Исследование особенностей гидродинамики и теплообмена при ламинарном пульсирующем течении в прямоугольных каналах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Пурдин Михаил Сергеевич

• Пурдин Михаил Сергеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Пурдин Михаил Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ В КАНАЛАХ

1.1. Предварительные замечания

1.2. Гидродинамика при стационарном и пульсирующем течении в круглой трубе и плоском канале

1.3. Гидродинамика при стационарном и пульсирующем течении в прямоугольном канале

1.4. Теплообмен при стационарном течении в прямоугольных каналах

1.5. Теплообмен при пульсирующем течении в круглой трубе и плоском канале

1.6. Теплообмен при пульсирующем течении в прямоугольных каналах

1.7. Выводы

2. ОСОБЕННОСТИ ГИДРОДИНАМИКИ ПРИ ЛАМИНАРНОМ СТАЦИОНЕРНОМ И ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ТЕЧЕНИИ В КАНАЛАХ

2.1. Особенности численного решения

2.2. Гидродинамика при пульсирующем течении в круглой трубе и плоском канале

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Метод численного решения

2.2.3. Результаты расчетов. Аппроксимирующие зависимости для коэффициентов сопротивления

2.3. Гидродинамика при стационарном и пульсирующем течении в прямоугольном канале

2.3.1. Постановка задачи

2.3.2. Метод численного решения

2.3.3 Результаты расчетов. Аппроксимирующие зависимости для коэффициентов сопротивления

2.4. Выводы

3. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ТЕЧЕНИИ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ

2

3.1. Постановка задачи. Математическая модель теплообмена при

пульсирующем течении

3.2. Особенности численного решения

3.3. Метод численного решения

3.4. Результаты предварительных расчетов

3.5. Оценка влияния режимных параметров на теплообмен

3.5.1. Теплообмен при граничном условии первого рода

3.5.2. Теплообмен при граничном условии второго рода

3.5.3. Влияние аксиальной теплопроводности жидкости

3.6. Выводы

4. ОСОБЕННОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТЕЧЕНИИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ КАНАЛЕ

4.1. Постановка задачи

4.2. Метод численного решения

4.3. Результаты расчетов

4.4. Выводы

5. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ТЕЧЕНИИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ КАНАЛЕ

5.1. Постановка задачи

5.2. Метод численного решения

5.3. Результаты предварительных расчетов

5.4. Исследование возможности интенсификации теплообмена путем наложения пульсаций расхода

5.4.1. Теплообмен при граничном условии первого рода

5.4.2. Теплообмен при граничном условии второго рода

5.5. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование особенностей гидродинамики и теплообмена при ламинарном пульсирующем течении в прямоугольных каналах»

Актуальность работы

С начала 80-х годов прошлого века активно развивается производство микроэлектроники. Увеличение плотности размещения транзисторов на кристаллах процессоров и уменьшение сечений проводников приводит к повышению тепловыделения, не смотря на применение новых материалов. В связи с этим в настоящее время интенсивно развивается производство микроканальных технических устройств, широко применяемых для передачи теплоты и охлаждения тепловыделяющего оборудования. В каналах таких устройств реализуется, как правило, ламинарный режим течения жидкости. Из-за особенностей конструкции и технологии изготовления поперечное сечение каналов имеет прямоугольную форму. Планарные теплообменники, представляющие собой систему щелевых микроканалов, несмотря на ламинарный режим течения теплоносителя обладают высоким коэффициентом теплоотдачи и могут найти применение в теплоэнергетике и химической промышленности.

Колебания расхода могут привести к существенной интенсификации теплообмена, что происходит, например, в выхлопной трубе двигателя внутреннего сгорания [2]. Исследование теплообмена при пульсирующем ламинарном течении важно для систем охлаждения ядерных энергетических установок, размещаемых на плавучих платформах в океане. В этом направлении в последнее десятилетие появилось значительное количество экспериментальных и расчетно -теоретических работ (см., например, [3]).

В области биологии при моделировании дыхания человека [4], движения крови по артериям и кровеносным капиллярам [5] важно знать закономерности ламинарного пульсирующего течения. Пульсирующее ламинарное течение в ряде случаев осуществляется и в системах биологических микрочипов, разработка которых активно ведется в последние годы [6]. Эти системы предназначены для

диагностики работы различных органов человеческого организма, а также адресной и точно дозированной доставки к ним лекарственных препаратов.

До настоящего времени не произведен подробный анализ и не установлена связь между распределениями гидродинамических и тепловых величин по периметру прямоугольного канала при стационарном ламинарном течении для граничных условий на стенке 1-го и 2-го рода. В том числе, не исследовано распределение коэффициента теплоотдачи и касательного напряжения по стенкам канала. Имеются отдельные данные о том, что наложение пульсаций на течение жидкости может интенсифицировать теплообмен [65 - 75]. Отсутствуют детальные исследования гидродинамики и теплообмена при пульсирующем ламинарном течении в плоском и прямоугольных каналах.

Имеющиеся на настоящий момент результаты исследований не дают ответа на вопрос о том, как меняется теплоотдача с изменением режимных параметров пульсирующего ламинарного течения. Таким образом, проведение расчетных исследований в данной области важно с практической и теоретической точки зрения.

Целью диссертационной работы является определение закономерностей и особенностей гидродинамики и теплообмена при ламинарном и пульсирующем течении жидкости в каналах прямоугольного сечения.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1) Разработка математической модели и методики численного моделирования, позволяющей проводить расчеты при высоких амплитудах колебаний.

2) Получение ранее отсутствовавших данных о теплообмене и гидродинамике при стационарном и пульсирующем ламинарном течении в плоском и прямоугольных каналах.

3) Исследование возможности интенсификации теплообмена путем наложения пульсаций на ламинарное стабилизированное течение в каналах.

4) Оценка влияния режимных и геометрических параметров на гидродинамику и теплообмен при стационарном и пульсирующем ламинарном течении в каналах.

Научная новизна и теоретическая значимость работы.

1) Разработана математическая модель и методика численного моделирования, позволяющая рассчитывать гидродинамические и тепловые характеристики потока при ламинарном стационарном и пульсирующем с большой амплитудой (А > 1) течении в каналах с сечением произвольной формы. Математическая модель учитывает наличие адиабатических участков, расположенных до и после обогреваемого участка.

2) Впервые детально исследованы и объяснены особенности конвективного теплообмена при стационарном ламинарном течении в прямоугольных каналах. В частности, определена длина начального теплового участка, получено распределение стабилизированного числа Нуссельта по периметру прямоугольного канала, объяснено отличие зависимостей от соотношения длин сторон канала среднего по периметру числа Нуссельта <Ки>да(у) при граничных условиях 1-го и 2-го рода, а также скачкообразное изменение <Ки>да при у ^ 0 для граничного условия 2-го рода.

3) Впервые проведены расчеты тепловых и гидродинамических характеристик ламинарных пульсирующих потоков для широкого диапазона безразмерных частот, относительных амплитуд колебаний средней по сечению скорости (включая амплитуды колебаний, превышающие единицу) и соотношений длин сторон прямоугольного канала.

4) Определены характер и степень влияния режимных и геометрических параметров на число Нуссельта при пульсирующем ламинарном течении в плоском и прямоугольных каналах. Дано объяснение изменению по длине канала средней массовой температуры и теплового потока на стенке (при граничном условии 1 -го рода) или температуры стенки (при граничном условии 2-го рода).

5) Установлена возможность значительного (до 2,5 и более раз) увеличения числа Нуссельта путем наложения пульсаций расхода на основной поток и дано физическое объяснение этому явлению. Определены области режимных параметров, при которых происходит интенсификация теплообмена.

Практическая ценность работы

1) Полученные в работе результаты исследования стационарных и пульсирующих потоков и аппроксимирующие зависимости могут быть использованы для проведения тепловых и гидродинамических расчетов микроканальных теплообменных аппаратов и теплоотводящих устройств.

2) Определенные в диссертации области режимных параметров, при которых в пульсирующих потоках происходит возрастание теплоотдачи по сравнению со случаем стационарного течения, могут быть использованы при проектировании новых микроканальных устройств, предназначенных для охлаждения тепловыделяющего оборудования.

Личный вклад автора.

Заключается в постановке целей и задач исследования, разработке математической модели и методики численного моделирования, позволяющая рассчитывать теплообмен при ламинарном стационарном и пульсирующем с большой амплитудой течении в каналах с сечением произвольной формы, проведении численных расчетов и обработке их результатов, выявлении и описании новых закономерностей гидродинамики и теплообмена при ламинарном пульсирующем течении жидкости в каналах. Личный вклад диссертанта составляет 80 %.

Методология и методы исследования.

Для достижения поставленной в диссертации цели использовался метод математического моделирования процессов гидродинамики и теплообмена при движении сплошной среды. Вычислительные задачи решались методом конечных разностей с применением вычислительных устройств (центральный и графический процессор).

Достоверность результатов, полученных в данной работе, подтверждена их хорошим согласованием с результатами численных и аналитических исследований других авторов, а также с результатами экспериментов. Полученные результаты соответствуют базовым физическим законам, таким как законы сохранения массы, импульса и энергии. Использовались проверенные и признанные численные схемы и методы таких отечественных авторов как С.К. Годунов, А.Н. Тихонов, А.А. Самарский.

Положения, выносимые на защиту

1) Математическая модель расчета теплообмена при стабилизированном ламинарном пульсирующем с большими амплитудами (A > 1) течении в каналах с произвольной формой поперечного сечения.

2) Результаты расчета теплообмена при стационарном стабилизированном ламинарном течении в плоском и прямоугольных каналах и обнаруженные при этом закономерности.

3) Результаты расчета теплообмена при ламинарном пульсирующем течении в плоском и прямоугольных каналах, в том числе зависимости, отражающие влияние режимных и геометрических параметров на число Нуссельта.

4) Положение о возможности значительного (до 2,5 и более раз) увеличения числа Нуссельта путем наложения пульсаций расхода на основной поток в определенной в диссертации области режимных параметров.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих научно-технических конференциях, симпозиумах и семинарах:

- 21-я и 22-я международные научно-технические конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (ФГБОУВО «НИУ «МЭИ», г. Москва, 2015, 2016 г.);

- 15-й Минский международный форум по тепло- и массообмену (Национальная академия наук Беларуси, г. Минск, 2016 г.);

- 8-й Международная школа-семинар молодых ученых и специалистов «Энергосбережение - теория и практика» (ФГБОУВО «НИУ «МЭИ», г. Москва, 2016 г.)

Публикации

По результатам диссертационной работы опубликовано 8 печатных работ, в том числе 4 статьи в журналах, входящих в перечень Высшей аттестационной комиссии Российской Федерации (3 из них по специальности 01.04.14), и 4 доклада в сборниках трудов научно-технических конференций. Три работы были переизданы за рубежом и содержатся в базе данных SCOPUS, а две из них содержатся также в базе данных Web of Science. Получено 5 свидетельств о регистрации программ для ЭВМ.

Степень соответствия диссертации паспорту научной специальности 01.14.04. «Теплофизика и теоретическая теплотехника». В рамках диссертационной работы проводились исследование однофазной вынужденной конвекции в широком диапазоне режимных и геометрических параметров, создание методов интенсификации процессов теплообмена, что соответствует п. 5 и 9 паспорта специальности 01.14.04.

Структура и объем работы

Диссертационная работа изложена на 155 страницах и состоит из введения, 5-ти глав, заключения, списка обозначений, списка литературы. Работа содержит 80 рисунков. Список литературы содержит 94 наименования.

Работа выполнена в ФГБОУ ВО «НИУ «МЭИ» на кафедре «Тепломассообменные процессы и установки» под научным руководством доктора технических наук профессора Е.П. Валуевой.

Благодарности

Автор очень признателен научному руководителю Е. П. Валуевой, за помощь

в работе над публикациями и диссертацией, заведующему кафедры ТМПУ А.Б.

Гаряеву за обсуждение диссертационной работы, полезные замечания и помощь в

организационных вопросах. Автор благодарен всему рабочему коллективу

9

кафедры ТМПУ за плодотворную атмосферу, которая способствовала написанию диссертации.

Часть результатов по теме диссертации получена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, государственное задание № 3.1519.2014/к.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ

В КАНАЛАХ

1.1. Предварительные замечания

Несмотря на то, что размеры каналов в планарных теплообменниках невелики (от нескольких микрометров до нескольких миллиметров), для расчета процессов гидродинамики и теплообмена, протекающих в них, можно применять уравнения сохранения, справедливые для сплошной среды. Об этом свидетельствуют результаты многочисленных исследований. Исключение составляет, во-первых, течение в микроканалах с шероховатыми стенками, когда геометрические размеры шероховатости сопоставимы с гидравлическим диаметром микроканала dr. Во-вторых, течение неньютоновских (вязкоупругих) жидкостей. В третьих, течение газов при относительно высоких числах Кнудсена Kn > 0,01 (Kn = /прМ-, /пр - длина свободного пробега молекул), когда на стенке не выполняется условие прилипания и осуществляется режим скольжения. Все эти случаи в данной работе не рассматриваются.

Подавляющее большинство имеющихся к настоящему времени экспериментальных и расчетных исследований в рассматриваемой области выполнено для граничных условий первого или второго рода, стенку можно считать тонкой, а ее аксиальной теплопроводностью пренебречь. Известно, что влияние указанных двух факторов на теплоотдачу приводит к тому, что число Нуссельта располагается между его значениями при Tc = const и qс = const при стационарном течении в круглом и плоском канале (Tc и qс - температура и плотность теплового потока на стенке). При течении в прямоугольном канале средние по периметру числа Нуссельта располагаются между их значениями при граничном условии первого (или второго) рода и при смешанном граничном условии [1]. Для последнего введено краткое обозначение H1 [7]. Оно означает, что температура стенки не изменяется по периметру канала, а средняя по периметру

плотность теплового потока на стенке постоянна по длине канала. Число Нуссельта при H1 близко к значению при граничном условии Тс = const.

Рис. 1. Зависимость стабилизированного числа Нуссельта от термического

сопротивления стенки.

1 - у = 1, 2 - у ^ 0; I-результаты расчета [9]; II, III, IV- предельные зависимости: II - qc =

const, III - H1, IV - Tc = const.

На рис. 1, взятого из [8], видно, что значение стабилизированного среднего по периметру числа Нуссельта < Nu > расположено между его значениями при

условии Н1 ( Р^да) и при условии qo = const ( в^0). Параметр р = —

^ ж 4

характеризует влияние перетоков тепла по периметру канала (Хс и Хж - теплопроводность стенки и жидкости, А - толщина стенки). Для квадратного канала различие между указанными значениями сравнительно невелико. Для щелевого канала (с малым отношением длин сторон прямоугольного канала у) увеличение относительных толщины стенки и ее теплопроводности

12

приводит к существенному увеличению теплоотдачи при граничном условии qс = const и ее уменьшению при граничном условии Тс = const.

1.2. Гидродинамика при стационарном и пульсирующем течении в круглой

трубе и плоском канале

Наложение колебаний на ламинарное течение в канале может привести к существенным изменениям гидродинамических характеристик потока, что подробно изучено для течения в круглой трубе и плоском канале. Впервые влияние наложенных колебаний средней по сечению скорости на профиль продольной скорости при ламинарном течении в трубе обнаружено в экспериментах [10]. Был получен так называемый аннулярный эффект Ричардсона: при относительно высоких частотах колебаний изменение скорости во времени происходит лишь в узком пристеночном слое, толщина которого уменьшается с увеличением частоты. Теоретически задача о ламинарном пульсирующем течении в трубе решена в [ 11]; наиболее полное ее решение для круглой трубы получено позднее в [ 12]. Сравнительно недавно появилась работа [13], в которой решение указанной задачи выполнено аналогично решению [12], но при условии, что задано не гармоническое колебание средней по сечению скорости, а колебание градиента давления. Выкладки авторов [13] по своей сути являются повторением решения [12].

В [13] также проведен эксперимент. Из аналитического решения уравнения движения для пульсирующего течения следует, что при определенных числах Рейнольдса среднего во времени течения и относительно высоких частотах и амплитудах колебаний существуют зоны возвратных (реверсивных) течений вблизи стенки, когда местная продольная скорость направлена против среднего потока. Наличие этих зон подтверждено экспериментально, причем с очень хорошим совпадением теории и эксперимента.

Аналитическое решение задачи о ламинарном пульсирующем течении в плоском канале приведено в [14]. Качественно закономерности колебаний гидродинамических величин для течения в плоском канале и в круглой трубе

совпадают. Расчетные исследования колеблющегося течения в плоском канале весьма ограничены.

Для прямолинейного канала в области ламинарного стационарного течения

длины начальных гидродинамических участков 'НГУ найдены в [15] на основе

решений, представленных в [16] - для круглой трубы и в [17] - для плоского канала. Эта длина определяется как расстояние от входа в канал, при котором скорость на оси составляет 99% скорости на оси для полностью развитого течения. По разным

X

данным для круглой трубы значения НГУ лежат в пределах 0,04 - 0,065 [1].

В [18] длина начального гидродинамического участка находилась по изменению распределения давления вдоль трубы, которое при развитом течении

X

становится линейным. Получено, что значения НГУ лежат в пределах 0,04 - 0,06.

1.3. Гидродинамика при стационарном и пульсирующем течении в

прямоугольном канале

Ламинарное течение осуществляется в прямоугольных каналах систем

биологических микрочипов, разработка которых активно ведется в последние годы

(см., например, [19]). Эти системы предназначены для диагностики работы

различных органов человеческого организма, а также адресной и точно

дозированной доставки к ним лекарственных препаратов. Гидравлические

диаметры микроканалов йг имеют порядок от 1 до 100 мкм.

Для медико-биологических исследований используются пневматические

микронасосы с периодическим вытеснением жидкости из свободных объемов. С

целью обеспечения постоянного расхода применяются специальные устройства

[20], усложняющие и удорожающие микрофлюидные установки. Поэтому

экономически выгодными могут быть установки с пульсирующим расходом.

Однако отсутствуют сведения о влиянии пульсаций расхода на колебания

коэффициентов гидравлического сопротивления (что важно для расчета перепада

14

давления, необходимого для прокачки жидкости) и сопротивления трения (что важно при проведении некоторых медико-биологических исследований [21]).

Распределение продольной скорости при стабилизированном ламинарном течении в прямоугольном канале впервые расчетным путем получил Бусинеск в 1914 г., применив приближенный аналитический метод.

Детальное изучение гидродинамики при ламинарном пульсирующем течении в прямоугольном канале как опытным, так и расчетным путем до настоящего времени не проводилось. Можно упомянуть работу [22], в которой выполнен эксперимент для течения воды в прямоугольном канале с гидравлическим диаметром 144 мкм, сечением (260 х 100) мкм, длиной Ь = 20 мм, значительно превышающей длину начального гидродинамического участка. Задавались пульсации расхода прямоугольной формы с разными значениями времен ^ и в течение которых сохранялось максимальное и минимальное значения расхода. Среднее во времени число Рейнольдса изменялось в диапазоне Яе = 10 - 620,

амплитуда колебаний А = 0,27, безразмерная частота колебаний 8 = —1 ^

ю

V

достигала значений 0,0757 (ю - круговая частота, V - кинематическая вязкость). Вычисленные по результатам измерений значения числа Пуазейля Ро (в выражении

2 _

/ = Ро / Яе, / = 2Ар-г / (р < и > Ь), Ар - средний во времени перепад давления, <и> - средняя во времени и по сечения канала скорость, р - плотность жидкости) оказались ниже, чем при стационарном течении, что вызывает некоторое сомнение. При развитом ламинарном течении с периодическим изменением расхода по времени значения осредненных по периоду колебаний гидродинамических характеристик должны совпадать с их значениями при стационарном течении.

В [23], [24] рассмотрено развитое течение, вызванное гармоническими колебаниями градиента давления. После исключения из уравнения движения нестационарного члена задача решена с помощью разложения в ряд Фурье. В [25] аналогичная задача нахождения амплитуды и фазы колебаний скорости сведена к

решению двух уравнений Гельмгольца, выполненному методом конечных разностей. Показано, что схема второго порядка точности не уступает схемам более высокого порядка при числе разбиений 40*40. Авторы [25] отмечают, что и в прямоугольном канале наблюдается аннулярный эффект Ричардсона.

В [26] рассмотрено развитое колеблющееся течение в прямоугольном канале, две противоположные стенки которого являются проницаемыми. Метод решения аналогичен методу, примененному в [23], [24]. Как указывается в [26], решение этой задачи может быть полезно при описании течения крови в фибровых мембранах, используемых для искусственных почек. Авторами [26] получено также аналитическое решение для развитого колеблющегося течения в треугольном [27] и в тороидальном [28] каналах. В последнем случае исследовалось влияние осцилляций на течение Дина.

Для течения в прямоугольном канале зависимость длины начального участка от отношения длин сторон у, рассчитанная в [29], показана на рис. 2.

Далее рассмотрим влияние колебаний расхода на длину начального гидродинамического участка. При ламинарном пульсирующем течении в макроканалах по сведениям, представленным в [30], при колебаниях расхода с относительно небольшой частотой длина гидродинамического начального участка остается такой же, что и при стационарном течении (см. рис. 2). С увеличением частоты колебаний хнгу может уменьшаться [31]. В этом случае во входном участке канала при пульсирующем течении возникает существенный поперечный перенос импульса, который способствует смыканию гидродинамических пограничных слоев на стенках канала на меньших расстояниях от входа, чем при стационарном течении. Можно приближенно установить некоторую аналогию этого процесса с процессом гидродинамической стабилизации при турбулентном течении. Известно, что длина начального гидродинамического участка при турбулентном течении значительно меньше, чем при ламинарном течении,

благодаря наличию турбулентных пульсаций, увеличивающих перенос импульса. Наличие пульсаций расхода на хшу при турбулентном течении не влияет [32].

Экспериментальное измерение длины участка стабилизации при стационарном ламинарном течении в микроканалах прямоугольного сечения

х

выполнено в [33, 34]. Предложена следующая корреляция: НГУ = 0,033 Яе для

Яе = 200 - 2100. Достоверные сведения о длине участка стабилизации при пульсирующем ламинарном течении в микроканалах отсутствуют.

Рис. 2. Зависимости коэффициента гидравлического сопротивления и длины начального гидродинамического участка от соотношения сторон.

1 - I Re, 2 - Хнгу

¿г Яе

В случае стационарного гидродинамически стабилизированного течения в канале с произвольной формой поперечного сечения коэффициент

гидравлического сопротивления равен I = Ро / Яе. Число Пуазейля Ро зависит от

формы поперечного сечения; в частности, при течении в прямоугольном канале -от отношения сторон у. Эта зависимость из [29] представлена на рис. 2. При

17

одинаковых числах Рейнольдса для квадратного канала (у = 1) коэффициент гидравлического сопротивления в 1,7 раза ниже, чем для плоского канала (у ^ 0).

1.4. Теплообмен при стационарном течении в прямоугольных каналах

Практический интерес представляет изучение процессов теплообмена в так называемых планарных теплообменных аппаратах, состоящих из щелевых микроканалов. Они могут применяться для охлаждения элементов электронной техники, криогенных установок, авиационной и ракетно-космической техники. Такие теплообменники обладают высоким коэффициентом компактности и большими значениями коэффициента теплоотдачи - до 130 Квт/(м2-К) [3].

Набольшее количество работ, в основном, расчетно-теоретических, появилось в 50-х - 70-х годах прошлого века. Впервые к указанной тематике обратились авторы работы [35]. Для случая постоянной температуры стенки Тс = const в области стабилизированного теплообмена зависимость среднего по периметру числа Нуссельта от соотношения сторон канала < Nu >да (у) получена из решения уравнения энергии методом конечных разностей в работах [36] - [39]; методом разложения по собственным функциям - в работах [40] - [42]. Число Нуссельта на начальном термическом участке вычислено в [36], [37], [9], [39], [41], [42], причем лишь в работе [42] расчеты проведены для малого отношения длин сторон у = 0,1. Для квадратного канала зависимость числа Нуссельта от продольной координаты < Nu > (Х) из работы [39] при малых Х совпадает с зависимостью, полученной в работе [37], и несколько отличается от данных из работы [9]. При больших Х результаты работ [39] и [9] совпадают, а работ [39] и [37] - немного различаются. Средние по длине стороны числа Нуссельта < Nu > (Х) на короткой и длинной стороне канала приведены в работе [9] для у = 0,25 и у = 0,5. В работе [41] исследовалось влияние числа Био Bi, учитывающего теплообмен с окружающей канал средой, на изменение среднего по периметру числа Нуссельта вдоль продольной координаты. Для у = 0,25, у = 0,5 и Bi^ro (что соответствует

граничному условию Тс = const) результаты расчета совпадают с результатами работ [37], [9].

Приближенное аналитическое решение уравнения энергии в предположении о постоянстве продольного градиента температур (что выполняется в области стабилизированного теплообмена при постоянной плотности теплового потока на стенке q с = const) проведено в работах [43], [44]. В [44] получено распределение температуры стенки по периметру канала для разных отношений длин сторон у. При условии qc = const для области стабилизированного теплообмена в работах [40], [44] вычислены значения < Nu >да, а также максимальной и минимальной температуры стенки в зависимости от у. Функция <Nu>00(y) найдена из решения уравнения энергии методом конечных разностей в работах [9],[38] - [40]; вариационным методом - в работах [45], [46]; методом пристрелки - в работе [47] для квадратного канала; методом разложения по собственным функциям - в работах [48], [49]. Рассчитанные в работе [46] числа Нуссельта <Nu> для канала с квадратным поперечным сечением совпадают с результатами, полученными ранее в работах в работах [45], [47], а для канала с у = 0,1 - с результатами работы [45]. В работе [48] вычислены значения максимальной и минимальной температуры стенки канала в зависимости от у, а также приведено распределение температур по периметру канала для у = 0,25, у = 0,5, у = 1. В работе [49] построены изотермы в сечении канала с у = 0,2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пурдин Михаил Сергеевич, 2017 год

- — /

—- II

\ \ \ \ Чч

\ Х 4 \ \\ 4 \ \ pi

- ^ X \\ 4 \ \ N. \Ч2

..... .......

10"5 10"4 10"' 10"- 10"1 х 10"

Рис. 46. Изменение числа Нуссельта по длине канала для разных Pe при

Tc = const.

I - аналитическое решение для круглого канала [1], II - результаты численного расчета для плоского канала; 1 - Pe = 1, 2 - 10, 3 - 100, 4 - Pe ^ ю.

Для случая, когда при Х > 0 выполняется условие Tc = const, с уменьшением числа Пекле число Нуссельта сначала при малых Х уменьшается, а при относительно больших Х - возрастает. При дальнейшем уменьшении числа Пекле (Pe < 10) изменение числа Нуссельта принимает противоположный характер.

Для оценки влияния числа Pe были произведены расчеты при условии Tc = const (см. рис. 46). Для удобства сравнения результатов на рисунке в качестве

характерного размера при определении безразмерных величин для круглой трубы принят диаметр, а для плоского канала - высота (X = х/ (dPe) - для круглой трубы, X = х / (hPe) - для плоского канала, где h - высота канала, Re = ud/v - для круглой

трубы, Re = uh/v - для плоского канала). Стабилизированное число Нуссельта для круглой трубы равно 3,66, для плоского канала - 3,77. Максимальная погрешность численного решения, определенная по тепловому балансу в сечениях канала, составила 11 % и наблюдается на входе в канал. Минимальная погрешность наблюдалась вблизи выхода из канала и составляла менее 3 %. Относительно большая погрешность связана с использованием равномерной сетки. Сгущение точек сетки ко входу в канал позволит получить более точные результаты, но исследование влияния аксиальной теплопроводности на теплообмен выходит за рамки данной работы.

Для случая, когда при Х > 0 выполняется условие qc = const, при уменьшении числа Пекле число Нуссельта уменьшается в области относительно малых Х и возрастает в области больших Х.

Во всех случаях с уменьшением числа Пекле возрастает длина начального термического участка. Влиянием аксиальной теплопроводности жидкости можно пренебречь при Ре > 10 и Х > 0,01.

Как было указано выше, число Pe < 100 оказывают влияние на теплообмен. На рис. 47 представлены результаты расчета с учетом аксиальной теплопроводности жидкости при Tc = const, A = 0,75, S ^ 0, ST ^ 0. С уменьшением числа Пекле максимум отнесенного числа Нуссельта к стационарному значению вблизи входа в обогреваемый участок сначала незначительно увеличивается, а затем уменьшается и смещается вверх по потоку, а увеличение наблюдается на большей длине. При Pe = 100 (кривая 3) изменение числа Нуссельта по длине канала почти не отличается от случая Pe ^ ю (кривая 4). Нет оснований полагать, что влияние на теплоотдачу при других режимах течения будет другим.

Nu Nu, 1,02

1,01

1,00

0,99

0 0,01 0,02 0,03 x 0,04 Рис. 47. Изменение числа Нуссельта по длине канала для разных Pe при Tc = const, A = 0,75, S ^ 0, St ^ 0.

1 - Pe = 10, 2 - 25, 3 - 100, 4 - Pe ^ œ.

3.6. Выводы

Разработана разностная схема и компьютерная программа для численного моделирования теплообмена при пульсирующем ламинарном течении в плоском канале (свидетельство о регистрации [90]).

В расчетах установлено, что влияние пульсаций расхода на тепловые характеристики течения проявляется в следующем.

1. Колебания тепловых величин, в отличие от колебаний гидродинамических величин, не являются гармоническими, что особенно заметно в квазистационарном режиме. Осредненные по периоду колебаний значения тепловых величин могут отличаться от их значений при стационарном течении.

2. На распределении по длине канала температуры стенки при qc = const или теплового потока на стенке при Tc = const и средней массовой температуры жидкости имеются узловые точки, в которых эти величины не изменяются во времени. Расстояние между узловыми точками обратно пропорционально ST2, и

равно 2п / (3S2) при Tc = const и к / (2S^) при qc = const. Этот режимный параметр, помимо гидродинамического числа Стокса S , оказывает существенное влияние на теплообмен. С увеличением амплитуды колебаний средней по сечению скорости узловые точки становятся менее заметны, а при A >1 определить их наличие становится невозможно.

3. При малых тепловых числах Стокса ST << 1 средняя массовая температура жидкости и температура стенки при qc = const колеблются в противофазе с колебанием средней по сечению скорости, а тепловой поток на стенке при Tc = const - в фазе.

4. Амплитуды и фазы колебаний тепловых величин при qc = const затухают по длине канала. Значения амплитуд обратно пропорционально расстоянию от входа в обогреваемый участок канала Х = х /(ИРе) и величине ST2. Влияние на теплообмен пульсаций средней по сечению скорости становится незначительным при больших . Амплитуды и фазы колебаний тепловых величин при Tc = const слабо затухают.

5. В квазистационарной режиме при S, ST < 1 отношение среднего по периметру канала и периоду колебаний числа Нуссельта к его значению при

стационарном течении < Nu >max /Nu5 имеет максимум вблизи входа в обогреваемый участок. Величина максимума возрастает с увеличением амплитуды колебаний. Появление этого максимума объясняется расширением области нестабилизированного теплообмена при колебаниях средней по сечению скорости. Другой причиной, влияющий на число Нуссельта вблизи входа в обогреваемый участок при пульсирующем течении с амплитудами А > 1, является наличие перед обогреваемым участком адиабатического участка. Благодаря переносу тепла возвратным течением в адиабатический участок число Нуссельта при Х ^ 0 возрастает в большей степени, чем в случае стационарного течения.

Впервые расчетным путем подтверждено наблюдавшееся в экспериментах

увеличение числа Нуссельта при пульсирующем с большими амплитудами

91

колебаний ламинарном течении в канале. Например, в квазистационарной области при граничном условии первого рода отношение среднего по периоду колебаний числа Нуссельта к его значению при стационарном течении вблизи входа в обогреваемый участок трубы Кишах / =1,9 для А = 5.

4. ОСОБЕННОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТЕЧЕНИИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ КАНАЛЕ

4.1. Постановка задачи

Решалось уравнение энергии для стационарного развитого ламинарного течения жидкости с постоянными физическими свойствами в прямоугольном канале

dT f*2* ^

u-= a

dx

д2T д2T dy2 dz2

(15)

С целью нахождения режимных параметров, от которых зависит решение уравнение энергии (15), приведем это уравнение к безразмерному виду:

ттд& д 2 3 д 2 3

U— =-7 + —^. (16)

дХ дУ2 -Z2 V У

Здесь 3 = (Т - Т0) / (Тс - Т0) при Tc = const, 3 = А(Т - Т0) / (dq ) при qc = const, Х = x /(dr Ре), У = y / dr, Z = z / dr.

Значения продольной скорости U(Y, Z) для стационарного течения получается из решения уравнения движения

д~и +д-Ч = -p • (17)

ду2 -z2

решаемого подобно (8).

Укажем граничные условия, с которыми решалось уравнение энергии (16). На входе в обогреваемый участок, длиной Xt, при Х = 0 задается равномерный профиль температуры: 3 = 0. На стенках канала выполняются условия 3 = 1 при Tc = const, либо д3 / -N = 1 при qc = const. На оси канала выполняется условие симметрии: д3 / дУ = д3 / -Z = 0.

Решение уравнения энергии 3(X,Y,Z) зависит от вида граничных условий и отношения длин сторон у. Кроме того, на решение уравнения энергии влияние оказывает решение уравнения движения U(Y, Z), которое зависит от у.

Решение уравнения (16) находилось методом конечных разностей с помощью неявной безусловно устойчивой двухслойной по времени и по X разностной схемы, по У, 2 - центральная разностная схема.

Рис. 48. Шаблон сетки. х - центральная точка шаблона.

Производные в (16) в центральной точке шаблона (см. рис. 48) аппроксимировались разностными производными: я? тт я2 а

и а?=т (вл" -)+°(АХ), =к ~ щ ><■+®<-■ )/ АУ 2+°(АУ 2),

= (? /+1 к - 2аик+аи_х к) / А22 + °(А22), где I - номер точки по У, у - по 2, к -

а 2а

^ - ^^

по X.

В результате уравнение (16) заменялись системой разностных шеститочечных уравнений

V к = л к + Л к + аЗ? к + аЩ ,+, ^ + а5? ^- + Ы

и к

ил

¡■Л+и

¡■Лк -

(18)

где a1, a2, a3, a4, a5 и b1 - коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений и свободный член, получаемые при переводе уравнения (16) в конечно-разностный вид.

a1 = 1/(AY2D), a2 = 1/(AY2D), a3 = 1/(AZ2D), a4 = 1/(AZ2D), a5 = U/(AXD), 2 2 U

b1 = 0, где D =--+---+--. Видно, что сходимость итераций обеспечена

AY2 AZ2 АХ

строгим диагональным преобладанием Za = 1 в матрице коэффициентов систем разностных уравнений.

На входе в расчетную область при X = 0 задана температура жидкости 3ij,k = 0. На стенке задается граничное условие Tc = const в виде 3i,j,k = 1 или qс = const в виде разностного уравнения (18) с коэффициентами, представленными далее. При

Y = Yo: a1 = 2/(AY2D), a2 = 0, a3 = 1/(AZ2D), a4 = 1/(AZ2D), a5 = 0, b1 = 2/(AYD). При Z = Z0: a1 = 1/(AY2D), a2 = 1/(AY2D), a3 = 2/(AZ2D), a4 = 0, a5 = 0, b1 = 2/(AZD). При

Y = Y0 и Z = Z0: a1 = 2/(AY2D), a2 = 0, a3 = 2/(AZ2D), a4 = 0, a5 = 0, b1 = 2/(A YD)+2/(AZD).

На оси задается условие симметрии в виде разностного уравнения (18) с коэффициентами, представленными далее. При Y = 0: a1 =0, a2 = 2/(AY2D), a3 = 1/(AZ2D), a4 = 1/(AZ2D), a5 = U/(AXD), b1 = 0. При Z = 0: a1 = 1/(AY2D), a2 = 1/(AY2D), a3 = 0, a4 = 2/(AZ2D), a5 = U/(AXD), b1 = 0. При Y = 0 и Z = 0: a1 = 0, a2 = 2/(AY2D), a3 = 0, a4 = 2/(AZ2D), a5 = U/(AXD), b1 = 0.

Система линейных шеститочечных алгебраических уравнений решалась итерационным методом Гаусса-Зайделя. Итерации сходятся, поскольку для матрицы коэффициентов системы алгебраических уравнений выполняется условие диагонального преобладания. Сходимость итераций (с абсолютной погрешностью, ограниченной значением машинного нуля, равного 2,2 10- 16) контролировалась по значениям 3 в каждой точке сетки. Подобраны числа разбиений по пространственным координатам 2000*80*80 (по X*Y*Z), при которых погрешность решения уравнения энергии и его небаланс не превышали 1%.

Длина расчетной области полагалась равной Хе = 2ХНТУ (Хнту - длина начатьного термического участка). В связи с отсутствием данных о длине начального термического участка в прямоугольном канале для каждого соотношения длин сторон был произведен ряд расчетов, позволивший последовательно ее определить.

По результатам решения уравнения энергии вычислялись локальное КИ( X) и среднее по периметру < Ки > (Х) значения числа Нуссельта:

1 fY0 Zo Л

Nu(X) = бе /(1 -Зж), < Nu > (X) = \QcdY +iQcdZ

(1 -Зж )(Yo + Z o)

сj ^c>

V o 0

при

Tc = const, Qc = - безразмерный тепловой поток на стенке;

KdN у е

Nu(X) = 1 / АЗ, < Nu > (X) > = (Y0 + Z0),

(Yo Zo

JA3dY+ JA3dZ о 0

при qс = const,

где АЗ = Зс - Зж - безразмерный температурный напор.

1 7° 2 0 и

Здесь Зж =-| | З-- безразмерная средняя массовая температура

20 0 0 < и >

жидкости; У0 = 0,25(1 + 1/у), 20 = 0,25(1 + у).

4.3. Результаты расчетов

Основные результаты моделирования теплообмена при ламинарном течении в прямоугольном канале опубликованы в работах [91, 92].

Влиянием аксиальной теплопроводности пренебрегалось. Значение единственного режимного параметра у, от которого зависит решение уравнения энергии, изменялось в диапазоне у = 10-3 ^ 1.

<Nu>oo E i

Po

7 IV

90

6

80

5

4

70

3

-(60

3

2

50

0 0,2 0,4 0,6 0,8 v 1,0

Рис. 49. Зависимости среднего по периметру числа Нуссельта от отношения

Tc = const: 1 - результаты расчета, + - данные [7]; qc = const: 2 - результаты расчета, х - данные [49]; X ; • - значения для плоского канала [1], 3 - число Пуазейля.

Среднее по периметру стабилизированное число Нуссельта, как функция отношения длин сторон канала, представлено на рис. 49. Видно, что результаты расчета хорошо согласуются с имеющимися расчетными данными других авторов. Получены новые данные для у < 0,1 при Тс = const. Для этого теплового граничного условия влияние на теплоотдачу геометрического параметра у ослабевает при приближении к каналу квадратного сечения. Наблюдается аналогия между теплоотдачей и сопротивлением трения. Зависимость < Nu >да (у) подобна зависимости числа Пуазейля Po(y). Поясним, что средний по периметру коэффициент сопротивления трения, который для развитого течения равен коэффициенту гидравлического сопротивления, рассчитывается по соотношению

длин сторон канала.

= Po/Re. При у ^ 0 значение числа Нуссельта стремится к его значению для плоского канала.

При qc = const отмеченной аналогии не наблюдается. Число Нуссельта остается практически постоянным во всем диапазоне изменения y = 0 ^ 1. Как показано ранее, скорости вблизи короткой стенки значительно ниже, чем вблизи длинной. Поэтому средняя температура короткой стенки выше средней температуры длинной стенки, а число Нуссельта - ниже. Однако с уменьшением y уменьшается и длина короткой стенки, поэтому ее относительный вклад в среднюю по периметру теплоотдачу не изменяется. Такой же анализ можно провести для длинной стенки. Следовательно, вклады обеих стенок в среднее число Нуссельта и само это число слабо зависят от значения y. Для плоского канала значение Nu^ существенно превышает значение <Nu>00 для прямоугольного канала при y ^ 0.

Влияние тепловых граничных условий на теплоотдачу при y ^ 1 незначительно.

До настоящего времени не изучалась длина начального термического участка ХНТУ при течении в прямоугольном канале. Она вычислена по результатам расчета среднего по периметру числа Нуссельта и соответствует тому расстоянию от начала обогрева, начиная с которого это число изменяется менее, чем на 1%. Показанные на рис. 50 значения Хнту получены в результате расчета, а также с использованием зависимостей < Nu > (Х) из работ других авторов. Поскольку в этих работах числа Нуссельта приведены либо в таблицах с большими интервалами по Х, либо на графиках, такой способ вычисления ХНТУ обладает значительной погрешностью. Тем не менее, наблюдается неплохое качественное, и даже количественное, согласие между указанными данными.

Рис. 50. Зависимости длины начального термического участка от отношения

длин сторон канала.

1 - Tc = const, 2 - qc = const ; 3 - Хнгу; о - данные [37]; Д, □ - данные [39]; • - значения

для плоского канала [1].

Для условия Гс = const существует некоторое подобие зависимостей начального термического участка Хнту(у) и начального гидродинамического участка Хнгу (у) = хшу / (drRe) от соотношения сторон. Однако, если Хнгу монотонно возрастает с увеличением у, то на зависимости Хнту(у) имеется небольшой максимум при у ~ 0,25. Как показали расчеты, при этом значении отношения длин сторон канала имеется максимум и на зависимости от у стабилизированного числа Нуссельта в середине длинной стороны. Теплоотдача на длинной стенке стабилизируется на меньших расстояниях от входа, чем на короткой стенке. Расстояние от входа, начиная с которого перестают изменяться локальные числа Нуссельта в каждой точке периметра канала, значительно

превышает длину начального термического участка, вычисленную с использованием <Nu>.

Для граничного условия дс = const при у ^ 0, в отличие от течения в плоском канале, смыкания тепловых пограничных слоев на стенках не происходит. С увеличением у длина начального термического участка уменьшается; для квадратного канала она близка к X при Тс = const.

а) б)

Рис. 51. Изменение среднего по периметру числа Нуссельта вдоль канала

при Tc = const.

а - у = 0,1, б - 0,25, в - 0,5, г - 1; о - данные [41], □ - данные [39], А - данные [9], ◊ -данные [36], ■ - данные [42], • - данные [37].

На рис. 51 показано изменение среднего по периметру числа Нуссельта вдоль канала. Здесь, как и на других рисунках, длина начального термического участка

является функцией у (см. рис. 50). Наблюдается хорошее совпадение результатов расчета с данными других авторов. На начальном термическом участке влияние граничных условий и геометрического параметра у на число Нуссельта наиболее заметно при малых у. В целом, влияние геометрии на тепловые характеристики в наибольшей степени проявляется вблизи входа в обогреваемый участок.

Рис. 52. Изменение среднего по периметру числа Нуссельта вдоль канала

при qc = const.

1 - плоский канал, 2 - у = 0,1, 3 - 0,5, 4 - 1; ▲ - данные [1], •, ▼ - данные [39].

1,0

0,8 0,6

0,4 0,2

— I

--II * *

\ * * * \ у"

\ 2 \\ V " \\ Л/ \ ' / X \ '' ' ' ^^ - )>1

\\ / у \

X Хл / \ / X * X / \ / X

' Ч/ И/ Ч / / ч—

» ' 1/ -

I ■ I ' ■ ■

10

<0с> 8

0 -1-1-1-1-1-1 ; '0

0 0,5 1,0 2,0

Л/Ляту

Рис. 53. Изменение средней массовой температуры жидкости и теплового

потока на стенке вдоль канала.

1 - плоский канал, 2 - у = 0,1, 3 - 0,5, 4 - 1; I - II - 9ж.

Рис. 54. Изменение температур жидкости и стенки вдоль канала. 1 - плоский канал, 2 - у = 0,1, 3 - 0,5, 4 - 1; I - <$с>, II - 9ж.

Зависимости температуры жидкости, средних по периметру плотности теплового потока на стенке (при Tc = const) и температуры стенки (при qc = const) от продольной координаты показаны на рис. 53, 54. В последнем случае температура жидкости линейно возрастает вдоль Х, а на больших расстояниях от входа линейной зависимости от X подчиняется и изменение температуры стенки. Температурный напор, а значит и число Нуссельта, для разных значений у остается примерно постоянным. Видно, что при течении в плоском канале температурный напор существенно меньше, чем при течении в прямоугольном канале.

АЗоо

1,4 1,0 0,6 0,2 -0,2 -0,6

0 7/7о 0,4 0,8 1,0 0,8 0,4 Z/Zo 0

Рис. 55. Изменение температурного напора по периметру канала.

1 - плоский канал, 2 - у = 0,1, 3 - 0,5, 4 - 1. Точки - данные работы [44].

На рис. 55 представлено изменение температурного напора по периметру канала в области стабилизированного теплообмена для qc = const. На длинной стенке температурный напор и температура стенки существенно выше, чем на короткой стенке. В угловой точке температура максимальна, а в середине длинной стороны - минимальна, причем при малых у она может быть даже ниже средней массовой температуры жидкости. Из-за наличия углов с высокой температурой

средняя по периметру температура стенки оказывается выше, а число Нуссельта -ниже, чем в плоском канале, что отмечено ранее.

На рис. 56 результаты расчета максимального температурного

напора (в угловой точке) сравниваются с данными [44]. При у^-0 температура стенки прямоугольного канала сильно возрастает.

На рис. 57 показано изменение числа Нуссельта по периметру канала в области стабилизированного теплообмена для Tc = const. Плотность теплового потока и число Нуссельта на длинной стенке выше, чем на короткой стенке. При у^-0 значение числа Нуссельта Nu< на длинной стене совпадает с его значением для плоского канала. Минимальное значение числа Нуссельта, равное нулю, наблюдается в угловой точке, а его максимальное значение - в середине длинной стороны. Аналогичным образом изменяется по периметру канала локальное число Пуазейля Ро, рассчитанное в главе 1.2 и представленное на рис. 13. Однако, максимальное значение Ро не превышает его значения для плоского канала, а максимальное значение Nu< для 0,001 < у < 0,25 выше, чем при течении в плоском канале. При у = 0,25 достигается максимум Nu< и, как было отмечено ранее, максимум на зависимости Хнту(у).

Рис. 56. Температурный напор в угловой точке. X - данные [44].

N1100 8

О

1

- \ ^ 1

\ \ б

\ \ \ /

\ \ У 4\ \/

\/\\ /л А У

1,1* Т1

О г/Уо 0,4 0,8 1,0 0,8 0,4 7/2о 0

Рис. 57. Изменение числа Нуссельта по периметру канала. 1 - плоский канал, 2 - у = 0,001, 3 - 0,1, 4 - 0,25, 5 - 0,5, 6 - 1.

Х/Хту

Рис. 58. Зависимости числа Нуссельта от расстояния. 1 - <Ки>, 2 - № в середине длинной стенки, 3 - № в середине короткой стенки; I

у = 0,1, II - 0,25, III - 1;

На рис. 58 представлены зависимости числа Нуссельта от расстояния среднего по периметру и на серединах стенок для разных у. При соотношении длин сторон у = 0,25 число Нуссельта на длинной стенке изменяется немонотонно по длине канала и возрастает после некоторой длины. Взаимное влияние возрастающего на длинной стороне и убывающего на короткой стороне Nu(X) приводит к стабилизации <Nu>(X) на меньшей длине, чем локальные значения.

На рис. 59 показаны зависимости числа Нуссельта в области тепловой стабилизации от отношения длин сторон канала при Tc = const. Эти зависимости имеют различный характер для разных положений точки на периметре канала. При уменьшении у происходит уменьшение Nu^ на короткой стенке. Nu^ на длинной стенке постоянно возрастает с уменьшением у. В середине длинной стенки Nu^ имеет максимальное значение при у ~ 0,25.

Рис. 59. Зависимости числа Нуссельта от отношения длин сторон прямоугольного канала. 1 - в середине длинной стенки, 2 - в середине короткой стенки; 3 - < №><» на длинной стенке, 4 - < №><» на короткой стенке, 5 - < №><», 6 - для плоского канала.

Разработана разностная схема и компьютерная программа для численного моделирования теплообмена при ламинарном течении в прямоугольном канале (свидетельство о регистрации [93]).

Проведены систематические расчеты теплоотдачи для условий Tc = const и qc = const при стационарном течении в прямоугольном канале для разных отношений длин его сторон у вплоть до малых значений у = 10-3. Результаты расчетов среднего по периметру числа Нуссельта, выполненных в настоящей работе и в работах других авторов, хорошо согласуются между собой.

Получены ранее отсутствующие сведения о длине начального термического участка для Tc = const и qc = const во всем диапазоне у = 0 1. Установлены физические причины разного характера зависимости среднего по периметру стабилизированного числа Нуссельта и длины начального термического участка от у для Tc = const и qc = const.

5. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ТЕЧЕНИИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ КАНАЛЕ

5.1. Постановка задачи

Решалось уравнение энергии для нестационарного развитого ламинарного течения жидкости с постоянными физическими свойствами в прямоугольном канале

8Т dT

--+ u— = a

8t dx

f 82t 82ТЛ

8y2 + 8z2

(19)

С целью нахождения режимных параметров, от которых зависит решение уравнение энергии (19), приведем это уравнение к безразмерному виду:

. „2 83 тт83 823 823 4S2 — + U— = —г + —г. (20)

Т 8t 8Х 8Y2 8Z2 v У

ю

Здесь 3 = (Т - Т0) / (Тс - Т) при T = const, 3 = Х(Т - Т0) / (dq ) при qс = const, Х = x /(dг Ре), Y = y / dT.

Значения продольной скорости U(Y, Z) для пульсирующего течения, когда средняя по сечению скорость изменяется во времени по закону < U >= 1 + ^sin(tro), взяты из решения (8).

Укажем граничные условия, с которыми решалось уравнение энергии (20). Для колебаний с амплитудой A < 1 и частотой S > 1 у стенок могут появляться локальные возвратные течения. Кроме того, при А > 1 поток в канале меняет направление. При Х< 0 и Хt < Хсуществуют адиабатические участки длиной Х0 и

Х\. При X = -Хо и X = Х,+ Xi 9 = 0. Для замыкания системы уравнений при существовании возвратных течений на выходе из расчетной области ставится дополнительное граничное условие. Для -Х0<Х<0 и Х£<Х<ХС+Х1 на стенках канала выполняется условие 83 / 8N = 0 при qc = const. Для обогреваемого участка канала при 0 < X < X£ на стенках канала задается либо постоянная температура 3 = 1, либо постоянная плотность теплового потока 83 / 8N = 1. На оси

канала выполняется условие симметрии: дЗ/дУ = дЗ/ dZ = 0. Схема расчетной области для прямоугольного канала подобна схеме для плоского (см. рис. 24) при граничных условиях первого рода; для граничных условий второго рода на стенке вместо 3 = const задается дЗ / dN = const. Для замыкания системы уравнений при A > 1 на выходе из расчетной области ставится дополнительное граничное условие.

Установившееся по периоду колебаний решение вычислялось путем итераций.

Решение уравнения энергии 3(X,Y,Z,ta) зависит от вида граничных условий, отношений длин сторон у, параметра ST. Кроме того, на решение уравнения энергии непосредственное влияние оказывает решение уравнения движения U(Y,Z,tm), которое зависит от у, амплитуды колебаний средней по сечению скорости А и числа Стокса S.

5.2. Метод численного решения

Решение уравнения (20) находилось методом конечных разностей с помощью неявной безусловно устойчивой двухслойной по времени и по X разностной схемы. По Y, Z применялась центральная разностная схема. Для аппроксимации конвективного члена уравнения энергии применялась схема «против потока».

Рис. 60. Шаблон сетки. х - центральная точка шаблона.

Производные в (20) в центральной точке шаблона (см. рис. 60) аппроксимировались разностными производными:

— * -1 + ОД ),

к ю

иы_ и+и (&.,,.,„^ к*)+и-и (^ - )+0(ДХ)

дХ 2 ДХ 2 ДХ '

|! = (Vк+1, * - к, * + V к*) / д¥2 + 0(д^2),

д 23

= (К+1, к, * - к. * + К -1, к, * ) / Дг 2 + 0Д 2) , где 1 - номер точки по Х ] - по ^

д22

к - по У, g - по

В результате уравнение (20) заменялись системой разностных восьмиточечных уравнений

D = -7-^ + k +--- + -. Видно, что сходимость итераций обеспечена строгим

+-6Э,М+ + al»,Jig _i+ b1, ( )

где a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 и b1 - коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений и свободный член, получаемые при переводе уравнения (20) в конечно-разностный вид.

a1 = (|U|+U)/(2AXD), a2 = (|U|-U)/(2AXD), a3 = 1/(AZ2D), a4 = 1/(AZ2D), a5 = 1/(AY2D), a6 = 1/(AY2D), a7 = 4St2/(A^D), b1 = 0, где \U\ 2 2 4S2

_ —~ + —7 + —7 + —-

AX АУ AZ2 At диагональным преобладанием Za = 1 в матрице коэффициентов систем разностных уравнений.

На входе в расчетную область при X = -X0 задана температура жидкости

j = 0.

При 0 <Х< Xt на стенке задается граничное условие Тс = const в виде §i,j,k,g = 1 или qс = const в виде разностного уравнения (21) с коэффициентами, представленными далее. При Y = Y0: a1 =0, a2 = 0, a3 = 2/(AZ2D), a4 = 0, a5 = 1/(AY2D), a6 = 1/(AY2D), a7 = 4St2/(A^D) b1 = 2/(A YD). При Z = Z0: a1 = 0, a2 = 0, a3 = 2/(AZ2D), a4 = 0, a5 = 1/(AY2D), a6 = 1/(AY2D), a7 = 4St2/(A^D), b1 = 2/(AZD). При Y = Y0 и Z = Z0: a1 = 0, a2 = 0, a3 = 2/(AZ2D), a4 = 0, a5 = 2/(AY2D), a6 = 0, a7 = 4St2/(A^D), b1 = 2/(AYD)+2/(AZD).

На оси задается условие симметрии в виде разностного уравнения (21) с коэффициентами, представленными далее. При Y = 0: a1 = (|U|+U)/(2AXD), a2 = (|U|-U)/(2AXD), a3 = 0, a4 = 2/(AZ2D), a5 = 1/(AY2D), a6 = 1/(AY2D), a7 = 4St2/(A^D) b1 = 0. При Z = 0: a1 = (| U|+U)/(2AXD), a2 = (|U|-U)/(2AXD), a3 = 0, a4 = 2/(AZ2D), a5 = 1/(AY2D), a6 = 1/(AY2D), a7 = 4St2/(A^D), b1 = 0. При Y = 0 и Z = 0: a1 = (|U|+U)/(2AXD), a2 = (|U|-U)/(2AXD), a3 = 0, a4 = 2/(AZ2D), a5 = 0, a6 = 2/(AY2D), a7 = 4St2/(A^D), b1 = 0.

При -Хо < Х<0 и Х> X, на стенке задается граничное условие дс = 0 в виде разностного уравнения (21) с коэффициентами, представленными далее. При У = У0: а1 = 0, а2 = 0, а3 = 2/(А22В), а4 = 0, а5 = 1/(АУ2£), а6 = 1/(АУ2£), а7 = 48т2/(А^£) ¿1 = 0. При 2 = 20: а1 = 0, а2 = 0, а3 = 2/(А12П), а4 = 0, а5 = 1/(АУ2£), а6 = 1/(АУ2Л), а7 = 48т2/(А^£), ¿1 = 0. При У = У0 и 2 = 20: а1 = 0, а2 = 0, а3 = 2/(АТ2В), а4 = 0, а5 = 2/(АУ2£), а6 = 0, а7 = 48т2/(А^£), ¿1 = 0.

Система из линейных семиточечных алгебраических уравнений на каждом слое по времени решалась итерационным методом Гаусса-Зайделя. Итерации сходятся, поскольку для матрицы коэффициентов системы алгебраических уравнений выполняется условие диагонального преобладания. Сходимость итераций на каждом слое по времени, а также установление решения по периоду колебаний (с абсолютной погрешностью, ограниченной значением машинного нуля, равного 2,2 10- 16) контролировалась по значениям 3 в каждой точке сетки. Подобраны числа разбиений по периоду колебаний 180 и по пространственным координатам 400х40х40 (по ХхУх2), при которых погрешность решения уравнения энергии и его небаланс не превышали нескольких процентов.

Найдены значения Х0 и Х,, которые тоже являются параметрами разностной схемы. Для колебаний с амплитудами А < 1 и Б < 1 в квазистационарной области полагалось, что Х0 = 0. Для Б >1 и А <1 при наличии возвратных течений полагалось

Х 0 = А3л/(882) перед началом обогрева, в противном случае Х0 = 0. Для Б > 1 и А > 1 среднее по сечению возвратное течение существует на длинах Х0 =(А -1)3л /(8БТ) перед началом обогрева. В квазистационарной при Б, Бт << 1 области длина начального термического участка возрастает по сравнению с его длиной при стационарном течении X НТУ в момент достижения максимума средней по сечению скорости < и >; поэтому принято, что Х, =2(1 + А)ХНТу. Для Б, Бт >1 длина расчетной области Х, полагалась равной нескольким длинам

тепловой волны ж /(28^), распространяющейся в продольном направлении со скоростью <и >.

По результатам решения уравнения энергии в каждый момент времени вычислялись безразмерные средняя массовая температура жидкости

YnZ,.

u

»ж(X,tffl) = f I"»-dZdY YqZq , средние по периметру плотность теплового

J J 1! /

^ ^ - 0 0 0 0 < u >

потока на стенке < Q > (X,tro)

iiifl dY+ ]|

^ о VaZ J Z=Z0 0 Va1 JY=Y0 J

a» a y

dZ

Vo + Z 0) при

T = const; температура стенки <»c> (X,tro) =

iY0 Z0 Л

\»z=Z0 dY +J»Y=Y0 dZ

(Y) + Zo) и

V o o

температурный напор < А» > (X,tro) =< »с > _»ж при qс = const.

Среднее по периметру и во времени число Нуссельта вычислялось интегрированием по периоду колебаний: < Nu > (X) =< Q > /(1 _»ж) при T = const; < Nu > (X) = 1/ < А» > при qz = const.

5.3. Результаты предварительных расчетов

Результаты предварительных расчетов теплообмена при ламинарном пульсирующем течении в прямоугольном канале опубликованы в работе [92].

Для пульсирующего течения предварительно, как и для плоского канала, проведены расчеты в квазистационарной области при S, ST << 1. Влияние

аксиальной теплопроводности не учитывалось. Значение параметра у, от которого в данной области зависит решение уравнения энергии, изменялось в диапазоне

Y = 0,1 - 1.

Результаты расчета изменения в продольном направлении среднего по периметру и периоду колебаний числа Нуссельта < Nu > (Х) представлены на рис. 61 . Длина начального термического участка на рисунке была выбрана равной его длине при стационарном течении, зависящей от у (см. рис. 50). Числа Нуссельта

при стационарном течении, к которым отнесены показанные на рис. 61 данные, также зависят от параметра у (см. рис. 49).

а)

б)

<Nu>

<Nu.s>

u 1,0

0,9 0,8

4

- - _

p^vT

— I

i i --II 1

<Nu>

0

0,5 1,0

1,5 Х/Хшу в)

<Nu s> 1,1

1,0

0,9 0,8

- 4

1; з - ' Y\ ' /^r -^ ^

Jt-f^'- iw' ч

fr i

1 ~ 1 — I

• i --II i

0 0,5

1,0

1,5 Х/Хту

0 0,5 1,0 1,5 Х/Хту

Рис. 61. Изменение среднего по периметру числа Нуссельта вдоль канала.

1 - A = 0,5, 2 - 1, 3 - 2, 4 - 5; I - Tc = const, II - qc = const; а - у = 0,1, б - 0,5, в - 1.

Все кривые, изображенные на рис. 26, 27, 61 имеют один характер с максимумом при X = (0,25^0,5)ХНТУ. Величина максимума возрастает с увеличением амплитуды колебаний; эта величина наиболее значительна для

плоского и квадратного каналов при тепловом граничном условии Tc = const. Заметим, что влияние граничных условий существенно лишь для канала с у = 0,1. Указанный характер кривых объясняется тем, что в фазе возрастания средней по сечению скорости увеличивается длина начального термического участка (х/^г)НГУ, пропорциональная числу Рейнольдса в каждый момент времени. Как известно, значение числа Нуссельта на начальном термическом участке выше, чем его стабилизированное значение. В фазе уменьшения средней по сечению скорости <Nu> меньше, чем <Nus>, но вклад этой фазы в среднее по периоду колебаний число Нуссельта относительно невелик.

5.4. Исследование возможности интенсификации теплообмена путем наложения пульсаций расхода

5.4.1. Теплообмен при граничном условии первого рода

Как и для плоского канала при существовании возвратных течений на расстоянии X = Х( от входа можно поставить граничное условие

a2ln(1 -») / aX2 = 0.

Рассчитаны изменение по длине канала средних во времени осредненной по периметру плотности теплового потока на стенке, средней массовой температуры жидкости и среднего по периметру числа Нуссельта для амплитуды колебаний A = 0,25 - 1,5, отношения длин сторон у = 0,1 - 1. В области высоких тепловых

частот St имеются колебания на зависимостях < Qc

>/< Qcs

> (X) и

< »ж >/< »ж > (X), амплитуда которых уменьшается с ростом St и X. Поскольку указанные величины проходят через их средние значения по X при разных X, то и на зависимостях < Nu >/< Nu5 >(X), представленных на рис. 62, 63, 64, тоже имеются колебания (кривые 2, 4). На рис. 62, 63, 64 видно, что на зависимости

< Nu >/< Nu5 > (X) имеется максимум вблизи входа в обогреваемый участок. Величина максимума возрастает с увеличением амплитуды колебаний A. Для

разных областей безразмерных частот колебаний положение и величина этого максимума различны (см. рис. 65, 66, 68, 69).

а) б)

в)

Рис. 62. Изменение теплового потока (а), средней массовой температуры жидкости (б) и числа Нуссельта (в) вдоль канала при у = 0,1.

I - А = 0,25; II - А = 0,75; III - А = 1,5. Для I, II - 1 - S ^ 0, Sт ^ 0; 2 - 8 ^ 0, 8т = 7; 3 - 8 = 7, 8т ^ 0; 4 - 8 = 7, 8т = 7. Для III - 1 - 8 ^ 0, 8т = 1,5; 2 - 8 ^ 0, 8т = 7; 3 - 8 = 7, 8т =

1,5; 4 - 8 = 7, 8т = 7.

в)

2,0

<Nu> <Nu.v>

1,5 1,4 1,3 1,2

1,1

1,0

0,9

■ .......... N

— /

----ii

_ { .........in

3 - \/ / •

4 ^^ -- -- --

0

0,05

0,10

0,15

X

0,20

Рис. 63. Изменение теплового потока (а), средней массовой температуры жидкости (б) и числа Нуссельта (в) вдоль канала при у = 0,25.

I - A = 0,25; II - A = 0,75; III - A = 1,5. Для I, II - 1 - S ^ 0, St ^ 0; 2 - S ^ 0, St = 7; 3 - S = 7, St ^ 0; 4 - S = 7, St = 7. Для III - 1 - S ^ 0, St = 1,5; 2 - S ^ 0, St = 7; 3 - S = 7, St =

1,5; 4 - S = 7, St = 7.

в)

0,15 х 0,20

Рис. 64. Изменение теплового потока (а), средней массовой температуры жидкости (б) и числа Нуссельта (в) вдоль канала при у = 1.

I - А = 0,25; II - А = 0,75; III - А = 1,5. Для I, II - 1 - S ^ 0, Sт ^ 0; 2 - 8 ^ 0, 8т = 7; 3 - 8 = 7, 8т ^ 0; 4 - 8 = 7, 8т = 7. Для III - 1 - 8 ^ 0, 8т = 1,5; 2 - 8 ^ 0, 8т = 7; 3 - 8 = 7, 8т =

1,5; 4 - 8 = 7, 8т = 7.

В квазистационарной области (8, 8Т ^0) указанный максимум объясняется в

первую очередь расширением области нестабилизированного теплообмена при

118

колебаниях средней по сечению скорости с высокой амплитудой. В той части периода, где средняя по сечению скорость <и> > <и>, увеличивается длина начального термического участка (хМРе)ш-у, пропорциональная числу Рейнольдса в каждый момент времени, по сравнению с этой длиной при стационарном течении. Как известно, значение числа Нуссельта на начальном термическом участке выше, чем его стабилизированное значение. В той части периода, где 0 < <ц> < <и>, число Нуссельта № меньше, чем Но вклад этой части периода в среднее по периоду колебаний число Нуссельта при А >> 1 относительно невелик. В той части периода, где средняя по сечению скорость меняет направление (< u> < 0), поток в расчетную область поступает термически стабилизированным и № = В результате среднее по периоду колебаний число Нуссельта превышает его стационарное значение.

Если 8 ^ 0, а 8т возрастает, то величина максимума числа Нуссельта уменьшается. Для каналов с небольшим соотношением сторон это особенно заметно. Расчеты показали, что с увеличением теплового числа Стокса в квазистационарной гидродинамической области профили температуры слабо изменяются во времени и близки к стационарному профилю температуры.

При фиксированном 8т в высокочастотном гидродинамическом режиме

(8 > 3 [84]) максимум отношения < Ки >/<№з> увеличивается, поскольку средняя массовая температура жидкости возрастает в большей степени, чем тепловой поток на стенке.

На величину указанного максимума при А > 1 существенное влияние оказывает наличие предвключенного адиабатического участка. Перенос возвратным течением нагретой жидкости в начало обогреваемого участка увеличивает в этой области среднюю массовую температуру жидкости. Из-за малой скорости вблизи стенки температура здесь не слишком возрастает. Поэтому тепловой поток на стенке, температура которой поддерживается постоянной, тоже растет, но незначительно. В итоге число Нуссельта увеличивается. Расчеты без

адиабатического участка (рис. 61) показали, что максимум числа Нуссельта оказывается ниже. Например, в квазистационарной области (8, 8т ^ 0) для квадратного канала при А = 1,5 < Ки >тах/< Ки^ > = 1,03.

а)

б)

в)

Рис. 65. Линии < Nu > /<Nus> = const для A = 0,75

max S ^ '

а)

б)

в)

Рис. 66. Координаты Xmax, при которых достигаются значения максимального значения <Nu > /<Nus> = const для A = 0,75.

max S ^ '

а)

б)

в)

Рис. 67. Линии < Nu ^/<Nus> = const для A = 0,75.

а - Y = 0,1, б - 0,25, в - 1,0.

в)

Рис. 68. Линии < Nu >max/<NuS> = const для A = 1,5 а - у = 0,1, б - 0,25, в - 1,0.

в)

Рис. 69. Координаты Xmax, при которых достигаются значения максимального значения < Nu > /<Nus> = const для A = 1.5.

max S ^ '

в)

Рис. 70. Линии < Nu ^/<Nus> = const для A = 1,5. а - у = 0,1, б - 0,25, в - 1,0.

На рис. 68 видно, что при относительно небольших числах Стокса S максимальное число Нуссельта не зависит от значения ST, а с увеличением S,

начиная с некоторого переходного значения последнего, максимальное число Нуссельта перестает зависеть от параметра ST (почти горизонтальные кривые на рис. 68 приближаются к вертикальным). Указанное переходное значение S тем выше, чем меньше отношение сторон y. Расчеты показали, что число Стокса, ниже которого колеблющееся течение можно считать квазистационарным, также увеличивается с уменьшением соотношения сторон.

В высокочастотном режиме колебаний (S > 3) при A = 1,5 значение

максимума отношения < Nu >/<NuS> на входе существенно возрастает, что связано с увеличением числа Нуссельта по всей длине канала (кривые 4 на рис. 62, 63, 64). Заметим, что завершение линии <Nu >max/<Nus> — const на рис. 68 знаком • означает, что далее максимум вблизи входа в обогреваемый участок отсутствует.

На рис. 67, 70 представлено значение числа Нуссельта, отнесенное к его

стационарному значению < Nu >®/<Nus>®, на удалении от входа в обогреваемый участок. Отмеченное выше значительное возрастание числа Нуссельта в высокочастотном режиме (S > 3) при A = 1,5, что особенно заметно для квадратного канала по сравнению с плоским каналом, объясняется увеличением средней массовой температуры жидкости, приближающейся к температуре стенки. Расчеты, представленные выше, показали, что в этом случае велика амплитуда пульсаций скорости, особенно в угловых зонах прямоугольного канала.

На рис. 71 распределение массовой температуры жидкости по поперечному сечению квадратного канала. В прямоугольном канале амплитуда колебаний скорости близка к амплитуде колебаний давления, пропорциональной S2, а в плоском канале к амплитуде колебания касательного напряжения на стенке, пропорциональной S. В связи со значительным различием амплитуд и фаз вблизи угла и на оси канала (см. рис. 19) массовая температура в угловой зоне сильно увеличивается, а на оси уменьшается. Это приводит к тому, что средняя массовая температура жидкости возрастает и приближается к температуре стенки. Заметим, что в этих режимах средние по периоду колебаний плотность теплового потока на

стенке и распределение температур по сечению вдали от входа незначительно отличается от их стационарных значений.

а)

б)

Рис. 71. Распределение осредненной во времени массовой температуры

жидкости по поперечному сечению квадратного канала приX = 0,2. а - при стационарном течении, б - при А = 1,5, 8 = 8т = 7.

Из рис. 66 и 69 видно, что чем меньше отношение сторон у и выше амплитуда колебаний А, тем ближе к началу обогреваемого участка расположен максимум числа Нуссельта. Положение указанного максимума Хтах значительно меньше длины начального термического участка при стационарном течении ХНТУ, и только для квадратного канала при А = 1,5 Хтах ~ Хнту.

5.4.2. Теплообмен при граничном условии второго рода Как и для плоского канала при существовании возвратных течений на расстоянии Х= Х( от входа можно поставить граничное условие / дХ2 = 0.

3,5

<ГО>

<N115 >