N

т

2Ах

+

V (дк )Лт

(1.9)

где

дк = д(тск), = кЛт к = 0, N, дN = д, С =

г л 12 / т л

(1.10)

v2лЙAx у

Здесь (N -1) -кратный интеграл соответствует усреднению по «траекториям» частицы в виде ломаных линий в плоскости (д, т) с вершинами

(д, тк ), к = 1, N -1. Для приближенного вычисления интеграла по траекториям

(1.9) непрерывную ось т заменяют сеткой т = тА = кЛт, к = 0, N, N > 2 с шагом Лт и выделяют евклидов пропагатор свободной частицы КЕ0) (д, т; д0,0)

К (д, т; дo,0) - КЕ0) (д, т; дo,0 )( ехР

ч1/2

Лт N

0^

К Е0) (д, т; д0,0)

т

2 лйх

ехр

т

2/гх

(111)

(1.12)

Полагая д^ = д0 = д, получим

КЕ (д,т;д,0)« К^0) (д,т;д,0У ехр

Лт N

0,N

КЕ0) (д, т; д,0 ) =

с

' т ^

у2пНху

Здесь и далее угловыми скобками обозначено усреднение величины /

(1.13)

/ = ехр

Лт N

(1.15)

по случайным траекториям, то есть (ТУ — 1)-мерным векторам 0 = {д1,...,ды_1} с законом распределения ¡¥(д0;д1,...,ды_х;ды = д0)

Ж(д0; дх,..., дм_х ;дм=д0) = См~1М1/2 ехр

т

N

2 Мх^

Усреднение величины / может быть вычислено методом Монте-Карло [88,89]

(1.16)

1 п

/ -1 X/

(1.17)

Примеры одномерных случайных траекторий для небольшого N = 6 и большого N = 1200 числа шагов по евклидову времени показаны на рисунках 1.1а и 1.16, соответственно.

Рисунок 1.1. Примеры одномерных случайных траекторий для небольшого N = 6 (а) и большого N = 1200 (б) числа шагов по евклидову времени.

Из-за случайных погрешностей статистического моделирования в выражении (1.8) для определения энергии основного состояния была использована линейная регрессия (смотрите, например, [97]).

Стандартный алгоритм моделирования случайного вектора Q с плотностью вероятности (1.16) состоит [88,89] в последовательном выборе значений его компонент из условных распределений Щ (д | д0), Щ (Ъ I %, Ъ ),

^(дко.д^г), ко^-2)• 3Десь -

плотность вероятности значений величины д при заданных значениях величин д0,д1,д2,.. . Одномерное распределение для к = 1

(^1 1^0 ) = • • • \dqN-W {% ; , > • ■ •, \Чм=Яо) =

N1/2(q0, т = (N - 1)Дт; q ,0) exp

т

2АтЙ

(g-g)2

(1.18)

exp <

2ctj

(q- qo )2

является нормальным с математическим ожиданием

Mg = go

и дисперсией

CTi =

A zhi Р

I N)

т

(119)

(1.20)

Двумерное распределение для к = 2 является произведением нормальных распределений для величин q и q

^) = W2(q2 \q0,q1)W1(q1 |g0), (1.21)

где

^2 (q21 qo, q ) =

1

л/2

^exp <

1

ЛСТч

2an

(q2- Mq2 )2

/

Mg2 =

1

л

1 -

V N -1 у

1

q +

N-1

qo, a2 =

Axh

r

т

1

л

1-

v N-ly

(1.22)

(1.23)

В общем случае распределение Щ (дк | д0, дк_х) также является нормальным с математическим ожиданием

Мк =(1 - А) дк_ + А =

V - к +1

(1.24)

и дисперсиеи

(л л \

т

(1.25)

При моделировании траектории очередное случайное значение дк вычисляется по формуле

дк =Мдк + ^дк, к = 1^-1, (1.26)

где Адк = — среднеквадратичное отклонение и — нормально

распределенная случайная величина с нулевым средним значением и единичной дисперсией.

Формулы (1.2)—(1.16) естественным образом обобщаются на случаи большего числа степеней свободы, в том числе на системы нескольких частиц.

Для удобства расчетов в масштабах действия ядерных сил представим выражения (1.6), (1.9)—(1.11), (1.14) с использованием безразмерных переменных

д = д/х0,КЕ = КЕх0, V = У(д)/г0,Ё0=Е0/г0,

где постоянные

т = т/т^, х = хД0, Ах = Лx/t0,

= 1 фм, е0 = 1 МэВ, т0 - масса нейтрона,

(1.27)

т0 х0

/й «1.57 ■ 10"23 с, Ь0 = « 0.02412,

(1.28)

тогда

' т \/2(

у2лх у

ехр

N

-АтбоЕ^*)

Л1/2

к=1

N

1

с

т 2лАх

(1.29)

(1.30)

(1.31)

/

С целью уменьшения кратности интегралов в формулах (1.13), (1.29) вычисления для ядер 3№, 6He, 6Li, 9Ве выполнялись в системе центра

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Науменко Михаил Алексеевич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пенионжкевич Ю.Э. Реакции со слабосвязанными кластерными ядрами. Тяжелые ионы и новые технологии // ЯФ. 2011. Vol. 74, № 11. P. 1641-1648.

2. Григоренко Л.В. и др. Исследования лёгких экзотических ядер вблизи границы стабильности в Лаборатории ядерных реакций ОИЯИ // УФН. 2016. Vol. 186, № 4. P. 337-386.

3. Кулько А.А. и др. Функции возбуждения реакций полного слияния и реакций передачи при взаимодействии 4He с ядрами 197Au // ЯФ. 2007. Vol. 70, № 4. P. 643-648.

4. Penionzhkevich Yu.E. et al. Some peculiarities in the interaction of 6He with 197Au and 206Pb // Письма в ЭЧАЯ. 2006. Vol. 3, № 6. P. 38-46.

5. Penionzhkevich Yu.E. et al. Excitation functions of fusion reactions and neutron transfer in the interaction of 6He with 197Au and 206Pb // Eur. Phys. J. A. 2007. Vol. 31, № 2. P. 185-194.

6. Kulko A.A. et al. Isomeric ratios for 196,198Tl and 196 198Au from fusion and transfer in the interaction of 6He with 197Au // J. Phys. G Nucl. Part. Phys. 2007. Vol. 34, № 11. P. 2297.

7. Kolata J.J. et al. Sub-barrier Fusion of 6He with 209Bi // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81, № 21. P. 4580-4583.

8. Lemasson A. et al. Modern Rutherford Experiment: Tunneling of the Most Neutron-Rich Nucleus // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 103, № 23. P. 232701.

9. Penionzhkevich Yu.E. et al. Deep Sub-Barrier Fusion Enhancement in the 6He + 206Pb Reaction // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96, № 16. P. 162701.

10. Соболев Ю.Г. и др. Энергетическая зависимость полного сечения реакции 46Не, 7Li + 28Si при E = 5-10 МэВ/нуклон // Изв. РАН Сер. физ. 2005. Vol. 69, № 11. P. 1603-1607.

11. Warner R.E. et al. Total reaction and 2n-removal cross sections of 20-60 A MeV 4;6'8He, 6-911Li, and 10Be on Si // Phys. Rev. C. 1996. Vol. 54, № 4. P. 1700-1709.

12. Warner R.E. et al. Reaction and proton-removal cross sections of 6Li, 7Be, 10B, 91011C, 12N, 1315O, and 17Ne on Si at 15 to 53 MeV/nucleon // Phys. Rev. C. 2006. Vol. 74, № 1. P. 014605.

13. Ingemarsson A. et al. New results for reaction cross sections of intermediate energy a-particles on targets from 9Be to 208Pb // Nucl. Phys. A. 2000. Vol. 676, № 1. P. 3-31.

14. Пенионжкевич Ю.Э., Соболев Ю.Г., Самарин В.В., Науменко М.А. Особенности полных сечений реакций со слабосвязанными ядрами 6He, 9Li // ЯФ. 2017. Vol. 80, № 5. P. 525-538.

15. Zagrebaev V.I. Sub-barrier fusion enhancement due to neutron transfer // Phys. Rev. C. 2003. Vol. 67, № 6. P. 061601.

16. Rachkov V.A. et al. Examining the enhancement of sub-barrier fusion cross sections by neutron transfer with positive Q values // Phys. Rev. C. 2014. Vol. 90, № 1. P. 014614.

17. Самарин В.В. Квантовое описание связи с каналами перераспределения нейтронов в реакциях слияния вблизи кулоновского барьера // ЯФ. 2015. Vol. 78, № 10. P. 916-927.

18. Лукьянов К.В. и др. Микроскопический анализ энергетической зависимости полных сечений реакций 6He, 6Li + 28Si в диапазоне E = (5-50) A ■ МэВ // Изв. РАН Сер. физ. 2008. Vol. 72, № 3. P. 382-386.

19. Кабдрахимова Г.Д. и др. Исследование полных сечений реакций взаимодействия 6He с ядрами Si при энергиях 5-50 МэВ/А // ЯФ. 2017. Vol. 80, № 01. P. 33-38.

20. Загребаев В.И., Деникин А.С., Карпов А.В., Алексеев А.П., Науменко М.А., Рачков В.А., Самарин В.В., Сайко В.В. Сетевая база знаний NRV по ядерной физике низких энергий [Электронный ресурс]. URL: http://nrv.jinr.ru/.

21. Buttle P.J.A., Goldfarb L.J.B. Neutron transfer in heavy ion reactions // Nucl. Phys. 1966. Vol. 78, № 2. P. 409-432.

22. Simenel C. Nuclear quantum many-body dynamics // Eur. Phys. J. A. 2012. Vol. 48, № 11. P. 152.

23. Umar A.S. et al. Entrance channel dynamics of hot and cold fusion reactions leading to superheavy elements // Phys. Rev. C. 2010. Vol. 81, № 6. P. 064607.

24. Загребаев В.И., Науменко М.А., Грайнер В. Нуклонные передачи в процессах глубоко неупругого рассеяния, квазиделения и слияния тяжелых ионов // Изв. РАН Сер. физ. 2005. Vol. 69, № 11. P. 1585-1592.

25. Zagrebaev V., Greiner W. Low-energy collisions of heavy nuclei: dynamics of sticking, mass transfer and fusion // J. Phys. G Nucl. Part. Phys. 2007. Vol. 34, № 1. P. 1.

26. Karpov A.V., Saiko V.V. Modeling near-barrier collisions of heavy ions based on a Langevin-type approach // Phys. Rev. C. 2017. Vol. 96, № 2. P. 024618.

27. Загребаев В.И., Самарин В.В. Роль нейтронов в реакциях слияния атомных ядер // ЯФ. 2007. Vol. 70, № 6. P. 1038-1051.

28. Самарин В.В., Самарин К.В. Динамический туннельный эффект при низкоэнергетических ядерных реакциях с нейтроноизбыточными ядрами // Изв. РАН Сер. физ. 2012. Vol. 76, № 4. P. 508-511.

29. Самарин В.В. Описание реакций слияния и нуклонных передач в нестационарных подходах и методе сильной связи каналов // ЯФ. 2015. Vol. 78, № 1-2. P. 133-146.

30. Sekizawa K., Yabana K. Time-dependent Hartree-Fock calculations for multinucleon transfer and quasifission processes in the 64Ni + 238U reaction // Phys. Rev. C. 2016. Vol. 93, № 5. P. 054616.

31. Самарин В.В., Самарин К.В. Учет спин-орбитального взаимодействия при описании нуклонных передач в столкновениях ядер тяжелых ионов // Изв. РАН Сер. физ. 2010. Vol. 74, № 4. P. 598-601.

32. Самарин К.В. Нестационарное квантовое описание малонуклонных передач в ядерных реакциях 40Ca + 96Zr, 40Ca + 208Pb, 90Zr + 208Pb // Изв. РАН Сер. физ. 2013. Vol. 77, № 4. P. 463-467.

33. Самарин В.В., Самарин К.В. Нестационарное квантовое описание нуклонных передач в реакциях с деформированными ядрами // Изв. РАН Сер. физ. 2014. Vol. 78, № 5. P. 573-579.

34. Самарин В.В., Самарин К.В. Механизмы реакций передачи при низкоэнергетических столкновениях с нейтроноизбыточными ядрами // Изв. РАН Сер. физ. 2011. Vol. 75, № 7. P. 1019-1024.

35. Rizea M., Carjan N. Dynamical scission model // Nucl. Phys. A. 2013. Vol. 909, Supplement C. P. 50-68.

36. Melezhik V.S. Recent progress in treatment of sticking and stripping with time-dependent approach // Hyperfine Interact. 2001. Vol. 138, № 1. P. 351-354.

37. Melezhik V.S., Baye D. Nonperturbative time-dependent approach to breakup of halo nuclei // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 59, № 6. P. 3232-3239.

38. Esbensen H., Bertsch G.F. Higher-order effects in the two-body breakup of 17F // Nucl. Phys. A. 2002. Vol. 706, № 3. P. 383-399.

39. Capel P., Baye D., Melezhik V.S. Time-dependent analysis of the breakup of halo nuclei // Phys. Rev. C. 2003. Vol. 68, № 1. P. 014612.

40. Capel P., Esbensen H., Nunes F.M. Comparing nonperturbative models of the breakup of neutron-halo nuclei // Phys. Rev. C. 2012. Vol. 85, № 4. P. 044604.

41. Серов В.В. и др. Современные методы расчета фотоионизации и ионизации электронным ударом двухэлектронных атомов и молекул // ЭЧАЯ. 2013. Vol. 44, № 4. P. 1434-1499.

42. Melezhik V.S. Mathematical modeling of ultracold few-body processes in atomic traps // EPJ Web Conf. 2016. Vol. 108. P. 01008.

43. Soloviev E.A., Vinitsky S.I. Suitable coordinates for the three-body problem in the adiabatic representation // J. Phys. B At. Mol. Phys. 1985. Vol. 18, № 16. P. L557.

44. Ito M. et al. Fusion reaction of halo nuclei: A real-time wave-packet method for three-body tunneling dynamics // Proc. Ninth Int. Conf. Nucl.-Nucl. Collis. 2007. Vol. 787, № 1. P. 267-274.

45. Hagino K. et al. Two-neutron halo nuclei in one dimension: dineutron correlation and breakup reaction // J. Phys. G Nucl. Part. Phys. 2011. Vol. 38, № 1. P. 015105.

46. Shotter A.C., Shotter M.D. Quantum mechanical tunneling of composite particle systems: Linkage to sub-barrier nuclear reactions // Phys. Rev. C. 2011. Vol. 83, № 5. P. 054621.

47. Boselli M., Diaz-Torres A. Quantifying low-energy fusion dynamics of weakly bound nuclei from a time-dependent quantum perspective // Phys. Rev. C. 2015. Vol. 92, № 4. P. 044610.

48. Skobelev N.K. et al. Excitation functions for the radionuclide 46Sc produced in the irradiation of 45Sc with deuterons and 6He // J. Phys. G Nucl. Part. Phys. 2011. Vol. 38, № 3. P. 035106.

49. Скобелев Н.К. и др. Сечения образования изотопов 43Sc, 44Sc и 46Sc в реакции 45Sc + 3He // Изв. РАН Сер. физ. 2013. Vol. 77, № 7. P. 878-882.

50. Скобелев Н.К. и др. Сечения реакций слияния и передачи при взаимодействии ядер Pt и Au с 3He при энергиях 10-24,5 МэВ // Письма в ЭЧАЯ. 2014. Vol. 11, № 2. P. 198-208.

51. Скобелев Н.К. и др. Сечения образования изотопов 43Sc, 44Sc и 46Sc в реакции 45Sc + 3He // Письма в ЭЧАЯ. 2013. Vol. 10, № 5. P. 671-678.

52. Karpov A.V., Denikin A.S., Naumenko M.A., Alekseev A.P., Rachkov V.A., Samarin V.V., Saiko V.V., and Zagrebaev V.I. NRV web knowledge base on low-energy nuclear physics // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. Sect. Accel. Spectrometers Detect. Assoc. Equip. 2017. Vol. 859, Supplement C. P. 112-124.

53. Wang M. et al. The AME2012 atomic mass evaluation (II). Tables, graphs and references // Chin. Phys. C. 2012. Vol. 36, № 12. P. 1603-2014.

54. Соловьев В.Г. Теория атомного ядра: ядерные модели. Москва: Энергоиздат, 1981.

55. Пенионжкевич Ю.Э., Калпакчиева Р.Г. Легкие ядра у границы нейтронной стабильности. Дубна: ОИЯИ, 2016.

56. Kukulin V.I. et al. Detailed study of the cluster structure of light nuclei in a three-body model // Nucl. Phys. A. 1986. Vol. 453, № 3. P. 365-388.

57. Ибраева Е.Т. и др. Исследование структуры легких нестабильных ядер и механизм упругого протонного рассеяния // ЭЧАЯ. 2011. Vol. 42, № 6. P. 1600-1691.

58. Zhukov M.V. et al. Bound state properties of Borromean halo nuclei: 6He and 11Li // Phys. Rep. 1993. Vol. 231, № 4. P. 151-199.

59. Oganessian Yu.T., Zagrebaev V.I., Vaagen J.S. Dynamics of two-neutron transfer reactions with the Borromean nucleus 6He // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 60, № 4. P. 044605.

60. Галанина Л.И., Зеленская Н.С. Динейтронный кластер и его проявление в упругом a6He рассеянии // ЯФ. 2002. Vol. 65, № 7. P. 1315-1320.

61. Raabe R. et al. 2n-transfer contribution in the 4He(6He, 6He)4He cross section at Ec.m=11.6 MeV // Phys. Rev. C. 2003. Vol. 67, № 4. P. 044602.

62. Галанина Л.И., Зеленская Н.С. Механизм независимой передачи нейтронов в a6He рассеянии и структура волновой функции ядра 6He // ЯФ. 2007. Vol. 70, № 2. P. 308-314.

63. Галанина Л.И., Зеленская Н.С. Механизмы последовательной передачи частиц и характеристики легких нейтронно-избыточных и ориентированных ядер // ЭЧАЯ. 2012. Vol. 43, № 2. P. 295-368.

64. Ikeda K., Takigawa N., Horiuchi H. The Systematic Structure-Change into the Molecule-like Structures in the Self-Conjugate 4n Nuclei // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1968. Vol. E68. P. 464-475.

65. Clusters in Nuclei. Volume 1 / ed. Beck C. Heidelberg: Springer, 2010. Vol. 818.

66. Clusters in Nuclei, Vol. 2 / ed. Beck C. Heidelberg: Springer, 2012. Vol. 848.

67. Clusters in Nuclei, Volume 3 / ed. Beck C. Heidelberg: Springer, 2014. Vol. 875.

68. Tanihata I., Savajols H., Kanungo R. Recent experimental progress in nuclear halo structure studies // Prog. Part. Nucl. Phys. 2013. Vol. 68, Supplement C. P. 215313.

69. Wu Y., Ishikawa S., Sasakawa T. Three-nucleon bound states: Detailed calculations of 3H and 3He // Few-Body Syst. 1993. Vol. 15, № 4. P. 145-188.

70. Джибути P.M., Шитикова К.В. Метод гиперсферических функций в атомной и ядерной физике. Москва: Энергоатомиздат, 1993.

71. Kievsky A. et al. High-Precision Calculation of the Triton Ground State Within the Hyperspherical-Harmonics Method // Few-Body Syst. 1997. Vol. 22, № 1. P. 1-10.

72. Viviani M., Kievsky A., Rosati S. Calculation of the a-Particle Ground State // Few-Body Syst. 1995. Vol. 18, № 1. P. 25-39.

73. Danilin B.V. et al. Dynamical multicluster model for electroweak and chargeexchange reactions // Phys. Rev. C. 1991. Vol. 43, № 6. P. 2835-2843.

74. Descouvemont P., Daniel C., Baye D. Three-body systems with Lagrange-mesh techniques in hyperspherical coordinates // Phys. Rev. C. 2003. Vol. 67, № 4. P. 044309.

75. Descouvemont P. et al. Low-energy 9Be + 208Pb scattering, breakup, and fusion within a four-body model // Phys. Rev. C. 2015. Vol. 91, № 2. P. 024606.

76. Voronchev V.T. et al. A variational study of the ground and excited states of light nuclei in a three-body model on the complete basis. II. The structure of 6He-6Li-6Be nuclei in the a+2N model // J. Phys. G Nucl. Phys. 1982. Vol. 8, № 5. P. 667.

77. Voronchev V.T., Krasnopol'sky V.M., Kukulin V.I. A variational study of the ground and excited states of light nuclei in a three-body model on the complete basis. I. General formalism // J. Phys. G Nucl. Phys. 1982. Vol. 8, № 5. P. 649.

78. Кукулин В.И. и др. Структура ядер с A=6 в рамках трехчастичной модели // ЯФ. 1981. Vol. 34, № 1. P. 21-32.

79. Hiyama E., Kino Y., Kamimura M. Gaussian expansion method for few-body systems // Prog. Part. Nucl. Phys. 2003. Vol. 51, № 1. P. 223-307.

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. Москва: Мир, 1968.

Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. Москва: Наука, 1978.

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. Москва: Наука, 1976. Шуряк Э.В. Стохастическая генерация траекторий на ЭВМ // УФН. 1984. Vol. 143, № 6. P. 309-317.

Shuryak E.V., Zhirov O.V. Testing Monte Carlo methods for path integrals in some quantum mechanical problems // Nucl. Phys. B. 1984. Vol. 242, № 2. P. 393406.

Самарин В.В., Науменко М.А. Изучение основных состояний нуклидов 3,4,6He методом фейнмановских континуальных интегралов // Изв. РАН Сер. физ.

2016. Vol. 80, № 3. P. 314-321.

Naumenko M.A., Samarin V.V. Application of CUDA technology to calculation of ground states of few-body nuclei by Feynman's continual integrals method // Supercomput. Front. Innov. 2016. Vol. 3, № 2. P. 80-95. Самарин В.В., Науменко М.А. Исследование основных состояний ядер 3H, 3,4,6He, 6Li, 9Be методом фейнмановских континуальных интегралов // ЯФ.

2017. Vol. 80, № 5. P. 473-485.

Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. Санкт-Петербург: Невский Диалект, 2009.

Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. Москва: Советское радио, 1971.

Методы Монте-Карло в статистической физике / под ред. Биндер К. Москва: Мир, 1982.

Lobanov Y.Y. Functional integrals for nuclear many-particle systems // J. Phys. Math. Gen. 1996. Vol. 29, № 20. P. 6653.

Lahde T.A. et al. Lattice effective field theory for medium-mass nuclei // Phys. Lett. B. 2014. Vol. 732. P. 110-115.

93. Borasoy B. et al. Lattice simulations for light nuclei: Chiral effective field theory at leading order // Eur. Phys. J. A. 2007. Vol. 31, № 1. P. 105-123.

94. NVIDIA CUDA [Электронный ресурс]. URL: https://developer.nvidia.com/cuda-zone/.

95. Перепёлкин Е.Е., Садовников Б.И., Иноземцева Н.Г. Вычисления на графических процессорах (GPU) в задачах математической и теоретической физики. Москва: Ленанд, 2014.

96. Сандерс Д., Кэндрот Э. Технология CUDA в примерах: введение в программирование графических процессоров. Москва: ДМК, 2011.

97. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Москва: Высшая школа, 2001. 478 p.

98. Жигунов В.П., Захарьев Б.Н. Методы сильной связи каналов в квантовой теории рассеяния. Москва: Атомиздат, 1974.

99. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика в 10 томах. Том 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). Москва: Наука, 1989.

100. Naumenko M.A., Samarin V.V. Application of CUDA technology for calculation of ground states of few-body nuclei by Feynman's continual integrals method // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2016): труды международной научной конференции (28 марта - 1 апреля 2016 г., г. Архангельск). Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2016. P. 8-19.

101. Naumenko M.A., Samarin V.V. Calculation of ground states of few-body nuclei using NVIDIA CUDA technology // Proceedings of the 7th International Conference "Distributed Computing and Grid-technologies in Science and Education (GRID 2016) (Dubna, Russia, July 4-9, 2016). CEUR Workshop Proceedings (CEUR-WS.org), 2017. P. 376-380.

102. Samarin V.V., Naumenko M.A. Study of ground states of few-body and cluster nuclei by Feynman's continual integrals method // Exotic Nuclei. World Scientific, 2017. P. 93-99.

103. Гетерогенный кластер "HybriLIT" ЛИТ ОИЯИ [Электронный ресурс]. URL: http://hybrilit._j inr. ru/.

104. Naumenko M.A., Samarin V.V. Parallel implementation of numerical solution of few-body problem using Feynman's continual integrals // Book of abstracts of International Conference "Mathematical Modeling and Computational Physics, 2017" (MMCP2017) (Dubna, Russia, 3 - 7 July 2017). Dubna, 2017. P. 49-49.

105. Samarin V.V., Naumenko M.A. Application of NVIDIA CUDA technology to calculation of ground states of few-body nuclei // Selected Papers of the 26th International Symposium on Nuclear Electronics and Computing (NEC 2017) (Budva, Montenegro, September 25-29, 2017). CEUR Workshop Proceedings (CEUR-WS.org), 2017. P. 259-264.

106. Satchler G.R., Love W.G. Folding model potentials from realistic interactions for heavy-ion scattering // Phys. Rep. 1979. Vol. 55, № 3. P. 183-254.

107. Brandan M.E., Satchler G.R. The interaction between light heavy-ions and what it tells us // Phys. Rep. 1997. Vol. 285, № 4. P. 143-243.

108. Alvarez M.A.G. et al. Experimental determination of the ion-ion potential in the N = 50 target region: A tool to probe ground-state nuclear densities // Nucl. Phys. A. 1999. Vol. 656, № 2. P. 187-208.

109. Самарин В.В. Методы исследования околобарьерного слияния ядер тяжелых ионов и их приложения к ион-атомным столкновениям: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Санкт-Петербург: Санкт-Петербургский государственный университет, 2006.

110. De Vries H., De Jager C.W., De Vries C. Nuclear charge-density-distribution parameters from elastic electron scattering // At. Data Nucl. Data Tables. 1987. Vol. 36, № 3. P. 495-536.

111. McCarthy J.S., Sick I., Whitney R.R. Electromagnetic structure of the helium isotopes // Phys. Rev. C. 1977. Vol. 15, № 4. P. 1396-1414.

112. Retzlaff G.A., Skopik D.M. 3He charge form factors by nuclear recoil detection // Phys. Rev. C. 1984. Vol. 29, № 4. P. 1194-1198.

113. Kanada H. et al. Microscopic Study of Nucleon-4He Scattering and Effective Nuclear Potentials // Prog. Theor. Phys. 1979. Vol. 61, № 5. P. 1327-1341.

114. Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра. Москва: Мир, 1971.

115. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. Москва: Наука, 1980.

116. von Oertzen W., Freer M., Kanada-En'yo Y. Nuclear clusters and nuclear molecules // Phys. Rep. 2006. Vol. 432, № 2. P. 43-113.

117. Winther A. Grazing reactions in collisions between heavy nuclei // Nucl. Phys. A. 1994. Vol. 572, № 1. P. 191-235.

118. Winther A. Dissipation, polarization and fluctuation in grazing heavy-ion collisions and the boundary to the chaotic regime // Nucl. Phys. A. 1995. Vol. 594, № 2. P. 203-245.

119. Angeli I., Marinova K.P. Table of experimental nuclear ground state charge radii: An update // At. Data Nucl. Data Tables. 2013. Vol. 99, № 1. P. 69-95.

120. Samarin V.V., Naumenko M.A. Study of few-body and cluster nuclei by Feynman's continual integrals and hyperspherical functions // Abstracts of the 36th International Workshop on Nuclear Theory (Rila Mountains, Bulgaria, 25 June - 1 July 2017). Rila Mountains, 2017. P. 39-39.

121. Samarin V.V. Study of few-body and cluster nuclei by Feynman's continual integrals and hyperspherical functions // Nucl. Theory / ed. Gaidarov M., Minkov N. 2017. Vol. 36. P. 233-243.

122. Nagame Y. et al. Pre-equilibrium process in 3He-induced reactions on 59Co, 109Ag, 181Ta and 209Bi // Nucl. Phys. A. 1988. Vol. 486, № 1. P. 77-90.

123. Scuderi V. et al. Fusion and direct reactions for the system 6He + 64Zn at and below the Coulomb barrier // Phys. Rev. C. 2011. Vol. 84, № 6. P. 064604.

124. Barnard R.W., Jones G.D. A study of 46Ti by the 45Sc(3He, d)46Ti and 46Ti(p, p')46Ti reactions // Nucl. Phys. A. 1968. Vol. 111, № 1. P. 17-38.

125. Rao M.N. et al. Level structure of 47Ti // Nucl. Phys. A. 1970. Vol. 151, № 2. P. 351-368.

126. Kunz P. DWBA code DWUCK5 [Электронный ресурс]. URL: http://spot.colorado. edu/~kunz/DWBA. html.

127. Winther A. GRAZING 9: a Fortran program for estimating reactions in collision between heavy nuclei [Электронный ресурс]. URL: http://personalpages.to.infn.it/~nanni/grazing/.

128. Самарин В.В. Малонуклонные передачи и слабодиссипативные процессы в GRAZING-модели низкоэнергетических ядерных реакций // Изв. РАН Сер. физ. 2013. Vol. 77, № 7. P. 904-908.

129. Samarin V.V., Naumenko M.A., Penionzhkevich Yu.E., Skobelev N.K., Kroha V., and Mrazek J. Near-barrier neutron transfer in reactions 3,6He + 45Sc and 3,6He + 197Au // J. Phys. Conf. Ser. 2016. Vol. 724, № 1. P. 012043.

130. Науменко М.А., Самарин В.В., Пенионжкевич Ю.Э., Скобелев Н.К. Околобарьерные передачи нейтрона в реакциях 6He + 45Sc, 64Zn, 197Au // Изв. РАН Сер. физ. 2017. Vol. 81, № 6. P. 784-790.

131. Samarin V.V., Naumenko M.A. Neutrons in light nuclei and neutron transfer in reactions with light nuclei // Fundamental Interactions & Neutrons, Nuclear Structure, Ultracold Neutrons, Related Topics: Abstracts of the XXV International Seminar on Interaction of Neutrons with Nuclei (Dubna, Russia, May 22 - 26, 2017). Dubna, Russia: JINR, 2017. P. 80-80.

132. Naumenko M.A., Penionzhkevich Yu.E., Samarin V.V., Skobelev N.K. Neutron rearrangement in reactions with light weakly bound nuclei // Exotic Nuclei. World Scientific, 2017. P. 67-71.

133. Науменко М.А., Самарин В. В., Пенионжкевич Ю. Э., Скобелев Н. К. Околобарьерные передачи нейтрона в реакциях с ядром 3He // Изв. РАН Сер. физ. 2016. Vol. 80, № 3. P. 294-303.

134. Samarin V.V., Naumenko M.A., Penionzhkevich Yu.E., Skobelev N.K., Kroha V., and Mrazek J. Near-barrier neutron transfer in reactions 3,6He + 197Au // Exotic Nuclei. World Scientific, 2015. P. 115-125.

135. Naumenko M.A., Penionzhkevich Yu.E., Samarin V.V., Skobelev N.K. Neutron transfer in reactions with light weakly-bound nuclei // Eurasian J. Phys. Funct. Mater. 2017. Vol. 1, № 1. P. 25-29.

136. Naumenko M.A., Samarin V.V. Near-barrier nucleon transfer in reactions 3,6He + 45Sc, 197Au, 64Zn // Nucl. Theory / ed. Gaidarov M., Minkov N. 2017. Vol. 36. P. 21-30.

137. PACE4 evaporation code [Электронный ресурс]. URL: http://lise.nscl.msu.edu/pace4.html.

138. Давыдов А.С. Квантовая механика. Москва: Наука, 1973.

139. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика в 10 томах. Том 4. Квантовая электродинамика. Москва: Наука, 1989.

140. Самарин К.В. Исследование нуклонных передач при низкоэнергетических ядерных реакциях нестационарными квантовыми методами: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург: Санкт-Петербургский государственный университет, 2013.

141. Самарин В.В. Разностное уточнение квазиклассического приближения для альфа-, протонных и кластерных распадов // Изв. РАН Сер. физ. 2014. Vol. 78, № 11. P. 1388-1395.

142. Blomqvist J., Wahlborn S. Shell model calculations in the Lead region with a diffuse nuclear potential // Ark. Fys. 1960. Vol. 16. P. 545-566.

143. Cwiok S. et al. Single-particle energies, wave functions, quadrupole moments and g-factors in an axially deformed woods-saxon potential with applications to the two-centre-type nuclear problems // Comput. Phys. Commun. 1987. Vol. 46, № 3. P. 379-399.

144. Методы измерения основных величин ядерной физики / под ред. Люк К. Л. Юан, Ву Цзянь-Сюн. Москва: Мир, 1964.

145. Sick I. Precise nuclear radii from electron scattering // Phys. Lett. B. 1982. Vol. 116, № 4. P. 212-214.

146. Shevchenko N.G. et al. Distribution of Charge Density in 48Ti and 50Cr // Sov. J. Nucl. Phys. 1978. Vol. 28. P. 295.

147. Neuhausen R. et al. Elastic Electron Scattering from Zn Isotopes // Phys. Rev. C. 1972. Vol. 5, № 1. P. 124-128.

148. Hahn B., Ravenhall D.G., Hofstadter R. High-Energy Electron Scattering and the Charge Distributions of Selected Nuclei // Phys. Rev. 1956. Vol. 101, № 3. P. 1131-1142.

149. Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва: Наука, 1977.

150. Frobrich P., Lipperheide R. Theory of nuclear reactions. Oxford: Clarendon Press, 1996.

151. Sakuragi Y., Yahiro M., Kamimura M. Chapter VI. Microscopic CoupledChannels Study of Scattering and Breakup of Light Heavy-Ions // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1986. Vol. 89. P. 136-211.

152. Samarin V. Microscopic time-dependent analysis of neutrons transfers at low-energy nuclear reactions with spherical and deformed nuclei // EPJ Web Conf. 2014. Vol. 66. P. 03075.

153. Breit G., Ebel M.E. Nucleon Tunneling in N14 + N14 Reactions // Phys. Rev. 1956. Vol. 103, № 3. P. 679-701.

154. Цуккер А. Ядерные взаимодействия тяжелых ионов // УФН. 1962. Vol. 76, № 2. P. 351-382.

155. von Oertzen W. et al. Quasi-elastic neutron transfer and pairing effects in the interaction of heavy nuclei // Z. Phys. A. 1987. Vol. 326, № 4. P. 463-481.

156. Загребаев В.И., Самарин В.В. Околобарьерное слияние тяжелых ядер. Связь каналов // ЯФ. 2004. Vol. 67, № 8. P. 1488-1502.

157. Nagame Y. et al. Isomeric yield ratios in proton-, 3He-, and a-particle-induced reactions on 197Au // Phys. Rev. C. 1990. Vol. 41, № 3. P. 889-897.

158. Престон М. Физика ядра. Москва: Мир, 1964.

159. Samarin V.V. Fusion and neutron transfer reactions with weakly bound nuclei within time-dependent and coupled channel approaches // EPJ Web Conf. 2016. Vol. 117. P. 08018.

160. Samarin V. Time-dependent quantum models of the dynamics of neutron transfer reactions near the barrier // EPJ Web Conf. 2015. Vol. 86. P. 00040.

161. Samarin V.V., Penionzhkevich Yu.E., Naumenko M.A., Skobelev N.K. Near-barrier proton transfer in reactions with 3He // Book of abstracts of International Conference "Nucleus-2017" (Almaty, Republic of Kazakhstan, 12 - 15 September 2017). Almaty, Republic of Kazakhstan, 2017. P. 136-136.

162. Пенионжкевич Ю.Э. Некоторые особенности взаимодействия слабосвязанных ядер 6He, 6,7Li вблизи кулоновского барьера // Ядерная Физика. 2009. Vol. 72, № 10. P. 1674-1685.

163. Rodin A.M. et al. Status of ACCULINNA beam line // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. Sect. B Beam Interact. Mater. At. 2003. Vol. 204. P. 114-118.

164. Угрюмов В.Ю. et al. Энергетическая зависимость полного сечения реакции ионов 4Не с кремнием // ЯФ. 2005. Vol. 68, № 1. P. 17-22.

165. Соболев Ю.Г., Иванов М.П., Пенионжкевич Ю.Э. Установка для измерения полных сечений ядерных реакций // ПТЭ. 2012. № 6. P. 13.

166. Sobolev Yu.G. et al. Experimental study of the energy dependence of the total cross section for the 6He + natSi and 9Li + natSi reactions // Phys. Part. Nucl. 2017. Vol. 48, № 6. P. 922-926.

167. Соболев Ю.Г. и др. Активные коллиматоры в экспериментах с пучками экзотических ядер // ПТЭ. 2011. № 4. P. 5-10.

168. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Москва: Наука, 1980.

169. Kox S. et al. Trends of total reaction cross sections for heavy ion collisions in the intermediate energy range // Phys. Rev. C. 1987. Vol. 35, № 5. P. 1678-1691.

170. Penionzhkevich Yu.E., Sobolev Yu.G., Samarin V.V., and Naumenko M.A. Energy dependence of total cross sections for reactions with 6He, 6,9Li nuclei // Exotic Nuclei. World Scientific, 2017. P. 78-86.

171. Penionzhkevich Yu.E., Sobolev Yu.G., Samarin V.V., and Naumenko M.A. Study of enhancement of total cross sections of reactions with 6He, 6,9Li nuclei // Eurasian J. Phys. Funct. Mater. 2017. Vol. 1, № 1. P. 12-18.

172. Naumenko M.A., Penionzhkevich Yu.E., Samarin V.V., and Sobolev Yu.G. Role of external neutrons of weakly bound nuclei in reactions with their participation // Program of XXII International School on Nuclear Physics, Neutron Physics and Applications (Varna, Bulgaria, 10 - 16 September 2017). Varna, 2017. P. 19-19.

173. Hussein M.S., McVoy K.W. Nearside and farside: The optics of heavy ion elastic scattering // Prog. Part. Nucl. Phys. 1984. Vol. 12. P. 103-170.

174. Загребаев В.И. Ядерные реакции с тяжелыми ионами. Дубна: ОИЯИ, 2016.

175. Sinha M. et al. Coupled channel effect in elastic scattering and fusion for 6,7Li + 28Si // EPJ Web Conf. 2011. Vol. 17. P. 03004.

176. Anantaraman N., Fulbright H.W., Stwertka P.M. Variation of ground-state a-particle strengths for sd- and fp-shell nuclei // Phys. Rev. C. 1980. Vol. 22, № 2. P. 501-506.

177. Schwandt P. et al. Optical potential for 6Li elastic scattering at 99 MeV // Phys. Rev. C. 1981. Vol. 24, № 4. P. 1522-1528.

178. Nadasen A. et al. Elastic scattering of 318 MeV 6Li from 12C and 28Si: Unique phenomenological and folding-model potentials // Phys. Rev. C. 1993. Vol. 47, № 2. P. 674-681.

179. Pakou A. et al. Elastic scattering of 7Li + 28Si at near-barrier energies // Phys. Rev. C. 2004. Vol. 69, № 5. P. 054602.

180. Schumacher P. et al. Lithium elastic and inelastic scattering and lithium-induced single nucleon transfer reactions // Nucl. Phys. A. 1973. Vol. 212, № 3. P. 573599.

181. Lewitowicz M. et al. Elastic scattering of a secondary 11Li beam on 28Si at 29 MeV/nucleon // Nucl. Phys. A. 1993. Vol. 562, № 2. P. 301-316.

182. Nadasen A. et al. Unique potentials for the elastic scattering of 350 MeV 7Li from 12C and 28Si // Phys. Rev. C. 1995. Vol. 52, № 4. P. 1894-1899.

183. Деникин А.С., Науменко М.А., Самарин В.В. Оптическая модель упругого рассеяния в базе знаний Nuclear Reaction Video (NRV). Методические указания к практическим и лабораторным занятиям. [Электронный ресурс]. URL: http://nrv._i inr. ru/nrv/OM-Tutorial .pdf.

184. Baron N., Leonard R.F., Stewart W.M. Alpha-Gamma Angular Correlations in 12C, 24Mg, 58Ni, and 120Sn // Phys. Rev. C. 1971. Vol. 4, № 4. P. 1159-1173.

185. Smith S.M. et al. The (a, a), (a, a') and (a, 3He) reactions on 12C at 139 MeV // Nucl. Phys. A. 1973. Vol. 207, № 2. P. 273-288.

186. Ostrowski A.N. et al. Nuclear forward glory, gr and fN(0c) in the scattering of 6He by carbon // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 60, № 6. P. 064603.

187. Milin M. et al. The 6He scattering and reactions on 12C and cluster states of 14C // Nucl. Phys. A. 2004. Vol. 730, № 3. P. 285-298.

188. Smalley D. et al. Two-neutron transfer reaction mechanisms in 12C(6He, 4He)14C using a realistic three-body 6He model // Phys. Rev. C. 2014. Vol. 89, № 2. P. 024602.

189. Lapoux V. et al. Coupling effects in the elastic scattering of 6He on 12C // Phys. Rev. C. 2002. Vol. 66, № 3. P. 034608.

190. Al-Khalili J.S. et al. Elastic scattering of 6He and its analysis within a four-body eikonal model // Phys. Lett. B. 1996. Vol. 378, № 1. P. 45-49.

191. Lou J.L. et al. Quasielastic scattering of 6He from 12C at 82.3 MeV/nucleon // Phys. Rev. C. 2011. Vol. 83, № 3. P. 034612.

192. Brain S.W. et al. The ground-state charge distribution of the silicon isotopes and the excited states of 28Si, 30Si // J. Phys. G Nucl. Phys. 1977. Vol. 3, № 6. P. 821.

193. Hofstadter R. Electron Scattering and Nuclear Structure // Rev. Mod. Phys. 1956. Vol. 28, № 3. P. 214-254.

194. Möller P. et al. Nuclear ground-state masses and deformations: FRDM(2012) // At. Data Nucl. Data Tables. 2016. Vol. 109-110. P. 1-204.

195. Centre for photonuclear experiments data [Электронный ресурс]. URL: http://cdfe.sinp.msu.ru/.

196. Suelzle L.R., Yearian M.R., Crannell H. Elastic Electron Scattering from Li6 and Li7 // Phys. Rev. 1967. Vol. 162, № 4. P. 992-1005.

197. Dymarz R., Molina J.L., Shitikova K.V. On the nuclear interaction potential in the reactions with heavy ions // Z. Phys. A. 1981. Vol. 299, № 3. P. 245-249.

198. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. Москва: Физматлит, 2003.