Исследование нелинейного комплексного дифференциального уравнения в частных производных, обладающего парой Лакса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Новикова, Ольга Викторовна

• Новикова, Ольга Викторовна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Новикова, Ольга Викторовна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Развитие науки о солитонах: движущие факторы эволюции, различные подходы к поставленным задачам

1.1 Важные открытия в истории науки о солитонах и факторы, их побудившие

1.2 Операторные структуры, приводящие к интегрируемым уравнениям

1.3 Методы построения точных решений, применяемые в работе к исследуемому уравнению

ГЛАВА 2. Исследование комплексного нелинейного уравнения в частных производных

2.1 Получение исследуемого уравнения с помощью операторной структуры нулевой кривизны

2.2 Получение другой коммутационной структуры в виде уравнения Лакса

2.3 Построение точных решений в виде бегущих волн

2.4 Применение метода Хироты

2.5 Свойство Пенлеве. Решение уравнения в виде ряда Лорана

2.6 Автомодельные решения

2.6.1 Автомодельные преобразования

2.6.2 Возможные случаи получения автомодельных решений

2.6.3 Случай получения решения, когда N = -1, к < -1

2.6.3.1 Возникновение свободных и определение старших коэффициентов

2.6.3.2 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте

a-ifQ

2.6.3.3 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте

а-! =0

2.6.3.4 Обобщение полученных результатов

2.6.4 Случай получения решения, когда N = —к—2, к> -1

2.6.4.1 Возникновение свободных и определение старших коэффициентов

2.6.4.2 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте

а~к-2 Ф 0

2.6.4.3 Нахождение коэффициентов ряда при старшем коэффициенте а-к-2 = 0

2.6.4.4 Обобщение полученных результатов

2.6.5 Получение решений исследуемого уравнения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование нелинейного комплексного дифференциального уравнения в частных производных, обладающего парой Лакса»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Многие физические задачи о нелинейных волнах описываются математическими моделями, представляющими нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, которые имеют специальные частные решения - солитоны, локализованные в пространстве и во времени. Решение такого рода задач является предметом исследования теории солито-нов.

Среди нелинейных дифференциальных уравнений солитонного типа выделяется класс уравнений, обладающих операторной структурой Лакса. Достоинством этих уравнений является возможность применения всего арсенала математических приёмов, способов анализа и методов эффективного исследования, позволяющих, в частности, точно вычислять бесконечные серии их частных решений. К ним относятся метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), преобразования Бэклунда, метод Хироты, построение точных решений в виде бегущих волн, автомодельных решений, наличие свойства Пенлеве и др. Такое колоссальное разнообразие методов исследования этих уравнений дает возможность выяснить новые принципиальные вопросы при рассмотрении современных научных проблем. Поэтому исследование такого рода уравнений и поиски методов отыскания их частных решений представляют большую практическую ценность и значимость.

Значительное место в теории солитонов отводится комплексным нелинейным уравнениям. Они встречаются в различных приложениях, поэтому их исследование также носит актуальный характер. Приведем примеры некоторых из них.

Нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ) где у/ - комплексная функция, описывает целую совокупность явлений в физи-

ке волновых процессов: в квантовой механике [146]; в нелинейной оптике [52]; в теории волн на глубокой воде [33]; при описании переноса энергии вдоль а -спиралей белков [11], [24]; распространение определённого класса нелинейных волн в плазме и другие явления. Многие комплекснозначные нелинейные дифференциальные уравнения сводятся к НУШ.

Еще одним уравнением, принадлежащим данному классу, является комплексное уравнение Ландау-Гинзбурга [102], [155], имеющее разнообразные приложения в теории сверхпроводимости [63], динамике жидкости, химической кинетике.

Обратимся к работам, посвященным исследованию этих уравнений.

В статье Борзых A.B. [66] для (3+1)-мерного НУШ

W, = + V„ + Vv . К = 2|/|21 + (H21 )

с начальным условием i//(x,y,z,tj^0 =t//0(x,y,z) и граничным условием \j/{x,y,z,t)^>- 0, |х| оо, где у/ =y/(x,y,z,t) - комплекснозначная функция из пространства Шварца и |(//|2 = y/îp7 получено односолитонное решение методом Хироты:

Ч зе

V, =-ГТг-'

(а + а)

(и+а ) «(</!+</, )j.+(<j2+.j2 )г+?4/

2 К

где qj = qj(а?у + aJ2z + /а(а/ + а'г )), j -1,2,3, q4 = i[a(ql +q2)~ a{q{ + q2)J, qj j = 1,2,3 - произвольные дифференцируемые функции, a = canst.

Vi =■

(a + af

где q,=qAa/i), 1 = 5,6, <?7 = ^(^Уб)* q^'{a{q5^q6)-a(q5+q6)\, (a.y + a.z + a-,^^' . . ^ , / / л. л / \

Vi + V«5 +ССб)1Ч

eery + afiz + a1

a = —^—--^ Ф const.

t] + (a5 +a6)it

В диссертации Есмахановой K.P. [85] доказана интегрируемость (2+1)-мерного НУШ

iql + Mxq + vq = 0, irt-Mxr -vr - 0, M2v = -2M,(rq), где r(x,y,t),q(x,y,t),v(x,y,t) - комплексные функции, операторы M, и M2 имеют вид:

М, = 4(а2 - 2ab - b)d2xx + 4a(b - a)d2v + а2д2уу, М2 = 4а(а + \)д2хх - 2а(2а + 1)д\у + а2д2уу,

где а - комплексная постоянная, а, b - действительные постоянные. Для данного уравнения найдены Л^-солитонные решения, установлена геометрическая эквивалентность между (1+1)-мерным НУШ и спиновой системой.

В работе Хасанова А.Б., Рейимберганова A.A. [165] с помощью МОЗР для оператора Дирака получено конечно плотное решение высшего НУШ с самосогласованным источником:

ч о:(иат_к)=2±(Ф2-Ф\х

k=0\Zl J п—\

¿ФЙ=ЧФ„, п - 1,2,...,ÍV с начальным условием гг(х,0)= u0(x), xeR, где Фп = (Ф,„,Ф2„)Г - собственная вектор-функция оператора L{t), соответствующая собственному значению £,п, « = 1,2,...,//.

Статья Сидорова C.B. [154] посвящена вопросам образования решений типа бегущей волны на примере уравнения Ландау-Гинзбурга для одномерного случая, соответствующего плоской волне:

W, (х, t)= a W(x, t) + dWxx (je, t) - cW(x, t]w(x,tf, где W{xj) = u(x,t)+iv(x,t) - комплекснозначная функция, а = 0,+ш2, d ~d{+ id2, с = с, + ic2 - комплексные коэффициенты.

В работе Шишмарёва И.А. и Цуцуми М. [169] рассмотрена задача Коши для уравнения Ландау-Гинзбурга в одномерном и многомерном по пространственной переменной случае

и, - (а + //?)Ди + Я|«|2 и + аи = 0, м|(=0 = й{х), где jc = (*,,...,;ся)е/Г, п> 1, />0, - действительные числа, Я - ком-

^ д2

плексное число, А - оператор Лапласа, А = У —-, построена асимптотика ре-

,=i дх1

шения при í —>оо.

В диссертации Комарова М. В. [105] для уравнения Ландау-Гинзбурга в п-мерном по пространственной переменной случае получена асимптотика классического решения периодической задачи:

ut + Я|^|2 и + аи ~{а + i/3)Au = 0, t > 0, л- е Q,

Здесь х = (хг...,хп), п> 1, Q - «-мерный куб с длиной ребра 2л", а,р,а - действительные числа, Я - комплексное число. Решение u{t,x) - комплекснознач-ная функция, 2ж - периодическая по пространственным переменным, А - оператор Лапласа.

Как видим, математическая теория солитонов имеет огромные перспективы в различных приложениях. С помощью солитонов можно описывать самые разные физические объекты - от элементарных частиц до черных дыр и рукавов галактик. Это относится к различным вопросам теории плазмы [68], [71], [80], [86], [107], нелинейной оптики [64], [103], [115], [116], [117], [153], [161], [166], теории гравитации [62], [79], [158], [170]. Изучаются солитоны в кристаллах [61], [83], [84], [98], [119], [120], [159], магнитных материалах [60], [67], [72], [113], [145], [163], [167], [168], сверхпроводниках [109], живых организмах, биологических системах [73], [74], [78], [108], [138], [160]. На основе солитонов можно разрабатывать новые приборы, обладающие рядом уникальных возможностей [157]. Одним из значительных направлений исследований в настоящее

7

время также является применение солитонов для хранения и передачи информации [156], [162].

В настоящее время для теории солитонов характерны все признаки, присущие перспективному научному направлению нашего столетия, а именно: проводятся конференции по данной научной проблеме, растет число исследователей и специалистов в этой области и их публикаций. Уже перечисленных аргументов достаточно, чтобы подчеркнуть актуальность и значимость выбранной темы диссертационной работы, которая продолжает исследования в этом направлении. В ней некоторые методы солитонной математики применены к исследуемому уравнению.

Цель работы. Целью данной работы является исследование, нахождение точных решений комплексного нелинейного дифференциального уравнения в частных производных р1 - (рхх + 2¡р(р2 +р2) = 0.

Методы исследования. В диссертации использованы методы солитонной математики, такие как нахождение точных решений в виде бегущих волн, методы Хироты, Пенлеве, построение автомодельных решений.

Научная новизна. Все полученные результаты, включенные в диссертационную работу являются новыми. Новизна результатов состоит в том, что для исследуемого уравнения:

1. Получена операторная коммутационная структура в виде уравнения Лакса.

2. Построены точные решения в виде бегущих волн.

3. Найдены точные решения с помощью метода Хироты.

4. Доказано обладание свойством Пенлеве, найдены решения с полюсными особенностями.

5. Построены автомодельные решения в виде формальных рядов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический

характер и вносит вклад в развитие получения решений нелинейных уравнений

в частных производных. Результаты диссертации представляют интерес для

8

изучения нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих парой Лак-еа, и могут использоваться в содержании специальных курсов для студентов и аспирантов физико-математического факультета. Данные результаты расширяют область возможностей для изучения нелинейных проблем и могут послужить основой для разработки новых методов исследований трудноразрешимых задач.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Получение коммутационной структуры в виде уравнения Лакса.

2. Нахождение точных решений в виде бегущих волн.

3. Осуществление алгоритма исследования Хироты.

3.1. Представление уравнения в билинейной форме.

3.2. Нахождение точных решений.

4. Исследование на отсутствие критических подвижных особых точек в решении уравнений.

4.1. Доказательство наличия свойства Пенлеве у исследуемого уравнения.

4.2. Построение решений в виде рядов Лорана. Доказательство, что уравнение имеет три типа решений:

- с полюсом первого порядка;

- комплекснозначная функция с мнимой аналитической частью и действительной частью с полюсом первого порядка;

- комплекснозначная функция с аналитической действительной частью и мнимой частью с полюсом первого порядка.

5. Нахождение автомодельных решений в виде формальных рядов.

5.1. Автомодельные преобразования, сводящие уравнение к обыкновенному дифференциальному уравнению с параметром.

5.2. Анализ уравнения на структуру решения в виде ряда.

5.3. Получение решений двух видов (в зависимости от области изменения параметра).

Достоверность и обоснованность результатов диссертационной работы

9

следует из выполненной проверки полученных решений.

Апробация работы. Результаты исследований прошли апробацию на II Международной школе-семинаре «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (Иркутск, 2010); на Воронежских весенних математических школах «Понт-рягинские чтения - XXII, - XXV» (Воронеж, 2011, 2014); на международных научных конференциях: «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2010, 2013); «Современные вопросы науки - XXI век» (Тамбов, 2011), «Ломоносов - 2014» (Москва); докладывались на 55-й (2010), 56-й (2011), 57-й (2012) научно-методических конференциях «Университетская наука - региону» в Ставропольском государственном университете, II ежегодной научно-практической конференции СевероКавказского федерального университета (2014); обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа СКФУ и кафедры естественнонаучных дисциплин филиала Московского государственного университета приборостроения и информатики в г. Ставрополе.

Публикации по теме диссертации. По материалам диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ [123] - [134]. В работах в соавторстве [126], [129], [131], [132], [133] постановка задач и корректировка текста принадлежат Редькиной Т.В., а основные результаты и их доказательства принадлежат автору диссертационной работы. Работы [123], [124], [129], [131] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Проведем краткий обзор содержания работы.

Первая глава представляет собой теоретическую часть диссертации.

В параграфе 1.1 в развернутом виде представлена история развития науки о солитонах с истоков её формирования до настоящего времени, раскрыты движущие факторы её эволюции, описаны существующие подходы к поставленным задачам на каждом этапе становления солитонной математики, а также

приведен краткий обзор работ, близких к теме диссертационного исследования.

ю

Параграф 1.2 носит вспомогательный характер и содержит сведения об операторных структурах, приводящим к интегрируемым уравнениям (операторные структуры Лакса, нулевой кривизны, алгебраическая конструкция дифференциальных уравнений с аттракторами, триада Ь, А, В).

В параграфе 1.3 представлены методы нахождения точных решений, применяемые в работе к исследуемому уравнению: нахождение точных решений в виде бегущих волн, метод Хироты, метод Пенлеве, построение автомодельных решений. Даны определения точных решений нелинейных уравнений, точных методов решений, решений типа бегущей волны, оператора Хироты, особых точек комплексной плоскости, свойства Пенлеве, автомодельных решений. Рассмотрены классификации особых точек произвольных аналитических функций (П. Пенлеве), особых точек решений дифференциальных уравнений на комплексной плоскости (Л. Фукс), гипотеза о свойстве Пенлеве, алгоритм анализа уравнения на наличие свойства Пенлеве (X. Сигур и М. Абловиц), перечислены свойства оператора Хироты. Здесь же описаны алгоритмы применения этих методов для построения решений нелинейных уравнений.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию уравнения р1-1рхх+2гр{р2+ р2)=0 методами солитонной математики. Каждый метод рассмотрен в отдельном параграфе.

В параграфе 2.1 описан вывод исследуемого уравнения с помощью операторной структуры нулевой кривизны и найдена эквивалентная исходному уравнению система уравнений в частных производных на две действительные функции. В параграфе 2.2 найдена коммутационная структура в виде уравнения Лакса. В параграфе 2.3 построены точные решения в виде бегущих волн. В параграфе 2.4 для нахождения точных решений используется метод Хироты. В параграфе 2.5 уравнение исследуется на наличие свойства Пенлеве, находятся три типа решений в виде рядов Лорана.

Поиск автомодельных решений рассмотрен в параграфе 2.6, разбитом на

пункты. В пункте 2.6.1 выполняются автомодельные преобразования, сводя-

11

щие нелинейное уравнение к обыкновенному дифференциальному уравнению с параметром. В пункте 2.6.2 уравнение анализируется на структуру решения в виде ряда. Получение решений двух видов в зависимости от области изменения параметра рассмотрено в пунктах 2.6.3 и 2.6.4, структурированных на подпункты. В подпунктах 2.6.3.1 и 2.6.4.1 анализируются степени, при которых возникают свободные коэффициенты, вводится понятие старшего коэффициента, находятся его значения. В 2.6.3.2 и 2.6.4.2 определяется вид коэффициентов рядов при отличных от нуля старших коэффициентах, в 2.6.3.3 и 2.6.4.3 - при нулевых. В 2.6.3.4 и 2.6.4.4 приводится обобщение полученных результатов с примерами для некоторого параметра. В пункте 2.6.5 находятся решения исследуемого уравнения в виде формальных рядов.

В заключении диссертации описаны результаты диссертационной работы и перспективы их дальнейшего развития.

Автор выражает искреннюю благодарность доценту Редькиной Т.В. за научное руководство, проявленное внимание и полезные советы в научном исследовании.

ГЛАВА 1. РАЗВИТИЕ НАУКИ О СОЛИТОНАХ: ДВИЖУЩИЕ ФАКТОРЫ ЭВОЛЮЦИИ, РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТАВЛЕННЫМ ЗАДАЧАМ

1.1 Важные открытия в истории науки о солитонах и факторы, их побудившие

Термин «солитон» (от англ. «solitary» - уединенная, «solitary wave» - уединенная волна, греч. «-он» - типичное окончание терминов такого рода (например, электрон, фотон, и т.д.), означающее подобие частицы) стал использоваться в научной литературе относительно недавно, в середине 60-х годов XX века, но при всём том достаточно прочно утвердился в теоретической и экспериментальной физике нелинейных процессов. Впервые понятие «солитон» было введено американцами Н. Забуски и М. Крускалом в 1965 году, но заслуга открытия .«большой уединенной волны» принадлежит британскому инженеру Дж. С. Расселу, который впервые дал описание наблюдения солитона в 1834 году [48], [49], [50], [57]. Гидродинамический солитон, открытый Расселом, - это уединенная волна на воде, движущаяся с постоянной скоростью.

Будем называть солитонами любые локализованные нелинейные волны, которые взаимодействуют с произвольными локальными возмущениями и всегда восстанавливают асимптотически свою точную первоначальную форму с возможным небольшим сдвигом фазы [58].

Теория нелинейных волн и в настоящее время считается всё еще молодой наукой, хотя исследования в этом направлении велись ещё в XIX веке, которые в основном были связаны с задачами газо- и гидродинамики. Приведем примеры ещё наиболее важных открытий того времени.

Солитонное решение - для длинных волн на поверхности жидкости - было

впервые получено Ж. В. Буссинеском. Он получил нелинейное эволюционное

уравнение, описывающее подобные волны, как в прямом, так и во встречном

13

направлении, известное как уравнение Буссинеска [7], [8]:

д2 (/4 д2и ,4 2 ,2 ^ д2и + а1 и +1 уи

а*2 ^12 а*2 ' ) де

В 1872 голу Буссинеск и Дж. У. Рэлей [47] в 1876 году независимо друг от друга нашли его солитонное решение в виде квадрата гиперболического секанса и вычислили скорость распространения уединенной волны на воде:

и - —эесЬ2 —{ах - со? + <5), 8а 2

7 2 т 1 ос i

со = уаг +-.

12

Родоначальником солитона стало знаменитое уравнение Кортевега - де Ври-за (КдВ), которое описывает распространение волн в одном направлении по поверхности мелкого канала, полученное в 1895 году [18], [19], [27]:

К(и)= и1 + бии т + иххх = 0. (1.1.1)

В дальнейшем выяснилось, что описание широкого класса волновых явлений сводится к уравнению КдВ [77]. Более позднее изложение результатов этих работ сделано Р. Миурой [38], [39], [40].

В конце 1960-х - начале 1970-х годах теория нелинейных волн сложилась как единая наука. В эти годы она пережила бурное развитие. Выявим причины такого значительного прогресса.

Во-первых, причиной этого послужило развитие вычислительной техники, предоставившей возможность непосредственного численного решения уравнений в частных производных, описывающих распространение волн в различных средах.

Исследования Э. Ферми, Дж. Паста и С. Улама, выполненные в 1954-м году на одной из первых ЭВМ, имели огромное значение для теории нелинейных волн и вообще для нелинейной физики [14], [164]. Задача Ферми - Паста -Улама (ФПУ) состояла в исследовании поведения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые первоначально были линейными, но в ко-

14

торые была привнесена нелинейность как возмущение [77], [135]. Уникальные свойства солитонов, объясняющие результаты ФПУ, были обнаружены Н. За-буски и М. Крускалом в ходе численного эксперимента [18], [29], [30], [31], [56], [57], [77].

Во-вторых, движущим фактором становления науки о солитонах стало создание мощного математического аппарата, допускающего осуществить точное аналитическое решение ряда нелинейных уравнений в частных производных.

Первооткрывателями МОЗР стали в 1967 году К. Гарднер, Дж. Грин, М. Крускал и Р. Миура [18], [19]. Они изобрели оригинальный и мощный метод аналитического решения уравнения КдФ, использующий идеи прямой и обратной задачи рассеяния. В дальнейшем этот метод был усовершенствован и использован для анализа других нелинейных дифференциальных уравнений с со-литонными решениями [58], [77].

Одним из наиболее важных результатов на ранней стадии развития МОЗР было открытие бесконечного набора законов сохранения у уравнения КдВ (1.1.1) [40], [41]. Изучая найденные законы сохранения, а также законы сохранения у модифицированного уравнения КдВ (мКдВ),

М^)=У1-6У\ +у1гг=0, (1.1.2)

в 1968 году Миура вывел следующее преобразование [39].

Если V - решение (1.1.2), то равенство

является решением (1.1.1), точнее

(

К (и) = - 2у + — М(У). (1.1.3)

V д<)

Миура обнаружил, что уравнения КдВ и мКдВ обладают бесконечным числом законов сохранения и формула (1.1.3) устанавливает соответствие между ними и носит название преобразования Миуры.

Благодаря преобразованию (1.1.3) появился МОЗР, суть применения которо-

го состоит в следующем [136].

Уравнение КдВ (1.1.1) переписывается как условие интегрируемости двух линейных уравнений,

(-Ь + Х)(р = (рхк+{Л + и(х^)Ур = 0 (1-1.4)

и

ср/ = Вер = -4- Ъих(р - 6исрл + Сер,

Л

(р,=В(р = (их + С)(р + - |

где С определяется по выбранной для cp(x,tнормировке.

Затем г/(х,0) отображается в данные рассеяния 5(о) уравнения (1.1.4). Эволюция S(t) проста и описывается линейно. Зная мы восстанавливаем u(x,t). Схематически это выглядит так:

прямое преобразование

и{х, 0) _^ S(0)

временная эволюция данных рассеяния

V

и(х, t) <_ s(t)

обратное преобразование

Рисунок 1 - Схема МОЗР В 1971 году Захаров и Шабат показали, что МОЗР применим к НУШ [10], [20], [90], [91].

Вскоре в 1972 году Вадати [54] предложил метод решения мКдВ (1.1.2). В 1973 году Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур [1], [2], [3], решили уравнение бш-Гордон:

их1 =зтм,

возникающее во многих приложениях [45], [53].

Уже эти полученные результаты к тому времени показали мощность и многосторонность МОЗР для решения некоторых нелинейных дифференциальных

уравнений в частных производных, интересных с точки зрения физических

16

приложений [58], [82], [135]. Оперируя этими идеями Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур в 1973 - 1974 годах разработали метод, позволяющий найти значительно более масштабный класс нелинейных уравнений, которые можно решать, воспользовавшись прямой и обратной задачей рассеяния (МОЗР) [1], [3], [87], [92],' [114]. Несколько позднее было показано, что существуют уравнения, связанные с задачами рассеяния для операторов более высокого порядка [25], [88], [89].

В-третьих, причина развития теории солитонов состояла в расширении интереса к нелинейным явлениям в различных областях физики, что дало стимул к формированию таких наук, как нелинейная акустика, нелинейная оптика, радиофизика, электроника, физика плазмы.

Далее совершенствование науки о солитонах происходило в следующих направлениях [87]:

1) выявление новых физически важных систем, интегрируемых методом обратной задачи или его обобщениями;

2) развитие методов теории рассеяния и алгебраической геометрии для нахождения точных решений;

3) построение и изучение квантовых релятивистски-инвариантных моделей, в которых сохраняется точная интегрируемость.

Были получены результаты по более сложным задачам. X. Флашка в 1974 году показал, что цепочка Тоды [15], [16]

„"„■И-",, „!'„_1'„-1

и =е ' "— е.....

"и

представляет собой интегрируемую модель.

Для КдВ была решена периодическая задача в несколько этапов. Конечно-зонное решение получили Новиков в 1974 г. [122], Мак-Кин и Ван Мёрбеке [36], Итс и Матвеев [95] в 1975 г., Кричевер в 1980 г. [28]. Бесконечнозонный предел рассмотрели Мак-Кин и Трубовиц в 1976 г. [37].

Для неодномерных уравнений были найдены пары Лакса. В частности, для уравнения Кадомцева - Петвиашвили

±Яуу+{q<+6qqx+qxxx)x =0 задачу с начальными данными решили Манаков (1981 г.) [35], Абловиц, Фокаш и Сегур (1983 г.) [17].

Рассматривались различные подходы к задачам солитонной математики (преобразования Бэклунда [97], [110], метод Хироты [135], наличие свойства Пенлеве [139] и др.). Чень, Ли и Ли в 1979 году был предложен метод [9], который основан на линеаризации, позволяющий проверять нелинейные уравнения на интегрируемость, а вместе с тем приводить к задаче рассеяния. Сатсума в 1979 г. показал возможность использования солитонных решений и билинейных форм для вывода преобразований Бэклунда и задачи рассеяния [51]. В отдельных случаях применялись геометрические и теоретико-групповые методы. Работа Ильина В.А. (1989 г.) [94] посвящена исследованию связи между спектральными задачами для несамосопряженных дифференциальных операторов и нелинейными эволюционными уравнениями, которые допускают представление Лакса.

В вопросах о возможности решения задачи МОЗР выделилось несколько точек зрения. В работах [6], [26] предполагается, что в основе МОЗР лежит теория групп. Схожие точки зрения вытекают из алгебраической структуры га-мильтоновых операторов (Лебедев, Манин Ю. [34], Гельфанд И.М., Дикий Л.А. [75], Адлер М. [5], Дикий Л.А., Дорфман И.Я., Гельфанд И.М. [81]) и из дифференциальной геометрии (Эстабрук Ф. [55]).

Приведём примеры некоторых значимых результатов, полученных за последнее десятилетие.

В работе Киселёва A.B. [104] для гиперболических уравнений Тоды

иуу =ехр(Ки),

где К - невырожденные симметризуемые матрицы, рассмотрены алгебро-геометрические свойства. Для потенциального уравнения мКдВ

11, = + и]

построена иерархия аналогов, установлена связь с иерархией уравнения КдВ

Т=Т +ТТ .

/ xxx \

Для бездисперсионного (2 + 1)-мерного уравнения Тоды

11x v = ехр(_ 1122 )

проведено описание групповых структур. Для многокомпонентных систем типа НУШ (мультисолитонных комплексов)

V, = 1УХХ + ¡МН)у установлены геометрические свойства.

В диссертации Зыкова С. А. [93] предложен новый метод построения нелинейных интегрируемых моделей, которые связаны операторами, аналогичными преобразованию Миуры, позволяющий строить последовательность новых уравненй по одному известному интегрируемому. Преимущество нового метода заключается в том, что для получаемых моделей он дает представление Лак-са. Алгоритм апробирован на уравнениях КдВ, Бт-Гордон, системах Каупа-Буссинеска и Додда-Буллафа, уравнении Цицейки

О,

где г - произвольный параметр для вещественного поля Были также

найдены новые интегрируемые модели: «дважды модифицированные» система Додда - Буллафа и уравнение зт-Гордон .

В статье Павлова М.В. [137] найдены преобразования Миуры для уравнения Буссинеска

и.. = д\

1 2 2 —и +—И

и построены соответствующие интегрируемые уравнения.

В работе Викторовой О.Д. [70] исследуется характер поведения, устанавливается свойство многосвязности линий уровня г = тж многосолитонных реше-ни уравнения эт-Гордон.

В диссертации Ищенко В.М. [96] получены нелинейные уравнения в част-

ных производных, имеющие операторную структуру Лакса, определена связь между операторными структурами Лакса и уравнением нулевой кривизны. Исследовано нелинейное уравнение диффузии

yqx (x,t) + fc(ln q(x,t))„ - 2 fx (x, t) = qt (*, t). Методами исследования выступили МОРЗ, метод Хироты, бегущих волн; рассмотрен вопрос о наличии бесконечной последовательности законов сохранения; получено решение в виде функций Вейерштрасса, в виде ряда Лорана, автомодельное решение.

Предметом исследования статьи Кулеша Е. Е., Мартынова И. П. [111] является наличие свойства Пенлеве у уравнения в частных производных

coco ,+асо,со + Ьсо со ,+ссо со , = О,

лxx i i xxx x xxi xx xi 7

где а, Ь, с — постоянные, и связанного с ним уравнения

utxl = (3 - с)иих1 + (с + 3)uxut + {с - Ъ)и2и1 - 0.

В диссертации Кащеевой О.Н. [101] получены условия необходимости представления системы дифференциальных уравнений кирального типа

u:y + G;yu!:ui + Qa =

где х, у - независимые переменные, Gafi^Qa - гладкие функции от U\...,U"; индексы а,/3,у принимают значения от 1 до п, в виде структуры Лакса со значениями в компактной алгебре Ли. Также в работе произведено построение четы-рехкомпонентной системы, являющейся новым интегрируемым обобщением уравнения sin-Гордон.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Новикова, Ольга Викторовна, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ablowitz M. J. Nonlinear evolution equations of physical significance / M. J. Ablowitz, D.J. Kaup, A.C Newell, H.Segur // Physical Review Letters. - 1973. - V. 31.-P 125 - 127.

[2] Ablowitz M.J. Method for solving the Sine-Gordon equation / M.J. Ablowitz, D.J. Kaup, A.C Newell, H. Segur // Physical Review Letters. - 1973. - V. 30. - P. 1262- 1264.

[3] Ablowitz M.J. The inverse scattering transform - Fourier analysis for nonlinear problems / M.J. Ablowitz, D.J. Kaup, A.C Newell, H. Segur // Stud. Appl. Math. - 1974. - V. 53. - P. 249 - 315.

[4] Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. Nonlinear evolution equations of Painleve type / M.J. Ablowitz, A. Ramani, H. Segur // Lett, al Nuovo Cimento. -

1978.-V. 23.-P. 333 -338.

[5] Adler M. On a trace functional for formal pseudo-differential operators and the symplectic structure of the Korteweg-de Vries equation / M. Adler // Inv. Math. -

1979.-V. 50.-P. 219-248.

[6] Berezin F.A. Group theoretic interpretation of the Korteweg-de Vries type equations / F.A. Berezin, A.M. Perelomov // Comm. Math. Phys. - 1980. - V. 74. -P. 129-140.

[7] Boussinesq J. Theorie de l'intumescence liquid appelee onde solitaire ou de translation, se propagente dans un canal rectangulaire / J. Boussinesq // Compte Rendus Acad. Sci. Paris. - 1871. - V. 72. - P. 755 - 759.

[8] Boussinesq J. Theorie des ondes et de remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal / J. Boussinesq // J. Math. Pures Appl. - 1872. - Ser. 2, 17.-P. 55- 108.

[9] Chen H.H. Integrability of nonlinear Hamiltonian systems by inverse scattering method / H.H. Chen, Y.C. Lee, C.S. Liu // Physica Scripta. - 1979. - V. 20. - P. 490 - 492.

[10] Davey A. The Propagation of a weakly nonlinear wave / A. Davey 11 Journal of Fluid Mechanics. - 1972. - Vol. 53. - P. 769 - 781.

[11] Davydov A.S. The role of solitons in the energy and electron transfer in one-dimensional molecular systems / A.S. Davydov // Physica D. - 1981. - V. 3. - P. 1 -22.

[12] Ercolani N. Painleve property and geometry / N. Ercolani, E.D. Siggia // Physica D. - 1989. - V. 34. - P. 303 - 346.

[13] Ercolani N. Painleve property and integrability / N. Ercolani, E.D. Siggia // Physics Letters A. - 1986. - V. 119. -№3. - P. 112 - 116.

[14] Fermi E. Studies of nonlinear problems / E. Fermi, J. Pasta, S. Ulam // Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-1940. - 1955.

[15] Flaschka H. On the Toda lattice. II. Inverse scattering solution / H. Flaschka // Progress of Theoretical Physics. - 1974.-V. 51.-P. 703-716.

[16] Flaschka H. The Toda lattice. I. Existence of integrals / H. Flaschka // Phys. Rev. B.- 1974.-V. 9.-P. 1924- 1925.

[17] Fokas A.S. On the inverse scattering and direct linearizing transforms for the Kadomtsev- Petviashvili equation / A.S. Fokas, M.J. Ablowitz // Studies in Applied Mathematics. - 1983. -V. 68. - P. 1 - 12.

[18] Gardner C.S. Method for solving the Korteweg-de Vries equation / C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, K.M. Miura // Physical Review Letters. - 1967. -V. 19.-P. 1095- 1097.

[19] Gardner C.S. The Korteweg-de Vries equation and generalizations. VI. Methods for exact solution / C S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, K. M. Miura // Comm. Pure Appl. Math. - 1974. - № 27. - P. 97 - 133.

[20] Hasimoto H. Nonlinear modulation of gravity waves / H. Hasimoto, H. Ono // J. Phys. Soc. Japan. - 1972. - Vol. 33. - P. 805 - 811.

[21] Hirota R. Nonlinear partial .difference equations V. Nonlinear equations reducible to linear equations / R. Hirota // J. Phys. Soc. Japan. - 1979. - V. 46. - P. 312 -319.

[22] Hirota R. N-soliton of nonlinear network equations describing a Volterra system / R. Hirota // J. Phys. Soc. Japan. - 1976. - V. 40. - P. 891 - 900.

[23] Hirota R., Satsuma J. A variety of nonlinear network equations generated from the Backlund transformation for the Toda lattice / R. Hirota, J. Satsuma // Prog. Theoret. Phys. Suppl. - 1976. - V. 59. - P. 64 - 100.

[24] Hyman J.M. On Davydov's alpha-helix solitons / J.M. Hyman, D.W. McLaughlin, A.C. Scott//Physica D. - 1981. -V. 3. - P. 23 -44.

[25] Kaup D.J. The three-wave interaction a nondispersive phenomenon / D.J. Kaup // Stud. Appl. Math. - 1976. - V. 55. - P. 9 - 44.

[26] Kazhdan D. Hamiltonian group actions and dynamical systems of Calogero type / D. Kazhdan, B. Kostant, S. Sternberg // Comm. Pure Appl. Math. - 1978. - V, 31.-P. 481 -507.

[27] Korteweg D.J. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel, and on a new type of long stationary waves / D.J. Korteweg, G. de Vries // Phil. Mag. - 1895. - Vol. 39. - P. 422 - 443.

[28] Krichever I.M. Self-similar solutions of equations of Korteveg-de Vries type / I. M. Krichever // Funkts. Anal. Prilozh. - V. 14. - № 3. - P. 83 - 84.

[29] Kruskal M.D. Asymptotology in numerical computations: Progress and plans on the Fermi-Pasta-Ulam problem / M.D. Kruskal // Proc. IBM Scientific Computing Symposium on Large-Scale Problems in Physics, IBM Data Processing Division, White Plains, N. Y. - 1965. - P. 43 - 62.

[30] Kruskal M.D. Progress on the Fermi-Pasta-Ulam non-linear string problem / M.D. Kruskal, N.J. Zabusky // Princeton Plasma physics Lab. Annual Rept. MATT-Q-21, Princeton, N. J. - 1963. - P. 301—308.

[31] Kruskal M.D. The Korteweg-de Vries Equation and Related evolution equations / M.D. Kruskal // Lectures in Applied Mathematics. - 1974. - V. 15. - P. 61 -83.

[32] Kruskal M.D. The Painleve-Kovalevski and Poly-Painleve Test for integrabil-

ity / M.D. Kruskal, P.A. Clarkson // Studies in Applied Mathematics. - 1992. - V. 86.

130

-P. 87- 165.

[33] Lake B.M. Non-linear deep water waves: theory and experiment, Part 2 / B.M. Lake, H.C. Yuen, H. Rungaldier, W.E. Ferguson // Journal of Fluid Mechanics. -1977.-V. 83.-P. 49-74.

[34] Lebedev D.R. Hidden symmetries / D.R. Lebedev, Yu. I. Manin // ITEP, preprint. - 1978. - 27 p.

[35] Manakov S.V. The inverse scattering transform for the time dependent Schrodinger equation and Kadomtsev- Petviashvili equation / S.V. Manakov // Physica D. - 1981. - V. 3. - P. 420 - 427.

[36] McKean H.P. The spectrum of Hill's operator / H.P. McKean, P. van Moer-beke // Inventiones Mathematicae - 1975. - V. 30. - № 3. - P. 217 - 274.

[37] McKean H. P. Hill's operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely many branch points / H.P. McKean, E. Trubowitz // Comm. Pure Appl. Math. - 1976. - V. 29. - P. 143 - 226.

[38] Miura R. M. Conservation laws for the fully nonlinear long-wave equations / R. M. Miura // Stud. Appl. Math. - 1974. - V. 53. - P. 45 - 56.

[39] Miura R. M. Korteweg-de Vries equation and generalizations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation / R. M. Miura // J. Math. Phys. - 1968. - V. 9. - № 8.-P. 1202- 1204.

[40] Miura R. M. The Korteweg-de Vries quation: a survey of results / R. M. Miura // SIAM Rev. - 1976. - V. 18. - P. 412 - 459.

[41] Miura R.M. Korteweg-de Vries equation and generalizations II. Existence of conservation laws and constants of motion / R.M. Miura, C.S Gardner, M.D. Kruskal // Journal of Mathematical Physics. - V. 9. - 1968. - P. 1204 - 1209.

[42] Painleve P. Lecons sur la theorie analytique des equation s different!elles professes a Stokholm / P. Painleve. - Paris: Librairie scientifique A. Hermann. - 1897. -589 c.

[43] Painleve P. Memo ire sur les equations differentielles dont l'integrale generale

est uniforme / P. Painleve // Bull. Soc. Math. France. - 1900. - V. 28. - P. 201 - 261.

131

[44] Painleve P. Sur les equations différentielles du second ordre et d'ordre supérieure dont l'integrable generale est uniforme / P. Painleve //Acta Math. - 1902. - V. 25. - P. 1-85.

[45] Perring J.K. A model unified theory / J.K. Perring, T.H.R. Skyrme //Nucl. Phys. - 1962. - V. 31. -P. 550-555.

[46] Ramani A. The Painleve property and singularity analysis of integrable and nonintegrable systems / A. Ramani, B. Grammaticos, T. Bountis II Physics reports. -1989. - V. 180. - № 3. - P. 159 - 245.

[47] Rayleigh L. On waves / L. Rayleigh // Phil. Mag. - 1876. - Vol. 1. - P. 257279.

[48] Russell J.S. Report of the committee on waves / J. S. Russell // Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science. - London. John Murray. - 1838. - P. 417 - 496.

[49] Russell J.S. Report on waves / J.S. Russell // Rept. 14th meetings of the British Assoc. for the Advancement of Science. - London: John Murray. - 1844. - P. 311 -390.

[50] Russell J.S. The modern system of naval architecture / J. S. Russell. - London: Day and Son, 1865.

[51] Satsuma J. N-soliton solution of the two-dimensional Korteweg-deVries equation / J. Satsuma II J. Phys. Soc. Japan. - 1976. - V. 40. - P. 286 - 290.

[52] Scott A.C. The soliton: A new concept in applied science / A.C. Scott, F.Y.F. Chu, D.W. McLaughlin // Proc. IEEE. - 1973. - V. 61. - P. 1443 - 1483.

[53] Seeger A. Theorie der Versetzungen in eindimensionalem Atomreihen III. Versetzungen, Eigenbewegungen and ihre Wedchselwukung / A. Seeger, H. Donth, A. Kochendorfer// Zeitschrift fur Physik. C. - 1953. -V. 134. -P. 173 - 193.

[54] Wadati M. The exact solution of the modified Korteweg- de Vries equation / M. Wadati // J. Phys. Soc. Japan. - 1972. - Vol. 32. - P. 1681 - 1687.

[55] Wahlquist H.D. Prolongation structures of nonlinear evolution equations / H.D. Wahlquist, F.B. Estabrook // Journal of Mathematical Physics. - 1975. - V. 16.

132

-P. 1-7.

[56] Zabusky N.J. Computational synergetics and mathematical innovations / N.J. Zabusky// Journal of Computational Physics. -1981. -V. 43. -P. 195-249.

[57] Zabusky N.J. Interaction of «solitons» in a collisionless plasma and the rec-curence of initial states / N.J. Zabusky, M.D. Kruskal // Physical Review Letters. -1965.-Vol. 15. -№ 6. - P. 240-243.

[58] Абловиц M. Солитоны и метод обратной задачи: Пер. с англ. / М. Абло-виц, X. Сигур. - М.: Мир, 1987. - 479 с.

[59] Асташова И.В. Об асимптотическом поведении решений нелинейных дифференциальных уравнений с комплексными коэффициентами / И.В. Асташова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. - 2012. - Том 5. - № 124. - С. 33 - 46.

[60] Бахнян М.К. Исследование модельных гамильтонианов в системах с сильными корреляциями: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.04.02 / Бахнян Михаил Константинович. -М., 2012. - 15 с.

[61] Беклемишев С.А. Влияние дискретности и ангармонизма на пиннинг со-литонов в кристаллическом поле: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук: 01.04.07 / Беклемишев Сергей Андреевич.-М., 2009.-88 с.

[62] Белинский В.А. Солитоны в теории гравитации / В.А. Белинский // Успехи физических наук. - 1982. - Том 136. - Вып. 3. - С. 541 - 542.

[63] Белявский В.И. Уравнения Гинзбурга-Ландау для высокотемпературных сверхпроводников / В.И. Белявский, Ю.В. Копаев // Успехи физических наук. -2007. - Т. 177. - № 5. - С. 565-570.

[64] Беспрозванных В.Г. Нелинейная оптика: учеб. пособие / В.Г. Беспро-званных, В.П. Первадчук. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. университета, 2011. - 200 с.

[65] Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные инте-

133

грируемые уравнения / О.И. Богоявленский. - М.: Наука. Гл. ред. мат. лит., 1991.-320 с.

[66] Борзых A.B. Метод Хироты и солитонные решения многомерного нелинейного уравнения Шредингера / A.B. Борзых // Сибирский математический журнал. - 2002. - Т. 43. - № 2. - С. 268 - 270.

[67] Борич М.А. Нелинейные волны в магнитных пленках и слоистых структурах: распространение и взаимодействие: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.04.07 / Борич Михаил Александрович. - Екатеринбург, 2005. - 137 с.

[68] Буланов С.С. Нелинейные эффекты генерации электрон-позитронных пар и ультракоротких импульсов сильными электромагнитными полями в вакууме и плазме: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук; 01.04.02 / Буланов Степан Сергеевич. - М., 2005. - 111 с.

[69] Буллафа Р. Солитоны / Р. Буллафа, Ф. Кодри. - М.: Мир, 1983 г. - 408 с.

[70] Викторова О.Д. О многосвязности линий уровня тя n-солитонных решений уравнения синус-Гордона / О.Д. Викторова // Фундаментальная и прикладная математика. - 2005.- Т. 11. - № 1. - С. 255 - 263.

[71] Войцеховская А.Д. Трансформация и нелинейное взаимодействие волн в солнечной атмосфере и в космической плазме: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук: 01.03.03 / Войцеховская Анна Дмитриевна. - Киев, 2003. - 126 с.

[72] Галишников A.A. Солитоны поверхностной магнитостатической волны в структуре феррит-диэлектрик-металл: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.04.03 / Галишников Александр Александрович. - Саратов, 2007. - 153 с.

[73] Галль Л.Н., Галль Н.Р. Сверхслабые воздействия - нелинейные явления в живых системах [Электронный ресурс] / Л.Н. Галль, Н.Р. Галь // Сборник избранных трудов V Международного конгресса «Слабые и сверхслабые поля и

излучения в биологии и медицине». - С.-Пб. - 2009. - Режим доступа:

134

http://www.biophys.ru/archive/congress2009/pro-pl.pdf.

[74] Гаряев П.П. Теоретические модели волновой генетики и воспроизведение волнового иммунитета в эксперименте / П.П. Гаряев, A.A. Кокая, Е.А. Jleo-нова-Гаряева, Э.Р. Мулдашев, И.В. Мухина, М.В. Смелов, Г.Г. Тертышный, A.B. Товмаш, Л.С. Ягужинский // Основы физического взаимодействия: теория и практика. Материалы I Международной научно-практической конференции. -Киев: Университет «Украина». - 2008. - С. 23 - 107.

[75] Гельфанд И.М. Резольвенты и гамильтоновы системы / И.М. Гельфанд, Л.А. Дикий // Функциональный анализ и его приложения. - 1977. - Том И. -Вып. 2.-С. 11-27.

[76] Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В.В. Голубев. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1941.-400 с.

[77] Губанков В.Н. Солитоны. Изд. 2, испр. / В.Н. Губанков. - М.: Эдиториал УРСС, 2011.- 120 с.

[78] Давыдов A.C. Солитоны в молекулярных системах / A.C. Давыдов. - Киев: Наукова Думка, 1984. - 288 с.

[79] Давыдов Е.А. Новые топологические нетривиальные решения в струнной гравитации и космологии: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук: 01.04.02 / Давыдов Евгений Александрович.-М., 2009.- 147 с.

[80] Данилов Ю.А. Солитоны в плазме / Ю.А. Данилов, В.И. Петвиашвили // Итоги науки и техники. Физика плазмы. - 1983. - Т. 4. - С. 5 - 47.

[81] Дикий Л.А. Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры / Л.А. Дикий, И.Я. Дорфман, И.М. Гельфанд // Функциональный анализ и его приложения. - 1979. - Том 13. - Вып. 4 . - С. 13-30.

[82] Додд Р. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Д. Эйлбек, Д. Гиббон, X. Моррис. -М.: Мир, 1988. - 694 с.

[83] Дубовский O.A. Генерация солитонов и бисолитонов нового типа в кристаллах ультразвуком и гиперзвуком / O.A. Дубовский, A.B. Орлов // Письма в

135

журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2012. - Том 96. - Вып. 7.-С. 509-514.

[84] Дубовский O.A. Солитоны сжатия двух типов в кристаллах с межатомным потенциалом взаимодействия Леннарда-Джонса / O.A. Дубовский, A.B. Орлов // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2008. - Том 87. - Вып 8. - С. 482 - 486.

[85] Есмаханова K.P. Солитонные решения (2+1)-мерных нелинейных уравнений типа Шредингера: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.01.02 / Есмаханова Куралай Рат-байкызы. - Алматы, 2008. - 20 с.

[86] Жарков A.A. Уединенные волны в плазме с магнитным полем: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук: 01.02.05 / Жарков Алексей Аркадьевич. - М., 2005. - 87 с.

[87] Захаров В. Е. Теория солитонов: Метод обратной задачи /В. Е Захаров, C.B. Манаков, С.П.Новиков, Л.П. Питаевский. - М.: Наука, 1980. - 320 с.

[88] Захаров В.Е. О резонансном взаимодействии волновых пакетов в нелинейных средах / В.Е. Захаров, C.B. Манаков // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1973. - Том 18. - Вып. 7. - С. 413 - 417.

[89] Захаров В.Е. Теортия резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах / В.Е. Захаров, C.B. Манаков // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1975. - Том 69. - № 5. - С. 1654 - 1673.

[90] Захаров В.Е. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах / В.Е Захаров, А.Б. Шабат // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1971, - Т. 61. - № 1. - С. 118 -134.

[91] Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости / В.Е. Захаров // Прикладная механика и теоретическая физика. - 1968. - № 2. - С. 86 - 94.

[92] Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных эволюци-

136

онных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния /

B.Е. Захаров, А.Б. Шабат // Функциональный анализ и его приложения. - 1974. - Том 6. - Вып. 3. - С. 43 - 53.

[93] Зыков С.А. Размножение нелинейных интегрируемых уравнений теоретической физики: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук:01.04.02 / Зыков Сергей Арленович. - Екатеринбург,

2004.- 103 с.

[94] Ильин В.А. Базисность систем корневых функций несамосопряженных операторов и интегрируемость ассоциированных представлением Лакса нелинейных эволюционных уравнений / В.А. Ильин, К.В. Мальков, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. - 1989. - т. 25. - № 11. - С. 1956 - 1970.

[95] Итс А.Р. Об операторах Хилла с конечным числом / А.Р. Итс, В.Б. Матвеев // Функциональный анализ и его приложения. - 1975. - Том 9. - Вып. 1. -

C. 69 - 70.

[96] Ищенко В.М. Нелинейное уравнение диффузии с солитонными свойствами: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.01.02 / Ищенко Валентина Михайловна. - Воронеж,

2005.- 109 с.

[97] Калоджеро Ф. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений: Пер. с англ. / Ф. Калоджеро, А. Дегасперис. - М.: Мир, 1985. - 472 с.

[98] Карташов Я.В. Уединённые нелинейные волны в микроструктурированных средах: формирование, стабилизация и контроль: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук: 01.04.05 / Карташов Ярослав Вячеславович. - Троицк, 2012. - 280 с.

[99] Карюк А.И. Квазилинейное волновое уравнение, обладающее парой Лакса / А.И. Карюк, Т.В. Редькина // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М: ОПиПМ. - 2008. - Том 14. - Вып. 4. - С. 717 - 718.

[100] Карюк А.И. Построение собственных функций для оператора рассеяния

137

третьего порядка / А.И. Карюк // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции (Владикавказ, 19-24 июля 2010 г.). - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - 2010. - С. 201 - 202.

[101] Кащеева О.Н. Интегририуемые системы кирального типа: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук:01.01.02 / Кащеева Ольга Николаевна. - Нижний Новгород, 2007. - 17 с.

[102] Кащенко С.А. Уравнение Гинзбурга-Ландау - нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием / С.А. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Том 38. - Вып. 3. - С. 457 - 465.

[103] Кившарь Ю.С, Агравал Г.П. Оптические солитоны / Ю.С. Кившарь, Г.П. Агравал. - М.: Физматлит, 2005. - 648 с.

[104] Киселёв A.B. Методы геометрии дифференциальных уравнений в анализе интегрируемых моделей теории поля // Фундаментальная и прикладная математика. - 2004. - Т. 10.-№ 1._с. 57- 165.

[105] Комаров М.В. Вопросы существования решений и их асимптотика для нелинейных эволюционных уравнений: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.01.02 / Комаров Михаил Владиславович. - Москва, 2012. - 114 с.

[106] Комлов A.B. Аналитические свойства решений некоторых классических и некоммутативных интегрируемых систем: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.01.01 / Ком-лов Александр Владимирович. - М., 2010 г. - 13 с.

[107] Копнин С.И. Пылевые звуковые возмущения в запылённой ионосферной плазме и их проявления: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук: 01.04.02 / Копнин Сергей Игоревич /. - М., 2008. -119 с.

[108] Короткое К.Г. Динамические свойства солитонов в биологических фрак-

138

талоподобных структурах / К.Г. Коротков, Э.В. Крыжановский // Системный подход к вопросам анализа и управления биологическими объектами: материалы Всероссийской научно-практической конференции (г. Москва 19-21 апреля 2000 г.). - М.-Спб. - 2000. - С. 8.

[109] Коршунов С.Е. Фазовые переходы в двумерных и слоистых системах с непрерывным вырождением: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук: 01.04.02 / Коршунов Сергей Евгеньевич. - Черноголовка, 2005. - 166 с.

[110] Кудряшов H.A. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений / H.A. Кудряшов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 360 с.

[111] Кулеш Е.Е. О свойствах решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными / Е.Е. Кулеш, И.П. Мартынов // Труды Института математики. -2006. - Т. 14. - № 1. - С. 94 - 99.

[112] Лаке П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны / П.Д. Лаке // Математика. - 1969. - Том 13. - № 5. - с. 128 - 150.

[113] Ломакина И.Ю. Особенности нелинейной динамики одномерных магнитных неоднородностей в ферро- и антиферромагнетиках: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук:01.04.07 / Ломакина Ирина Юрьевна. - Уфа, 2006. - 23 с.

[114] Лэм Д.Л. Введение в теорию солитонов / Д.Л. Лэм. - М.: Мир, 1983. -294 с.

[115] Маймистов А.И. Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике / А.И. Маймистов // Научно-технический вестник. Сер. Проблемы когерентной и нелинейной оптики. - 2002. - Вып. 2. - С. 114 - 143.

[116] Маймистов А.И. Солитоны в нелинейной оптике / А.И. Маймистов // Квантовая электроника. - 2010. - Том 40. - № 9 - С. 756 - 781.

[117] Маймистов А.И. Формирование щелевого солитона в антинаправленном нелинейном ответвителе / А.И. Маймистов, М.С. Рыжов // Квантовая электро-

139

ника.-2012.-Том 42.-№ 11.-С. 1034- 1038.

[118] Манаков C.B. Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения /C.B. Манаков // Успехи математических наук. - 1976. - Том 31.-Вып. 5 (191).-С. 245-246.

[119] Манцызов Б.И. Динамика нелинейных уединенных волн и эффективность параметрического взаимодействия в фотонных кристаллах: диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук: 01.04.05 / Манцызов Борис Иванович. - М., 2006. - 257 с.

[120] Матвеенко С.И. Периодические структуры в низкоразмерных коррелированных системах: автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук: 01.04.02 / Матвеенко Сергей Иванович. -Черноголовка, 2012. - 26 с.

[121] Ниров Х.С. Классификация, симметрии и решения тодовских систем: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук: 01.04.02 / Ниров Хазретали Сефович. - М., 2009. - 39 с.

[122] Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза / С.П. Новиков // Функциональный анализ и его приложения. - 1974. - Том 8. - Вып. 3. - С. 54 -66.

[123] Новикова О.В. Автомодельные решения комплекснозначного нелинейного дифференциального уравнения в частных производных / О.В. Новикова // Вестник Северо-Кавказского федерального университета. Научный журнал. -Ставрополь. - 2014 г. - № 1 (40). - С. 13 - 20.

[124] Новикова О.В. Исследование комплекснозначного нелинейного уравнения в частных производных / О.В. Новикова // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. - Калининград: Изд-во БФУ им. И. Канта. -2012. - Вып. 4. - С. 160 - 166.

[125] Новикова О.В. История развития солитонной математики / О.В. Новикова // Общественно-экономические и политико-правовые проблемы регионального развития современной России. Сборник научных статей. - Пятигорск: Рено

кламно-информационное агентство на Кавминводах. - 2010. - С. 214 - 216.

[126] Новикова О.В. Множество решений для нелинейного уравнения в частных производных с комплекснозначными функциями / О.В. Новикова, Т.В. Редькина // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции (Владикавказ, 19-24 июля 2010 г.). - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - 2010. - С. 218 -220.

[127] Новикова О.В. Некоторые автомодельные решения комплекснозначного нелинейного дифференциального уравнения солитонного типа [Электронный ресурс] / О.В. Новикова // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОШСОВ-2014». - Москва: МАКС Пресс, 2014. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

[128] Новикова О.В. Пара Лакса для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных на комплекснозначную функцию / О.В. Новикова // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.).-Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А.-2013.-С. 136- 137.

[129] Новикова О.В. Построение точных решений в виде бегущих волн для нелинейного уравнения в частных производных второго порядка / О.В. Новикова, Т.В. Редькина // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М: ОПиПМ. - 2010. - Том 17. - Вып. 4.- С. 580.

[130] Новикова О.В. Применение метода Хироты при решении дифференциального уравнения в частных производных / О.В. Новикова // Современные вопросы науки - XXI век: Сборник научных трудов по материалам VII международной научно-практической конференции (29 марта 2011 г.). - Тамбов: Изд-во Тамбовского областного института повышения квалификации работников образования. - 2011.-Вып. 7.-Ч. 1.-С. 102- 103.

[131] Новикова О.В. Решение с полюсными особенностями для уравнения с

комплекснозначными функциями / О.В. Новикова, Т.В. Редькина // Обозрение

141

прикладной и промышленной математики. - М: ОПиПМ. - 2010. - Том 17. -Вып. З.-С. 448-449.

[132] Новикова О.В. Свойство Пенлеве для уравнения в частных производных второго порядка / О.В. Новикова, Т.В. Редькина // Тезисы докладов II Международной школы-семинара «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (Иркутск, 28 июня - 4 июля 2010). - Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2010. - С. 57 - 58.

[133] Новикова О.В. Частное решение, полученное методом Хироты для нелинейного комплекснозначного уравнения / О.В. Новикова, Т.В. Редькина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXII». - Воронеж: Издатель-ско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. -2011.-С. 131-132.

[134] Новикова О.В. Частный случай автомодельного решения нелинейного уравнения / О.В. Новикова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения -XXV». - Воронеж: Издательско-полиграфический центр «Научная книга». -2014.-С. 131-132.

[135] Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов / В.Ю Новокшенов. -Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 96 с.

[136] Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике / А. Ньюэлл. - М.: Мир, 1989.-328 с.

[137] Павлов М.В. Уравнение Буссинеска и преобразования типа Миуры / М.В. Павлов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2004. - Т. 10. - № 1.-С. 175-182.

[138] Петухов C.B. Биосолитоны - тайна живого вещества. Основы солитон-ной биологии / C.B. Петухов. -М.: ГП Кимрская типография, 1999. - 288 с.

[139] Полянин А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики / А.Д. Полянин, В.Ф.Зайцев, А.И. Журов. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2005. - 256 с.

[140] Редькина Т.В. Использование несамосопряженных операторов для построения нелинейных уравнений с солитонными свойствами / Т.В. Редькина // Вестник Ставропольского государственного университета. 2011. - Вып. 75. - № 4.-С.31 -38.

[141] Редькина Т.В. Использование потенциалов Баргмана для построения точных решений / Т.В. Редькина // Материалы VIII международной научно-практической конференции «Образование и наука в XXI веке - 2012». - София: «Бял ГРАД-БГ» ООД. - 2012. - Том 43. Математика. Физика. - С.З - 6.

[142] Редькина Т.В. Нелинейные уравнения в частных производных, имеющие операторную структуру изоспектральной деформации / Т.В. Редькина, А.И. Ка-рюк, Г.А. Лушникова // Системы обработки информации. - 2008. - Вып. 2. - № 69.-С. 18-28.

[143] Редькина Т.В. Нелинейные уравнения, интегрируемые методами соли-тонной математики: монография / Т.В. Редькина. - Германия: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. - 161 с.

[144] Редькина Т.В. Преобразование Бэклунда для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных / Т.В. Редькина, Г.А. Лушникова // Сборник научных трудов Харьковского университета Воздушных Сил. - 2009. -Вып. 3. -№ 21. - С. 146-148.

[145] Розанова H.H. Гистерезис волн переключения и диссипативные солито-ны в нелинейных магнитных метаматериалах / H.H. Розанова, Н.В. Высотина, А.Н. Шацев, И.В. Шадривов, Ю.С. Кившарь // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2011. - Том 93. - Вып. 12. - С. 826 - 829.

[146] Рыбаков Ю.П. Солитоны и квантовая механика / Ю.П. Рыбаков // Дискуссионные вопросы квантовой физики. - Москва: Изд-во РУДЫ. - 1993. - С. 83 - 89.

[147] Рыбников А. К. Связности Бэклунда и отображения Бэклунда, соответствующие эволюционным уравнениям второго порядка / А.К. Рыбников, К.В.

Семенов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2004. - № 5. -

143

С. 52-68.

[148] Рыбников A.K. Дифференциально-геометрические структуры, определяющие преобразования Ли-Бэклунда / А.К. Рыбников // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 425. - № 1. - С. 25 - 30.

[149] Рыбников А.К. Отображения Бэклунда и преобразования Ли-Бэклунда как дифференциально-геометрические структуры / А.К. Рыбников // Фундаментальная и прикладная математика. - 2010. - Том 16. - № 1. - С. 135 - 150.

[150] Рыбников А.К. Отображения Бэклунда с точки зрения теории связностей / А.К. Рыбников // Учёные записки Казанского государственного университета. Сер. Физ,-матем, науки. - 2009. - Том 151. - № 4. - С. 93 - 115.

[151] Рыбников А.К. Построение солитонов уравнений синус-Гордона и Кор-тевега-де Фриза при помощи связностей, определяющих представления нулевой кривизны / А.К. Рыбников // Учёные записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки. - 2011. - Т. 153. - № 3. -С. 72-80.

[152] Рыбников А.К. Теория связностей и проблема существования преобразований Бэклунда для эволюционных уравнений второго порядка / А.К. Рыбников // Доклады Российской Академии наук. - 2005. - Т. 400. - № 3. - С. 319 -322.

[153] Сазонов C.B. Резонансные и нерезонансные оптические солитоны: сходства и различия / C.B. Сазонов // Известия РАН. Серия физическая. - 2011. -Том 75. - № 12. - С. 1755 - 1759.

[154] Сидоров C.B. О хаотической динамике в решениях вида бегущей волны / C.B. Сидоров // Труды Института системного анализа Российской Академии наук. Динамика неоднородных систем. - 2008. - Т. 33. - Вып. 12. - С. 176 - 184.

[155] Скотт Э. Нелинейная наука. Рождение и развитие когерентных структур / Э. Скотт. - М.: Физматлит,2007. - 560 с.

[156] Слепов H.H. Солитонные сети / H.H. Слепов // Сети. - 1999. - № 3. - С. 90- 100.

[157] Смелов M.B. Приёмопередатчик электромагнитных солитонов / М.В. Смелов // Физическая мысль России. - 1998. - № 2. - С.31.

[158] Смелов М.В. Электромагнитные солитоны вакуума / М.В. Смелов // Сборник трудов IV Международной научно-технической конференции «Антен-но-фидерные устройства, системы и средства связи». - Воронеж: КБ АФУ. -1999.-С. 425-494.

[159] Смирнов Е.В. Дискретные пространственные солитоны и их взаимодействие в фоторефрактивных системах связанных оптических канальных волноводов в кристаллах ниобата лития: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук: 01.04.05 / Смирнов Евгений Владимирович. - Томск, 2009. - 165 с.

[160] Смирнов Е.Я. К вопросу о механизмах развития и функционирования живых организмов [Электронный ресурс] / Е.Я. Смирнов // Сборник трудов Международного научного Конгресса «Фундаментальные проблемы естествознания и техники 2006». - С.-пб. - 2006. - Режим доступа: http://physical-congress.spb.ru/2006rus.asp.

[161] Сухорукое А. П. Столкновение оптических импульсов нелинейной среде / А.П. Сухоруков, В.Е. Лобанов // Учёные записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки. - 2010. - Т. 152. - № 3. -С. 157- 163.

[162] Татаркина O.A. Исследование пропускной способности солитонных волоконно-оптических систем передачи в зависимости от параметров линейного тракта: диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук: 05.12.13 / Татаркина Ольга Александровна. - Новосибирск, 2006. - 191 с.

[163] Устинов А.Б. Нелинейные колебания и волны в ферромагнитных плёнках и структурах на их основе: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук: 01.04.03 / Устинов Алексей Борисович. - С.-Пб., 2012.-36 с.

[164] Ферми Э. Научные труды. Том 2 / Э. Ферми. - М.: Наука, 1972. - 712 с.

145

[165] Хасанов А.Б. О конечно плотном решении высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником / А.Б. Хасанов, A.A. Рейимберганов // Уфимский математический журнал. - 2009. - Том.1. - № 4. -С. 133 - 143.

[166] Чыонг Ч.С. Диссипативные световодные брэгговские солитоны: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.04.05 / Чан Суан Чыонг - С.-Пб., 2007. - 18 с.

[167] Шамсутдинов М.А. Введение в теорию доменных стенок и солитонов в ферромагнетиках: учебное пособие / М.А. Шамсутдинов, В.Н. Назаров, А.Т. Харисов. - Уфа: БашГУ, 2010. - 148 с.

[168] Шешукова С.Е. Нелинейные магнитостатические волны в слоистых ферромагнитных структурах и магнонных кристаллах: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 01.04.03 / Шешукова Светлана Евгеньевна. - Саратов, 2012. - 19 с.

[169] Шишмарёв И.А. Асимптотика при больших временах решений комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга / И.А. Шишмарёв, М. Цуцуми // Математический сборник. - 1999. - Т. 190. -№ 4. - С. 95 - 114.

[170] Щерблюк Н.Г. Точные решения в пятимерных и шестимерных супергравитациях: автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук: 01.04.02 / Щерблюк Николай Геннадьевич. - М., 2010.-15 с.