Исследование нелинейного взаимодействия волн во вращающемся океане методами гамильтоновского формализма тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 11.00.08, кандидат физико-математических наук Куркин, Андрей Александрович

• Куркин, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куркин, Андрей Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Гамильтоновское описание нелинейного взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре в слое полуограниченной вращающейся жидкости

1.1. Нормальные канонические переменные

1.2. Распадное взаимодействие волн Кельвина и Пуанкаре

Выводы к главе 1

Глава 2. Гамильтоновское описание нелинейных баротропных

волн Россби в приближении (3 - плоскости

2.1. Нормальные канонические переменные

2.2. Самовоздействие баротропных волн Россби

Выводы к главе 2

Глава 3. Гамильтоновское описание баротропных волн Россби

на сфере

3.1. Каноническая теория баротропных волн Россби на сфере

3.2. Эффекты слабонелинейного взаимодействия баротропных волн Россби на сфере

Выводы к главе 3

Заключение

Приложение 1

Приложение 2

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование нелинейного взаимодействия волн во вращающемся океане методами гамильтоновского формализма»

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы гамильтоновский подход [1], обобщенный в работах [2], [3] прочно вошел в математический арсенал современной гидродинамики и зарекомендовал себя как мощный инструмент исследования разнообразных проблем динамики в широком круге приложений. Это объясняется не только действенностью аппарата канонических преобразований, позволяющего эффективно упрощать гамильтониан взаимодействия волн среды, оставляя в нем лишь существенные члены, но и инвариантностью "устройства" записанных в нормальном представлении гамильтонианов сред по отношению к физической природе последних, если общими оказываются их дисперсии и обусловленный ими характер взаимодействия волн, что позволяет легко придавать результатам, полученным для конкретной задачи, общефизический смысл. Зародившись в недрах классической механики дискретных систем и взаимодействуя с такими математическими дисциплинами как дифференциальная геометрия, теория групп и алгебр Ли, функциональный анализ и др., гамильтоновский формализм сейчас напоминает ветвистое дерево, широкая крона которого охватывает все новые и новые области приложения.

Новый этап в его развитии наступил около трех десятилетий назад, когда произошло осознание его общефизического значе-

ния. Стало ясно, что многие консервативные теории классической физики, механики и гидродинамики использующие концепцию поля, обладают скрытой гамильтоновской структурой. В их числе оказались и системы, описываемые уравнениями гидродинамического типа, имеющие важное приложение в океанологии. Решение вопроса о гамильтоновской структуре таких уравнений имеет два традиционных подхода. Во-первых, можно попытаться непосредственно угадать для той или иной системы полный набор канонических переменных, использование которых ведет к кардинальному упрощению вычислений и прояснению существенных моментов при изучении процессов взаимодействия волн в различных нелинейных средах. При этом автоматически решается проблема формулирования вариационного принципа. Однако следует отметить, что обычно гамильтонов-ские переменные выражаются через естественные физические переменные (скорость, давление) весьма нетривиальным образом.

Альтернативным путем является прямое нахождение выражения для скобок Пуассона в "естественных" переменных. Это не дает возможность ввести вариационный принцип, но для ряда физических задач оказывается полезным. Развитию этих представлений посвящены работы Л.Д.Ландау [4], В.И.Арнольда [5], Дзялошинского и Воловина [6], а также С.П.Новикова [7]. Следует

отметить, однако, что на современном уровне классификация и систематическое изучение систем и скобок Пуассона проводится в рамках дифференциально - геометрического подхода, использование которого сужает класс исследуемых задач..

Что касается первого подхода, развитию которого посвящена и данная диссертация, то использование в качестве канонических переменных системы потенциалов Клебша было еще предложено в прошлом веке в работе [8] для описания идеальной однородной несжимаемой жидкости. Позднее, в 1932 году Х.Бейтман [9], а впоследствии независимо Б.И.Давыдов [10], распространили этот результат на сжимаемую бар о тройную жидкость. Потом, в 1953 году Ито [11] рассмотрел случай из энтропического и изотермического течений жидкости с произвольным уровнем состояния. При этом одна из канонических переменных отождествлялась с энтропией (или температурой для изотермических течений). Из этих результатов можно получить канонические переменные для несжимаемой жидкости переменной плотности, в том числе и жидкости со свободной границей, что и было сделано в работах [12], [13].

Использование выведенных ранее для жидкости канонических переменных позволило В.Е.Захарову постороить гамильтонов-скую теорию волн в нелинейных консервативных средах [1], которая успешно применялась для решения многих нелинейных за-

дач и, в частности, впервые она использовалась для исследования потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости [2]. В результате такого исследования построена теория резонансного взаимодействия поверхностных гравитационно - капиллярных волн, включающая в себя случаи распадного трехволнового взаимодействия [14], а так же детальный расчет четырехвол-новых нераспадных процессов на глубокой воде [15]. Эти общие результаты успешно используются для интерпретации реально наблюдаемых эффектов, например, для обьяснения затухания метровых поверхностных волн за счет нелинейной перекачки энергии в область капиллярных волн, где энергия эффективно диссипирует за счет молекулярной вязкости [16]. Кроме того, использование результатов этой теории дало преимущество, во-первых, при изучении волновых взаимодействий в стратифицированной сжимаемой [17] и несжимаемой [18] жидкости, во-вторых, для описания волновых движений в течениях со сдвигом [19] и взаимодействий объемных и поверхностных волн в нелинейных средах [20], а также при решении задач магнитной гидродинамики [12]. Однако наряду с этим в настоящее время необходимо дальнейшее развитие гамильтоновского формализма для исследования волновых задач, характерная особенность которых заключается в том, что здесь принципиальную роль играют эффекты, связанные с вращением среды.

При этом остается открытым вопрос о гамильтоновской структуре для уравнений, описывающих нелинейное взаимодействие волн Кельвина и Пуанкаре в слое полуограниченной вращающейся жидкости. В этой системе до сих пор не удалось ввести нормальных канонических переменных, хотя существование гамильтоновской структуры является доказанным фактом.

Развитию этого направления гамильтоновского описания волн во вращающейся жидкости в применении к задаче о нелинейном взаимодействии волн Кельвина и Пуанкаре в океане, играющих чрезвычайно важную роль в процессах переноса энергии в его пограничных областях, посвящена первая глава диссертации.

В разделе 1.1 первой главы использование преобразования Клебша [21] упростило нахождение преобразования от исходных физических переменных задачи к каноническим переменным, описывающим случай полуограниченного канала вращающейся жидкости. Их использование упростило нахождение преобразования к нормальным каноническим переменным - комплексным амплитудам взаимодействующих волн и тем самым решило задачу гамильтоновского описания нелинейного взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре в рассматриваемой модели. В разделе 1.2 данной главы благодаря построенной теории вычислены коэффициенты нелинейного взаимодействия исследуемых волн, что позволило, во-первых, изучить один из возможных не-

линейных механизмов генерации кельвиновских волн за счет резонансного взаимодействия встречных волн Кельвина с волной Пуанкаре (процессы генерации волн Кельвина исследовались ранее в основном в рамках линейных моделей [22]-[25], однако на ряду с этим было и несколько "нелинейных" работ, (см., например [26]); во-вторых, рассмотреть стабилизацию, возникающей при этом распадной неустойчивости волн Кельвина за счет фазового рассогласования взаимодействующих волн, возникающего в результате четырехволнового взаимодействия кельвиновских волн. Этот процесс, относящийся к эффектам второго приближения, удалось рассмотреть благодаря использованию построенной гамильтоновской теории, упрощающей получение матричных коэффициентов нелинейного взаимодействия.

Второе направление проводимых в данной диссертации исследований, связанное с построением гамильтоновского описания баротропных волн Россби в приближении (3 - плоскости и на сфере до сих пор остается актуальным, не смотря на то, что в последнее время появился ряд работ [27] - [35], посвященных ему. Эта актуальность определяется, как перспективностью использования россбиевских волн для теоретического описания синоптических движений, сложность которых обусловлена многообразием факторов, определяющих их динамику, так и большим колическтвом прикладных задач. Однако, заметим,

что, используемое в работах [27] - [35] в качестве исходного пункта уравнение вихря в той или иной модели, позволяет построить гамильтоновскую теорию только для волн Россби малой амплитуды, в следствии того, что полученное преобразование к нормальным каноническим переменным требует незамкнутости изолиний потенциального вихря. Построению гамильтонов-ской теории баротропных волн Россби в приближении [3 - плоскости, учитывающей тот факт, что дифференциальное вращение (¡3 - эффект) вносит в динамику анизотропию и посвящен раздел 2.1 второй главы диссертации. В разделе 2.2 этой главы в качестве примера нелинейного взаимодействия рассматриваемых волн Россби, представляющего как теоретический, так и прикладной интерес, в связи с проблемой генерации зональных течений в океане [33], рассматривается самовоздействие волн Россби в рамках эффекта модуляционной неустойчивости последних. Отметим, что полученные в разделе 2.2 численные оценки достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными только для россбиевских волн, коротких по сравнению с радиусом Земли, поскольку как уже было доказано ранее каноническая теория баротропных волн Россби в приближении ¡3 - плоскости, применима лишь в узких по сравнению с радиусом Земли широтных поясах и заведомо не описывает волны Россби с масштабами порядка этого радиуса.

Однако в виду того, что волны Россби принадлежат к числу наиболее крупномасштабных возмущений на Земле, нередко приходится отказываться от приближения (3 - плоскости и использовать сферические координаты для их описания. Обобщение гамильтоновской теории на сферические координаты, проведенное в разделе 3.1 третьей главы диссертации представляет собой нетривиальную задачу, заслуживающую самостоятельного рассмотрения. В разделе 3.2 этой главы исследуются задачи о распадной и модуляционно неустойчивостях россбиевских волн как коротких по сравнению с радиусом Земли, так и с масштабами порядка этого радиуса. Полученные в данном разделе результаты позволяют качественно описать возможную эволюцию произвольного начального состояния под влиянием слабой нелинейности.

Основные положения, выносимые на защиту:

Основные положения, выносимые на защиту, можно сгруппировать по двум направлениям: распространение методов гамиль-тоновского формализма на теорию нелинейного взаимодействия отдельных типов волн во вращающейся жидкости; изучение прикладных аспектов нелинейного взаимодействия этих волн применительно к задачам океанологии.

По первому направлению на защиту выносятся:

1. Построение канонической теории нелинейного взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре в слое однородной вращающейся жидкости.

2. Построение канонической теории баротропных волн Россби в приближении /3-плоскости.

3. Построение канонической теории баротропных россбиев-ских волн на сфере.

По второму направлению -

1. Рассчет процессов нелинейной генерации кельвиновских волн за счет резонансного взаимодействия с волной Пуанкаре.

2. Описание процесса самовоздействия баротропных волн Россби в приближении /^-плоскости.

3. Исследование эффектов слабонелинейного взаимодействия баротропных россбиевских волн на сфере.

Диссертация состоит из Введения, Трех Гнав и Заключения, Приложений. Обьем диссертации составляет 103 стр., в том числе 91 стр. основного текста. Список литературы содержит 110 наименований.

Основные положения диссертации опубликованы в работах [91]—[110].

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры прикладной математики НГТУ, кафедры теории колебаний ИНГУ, отделения гидрофизики ИПФ РАН, На-

учных конференциях ННГУ (1994, 1995, 1996, 1997, 1998 гг.), VI и VII научных сессиях Совета по нелинейной динамике РАН (г. Москва, 1995, 1996 гг.), Международной школе по нелинейным колебаниям (г. Н. Новгород, 1995 г.), I и II Нижегородских научных сессиях молодых ученых (1996, 1997 гг.), Международной конференции "Contemporary problems in theory of dynamical systems" (г. H. Новгород, 1996 г.), XXII General Assembly of European Geophysical Society (Vienna, Austria, 1997 г.), Международной конференции "Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows" (г. Москва, 1997 г.), 3rd European Fluid Mechanics Conference (Gottingen, Germany, 1997 г.), Научно-технической конференции факультета информационных систем и технологий НГТУ (Н.Новгород, 1998 г.), XXIII General Assembly of European Geophysical Society (Nice, France, 1998 г.), международная конференция "Stability and Control of Shear Flows with Strong Temperature or Density Gradients" (Prague, Czech Republic, 1998).

Заключение диссертации по теме «Океанология», Куркин, Андрей Александрович

Основные результаты работы:

1. Получены преобразования к нормальным каноническим переменным, описывающим нелинейную динамику поверхностных и внутренних волн во вращающейся жидкости при наличии боковых границ; волн Россби в приближении /^-плоскости; баротропных россбиевских волн на сфере в приближении жесткой крышки и в квазигеострофическом приближении. Вычислены матричные коэффициенты нелинейного взаимодействия.

2. Исследован нелинейный механизм генерации волн Кельвина за счет взаимодействия с волной Пуанкаре. При этом показано, что нелинейная генерация кельвиновских волн сравнима по эффективности с генерацией этих волн за счет известных линейных механизмов.

3. Показано, что самовоздействие баротропных волн Россби в рамках эффекта модуляционной неустойчивости последних в приближении /3-плоскости является достаточно эффективным и должно учитываться наряду с явлением распадной неустойчивости последних.

4. Установлено, что слабонелинейные трехволновые взаимодействия баротропных волн Россби на сфере играют существенную роль в перераспределении энергии только в коротковолновой области. В области же с масштабами порядка радиуса Земли такие взаимодействия оказываются малоэффективными. Кроме того установлено, что четырехволновые взаимодействия коротких сферических волн также достаточно эффективны и должны учитываться наряду с трехволновыми.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации развиты методы гамильтоновского формализма в применении к динамике волн Кельвина и Пуанкаре во вращающейся ограниченной жидкости; бар о тройных волн Россби в приближении /3-плоскости; баротропных россбиевских волн на сфере.

Проведено исследование нелинейного резонансного взаимодействия с участием волн Кельвина и Пуанкаре. Изучен процесс самовоздействия баротропных волн Россби в рамках эффекта модуляционной неустойчивости последних в приближении /3-плоскости. Выполнен анализ эффективности взаимодействия баротропных волн Россби на сфере.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куркин, Андрей Александрович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Захаров В.Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией. Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1974. Т.17. N 4. С.431.

2. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Гамильтоновский формализм для систем гидродинамического типа. Препринт N 186. ИАЭ СО АН СССР. Новосибирск. 1982.

3. Гончаров В.П., Павлов В.И. Проблемы гидродинамики в га-мильтоновом описании. М.: МГУ. 1993. 197 с.

4. Арнольд В.И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела и идеальной жидкости. Успехи Математических Наук. 1969. Т.24. N 3. С.225.

5. Ландау Л.Д. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1941. Т.2. С.592.

6. Dzyaloshinskii I.E., Volovik G.E. Poisson brackets in condensed matter physics. Ann. Phys., 1980. V.125. P.67.

7. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. УМН. 1982. Т.37. вып. 5, С.З.

8. Lamb H. Hydrodynamics, ONTI, Moskow, 1947.

9. Bateman H. Partial differential equations of mathematical physics. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1932.

10. Давыдов Б.И. ДАН СССР, 1949. Т.89. С.89.

11. Ito П. Variational principle of hydrodynamics. Progr. Theor. Phys., 1953. V.9. N.2. P.117.

12. Конторович B.M., Кравчик X., Тиме В. Гамильтоново описание непотенциального движения при наличии свободной поверхности в обычной и магнитной гидродинамике. Препринт N 158, ИРЭ АН УССР, Харьков, 1980.

13. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости. ПМТФ, 1968. N 2. С.86.

14. L.F.Mc.Goldrick, J. Fluid. Mech., 1965. T.21. P.305.

15. Нелинейная теория распространения волн. М.:Мир, 1970.

16. Красильников В.А., Павлов В.И. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1973. Т.9. N 2. С. 172.

17. Гончаров В.П. Исследование волновых взаимодействий в стратифицированных средах в рамках метода гамильтонов-ского формализма. Кандидатская диссертация. М.: МГУ. 1977.

18. Воронович А.Г. Гамильтоноский формализм для внутренних волн в океане. Изв. АН СССР. ФАО. 1979. Т. 15. вып. 1. С.82.

19. Гончаров В.П. Гамильтоново представление уравнений гидродинамики и его использование для описания волновых движений в течениях со сдвигом. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1984. Т.20. N 2. С. 125.

20. Петров В.В. Взаимодействие объемных и поверхностных волн в нелинейной среде. Кандидатская диссертация. Горький. ГГУ. 1979. 113 с.

21. Селиджер P.JL, Уитем Г.Б. Вариационные принципы сплошной среды. Сб. перев. "Механика", 1969. N 5. С.99.

22. Crease J. Long waves on a rotating Earth in the presense of semi-infinite barrier. J. Fluid. Mech., 1956. V.l. P.86.

23. Chambers L.G. Long waves on a rotating earth in the presense of the barrier. Proc. Edinburgh Math. Soc. 1964. V.10. P.92.

24. Howe M.S., Mysak L.A. Scattering of Poincare waves by an irregular coastline. J. Fluid Mech. 1973. V.57. P.111.

25. Thomson R.E. On the generation of Kelvin-type waves by atmospheric disturbances. J. Fluid Mech. 1970. V.42. P.657.

26. Петров В.В., Хасанов Ш.М. Нелинейная генерация волн Кельвина. Изв. АН СССР. ФАО. 1990. Т.26. N 5. С.529.

27. Захаров В.Е., Питербарг Л.И. Канонические переменные для волн Россби и дрейфовых волн в плазме. Докл. АН СССР. 1987. Т.295. N 1. С.86.

28. Питербарг Л.И. Канонические переменные для волн Россби при наличии замкнутых линий уровня потенциального вихря. Докл. АН СССР. 1992. Т.324. N 2. С.316.

29. Цейтлин В.Ю. Гамильтонов формализм для волн Россби. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1989. Т.25. N 9. С.948.

30. Weinstein A. Hamiltonian structure for drift waves and geostrophic flow. Phys. of Fluids. 1983. V. 26. N 2. P. 388.

31. Piterbarg L.I. Hamiltonian formalism for Rossby waves. Advances in Soviet mathematics, AMS, Providence, RI (in press).

32. Резник Г.М. Волны Россби и синоптическая изменчивость океана. Дисс......докт. физ.-мат. наук. Москва, 1986. 411 с.

33. Карташова Е.А., Питербарг Л.И., Резник Г.М. Слабонелинейные взаимодействия волн Россби на сфере. Океанология. 1989. Т.29. вып.4, С.533.

34. Романова H.H., Цейтлин В.Ю. О квазигеострофических движениях в баротропной и бароклинной жидкости. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1984. Т.20. N 2. С.115.

35. Захаров В.Е., Монин A.C., Питербарг Л.И. Гамильтоново описание бароклинных волн Россби-Блиновой. Докл. АН СССР. 1987. Т.295. N 5. С.1061.

36. Физика океана. М.: Наука. 1978. Т.1., Т.2. 455 с.

37. Монин A.C., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана. Л.: Гидр оме теоиз дат. 1985. 376 с.

38. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. Т.1., Т.2. 811 с.

39. Гилл А.Е. Динамика атмосферы и океана: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. Т.1. 396 е., Т.2. 415 с.

40. Каменкович В.М. и др. Некоторые вопросы теории волн в океане. Рязань, 1975. 119 с.

41. Jle Блом П., Майсек JI.A. Волны в океане: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. Т.1. 478 е., Т.2. 365 с.

42. Ефимов Е.Е. и др. Волны в пограничных областях океана. Д.: Гидр оме тиоиз дат, 1985. 280 с.

43. Thomson W. On gravitational oscillations of rotating water. Proc. R. Soc. Edinburg. 1897. V.10. P.92.

44. Петров В.В. Динамика волн в нелинейных гидродинамических системах. Горький: ГГУ, 1984. 79 с.

45. Лебле С.Б. Волноводное распространение нелинейных волн в стратифицированных средах. JL: Изд. ЛГУ, 1988. 198 с.

46. Akylas T.R., Katsis С. Solitary internal waves in a rotating channel: A numerical study // Phys. Fluids. 1987. V. 30. N 2. P. 297-301.

47. Хасанов Ш.М. Эффекты нелинейного взаимодействия волн

во вращающейся жидкости. Дисс......канд. физ.-мат. наук.

Н.Новгород: ННГУ, 1992.

48. Митропольский А.Ю. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: "Наукова Думка", 1971. 440 с.

49. Ott Е., Sudan R.N. Damping of solitary waves // Phys. Fluids. 1970. V. 13. N 6. P. 1432.

50. Войт С.С., Себекин Б.И. Отражение неустановившихся длинных волн во вращающемся бассейне. Изв. АИ СССР. Физика атмосферы и океана. 1970. Т.6. N 10. С. 1022.

51. Munk W.H., Snodgrass F.E., Gilbert F. Long waves on the continental shelf: an experiment to separate trapped and leaky modes. J. Fluid Mech. 1964. V. 20. Pt. 4. P.529.

52. Smith R. Nonlinear Kelvin and continental shelf waves. J. Fluid Mech. 1972. V. 52. P.379.

53. Grimshaw R. Evolution equations for weakly nonlinear internal waves in a rotating fluid. Stud. Appl. Math. 1985. V. 73. P.l.

54. Maxworthy T. Experiments on solitary internal Kelvin waves. J. Fluid Mech. 1983. V. 129. P.365.

55. Renouard D.P., Zhang X., D'Hieres G. An experimental study of strongly nonlinear waves in a rotating system. J. Fluid Mech. 1987. V. 177. P.381.

56. Martinsen E.A., Weber J.E. Frictional influence on internal Kelvin waves. Tellus. 1981. V. 33. N 4. P.402.

57. Лебедев A.H. Распространение волн Кельвина в бассейне переменной глубины. Океанология. 1977. Т.7. вып. 1. С.10.

58. Clarke A.J. Wind-forced linear and nonlinear Kelvin waves along an irregular coastline. J. Fluid Mech. 1977. V. 83. Pt. 2. P.337.

59. Петров В.В., Хасанов Ш.М. Нелинейная генерация волн Кельвина. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана.

1990. Т.26. N 5. С.529.

60. Keller J.B. Kelvin wave production. J. Phys. Oceanogr. 1981. V. 11. N 2. P.284.

61. Hough S.S. On the application of harmonic analysis to the dynamical theory of the tides. II.On the general integration of Laplace's tidal equations. Philos. Trans. Roy. Soc. London. 1989. A191. P. 139 - 185.

62. Margules M. Luftbewegungen in einer rotierenden Srpharoidschale. Sitzungsber Akad. Wiss. Wien. 1893. v. 102. P. 11 - 56.

63. Rossby C.G. On the mutual adjustment of pressure and velocity distributions in certain simple current systems. J. Mar. Res. 1937 - 1938. v. 1. N 1. P. 15 - 28.

64. Каменкович B.M., Кошляков M.H., Монин A.C. Синоптические вихри в океане. JL: Гидр оме тиоиз дат, 1982. 264 с.

65. Eddies in Marine Science. Ed. Robinson A.R., Springer -Verlag. 1983. P.609.

66. Emery W.J., Magaward L. Baroclinic Rossby waves as inferred from temperature fluctuations in the eastern Pacific. J. Mar. Res. 1976. v.34. N 3. P. 365 - 385.

67. Frankignoul C., Muller P. Quasi-geostrophic response of an infinite ß - plane ocean to stochastic forcing by the atmosphere. J. Phys. Oceanogr. 1979. v.9. N 1. P. 104 - 127.

68. Frankignoul С., Muller P. On the generation of geostrophic eddies by surface buoyancy flux anomalies. J. Phys. Oceanogr. 1979. v. 9. N 6. P. 1207 - 1213.

69. Незлин M.B., Снежкин E.H. Вихри Россби и спиральные структуры. М.: Наука. 1990. 238 с.

70. Антипов C.B., Незлин М.В., Родионов В.К., Снежкин E.H., Трубников A.C. Солитоны Россби: устойчивость, столкновения, асимметрия и генерация течениями со сдвигом скорости. ЖЭТФ. 1983. Т.84. вып. 4. С.1357.

71. Антипов C.B., Незлин М.В., Снежкин E.H., Трубников A.C. Солитоны Россби в лаборатории. ЖЭТФ. 1982. Т.82. вып. 1. С.145.

72. Антипов C.B., Незлин М.В., Снежкин E.H., Трубников A.C. Автосолитон Россби и лабораторная модель Большого красного пятна Юпитера. ЖЭТФ. 1985. Т.9. вып. 6. С. 1905.

73. Незлин М.В. Солитоны Россби. Успехи физических наук. 1986. Т.150. С.1.

74. Петвиашвили В.И., Похотелов O.A. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат. 1989. 199 с.

75. Куркин A.A., Петров В.В. Гамильтоновское описание ба-ротропных волн Россби. Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1996. Т.39. N 9. С.1067.

76. Петров В.В. Описание волн Россби в приближении ß - плоскости. Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1998. Т.41. N 3. С.435.

77. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука. 1977. 831 с.

78. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука. 1981. 800 с.

79. Справочник по специальным функциям. М.: Наука. 1979. 832 с.

80. Ларичев В.Д. Квазигеострофические нелинейные волны и

турбулентность в океане. Дисс...... докт. физ.-мат. наук.

Москва, 1986. 311 с.

81. Нелинейная теория распространения волн. М. Мир, 1970. 230с.

82. Райнс П. Ге о строфическая турбулентность. Вихри и волны. М.: Мир, 1984. С.153.

83. Косевич A.M., Ковалев A.C. Введение в нелинейную физическую механику. Киев, "Наукова Думка". 1989. 300 с.

84. Нелинейные волны: Распространение и взаимодействие. М.: Наука, 1981. 239 с.

85. Островский Л.А. Нелинейные внутренние волны во вращающемся океане. Океанология. 1978. Т. 18. вып. 2. С. 181.

86. Нелинейные волны. Под ред. А.В.Гапонова-Грехова. М.: Наука. 1979. 360 с.

87. Leonov A.I. The effect of Earth rotation on the propagation of weak nonlinear surface and internal long oceanic waves. Ann. N. Y. Acad. Sei. 1981. V. 373. P.150.

88. Островский JI.А., Степанянц Ю.А. Нелинейные поверхностные и внутренние волны во вращающейся жидкости. Нелинейные волны. М.: Наука. 1991. С.91.

89. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука. 1973.

90. Уизем Дис. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977.

91. Куркин А.А. Гамильтоновский формализм для волн во вращающейся жидкости. Тез. докл. научной конф. по радиофизике. Н.Новгород. 1994. С. 20.

92. Куркин А.А. Каноническая теория нелинейного взаимодействия волн во вращающейся жидкости. Нелинейные волны. Синхронизация и структуры. Ч. 1. Под ред. М.И.Рабиновича, М.М.Сущика, В.Д.Шалфеева. Н.Новгород.: ННГУ. 1995. С. 117-120.

93. Куркин А.А. О методе рядов Депри в канонической теории поля. Вестник ННГУ. Сб. научных трудов аспирантов. Под ред. А.В.Олейника. Н.Новгород.: ННГУ. 1995. С. 58-60.

94. Куркин А.А. Гамильтоновское описание баротропных волн Россби на сфере и в параболоиде. Тез. докл. научной конф. по радиофизике. Н.Новгород. 1996. С. 14.

95. Kurkin A.A., Stepanyants Yu.A. Hamiltonian description of barotropic Rossby waves on a sphere and in a paraboloid. Phys. Lett. A. 1996. V.223. N 1-2. P. 96-104.

96. Kurkin A.A., Stepanyants Yu.A. Hamiltonian description of Rossby waves on a sphere. International Conference on

Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems. Abstracts. Nizhny Novgorod. 1996. P. 32.

97. Kurkin A.A., Stepanyants Yu.A. The hamiltonian description of waves in a nonuniformly rotating fluid. Annales Geophysicae. 1997. Supplement II to Volume 15. P.572.

98. Kurkin A. A. Canonical theory of nonlinear wave interaction in a rotating fluid. BRAS Physics/Physics of Vibrations. 1997. V. 61. N 1. P. 52-55.

99. Kurkin A.A., Stepanyants Yu.A. Hamiltonian description of barotropic and baroclinic Rossby waves in a rotating fluid. Internatianal Conference on Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows. Abstracts. Moscow. 1997. P. 65.

100. Kurkin A.A., Stepanyants Yu.A. Hamiltonian description of Kelvin, Poincare and Rossby waves in a rotating fluid. 3rd European Fluid Mechanics Conference. Abstracts. Gottinden. Germany. 1997. P. 77.

101. Асеев А.Ю., Куркин А.А. Описание нелинейного взаимодействия баротропных волн Россби в рамках гамильтонов-ского формализма. Тез. докл. научной конф. по радиофизике. Н.Новгород. 1997. С. 42.

102. Куркин А.А., Петров В.В. Гамильтоновский формализм для волн во вращающейся жидкости. Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т.ЗЗ. N 1. С. 36-40.

103. Асеев А.Ю., Куркин А.А. Эффекты нелинейного взаимодействия баротропных волн Россби во вращающейся жидкости. Тез. докл. II нижегородской сессии молодых ученых. Н.Новгород. 1997. С. 112.

104. Kurkin A.A. The hamiltonian description of waves in a stratified rotating fluid. Annales Geophysicae. 1998. Supplement IV to Volume 16. P. 1126.

105. Асеев А.Ю., Куркин А.А. Каноническая теория баротропных волн Россби на сфере. Межвузовский сборник трудов НГТУ. Н.Новгород. 1998. С. 45-51.

106. Kurkin A.A. The hamiltonian description of waves in a double layer model of the density distribution. International Conference on Stability and control shear flows with strong temperature or density gradients. Abstracts. Praga. P. 49.

107. Асеев А.Ю., Куркин А.А. Исследование динамики волн Россби на сфере. Тез. докл. научно-техн. конф. ФИСТ. Н.Новгород. 1998. С. 41.

108. Куркин А.А. Гамильтоновское описание внутренних и поверхностных волн во вращающейся жидкости. Тез. докл. научной конф. по радиофизике. Н.Новгород. 1998. С. 16.

109. Асеев А.Ю., Куркин А.А. Каноническая теория баротропных волн Россби на (3 - плоскости. Тез. докл. научной конф. по радиофизике. Н.Новгород. 1998. С. 26.

110. Куркин А.А. Применение методов гамильтоновского формализма к теории нелинейного взаимодействия волн во вра-

щающейся жидкости. Изв. ВУЗов. Радиофизика (в печати)