Исследование орбитальной устойчиовсти периодических движений в задачах классической механики и динамики космических аппаратов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Савин, Александр Александрович

• Савин, Александр Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Савин, Александр Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Постановка задачи и метод исследования орбитальной

устойчивости маятниковых колебаний твердого тела

1.1. Общая постановка задачи об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой

1.2. Гамильтониан возмущенного движения

1.3. Изоэнергетическая редукция

1.4. Анализ устойчивости в линейном приближении

1.5. Методика нелинейного анализа устойчивости

Глава 2. Орбитальная устойчивость маятниковых периодических

движений симметричного твердого тела

2.1. Постановка задачи. Уравнения возмущенного движения

2.2. Исследование устойчивости в линейном приближении

2.3. Исследование устойчивости в предельных случаях

2.4. Нелинейный анализ устойчивости

Глава 3. Орбитальная устойчивость маятниковых периодических

движений твердого тела в случае А = С = 2 В

3.1. Постановка задачи. Уравнения возмущенного движения

3.2. Исследование устойчивости в предельных случаях

3.3. Анализ орбитальной устойчивости при произвольных значениях параметров

3.4. Исследование устойчивости в случае Лагранжа

Глава 4. Исследование орбитальной устойчивости в случае Бобылева—Стек лова

4.1. Постановка задачи

4.2. Строгий анализ орбитальной устойчивости для произвольных значений параметров

4.3. Исследование устойчивости в предельных случаях

Глава 5. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника относительно центра масс на круговой орбите

5.1. Постановка задачи. Гамильтониан задачи

5.2. Гамильтониан возмущенного движения. Изоэнергетическая редукция

5.3. Анализ устойчивости в линейном приближении

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование орбитальной устойчиовсти периодических движений в задачах классической механики и динамики космических аппаратов»

Введение

Задача об устойчивости движения является актуальной задачей теоретической механики. Ее строгое (в смысле Ляпунова) решение позволяет получать важные выводы о качественном поведении механической системы вблизи известной (невозмущенной) траектории. С прикладной точки зрения, для задач проектирования и конструирования технических систем представляет немалый интерес изучение устойчивости периодических движений. В частности, вопросы об устойчивости периодических движений нередко возникают при анализе динамики летательных и космических аппаратов на этапе их создания [62].

В классической и небесной механике исследование устойчивости периодических движений часто сводится к анализу устойчивости положения равновесия периодической по времени гамильтоновой системы. В задаче об устойчивости гамильтоновой системы [46, 50, 56], как правило, приходится иметь дело с, так называемыми, критическими случаями [31, 43, 44], когда для решения вопроса об устойчивости не достаточно исследования линейной системы. Нелинейный анализ является особенно трудным и необходимым при наличии в системе ре-зонансов [39, 40, 46]. По этой причине для решения новых задач об устойчивости движения в классической и небесной механике нередко требуется применение нестандартных идей, учитывающих конкретную специфику задачи, зависимость ее от параметров и возможные особенности уравнений возмущенного движения.

Для строгого решения задачи об устойчивости гамильтоновой системы приходится привлекать целый арсенал методов локального анализа [26, 29, 30], KAM теории [3-7, 37, 60, 77] и общей теории устойчивости. Весьма эффективным, универсальным и хорошо зарекомендовавшим себя при решении конкретных задач устойчивости движения в классической и небесной механике является подход, разработанный в работах [53-55]. Его основная идея состоит в

том, что при нелинейном анализе устойчивости неавтономной, периодической по времени гамильтоновой системы следует построить симплектическое отображение, генерируемое системой уравнений возмущенного движения. Задача об устойчивости периодического движения эквивалентна задаче об устойчивости неподвижной точки этого отображения. На основании методов KAM теории в работах [47, 54] получены алгебраические критерии, позволяющие делать строгие выводы об устойчивости неподвижной точки симплектического отображения, а следовательно и рассматриваемого невозмущенного движения.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости маятниковых периодических движений твердого тела в двух классических задачах механики: в задаче о движении тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой и в задаче о движении спутника (моделируемого твердым телом) относительно центра масс на круговой орбите.

Исследованию устойчивости маятниковых периодических движений твердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести посвящено много работ. Несмотря на это, данная задача еще не получила своего полного решения. Это связано как с наличием большого числа параметров (в общем случае их четыре), так и с наличием особых случаев, когда для получения строгого решения задачи требуется проводить сложный нелинейный анализ с учетом членов достаточно высокой степени в разложении Гамильтониана возмущенного движения в окрестности -невозмущенной орбиты. В этой связи интерес представляет исследование отдельных частных случаев данной задачи. Наиболее полно исследованными являются интегрируемые случаи.

В работах [24, 25, 35] для случая С.Ковалевской на основе второго метода Ляпунова было дано сторогое решение задачи об орбитальной устойчивости маятниковых колебаний и вращений. В работе [22] для решения данной задачи применялись топологические методы, а в работах [48, 57] исчерпывающее исследование указанной задачи было выполнено на основе метода нормальных

форм и теории KAM.

Другим полностью исследованным случаем задачи об орбитальной устойчивости маятниковых движений твердого тела является случай Горячева-Чаплыгина. На основе метода нормальных форм и теории KAM в работе [53] было дано полное решение задачи об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений относительно оси динамической симметрии. В работе [51] исследовалась линейная задача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений относительно экваториальной оси инерции и было установлено, что в этом случае имеет место тождественный резонанс, а применение метода нормальных форм не позволяет провести нелинейный анализ устойчивости. В работе [10] было показано, что в указанном случае имеет место, так называемая трансцендентная ситуация, когда задача об устойчивости не может быть решена на основании анализа членов любого конечного порядка в разложении гамильтониана возмущенного движения. На основании теоремы Четаева была доказана орбитальная неустойчивость движения в этом случае. Аналогичные результаты были получены в работах [22] на основе топологических методов и работе [36] на основании анализа свойств инвариантных множеств.

Исследование орбитальной устойчивости проводилось также и в неинте-грируемых случаях. В работе [2] на основании, упомянутой выше методики [53] исследовалась орбитальная устойчивость маятниковых движений динамически симметричного твердого тела, в [11] та же методика применялась для случая Бобылева-Стеклова. Исследованию различных случаев линейной задачи об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела посвящены работы [78, 79].

Маятниковые движения возникают также в задаче о движении спутника относительно центра масс на круговой орбите. Такие движения представляют собой колебания или вращения одной из главных осей инерции спутника

в плоскости орбиты. Они являются неустойчивыми по отношению к координатам и скоростям, поэтому весьма актуальной является задача об их орбитальной устойчивости. Эта задача также привлекает большое внимание исследователей, однако ее полное и строгое решение в настоящее время еще не получено. В линейной постановке она решалась в [1, 63, 66, 72, 73, 75]. В работах [72, 73, 75] были получены диаграммы орбитальной устойчивости в первом приближении. В работах [1, 63], задача об орбитальной устойчивости исследовалась для больших значений периода колебаний. Был изучен асимптотический характер движения при приближении к сепаратрисе, разделяющей область колебаний и вращений, установлено, что в этом случае имеет место чередование счетного числа областей устойчивости и неустойчивости. Наиболее полный линейный анализ орбитальной устойчивости был выполнен в работе [66].

Новым этапом в исследовании данной проблемы была работа [45] , где на основании общей теории развитой в [27, 28] была исследована нелинейная задача об орбитальной устойчивости маятниковых колебаний и вращений динамически симметричного спутника в плоскости орбиты. Методика предложенная в данной работе применялась затем в [58], где был рассмотрен случай спутника с неравными моментами инерции, а также в работах [12, 68, 74] , где результаты работы [45] были дополнены и уточнены. В работах [15, 16] на основании методики работ [54, 55] было проведено строгое и полное исследование орбитальной устойчивости маятниковых колебаний и вращений спутника, обладающего геометрией масс пластинки.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

В первой главе дается постановка задачи об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений твердого тела с неподвижной точкой в однородном поле тяжести, и излагается общая методика исследования данной задачи. В частности, в этой главе получен гамильтониан задачи, зависящий в об-

щем случае от трех параметров, при этом в качестве канонических переменных выбраны углы Эйлера и соответствующие им импульсы. Далее в соответствии с упомянутой выше методикой исследования орбитальной устойчивости периодических движений [53] введены новые канонические переменные (локальные переменные), описывающие движение в окрестности невозмущенной периодической орбиты, и выписано разложение гамильтониана возмущенного движения в ряд по этим переменным до членов четвертой степени включительно. На уровне энергии, соответствующем невозмущенному движению выполнена изоэнергети-ческая редукция. Затем описана методика построения симплектического отображения, генерируемого фазовым потоком, редуцированной системы. Указано, что задача об устойчивости неподвижной точки этого отображения эквивалентна исходной задаче об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений. Приведены известные критерии [47, 54] устойчивости и неустойчивости неподвижной точки.

Вторая глава посвящена исследованию орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений динамически симметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Предполагается, что центр масс тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Невозмущенное движение представляет собой маятниковые колебания или вращения относительно неподвижной в абсолютном пространстве главной оси инерции, расположенной в экваториальной плоскости.

При наложенных ограничениях на геометрию масс рассматриваемая задача содержит два параметра. Для большинства значений параметров на основании методики, изложенной в первой главе, численно было построено симплекти-ческое отображение, генерируемое фазовым потоком, уравнений возмущенного движения. На основе анализа коэффиицентов данного отображения были получены строгие выводы об орбитальной устойчивости или неустойчивости маятниковых периодических движений. Построена диаграмма орбитальной устойчи-

вости. В двух предельных случаях: малых колебаний и вращений с большими средними угловыми скоростями, был введен малый параметр и выполнено аналитическое исследование орбитальной устойчивости. Результаты численного и аналитического исследования полностью согласуются.

В третьей главе рассматривается задача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений динамически симметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой со следующей геометрией масс: моменты инерции удовлетворяют соотношениям для случая С.Ковалевской, а на положение центра масс не накладывается ограничений. Невозмущенные движения представляют собой маятниковые колебания и вращения, при которых главная плоскость инерции, содержащая центр масс и полярную ось эллипсоида инерции, движется в вертикальной плоскости, а главная ось инерции, ей перпендикулярная, сохраняет неизменное горизонтальное положение.

Получен гамильтониан невозмущенного и возмущенного движений, проведена изоэнергетическая редукция на уровне энергии, соответствующем невозмущенному движению. Для исследования орбитальной устойчивости применяется методика, изложенная в первой главе. Кроме того, в случаях малых колебаний и вращений с большими средними угловыми скоростями на основе метода малого параметра было выполнено аналитическое исследование орбитальной устойчивости. Построена диаграмма орбитальной устойчивости. Для частого случая распределения масс (случай Лагранжа) было проведено аналитическое исследование: построена функция Четаева, тем самым показана неустойчивость редуцированной системы.

В четвертой главе исследуется вопрос об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой и геометрией масс, соответствующей случаю Вобылева-Стеклова. В этом случае центр масс лежит на одной из главных осей инерции, момент инерции относительно второй главной оси вдвое меньше момента относительно первой,

а на момент инерции относительно третьей главной оси инерции не накладывается никаких ограничений помимо неравенства треугольника. Невозмущенное движение представляет собой маятниковые колебания и вращения вокруг третьей главной оси инерции.

Получен гамильтониан возмущенного движения, проведена изоэнергети-ческая редукция на уровне энергии, соответствующем невозмущенному движению. На основании методики, изложенной в первой главе получено полное и строгое решение задачи об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений.

Как и в предыдущих случаях аналитическое исследование, выполненое для колебаний с малыми амплитудами и вращений с большими средними угловыми скоростями, полностью подтвердило и дополнило результаты численного анализа. Результаты исследования представлены на диаграмме орбитальной устойчивости.

В пятой главе исследуется устойчивость в первом приближении динамически симметричного спутника на круговой орбите под действием приливных гравитационных сил и магнитного момента.

Получена система уравнений возмущенного движения, выполнена их линеаризация в окрестности невозмущенного периодического движения, численно исследован вопрос об орбитальной устойчивости в рамках линейного приближения. В нескольких (наиболее характерных) сечениях трехмерного пространства параметров задачи построены диаграммы устойчивости и сделаны выводы об орбитальной устойчивости в линейном приближении или об орбитальной неустойчивости.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертационной работы изложены в статьях [13, 14, 69, 70], а также были представлены на следующих всероссийских и междуна-

родных конференциях и симпозиумах:

• Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2011).

• Всероссийская конференция (с международным участием) «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, 2012)

• Девятая Международная конференция по Неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012), (Алушта, 2012).

• The IUTAM Symposium "From Mechanical to Biological Systems - an Integrated Approach"(Ижевск, 2012).

Глава 1

Постановка задачи и метод исследования орбитальной устойчивости маятниковых колебаний твердого тела

1.1. Общая постановка задачи об орбитальной

устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой

Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки О в однородном поле тяжести. Пусть OXYZ - неподвижная система координат, ось OZ которой направлена вертикально вверх. С телом жестко связана подвижная система координат Oxyz, образованная главными осями инерции тела для точки О; А, В и С - соответствующие моменты инерции.

Будем предполагать, что центр масс тела лежит в главной плоскости эллипсоида инерции на расстоянии I от точки О. В этом случае существует частное решение, на котором тело совершает плоские маятниковые движения параллельно этой плоскости, т.е. движется как физический маятник. Без ограничения общности можно считать, что центр тяжести тела лежит в плоскости Оху и его положение в системе Oxyz определяется координатами ж* = 1 eos у* = 1 sin i?, z* = 0, где $ - угол между радиусом-вектором центра масс тела и осью Ох.

Положение твердого тела в неподвижной системе координат OXYZ будем задавать при помощи углов Эйлера ф, 9, ip (см. рис. 1.1). Уравнения движения, описывающие изменение углов Эйлера, можно записать в форме уравнений Лагранжа второго рода, определяемых следующей функцией Лагранжа

Ь — —(фБтвзтр + О сое <р)2 + — (ф эт 0 соя ср — 9 вт (р)

с •

Н--(ф собО + с/?)2 — тд1 вт^вт^ + 1?).

В , ;

2

(1.1)

Система уравнений движения допускает частное решение, описывающее плоское движение твердого тела, при котором ось инерции г сохраняет неизменное горизонтальное положение, а постоянная интеграла площадей равна нулю. На этом движении ф = 7г/2, в — 0, а изменение угла (р описывается следующим уравнением математического маятника

Таким образом, в данном движении тело либо совершает маятниковые колебания или вращения вокруг оси г, либо асимптотически приближается к положению равновесия. Маятниковые колебания и вращения образуют одно-параметрическое множество периодических движений. Каждое периодическое движение из этого множества однозначно задается значением постоянной И интеграла энергии.

Поскольку период маятниковых колебаний и вращений твердого тела зависит от начальных условий, то эти движения будут неустойчивы по Ляпунову по отношению к обобщенным координатам (углам Эйлера) и скоростям. В этом случае как с теоретической, так и с прикладной точек зрения большой интерес представляет вопрос об орбитальной устойчивости данных периодических движений.

В настоящей работе исследуется задача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений твердого тела: колебаний и вращений относительно оси г. Везде далее предполагается, что проекция кинетического момента на вертикаль, являющаяся первым интегралом движения, остается неизменной и равной нулю.

(1.2)

X

Рис. 1. Твердое тело с неподвижной точкой

Введем обобщенные импульсы РфтРвчРу, соответствующие углам Эйлера ф, 0, ф, по формулам

dL dL dL

Рф = эф- Pe = W р* = дф (13)

Разрешив (1.3) относительно ф,в,ф, выполним преобразование Лежандра и получим гамильтониан

Н = р-фФ + рФ + РуФ — L. (1.4)

Угол ф является циклической координатой, поэтому импульс рф, представляющий собой проекцию кинетического момента на вертикаль, сохраняет постоянное значение. На основании принятого выше предположения следует положить рф = 0, тогда гамильтониан задачи запишется в следующем явном виде

Н = {л sin2+ В cos2ср) р20 + cosЧ>sinipctgQpopv+

+ 1 (AB + C ctg2 в (В sin2 (p + A eos2 (p)) pl + mgl smOsm(ip + $) Z J\ tí Ls

(1.5)

Перейдем теперь к новым каноническим переменным по формулам

37Г 7Г

= р\ = ру/цС, Р2=Ре/цС, (1.6)

и введем безразмерное время г = fit, тогда функция Гамильтона будет иметь вид

1 р2 1 ю2

н = — [tg2g2 (la sin2 qi + lb COS2 qx) + IaIb] + —— (Ib sin2 qx + Ia cos2 qi) ^

laib ¿ 1a1b ¿

+ Iar fIb sin cos 9itg^2 P1P2 ~ cos{gi + i9) cos q2, hh

(1.7)

где величины /0 и введены по формулам

А г В , ,

1а = /ь = (1.8)

Решение задачи об орбитальной устойчивости маятниковых движений тела зависит от значений следующих величин: параметров /а,Д, характеризующих соотношения между моментами инерции, угла определяющего положение центра масс тела, и значения интеграла энергии Н на невозмущенном движении. Таким образом, в общем случае задача содержит четыре параметра. Такое количество параметров сильно усложняет как проведение вычислений, так и возможность представления результатов. В данной диссертационной работе рассмотрено три частных случая, в которых накладываются ограничения на геометрию масс тела, что позволяет сократить число параметров задачи до двух.

В первом частном случае предполагается, что тело является динамически симметричным А = С, а его центр масс лежит в экваториальной плоскости Охг эллипсоида инерции, т.е. у* — 0. В этом случае 1а = 1,1? = 0, а параметры 1ь и /г принимают любые допустимые значения.

Во втором рассмотренном в работе частном случае предполагается, что главные моменты инерции А, В, С, вычисленные для неподвижной точки О, связаны тем же соотношением, что и в случае С. Ковалевской А — С = 2В, но при этом не налагается никаких ограничений на положение центра масс тела. В этом случае 1а = 1, А = 1/2, а параметры $ и /г, принимают любые допустимые значения.

В отличие от двух предыдущих частных случаев в третьем частном случае, рассмотренном в работе, тело не является динамически симметричным. Здесь предполагается, что моменты инерции связаны соотношением А = 2В, а центр масс тела лежит на оси Ох. При этих ограничениях параметры 1ь и /г принимают любые допустимые значения, а значения параметров 1а и $ определяются соотношениями 1а = 2 /{,,$ = 0.

Исследование орбитальной устойчивости плоских движений твердого тела представляет интерес не только как задача классической механики, но может

иметь также важное прикладное значение для космической динамики. Дело в том, что уравнения движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой с точностью до обозначений совпадают с уравнениями движения спутника, движущегося относительно центра масс под влиянием магнитных моментов, в предположении, что моменты прочих сил (в том числе и гравитационных) пренебрежимо малы [19]. Такая ситуация возникает, например, в случае, когда спутник представляет собой сферически симметричное твердое тело, а на его борту установлены сильные магниты. Таким образом, результаты, полученные в данной статье, могут быть использованы для решения задач пассивной стабилизации намагниченного искусственного спутника Земли.

1.2. Гамильтониан возмущенного движения

На решениях, отвечающих плоским маятниковым движениям твердого тела относительно неподвижной оси инерции Ог, изменение переменных <7ь£>1 описывается системой канонических уравнений с гамильтонианом Н^ = 1/2— сов^! + $), а переменные <72,^2 принимают нулевые значения. В зависимости от значения постоянной Н интеграла энергии Н^ = К плоские движения, являются либо асимптотическими (к = 1) к неустойчивому положению равновесия <р = 7г/2 твердого тела, либо представляют собой периодические движения: колебания (\Н\ < 1) в окрестности устойчивого положения равновесия </? = 37г/2 или вращения (/г > 1) относительно оси Ог.

Введем новые переменные /, ъи, которые являются переменными действие-угол для системы с гамильтонианом описывающей невозмущенное дви-

жение. В случае колебаний каноническая унивалентная замена переменных 9ь Р\ I^ имеет вид [48]

<71 = — д + 2 агсэга^! вп^, А^)], р\ = 2к\ сп(м, к\), и = К(к\)и) (1.9)

где к\ — k\(I) - функция, обратная к функции

I = 87T~l[Efa) - (1 - k¡)Kfa)]. (1.10)

В случае вращений переменные действие-угол /, w вводятся по формулам

[48]

qi = — $ + 2am(u, A^), р\ = 2к^1 dn(u, к2), u = Tc~1Kfa)w, (1-11)

где = ^(1) ~ функция, обратная к функции

I = 4Е(к2)/{тгк2). (1.12)

В (1.9)—(1.12) используются общепринятые обозначения для эллиптических функций и интегралов [8].

В невозмущенном движении

/ =/о = const, w = сит + w(Q), (1-13)

где и) - частота периодического движения. В случае колебаний ш = 7г/(2К(к\)), а в случае вращений и = п / faK fa)). При этом k\(Io) — s'm(p/2) (где р -амплитуда плоских колебаний; 0 < р < 7г), кЩо) — 2(1 + /i)-1. Совместно с (1.13) формулы (1.9), (1.11) определяют явную зависимость переменных qi,p\ от т на невозмущенном движении.

Введем возмущение переменной действие г\ = I — Iq и разложим гамильтониан возмущенного движения Г(ги, n, <?2,í>2) в РЯД по <72,Р2>П

Г = Г2 + Г4 + --- + Г2т + ... , (1.14)

где Ггш - форма степени 2га относительно <?2,í>2, kil1^2 с Т-периодическими коэффициентами относительно и;. В рассматриваемых задачах период Т может принимать значения 7г или 2п. Несущественная аддитивная постоянная в (1.14) опущена. Необходимые для дальнейшего анализа формы Г2 и Г4 имеют вид

Г2 = wri + T{°\q2,P2,w), if > = f20q22 + /11^2 + /02^, (1.15)

18

= + + Г<0) = /40?24 + /„<&*, (1.16)

Коэффициенты fij суть ПОЛИНОМЫ ОТ C0s(^i + #), sin(^i + $) и pi, в которых ф и pi отвечают невозмущенному движению и определяются по формулам (1.9) и (1.11) в случаях колебаний и вращений соответственно.

Гамильтониан (1.14) зависит от двух параметров: параметра задачи и величины /о, которая является параметром семейства траекторий невозмущенного движения. Для дальнейшего анализа будет удобнее вместо /о использовать постоянную энергии h плоского невозмущенного движения.

Задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний и вращений твердого тела эквивалентна задаче об устойчивости канонической системы с гамильтонианом (1.14) по отношению к переменным q2,P2,ri-

1.3. Изоэнергетическая редукция

Для гамильтоновой системы является типичной ситуация, когда анализ линеаризованной в окрестности невозмущенного движения системы не дает строгого ответа на вопрос о его устойчивости или неустойчивости. В этих случаях необходимо проводить нелинейный анализ, состоящий в построении канонического преобразования, приводящего гамильтониан уравнений возмущенного движения к наиболее простой, для дальнейшего исследования устойчивости, нормальной форме. Такая нормализация проводится до членов некоторого конечного по каноническим переменным порядка. По виду нормализованной функции Гамильтона на основании известных критериев устойчивости [46], полученных на основе методов теории KAM [6, 7, 60], можно сделать строгие выводы об устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения.

Заметим, однако, что данные критерии устойчивости совпадают с критериями устойчивости положения равновесия редуцированной системы с одной

степенью свободы, описывающей движение на изоэнергетическом уровне Г = 0. Поэтому далее будем рассматривать возмущенное движение лишь на изоэнергетическом уровне Г = 0, отвечающем невозмущенному движению.

В силу уравнений движения с гамильтонианом (1.14) координата ги является возрастающей функцией переменной т, поэтому в задаче об устойчивости движения она может играть роль времени. Для описания движения на нулевом изоэнергетическом уровне примем координату т за новую независимую переменную. Кроме того, из уравнения Г = 0 при малых имеем г\ = —К(д2,р2,1и). Движение на изоэнергетическом уровне Г = 0 описывается уравнениями Уиттекера [49, 61, 65], которые имеют гамильтонову форму

Кк - форма степени к относительно д2,£>2 с Т-периодическими по и) коэффициентами. Формы Л*2 и К4 имеют следующий явный вид

с/<72 дК <1р2 дК

(1.17)

¿т др2' (IIV

Функция К(д2,р2,и>) представляет собой ряд

к = к2 + кА + --- + кк + ---

(1.18)

^2 = -П (92,Р2,гу),

1г(0)

(1.19)

(1.20)

С учетом формул (1.15)-(1.16) выражение (1.20) представим в виде

(1.21)

где

1 2 1 dw 2 a/20v

= и/* + 2d7/2°

df20

и 1 (f 2 > duJ г Г f d/20 ,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Савин, Александр Александрович, 2013 год

Литература

1. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B., Шматков A.M. Обобщенные параметрические колебания механических систем // ПММ. 1999. Т. 63, Вып. 5. С. 746-756.

2. Алехин А.К. Об устойчивости плоских движений тяжелого осесимметрич-ного твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 4. С. 56-62.

3. Арнольд В.И. Об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы в общем эллиптическом случае // ДАН СССР. 1961. Т. 137, № 2. С. 255-257.

4. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, Вып. 5 (113). С. 13-40.

5. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, Вып. 6 (114). С. 91-192.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М: Эдито-риал УРСС, 2003. 416 с.

7. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М: Эдиториал УРСС, 2002. 414 с.

8. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. 304 с.

9. Бардин B.C. Об асимптотических решениях гамильтоновых систем при резонансе первого порядка // ПММ. 1991. Т. 55, Вып. 4. С. 587-593.

10. Бардин B.C. К задаче об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 2. С. 14-21.

11. Бардин Б. С. Об орбитальной устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Бобылева-Стеклова // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 4. С. 535-550.

12. Бардин Б.С., Пунтпус A.A., Чекин A.M., Чекина Е.А. Исследование устойчивости плоских движений динамически симметричного спутника на границах областей параметрического резонанса // Создание перспективной ракетной техники. 2004. С. 50-55.

13. Бардин Б.С., Савин A.A. Об орбитальной устойчивости маятниковых колебаний и вращений симметричного твердого тела с неподвижной точкой // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 2. С. 249-266.

14. Бардин Б.С., Савин A.A. Об устойчивости плоских периодических движений симметричного твердого тела с неподвижной точкой // ПММ. 2013. Т. 77, Вып. 6.

15. Бардин Б. С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских вращений спутника-пластинки на круговой орбите // Вестник МАИ. 2007. Т. 14, № 2. С. 23-36.

16. Бардин Б.С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2008. Т. 46, Вып. 3. С. 278-288.

17. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.:Наука, 1965. 416 с.

18. Белецкий В.В., Шляхтпин А.И. Резонансные вращения спутника при взаимодействии магнитного и гравитационного полей. Препринт № 46 Ин-та Прикладной математики АН СССР, 1980.

19. Белецкий В.В.,Хентов A.A. Вращательное движение намагниченного спутника. М.:Наука, 1985. 288 с.

20. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. 408 с.

21. Бобылев Д. К. Об одном частном решении дифференциальных уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей естествознания. 1896. Т. 8, Вып. 2. С. 21-25.

22. Болсинов A.B., Борисов A.B., Мамаев И.С. Топология и устойчивость интегрируемых систем // Успехи мат. наук. 2010. Т. 65, Вып. 2 (392). С. 71-131.

23. Борисов A.B., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 575 с.

24. Брюм А.З. Исследование орбитальной устойчивости при помощи первых интегралов // ПММ. 1989. Т. 53, Вып. 6. С. 873-879.

25. Брюм А.З., Савченко А.Я. Об орбитальной устойчивости одного периодического решения гироскопа Ковалевской // ПММ. 1986. Т. 50, Вып. 6. С. 967-973.

26. Брюно А. Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона // Матем. заметки. 1967. Т. 1, № 3. С. 325-330.

27. Брюно А. Д. Неустойчивость в системе Гамильтона и распределение астероидов // Матем. сб. 1970. Т. 83, Вып. 2. С. 273-312.

28. Брюно А. Д. О локальных задачах механики // Препринт, ИПМ АН СССР. 1973. № 96.

29. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М: Наука, 1979. 253 с.

30. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел: Плоские периодические орбиты. М: Наука, 1990. 293 с.

31. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М: Наука, 1984. 320 с.

32. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Изд-во Физико-математической литературы, 1963. 1100 с.

33. Докшевич А.И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера-Пуассона. Киев: Наук, думка, 1992. 168 с.

34. Иванов А.П., Сокольский А.Р. Об устойчивости неавтономной гамильтоно-вой системы при параметрическом резонансе основного тина // ПММ. 1980. Т. 44, Вып. 6. С. 963-970.

35. Иртегов В.Д. Об устойчивости маятниковых колебаний гироскопа С.В. Ковалевской // Тр. Казан, авиац. ин-та. 1968. Вып. 97. С. 38-40.

36. Карапетян A.B. Инвариантные множества в задаче Горячева-Чаплыгина: существование, устойчивость, ветвление // ПММ. 2006. Т. 70, Вып. 2. С. 221-224.

37. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 98, № 4. С. 527-530.

38. Кузьмин П. А. Частные виды движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в трудах русских ученых) // Тр. Казан, авиац. инта. 1953. Т. 27. С. 91-121.

39. Куницын А.Л., Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1979. Т. 4. С. 58-139.

40. Куницын А.Л., Ташимов Л. Т. Некоторые задачи устойчивости нелинейных резонансных систем. Алма-Ата: Гылым, 1990. 196 с.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. . Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 621 с.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. . Теория поля. М.: Наука, 1988. 508 с.

43. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.

44. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

45. Маркеев А.П. Устойчивость плоских колебаний и вращений спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 1975. Т. 13, Вып. 3. С. 322-336.

46. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М: Наука, 1978. 312 с.

47. Маркеев А.П. О сохраняющих площадь отображениях и их применении в динамике систем с соударениями // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 2. С. 37-54.

48. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских движений твердого тела в случае Ковалевской // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 1. С. 51-58.

49. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 592 с.

50. Маркеев А.П. Устойчивость гамильтоновых систем //В сб.: Нелинейная механика. М.: Физматлит, 2001. С. 114-130.

51. Маркеев А.П. О тождественном резонансе в одном частном случае задачи об устойчивости периодических движений твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 32 - 37.

52. Маркеев А.П. О маятникообразных движениях твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина // ПММ. 2004. Т. 68, Вып. 2. С. 282 - 293.

53. Маркеев А.П. Об одном способе иследования устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 6. С. 3-12.

54. Маркеев А.П. Конструктивный алгоритм нормализации периодического гамильтониана // ПММ. 2005. Т. 69, Вып. 3. С. 355 - 371.

55. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских вращений спутника на круговой орбите // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 4. С. 63 - 85.

56. Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 396 с.

57. Маркеев А.П., Медведев C.B., Чеховская Т.Н. К задаче об устойчивости маятниковых движений твердого тела в случае Ковалевской // Изв. РАН. МТТ. 2003. Вып. 1. С. 3-9.

58. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование устойчивости плоских перио-

дических движений спутника на круговой орбите // Изв. РАН. МТТ. 1977. № 4. С. 46 - 57.

59. Мерман Г.А. Асимптотические решения канонической системы с одной степенью свободы в случае нулевых характеристических показателей // Бюл. Ин-та теорем, астрон. АН СССР. 1964. Т. 9, № 6 (109). С. 394 - 424.

60. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. 167 с.

61. Парс JI. Аналитическая динамика. М: Наука, 1971. 635 с.

62. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Итоги науки и техники. Серия: Исследование космического пространства. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 11. 223 с.

63. Сидоренко В.В., Нейштадт А.И. Исследование устойчивости долгоперио-дических движений спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2000. Т. 38, Вып. 3. С. 307-321.

64. Стеклов В. А. Один случай движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей естествознания. 1896. Т. 8, Вып. 2. С. 19-21.

65. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. 588 с.

66. Холостова О.В. Линейный анализ плоских колебаний спутника-пластинки на круговой орбите // Нелинейная Динамика. 2005. Т. 1. С. 181-190.

67. Якубович В.Я., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.:Наука, 1987.

68. Bardin В. S. On orbital stability of planar motions of symmetric satellites in cases of first and second order resonances // Proceedings of the 6th Conference on

Celestial Mechanics. Monogr. Real Acad. Ci. Exact. Fis.-Quim. Nat. Zaragoza, 25. 2004. P. 59-70.

69. Bardin B. S., Rudenko T.V. Savin, A. A. On the orbital stability of planar periodic motions of a rigid body in the bobylev-steklov case // Regul. Chaotic Dyn. 2012. V. 17, no. 6. P. 533-546.

70. Bardin, B. S., Savin A.A. On the orbital stability of pendulum-like oscillations and rotations of a symmetric rigid body with a fixed point // Regul. Chaotic Dyn. 2012. V. 17, no. 3-4. P. 243-257.

71. Giacaglia G.E.O. Perturbation methoda in non-linear systems. N.Y.: Springer

- Verlag, 1972. Перевод на русский: Джакалья Г.Е.О. Методы возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 319 с.

72. Капе Т. Attitude stability of earth - pointing satellites // AIAA Journal. 1965. V. 3, no. 4. P. 726 - 731.

73. Kane Т., Shippy D. Attitude stability of a spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit //J. Astrounaut. Sci. 1963. V. 10, no. 4. P. 114 - 119.

74. Markeev A. P., Bardin B. S. On the stability of planar oscillations and rotations of a satellite in a circular orbit // Celestial Mech. Dynam. Astronom. 2003. V. 85, no. 1. P. 51-66.

75. Meirovitch L., Wallace F. Attitude instability regions of a spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit //J. Astrounaut. Sci. 1967. V. 14, no. 3. P. 123

- 133.

76. Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems // Communs. Pure Appl. Math. 1958. V. 11, no. 1. P. 81-114.

77. Siegel C., Moser J. Lectures on Celestial Mechanics. Classics in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1971. P. 290.

78. Yehia, H.M. On the stability of plane motion of heavy rigid body about a fixed point // Z. angew. Math. Mech. 1987. V. 67, no. 12. P. 641-648.

79. Yehia, H.M., El-Hadidy, E.G. On the orbital stability of pendulum-like vibrations of a rigid body carrying a rotor // Regul. Chaotic Dyn. 2013. V. 13, no. 5. P. 539-552.