Исследование одномерных хаотических моделей на основе оператора Фробениуса - Перрона тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Никандрова, Юлия Александровна

• Никандрова, Юлия Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никандрова, Юлия Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ПОЛНЫМИ ВЕТВЯМИ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРА ФРОБЕНИУСА - ПЕРРОНА. МЕТОД

ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ.

Введение.

1.1. Исследование некоторых кусочно-линейных отображений на основе оператора i Фробениуса - Перрона с помощью метода производящих функций.

1.1.1. Классические примеры применения метода производящих функций.

1.1.2. Инверсный сдвиг Бернулли.

V 1.1.3. Двойное пирамидальное отображение.

1.1.4. Двойное V-образное отображение.

1.2 Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена.

1.2.1. Символический вывод формулы суммирования Эйлера - Маклорена.

1.2.2. Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Бернулли.

1.2.3. Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Эйлера.

1.2.4. Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Бернулли и Эйлера.

1.3. Примеры применения модифицированных формул Эйлера - Маклорена для исследования одномерных хаотических нелинейных моделей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование одномерных хаотических моделей на основе оператора Фробениуса - Перрона»

Ф 2.1. ^-отображение.68

2.1.1. Уравнение Фробениуса - Перрона. Оператор Фробениуса - Перрона.68

2.1.2. Инвариантная плотность.70

2.1.3. Модифицированный оператор Фробениуса - Перрона.76

2.1.4. Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона.78

2.2. Базовый эндоморфизм ф - отображения.104

2.2.1. Построение базового эндоморфизма ф -отображения.104

2.2.2. Уравнение и оператор Фробениуса - Перрона.107

2.2.3. Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона.110

Заключение.115

ГЛАВА 3. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ.118

Введение.118 3.1. Определение автокорреляционной функции.118 j 3.2. Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей с равномерными инвариантными распределениями и их нелинейных преобразований.120

3.3. Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей: ^-отображения и его базового эндоморфизма.128

Заключение.135

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.138

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.140

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.149

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность

Одной из важнейших задач математического моделирования является построение и анализ математических моделей нелинейных явлений. Традиционно нелинейные динамические системы (например, колебательные) описывали с помощью дифференциальных уравнений. В настоящее время все чаще для этих же целей используют дискретные математические модели (отображения), заданные разностными уравнениями. Как известно, дискретные модели (например, одномерные хаотические отображения) являются одними из простейших базовых моделей [2-7,19-24,26-33,41,46-52, 54, 73-78, 88-90].

Подобные хаотические модели интенсивно исследуются последние 25-30 лет. Была выявлена их теоретико-методическая ценность [63, 64, 81, 90]. Именно при исследовании их поведения и свойств были открыты и изучены явления, характерные для гораздо более сложных нелинейных систем. Например, на основе одномерных хаотических отображений открыты сценарии перехода в динамических системах от регулярного режима к хаотическому, впоследствии неоднократно подтвержденные многочисленными экспериментами для систем различной природы. Это говорит о важной практической значимости дискретных хаотических моделей (отображений) при решении проблем в самых различных областях науки: в физике, химии, экономике, социологии и т.д. [20, 24, 45,61-66,81,90, 99,100].

Приведем несколько примеров: а) одномерные хаотические модели используются при реализации датчиков псевдослучайных чисел, с заданным распределением [51, 99]; б) при описании хаотических генераторов биологических ритмов [3, 99]; в) на основе одномерных хаотических моделей разрабатываются новые методы реализации схем кодирования и обработки информации [22, 36].

Важным и эффективным методом исследования хаотических моделей является операторный подход [6, 7, 37, 71, 73-78], в частности, связанный с применением оператора Фробениуса - Перрона. Оператор Фробениуса - Перрона -оператор изменения во времени распределений вероятности в системах с дискретным временем (отображениях).

Знание спектральных свойств (собственных функций и собственных чисел) оператора Фробениуса - Перрона позволяет охарактеризовать асимптотические свойства (например, скорость сходимости начального распределения к инвариантному), корреляционные свойства (вид автокорреляционных функций) одномерных хаотических моделей [28, 34, 52,101,103-105,109,110].

Вместе с тем проблемы анализа спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона пока далеки от полного решения, также не рассмотрены некоторые важнейшие базовые модели на их основе. Это определило актуальность решаемых в диссертационной работе задач.

Цель диссертационной работы - исследование одномерных хаотических моделей на основе спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона; выявление конкретной роли собственных функций данного оператора при аналитическом расчете автокорреляционных функций, влияния собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона на скорость сходимости начального распределения к инвариантному в одномерных хаотических отображениях.

В процессе работы решались следующие задачи:

1. Определение производящих функций для собственных функций оператора Фробениуса - Перрона одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями (сдвигов Бернулли с произвольным целым коэффициентом, пирамидального, "двойного" пирамидального и др.). Исследование влияния собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона на скорость сходимости начального распределения к инвариантному.

2. Решение задачи на собственные значения и выявление структуры собственных функций для оператора Фробениуса - Перрона кусочно-линейных хаотических отображений с неполными ветвями - ^-отображения (частного случая отображения Реньи хл+1 = /Зхп mod 1, р е R, с коэффициентом, равным числу Фидия ф = {\ + л/5 j jl) и ему сопряженного.

3. Расчет автокорреляционных функций отображений с использованием собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов диссертации подтверждена проверочными (альтернативными) и (или) взаимно дополняющими друг друга аналитическими расчетами, а также согласованностью с данными, полученными другими авторами.

Научная новизна работы и научно-практическая значимость результатов.

Показано, что для одномерных хаотических кусочно-линейных моделей (отображений) с полными ветвями могут быть определены аналитические ("производящие") функции, которые в компактном виде содержат информацию о собственных функциях и собственных числах соответствующего оператора Фробениуса - Перрона. Подобные производящие функции построены для ряда "классических" отображений: сдвигов Бернулли, пирамидального, N - образного и инверсных отображений к данным. Выяснено, что производящие функции собственных функций эволюционных операторов для данных типов отображений могут быть образованы комбинацией производящих функций неортогональных полиномов двух типов - Бернулли и Эйлера.

Разработан метод последовательного построения инвариантных подпространств различной размерности для оператора Фробениуса - Перрона с целью нахождения его собственных функций. Подобным образом найдено несколько первых функций и чисел оператора Фробениуса - Перрона для кусочно-линейного ф -отображения с неполными ветвями (в качестве параметра — число

Фидия ф = {\ + л/5 ) Jl, заметим, что -l)/2 - золотое сечение), а также, для базового эндоморфизма, то есть для сопряженного ф -отображению кусочно-линейного отображения, обладающего равномерным инвариантным распределением (само сопряженное отображение построено впервые). Выведены общие соотношения для построения собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона.

Аналитически рассчитаны автокорреляционные функции на основе знания собственных функций и собственных чисел Фробениуса - Перрона, в том числе новых хаотических отображений, построенных в работе.

Продемонстрирована эффективность предложенных методов для нахождения собственных функций и собственных чисел операторов Фробениуса - Перрона кусочно-линейных отображений, основанных на построении производящих функций и на выявлении структуры инвариантных подпространств для данного оператора.

Апробация результатов исследований.

Основные результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях: 6th International School on chaotic oscillations and pattern formation. (Saratov, Russia, October 2-7, 2001), Fourth IEEE International Vacuum Electron Sources Conference (Saratov, Russia, July 15-19, 2002); международной конференции "Physics and Control" (August 20-22, 2003, Saint-Petersburg, Russia). (5 тезисов докладов.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ (2 статьи в центральной печати и 12 статей в научных сборниках).

На защиту выносятся следующие положения

1. Производящие функции для собственных функций оператора Фробе-ниуса - Перрона таких одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями (переводящими отдельные отрезки области определения (единичного интервала) на весь единичный интервал), как сдвиги Бернул-ли, пирамидальное, "двойного" пирамидального, N - образного, а так же хаотических отображений, полученных их суперпозицией, инверсией и топологическим сопряжением, могут быть представлены линейной комбинацией производящих функций полиномов Бернулли и (или) Эйлера соответствующих конкретному отображению аргументов.

2. Структура собственных функций оператора Фробениуса - Перрона одномерных кусочно-линейных хаотических отображений, ^-отображения и ему сопряженного, обладающего равномерным инвариантным распределением, с неполными ветвями (не переводящими отдельные отрезки области определения (единичного интервала) на весь единичный интервал) представляет собой кусочно-степенные функции (с одним разрывом).

3. Собственные функции и соответствующие собственные числа могут быть рассчитаны методом построения инвариантных подпространств для оператора Фробениуса - Перрона и перехода к базису, состоящему из собственных функций данного оператора. Обобщение решения задачи на собственные значения может быть получено с помощью метода неопределенных коэффициентов.

4. Вид автокорреляционных функций рассмотренных кусочно-линейных одномерных хаотических моделей (отображений) определяется конечным набором первых собственных функций оператора Фробениуса - Перрона.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Диссертация содержит 115 страниц текста, 23 иллюстрации, таблицу, список использованной литературы из 110 наименований на 12 страницах. Общий объем работы -151 страница.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Никандрова, Юлия Александровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона занимает центральное место при изучении хаотических моделей (в частности, дискретных моделей, заданных разностными уравнениями, - одномерных кусочно-линейных отображений). Кроме того, знание собственных функций эволюционного оператора позволяет получить выражения нестационарных решений уравнения Фробениуса - Перрона, оценить скорость сходимости начального распределения к инвариантному, точно рассчитать автокорреляционную функцию.

На основании исследований, проведенных в диссертации, получены следующие основные результаты:

1. На основе операторного символического подхода получены модифицированные формулы Эйлера - Маклорена для разложения аналитических функций, определенных на единичном интервале, по трем системам неортогональных полиномов:

- на основе полиномов Эйлера Еп(х), п = 0,1,.;

- на основе четных полиномов Эйлера Е1п (х), п- 0,1,. и нечетных полиномов Бернулли В2п+1 (х), п~ 0,1,.;

- на основе нечетных полиномов Эйлера Е2п+Х (х), п = 0,1,. и четных полиномов Бернулли В2п(х), п = 0,1,.

2. Построены производящие функции для собственных функций оператора Фробениуса - Перрона одномерных хаотических кусочно-линейных моделей: сдвига Бернулли, пирамидального, V - образного, двойного пирамидального, двойного V-образного, инверсного сдвига Бернулли, N - образного, инверсного N - образного отображений, а также нелинейных отображений с экспоненциальной плотностью распределения, построенных на базе N - образных.

3. Построена новая математическая модель - одномерное хаотическое кусочно-линейное отображение, топологически эквивалентное ф - отображению -базовый эндоморфизм ф - отображения с равномерным инвариантным распределением. Выведено нестационарное уравнение Фробениуса - Перрона и получен в явном виде оператор Фробениуса - Перрона базового эндоморфизма.

4. Разработан метод нахождения собственных функций и соответствующих собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона одномерных хаотических моделей (на примере ф - отображения и его базового эндоморфизма) путем построения инвариантных подпространств для данного оператора. Оператор Фробениуса - Перрона рассмотрен в двух формах: «классической» и «модифицированной». Найдено несколько первых собственных функций и собственных чисел данного оператора (для ф - отображения - 4 для "классического" оператора Фробениуса - Перрона и 6 - для "модифицированного", для базового эндоморфизма ф - отображения - 4). Указан общий вид собственных функций и собственных чисел эволюционных операторов ф - отображения и его базового эндоморфизма в случае повышения размерности инвариантных подпространств.

5. Вычислена аналитически автокорреляционная функция базового эндоморфизма ф - отображения. Описан алгоритм точного аналитического расчета автокорреляционной функции, для которого требуется знание ряда первых собственных функций и соответствующих собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона, линейной комбинацией которых можно представить независимую переменную х.

С помощью данного алгоритма найдены автокорреляционные функции одномерных кусочно-линейных отображений с равномерным инвариантным распределением.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никандрова, Юлия Александровна, 2005 год

1. Abramowitz М, Stegun I. Hand book of mathematical functions. Dover, New York, 1964. - 830p.

2. Adler R.L., Rivlin T J., Ergodic and Mixing Properties of Chebyshov polynomials //Proc. Amer. Math. Soc., 1964. Vol. 15, N5. P.794-796.

3. Anikin V.M., |Goloubentsev A.F.| Analysis of biological chaotic rythmes // Proc. SPIE. Vol. 5330. Complex dynamics, Fluctuations, Chaos and Fractals in Biomedical Photonics / V.V. Tuchin, Ed. 2004.

4. Antoniow I., Tasaki S. Generalized spectral decomposition of mixing dynamical systems // Int. J. of Quantum Chemistry, 1993. Vol. 46, P.425 474.

5. Antoniow I., Tasaki S. Spectral decomposition of the Renyi maP. // J. Phys. A: Math. Gen., 1993. Vol. 26P.73-94.

6. Driebe D.J., Ordonez G.E. Using symmetries of the Frobenius Perron operator to determine spectral decompositions. // Physics Letters A, 1996. Vol. 211 P.204-210.

7. Dorfle M. Spectrum and Eigenfimctions of the Frobenius-Perron Operator of the Tent Map // Journal of Statistical Physics. 1985. Vol. 40 P.93-132.

8. Gaspard P. Diffusion in uniformly hyperbolic one-dimensional maps and Appell polynomials // Physics Letters A, 1992. Vol. 168 P. 13-17.

9. Gaspard P. R-adic one-dimensional maps and the Euler summation formula // J. Phys. A., Math. Gen., 1992. Vol. 25 P.483 485.

10. Goloubentsev A.F., Anikin V.M. The Explicit Solutions of Frobenius Perron Equation for the Chaotic Infinite Maps // International Journal of Bifurcations and Chaos. 1998. Vol. 8. N 5. P.1049-1051.

11. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Arkadaksky S.S. Ergodic Maps with Lyapunov Exponent Equal to Zero // 2000 2nd International Conference "Control of Oscillation and Chaos". Proceedings / Edited by F.L. Chernousko and A.L. FradkoVol. Vol.1. P. 44 47.

12. Grossman S., Thomae S. Invariant distributions and stationary correlation functions of one-dimensional discrete processes // Z. Naturforsh. 1977. Vol. 32a. P. 1353-1363.

13. Hasegawa H.H., Driebe D.J. Spectral determination and physical conditions for a class of chaotic piecewise-linear maps // Physics Letters A, 1993. Vol. 176 P. 193-201.

14. Hasegawa H.H., Saphir W.C. Decaying eigenstates for simple chaotic systems // Physics Letters A. 1992. Vol. 161 P.471-476.

15. Karl E Kurten, Gregoire Nicolis. Moment equations and closure schemes in chaotic dynamics // J. Phys. A: Math. Gen. 1998 Vol.31 P.7331-7340. Printed in the UK.

16. Katsura Sh., Fukuda W. Exactly solvable models showing chaotic behavior // Physica. 1985. Vol. 130A. No 3. P. 597-605.

17. Knuth D.E. The Art of Computer Programming. Vol.2 Seminumerical Algorithms, Addison-Wesley Longman. Inc., 1998. Third Ed.

18. Kuipers L., Niederreiter H. Uniform Distributions of Sequences. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1974.

19. Lakshmibala, Satyanayana. Phase estimation, photon cloning and the Bernoulli map // Physics Letters A, 2002. Vol. 298 P. 1-6.

20. Lasota A., Mackey M.C. Probabilistic properties of deterministic systems / Cambridge: Cambridge University Press, 1985. 358p.

21. Machado R.F., Baptista M.S., Grebogi C. Cryptography with chaos at the physical level. // Chaos, Solitions and Fractals, 2004. V.21, P.1265-1269.

22. Mori H., So B.-Ch., Ose T. Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress in Theoretical Physics. 1981. V. 66. No. 4. P. 12661283.

23. Nagatani T. Chaotic motion of Shuttle buses in two-dimensional map model // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. V.18. P731-738.

24. Pratley P., Box В., Schrage L. A Guide to Simulation. Berlin: Springer, 1987.

25. Renyi A. Representation for real numbers and their ergodic properties // Acta. Math. Acad. Sc. Hungar. 1957. Vol. 8. P. 477-493.

26. Risken H. The Fokker Planck equation. - Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, 1989.

27. Sello S. Auto-Correlation Functions and Solar Cycle predictability. Topic Note Nr.001004, Los Almos National Laboratories Preprint Arhive, Astro-Ph/0010106. 2000.

28. Tabor M. Chaos and Integrability in Nonlinear dynamics. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1989.

29. Tsuchiya T. An exactly solvable difference equation that gives pure chaos for a continuous range of a parameter// Z. Naturforsh. 1983. Vol. 39a. P. 80-82.

30. Ulam S.M., von Neumann J. On combination of stochastic and deterministic processes // Bulletin of the American Mathematical Society. 1947. Vol. 53. N. 11. P. 1120.

31. Umeno K. Method of constructing exactly solvable chaos // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. N5. P. 5280-5284.

32. Анищенко B.C. Знакомство с нелинейной динамикой. Лекции соровского профессора: Учебное пособие. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2000.-180с., ил.

33. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

34. Бейтман Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1965.-296с.

35. Бланк М.Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.: МЦНМО, 2001.-352 с.

36. Быков Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к теории устойчивости. М.: 1966.

37. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984

38. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

39. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. Пер. с англ. Под ред. Стратоновича P.JI. М.: Мир, 1986. - 528с., ил.

40. Гельфонд А.О. Вычеты и их приложения. М., Наука, 1966.

41. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М. - Л., ГИТТЛ, 1952 — 480с.

42. Гельфонд А.О. Об одном общем свойстве систем счисления // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23. С. 800-814.

43. Голубенцев А.Ф.|, Аникин В.М. Модифицированная задача Гаусса // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. памяти Голубенцева А.Ф. / Под ред. Гуляева Ю.В., Синицына Н.И., Аникина В.М. Саратов: изд-во Са-рат. ун-та, 2004. Вып. 11. С.41-50.

44. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Специальные функции в теории детерминированного хаоса // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 3. С. 50-58.

45. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Двухточечные граничные задачи в практикуме по моделированию физических процессов: Учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 2001. - 20с.

46. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса Перрона для сдвигов Бернулли // Изв. Вузов. -Прикладная нелинейная динамика, 2000. Т.8. №2. С.67 - 73.

47. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Операторы Фробениуса Перрона для сопряженных хаотических отображений // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1999. Т. 5. С.44-46

48. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Богомолов А.В. Хаотические генераторы биологических ритмов // Медицинская радиоэлектроника. 2000. № 2. С. 38 -41.

49. Голубенцев А.Ф., Ноянова С.А. Авторегрессионные методы спектрального анализа временных рядов: Учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 2002. - 32с., ил.

50. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.

51. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. -М.: Постмаркет, 2001. 184с.

52. Де Брёйн Н.Г. Математические методы в анализе. М., Иностранная литература, 1961 -247с.

53. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М., Наука, 1979.

54. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. M.-JL, 1936

55. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.- 188с.

56. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 316с.

57. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. Пер. с англ. Под ред. Арамановича И.Г. М.: Наука, 1974. - 831с.

58. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Пер. с англ. Кренкеля Т.Э. и Соловейчика А.А. Под ред. Кренкеля Т.Э. — М.: Постмаркет, 2000. 352с, ил.

59. Кузнецов А.П. Наглядные образы хаоса. // Соровский образовательный журнал, 2000. Т.6, №11. С. 104-110.

60. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: Наука, 2001. — 218с.

61. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. Пер. с англ. / Под ред. Чирикова Б.В. Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. -528с.

62. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 266с.

63. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336с.

64. Мешков О.Ф. Некоторые вопросы теории обобщенных функций: Учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 2001. - 48с., ил.

65. Микиша A.M., Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов. М.: Рус. яз., 1989. -244с, ил.

66. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002.-320с.

67. Мышкис А.Д. Математика для технических вузов: Специальные курсы. 2-е изд. СПб.: Изд-во "Лань", 2002. - 640с.

68. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение. Пер. с англ. Изд. 2-е, стереотипное. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 344с.

69. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Просвещение, 1966. - 336 с.

70. Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы.- Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 208с.

71. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. Череповец, Меркурий-ПРЕСС, 2000.

72. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках. Пер. с англ. / Под ред., с предисл. и послесл. Ю.Л. Климонтовича. Изд. 2-е, доп. М.: Едиториал УРСС, 2002. - 288с.

73. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. Пер. с англ. Данилова Ю.А. 3-е изд. М.: Эдиториал УРСС, 2001.- 240с.

74. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. Пер. с англ. Изд. 3-е. -М.: Едиториал УРСС, 2001. 312с.

75. Пригожин И.Р. От классического хаоса к квантовому // Природа,1993, №2, С. 13-23.

76. Рохлин В.А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем. // Успехи мат. наук, 1967, тЗО, №2, с.57-128.

77. Рюэль Д. Случайность и хаос. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 192с.

78. Трубецков Д.И. Введение в синегретику. Хаос и структуры. / Предисл.Г.Г. Малинецкий. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 240с. (Синергетика: от прошлого к будущему.)

79. Уитгекер Э.Т., Ватсон Дж.Н., Курс современного анализа: В 2-х ч.: Пер. с англ. / Под ред. Широкова Ф.В. Изд. 3-е. М., Едиториал УРСС, 2002

80. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М., Наука, 1987 - 544с.

81. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1. Пер. с англ. -М.: Мир, 1984. 528с., ил.

82. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.2. Пер. с англ. -М.: Мир, 1984. 738с., ил.

83. Харди Г. Расходящиеся ряды. М., Иностранная литература, 1951 - 504с.

84. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекуррентные уравнения в популяционной биологии. М.: Наука, 1983. - 134 с.

85. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. - 216с.

86. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Пер. с англ. Данилова Ю.А., Логунова А.Р. Под ред. Борисова А.В. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.-528с.

87. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. Пер. с англ. М.: Мир, 1988.-240с, ил.856с.

88. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции. Справочник. Изд. 2-е, доп. Киев: Наукова думка, 1976. - 686с.

89. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ2

90. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. Формула Эйлера Маклорена в теории детерминированного хаоса // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 7. С.74-76

91. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. О спектральной задаче для одного кусочно-линейного хаотического отображения И Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 6. С. 33-35

92. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. О моделировании случайных процессов, основанных на броуновском движении // Моделирование: Сборник науч. статей. Саратов: Изд-во Исток-С, 2002. С. 3137

93. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. К решению спектральной задачи для эволюционного оператора методом производящих функций // Моделирование: Сборник науч. статей. Саратов: Изд-во Исток-С, 2002. С. 24-302

94. Никандрова Юлия Александровна до апреля 2004г. носила фамилию Барулина.

95. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. Вероятностное описание хаотических генераторов биологических ритмов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2002. № 1. С.39-42

96. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Noyanova S.A., Barulina (Nikandrova) Yu.A. Baker Transformation as Autoregression System // International conference "Physics and Control". Proceedings. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P.654-656

97. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina (Nikandrova) Yu.A. Regression Equations Modelling Diffusion Processes // Applied Surface Science 215 (2003) 185-109

98. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina (Nikandrova) Yu.A. Difference Scheme with Instant Transition "from Order to Chaos // International conference "Physics and Control". Proceedings. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P.446-451

99. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina (Nikandrova) • Yu.A. Chaotic Maps Generating White Noise // International conference "Physics and Control". Proceedings. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P.452-455

100. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina (Nikandrova) Yu.A. Chaotic Maps Generating White Noise // International conference "Physics and Control". Final program and Abstracts. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P.75