Исследование моделей теплопроводности в условиях быстропротекающего термического процесса в низкотеплопроводном твердом теле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Юдахин, Андрей Евгеньевич

• Юдахин, Андрей Евгеньевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Юдахин, Андрей Евгеньевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Обзор литературы

1.1. Краткая история развития теории переноса и современное состояние теории теплопроводности

1.1.1. Гипотеза Фурье

1.1.2. Гипотеза Каттанео-Вернота

1.1.3. Уравнение Максвелла-Каттанео-Лыкова

1.2. Теоретические и экспериментальные исследования гиперболической теплопроводности

1.3. Краевые задачи гиперболической теплопроводности. Методы их решения

1.4. Методы измерения коэффициентов теплоотдачи

1.5. Измерение времени тепловой релаксации и времени демпфирования

1.6. Описание тепловых процессов в насадке регенеративного воздухоподогревателя

1.6.1 Обзор существующих методов расчета процессов в регенеративных

воздухоподогревателях

1.6.2. Описание отопительно-вентиляционной системы с РВП

1.7. Выводы по главе 1

ГЛАВА 2. Описание экспериментальной установки для исследования кратковременных переходных термических процессов при внезапном

изменении граничных условий третьего рода

2.1 Описание экспериментальное установки и исследуемых

образцов

2.1.1. Экспериментальная установка

2.1.2 Исследуемые образцы

2.1.2.1. Изготовление керамических образцов для исследования

2.1.2.2. Образцы из полиметилметакрилата

2.2 Методика проведения эксперимента

2.3. Метрологические характеристики приборов

2.4. Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. Математическое моделирование тепловых процессов в твердом теле

3.1. Описание тепловых процессов в прямоугольной пластине, исходя из гипотез Фурье и Каттанео-Вернота

3.2. Математические модели по гипотезе Максвелла-Каттанео-Лыкова

3.2.1. Тепловые процессы в круглом диске при внезапном изменении граничных условий

3.2.2. Математическая модель циклических переходных термических процессов в насадке РВП в форме цилиндра

3.3. Разработка метода регулярного режима первого рода для тела с двумерным температурным полем [104]

3.3.1. Математический эксперимент

3.3.2. Решение прямой задачи

3.3.3. Решение обратной задачи

3.4. Последовательность определения среднего по поверхности коэффициента теплообмена диска со средой

3.5. Выводы по главе 3

ГЛАВА 4. Результаты исследований переходных термических процессов в твердом теле по гипотезам Фурье, Каттанео-Вернота и Максвелла-Каттанео-

Лыкова

4.1. Влияние гT и тq на характер переходных процессов в твердом

теле

4.2. Результаты описания тепловых процессов в прямоугольной пластине по моделям Фурье и Каттанео-Вернота

4.3. Результаты описания тепловых процессов по модели Максвелла-Каттанео-Лыкова в трехпериодном процессе

4.3.1. Теплофизические свойства полиметилметакрилата

4.3.2. Результаты опытов и их теоретическое описание

4.3.3. Определение параметров уравнения Максвелла-Каттанео-Лыкова

4.4 Погрешности измерения коэффициента теплоотдачи, времени тепловой

релаксации и времени термического демпфирования

4.4.1 Погрешность измерения коэффициента теплоотдачи

4.4.2. Случайная погрешность измерения времени тепловой релаксации и термического демпфирования

4.5. Сравнение расчетных и экспериментальных переходных процессов

4.6. Влияние явлений тепловой релаксации и термического демпфирования на переходный термический процесс в насадке РВП

4.7. Расчет отопительно-вентиляционной системы с регенеративным

воздухоподогревателем с насадкой из ПММА

4.7.1. Сравнение насадки из стали и полимеров для использования в РВП,

входящей в состав ОВС

4.7.1. Исследование влияние учета релаксационных явлений на расчет РВП с насадкой из ПММА

4.8. Выводы по главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Список литературы

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ

134

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование моделей теплопроводности в условиях быстропротекающего термического процесса в низкотеплопроводном твердом теле»

ВВЕДЕНИЕ

С развитием технологий происходит интенсификация протекающих тепловых процессов. Одними из устройств, в которых протекают переходные термические процессы, являются регенеративные воздухоподогреватели (РВП). Это теплообменные аппараты, которые используются для утилизации тепла уходящих газов. Принцип работы заключается в попеременном обдуве одних и тех же поверхностей теплопередающего тела (насадки) горячим и холодным потоками сред.

Одной из области применения РВП является отопительно-вентиляционная система (ОВС), которая используют тепло удаляемого из помещения загазованного воздуха для подогрева подаваемого в помещение чистого воздух. В холодное время года температура насадки РВП местами может опускаться ниже точки росы паров воды, что приводит к выпадению капель воды на металлическую поверхность насадки и в дальнейшем к ее коррозии. Возможным решением проблемы является использование полиметилметакрилата для изготовления насадки, так как он не подвержен коррозии и может выдержать эксплуатационный температурный диапазон. Для оценки эффективности замены материала насадки необходимо произвести расчеты РВП, входящей в состав ОВС.

Расчет РВП предполагает вычисление температуры насадки в течение всего процесса. Наиболее известные модели предложены Х. Хаузеном, С.С. Кутателадзе, В.М. Дацковским, В.К. Мигаем с соав. и А. Лондоном и др. В них используется гипотеза Ж. Фурье, которая хорошо применима для описания стационарных и квазистационарных процессов. Но ее использование при описании нестационарных тепловых процессов ставится под сомнение, поскольку в ней не учитывается конечная скорость распространения тепла и тепловая инерция.

Обширное количество исследователей занимались изучением процесса теплопереноса с учетом конечной скорости распространения тепла: Дж. Максвелл, Л. Онзагер, А.В. Лыков, К. Каттанео, П. Вернот, С. Калиски, Ф. Морс, Э.М. Карташов и др. С другой стороны, к ограниченности гипотезы Фурье исследователи пришли через изучение «второго звука» в жидком гелии. У истоков данного направления стояли Л.Д. Ландау, В.П. Пешков, Л. Тисса, Дж. Уард, Дж. Уилкс, Е.М. Лифшиц и др.

Как итог была предложена усовершенствованная модель теплопереноса, называемая гипотезой Каттанео-Вернота. В отличие от гипотезы Фурье она учитывает явление тепловой релаксации, характеризуемое константой времени (время тепловой релаксации). Однако, как показали дальнейшие исследования, данная модель также имеет ряд недостатков: при определенных условиях расчётные данные нарушают законы термодинамики.

Работы таких ученых как А.В. Лыков, С.И. Анисимов, М.И. Каганов, Киу, Д. Цоу, Р. Гайер, Дж. Крамхансл, Д. Джозеф положили основу модели Максвелла-Каттанео-Лыкова (двухфазного запаздывания), которая в отличие от модели Каттанео-Вернота учитывает еще и явление термического демпфирования, характеризуемое другой константой времени — временем термического демпфирования.

В литературе известны экспериментальные исследования, подтверждающие существование явления тепловой релаксации и его существенное влияние на характер переходного термического процесса. Однако экспериментально-теоретических исследований, подтверждающих адекватность модели Максвелла-Каттанео-Лыкова, не обнаружено, поэтому эта проблема остается открытой.

Для исследования быстропротекающих переходных термических процессов необходимо знать значения времени тепловой релаксации и времени термического демпфирования для конкретного твердого тела. Поэтому, в случае подтверждения адекватности модели Максвелла-Каттанео-Лыкова, их определение является важной теплофизической задачей.

В литературе имеются данные об измерении времени тепловой релаксации для некоторых материалов. Также предложены способы измерения обоих параметров — времени тепловой релаксации и времени термического демпфирования. Однако, как отмечают сами авторы методов, в данный момент они технически не реализуемы на практике. Поэтому проблема определения времени тепловой релаксации и времени термического демпфирования на текущий момент не решена.

Проблема теоретического и экспериментального изучения кратковременных переходных термических процессов с позиции описания их той или иной моделью, выявления наиболее адекватной из них имеет фундаментальное значение.

Диссертация соответствует специальности 01.04.14 «Теплофизика и теоретическая теплотехника» для технических наук в областях исследования:

«1. Экспериментальные исследования термодинамических и переносных свойств чистых веществ и их смесей в широкой области параметров состояния.

2. Аналитические и численные исследования теплофизических свойств веществ в различных агрегатных состояниях».

Цели и задачи исследования.

Целью исследования является установление экспериментально-теоретическим путем адекватной модели теплопроводности и измерение параметров этой модели для низкотеплопроводного твердого тела (полиметилметакрилата) в условиях быстропротекающего переходного термического процесса.

Для достижения поставленной цели необходимо решить задачи:

1. Создать экспериментальную установку с автоматической регистрацией переходных термических процессов в нескольких точках исследуемого тела с высокой разрешающей способностью по времени.

2. Разработать метод регулярного режима первого рода применительно к двумерному телу для измерения коэффициента теплоотдачи в переходном процессе.

3. Разработать аналитические модели переходного термического процесса, адекватные опытной физической модели и соответствующие гипотезам Фурье, Каттанео-Вернота и Максвелла-Каттанео-Лыкова.

4. Разработать аналитическую модель циклического переходного термического процесса в насадке РВП по модели Максвелла -Каттанео-Лыкова.

5. Разработать методику измерения параметров уравнений, отражающих гипотезы Каттанео-Вернота и Максвелла-Каттанео-Лыкова, путем описания опытного переходного процесса аналитическими моделями переходного термического процесса.

6. Произвести измерения значений параметров уравнений, отражающих гипотезы Каттанео-Вернота и Максвелла-Каттанео-Лыкова, для нескольких образцов твердого тела (полиметилметакрилата).

7. Провести проверку адекватности гипотез Фурье, Каттанео-Вернота и Максвелла-Каттанео-Лыкова путем сравнения опытного переходного термического процесса в твердом теле с рассчитанным по разработанным аналитическим моделям.

8. Показать необходимость учета релаксационных явлений при описании термических процессов в насадке и расчете теплопередающей способности регенеративного воздухоподогревателя.

Научная новизна:

1. Разработан метод регулярного режима первого рода применительно к телам с двумерным температурным полем.

2. Получено аналитическое решение гиперболической краевой задачи третьего рода для трехмерного тела при внезапном нагревании в рамках гипотезы Каттанео-Вернота.

3. Получены аналитические решения гиперболических краевых задач третьего рода в рамках гипотезы Максвелла-Каттанео-Лыкова для одномерного (цилиндр) и двухмерного (круглая пластина) тел при внезапном однократном нагревании и циклическом теплообмене с горячей и холодной средами.

4. Разработаны методики определения времен релаксации и термического демпфирования с помощью экспериментальных и теоретических исследований.

5. Впервые измерены значения времени тепловой релаксации и термического демпфирования для полиметилметакрилата.

6. Показана необходимость расчета термических процессов и теплопередающей способности регенеративного воздухоподогревателя по гиперболическому дифференциальному уравнению теплопроводности, учитывающему явления тепловой релаксации и термического демпфирования.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждается использованием аттестованной измерительной аппаратуры в сочетании с современной автоматизированной измерительной системой; применением классических методов аналитического решения задач математической физики; удовлетворительной воспроизводимостью результатов измерений времен тепловой релаксации и термического демпфирования.

Теоретическая и практическая значимость работы:

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в повышении точности прогнозирования развития температурных полей и термических переходных процессов, характерных для тел и узлов при импульсном и кратковременном тепловом воздействии на их поверхность в ракетной, авиационной, ядерной технике, а также в технологических процессах в регенеративных воздухоподогревателях и в процессах с использованием лазерной сварки в материалах с известными значениями времени тепловой релаксации и термического демпфирования. Доработанный регулярный режим первого рода позволяет точнее измерять коэффициент теплоотдачи

поверхности низкотеплопроводного двумерного тела. Построена более точная, чем классическая, математическая модель регенеративного воздухоподогревателя на основе гиперболического уравнения теплопроводности. Показано, что использование насадки из ПММА увеличивает срок службы РВП, входящей в состав ОВС, а также уменьшает общий вес установки. Полученные результаты используются в учебном процессе подготовки бакалавров по направлению 15.03.04 - «Автоматизация технологических процессов и производств» по дисциплине «Технические средства автоматизации и управления» (Приложение 1).

Автор защищает:

1. Метод регулярного режима первого рода применительно к низко теплопроводным телам с двумерным неоднородным температурным полем.

2. Аналитическое решение гиперболической краевой задачи третьего рода для трехмерного тела при внезапном нагревании в рамках гипотезы Каттанео -Вернота.

3. Аналитические решения гиперболических краевых задач третьего рода в рамках гипотезы Максвелла-Каттанео-Лыкова для одномерного (цилиндр) и двухмерного (круглая пластина) тел при внезапном однократном нагревании и циклическом теплообмене с горячей и холодной средами.

4. Методику определения времен релаксации и термического демпфирования с помощью экспериментальных и теоретических исследований.

5. Результаты измерения времен тепловой релаксации и термического демпфирования для полиметилметакрилата.

6. Результаты расчетов регенеративного воздухоподогревателя, показывающих необходимость учета релаксационных явлений в насадке и их влияние на теплопередающую способность аппарата.

Апробация работы:

Работа обсуждалась на научно -технических конференциях и семинарах российского и международного уровня: XVII, XVIII

аспиранстко - магистерских семинаров, посвященных Дню Энергетика, г. Казань, 2014, 2015 г.г. ; X, XI международные молодежные научные конференции «Тинчуринские чтения», г. Казань, 2015, 2016 г.г.; Всеросийская конференция XXXII Сибирский теплофизический семинар, г. Новосибирск, 2015 г.; IX Семинар ВУЗов по теплофизике и энергетике. г. Казань, 2015 г.; XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Казань: КФУ. 2015 г.; XV Минский международный форум по тепломассообмену, г. Минск, 2016 г.; X школа-семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова, г. Казань, 2016 г.; X Международная теплофизическая школа, Таджикистан. - Душанбе, 2016 г.

Доклады и тезисы докладов опубликованы. Работа в целом заслушана на расширенном заседании кафедры АТПП КГЭУ и получила одобрение и поддержку.

Личный вклад автора в работу. На основании выполненного литературного обзора автор под руководством научного руководителя сформулировал цель и задачи исследования; участвовал в разработке и создании экспериментальной установки для исследования термических переходных процессов в твердом теле при внезапном нагревании; принимал участие в решении краевых задач гиперболической теплопроводности и разработке методики выполнения опытов и обработки полученных данных, в обработке полученных опытных данных с помощью компьютерной программы на объектно-ориентированном языке Visual Basic; расчете значений времен тепловой релаксации и термического демпфирования.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ, в том числе 6 статей в рекомендованных ВАК журналах, из них 1 в журнале базы данных Scopus.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 122 наименований и трех приложений; изложена на 120 страницах текста, содержит 27 рисунков и 11 таблиц.

ГЛАВА 1. Обзор литературы

1.1 Краткая история развития теории переноса и современное состояние

теории теплопроводности

Теплопроводность — процесс переноса внутренней энергии от более нагретых участков тела к менее нагретым. В реальном мире невозможно добиться абсолютного постоянства температуры, поэтому явление теплопроводности в той или иной степени сопутствует любому процессу. Аналитическое описание передачи тепла необходимо не только для более глубокого понимания сущности физических процессов, но и для практического применения. К примеру, адекватный расчет температуры в промышленности позволяет прогнозировать развитие технологического процесса, что в свою очередь позволяет подобрать оптимальные параметры с точки зрения эффективности и безопасности. Поэтому необходимость исследования процессов теплопроводности не вызывает сомнений.

Одним из основоположников современной теории теплопроводности является М.В. Ломоносов, опередив своих современников на несколько десятков лет, предложив в работе [1] корпускулярно-кинетическую теорию тепла.

1.1.1. Гипотеза Фурье

Первую попытку аналитически описать процесс теплопроводности предпринял Ж. Фурье в 1822 году. В работе [2] он предположил, что в установившемся режиме плотность потока энергии, передающейся посредством теплопроводности, пропорциональна градиенту температуры. Формула Фурье выглядит следующим образом:

д(г, г) = -ЖГ(г, г), (1.1)

где д — тепловой поток; т — время; Т — температура; I — теплопроводность; г — местоположение; V — оператор градиента. Вместе с уравнением теплового баланса

дТ

ср— = ~ ¿IV (1.2)

дт

где с — удельная теплоемкость тела; р — плотность тела, формула (1.1) дает дифференциальное уравнение теплопроводности параболического типа:

дТ = А ЛТ, (1.3)

дт

где а — коэффициент температуропроводности; Л = V2 — Лапласиан.

Б. Риман [3] одним из первых поставил гипотезу Фурье под сомнение применительно к анизотропным телам. Он также показал, что различным видам изотермической поверхности тела соответствуют различные дифференциальные операторы теплопроводности, а формула (1.3) лишь частный случай.

Температура, рассчитанная по гипотезе Фурье, имеет нефизическое поведение в некоторых случаях, например, при низких температурах, малых размерах тела, достаточно кратковременных переходных процессах. Кроме того, из решения краевой задачи с дифференциальным уравнением (1.3) следует противоречащая физическому принципу относительности бесконечная скорость распространения тепла в начале переходного процесса, т.е. при т ^ 0 [4]:

1.1.2. Гипотеза Каттанео-Вернота

Формулу с учетом конечной скорости переноса теплового потока впервые записал Дж. Максвелл [5], однако он сделал замечание, что поток быстро стабилизируется и дополнительными слагаемыми можно пренебречь. Л. Онзагер [6] отметил, что закон Фурье противоречит принципам

микроскопической обратимости и может использоваться только как приближенное описание процесса, не учитывающее «ускорение потока тепла». Однако он считал, что это ускорение очень мало и не имеет существенного значения при рассмотрении процессов теплопроводности.

К. Каттанео [7, 8] из уравнения Больцмана для газа вывел формулу:

стдд/дт = -Хд -Х^Т, (1.5)

где < — константа, характерный параметр тела.

П. Вернот [9] независимо от Каттанео предложил соотношение (1.5) в другом виде:

д + т д дд/дт = -XV Т, (1.6)

где тд — задержка времени (время релаксации), также характерный параметр

тела. Как предполагает Вернот: «... тд есть очень малая постоянная времени. В

случае газообразной среды она находится, без сомнения, порядка продолжительности нескольких свободных пробегов молекул.»

С. Калиски [10] вывел уравнение (1.6) через соотношения взаимности Онзагера. Физический смысл поправки в следующем: процесс передачи кванта энергии на микроуровне от элемента объема тела к соседним элементам происходит с задержкой во времени относительно момента получения кванта. В случае, когда плотность потока изменяется достаточно медленно или когда время релаксации в масштабах наблюдения достаточно мало, величина дополнительного слагаемого стремится к нулю и процесс приближенно описывается формулой Фурье.

Уравнение (1.6) в сочетании с уравнением теплового баланса (1.2) позволяет получить гиперболическое уравнение теплопроводности, учитывающее тепловую инерцию [9]:

дТ д2Т (

— + тп—- = а ЛТ. (1.7)

д т д д т 2

К подобному уравнению для газа пришли Ф. Морс и Г. Фешбах [11]:

V 2Т = а?

~дт

+

1

^д 2ТЛ

Кису ^ ^дТ )

2

дт

(1.8)

где а2 = 1/ а, — скорость звука. Таким образом, если представить уравнение

д 2Т

(1.8) в виде (1.7), и сопоставить множители при —-, то получится, что

дт2

а

т

Ч 2

Согласно формуле для скорости распространения теплоты, предложенной Каттанео и Вернотом [8, 9], скорость переноса тепла

=

л

к (1.9)

Фт ч

в отличие от формулы (1.4), не зависит от текущего времени т, т.е. является неизменной во времени конечной величиной.

Теоретические исследования Ю.А. Кирсанова показали [12], что согласно гипотезе Каттанео-Вернота и дифференциальному уравнению (1.7) возникшие в среде температурные колебания существуют бесконечно долго. В природе известно подобное явление — оно свойственно распространению температурных волн в жидком гелии при температуре ниже 2,2 К и называется «вторым звуком». Это явление исследовалось как экспериментально, так и теоретически. Ученик академика П.Л. Капицы В.П. Пешков [13] опытным путем измерил скорость «второго звука» и отметил их характерную особенность: слабое затухание во времени. Теоретическим исследованиям «второго звука» в жидком гелии посвятили свои работы такие ученые как Л.Д. Ландау, Л. Тисса, Е.М. Лифшиц, Дж. Уард, Дж. Уилкс и др. [14-17]. Для объяснения этого явления Л.Д. Ландау [14] предложил двухжидкостную теорию, согласно которой в жидком гелии при температуре ниже 2,2 К имеют место две скорости звука. Вторая скорость звука характеризует скорость распространения температурных волн, которая определяется формулой:

л/3

с

В.П. Пешков [13] предположил, что подобный эффект возможно наблюдать и в твердых телах, а именно в диэлектрических кристаллах. В подтверждение этого предположения Дж. Уард и Дж. Уилкс [17] вывели выражение для скорости второго звука не через двухжидкостную теорию, а через модель фононного газа, что позволило говорить о возможности обнаружения феномена «второго звука» во всех твердых телах и некоторых жидкостях.

Гипотеза Каттанео-Вернота (1.6) позволяет объяснить причину инерционности теплоты. Однако и она не всегда правильно описывает переходные термические процессы. К примеру, согласно решению дифференциального уравнения (1.8) в процессах с периодическими граничными условиями возможно возникновение теплового резонанса, сопровождающегося понижением температуры тела ниже 0 К [12, 18-21], что противоречит второму и третьему началам термодинамики. Другим существенным недостатком является то, что хотя уравнение (1.6) подразумевает конечную скорость распространения тепла, появление градиента в теле при воздействии потока тепла на поверхность происходит моментально, что противоречит физическому принципу относительности.

Критическое отношение к возможности применения уравнения (1.7) к пульсирующим тепловым процессам в диэлектрических пленках отмечено в работах А. Мажумдара и А. Джоши с соав. [22, 23].

1.1.3. Уравнение Максвелла-Каттанео-Лыкова

Противоречия результатов расчетов переходных процессов по модели Каттанео-Вернота стимулировали дальнейшую модификацию формулы Фурье. Так, А.В. Лыков в своей работе [24] предложил приближенное соотношение для потоков J и термодинамических сил X в нестационарных интенсивных процессах:

(1.10)

При 4 = 0 и 3. = Ч, Хк = V Т, 4г) = -Тч , Цк = -Л из (1.10) следует формула (1.6). При = -ЛГ'Г из соотношения (1.10) получается уравнение

Ч + Тч = -ЛV Т-Лтт . (1.11)

дт дт

Второй член в правой части выражения (1.11) учитывает задержку или

демпфирование градиента температуры, а постоянная тТ характеризует

демпфирующую способность среды и называется временем термического демпфирования.

Сочетание уравнений (1.2) и (1.11) дает гиперболическое уравнение теплопроводности, учитывающее помимо тепловой релаксации также и термическое демпфирование:

дТ д 2Т

+ т —- = а А дт Ч дт2

^ ятЛ

Т + тТ — дт

(1.12)

дТ

<: + тТ

к

Уравнение (1.12), как один из вариантов дифференциального уравнения теплопроводности, рассмотрено Л.А. Бровкиным в работе [25].

Уравнение (1.11) называется в отечественной литературе уравнением Максвелла-Каттанео-Лыкова (М-К-Л) [26], в зарубежной литературе — уравнением двухфазного запаздывания (dual-phase-lag) [27]. К этому уравнению привело также изучение процесса теплопроводности в микромасштабных телах и процессах с высокочастотными источниками тепла такими учеными как Д. Цоу, С.И. Анисимов, С.Д. Брорсон, М.И. Каганов и др. [27-32]. Оно характерно тем, что учитывает не только скорость изменения плотности потока тепла, но и скорость изменения градиента температуры. В работах [27-32] процесс распространения тепла рассматривается через взаимодействие фононов и электронов.

В зарубежной литературе формула (1.12) впервые представлена в работе Д. Цоу [27], где он отмечает, что по уравнению (1.6) тепловой поток всегда является следствием градиента, а в уравнении (1.11) как температурный градиент может быть следствием теплового потока, так и тепловой поток может

быть следствием температурного градиента. Исходя из этого можно ожидать, что уравнение М-К-Л лучше, чем гипотезы Каттанео-Вернота и Фурье, отражает особенности явления теплопроводности в кратковременных переходных процессах. Однако окончательный вывод об этом можно сделать только на основании опытных данных.

Модель, учитывающая скорость изменения градиента температуры, была получена также при исследовании теплового процесса исходя из аналогии теплопроводности и вязкоупругости Р. Гайером, Д. Жозефом и др [33, 34]. Распространение тепла здесь является результатом столкновений/рассеиваний фононов. Авторы в итоге представили уравнение типа Джеффри:

д + тд д1 —XV Т-Хтч ^, (1.13)

д т д т

в котором X = X + Х2; Х1 — коэффициент «эффективной» теплопроводности; Х2 — коэффициент «упругой» проводимости.

Вместе с тем, в литературе известны работы К. Лю и соав., А. Барлетты и соав, М. Аль-Нимра и соав. и др. [32, 35, 36], критически относящихся к адекватности уравнений (1.11) и (1.12). Так, авторы работы [35] указывают на возможное нарушение второго закона термодинамики при расчете производства энтропии в случае классической неравновесной термодинамики. Однако другие исследователи в работе [36] установили, что расчет производства энтропии с учетом неравновесности процессов не нарушает законы термодинамики. Еще одним возражением против уравнений (1.11) и (1.12) стало то, что согласно (1.12) при т т < т в теле возможно появление зон с

отрицательной абсолютной температурой [32, 37, 38]. На этом основании в [37] автором С.А. Руколайне сделан вывод о вероятной несостоятельности модели двухфазного запаздывания, не обращая внимания на то, что при тт ^ 0

уравнение М-К-Л (1.11) преобразуется в уравнение Каттанео-Вернота (1.6), об особенностях которого сказано в предыдущем параграфе. Из этого следует

вывод: в телах время релаксации и время термического демпфирования не могут принимать произвольные значения.

В литературе наряду с гипотезами, содержащими первые производные по времени, встречаются гипотезы с производными второго порядка [39-42]:

дд д2д л дТ д2ТЛ

— + т 2 —тт д т 2 д т2

д + т1 — + т 2 —- =-XV

Т + т1 — + т

д т 2 д т2

(114)

Однако физические обоснования необходимости учета производных второго порядка нельзя признать достаточно вескими. К тому же появление дополнительных членов в уравнении заметно усложняет расчет переходного термического процесса.

Таким образом, вопрос об адекватности уравнения Максвелла-Каттанео-Лыкова (1.11) пока остается открытым и требует разрешения с помощью дальнейших экспериментально-теоретических исследований.

1.2. Теоретические и экспериментальные исследования гиперболической

теплопроводности

По гипотезе Каттанео-Вернота рассмотрен достаточно обширный круг проблем с аналитическими [18-21, 43-48] и численными [49-56] методами решения. Были рассмотрены различные случаи теплопроводности: с внутренней генерацией тепла [46], с учетом теплообмена излучением [49], с непостоянными теплофизическими свойствами [46, 47], в поглощающих пластинах плоско-пластинчатого солнечного коллектора [52], в твэлах [53] и др.

В литературе имеются сведения об экспериментальных попытках проверить адекватность гипотезы Каттанео-Вернота. Так, в работе К. Митра и соав. [57] исследовали теплопроводность в кусках холодного и теплого мяса путем их внезапного соприкосновения и измерения температуры на некотором расстоянии от плоскости контакта. Обнаружена временная задержка Ат в

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Юдахин, Андрей Евгеньевич, 2017 год

Список литературы

1. Ломоносов М.В. Полное собрание сочинений. Том 2. / М.В. Ломоносов; редакторы тома: С.И. Вавилов, Т.П. Кравец и А.А. Елисеев. — М.—Л.: Издательство АН СССР. — 1951. — 732 с.

2. Fourier, J. Théorie analytique de la chaleur / J. Fourier. - Paris: Chez Firmin Didot, Père et Fils. — 1822. — 670 p.

3. Риман Б. Сочинения. /Б. Риман; перевод с немецкого под редакцией, с предисловием, обзорной статьей и примечаниями В.Л. Гончарова. — М.—Л.: ГИТТЛ. — 1948. - 546 с.

4. Шашков, А.Г. Волновые явления теплопроводности: Системно— структурный подход / А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, С.Ю. Яновский. — М.: Едиториал УРСС. — 2004. — 296 с.

5. Maxwell, J. C. On the dynamical theory of gases / C. J. Maxwell // Philos. Trans. Soc. London. — 1867. — Vol. 157. — P. 49.

6. Onsager, L. Reciprocal relations in irreversible processes / L. Onsager // Phys. Rev. — 1931. — Vol. 37. — P. 405.

7. Cattaneo, C. Sulla Conduzione de Calore / C. Cattaneo // Atti del Seminario Matematico e Fisico dell' Universi^ di Modena. — 1948. — Vol. 3. — P. 83.

8. Cattaneo, C. Sur une forme de 1'equation de la chaleur eliminant le paradoxe d'une propagation instantanee / C. Cattaneo // Compte Rendus. Acad. Sci. Paris. — 1958. Vol. 247. — P. 431.

9. Vernotte, P. Les paradoxes de la theorie continue de l'equation de la chaleur / P. Vernotte // Compte Rendus. Acad. Sci. Paris. — 1958. — Vol. 246. — P. 3154.

10. Kaliski, S. Wave equation for heat conduction / S. Kaliski //Bull. Acad. Pol. Sci. — 1965. — Vol. XIII (4). — P. 211.

11. Morse, P. M. Methods of Theoretical Physics I / P. M. Morse, H. Feshbach. — New York : McGraw—Hill. — 1953. — P. 865.

12. Кирсанов, Ю.А. Прикладная теория теплопроводности. Стационарные и нестационарные тепловые процессы в пористых и сплошных телах./ Ю.А. Кирсанов — Saarbrücken, Deutschland: LAP LAMBERT Academic Publishing,

— 2012. — 365 c.

13. Peshkov, V. Second sound in helium II / V. Peshkov // J. Phys. — 1944. — Vol. 8. — P. 381.

14. Ландау, Л. Д. Теория сверхтекучести гелия II / Л. Д. Ландау // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1941. — № 11(6). — С. 592.

15. Tisza, L. Sur la supraconductibilité thérmique de l'hélium II liquide et la statistique de bose—einstein / L. Tisza // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. — 1938. — Vol. 207. — P. 1035.

16. Lifshitz, E. Radiation of sound in helium II / E. Lifshitz //J. Phys. — 1944. — Vol. 8. — P. 110.

17. Ward, J. C. The velocity of second sound in liquid helium near absolute zero,/ J. C. Ward, J. Wilks // Philos. Mag.— 1951.— Vol. 42. — P. 314.

18. Кирсанов, Ю.А. Циклические тепловые процессы и теория теплопроводности в регенеративных воздухоподогревателях./ Ю.А. Кирсанов

— М.: Физматлит. — 2007. — 240 с.

19. Кирсанов, Ю. А. Тепловой резонанс - как условие для самопроизвольной передачи тепла от холодной среды к горячей / Ю.А. Кирсанов // Изв. РАН. Энергетика. — 2009. — № 3. — С. 44-51.

20. Körner, С. The physical defects of the hyperbolic heat conduction equation / C. Körner, H. W. Bergmann // Appl. Phys. A - 1998. - Vol. 67. — P. 397.

21. Ahmadikia1, H. Analytical solution of non—Fourier heat conduction problem on a fin under periodic boundary conditions / H. Ahmadikia1, M. Rismanian // Journal of Mechanical Science and Technology. — 2011. — Vol. 25(11). — P. 2919.

22. Majumdar, A. Microscale Heat Conduction in Dielectric Thin Films / A. Majumdar // J. Heat Transfer — 1993. — Vol. 115(1). — P.. 7.

23. Joshi, A. A. Transient ballistic and diffusive phonon heat transport in thin films / A. A. Joshi, A. Majumdar // Journal of Applied Physics — 1993. — Vol. 74(1). — P. 31.

24. Лыков, А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло— и массообмена./ А.В. Лыков // Инженерно—физический журнал. — 1965. — Том 9, № 3. — С. 287.

25. Бровкин, Л.А. К решению дифференциального уравнения теплопроводности / Л. А. Бровкин // Известия вузов. Энергетика. — 1984. — № 8. — С. 111—113.

26. Карташов, Э. М. Новые соотношения для аналитических решений гиперболических моделей переноса / Э. М. Карташов // Известия академии наук. Энергетика. — 2015. — Том. 4. — С. 38.

27. Tzou, D. Y. The Generalized Lagging Response in Small—Scale and High— Rate Heating / D. Y. Tzou // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 1995. — Vol. 38. — P. 3231.

28. Анисимов, С. И. Электронная эмиссия с поверхности металлов под действием ультракоротких лазерных импульсов / C. И. Анисимов, Б. Л. Капелиович, Т. Л. Перельман // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1974. —Том 66, вып. 2. — С. 776.

29. Brorson, S. D. Femtosecond electron heat—transport dynamics in thin gold film / S. D. Brorson, J. G. Fujimoto, E. P. Ippen // Physical Review Letters. — 1987. — Vol. 59. — P. 1962.

30. Каганов, М.И. Релаксация между электронами и решеткой / М. И. Каганов, Е. М. Лифшиц, Л. В. Танатаров // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1956. — Том 31, № 2. — С. 232.

31. Qiu, T. Q. 1993, Size effects on Nonequilibrium Laser Heating of Metal Films / T. Q. Qiu, C. L. Tien // ASME Journal of Heat Transfer. — 1993. — Vol. 115. — P. 842.

32. Liu, K. C. Analysis of dual—phase—lag heat conduction in cylindrical system with a hybrid method / K. C. Liu, P. C. Chang // Applied Mathematical Modeling. — 2007. — Vol. 31. — P. 369-380.

33. Guyer, R. A. Solution of the Linearized Boltzmann Equation / R. A. Guyer, J. A. Krumhansl // Physical Review — 1996. — Vol. 148. — P. 766.

34. Joseph, D. D. Heat Waves / D.D. Joseph, L. Preziosi // Reviews of Modern Physics. — 1989. — Vol. 61. — P. 41.

35. Barletta, A. Hyperbolic thermal waves in a solid cylinder with a non— stationary boundary heat flux / A. Barletta, B. Pulvirenti // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1998. - Vol. 41. Iss. 1. - P. 107.

36. Al—Nimr, M.A. Nonequilibrium Entropy Production Under the Effect of the Dual—Phase—Lag Heat Conduction Model / M.A. Al—Nimr, M. Naji, V. S. Arbaci // Journal of Heat Transfer — 2000. — Vol. 122. — P. 217.

37. Rukolaine, S.A. Unphysical effects of the dual—phase—lag model of heat conduction / S.A. Rukolaine // International Journal of Heat and Mass Transfer. -2014. - Vol. 78. - P. 58.

38. Кирсанов, Ю.А. Переходные термические процессы в твердом теле / Ю.А. Кирсанов, А.Е. Юдахин // Известия Российской Академии Наук. Энергетика. - 2015. - №. 6. - С. 45.

39. Кудинов, В.А., Исследование теплопроводности с учетом конечной скорости распространения теплоты / В.А. Кудинов, И.В. Кудинов // Теплофизика высоких температур. — 2013. — Том 51, № 2. — С. 301.

40. Roy Choudhuri, S.K. On a thermoelastic three—phase—lag model / S. K. Roy Choudhuri // Journal of Thermal Stresses. — 2007. — Vol. 30. — P. 231.

41. Miranville, A. A Phase—Field Model Based on a Three—Phase—Lag Heat Conduction / A. Miranville, R. Quintanilla // Applied Mathematics & Optimization. — 2011. — Vol. 63, Issue 1. — P. 133.

42. Akbarzadeh, A.H. Phase—lag heat conduction in multilayered cellular media with imperfect bonds / A.H. Akbarzadeh, D. Pasini // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2014. — Vol. 75. — P. 656.

43. Polyanin, A.D. Exact solutions of linear and non—linear differential— difference heat and diffusion equations with finite relaxation time / A.D. Polyanin, A. Zhurov // International Journalof Non—Linear Mechanics. — 2013. — Vol. 54. — P. 115.

44. Kundu, B. A non—Fourier analysis for transmitting heat in fins with internalheat generation / B. Kundu , K. Lee // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2013. — Vol. 64. — P. 1153.

45. Kundu, B. Fourier and non—Fourier heat conduction analysis in the absorber plates of a flat—plate solar collector / B. Kundu , K. Lee // Solar Energy. —

2012. — Vol. 86. — P. 3030.

46. Cai, R. Algebraically explicit analytical solutions of unsteady 3 —D nonlinear non—Fourier (hyperbolic) heat conduction / R. Cai, C. Gou, H. Li // International Journal of Thermal Sciences. — 2006. — Vol. 45. — P. 893.

47. Fang, X—Q. Dynamic effective thermal properties of functionally graded fibrous composites using non—Fourier heat conduction / X.—Q. Fang, C. Hu / Computational Materials Science. — 2008. — Vol. 42. — P. 194.

48. Moosaie, A. A comparative study on various time integration schemes for heat wave simulation / A. Moosaie, G. Atefi // Comput Mech. — 2009. — Vol. 43. — P. 641

49. Shen, W. A numerical solution of two—dimensional hyperbolic heat conduction with non—linear boundary conditions / W. Shen, S. Han // Heat and Mass Transfer. — 2003. — Vol. 39. — P. 499.

50. Mishra, S.C. Analysis of non—Fourier conduction and radiation in a cylindrical medium using lattice Boltzmann method and finite volume method / S.C. Mishra, H. Sahai // International Journal of Heat and Mass Transfer. —

2013. — Vol. 61. — P. 41.

51. Li Ji. Difference Scheme for Hyperbolic Heat Conduction Equation with Pulsed Heating Boundary / Li Ji, Z. Zhengfang, L. Dengying // J. of Thermal Science. — 2000. — Vol.9, No.2. — P. 152.

52. Yang, C—Y. Estimation of the periodic thermal conditions on the non— Fourier fin problem / C—Y. Yang / International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2005. — Vol. 48. — P. 3506

53. Espinosa—Paredes, G. Fuel rod model based on Non—Fourier heat conduction equation / G. Espinosa—Paredes, E—G. Espinosa—Martinez // Annals of Nuclear Energy. — 2009. — Vol. 36. — P. 680.

54. Chen, T—M. A hybrid transform technique for the hyperbolic heat conduction problems / T—M. Chen // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2013. — Vol. 65. — P. 274.

55. Mao, Y. Lattice Boltzmann numerical analysis of heat transfer in nano—scale silicon films induced by ultra—fast laser heating / Y. Mao, M. Xu // International Journal of Thermal Sciences. — 2015. — Vol. 89. — P. 210.

56. Sasmal, A. Analysis of non—Fourier conduction and radiation in a differentially heated 2—D square cavity / A. Sasmal, S.C. Mishra // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2014. — Vol. 79. — P. 116.

57. Mitra, K. Experimental Evidence of Hyperbolic Heat Conduction in Processed Meat / K. Mitra, S. Kumar, A. Vedevarz, M. K. Moallemi // J. Heat Transfer. — 1995. — Vol. 117(3). — P. 568.

58. Herwig, H. Experimental evidence about controversy concerning Fourier or non—Fourier heat conduction in materials with nonhomogeneus inner structure / H. Herwig, K. Beckert // Heat and Mass Transfer. — 2000. — Vol. 36. — P. 387.

59. V'an, P. Experimental aspects of heat conduction beyond fourier / P. V'an, B. Czel, T. Fulop, Gy. Grof, A. Gyenis, J. Verhas // 12th Joint European Thermodynamics Conference Brescia, July 1—5. — 2013.

60. Li, L. An Expanded Lattice Boltzmann Method for Dual Phase Lag model / L. Li, L. Zhou, M. Yang // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2016. — Vol. 93. — P. 834.

61. Singh, S. Numerical study on triple layer skin tissue freezing using dual phase lag bio—heat model / S. Singh, S. Kumar // International Journal of Thermal Sciences. — 2014. — Vol. 86. — P. 12.

62. Mukherjee, A. Analyses of dual—phase lag heat conduction in 1—D cylindrical and spherical geometry — An application of the lattice Boltzmann method / A. Mukherjee, A. Lahiri, S.C. Mishra // International Journal of Heat and Mass Transfer — 2016. — Vol. 96. — P. 627.

63. Han, S. Finite volume solution of two—step hyperbolic conduction in casting sand / S. Han // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2016. — Vol. 93. — P. 1116.

64. Dai, W. Accurate numerical method for solving dual—phase—lagging equation with temperature jump boundary condition in nano heat conduction / W. Dai, F. Han, Z. Sun // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2013. — Vol. 64. — P. 966.

65. Shiomi, J. Non—Fourier heat conduction in a single—walled carbon nanotube: Classical molecular dynamics simulations / J. Shiomi, S. Maruyama // Phys. Rev. B. — 2006. — Vol. 73, Iss. 20.

66. Rahbari, I. High order numerical simulation of non—Fourier heat conduction: An application of numerical Laplace transform inversion / I. Rahbari, F. Mortazavi, M. H. Rahimian // International Communications in Heat and Mass Transfer. — 2014. — Vol. 51. — P. 51.

67. Shomali, Z. Investigation of highly non—linear dual—phase—lag model in nanoscale solid argon with temperature—dependent properties / Z. Shomali, A. Abbassi // International Journal of Thermal Sciences. — 2014. — Vol. 83. — P. 56.

68. Tullius, T.K. Analysis of relaxation times on the human head using the thermal wave model / T.K. Tullius, Y. Bayazitoglu // International Journal of Heat and Mass Transfer — 2013. — Vol. 67. — P. 1007.

69. Tzou, D.Y. Macro to Microscale Heat Transfer: The Lagging Behavior 2nd Edition / D. Y. Tzou — West Sussex, UK: John Wiley & Sons Ltd. — 2015. -1298 p.

70. Torabi, M. Multi—dimensional dual—phase—lag heat conduction in cylindrical coordinates: Analytical and numerical solutions / M. Torabi, K. Zhang // International Journal of Heat and Mass Transfer — 2014. Vol. 78. — P. 960— 966.

71. Карташов, Э. М. Новые интегральные соотношения в теории нестационарного теплопереноса на основе уравнения гиперболического типа / Э.М. Карташов, О.И. Ремизова // Известия РАН. Энергетика. 2002. № 3. С. 146-156.

72. Карташов, Э.М. Математические модели теплопроводности с двухфазным запаздыванием / Э.М. Карташов // Инженерно—физический журнал. - 2016. - Том 89. № 2. - С 338-349.

73. Tables of Integral Transforms/ New York: McGraw—Hill Inc. — 1954.

74. Кошляков, Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики. / H.C. Кошляков - М.: Гостехтеоретиздат — 1936. - 505 c.

75. Лыков, А.В. Теория теплопроводности/ А.В. Лыков — М.: Высшая школа. — 1967. — 600 с.

76. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел./ Э.М. Карташов — М.: Высшая школа. — 1985. — 480 с.

77. Тепло— и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочник./ Под общей редакцией В.А.Григорьева и В.М.Зорина. — М.: Энергоатомиздат. — 1982. - 524 с.

78. Кондратьев, Г.М. Регулярный тепловой режим./ Г.М. Кондратьев — М. ГИТТЛ. — 1954. — 408 с.

79. Кондратьев, Г.М. Прикладная физика: Теплообмен в приборостроении/ Г.М. Кондратьев, Г.Н. Дульнев, Е.С. Платунов, Н.А. Ярышев. — СПб: СПбГУ ИТМО. — 2003. — 560 с.

80. Якимов, Н.Д. Метод регулярного теплового режима при меняющейся температуре охлаждающей среды / Н.Д. Якимов, М.Ю. Шалина // Доклады IX семинара вузов по теплофизике и энергетике. - 2015. - т.1. - С. 310.

81. Ghazizadeh, H.R., Modeling diffusion to thermal wave heat propagation by using fractional heat conduction constitutive model / H.R. Ghazizadeh, M. Maerefat // Iranian J. Mechanical Engineering. 2010. Vol. 11. No. 2. Pp. 66-80.

82. Кирсанов, Ю.А. Некоторые проблемы теории теплопроводности / Ю.А. Кирсанов // Известия РАН. Энергетика. — 2005. — № 6. — С. 51-58.

83. Кирсанов, Ю.А. Об измерении времени тепловой релаксации твердого тела / Ю.А. Кирсанов, А.Ю. Кирсанов // Известия Академии наук. Энергетика. — 2015. — №1. — С. 113.

84. Brown, J.B. Heat pulses at low temperatures / J.B. Brown, D.Y. Chung, P.W. Matthews // Physics Letters. — 1996. — Vol. 21, Iss. 3. — P. 241.

85. Kaminski, W. Hyperbolic heat conduction equation for materials with a nonhomogeneous inner structure/ W. Kaminski // ASME J. Heat Transfer. — 1990. - Vol. 112. — P. 555-560.

86. Roetzel, W. Experiment and analysis for non—Fourier conduction in materials with non—homogeneous inner structure / W. Roetzel, N. Putra, S. K. Das// International Journal of Thermal Sciences. - 2003. - Vol.42. - P. 541-552

87. Fangming, J. Non—fourier heat conduction phenomena in porous material heated by microsecond laser pulse /J. Fangming// Microscale Thermophysical Engineering. - 2003. - Vol. 6, Iss. 4. - P. 331-346

88. Ordonez—Miranda, J. Determination of Time—Delay Parameters in the Dual—Phase Lagging Heat Conduction Model / J. Ordonez—Miranda, J.J. Alvarado—Gil // J. Heat Transfer. — 2010. — Vol. 132(6).

89. Хаузен Х. Теплопередача при противотоке, прямотоке и перекрестном токе / Пер. с нем. И.Н. Дулькина. — М.: Энергоизздат, 1981. 384 с.

90. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. — М.-Л.: Машгиз, 1957.-384с.

91. Дацковский В.М. О расчете вращающегося регенератора / Теплоэнергетика. 1965. №8 с 93-95

92. Мигай В.К. Регенративные вращающиеся воздухоподогреватели / В.К. Мигай, В.С. Назаренко, И.Ф. Новожилов, Т.С. Добряков — Л.: Энергия, 1971.— 168 с.]

93. Кэйс В.М., Лондон А.Л. Компактные теплообменники / Пер. с англ.; Под ред. Ю.В. Петровского. — М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962. -160 с

94.Промышленная теплоэнергетика и теплотехника: Справ./ А.М. Бакластво, В.М. Бродянский, Б.П. Голубев и др.; Под общ. ред. В.А. Григорьева и В.М. Зорина. — М.: Энергоатомиздат. — 1983 г. — 553 с.

95. Юдахин, А.Е. Некоторые проблемы теплопроводности твердых тел при быстропротекающих тепловых процессах. / А.Е Юдахин, И.Н. Зверев// Материалы докладов XVIII аспиранстко — магистерского семинара, посвященный Дню Энергетика: Казань, КГЭУ. — 2014. — С.98-99.

96. Юдахин, А.Е. Влияние толщины образца на время тепловой релаксации и термического демпфирования в твердом теле./ А.Е. Юдахин // Материалы докладов XIX аспиранстко — магистерского семинара, посвященный Дню Энергетика: Казань, КГЭУ. — 2015. — С.125-126.

97. Кирсанов, Ю.А. Об измерении времени тепловой релаксации в переходных термических процессах твердых тел / Ю.А. Кирсанов, А.Ю. Кирсанов, К.Х. Гильфанов, А.Е. Юдахин // Известия вузов. Авиационная техника. — 2015. — № 3. — С. 3-8.

98. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям./ Э. Камке — М.: Наука. — 1971. — 576 с.

99. Кирсанов, Ю.А., Многопериодная краевая задача гиперболической двумерной теплопроводности третьего рода / Ю.А. Кирсанов, А.Ю. Кирсанов, А.Е. Юдахин// Труды Академэнерго. — 2016. — № 4. — С. 32— 41.

100. Кирсанов, Ю.А. Метод измерения тепловой релаксации и температурного демпфирования в твердом теле / Ю.А. Кирсанов, А.Ю. Кирсанов, А.Е. Юдахин // IX Семинар ВУЗов по теплофизике и энергетике. КГЭУ, Казань. — 21—24 октября 2015. — С. 293-304.

101. Кирсанов, Ю.А. Теплопроводность в твердых телах с покрытием при четырехпериодных циклических граничных условиях третьего рода / Ю.А. Кирсанов// Известия вузов. Авиационная техника. — 1995. — № 4. — С. 88— 92.

102. Кирсанов, Ю.А. О начальных условиях гиперболической краевой задачи теплопроводности с циклическими граничными условиями / Ю.А. Кирсанов, А.Е. Юдахин, Д.В. Макарушкин // Труды Академэнерго. — 2016. — № 3. — С. 87-99.

103. Кирсанов, Ю.А. Тепловые процессы в насадке регенеративного воздухоподогревателя с учетом тепловой релаксации и термического демпфирования / Ю.А. Кирсанов, А.Е. Юдахин, А.Ю. Кирсанов // Труды Академэнерго — 2017. — № 1. — С. 7-14.

104. Кирсанов, Ю.А. Метод регулярного режима первого рода для тела с двумерным температурным полем / Ю.А. Кирсанов, А.Ю. Кирсанов, З.И. Зарипов, А.Е. Юдахин // Труды Академэнерго. — 2016. — № 2. — С. 7—19.

105. Справочник по теплообменникам: В 2—х т. Т. 1 / Пер. с англ. под ред. Б.С. Петухова, В.К. Шикова. - М.: Энергоатомиздат, 1987. — 560 с.

106. Юдахин, А.Е. Теоретический анализ кратковременных переходных термических процессов в твердом теле / А.Е. Юдахин, Ю.А. Кирсанов // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и

прикладной механики. Сборник докладов. Казань: КФУ. — 2015. — С. 42864289.

107. Новиченок, Н.Л. Теплофизические свойства полимеров. / Н.Л. Новиченок, З.П. Шульман. — Минск: Наука и техника. — 1971. — 120 с.

108. Бабичев, А.П. Физические величины. Справочник./ А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский и др.; Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. — М.:Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с.

109. Usmanov, R. A. Pilot Unit for Permanent Transesterification of Vegetable Oils in Supercritical Methanol or Ethanol Media. / R.A. Usmanov, R.R. Gabitov, Sh.A. Biktashev, F.N. Shamsetdinov, F.M. Gumerov, F.R. Gabitov, Z.I. Zaripov, R.A. Gazizov, R.S. Yarullin, I.A. Yakushev. // Russian Journal of Physical Chemistry B. - 2011. — Vol. 5. — No. 8. — P. 1216-1227.

110. Шашков, А.Г. Методы определения теплопроводности и температуропроводности. / А.Г.Шашков, Г.М.Волохов, Т.Н.Абраменко и др. — М.: Энергия. — 1973. — 336 с.

111. TYP 4110 WARMEDURCHGANGSPRUFER. / FUETRON -INFORMATION.—Германия. — 1962. — 15 с.

112. Юдахин, А.Е. Переходный термический процесс в твердом теле // Материалы докладов X международной молодежной научной конференции «Тинчуринские чтения», Казань, КГЭУ. — 2015. — С.18-19.

113. Юдахин, А.Е. Тепловая релаксация и термическое демпфирование в твердом теле / А.Е. Юдахин, А.Ю. Кирсанов, Ю.А. Кирсанов // XXXII Сибирский теплофизический семинар, посвященный 80-летию со дня рождения академика В.Е. Накорякова. г. Новосибирск. — 19-20 ноября 2015. — С. 56-57.

114. Юдахин, А.Е Метод измерения времени тепловой релаксации и термического демпфирования твердого тела. // Материалы докладов XI международной молодежной научной конференции «Тинчуринские чтения», Казань, КГЭУ. — 2016. — Том 2. — С.24

115. Кирсанов, Ю.А. Теплопроводность в твердом теле при внезапном изменении граничных условий / Ю.А. Кирсанов, А.Ю. Кирсанов, А.Е. Юдахин // Тезисы докладов и сообщений. Т. 2. XV Минский международный форум по тепло- и массообмену. 23-26 мая 2016 г. Минск: НАН Беларуси, — 2016. — С. 364-366.

116. Кирсанов, Ю.А. Решение краевой гиперболической задачи теплопроводности для многопериодного переходного термического процесса/ Ю.А. Кирсанов, А.Ю. Кирсанов, А.Е. Юдахин // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: Материалы докладов X школы-семинара молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова. Казань, 13-15 сентября 2016 г. - Казань: КазНЦ РАН.

— 2016. - С. 70-73.

117. Кирсанов, Ю.А. Исследование влияния диаметра термопар и толщины образца на процесс измерения величин тепловой релаксации и термического демпфирования / Ю.А. Кирсанов, А.Ю. Кирсанов, А.Е. Юдахин // Теплофизические исследования и измерения при контроле качества веществ, материалов и изделий / Материалы X Международной теплофизической школы, 3-8 октября 2016 г., Таджикистан. - Душанбе: ООО «Хочи-Хасан».

— 2016. — С. 152-156.

118. Маркин, Н.С. Основы теории обработки результатов измерений./ Н.С. Маркин — М.: Изд—во стандартов. — 1991. - 173 с.

119. Кирсанов, Ю.А. Метрология, стандартизация, сертификация. Конспект лекций: Учеб. пособие/ Ю.А. Кирсанов, К.Х. Гильфанов. - Казань: Казан. гос.энерг. ун—т. — 2013. - 145 с.

120. Кирсанов, Ю.А. Расчет регенеративного воздухоподогревателя с насадкой из полимера для отопительно-вентиляционной системы / Ю.А. Кирсанов, А.Е. Юдахин // Евразийский Союз Ученых (ЕСУ). Технические науки. — 2017. — № 3(36). — С. 65-71.

121. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидравлическое сопротивление: Справочное пособие. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 367 с.

122. Жукаускас А.А. Конвективный перенос в теплообменниках. - М.: Наука, 1982. - 472 с.