Исследование нестационарных режимов конвективного теплопереноса в замкнутых вращающихся областях при наличии локальных источников энергии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Михайленко Степан Андреевич

• Михайленко Степан Андреевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Михайленко Степан Андреевич

Введение

1 Современные исследования конвективного тепломассопереноса во вращающихся областях

2 Численное исследование конвективного теплообмена во вращающихся двумерных и трехмерных областях

2.1 Геометрические и физические модели

2.2 Математическая постановка задачи

2.3 Начальные и граничные условия

2.4 Модель поверхностного излучения

2.5 Краткое описание численных методов

2.6 Решение уравнения Пуассона для функции тока и компонент векторного потенциала

2.7 Решение уравнения дисперсии завихренности

2.8 Решение уравнения энергии

2.9 Тестовые задачи

2.9.1 Естественная конвекция во вращающейся дифференциально-обогреваемой квадратной полости

2.9.2 Естественная конвекция и тепловое поверхностное излучение

в замкнутой квадратной полости

2.9.3 Естественная конвекция во вращающейся дифференциально-обогреваемой кубической полости

2.9.4 Влияние сеточных параметров

3 Результаты исследований

3.1 Естественная конвекция и поверхностное излучение во вращающейся дифференциально-обогреваемой квадратной полости

3.2 Естественная конвекция и поверхностное излучение во вращающейся квадратной полости с изотермическим источником энергии

3.3 Естественная конвекция и поверхностное излучение во вращающейся квадратной полости с тепловыделяющим источником энергии

3.4 Естественная конвекция и поверхностное излучение во вращающейся квадратной полости при наличии элемента переменной плотности объемного тепловыделения

3.5 Естественная конвекция и поверхностное излучение во вращающейся квадратной полости при наличии элемента переменной плотности объемного тепловыделения и теплопроводной подложки

3.6 Естественная конвекция во вращающейся дифференциально-обогреваемой кубической полости

3.7 Естественная конвекция и поверхностное излучение во вращающейся дифференциально-обогреваемой кубической полости

3.8 Естественная конвекция и поверхностное излучение во вращающейся кубической полости с источником энергии

Заключение

Список литературы

133

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование нестационарных режимов конвективного теплопереноса в замкнутых вращающихся областях при наличии локальных источников энергии»

Общая характеристика работы.

Актуальность исследования.

Исследования естественной конвекции играют важную роль во множестве технических процессов и представляют большой интерес в широком спектре современных технологий. Не меньший интерес представляет изучение влияния вращения на теплообмен в различных инженерных системах. Такие системы можно встретить при проектировании роторных теплообменников [1-4], электродвигателей [5], солнечных концентраторов [6], систем охлаждения электронного оборудования [7, 8], выращивании кристаллов [9- 11], в металлургии [12], а также в космической отрасли в условиях микрогравитации [13] и во многих других прикладных задачах.

Существует множество работ, посвященных исследованию естественной конвекции в условиях вращения, например [14-17]. В работе [14] были проведены эксперименты по анализу влияния вращения на параметры течения и теплообмена в канале. Эксперименты показали, что вращение уменьшает среднее число Нуссельта. В [15] исследована естественная конвекция в двухмерной дифференциально-обогреваемой квадратной вращающейся полости. Авторы показали, что в случае постоянной угловой скорости увеличение градиента температуры между изотермическими стенками влияет только на амплитуду колебаний интенсивности теплообмена, в то время как период колебаний остается прежним.

Большинство работ посвящено исследованию физических процессов в плоских областях. Использование пространственных моделей позволяет получить более подробные результаты, исключающие ограничения двумерных моделей. Например, в [16] проведены численные и натурные эксперименты, посвященные естественной конвекции во вращающейся кубической полости. Показано, что сильное вращение (до 453 оборотов в минуту) может дестабилизировать течение в полости.

Известно, что интенсивное вращение подавляет конвективный теплообмен [17]. При таких условиях стоит принимать во внимание теплообмен другими механизмами. Так, например, теплообмен излучением может улучшить охлаждение нагревающихся элементов и интенсифицировать теплоотвод. В [18, 19] представлены задачи, показывающие влияние излучения на общий теплообмен. В [18] исследован конвективно-радиационный теплообмен в квадратной полости. Установлено, что при учете поверхностного излучения наблюдается изменение среднего конвективного числа Нуссельта, но с увеличением коэффициента излучения происходит лишь незначительное изменение этого параметра. В [19] исследована естественная конвекция в открытой полости с тремя изотермическими источниками. Установлено, что в случае использования поверхностей с высокой излучательной способностью можно добиться усиления теплообмена на 37%.

Распространены исследования теплопроводных и тепловыделяющих источников, что по сравнению с изотермическими источниками позволяет оценить среднюю температуру таких нагревателей и указать возможные пути снижения этой температуры. Так в [20] рассмотрена сопряженная смешанная конвекция с поверхностным излучением в горизонтальном канале с тепловыделяющими источниками. Показано, что использование теплопроводных стенок также позволяет интенсифицировать теплоотвод от источника энергии. В [21] проведено исследование сопряженной вынужденной конвекции от нагревающихся элементов, расположенных на теплопроводной подложке. В ходе натурного эксперимента показано, что температура поверхности тепловых источников уменьшается с ростом теплопроводности подложки.

Часто при эксплуатации различных устройств нагревающиеся узлы не имеют постоянную температуру. Поэтому становится важным исследование влияния изменяющегося во времени режима нагрева. Например, в [22] исследована естественная конвекция в наклонной полости с переменной температурой стенки. Результаты показывают, что увеличение частоты колебаний

температуры стенки приводит к уменьшению амплитуды колебания числа Нуссельта.

Приведенный краткий обзор отражает актуальность рассматриваемой темы диссертации.

Степень разработанности темы исследования. Исследования естественной конвекции и поверхностного излучения отражены в многочисленных работах российских и зарубежных исследователей. Однако в трудах этих ученых редко рассматривается взаимное влияние вращения и излучения на теплообмен. Большинство опубликованных работ посвящено двумерным численным исследованиям, в то время как изучение пространственных режимов является наиболее ценным. Принимая во внимание вышеизложенное, возникает необходимость проведения детального анализа влияния вращения на конвективный и радиационный теплообмен в плоских и пространственных областях.

Целью данной диссертации является математическое моделирование нестационарных режимов естественной конвекции во вращающихся плоских и пространственных областях при наличии локальных источников энергии в условиях радиационного теплообмена. Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

• формулировка плоских и пространственных математических моделей, описывающих конвективно-радиационный теплообмен во вращающихся областях с тепловыми источниками энергии с использованием преобразованных переменных «функция тока - завихренность» в двумерном случае и «векторный потенциал - вектор завихренности» в трехмерном случае;

• разработка численных алгоритмов на основе метода конечных разностей и их программная реализация в двумерном и трехмерном случаях;

• проведение анализа полученных данных с целью установления основных зависимостей между определяющими гидродинамику и теплообмен параметрами и исследуемыми режимами тепломассопереноса.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

• разработаны новые математические модели естественной конвекции с учетом влияния вращения и теплового излучения в двумерных и трехмерных постановках с использованием преобразованных переменных;

• впервые проведен детальный многопараметрический анализ режимов конвективно-радиационного теплообмена в условиях вращения в двумерных и трехмерных областях.

• определены условия интенсификации и ослабления теплообмена внутри вращающихся двумерных и трехмерных областей.

Теоретическая и практическая значимость работы:

Полученные результаты представляют ценность, как для фундаментальной науки, так и могут быть использованы на практике. Теоретическая значимость заключается в разработке новых математических моделей и проведении детального анализа в широком диапазоне изменения определяющих параметров, позволяющего установить картину развития физических явлений. Практическая значимость достигается за счет возможности использования полученных результатов при проектировании устройств, имеющих конструктивные вращающиеся элементы, или устройств, подвергающихся вращению в процессе эксплуатации. Разработанные математические модели и вычислительные коды позволяют проводить обширные исследования в области естественной конвекции и теплового излучения и помогают более углубленно понять суть исследуемых физических явлений.

Исследования, проводимые при написании диссертации, были выполнены в рамках реализации в рамках проектов № 17-79-20141 «Моделирование активных и пассивных систем охлаждения тепловыделяющих элементов в электронике и энергетике», выполненный при поддержке Российского научного фонда (20172020 гг., руководитель - М. А. Шеремет, в числе соисполнителей С. А. Михайленко), № 19-79-00296 «Математическое моделирование сложного теплообмена в строительных сооружениях», выполненный при поддержке Российского научного фонда (2019-2021 гг., руководитель -

И. В. Мирошниченко, в числе соисполнителей С. А. Михайленко), № МД-821.2019.8 «Математическое моделирование сложного теплообмена в технологических областях с тепловыделяющими элементами», выполненный при поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации (2019 г., руководитель - М. А. Шеремет, в числе соисполнителей - С. А. Михайленко), государственного задания № 13.9724.2017/БЧ «Способы интенсификации конвективного теплопереноса в замкнутых и полуоткрытых системах», (20002000 гг., руководитель - М. А. Шеремет, исполнитель - С. А. Михайленко), проекта № 19-48-703034 «Численные исследования сопряженного тепломассопереноса в системах охлаждения электронной аппаратуры на основе материалов с фазовыми переходами», выполненный при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (2019 г., руководитель - Н. С. Бондарева, в числе соисполнителей С. А. Михайленко), государственного задания № FSWM-2020-0036 «Разработка фундаментальных физико-математических моделей высокоэнергетических теплофизических и физико-механических процессов в природе, технике и технологиях», (2020-2024 гг., руководитель - А.Ю.Крайнов, в числе соисполнителей - С. А. Михайленко) и проекта № 20-31-90081 «Влияние вращения и поверхностного излучения на охлаждение тепловыделяющих элементов в замкнутых пространственных областях», выполненный при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (2020 г., руководитель - М. А. Шеремет, в числе соисполнителей С. А. Михайленко).

Личный вклад автора. Совместно с научным руководителем было выбрано направление исследований, сформулированы физические и математические постановки исследуемых проблем, подобраны численные методы для построения расчетов. Автором лично проработаны вычислительные программные коды, проведены многопараметрические расчеты, получены результаты и проанализированы физические закономерности.

Методы и подходы, используемые в диссертации. Исследования проводились на основе численных методов механики жидкости и газа и вычислительной теплофизики. При проведении численных исследований

нестационарных режимов конвективного теплообмена во вращающихся областях использовался метод конечных разностей. Дополнительный теплообмен между стенками полости и источниками энергии проанализирован в приближении поверхностного излучения. Конечно-разностные уравнения решались известными вычислительными методами на основе собственного разработанного программного кода.

Достоверность результатов, включенных в диссертационную работу, обеспечивается использованием классических уравнений Навье-Стокса при построении математических моделей и применением широко распространённых численных методов механики жидкости и газа. Разработанные математические модели и вычислительные алгоритмы верифицированы с помощью полученных другими авторами результатов численных и натурных экспериментов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели нестационарных режимов конвективно-радиационного теплообмена во вращающихся двумерных и трехмерных областях, сформулированные с использованием преобразованных переменных «функция тока - завихренность» в двумерном случае и «векторный потенциал - вектор завихренности» в трехмерном случае.

2. Результаты исследований нестационарных режимов конвективно-радиационного теплообмена в двумерных и трехмерных вращающихся областях при наличии изотермических и тепловыделяющих источников энергии.

Апробация работы. Основные результаты исследований обсуждались на 23 всероссийских и международных конференциях: Международная молодежная научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики» (2016, 2019, Томск), V Международный молодёжный форум «Интеллектуальные энергосистемы» (2017, Томск), Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» (2017, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023, Томск), Всероссийская конференция молодых ученых-механиков (2018, 2021 Сочи), Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 140-летию

Томского государственного университета и 70-летию механико-математического факультета (2018, Томск), Всероссийская молодежная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Все грани математики и механики» (2019, Томск), Школа-семинар молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках» (2019, Москва, 2021, Екатеринбург, 2023, Казань), 2nd International Conference on Numerical Modelling in Engineering (2019, Пекин, Китай), XVI Всероссийская школа-конференции молодых ученых с международным участием «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (2020, Новосибирск), 2nd National and 1st International Conference on Advances in Fluid Flow and Thermal Sciences (ICAFFTS-2021) (2021, Индия), 4th International Conference on Frontiers in Industrial and Applied Mathematics (2021, Индия), XVI Минский международный форум по тепломассообмену (2022, Минск, Беларусь), 5th International Symposium on Convective Heat and Mass Transfer (2022, Турция), Российская национальная конференция по теплообмену (2022, Москва).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 26 работ, в том числе 7 статей в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (из них 6 статей в зарубежных научных журналах, входящих в Web of Science, 1 статья в российском научном журнале, переводная версия которого входит в Scopus), 13 публикаций в сборниках материалов международных и всероссийских научных конференций, 1 статья в прочем научном журнале; получено 5 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ. В опубликованных работах достаточно полно изложены материалы диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы, включающего 154 источника. Текст изложен на 152 страницах, включая 73 рисунка и 3 таблицы. Работа

выполнена в научно-исследовательской лаборатории моделирования процессов конвективного тепломассопереноса и на кафедре теоретической механики в Национальном исследовательском Томском государственным университете.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность и востребованность темы диссертации, изложены цели, сформулированы научная новизна и практическая значимость результатов исследования, определены положения, выносимые на защиту, приведена структура диссертационной работы.

В первой главе проведен анализ современного состояния исследований ламинарных режимов естественной конвекции в замкнутых вращающихся областях.

Во второй главе представлены двумерные и трехмерные математические модели конвективно-радиационного теплообмена во вращающихся областях. Приведены физические и геометрические постановки рассматриваемых задач в плоском и пространственном случаях. Описаны методы и вычислительные схемы, используемые для проведения исследований. Проведено рассмотрение результатов решения тестовых задач и сравнение полученных данных с результатами численных и натурных экспериментов других авторов. Представлен анализ влияния сеточных параметров на полученные результаты.

В третьей главе представлены результаты многопараметрических исследований естественной конвекции в условиях радиационного теплообмена во вращающихся двумерных и трехмерных областях. Двумерные исследования посвящены анализу режимов естественной конвекции в условиях теплообмена излучением во вращающейся дифференциально-обогреваемой квадратной полости [23], во вращающейся квадратной полости с изотермическим источником энергии [24], во вращающейся квадратной полости с источником постоянного объемного тепловыделения [25], во вращающейся квадратной полости с источником переменного объемного тепловыделения [26], во вращающейся квадратной полости с источником переменного объемного тепловыделения и теплопроводной подложкой [27]. Трехмерные исследования посвящены анализу режимов естественной конвекции во

вращающейся дифференциально-обогреваемой кубической полости [28], во вращающейся дифференциально-обогреваемой кубической полости с учетом поверхностного излучения [29], во вращающейся кубической полости с источником энергии с учетом поверхностного излучения [30]. Описаны зависимости характеристик теплообмена от определяющих параметров.

В заключении приводятся основные выводы.

1 Современные исследования конвективного тепломассопереноса во

вращающихся областях

Знания о течениях жидкостей и теплообмене необходимы для реализации потребностей современного человека во всех сферах его жизнедеятельности. На сегодняшний день результаты исследований конвективного тепломассопереноса находят применения во множестве технических и природных систем. Большую пользу может принести изучение влияния вращения на течения жидкости и теплообмен. Применение таких знаний возможно как при прогнозировании циклонов и других природных явлений, так и при производстве бытовых приборов.

В данной диссертации проводятся исследования конвективно-радиационного теплообмена во вращающихся областях. Необходимость проведения подобных исследований возникает из-за широкого распространения различных устройств и современных технологий, тесно связанных с вращающимися системами. Вращающиеся системы можно встретить при проектировании различных роторных теплообменников, электродвигателей, солнечных концентраторов, систем охлаждения, в том числе электронного оборудования, а также при выращивании кристаллов, в металлургии, в космической отрасли в условиях микрогравитации.

Существует множество устройств или технологических процессов, при которых продуцируется большое количество тепловой энергии. Для стабильной и длительной работы необходимо отвести избыточную энергию от поверхности важных нагревающихся узлов. В этом могут помочь современные системы охлаждения. Разрабатывается множество теплообменников, которые подвергаются вращению для усиления теплообмена между рабочей и охлаждающей жидкостями. На рисунке 1.1 показаны примеры различных видов теплообменников.

Рисунок 1.1 - Примеры роторных теплообменников [1,4]

Интересной областью применения вращения является выращивание кристаллов [9, 10]. Давно известен метод Чохральского выращивания кристаллов [11], который используется сегодня для производства монокристаллов для нужд полупроводниковой промышленности. Этот метод позволяет получать чистые кристаллы большого размера, а разработанная технология помогает контролировать их геометрическую форму. Для этого используется тигель (рисунок 1.2), который подвергают вращению вокруг вертикальной оси. Это способствует выравниванию температуры на границе кристалла и улучшению гидродинамических условий процесса.

Рисунок 1.2 - Схема выращивания объемного монокристалла [11]

Влияние вращения на теплообмен также важно учитывать при проектировании электромоторов [5]. При эксплуатации различных электродвигателей и моторов внутренние температуры должны быть предсказаны для исключения перегрева устройства. Помимо технической исправности, важно учитывать, что температура будет влиять на КПД двигателя в силу изменения с температурой удельного сопротивления медных обмоток.

Не менее распространённым приложением является охлаждение электронного оборудования [7, 8, 13]. За счет протекающих токов происходит нагрев различных чипов и элементов электроники. При этом важно соблюдать оптимальные температурные условия для работоспособности электронного устройства, перегрев которого приведет к потере эксплуатационных свойств или вовсе выходу из строя. На рисунке 1.3 приведен пример охлаждаемого элемента электронной аппаратуры и тестового стенда [7].

а - модель электронной платы с базовыми узлами, б - тестовый стенд Рисунок 1.3 - Охлаждение электронного оборудования [7]

При моделировании естественной конвекции под воздействием вращения важным объектом исследования является влияние инерционных сил. Большинство работ отражают более значимое воздействие силы Кориолиса, в то время как влияние центробежной силы не так существенно. Например, в работе [31] исследовано влияние волнистых поверхностей на турбулентную вынужденную конвекцию в условиях вращения. Авторами рассмотрены

симметричные и асимметричные каналы с волнистыми стенками. При моделировании турбулентных течений использовался метод ЯЛ^. Расчеты проводились для скоростей вращения от 0 до 1000 об/мин. Установлено, что вращение оказывает сильное влияние на структуру течения и параметры теплообмена. Сила Кориолиса увеличивает передачу энергии на нижнюю стенку по мере увеличения скорости вращения. Влияние центробежных сил и сил Кориолиса на конвективный теплообмен в двумерной полости представлен в [17]. Авторы показали, что влияние силы Кориолиса незначительно, но в то же время достаточно, а влияние центробежной силы на теплообмен мало (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 - Влияние инерционных сил на локальные числа Нуссельта при угле поворота полости 270°, Яа=1.2х105 и Рг=0.7 [17]

Численный анализ естественной конвекции во вращающейся пористой полости был выполнен в [32]. Авторы показали, что в средах с высокой пористостью наблюдаются более слабые течения, когда влияние силы Кориолиса меньше влияния тепловой выталкивающей силы. Также показано, что скорость теплообмена уменьшается с увеличением числа Тейлора. В [33] численно исследован конвективный теплообмен жидкости с низким числом Прандтля во вращающейся квадратной полости. Полученные результаты показали, что усиление или ухудшение теплообмена может быть достигнуто за счет вращательных эффектов, обусловленных влиянием центробежной силы. В [34] исследована естественная конвекция во вращающейся прямоугольной полости с частично активными боковыми стенками. Центральная часть левой вертикальной стенки нагревается, в то время как центральная часть правой вертикальной стенки охлаждается. Установлено, что теплообмен усиливается с увеличением отношения длины к ширине.

В большинстве случаев при вращении с постоянной угловой скоростью наблюдаются режимы теплообмена, характеризующиеся периодическими изменениями, но могут возникать и непериодические режимы. Например, исследование естественной конвекции во вращающейся полости с источниками тепловой энергии было проведено в [35]. Полость имеет три ряда тепловых источников на боковой стенке и охлаждаемую противоположную стенку. Были установлены три возможных режима теплообмена, включая периодические колебания и хаотические колебания (рисунок 1.5).

2 2 5' ' 1 1 1 1 1 1 ' ' ............ I ■ ....... I I , I "

0123456789 10 ' 0 б 12 18 24 30 36 0 25 50 75 100 125 150 175

Количество оборотов Количество оборотов Количество оборотов

а - однооборотные периодические колебания, б - многооборотные периодические

колебания, в - хаотические колебания Рисунок 1.5 - Физически реализуемые режимы колебаний [35]

Влияние вращения на тепловую конвекцию жидкости с переменной вязкостью внутри пористой среды исследовалось в [36]. Авторами получены результаты, которые отражают отсутствие колебательной конвекции. В этом случае пористый материал препятствовал образованию периодических течений. Исследование теплообмена и течения жидкости во вращающейся полости с дифференциально-обогреваемыми стенками было проведено в [37]. Авторами установлено, что конвективное течение может быть периодическим во времени, квазипериодическим или достигать стационарного состояния. Показано, что вклад кориолисовой силы более значителен, чем центробежной.

Не менее интересными работами являются исследования, посвященные анализу влияния вращения на интенсивность теплообмена. Например, теплообмен в оребренном вращающемся канале был экспериментально исследован в [1]. Рассмотрены две модели каналов с шахматным и линейным расположением ребер. Выявлено, что интенсивность теплообмена в не подверженном вращению канале выше на 25-30 % для шахматного расположения ребер. В то же время вращение привело к увеличению интенсивности теплообмена на 93% при линейном расположении ребер, а в шахматном расположении рост интенсивности теплообмена произошел только на 22%. В [6] проанализирована естественная конвекция во вращающейся полости для систем аккумулирования солнечной энергии. Авторы показали, что конвективные потери для солнечных установок

можно уменьшить не более чем на 10% за счет вращения. В работе [7] экспериментально и численно исследован теплообмен во вращающейся полости с локальными источниками энергии. Авторами разработан экспериментальный стенд и программа численного моделирования для исследования охлаждения вращающихся электронных систем. Установлено формирование периодических режимов теплообмена. Конвекция в длинной вращающейся пористой полости была исследована в [38]. Автором рассмотрены два типа граничных условий, в том числе теплопроводные и адиабатические стенки. Показано, что в зависимости от выбора типа граничных условий могут возникать различные вторичные циркуляции в виде одного или двух вихрей. Влияние силы Кориолиса на возникновение конвекции во вращающихся пористых средах исследовано в [39]. Рассмотрен случай, когда твердая и жидкая фазы не находятся в локальном тепловом равновесии. Установлено, что вращение стабилизирует конвекцию в пористом слое. Показано, что во вращающихся областях критическое число Рэлея для возникновения конвекции значительно растет при увеличении числа Тейлора в случае высоких значений коэффициента межфазного теплообмена.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Михайленко Степан Андреевич, 2023 год

на источнике;

±

Также на рисунке 2.1в представлена область решения задачи естественной конвекции и поверхностного излучения во вращающейся квадратной полости с источником, тепловыделение которого непостоянно и зависит от времени [26].

Для проведения анализа влияния тепловыделяющего источника переменного объемного тепловыделения к системе уравнений (2.16) - (2.18) добавлено уравнение теплопроводности, источниковый член которого представляет собой периодическую зависимость от безразмерного времени с частотой /

ае

ах

Ргл/га

га2е | а2е |

ах2 + ау2 + 2

211 -81п (/ х)}

(2.56)

В случае естественной конвекции и поверхностного излучения во вращающейся квадратной полости с источником переменного тепловыделения граничные условия выглядят следующим образом:

Л2

У = 0, ю = 0 = 0 при X = -0.5 и X = 0.5, -0.5 <у <0.5;

Эх2

у = 0, ю = -|^, ^ = ±N,0. при у = -0.5 и у = 0.5, - 0.5 < х < 0.5; (2.57)

у = 0, ю = -

Эу2 ' Эу ^^

Э2у Эп2 '

= 0 /

Э0Ь _50 /

^ / Эп Эп

на источнике;

± N«£.«1

На рисунке 2.1г представлена область решения задачи естественной конвекции и поверхностного излучения во вращающейся квадратной полости с источником объемного тепловыделения и теплопроводной подложкой [27].

Для проведения анализа влияния теплопроводной подложки к системе уравнений (2.16)-(2.18), помимо уравнения теплопроводности для источника (2.56), добавляется уравнение теплопроводности для нижней стенки, которое выглядит как:

Э0 = ^/о/.

Эх Ргл/Тй

г Э20 | Э20^ ,Эх2 + Эу2 ,

(2.58)

В случае естественной конвекции и поверхностного излучения во вращающейся квадратной полости с теплопроводной подложкой для определения температуры на границах подложки и источника также применяются граничные условия четвертого рода.

Безразмерные граничные условия записываются в следующем виде:

я2

у = 0, ю = 0 = 0 при х = -0.5 и х = 0.5, -0.5 <у < 0.5;

у = 0, ю

ах2 а2у а0

ау2' ау ' га^гаё

на границе источник-жидкость:

^ = при у = 0.5, -0.5 < х <0.5

у = 0, ю

а 2у а«2:

0Ь = 0 /

а0,, = 56/

х / а« а«

± КыбпШ

на границе теплопроводная стенка-жидкость:

0™ = 0

л а2у

у = 0, Ю = - —

ау2

V

х а0 а0,

Ху ау ау

^гаёбгаё

на границе теплопроводная стенка-источник:

0™ = 0Ь

(2.59)

ау ау

На рисунке 2.1д представлена область решения задачи естественной конвекции в дифференциально-обогреваемой вращающейся кубической полости [28]. В данной постановке безразмерные граничные условия следующие:

^ = ^ = У* = 0, ю = ^2У, 0 = 1 ах '

при х = -0.5 , -0.5<у<0.5и-0.5<г<0.5;

^ = ^у = ^г = 0, со = -У2у, 0 = 0

ах у

при х = 0.5, - 0.5 < у < 0.5 и - 0.5 < г < 0.5;

V х = ^ = V г = 0, сс = -У2у, ау = 0 (2.60)

ау ау

при у = -0.5 и у = 0.5, - 0.5 < х < 0.5и - 0.5 < г < 0.5;

ау. _ с ^ с а0 Л

Ух = У у = ^ = 0, ю = -У2у, — = 0

при г = -0.5 и г = 0.5, -0.5<у<0.5и-0.5<х<0.5;

Рисунок 2.1 д также отражает геометрическую постановку для задачи конвективно-радиационного теплообмена в дифференциально-обогреваемой кубической полости [29].

В этом случае между стенками происходит теплообмен с помощью механизма излучения, а граничные условия выглядят следующим образом:

^ = ^ = ^ = 0, Й = -У2^, 0 = 1

Эх '

при х = -0.5 , -0.5<у<0.5и-0.5<г<0.5;

^ = ^у = ^г = 0, со = -У2у, 0 = 0 Эх у

при х = 0.5, - 0.5 < у < 0.5 и - 0.5 < г < 0.5;

^х ^ = ^ = 0, сС = -У2ф, | = ±^^ (2.61)

при у = -0.5 и у = 0.5, - 0.5 < х < 0.5и - 0.5 < г < 0.5;

Vх =У„ ^ = 0, С = ^, | = ±^й*

при г = -0.5 и г = 0.5, -0.5<у<0.5и-0.5<х<0.5;

На рисунке 2.1 е представлена область решения задачи естественной конвекции и поверхностного излучения во вращающейся кубической полости с изотермическим источником [30]. Источник представляет собой квадрат со стороной ^=0.2Н и находится в центре нижней стенки.

В этом случае безразмерные граничные условия принимают вид:

Эу у 2

у х = —- = у г = 0, ю = -У2у, 9 = 1 на источнике;

Эу

Эу^ = у , =у г = 0, ю = -У2у, 9 = 0

при х = -0.5 и х = 0.5, - 0.5 < у < 0.5 и - 0.5 < г < 0.5;

у х = -^ = у г = 0, ю = -У2у, ЭУ = ± ^^ (2.62)

при у = -0.5 и у = 0.5, - 0.5 < х < 0.5и - 0.5 < г < 0.5;

ух =у> = ЭэТ = 0, Ю^^ § = ±^Оа*

при г = -0.5 и г = 0.5, -0.5<у<0.5и-0.5<х<0.5;

2.4 Модель поверхностного излучения

Теплообмен излучением между поверхностями основан на приближении поверхностного излучения. Среда, заполняющая полость, является прозрачной для излучения, в то время как стенки полости и источника являются диффузно-серыми поверхностями. Излучение, исходящее от одной поверхности, попадает на остальные поверхности в результате многократного переотражения с частичным поглощением тепловой энергии излучения при каждом взаимодействии с поверхностью. Для упрощения анализа используется метод сальдо [148], в котором радиационный поток (рисунок 2.2) определяется из условия

теплового баланса с использованием эффективной плотности потока излучения Я:

N

Оаа = Як -IРк-Д. , (2.63)

1=1

N ■ ' 1 + 04

Я =(1 к)1 Рк-Д. + в, (1 -С) 9, + 0.51 у , (2.64)

.=1 V 1

где Огаа,к - безразмерная плотность радиационного потока, подводимого к к-ой поверхности, Як (Я.) - плотность потока эффективного излучения для к-ой (.-ой) поверхности, Рк .. - угловой коэффициент между к-ой и .-ой поверхностями, вк -

степень черноты к-ой поверхности, N - количество поверхностей, 0к -температура к-ой поверхности, £ - температурный параметр.

Величина Огаа,к (2.63) - плотность потока, подводимого к поверхности, чтобы компенсировать поток результирующего излучения и тем самым поддержать заданную температуру поверхности. Интенсивность отраженного излучения равномерно распределена по всем поверхностям замкнутой системы. Таким образом, отраженное и собственное излучения можно объединить в одно эффективное излучение (2.64), в котором плотность потока падающего излучения складывается из частей потоков эффективного излучения всех поверхностей, достигающих к-ой поверхности.

Наиболее сложной в реализации задачей при моделировании теплообмена поверхностным излучением является расчет угловых коэффициентов между поверхностями. Угловым коэффициентом принимается доля излучения, которая исходит от одной площадки и падает на другую видимую площадку (рисунок 2.3). В двумерной модели угловые коэффициенты определяются при помощи метода натянутых нитей Хоттеля [148].

Соединяющие края поверхности штриховые линии, можно для условности назвать натянутыми нитями, тогда угловой коэффициент (2.65), будет представлять величину, являющуюся разницей между суммой пересекающихся и суммой непересекающихся нитей, деленную на удвоенную длину первой поверхности 1.

= (^ + св) - (^С + ^ (2

1-2 2АВ

В трехмерной модели угловые коэффициенты определяются с помощью вспомогательных функций [149]:

О (х, у, л, 5)

2л

(у -л)>/ х2 +^2аг^

у-л

ттг^2

(2.66)

х2 + 52-(у-Л)2

1п

х2 + 52 + (у-л)2

1

О (х, у, ц, 5) =

2л

(У - ц)>/(х +— ■ arctg

У-ц

+12

+ (х-5)х

х

>/(у -ц)2 +— ■ arctg

х -5,

л/( у-ц)

2 + ь2

г - — 1п 2

(х-$)Ч( у-ц)2 + Ь2

(2.67)

Для вычисления угловых коэффициентов используется следующее соотношение:

1 2 2 2 2

^ = 7-^-Т ШК-1Г О (х,, у, ц, 5,). (2.68)

\х2 - хЛ у2 - у1 ^ ,=1 к=1 7=1 ¿=1

В описанных трехмерных постановках задач встречаются два случая геометрического расположения поверхностей относительно друг друга -параллельные и ортогональные (рисунок 2.4). Для расчета углового коэффициента (2.68) между ортогональными площадками используется функция О(х,у,ц,5) из

(2.66). В случае параллельных площадок используется функция О(х,у,ц,5) из

(2.67).

Все доли энергии излучения от одной поверхности к остальным должны в сумме давать единицу, т.к. рассматриваемые системы являются замкнутыми.

1

а - ортогональные поверхности, б - параллельные поверхности Рисунок 2.4 - Угловые коэффициенты для разных типов поверхностей

2.5 Краткое описание численных методов

Полученные системы уравнений (2.16) - (2.18), (2.26) - (2.30), (2.36) - (2.40) и (2.46) - (2.50) с соответствующими начальными и граничными условиями решены с использованием метода конечных разностей на равномерной сетке. Исходные системы дифференциальных уравнений необходимо дискретизировать с помощью конечноразностных аппроксимаций.

Введем пространственно-временную сетку:

х = ^х у,- = А = % хт = тАх, где Ау - шаги по координатам х, у и г соответственно, Ах - шаг по времени. Для аппроксимации производных по пространственным переменным

аф ф+1,, ,к - ф-1,, ,к

воспользуемся центральными разностями: —!- =-—-— ,

ах 2^х

а 2ф = ф,+1, ,к- 2ф; ,,к + ф,-1, , ,к ах2 ¿х2 .

Для аппроксимации производных по времени применяются разностные

и+1

„ Эф Ф,,jЛ - ф,,j,k отношения "вперед" —L = ——-—.

Эх Ах

Уравнения Пуассона для функции тока (2.16) и компонент векторного потенциала (2.26), (2.36), (2.46) решаются с использованием метода последовательной верхней релаксации. Уравнения движения (2.17), (2.27 - 2.29), (2.37 - 2.39), (2.47 - 2.49) и уравнения энергии (2.18), (2.30), (2.40), (2.50) решаются на основе локально-одномерной схемы А.А. Самарского [150]. При аппроксимации диффузионных членов применяются центральные разности, при аппроксимации конвективных слагаемых используется монотонная аппроксимация А.А. Самарского. Для решения полученных систем линейных алгебраических уравнений применяется метод прогонки.

Для описания интегрального теплообмена за счет конвекции и излучения использовались среднее конвективное число Нуссельта и среднее радиационное число Нуссельта, соответственно.

В случае двумерных задач с дифференциально-обогреваемыми стенками средние конвективное и радиационное числа Нуссельта рассматривались на левой нагреваемой стенке:

— ¡. ае

Ми«™ = — ф (2.69)

0 ах х=-0.5

^^ = ^ |й* I=-0.5 ^ (2.70)

0

В случае двумерных задач с источником на нижней стенке интенсивность теплообмена оценивалась на поверхности источника:

__1 / ^А __Д7" /

м«™ =-у ¿С, = I (2.71)

/ 0 ап / 0

В случае трехмерных задач также было рассмотрено полное число Нуссельта. В случае постановки с дифференциально-обогреваемыми стенками, оценка проводилась на левой нагреваемой стенке, средние числа Нуссельта при этом выглядят следующим образом:

0.5 0.5

-0.5 -0.5

ае

ах

(2.72)

х=-0.5

__0.5 0.5

= ^ I I егай|х=-0.5 (2.73)

-0.5 -0.5

^И/о/в/ = ^ИСОИу + (2.74)

В случае трехмерной постановки с источником энергии оценка интенсивности теплообмена проводилась на его поверхности:

ЛТ 1 0.10.1 50

0 04 I I 5У -0.1-0.1 у

у—-0.5

Л^гаО — Л

0.1 0.1

_ гаО

0.04

-0.1-0.1

!>•—-0.5

(2.75)

(2.76)

2.6 Решение уравнения Пуассона для функции тока и компонент векторного

потенциала

Уравнение Пуассона решается отдельно от уравнений движения и энергии [151]. Аппроксимация вторых производных осуществляется с помощью центральных разностей.

В случае двумерной модели:

5У — ¥,+1,з - 2¥,,з + ¥,-1,з 52¥ — ¥,,3+1 - 2¥,,7 + ¥,,3-1 эх2 А,2 ' Эу2 А/

Подставим в уравнение (2.16) и получим:

(2.77)

¥ ,+1,3 - 2¥ ,,з + ¥ м,з + ¥ ,,з+1 - 2¥ ,,з + ¥ ,,з-1

-о--1--о- _ _Ю, ,

А2 V "

В случае трехмерной модели (2.26), (2.36), (2.46):

— -©,, з (2.78)

¥/

2¥/,,з,к + ¥/,-1,з,к , ¥/,,з+1,к - 2¥/,,з,к + ¥/,,з-1

А,

¥/,,з,к+1 - 2¥/,,з,к + ¥/,,з,к-1 — _

А

ю

/ г,з,к '

А

/ — х, у, г

(2.79)

к

2

2

2

Далее следует выразить функцию тока При решении разностного

уравнения Пуассона применяется метод последовательной верхней релаксации.

=< j k+4 ^, j - < j )

(2.80)

При этом необходимо организовать итерационный процесс. Значение параметра релаксации % может варьироваться от 1 до 2 и подбирается опытным путем.

Вычисления проводятся, пока не выполнится условие сходимости:

max

<s

(2.81)

2.7 Решение уравнения дисперсии завихренности

В двумерном случае уравнение дисперсии завихренности (2.17) записывается в виде:

дю дю _ дю 1 — + и— + 3— = —;= дг дх ду \jTa

{ л2 Л

д ю д ю

+

v дх ду ,

+

+

Ra

Pr • Ta

, чд0 . , ,д0

cos (r)--sm (r)—

v дх v ' ду

(2.82)

При этом пренебрегаем слагаемым, отвечающим за центробежную силу, вследствие его незначительного влияния, что показано в работе [17].

При решении уравнения применяется локально-одномерная схема А.А. Самарского, при этом целый шаг по времени разбивается на два шага - по одному на каждую из осей:

дю ör

и+0.5

+ и

дю 1 д 2ю Ra

■ + •

д0

дю dx

n+1

+ 0

- I— 2 1 cos(x)- ,

дх VTa дх PrTa dx

дю 1 д 2ю Ra . , ч д0

— = ^= —г---sin(x)—.

ду VTa ду PrTa ду

(2.83)

(2.84)

Дискретное уравнение выглядит следующим образом:

г'J г'J + и,. . -J-1 иг,. | ,,J '-1J

Ах

,, j

2h

2h

1 / 7 ,,«+0.5 ^ и+0.5 . n+0.5 Л Л n

1 Л , , ^ ю,+1,j - 2ю,,j +ю,-1,j + 0,+i,j - 0,-i,j Ra cos(t),

(2.85)

1+1 и, J | л/jä-

v

2

у

h

2h PrTa

ю"? -ю"+

г'J г,J - + 0.

Ах

j

ю - ю ю. .+, -2ю. . + ю

I +1 г j-1 | 0 | '■> 'J i -1

2h,.

2h,.

у у

я+1 . „и+1

1+ I 0,,j -2 2

h„ V1 ю j - 2ю;,J + ю;,J.-1 - 0г,J+1 - 0г,J-1 Ra sin(x).

(2.86)

h

2

2h, PrTa

1

Затем уравнения приводятся к стандартному трехдиагональному виду и решаются методом прогонки [152].

Аналогичным способом поступаем в случае трехмерной задачи, разделяя шаг по времени на три промежуточных, соответствующих трем координатным осям.

2.8 Решение уравнения энергии

Локально-одномерная схема А.А. Самарского также применяется при решении уравнений энергии (2.18), (2.30), (2.40), (2.50) с использованием монотонной аппроксимации Самарского для конвективных слагаемых и центральных разностей - для диффузионных членов. Полученные системы уравнений решаются методом прогонки.

На первом промежуточном временном слое имеем:

ае

ах

п+0.5

ае

+ и— =

1 а2е

ах Рг^та ах2

(2.87)

Тогда дискретное уравнение выглядит следующим образом:

0И+О.5 0И

дп+0.5 _ дп+0.5

,,/ I *,п ¿+1,./ ¿-1,1

+ и

х 1

г, /

Ргу[Га

1 +

и

2^х

НРг4Та

ии

) п+0.5 ооп+0.5 . оп+0.5 ,+1,/ - 2е,,/ +е,-1,/

2И

-1

п ' "х-

2

0п+0.5 ооп+0.5 . оп+0.5

,+1,/ - 2е,,/ +е,-и

(2.88)

А

Таким же образом поступаем на целом временном слое:

ае п+1 пае 1 а 2е — —=—,=—2

ах ау Рг^Та ду2

(2.89)

дп+1 дп+0.5 ДП+1

,,/ ¿,/ + ^п, / ¿,/+1

е

п+1

,,/■-1

х

2Иу

3

е

п+1 ,,/+1

29п+1+е

г,/

п+1

г, / -1

Ргу/Та

1 +

ИРгу/Та

-1

2

г,1

2Иу

п+1

е" ■+1 - 2е" / + /_1

И2

(2.90)

п

1

В случае трехмерной задачи, как и для решения уравнения движения, целый временной шаг делится на три - по одному шагу для каждой из координатных осей [152].

2.9 Тестовые задачи

2.9.1 Естественная конвекция во вращающейся дифференциально-обогреваемой квадратной полости

Разработанные математические модели и используемые вычислительные методы были верифицированы с помощью решения тестовых задач и результатов, полученных другими авторами.

В первую очередь была проверена модель конвективного теплообмена и течения жидкости в условиях вращения. Была решена задача естественной конвекции в квадратной вращающейся полости. На рисунке 2.5 изображена вращающаяся вокруг оси с постоянной угловой скоростью квадратная полость, заполненная воздухом. Верхняя стенка полости подвержена нагреву при постоянной температуре, в то время как нижняя стенка подвержена постоянному охлаждению. Температура на вертикальных стенках изменяется по линейному закону от ТИ до Тс.

Рисунок 2.5 - Геометрическая постановка тестовой задачи

На рисунке 2.6 изображено сравнение изотерм при различных углах поворота с экспериментальными [153] и численными [17] данными других авторов. Можно наблюдать хорошее согласование полученных результатов.

Ф = 0 ф=Зл/2 ф = я

а - полученные данные, б - экспериментальные данные [153], в - численные

данные [17]

Рисунок 2.6 - Сравнение изотерм для различных углов поворота полости ф при

Ра = 3105 и Рг = 0.7

2.9.2 Естественная конвекция и тепловое поверхностное излучение в

замкнутой квадратной полости

Разработанная двумерная математическая модель конвективно-радиационного теплообмена была протестирована с помощью задачи естественной конвекции и теплового излучения в квадратной полости. Полость имеет вертикальные изотермические и горизонтальные адиабатические стенки.

На рисунке 2.7 показано хорошее согласование полученных распределений изолиний функции тока и изотерм при Ра = 106, е = 0.8. Также проведено сравнение профилей температуры и горизонтальной компоненты скорости на рисунке 2.8.

а б

О 0.2 0.4 0.6 0.8 X

а - полученные данные , б - данные [154] Рисунок 2.7 - Сравнение изолиний функции тока ¥ и изотерм © при Ка = 106,

в = 0.8

ч /

-о.з -1-1-1-1-► -0.1 Ц--—I-1-1-1-►

о 0.2 0.4 0.6 0.8 У о 0.2 0.4 0.6 0.8 У