Исследование одиночных волн на воде в лабораторных условиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 04.00.23, кандидат физико-математических наук Селиверстов, Сергей Валерьевич

• Селиверстов, Сергей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Селиверстов, Сергей Валерьевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. Длинные волны на воде

§1.1. Длинные морские волны и нелинейные эффекты в них 8 §1.2. Лабораторные эксперименты и теоретические

исследования по уединенным волнам на воде

ГЛАВА 2. Модифицированные уравнения КдФ

для уединенных волн на воде

§2.1. Эволюционное уравнение для уединенных волн

во втором приближении и его анализ

§ 2.2. Эволюционное уравнение для уединенных волн на воде

в «приближении оф» и его решение

§ 2.3 Уединенные волны в случае сильной нелинейности

§ 2.4. Экспериментальная проверка формул

«приближения оф» для уединенных волн на воде

ГЛАВА 3. Экспериментальное изучение ветровых одиночных

волн в лабораторном кольцевом аэрогидроканале

§ 3.1. Модель взаимодействия метеорологической одиночной

волны с полем ветра над морской поверхностью

§ 3.2. Описание экспериментальной установки

и измерительного комплекса

§3.3. Результаты экспериментов и их анализ

Результаты работы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование одиночных волн на воде в лабораторных условиях»

ВВЕДЕНИЕ

Изучение уединенных волн на воде имеет более чем полуторавековую историю. Это время наполнено как выдающимися открытиями, теоретическими и экспериментальными, закладывавшими основы наших знаний об уединенных волнах, так и долгими периодами забвения, когда об этом удивительном и необычном явлении вспоминал лишь узкий круг специалистов. Открыта уединенная волна на воде была в 1834 г. английским инженером Джоном Скоттом Расселом. Это явление казалось настолько неожиданным в рамках существовавшей тогда теории волн, что когда Рассел в 1844 г. опубликовал результаты своих экспериментов, его работа была подвергнута современниками критике, а о существовании уединенных волн было на долгие годы забыто. Во второй половине 19 в. исследования по данному вопросу возобновились; были повторены и подтверждены эксперименты Рассела, Бус-синеск и Рэлей нашли приближенное математическое описание формы и скорости уединенной волны на мелкой воде, а в 1895 г. Кортевег и де Фриз получили уравнение для длинных волн на воде, решение которого описывает уединенные волны.

В первой половине 20 в. изучение уединенных волн периодически возобновлялось отдельными исследователями. Однако, подлинное «возрождение» уединенной волны к жизни произошло лишь в 60-е годы нашего века. В этот период начались интенсивные исследования по нелинейным процессам в различных областях физики. Было обнаружено, что уединенная волна является важным устойчивым состоянием некоторых видов нелинейных систем. Уединенные волны оказались поистине «вездесущими»: они были открыты в кристаллах, магнитных материалах, сверхпроводниках, в плазме, в физике элементарных частиц, в живых организмах и т. д. Наряду с термином «уединенная волна» стал использоваться термин «солитон», подчеркивающий, что

во многих отношениях определенные виды уединенных волн ведут себя подобно частицам.

Приобретя «известность и авторитет» в других областях физики, уединенная волна, впервые открытая при изучении волн на поверхности воды, во второй половине 20-го века «вернулась» в гидродинамику. Было обнаружено, что цунами во многих случаях имеют вид уединенных волн, кроме того пакеты длинных волн, образующиеся на поверхности океана, могут иметь соли-тонообразную огибающую (так называемые, «солитоны огибающих»),

В современных исследованиях по гидродинамике изучению уединенных волн уделяется значительное внимание. Это связано с большим прикладным значением, которое имеют данные исследования для проектирования гидротехнических сооружений на шельфе и в береговой зоне, в первую очередь для принятия мер по их защите от разрушительного воздействия волн цунами. Цунами - одно из опаснейших стихийных бедствий, разрушительному воздействию которого подвергаются многие населенные пункты на побережье Мирового океана. Актуальность данной задачи возрастает в настоящее время в связи с развитием нефте- и газодобычи на шельфе, что требует учета возможного силового воздействия волн на инженерные конструкции при проектировании нефте- и газодобывающих платформ. Данные исследования имеют также непосредственное отношение к решению экологических проблем шельфовой зоны моря.

В настоящее время классическая теория уединенных волн Кортевега -де Фриза находит применение для описания параметров волн цунами при их распространении по шельфу. Однако, как показывают данные последних экспериментов, иногда наблюдается заметное расхождение между реальными параметрами уединенных волн на воде, и значениями, рассчитываемыми по теории КдФ. В связи с этим возникает необходимость уточнения модели КдФ, что является важным в первую очередь для повышения точности описания волн цунами. Следует отметить, что в последнее время значительное

количество модифицированных уравнений типа Кортевега - де Фриза было изучено в различных областях физики, таких как физика плазмы, нелинейная акустика и др.

К сожалению, в экспериментальных исследованиях по гидродинамике осталась практически без внимания возможность формирования одиночных (уединенных) волн в результате действия метеорологических факторов. Существует ряд теоретических работ, в которых исследована возможность генерации уединенных волн движущимся локализованным атмосферным возмущением и проведено соответствующее численное моделирование, однако экспериментальные исследования по данному вопросу практически отсутствуют. Большой редкостью является упоминание в литературе о случаях наблюдения на шельфе гигантских одиночных волн, вызванных метеорологическими причинами, в том числе, действием поля ветра, причем и в этих случаях подробная информация о параметрах волн отсутствует. Тем не менее, изучение данных волн является актуальной задачей, так как при выходе на берег такие волны, способны приносить не меньший ущерб и разрушения, чем сейсмические волны цунами.

В связи с вышеизложенным в данной диссертационной работе были поставлены следующие задачи:

провести модификацию теории Кортевега - де Фриза для случая учета дополнительных нелинейных и дисперсионных эффектов, получить соответствующие эволюционные уравнения для уединенных волн на воде, уточняющие уравнение КдФ, а также найти их решения;

выполнить экспериментальную верификацию полученных теоретических решений и провести сравнительный анализ точности описания уединенных волн по теории КдФ и по полученным формулам;

провести экспериментальное исследование процесса генерации одиночных волн полем ветра над поверхностью жидкости, выявить его основные закономерности, определить параметры ветровых одиночных волн, в частности

параметр Урсела, амплитуды и скорости распространения волн, исследовать процесс эволюции данных волн и их диссипации при прекращении действия ветра.

В первой главе работы проведен обзор литературы по длинным волнам на воде. На примере цунами, приливных волн и ветровых волн на мелководье рассмотрено проявления нелинейных эффектов в морских волнах на шельфе. Кратко изложена история исследования уединенных волн на воде, приведен вывод уравнения Кортевега - де Фриза и его решения. Проведен обзор литературы, посвященной теоретическому и лабораторному исследованию уединенных волн на воде.

Вторая глава посвящена исследованию высших приближений в теории уединенных волн на воде. Рассмотрено эволюционное уравнение во втором приближении для длинных волн на воде. Это уравнение анализируется с помощью операторных методов. В результате удается получить решения в форме цугов волн с огибающими в виде кинков и бризеров. Далее исследуются два частных случая эволюционного уравнения во втором приближении: «приближение а{3», учитывающее дополнительную нелинейную дисперсию, а также уравнение с дополнительным кубично-нелинейным членом, описывающее уединенные волны в случае сильной нелинейности. В обоих случаях получены аналитические решения, описывающие уединенные волны иной формы, чем решение уравнения КдФ. В заключение второй главы приводится описание лабораторных экспериментов по изучению формы уединенных волн на воде в прямоугольном гидроканале. По данным этих экспериментов проведена верификация формул «приближения оф»; показано, что полученные формулы дают более точное описание наблюдавшихся уединенных волн, чем модель Кортевега - де Фриза.

Третья глава диссертации посвящена экспериментальному исследованию генерации и развития ветровой одиночной волны в кольцевом аэрогид-роканале. Рассмотрена модель взаимодействия поля ветра над морской по-

верхностью с одиночной метеорологической волной, получены неоднородные уравнения Буссинеска, учитывающие трение, атмосферное давление и воздействие ветра на поверхность воды. Приведено описание экспериментальной установки в виде кольцевого аэрогидроканала, измерительного комплекса и методики экспериментов. Изложены результаты эксперимента, показано, что на качественном уровне этапы формирования одиночной волны совпадают с этапами образования цуга солитонов, наблюдавшимися в численных экспериментах Забуски и Крускала. Подчеркивается, что в отличие от численных схем, основанных на интегрируемых уравнениях, в реальных условиях не имеет места явление рекурренции. Приведены наблюдавшиеся значения амплитуды, скорости одиночных волн, параметра Урсела, а также изложены основные закономерности процесса, обнаруженные в ходе экспериментов. Приведены результаты исследования затухания одиночных волн при прекращении действия ветра.

В конце работы сформулированы основные результаты, полученные в диссертации, а также приведен список использованной литературы.

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Селиверстов, Сергей Валерьевич

РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

К основным результатам проделанной работы можно отнести следующее:

1) Выведено модифицированное эволюционное уравнение для уединенных волн в случае учета дополнительной (по сравнению с уравнением КдФ) кубичной нелинейности. Получено его аналитическое решение, описывающее уединенную волну с более широким профилем и меньшей скоростью распространения, чем у классического солитона КдФ. Данное решение может быть применено для описания уединенных волн большой амплитуды при малой глубине жидкости.

2) Получено уточненное эволюционное уравнение в «приближении оф» для случая учета дополнительной дисперсии, а также его решение, описывающее уединенную волну с более узким профилем, чем у классического солитона.

3) Выполнены эксперименты по регистрации профилей уединенных волн на воде в лабораторном гидроканале. Показано, что полученное в данной работе решение в «приближении оф» более точно описывает форму наблюдавшихся в экспериментах уединенных волн, чем классическая модель КдФ.

4) Разработана методика генерации одиночных волн с заданными параметрами в лабораторных условиях с помощью поля ветра над поверхностью жидкости, что более соответствует случаю возбуждения одиночных волн метеорологическими факторами, чем традиционно используемые в экспериментах методы генерации одиночных волн.

5) Выявлен механизм генерации ветровых одиночных волн. Показано, что на качественном уровне этапы формирования одиночной волны совпадают с этапами образования цуга солитонов, наблюдавшимися в численных экспериментах Забуски и Крускала. Однако дальнейшее развитие процесса происходит иначе: вместо возврата к начальным условиям происходит образование устойчивой одиночной волны. Таким образом, показано, что в отличие от численных схем, основанных на интегрируемых уравнениях, в реальных условиях не имеет места явление рекурренции.

6) Определены амплитуды ветровых одиночных волн, их длины, скорости распространения и параметры нелинейности, дисперсии и Урсела. Выявлены основные закономерности процесса генерации и развития ветровых одиночных волн, такие как уменьшение времени образования одиночной волны при увеличении скорости ветра; возрастание скорости распространения одиночной волны при увеличении глубины жидкости и скорости ветра. Исследовано явление дисперсионного распада и диссипации одиночных волн при прекращении действия ветра.

7) Установлено, что профили ветровых одиночных волн деформированы: подветренный склон волны укручен, а наветренный - растянут. Показано, что эта деформация волны усиливается при увеличении скорости ветра. Установлено, что при прекращении действия ветра профиль волны восстанавливает симметричную форму и достаточно точно описывается решением уравнения КдФ.

8) Обнаружено смещение энергонесущих составляющих спектра ветрового волнения в область низких частот в процессе развития ветровой одиночной волны, что свидетельствует о наличии перекачки энергии в низкочастотную область.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Селиверстов, Сергей Валерьевич, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 480 с.

2. Арсеньев С.А., Показеев К.В., Шелковников Н.К. Нелинейные волны на воде. М.: Изд-во Моск. Ун-та. 1998. 134с.

3. Арсеньев С.А. О нелинейных уравнениях длинных волн. Водные ресурсы. 1991. №1. с.29-35.

4. Арсеньев С. А. К теории длинных волн на воде. Доклады АН. Сер. геофизика, 1994, т.334, N 5, с. 635 - 638.

5. Арсеньев С.А., Шелковников Н.К. Динамика морских длинных волн. М.: Изд-во Моск. Ун-та. 1991. 88 с.

6. Арсеньев С.А., Губарь А.Ю., Шелковников Н.К. О нелинейном взаимодействии длинных волн на мелкой воде. Вестник Московского Университета. 1991. Т.32, №2. С.62-67.

7. Арсеньев С.А., Губарь А.Ю., Шелковников Н.К. Взаимодействие длинных поверхностных волн на мелкой воде. Океанология. 1993. Т. 33. №2. С.183-189.

8. Арсеньев С.А., Губарь А.Ю., Шелковников Н.К. Эволюция приливных волн Кельвина в канале. Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1993. т.29. №6. С.722-731.

9. Арсеньев С.А., Губарь А.Ю., Шелковников Н.К. Эффекты нелинейной диссипации длинных волн. Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1991. Т.27. №3 С.317-325.

10. Арсеньев С. А., Шелковников Н. К. " Динамика вод шельфов М.: Изд. Московского Университета, 1989. 96 с.

11. Арсеньев С.А. Численное моделирование деятельного слоя океана. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1977. Т. 13. №10. С. 1034.

12. Арсеньев С.А. О законах сопротивления для чисто дрейфовых и градиентных течений. В книге: «Комплексные исследования Северного Каспия». М. 1977., С.58.

13. Арсеньев С.А. Турбулентные течения в охлаждающих каналах АЭС. Атомная энергия. 1997. Т.83. Вып.5. С.319.

14. Арсеньев С.А. Нелинейная динамика гидрофизических полей. Диссертация доктора физ.-мат. наук М.: РАН. 1994. 345с.

15. Арсеньев С.А., Вахрушев М.М., Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. Полуторное приближение в теории длинных волн и его экспериментальная проверка. Океанология. 1997. Т.37. № 6. С. 842-846.

16. Арсеньев С. А., Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. "Гигантские уединенные волны в океане и их моделирование". Вест. Моск. Ун-та. Серия 3. Физика, Астрономия. 1997. № 6. С. 57-59

17. Арсеньев С.А., Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. «Силовое воздействие цунами на конструкции». Атомная Энергия. 1998. Т.85. Вып.1. С. 69-72

18. Арсеньев С.А., Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. «Экспериментальное изучение процесса генерации ветровых одиночных волн» М. МГУ. 1999. 14 стр. Деп. в ВИНИТИ 30.04.99. №>1393-В99.

19. Арсеньев С.А., Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. «Амплитудно-частотные солитоны на воде». Труды V Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". М.1996.

20. Арсеньев С.А., Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. «О втором приближении в теории уединенных волн на воде». Тезисы докладов Первой Всероссийской конференции «Взаимодействие в системе литосфера-гидросфера-атмосфера». М.1996.

21. Арсеньев С.А., Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. «Уединенные волны на воде во втором приближении». В сборнике статей: «Взаи-

модействие в системе литосфера-гидросфера-атмосфера», Т.2. М. МГУ. 1999.

22. Арсеньев С.А., Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. «Бризерные цуги волн цунами». В сборнике статей: «Взаимодействие в системе литосфера-гидросфера-атмосфера», Т.2. М. МГУ. 1999.

23. Арсеньев С.А., Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. О метеорологическом цунами. Сдано в редакцию журнала «Океанология».

24. Бенджамен Т.Б. Неустойчивость периодических цугов волн в нелинейных системах с дисперсией. В кн. «Нелинейная теория распространения волн». М.: Мир. 1970. С. 83-104.

25. Боуден К. Физическая океанография прибрежных вод. М. Мир. 1988. 324 с.

26. Вахрушев М.М., Губарь А.Ю., Селиверстов C.B. Кинки огибающих и бризеры цугов волн на воде. М. МГУ. 1997. 9 стр. Деп. в ВИНИТИ 19.05.97 №1658-В97.

27. Гилл А. "Динамика атмосферы и океана". 2 т. М.: Мир. 1986

28. Григораш З.К., Корнева JI.A. Карты волнового поля и энергия цунами в Черном море. - Изв. АН СССР, ФАО, 1972, т.8, вып. 5, с. 562566.

29. Григораш З.К., Корнева JI.A. Волны цунами, сопровождавшие Анапское землетрясение 12 июля 1966 г. - Океанология, 1969, вып. 6, с. 995-998.

30. Губарь А.Ю., Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. «Стационарная "уединенная" волна, генерируемая ветром в круговом канале». Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". М. 1998.

31. Додц Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир. 1988. 695 с.

32. Живогина O.A., Селиверстов C.B. «Исследование уединенных волн в лабораторных условиях». Труды XI Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. М. 1998.

33. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М. Наука, 1980.

34. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости. Прикл. Механика и техн. Физика. 1968. №2. С. 86-91.

35. Кононкова Г.Е., Кузнецов В.В. Исследование зарождения ветровых волн на поверхности водохранилища. Изв. АН СССР. ФАО. 1973. Т.9. № 12. С.1303-1311.

36. Кононкова Г.Е., Показеев К.В. "Динамика морских волн". М.: Изд-во Моск. Ун-та. 1985. 298 с.

37. Крылов Ю.М., Кузнецов В.В., Стрекалов С.С. Системы поля ветровых волн. ДАН СССР. 1973. Т. 208. № 4. С. 958-961.

38. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975.

39. Лакомб А. "Физическая океанография".М.: Мир. 1974.

40. Манк В. "Теория уединенных волн и ее применение к зоне прибоя". В сб. "Основы предсказания ветровых волн, зыби и прибоя". М.: Изд. иностранной литературы. 1951. стр. 403 - 449.

41. Марчук А.Г., Чу баров Л.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование волн цунами. - Новосибирск, 1983.

42. Миура Р. Введение в теорию солитонов и метод обратной задачи рассеяния на примере уравнения Кортевега - де Вриза. В книге: «Соли-тоны в действии». М. Мир. 1981. 312 с.

43. Мурти Т.С. Сейсмические морские волны цунами. Л.: Гидро-метиздат, 1981.

44. Накамура С. О гидравлическом боре и применении результатов его изучения к проблеме возникновения и распространения цунами. Труды СахКНИИ. 1973. Вып. 32. с. 129 -151.

45. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М. Мир. 1989. 326 с.

46. Океанология: Физика океана, т.2, Гидродинамика океана. Гл. 5, Волны цунами, М.: Наука, 1978,455 с.

47. Островский Л.А., Пелиновский E.H. Трансформация волн на поверхности жидкости переменной глубины. Изв. АН СССР. ФАО. 1970. Т. 6, №9. с.934-939.

48. Пелиновский E.H. О поглощении диспергирующих волн в нелинейных средах. Прикл. Механика и техн. Физика. 1971. №2. с.68-71.

49. Пелиновский E.H. О распространении поверхностной волны конечной амплитуды при учете статистических неровностей дна. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1974. т.7. №11. с.1226-1227.

50. Пелиновский E.H. Нелинейная динамика волн цунами. Горький. АН СССР. 1982. 227с.

51. Пелиновский E.H. Гидродинамика волн цунами. Нижний Новгород. 1996. Институт прикладной физики РАН. 276 с.

52. Пелиновский E.H., Талипова Т.Г., Степанянц Ю.А. Моделирование распространения нелинейной внутренней волны в горизонтально неоднородном океане. Известия АН. ФАО. 1994. Т.ЗО. № 1. С. 79-85.

53. Рейхрудель А. Э., Апекишева К. И. Кинематика одиночной волны над различными подстилающими поверхностями. Труды СахКНИИ. 1973. Вып. 32. с. 188 - 199.

54. Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. «Лабораторное исследование ветровых одиночных волн». М. МГУ. 5 стр. 1998. Деп. в ВИНИТИ 27.04.98 №1347-В98.

55. Селиверстов C.B., Шелковников Н.К. «Исследование ветровых одиночных волн». Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". М. 1998.

56. Соловьев СЛ. Повторяемость землетрясений и цунами в Тихом океане. - В книге: Волны цунами. Труды САХКНИИ, Южно-Сахалинск, 1972, вып. 29, с.7-47.

57. Соловьев С.Л., Го Ч.Н. Каталог цунами на западном побережье Тихого океана. М.: Наука, 1974,309 с.

58. Соловьев С.Л., Го Ч.Н. Каталог цунами в Тихом океане 19691982, 1986,164 с.

59. Соловьев С.Л. Проблема цунами и ее значение для Камчатки и Курильских островов. - В сб.: Проблема цунами. М.: Наука. 1968, с. 7-50.

60. Стокер Дж. Дж. "Волны на воде". М.: Изд. иностранной литературы. 1959. 618 с.

61. Стрекалов С.С., Дугинов Б.А. Катастрофические цунами на о. Крит и в Египте в XIV - XV веках до н.э. Биль о правах человека и природы. Труды 5-й научной конференции «Человек и природа». Вып. 9., М. 1997. С. 142-151.

62. Стрекалов С.С., Дугинов Б.А., Литвиненко Г.И. Параметры катастрофического цунами на побережьях о. Крит и Египта в XIV - XV веках до н.э. Тезисы докладов Второй Всероссийской конференции «Физические проблемы экологии». М.1999.

63. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977

64. Шелковников Н.К., Исаев C.B., Селиверстов C.B., Буринская Н.А., Станьчик Ю.Ю. Исследование генерации ветром одиночной волны в кольцевом канале. Тезисы докладов Второй Всероссийской конференции «Физические проблемы экологии». М.1999.

65. Шулейкин В. В. Физика моря. М.: Наука, 1968. 1084 с.

66. Akylas T.R. On the excitation of long nonlinear water waves by a moving pressure distribution. J. Fluid Mech. 1984. Vol. 141. p. 455 - 466.

67. Arrseniev S.A., Gubar A.Y., Shelkovnicove N.K. Space pulsation of the second and third harmonics of long waves in shallow water. In book: "Anisotropy of fluid flow in external forces fields". 1990 : USSR Academy of Science p.7-8.

68. Chappelear J.E. Shallow-water waves. J. Geophis. Res. 1962. V.67. P. 4693 - 4704.

69. Fenton J.D. A ninth-order solution for the solitary wave. J. Fluid Mech. 1972. V.53. p.257-271.

70. Fermi A., Pasta J., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems. I. Los Alamos Report, LA. 1955.

71. Germain J.P. Etude oles series enteres utilisess dans la theorie olela honleen pen profonde. C. R. Acad. Sci. Paris: 1966. V. 262. P. 546-648.

72. Grimshaw R., Pelinovsky E., Bezen A. Hysteresis phenomena in the interaction of a damped solitary wave with an external force. Wave Motion. 1997. V.26. p. 253-274.

73. Gower J., Jones D. Canadian West Coast giant waves. Mar. Weather Log. 1994. V.38. № 2. P. 4-8.

74. Hammack J. L., Segur X. The Korteweg de Vries equation and water waves. Part 2. Comparison with experiments. J. Fluid Mech. 1974., Vol. 65. P.289-314.

75. Huang D.-B., Sibel G.J., Webster W.C., Wehausen J.V., Wu D.M., Wu T.Y. Ships moving in the transcritical range. In Proc. Conf. on Behaviour of Ships in Restricted Waters. Varna. 1982. V.2. P. 26-1 - 26-10.

76. Katsis C., Akylas T.R. On the excitation of long nonlinear water waves by a moving pressure distribution. Part 2. Three-dimensional effects. J. Fluid Mech. 1987. Vol. 177. p. 49-65.

77. Korteveg D.J., de Vries G. On the change of from of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves. Philos. magazine and J. of Sciens. 1895. V. 39. Ser.5 p.422-443.

78. Laitone E.V. The second approximation to cnoidal and solitary waves. J. Fluid Mech. 1960. V. 9. N 3. P. 430-444.

79. Longuet-Higgins M.S. , Fenton J.D. On mass, moment, energy and circulation of solitarywave. Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1974. V.340. p. 473-493.

80. Marchant T.R., Smyth N.F. Extended Korteweg - de Vries equation and the resonant flow of a fluid. J. Fluid Mech. 1990. V. 21. P. 263 - 287.

81. Maxworthy T. Experiments on collisions between solitary waves. J. Fluid Mech. 1976. V. 76. P. 177-185.

82. Miles J.W. Solitary waves. Ann. Rev. Fluid Mech. 1980. V. 12. P.11-23.

83. Redfield A.C., Miller A.R. Water levels accompanying Atlantic coast hurricanes. Meteorological Monographs. 1957. V.2. № 10. P. 1-23.

84. Renouard D. P., Seabro - Santos F.J., Temperville A. M. Experimental study of the generation, damping and reflexion of a solitary wave. Dynamics of Atmospheres and Oceans. 1985. 9. P.341 - 358.

tin

85. Russell J.S. Report on waves. In : Rep. 14 Meeting of the British Association for the Advancement of Science. John Murray. London. 1844. P.311-390.

86. Seabro - Santos F.J., Temperville A. M., Renouard D. P. European J. of Mech. B/Fluids. 1989. 8. No.2. P.103-115.

87. Seabro - Santos F.J., Renouard D. P., Temperville A. M. Annales Geophysicae. 1988. 6(6). P.671 - 680.

88. Schwartz L.W., Fenton J.D. Strongly non linear waves. Ann. Rev. Fluid Mech. 1982. V.14. p.39-60.

89. Witting J. On the highest and other solitary waves. SIAM J. Appl. Math. 1975. V.28. p.700-719.

90. Weidman P.D., Maxworthy T. Experiments on strong interactions between solitary waves. J. Fluid Mech. 1978, V. 85. Part 3. P.417-431.

91. Wu D.M., Wu T.Y. Three-dimensional nonlinear long waves due to moving surface pressure. In Proc. 14th Symp. on Naval Hydrodynamics. Ann Arbor. 1982.

92. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of "solitons" in a collision-less plasma and the recurrence of initial states. Phys. Rev. Lett. 1965. V.15, P.240 - 243.