Исследование моделей управляемой фурье-фильтрации в нелинейно-оптических системах с обратной связью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чушкин, Владимир Александрович

• Чушкин, Владимир Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чушкин, Владимир Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ДИСКРЕТНОЙ ФУРЬЕ-ФИЛЬТРАЦИИ В НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ.

§1.1 Математические модели нелинейно-оптических систем с фурье-фильтрацией в контуре обратной связи.

§1.2. Дискретный подход к математическому описанию процесса фурье-фильтрации в конфокальной 4 — f системе двух тонких линз. Постановки начально-краевых задач для параболического функционально-дифференциального уравнения оитической фурье-фильтрации.3G

§1.3. Основные свойства функционального слагаемого в уравнении оптической фурье-фильтрации.

§1.4. Существование и единственность решения начально-краевых задач в энергетическом классе. Липшиц-непрерывная зависимость решения от фурье-фильтра и от начальных данных.

Регулярность решения при t > to > 0 и при £ > 0.

§1.5. Максимальный аттрактор эволюционного уравнения оитической фурье-фильтрации.

§1-6. Оценки сверху и снизу хаусдорфовой размерности аттрактора.G

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫМ ФИЛЬТРОМ ФУРЬЕ.

§2.1. Постановки задач минимизации для общих терминальных и интегральных функционалов качества на компактном и слабо компактном множествах гильбертова пространства t-i.

§2.2. Разрешимость задач оптимального управления дискретным фурье-фильтром.

§2.3. Постановка задачи оптимального управления дискретным фурье-фильтром с целевой функцией, образованной линейной комбинацией терминального и интегрального функционалов. Сопряжённая задача. Основные свойства функционального слагаемого в правой части уравнения сопряженной задачи.

§2.4. Существование и единственность обобщённого решения сопряжённой задачи в энергетическом классе. Гёльдер-непрерывная зависимость решения сопряженной задачи от управления.

§2.5. Градиент целевого функционала в задаче оптимального управления фурье-фильтром. Гёльдер-непрерывпая зависимость градиента от управления.

§2.G. Решение задачи оптимизации методом условного градиента. Сходимость к стационарным точкам в задаче оптимального управления фурье-фильтром на компакте.13G

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ФУРЬЕ-ФИЛЬТРА ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ

ЗАДАННОЙ ФАЗЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ.

§3.1. Метод условного градиента для решения задачи математического программирования на единичном параллелепипеде в пространстве CN.

§3.2. Проекциопио-разностная аппроксимация задачи оптимизации.

§3.3. Численное исследование влияния количества управляемых гармоник фильтра Фурье на результат оптимизации.

§3.4. Основные параметры модели и характер их влияния на качество оптимизации.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование моделей управляемой фурье-фильтрации в нелинейно-оптических системах с обратной связью»

В последние десятилетия в физической оптике активно иссле/[уются нелинейно-оптические системы с пространственно-распределенной обратной связью (ОС) [3, 4, 19, 20, 24, 29, 48, 49, 50, 51, 60, 61, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 119, 120, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130,

131, 132, 133, 135,139, 140, 141, 142, 143] (см. также обширную библиографию в [60, 103, 106, 111]). Большой интерес к системам с ОС объясняется тем, что эти системы являются, по-существу, универсальными оптическими компьютерами для изучения процессов самоорганизации, автоволновой неустойчивости и хаоса [4]. В работах [3, 4, 24, 29, 50, 51, 60, 61, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 113, 114, 115, 116, 119, 120, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130,

132, 133, 135, 139, 141, 142] в нелинейных системах с ОС были не только экспериментально обнаружены основные типы автоволновых процессов такие, как структуры Тыоринга-Пригожина [62], автоколебания [62, 134], ведущие центры, оптические ревербераторы, различного рода спиральные волны [3, 4, 104, 116,142] и локализованные структуры [106,133], но и исследованы новые эффекты нелинейной динамики [60, 120], а также предложены возможные теоретические подходы к объяснению таких сложных явлений, как, например, развитие вторичных неустойчивостей [113] либо сценариев перехода к пространственно-временному хаосу [4, 107]. Кроме того, возрастанию интереса к системам с обратной связью способствовало развитие идей оптической обработки информации [7, 19, 20, 21, 81, 102, 140] и практических приложений оптических систем с обратной связью, самыми известными (и успешными) из которых на сегодняшний день являются высокоразрешающая коррекция волнового фронта, которая достигается либо в результате дифракции световых волн [112, 136, 141], либо при помощи специальным образом организованной пространственной фильтрации световой волны в контуре ОС [111, 117, 122], и применение коррекции волнового фронта к различным задачам адаптивной оптики, например, к задачам астрономии (см. [19], а также библиографию в [117]) и медицины [49].

В различных областях науки и техники под фурье-фильтрацией понимается воздействие на функцию состояния динамической системы посредством изменения её образа непрерывного или дискретного пространственного преобразования Фурье. В физической оптике широко используется свойство тонкой линзы осуществлять в своем фокусе преобразование Фурье светового поля перед линзой (см. [7, 11, 22, 81, 82, 102] и др.). Таким образом, в оптике открываются поистине уникальные возможности для пространственной фильтрации световой волны, поскольку пространство Фурье-образов оказывается напрямую доступным для наблюдения и контроля с помощью так называемых фурье-фильтров [22]. В простейшем случае фурье-фильтр состоит из конфокальной 4 — f системы двух тонких линз с общей фокальной плоскостью, в которой установлен пространственный фильтр (ПФ) [51, 60, 61, 121, 122] или жидкокристаллический пространственно-временной модулятор света (ЖК-ПВМС) [117].

Сравнительная простота экспериментальной реализации и высокая скорость выполнения операции оптической фурье-фильтрации привели к тому, что техника пространственной фильтрации получила широкое распространение в нелинейно-оптических системах с обратной связью [4, 24, 50, 51, 60, 61, 111, 115, 117, 122, 124, 139]. В таких системах в контур оптической обратной связи помещается 4 — f система с управляемым ПФ, выбор которого определяет основные качественные свойства фазово-амплитудного преобразования, осуществляемого контуром обратной связи, и, следовательно, пространственно-временную динамику оптической системы в целом [60]. Классическая схема пассивного кольцевого резонатора, содержащего тонкий слой нелинейной среды керровского типа, а также оптическую фурье-фильтрацию и преобразование пространственных координат в контуре обратной связи, из работ [4, 60] приводится на рис. 0.1. Такая оптическая система функционирует следующим образом. Входная волна с в общем случае неоднородным по пространству (в пределах апертуры) распределением интенсивности Iin(x) = \Ain(x)\2 ф const, и неплоским волновым фронтом падает на вход оптической системы, в которой после прохождения тонкого слоя нелинейной среды керровского типа световая волна приобретает дополнительный фазовый набег u(x,t). После этого часть энергии световой волны покидает оптическую систему, но отразившаяся от зеркала другая часть энергии световой волны заводится в контур оптической обратной связи, где подвергается различным преобразованиям: операции фурье-фильтрации с фильтром р и/или преобразованию пространственных координат. Прошедшая через контур волна обратной связи с интенсивностью Ifb{%'р) = |Afb(^'3 t] р)\2 взаимодействует с входным полем, тем самым определяя дополнительный фазовый набег u(x,t), приобретаемый проходящей через нелинейную среду световой волной. При этом вносимая нелинейным элементом фазовая задержка и(х, t) пропорциональна падающей на керровский элемент (управляющей) интенсивности световой волны [4, 24, 29, 90, 111]. В том случае, если при сложении входного поля Ain(x) и поля обратной связи Арв(х', t', р) (здесь А(п(х) и обозначают комплексные амплитуды входного поля и волны обратной связи, соответственно) не происходит интерференционных взаимодействий [G7, 111], то динамика дополнительной фазовой модуляции световой волны u(x,t) в однопроходовом приближении прописывается следующим нелинейным релаксационным уравнением Дебаевского типа [24, 67, 90, 111], учитывающего диффузию частиц нелинейной среды [4]: rdtu(x, t) + и(х, t) - DA±u(x, t) = К [Iin(x) + IFB(x\ t; p)], (0.1) где r - характерное время релаксации нелинейности, А± = д%1Х + с^2Х2 -оператор Лапласа по поперечным декартовым координатам х = (2:1,2:2), D - эффективный коэффициент диффузии частиц нелинейной среды, К - параметр нелинейности. Уравнение (0.1) дополняется граничными условиями и начальным условием. p(x,t)

JZZ

ZA

IFB (л* , 0 tr u(x,t) а. фазово-амплшудное преобразование p + u)-^IFB б. геометрическое преобразовашю

X —> xf

Рис. 0.1. Нелинейный кольцевой резонатор с фурье-фильтрацией и преобразованием пространственных координат в контуре ОС.

Несмотря на большое количество выполненных экспериментальных и численных исследований в оптике, в строгом математическом смысле достаточно полно исследованы лишь математические модели оптических систем с преобразованием пространственных координат в контуре обратной связи (см. [69, 70, 72, 75, 77, 93, 114, 137, 143] и др.), в то время как модели оптических систем с фурье-фильтрацией остаются к настоящему времени малоисследованными [66, 67, 90]. Кроме того, характерной чертой многих физических работ [24, 50, 51, 60, 61, 125], посвященных изучению оптических систем с фурье-фильтрацией, является редукция описывающих динамику этих систем нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа второго порядка [4, 60, 111], учитывающих диффузию зарядов частиц нелинейной среды, к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, и анализ динамики исходных нелинейных задач на основе такого приближения. Однако полученные упрощенные модели зачастую оказываются недостаточными для количественного и качественного анализа динамики исходных нелинейных систем [50]. Это обстоятельство объясняется тем, что при выводе упрощенных задач не учитывается диффузия зарядов частиц нелинейной среды, а также, как правило, рассмотрение ограничивается постулированным вполне определённым видом решения исходных нелинейных систем [24, 50, 51, 60, 01, 125], в результате чего в упрощенных моделях оказывается принципиально невозможным точно учесть происходящее в исходных задачах нелинейное взаимодействие различных гармоник решения. В отличие от описанного выше подхода, в данной работе при изучении моделей фурье-фильтрации в нелинейно-оптических системах с пространственно-распределённой обратной связью учитываются диффузионные взаимодействия частиц нелинейной среды. В частности, это позволяет исследовать сложность возникающих в таких системах пространственно-временных режимов в зависимости от эффективного коэффициента диффузии задачи, а также от выбора фильтрующего элемента.

В настоящей работе исследуются математические модели нелинейных оптических систем с управляемым фурье-фильтром в контуре обратной связи, описываемые нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями параболического типа. В отличие от используемых в [24, 111, 140] постановок во всем пространстве R2, в данной работе рассматривается ограниченная пространственная область QcM2, что адекватно описывает конечность апертуры оптической системы [65, с. 28]. Соответствующая ограниченной области модель фурье-фильтрации характеризуется, как и в [67], вхождением дискретного фильтра в качестве мультипликатора в ряд Фурье в отличие от интеграла Фурье в [24, 111, 140]. Дискретный характер фурье-фильтра, с одной стороны, учитывает дискретность каналов управления современных пространственно-временных модуляторов света [117], а, с другой стороны, позволяет упростить сами модели фурье-фильтрации при исследовании возможности их оптимизации.

Принципиальное отличие изучаемых в данной работе математических моделей дискретной фурье-фильтрации от моделей, исследованных в работе М.М. Потапова и К.А. Чечкиной [07], состоит в следующем. Во-первых, в настоящей работе впервые изучаются решения начально-краевых задач для уравнения оитической фурье-фильтрации с оператором дискретной фурье-фильтрации в функциональном члене для начальных условий из пространства L2(Q), а также связанные с решениями этих начально-краевых задач задачи оптимального управления дискретным фурье-фильтром с общими интегральными и терминальными функционалами качества, в то время как в работе [67] решения начально-краевых задач изучаются только при начальных условиях из пространства

Во-вторых, в настоящей работе исследуется уравнение фурье-фильтрации, которое с помощью набора вещественных параметров Kj, j = 1,3, в правой части охватывает более широкий по сравнению с [67] класс моделей оптических систем с обратной связью. Так, например, в работе [67] при изучении моделей оптических систем с фурье-фильтрацией в контуре обратной связи предполагалось, что входное поле Дп имеет однородное по пространству распределение интенсивности Ijn = |Л|П|2 = const. При этом предположении исследованная М.М. Потаповым и К.А. Чечкиной модель оказывается пригодной и для описания другого (не рассматриваемого в [67]) класса моделей оптических систем, построенных на основе жидкокристаллического пространственно-временного модулятора света (ЖК-ПВМС) (см. [24, 111])-Однако в случае неоднородного по пространству распределения интенсивности Iin const входной волны описание оптических систем на основе ЖК-ПВМС уже выходит за рамки исследованной в [67] математической модели (см. [24, 111]). Такие оптические системы, в свою очередь, описываются изучаемым в настоящей работе обобщенным уравнением фурье-фильтрации, которое отличается от исследованного в [67] уравнения возможность путём соответствующего выбора значений вещественных параметров Kj, j = 1,3, при необходимости исключить из правой части уравнения не зависящие от искомой функции и(х, t) пространственно-неоднородные слагаемые. Указанное обстоятельство представляется существенным, поскольку в настоящее время системы на основе ЖК-ПВМС de facto стали стандартом для экспериментальных и теоретических исследований нелинейной динамики в оптике [60], а учёт в уравнении не отвечающего рассматриваемому классу моделей оптических систем пространственно-неоднородного слагаемого может существенным образом повлиять на пространственно-временную динамику решений в целом (см. [24, 111]).

Наконец, в-третьих, в отличие от работы [67], в которой изучается начально-краевая задача для уравнения фурье-фильтрации при однородных краевых условиях Неймана, соответствующих слабому уровню взаимодействия светового пучка с окружающей средой, в настоящей работе допускаются и другие варианты граничных условий: однородные краевые условия Дирихле, либо отвечающие приближению плоской волны периодические граничные условия в прямоугольнике (см. [61]). Поэтому для исследования одной задачи оптимизации дискретного фурье-фильтра в настоящей работе оказалось необходимым распространить полученный в [67] результат об однозначной разрешимости в классе #2,1(Qr) начально-краевой задачи для уравнения оптической фурье-фильтрации с начальными условиями из пространства Hl(Q) на случай более общей, чем в [67], конструкции правой части уравнения фурье-фильтрации, зависящей от трёх вещественных параметров Kj, j = 1,3, а также на случай неоднородной по пространству интенсивности ijn ^ const входного поля и различных вариантов граничных условий. Такой подход позволяет исследовать возможности оптимизации дискретного фурье-фильтра в математических моделях фурье-фильтрации, описывающих достаточно широкий класс реальных физических ситуаций, а также в определенном смысле проследить влияние на структурообразование поставленных граничных условий.

Важная особенность нелинейно-оптических систем с ОС заключается в том, что в этих системам основная роль принадлежит не амплитуде световой волны, а её фазе [4]. Методы управления фазой в адаптивной оптике изучались в работах [19,20, 29, 38,83] (см. также цитированную в них литературу). Основная идея, лежащая в основе оптических систем с фурье-фильтрацией, состоит в применении пространственного фильтра /?, осуществляющего в контуре ОС заданное фазово-амплитудное преобразование световой волны с фазовой модуляцией ((р(х) + и(х, £; р)) в модуляцию интенсивности Ifb(x, t] р), управляющую нелинейным фазовым набегом u(x,t]p) [60] (см. рис. 0.1). Таким образом, реализуется известный принцип "управления светом с помощью света" (см. [21]), при этом удачный выбор пространственного фильтра позволяет добиваться требуемой динамики оптической системы для широкого класса входных воздействий. Например, предложенный в [60, 121, 122] фильтр "фазовый нож" со смещённой относительно центра фурье-плоскости кромкой позволяет решать задачу подавления медленно меняющихся мелкомасштабных фазовых искажений входного поля, лежащих в определённом диапазоне пространственных частот. В [117] фазовый фильтр Цернике применялся для измерения фазы волнового фронта, а полученная при этом ииформация использовалась для организации адаптивного управления фазой световой волны. В работах [24, 51, 60, 111, 136] для ограничения спектра световой волны и предотвращения, таким образом, усиления фазовых искажений в контуре ОС с успехом применялись амплитудные пространственные фильтры низких частот.

Полученные благодаря применению различных методов пространственной фильтрации в оптике конкретные результаты, а также стремительный прогресс оптоэлектронных технологий, связанный с появлением новых оптических материалов и созданием более совершенных оптически-управляемых пространственных модуляторов света, указывают на необходимость перехода от выбора конкретных фурье-фильтров из известных классов к целенаправленному созданию новых фильтров и их отбору в соответствии с некоторыми критериями. В настоящей работе всюду интенсивность /1П(х) = |Лгп(:г)|2 и стационарная фаза ip{x) входного поля Ain(x) предполагаются известными. Предлагается и исследуется следующая математическая постановка задачи оптимального управления фильтром Фурье: путём выбора дискретного фильтрующего элемента р G £ч требуется так повлиять на зависящую от р через уравнение (0.1) нелинейную фазовую модуляцию и(х, t;p) световой волны, чтобы на выпуклом, замкнутом и ограниченном множестве U С £2 минимизировать функционал качества

2(р)->т[, peU, синтезируя тем самым динамическую систему с заданными свойствами. В данной работе рассматриваются компактные и слабо-компактные управляемые множества Ч гильбертова пространства 12, а также терминальный и различные варианты интегральных критериев качества Я(/э), отвечающие различным постановкам задач финального наблюдения в оптической системе пространственных структур с требуемыми свойствами, а также задачам подавления вносимых входной волной фазовых искажений. Отметим, что постановка задач управления дискретным фильтром Фурье в нелинейно-оптических системах с ОС является новой, и до работ А.В. Разгулина и автора [7G, 92, 95], автора [94, 96, 97, 100] в математической литературе и до работы А.В. Ларичева, И.П. Николаева, А.В. Разгулина и автора [98] в физической литературе такие задачи не изучались.

Среди нелинейно-оптических систем с фурье-фильтрацией хорошо изученным к настоящему времени является класс систем, в которых в контуре ОС для преобразования фазы в интенсивность применяется один из классических пространственных фильтров, например, чисто фазовый фильтр Цернике [24,111,117] или какой-либо из вариантов схемы "фазовый нож" [51, 60,122], либо амплитудный фильтр класса методов "тёмного поля" [50, 60, 61]. Вместе с тем в фокальной плоскости 4 — f системы возможна реализация широкого класса управляемых воздействий на пространственный спектр световой волны [128].

Для успешного применения в оптических системах новых методов пространственной фильтрации, например, в задачах формирования и стабилизации оптических структур с заданными свойствами [115, 124], необходимо исследование качественных свойств математических моделей фурье-фильтрации, например, наличия или отсутствия у этих моделей пространственно-неоднородных стационарных решений. Знание свойств моделей позволяет предсказывать возможность наблюдения в реальной системе стационарных оптических структур и, что особенно ценно, выяснять в пространстве параметров задачи условия их возникновения и устойчивости. С другой стороны, ключевая роль аналитических и численных исследований в сочетании с физическим экспериментом состоит в проверке адекватности и определении границ применимости самих математических моделей при описании нелинейно-оптических систем с ОС. При этом нередко происходит расширение класса тех моделей естествознания, для которых ответ на вопрос об изменении структуры решения в результате появления и развития неустойчивостей может быть получен с помощью теории бифуркаций [25, 35, 42, 58, 59, 134].

В данной работе у начально-краевой задачи для уравнения оптической фурье-фильтрации с оператором дискретной фурье-фильтрации в функциональном члене из [67, 76], описывающей динамику дополнительной фазовой модуляции световой волны в нелинейно-оптической системе на основе ЖК-ПВМС или, в приближении плоской входной волны, в системе на основе тонкого слоя нелинейной среды керровского типа с амплитудно-фазовым пространственным фильтром (ПФ) в контуре ОС доказывается существование стационарных пространственно-неоднородных структур, образующихся в результате потери устойчивости пространственно-однородного стационарного решения (бифуркация Тьюринга). Возможность реализации в исследуемой системе в случае однородных граничных условий Неймана такой бифуркационной ситуации, при которой при изменении бифуркационного параметра ровно одно простое вещественное собственное значение пересекает мнимую ось с положительной скоростью, объясняется характером зависимости собственных значений линеаризованного оператора от дискретных компонент пространственного фильтра, а также наличием редкой возможности путём выбора компонент фурье-фильтра напрямую управлять спектральными свойствами линеаризованного оператора. Отметим, что несмотря на то, что общие методы исследования бифуркаций в параболических задачах, основанные на сведении вопроса существования нетривиальных бифуркационных решений к разрешимости некоторого функционального уравнения и использовании теоремы о неявном операторе в аналитическом случае хорошо известны (см., например, книгу [134]), применение этой методики для решения каждой конкретной задачи и анализ полученных результатов являются отнюдь не тривиальной проблемой [69, 101].

Подчеркнём, что в настоящей работе, по-видимому, впервые при исследовании моделей нелинейно-оптических систем с ОС изучается бифуркация Тыорипга в ситуации, когда бифуркационным параметром является коэффициент пропускания одной из гармоник пространственного фильтра. Ранее в работах [69, 93, 114] для моделей оптических систем с различными геометрическими преобразованиями светового поля в контуре ОС изучались задачи, в которых роль бифуркационного параметра играл коэффициент, иропорциональный интенсивности светового поля в контуре ОС.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и приложения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чушкин, Владимир Александрович, 2005 год

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.

2. Амосов А.А., Злотник А.А. Исследование конечно-разностного метода для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Оценки погрешности и реализация. М., Отдел вычислительной математики АН СССР, 1986. 32 с.

3. Ахманов С.А., Воронцов М.А., Иванов В.Ю. Крупномасштабные поперечные нелинейные взаимодействия в лазерных пучках. Новые типы нелинейных волн, возникновение "оптической турбулентности"// Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 47, вып. 12. С. 611-614.

4. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений с частными производными и оценки их размерности // Успехи математ. наук. 1983. Т. 38, вып. 4 (232). С. 133-187.

5. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

6. Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1974. 2G0 с.

7. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматлит, 1961. 936 с.

8. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965.

9. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

10. Бутиков Е.И. Оптика. М.: Высшая школа, 1986. 512 с.

11. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. 344 с.

12. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. 415 с.

13. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

14. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 520 с.

15. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

16. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

17. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-диффе-ренциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

18. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.И. Принципы адаптивной оптики. М.: Наука, 1985. 336 с.

19. Воронцов М.А., Корябин А.В., Шмальгаузен В.И. Управляемые оптические системы. М.: Наука, 1988. 272 с.

20. Гиббс X. Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью света. М.: Мир, 1988. 520 с.

21. Гудмен Дж. Введение в Фурье-онтику. М.: Мир, 1970. 364 с.

22. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.

23. Дегтярёв Е.В. Управление пространственной динамикой в нелинейных оптических системах с двумерной обратной связью // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: физ. фак. МГУ, 1995. 102 с.

24. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 640 с.

25. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях. // Матем. сб. 1965. Т. 67, N. 4. С. 609-642.

26. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

27. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 464 с.

28. Железных Н.И. Исследование нелинейных управляемых оптических систем с обратной связью // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: ф-т ВМиК МГУ, 1991. 139 с.

29. Злотник А.А. Оценка скорости сходимости в Ь2 проекционно-разностных схем для параболических уравнений // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 1978. Т. 18, N. 6. С. 1454-1465.

30. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2003. 304 с.

31. Ильин В.А., Йо. И. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса IP J j Дифференц. уравн. 1979. Т. XV, N. 7. С. 1164-1174.

32. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

33. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

34. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983. 300 с.

35. Ишмухаметов А.З. Методы решения задач оптимизации. М.: Изд-во МЭИ, 1998. 80 с.

36. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Изд. 4-ое, испр. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004. 816 с.

37. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическое моделирование в нелинейной оптике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 154 с.

38. Карманов В.Г. Математическое программирование. Изд. 5-ое. М.: Физ-матлит, 2001. 264 с.

39. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 7-ое. М.: Физматлит, 2004. 572 с.

40. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Изд. 2-ое. М.: Наука, 1970. 720 с.

41. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 392 с.

42. Ладыженская О.А. О конечномерности ограниченных инвариантных множеств для системы Навье-Стокса и других диссипативных систем // Зап. науч. сомин. ЛОМИ. 1982. Т. 115. С. 137-155.

43. Ладыженская О.А. Об оценках фрактальной размерности и числа определяющих мод для инвариантных множеств динамических систем // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1987. Т. 163. С. 105-129.

44. Ладыженская О.А. О нахождении глобальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и других уравнений с частными производными // Успехи математ. паук. 1987. Т. 42, выи. 6 (258). С. 25-60.

45. Ладыженская О.А. Некоторые дополнения и уточнения к моим публикациям по теории аттракторов для абстрактных полугрупп // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1990. Т. 182. С. 102-112.

46. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Изд. 2-ое. М.: Наука, 1973. 576 с.

47. Ларичев А.В. Динамические процессы в нелинейных оптических системах с обратной связью // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: физ. фак. МГУ, 1995. 109 с.

48. Ларичев А.В., Иванов П.В., Ирошников Н.Г., Шмальгаузен В.И., Оттен Л.Д. Адаптивная система для регистрации изображения глазного дна // Квант, электрон. 2002. Т. 32., № 10. С. 902-908.

49. Ларичев А.В., Николаев И.П., Шмальгаузен В.И. Жесткий режим возбуждения в нелинейной оптической системе с распределенной обратной связью // Квант, электрон. 1996. Т. 23., N. 3. С. 255-256.

50. Ларичев А.В., Николаев И.П., Шмальгаузен В.И. Оптические диссипа-тивные структуры с управляемым пространственным периодом в нелинейной системе с фурье-фильтром в контуре обратной связи // Квант, электрон. 1996. Т. 23., N. 10. С. 894-899.

51. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

52. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.

53. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.

54. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. Изд. 2-ое. М.: Наука, 1965. 520 с.

55. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

56. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

57. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995. 336 с.

58. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. 432 с.

59. Николаев И.П. Механизмы развития неустойчивостей в нелинейных оптических системах с нелокальной обратной связью // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: физ. фак. МГУ, 1997. 122 с.

60. Николаев И.П., Ларичев А.В., Шмальгаузен В.И. Управляемые оптические структуры в нелинейной системе с подавлением низких пространственных частот в контуре обратной связи // Квант, электрон. 2000. Т. 30., N. 7. С. 617-622.

61. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.: Мир, 1979. 512 с.

62. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 560 с.

63. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. 237 с.

64. Парыгип В.Н., Балакший В.И. Оптическая обработка информации. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 142 с.

65. Потапов М.М., Чечкина К.А. О глобальном аттракторе одной нелинейной оптической системы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит, ма-тем. и киберн. 1993. N. 4. С. 12-18.

66. Потапов М.М., Чечкина К.А. Об одной модели амплитудно-фазовой фильтрации в нелинейной оптической системе с обратной связью // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит, матем. и киберн. 1997. N. 4. С. 31-36.

67. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 320 с.

68. Разгулин А.В. Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 1993. Т. 33, N. 1. С. 69-80.

69. Разгулин А.В. Ротационные волны в оптической системе с двумерной обратной связью // Математ. моделирование. 1993. Т. 5, N 4. С. 105-119.

70. Разгулин А.В. Об аналитичности одного нелокального отображения фазы в интенсивность // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит, матем. и киберн. 1997. N. 3. С. 17-20.

71. Разгулин А.В. Об одном классе функционально-дифференциальных параболических уравнений нелинейной оптики // Дифференц. уравн. 2000. Т. 36, N. 3. С. 400-407.

72. Разгулин А.В. Аппроксимация задачи управления преобразованием аргументов в нелинейном параболическом уравнении // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 2001. Т. 41, № 12. С. 1844-1856.

73. Разгулин А.В., Рогаиович И.Б. О сходимости проекционно-разностной схемы для нелинейного параболического уравнения с преобразованием аргумента // Прикладная математика и информатика. Xs 6. М.: Изд-во ВМиК МГУ, 2000. С. 84-94.

74. Разгулин А.В., Саввина С.С. О численной оптимизации двумерного преобразования аргументов в функционально-дифференциальном уравнении диффузии // Прикладная математика и информатика. N. 15. М.: Изд-во фак-та ВМиК МГУ, 2003. С. 26-38.

75. Разгулин А.В., Чушкин В.А. О задаче оптимальной фурье-фильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 2004. Т. 44, N. 9. С. 1608-1618.

76. Разгулин А.В. О параболических функционально-дифференциальных уравнениях с управляемым преобразованием пространственных аргументов // Докл. Акад. Наук. 2005. Т. 403. N. 4.

77. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. Изд. 2. М.: Мир, 1979. 588 с.

78. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщёнными решениями. М.: Наука, 1987. 296 с.

79. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990. 448 с.

80. Сороко Л.М. Основы голографии и когерентной оптики. М.: Наука, 1971. 616 с.

81. Сороко Л.М. Гильберт-оптика. Москва, Наука, 1981. 160 с.

82. Тараненко В.Г., Шанин О.И. Адаптивная оптика. М.: Радио и связь, 1990. 112 с.

83. Толстов Г.П. Мера и интеграл. М.: Наука, 1976.

84. Трибель X. Теория интериоляции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

85. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Т. II. СПб.: Издательство "Лань", 1997. 800 с.

86. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352 с.

87. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж. Е. и Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.

88. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985. 376 с.

89. Чечкина К.А. Исследование моделей непрерывной и дискретной фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: ф-т ВМиК МГУ, 1997. 101 с.

90. Чуешов И.Д. Глобальные аттракторы в нелинейных задачах математической физики // Успехи математ. наук. 1993. Т. 48, вып. 3 (291). С. 135-162.

91. Чушкин В.А., Разгулин А.В. О задаче оптимизации фурье-фильтра // Тез. докл. VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, МГУ, ф-т ВМиК. М.: МАКС Пресс, 2003. С. 70.

92. Чушкин В.А., Разгулин А.В. Стационарные структуры в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с отражением пространственного аргумента // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит, матем. и киберн. 2003. N. 2. С. 13-20.

93. Чушкин В.А. Об оптимизации дискретного фурье-фильтра // Тез. докл. XXVI Конференции молодых ученых мех.-мат. ф-та МГУ. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2004. С. 140-141.

94. Чушкин В.А. Об аттракторе одного уравнения оптической фурье-фильтрации // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит, матем. и киберн. 2005. N. 2., С. 16-25.

95. Чушкин В.А. Optimal Control Problem by Discrete Fourier Filter // Труды 4-ой Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2004). М.: МАКС Пресс, 2004. С. 54-58. (на англ. яз.)

96. Юдович В.И. О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики // Успехи механики. 2002. Т. 1, N. 1.

97. Юу Ф.Т.С. Введение в теорию дифракции, обработку информации и голографию. М.: Сов. радио, 1979. 304 с.

98. Ackemann Т., Westhoff E.G., Pesch M., Rudolph D., and Lange W. Optical pattern formation far beyond threshold // ICONO 2001: Nonlinear phenomena and nonlinear dynamics of optical systems. Proc. SPIE. 2002. Vol. 4751. P. 370-381.

99. Akhmanov S.A., Vorontsov M.A., Ivanov V.Yu., Larichev A.V. and Zheleznykh N.I. Controlling transverse wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatiotemporal structures // J. Opt. Soc. Amer. B. 1992. Vol. 9, N. 1. P. 78-90.

100. Arecchi F.T., Boccaletti S., Ramazza P.L. Pattern formation and competition in nonlinear optics // Phys. Rep. 1999. Vol. 318. P. 1-83.

101. Arecchi F.T., Larichev A.V., Ramazza P.L., Residori S., Ricklin J.C., Vorontsov M.A. Experimental observation of space-time chaos in a nonlinear optical system with 2D feedback // Opt. Commun. 1995. Vol. 117. P. 492496.

102. Arecchi F.T., Larichev A.V., and Vorontsov M.A. Polygon pattern formation in a nonlinear optical system with 2D feedback // Opt. Commun. 1994. Vol. 105. P. 297-301.

103. Bonnans J.F., Gilbert J.C., Lemarechal C., Sagastizabal C.A. Numerical optimization. Theoretical and practical aspects. Springer-Verlag, Berlin -Heidelberg New York, 2003. 418 p.

104. Chueshov I.D. Introduction to the theory of infinite-dimensional dyssipative systems. Kharkiv, Ukraine: ACTA Scientific Publishing House, 2002.

105. Degtiarev E.V., Vorontsov M.A. Spatial filtering in nonlinear two-dimensional feedback systems: phase-distortion suppression // J. Opt. Soc. Ainer. B. 1995. Vol. 12, N. 7. P. 1238-1248.

106. Firth W.J. and Vorontsov M.A. Adaptive phase distortion suppression in a nonlinear system with feedback mirror // J. mod. Optics. 1993. Vol. 40, N. 10. P. 1841-1846.

107. Gil L., Petrossian A., Residori S. Three-wave interaction in dissipative systems: a new way towards secondary instabilities // Physica D. 2002. Vol. 166. P. 1-16.

108. Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A., Pelster A. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physica D. 1999. Vol. 125. P. 123-141.

109. Harkness G.K., Oppo G.-L., Benkler E., Kreuzer M., Neubecker R. and Tschudi T. Fourier space control in an LGLV feedback system // J. Opt. В.: Quantum Semiclass. Opt. 1999. Vol. 1. P. 177-182.

110. Huneus F., Schapers В., Ackemann Т., Lange W. Optical target and spiral patterns in a single-mirror feedback scheme // Appl. Pliys. B. 2003. Vol. 76. P. 191-197.

111. Justh E.W., Vorontsov M.A., Garhart G., Beresnev L.A., Krishnapasad PS. Adaptive optics with advanced phase contrast techniques. Part II: High resolution wavefront control // J. Opt. Soc. Amer. A. 2001. Vol. 18, Iss. 6. P. 1300-1311.

112. Kelley C.T. Iterative methods for optimization. SIAM: Philadelphia, PA, 1999.

113. Larichev A.V., Arecchi F.T. Spatio-temporal behavior of a bistable optical system with global feedback // Opt. Comrnun. 1994. Vol. 113. P. 53-60.

114. Larichev A.V., Nikolaev I.P., and Chulichkov A.L. Spatiotemporal period doubling in a nonlinear interferometer with distributed optical feedback // Opt. Lett. 1996. Vol. 21, N. 15. P. 1180-1182.

115. Larichev A.V., Nikolaev I.P., Costamagna S., and Violino P. Advanced phase knife technique // Opt. Commun. 1995. Vol. 121. P. 95-102.

116. Larichev A.V., Nikolaev I.P., Violino P. LCLV-based system for high resolution wavefront correction: phase knife as a feedback intensity producer // Opt. Commun. 1997. Vol. 138. P. 127-135.

117. Mamaev A.V. and Saffman M. Selection of Unstable Patterns and Control of Optical Turbulence by Fourier Plane Filtering // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80, N. 1С. P. 3499-3502.

118. Nikolaev I.P., Larichev A.V., Degtiarev E.V., Wataghin V. An optical feedback nonlinear system with a Takens-Bogdanov point: experimental investigation // Physica D. 2000. Vol. 144. P. 221-229.

119. Nikolaev I.P., Larichev A.V., Wataghin V., Degtiarev E.V., Peirolo R. Experimental observation of steady and drifting roll patterns in a nonlinear optical system near a codimension-two point // Opt. Commun. 1999. Vol. 159. P. 184-190.

120. Nocedal J., Wright S.J. Numerical optimization. Springer-Verlag, Berlin -Heidelberg New York, 1999.

121. Pesch M., Westhoff E.G., Ackemann Т., Lange W. Direct measurement of multiple instability regions via a Fourier filtering method in an optical pattern forming system // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68, 016209.

122. Ramazza P.L., Boccaletti S., Arecchi F.T. Transport induced patterns in an optical system with focussing nonlinearity // Opt. Commun. 1997. Vol. 136. P. 267-272.

123. Ramazza P.L., Boccaletti S., Giaquinta A., Pampaloni E., Soria S., and Arecchi F.T. Optical pattern selection by a lateral wave-front shift // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54, N. 4. P. 3472-3475.

124. Ramazza P.L., Ducci S., and Arecchi F.T. Optical diffraction-free patterns induced by a discrete translational transport // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81, N. 19. P. 4128-4131.

125. Ramazza P.L., Ducci S., Boccaletti S. and Arecchi F.T. Localized versus delocalized patterns in a nonlinear optical interferometer // J. Opt. В.: Quantum Semiclass Opt. 2000. Vol. 2. P. 399-405.

126. Residori S., Petrossian A., Nagaya T. and Clerc M. Localized structures and their dynamics in a liquid crystal light valve with optical feedback // J. Opt. В.: Quantum Semiclass Opt. 2004. Vol. 6. S. 169-176.

127. Sattinger D.H. Topics in stability and bifurcation theory. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 1973. Vol. 309.

128. Schwab M., Saffman M., Denz C., Tschudi T. Fourier control of pattern formation in an interferometric feedback configuration // Opt. Commun. 1999. Vol. 170. P. 129-136.

129. Sivokon V.P., Vorontsov M.A. High-resolution adaptive phase distortion suppression based solely on intensity information // J. Opt. Soc. Amer. A., 1998. Vol. 15, Iss. 1. P. 234-247.

130. Skubachevskii A.L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics // Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications. 1998. Vol. 32, N. 2. P. 261-278.

131. Temarn R. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer-Verlag New York Inc., 1997.

132. Vorontsov M.A. Information processing with nonlinear optical two-dimensional feedback systems //J. Opt. В.: Quantum Semiclass. Opt. 1999. Vol. 1. P. R1-R10.

133. Vorontsov M.A., Zhao M., Anderson D.Z. Nonlinear dynamics of a 2D feedback system with photorefractive gain // Opt. Commun. 1997. Vol. 134. P. 191-194.

134. Vorontsov M.A., Razgulin A.V. Properties of global attractor in nonlinear optical system with nonlocal interactions // Photonics and Optoelectronics. 1993. Vol. 1, N. 2. P. 103-111.