Исследование моделей неустойчивых сплошных сред, описываемых эллиптическими уравнениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Долгих Татьяна Федоровна

• Долгих Татьяна Федоровна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Долгих Татьяна Федоровна

Заключение к главе

2 Задачи для гиперболических и эллиптических уравнений

§ 4 Метод годографа на основе закона сохранения

§4.1 Метод годографа и его варианты

§ 4.2 Определение функции £ = Ь(а, Ь)

§ 4.3 Определение функции

§ 4.4 Форма неявного решения

§ 4.5 Связь с методом характеристик для одного уравнения

§ 5 Явное решение для гиперболических уравнений

§5.1 Вспомогательные преобразования

§5.2 Решение задачи на изохронах

§ 6 Функция Римана Грина

§6.1 Определение функции Я1, Я2)

§6.1.1 Определение функции фг(Я1, В2)

§6.2 Определение функций фх(Я1, Я2) и Х(Я1 ,Я2) .... 75 § 6.3 Функция Римана Грина для зонального электрофореза

§6.4 Функция Римана Грина для моделей §2.4.1 §2

§6.5 Функция Римана Грина для модели §

§ 7 Явное решение для эллиптических уравнений

§7.1 Метод годографа для эллиптических уравнений

§7.1.1 Форма записи неявного решения

§7.1.2 Определение функции Ь(и, V)

§ 7.2 Задача на изохроне в случае эллиптических уравнений

§7.2.1 Вычисление функций и производных

§ 8 Гамильтонова структура уравнений

§8.1 Уравнения для эллиптического случая

§ 8.2 Уравнения для гиперболического случая

Заключение к главе

3 Исследование моделей и численные результаты

§ 9 Комплексное уравнение Хопфа

§9.1 Эллиптическое уравнение Хопфа

§9.2 Метод годографа для эллиптических уравнений

§9.3 Анализ решения

§ 10 Аномальный зональный электрофорез

§ 10.1 Зональный электрофорез гиперболические уравнения

§10.1.1 Симметрия уравнений

§ 10.1.2 Неявное решение

§ 10.1.3 Численно-аналитический метод решения

§ 10.1.4 Численные методы и результаты вычислений

§ 10.2 Зональный электрофорез эллиптические уравнения

§ 10.2.1 Неявное решение

§ 10.2.2 Численно-аналитический метод решения

§10.2.3 Результаты вычислений

§10.2.3.1 Периодические начальные данные. I 119 § 10.2.3.2 Периодические начальные данные. II

§ 11 Опрокинутая мелкая вода

§ 11.1 Результаты вычислений и их анализ

§11.1.1 Периодические начальные данные. I

§11.1.2 Периодические начальные данные. II

Заключение к главе

4 Программные комплексы компьютерного моделирования

§ 12 Программа для зонального электрофореза

§12.1 Классический зональный электрофорез

§ 12.2 Аномальный зональный электрофорез

§12.2.1 Периодические начальные данные. I

§ 12.2.2 Периодические начальные данные. II

§ 12.2.3 Периодические начальные данные. III

§ 12.2.4 Периодические начальные данные. IV

§ 13 Программа для опрокинутой мелкой воды

Заключение к главе

Заключение

Литература

Приложения

П. 1 Условия эллиптичности модели электрофореза

П. 2 Сильные электролиты

§ 2.1 Случай п = 1, 7i <72

§ 2.2 Случай п = 1, 71 >

§2.3 Случай п =

Список иллюстраций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование моделей неустойчивых сплошных сред, описываемых эллиптическими уравнениями»

Введение

Актуальность темы. Моделированию неустойчивых сплошных сред посвящено сравнительно мало работ, хотя результаты исследований таких моделей интенсивно используются во многих приложениях нелинейной физики, включая физику плазмы, физику солитонов (например, солитонного газа), нелинейную оптику, волновые явления (на глубокой и мелкой воде), перенос массы внешними полями (в частности, электрическим) и т.д. Типичным и, скорее всего, основным примером неустойчивой сплошной среды является газ Чаплыгина, имеющий отрицательную сжимаемость. Ввиду этого, неустойчивые сплошные среды называют также квазигазовые (квазичаплыгинские) неустойчивые среды. В монографии С. К. Жданова, Б. А. Трубникова [44] собрано около полусотни различных примеров таких сред (собственных задач и задач других авторов). Термин «квазичаплыгинские», а затем и «неустойчивые сплошные среды» предложен авторами монографии [44] и её англоязычного незначительно расширенного варианта [114]1. Несмотря на кажущуюся простоту и «грубость» математических моделей, которые, как правило, представляют собой два (редко три) квазилинейных уравнения в частных производных первого порядка, исследование таких моделей крайне сложно, ввиду того, что уравнения имеют эллиптический тип. Решения таких задач описывают растущие с течением времени возмущения, а не бегущие волны, как в случае уравнений гиперболического типа. В [44] предложен асимптотический способ решения задач для неустойчивых сплошных сред, базирующийся на «эволюционном принципе отбора спонтанных решений» (возмущений, исчезающих при £ ^ —то). Отметим, что особый интерес представляют модели, для ко-

1 Использование других терминов обсуждается на с. 23 диссертационной работы.

торых описывающие их уравнения меняют свой тип в процессе эволюции решения с гиперболического на эллиптический или наоборот, и для детального исследования таких моделей асимптотического метода явно недостаточно.

Всё вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что разработка методов решения (аналитических, асимптотических, численных) уравнений неустойчивых сред и непосредственное исследование различных моделей таких сред является актуальным для понимания и интерпретации многих важных нелинейных физических процессов.

Цель и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является исследование с использованием аналитических, численных и асимптотических методов ряда задач для неустойчивых сплошных сред — задачи о переносе массы электрическим полем (зональный электрофорез), задачи об поведении слоя опрокинутой мелкой воды и задачи о поведении политропного квазичаплыгинского газа для различных показателей политропы. Детальное исследование математических моделей делает необходимым развитие численно-аналитических методов построения решений, вычислительных методов в случае квазилинейных гиперболических и эллиптических уравнений, а также реализацию комплекса программ для вычислительного эксперимента.

В связи с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

• Конструирование математических моделей переноса массы электрическим полем для аномального зонального электрофореза.

•

для квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка путём редукции их к задаче Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

липтического типа в частных производных первого порядка, неустойчивых сплошных сред.

• Разработка программного комплекса для проведения вычислительного эксперимента о поведении с течением времени решений эволюционных задач эллиптического типа.

Методы исследования. Для построения моделей неустойчивых сплошных сред используются асимптотические методы, позволяющие получать бездиссипативные приближения на основе базовых уравнений переноса массы в сплошной среде под действием внешнего поля, на основе базовых уравнений гидродинамики, методы редукции уравнений квантовой механики к уравнениям баротропной жидкости (газа).

Для исследования построенных моделей использованы методы теории квазилинейных гиперболических уравнений, варианты метода годографа (классический вариант, на основе закона сохранения, обобщённый вариант метода годографа) и разработанные численно-аналитические методы редукции уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным, как для уравнений гиперболического, так и эллиптического типов.

Для проведения вычислительного эксперимента используются, реализованный на языке Python комплекс программ для численного решения рассматриваемых задач по разработанным алгоритмам, а также пакет Maple.

Научная новизна.

1. В области математического моделирования. Развита модель переноса массы внешним электрическим полем, описывающая аномальный зональный электрофорез. Исследованы уравнения политропного газа, в том числе и чаплыгинского, модель поведения опрокинутой мелкой воды. Показано, что в случае, когда модель описывается двумя эллиптическими квазилинейными уравнениями в частных производных первого порядка, решениями задач Коши являются солитоноподобные и кинкоподобные пространственно-временные структуры, по крайней мере, для определённого класса начальных данных, в частности, пространственно-периодических и гауссоподобных распределений.

2. В области численных методов. Разработан на основе варианта метода годографа численно-аналитический метод решения систем двух

квазилинейных уравнений эллиптического типа, который позволяет конструировать решение задачи Коши для уравнений в частных производных в явной форме. Метод основан на преобразовании системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка к одному линейному уравнению в частных производных второго порядка, которое решается при помощи использования функции Римини Грини и позволяет получить явное аналитическое решения задачи Коши. Для восстановления явной формы решения используется интегрирование задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на линиях уровня неявного решения.

3. В области программного обеспечения. Реализован комплекс программ, позволяющий численно решать некоторый класс задач, и детально исследовать решения математических моделей, представленных в диссертационной работе.

На защиту выносятся следующие результаты и положения.

В области математического моделирования:

1. Математическая модель переноса массы внешним электрическим полем, описывающая возникновение пространственно-временных структур при аномальном зональном электрофорезе.

2. Комплексное уравнение Хопфа, моделирующее поведение нелинейного уравнения Шрёдингера с нелинейностью пятой степени, демонстрирующее основные особенности решения квазилинейных уравнений эллиптического типа.

3. Результаты аналитического исследования поведения решения задачи Коши в случае эллиптических типов уравнений для различных начальных данных.

4. Результаты численного исследования поведения решения задачи Коши в случае эллиптических типов уравнений для различных классов начальных данных.

5. Результаты о движении неустойчивой сплошной среды и закономерностях возникновения пространственно-временных структур для рассматриваемых моделей.

В области численных методов:

1. Численный метод решения задачи Коши систем двух квазилинейных уравнений гиперболического и эллиптического типов, построенный на основе метода годографа.

2. Численный метод построения временных и пространственных неявных решений задачи Коши на линиях уровня, путём сведения исходной задачи Коши для уравнений в частных к задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Результаты вычислительных экспериментов, полученные при помощи разработанного численного метода — пространственно-временные структуры для моделей представленных в диссертационной работе.

В области программного обеспечения:

1. Комплекс программ, позволяющий проводить вычисления и моделировать поведение решений задач, рассмотренных в диссертационной работе, и, при соответствующей модификации, аналогичных задач.

Теоретическая и практическая значимость работы. Исследование посвящено математическому моделированию различных неустойчивых сплошных сред. Полученные результаты могут быть использованы для моделирования и исследования различных процессов, важных для развития технологий нелинейной оптики, биологии, химии многокомпонентных сред, медицине и т. д. Работа имеет теоретическую направленность и востребована для исследования задач нелинейной физики. Развиты аналитические, асимптотические и численные методы построения и исследования решений квазилинейных уравнений в частных производных эллиптического (и гиперболического) типа. Применяемые подходы могут быть использованы (и используются) при разработке специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов физико-математических специальностей.

и

Достоверность. Корректная постановка задачи, применение обоснованных и надежных методов исследования и решения приведённых задач обуславливают достоверность полученных результатов, которые нашли применение в научно-исследовательских разработках кафедры вычислительной математики и математической физики Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича ЮФУ в рамках выполнения базовых частей проектов 213.01-11/2014-1, 1.5169.2017/8.9 Министерства образования и науки РФ, Южного федерального университета, а также в проектной части государственного задания в сфере научной деятельности (Задание № 1.1398.2014/К).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

«International Conference on Numerical modeling of the coastal, shelf and estuarine processes», 5-9 октября 2015 г., Ростов-на-Дону;

XVII Научная школа «Нелинейные волны», 27 февраля 4 марта 2016 г., Нижний Новгород;

Международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VI», 24-29 апреля 2016 г., Ростов-на-Дону;

XVIII Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», 7-10 ноября 2016 г., Ростов-на-Дону; Международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VII», 23-28 апреля 2017 г., Ростов -на- Дону;

Международный симпозиум «Неравновесные процессы в сплошных средах», 15-18 мая 2017 г., Пермь;

VII школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», 28 мая-3 июня 2017 г., пос. Дивноморское; Международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VIII», 22-27 апреля 2018 г., Ростов -на- Дону;

XIX Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», 15 18 октября 2018 г., Ростов-на-Дону; Международная Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», 28 января 2 февраля 2019 г., Воронеж;

Международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения IX», 21 26 апреля

2019 г., Ростов-на-Дону;

XX Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», 18 21 июня 2020 г., Ростов-на-Дону; Международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения X», 24 25 августа

2020 г., Ростов-на-Дону.

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты опубликованы в 28 работах: [12 36, 48, 52], из них две работы [18, 30] опубликованы в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий ЮФУ, одна статья [34] в журнале из перечня, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов диссертационных исследований и одна [12] в журнале, индексируемом в базах Scopus и Web of Science. Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ [54].

Часть работ выполнена в соавторстве с коллегами и научным руководителем диссертационного исследования. В работе [12] Жукову М.Ю. принадлежит постановка задачи Коши для системы двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка в инвариантах Римана и постановка задачи об эквивалентности методов. Решение задачи с помощью стандартного и обобщённого методов годографа и с помощью метода годографа на основе закона сохранения, а также формулировка теоремы об эквивалентности решений поставленной задачи тремя методами получены Долгих Т. Ф. Постановка задачи и анализ полученных решений в статье [34] принадлежат Жукову М. К)., решение в неявной форме с помощью метода годографа, построенного на основе закона сохранения, и восстановле-

ыие явного решение получено Долгих Т. Ф., а исследование примеров с различными начальными пространственно-периодическими данными в равной степени принадлежат Ширяевой Е. В. и Долгих Т. Ф. В работе [48] Жукову М.Ю. принадлежит построение модели мелкой воды, а также примеры метода исследования представленных в работе моделей, Долгих Т. Ф. построение модели переноса массы электрическим полем в много компонентных химически активных средах. Метод исследования обеих моделей разработан авторами совместно. В монографии [52] Жуковым М.Ю. построены основные модели для квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, описаны законы сохранения, поставлены задачи Коши и получены явные решения на изохронах. Ширяевой Е. В. и Долгих Т. Ф. решены примеры задач для зонального электрофореза, двухлу-чевой редукции модели солитонного газа и уравнения мелкой воды. Долгих Т. Ф. получены решения для эллиптических уравнений. В публикациях [15, 23, 25, 26, 28, 31] Жукову М. Ю. принадлежат постановка задачи и идея метода исследования, а Ширяевой Е. В. и Долгих Т. Ф. решение примеров и анализ результатов, Долгих Т. Ф. реализация метода решения. Ширяевой Е. В. и Долгих Т. Ф. написана и протестирована программа для ЭВМ [54] для модели зонального электрофореза для двухкомпонентной смеси, поставленной Жуковым М.Ю. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, полученные лично автором.

Степень разработанности темы. Исследование всех сконструированных и представленных моделей в диссертационной работе выполнено полностью. Метод, разработанный для решения можно считать завершенным, по крайней мере, для тех целей, которые ставились в работе.

Структура и объём диссертации. Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение, список литературы и приложения. Общий объём диссертации 179 страниц, включая 43 рисунка, и 2 приложения. Список литературы содержит 125 наименований.

Во Введении приведен краткий обзор содержания работы, обоснована актуальность темы, изложены цели работы и методы исследования, пред-

ставлена структура работы.

Глава 1 диссертационной работы посвящена конструированию и описанию математических моделей неустойчивых сплошных сред, общей постановке задачи как в исходных переменных, так и в инвариантах Римана, определению инвариантов Римана для рассматриваемых моделей. Модели представляют собой системы двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, описывают различные физические процессы и, что особенно важно, тип уравнений является эллиптическим. В § 1 содержится краткий обзор состояния проблемы, обзор используемых моделей и их свойств (§1.1), и описаны наиболее востребованные методы исследования моделей (§ 1.2). Основные уравнения, используемые для построения моделей приведены в §2. Базовые уравнения, на основе которых строиться модель, приведены в §2.1, а модели классического и аномального зонального электрофореза содержаться в §2.2, §2.3. Также в работе частично исследованы некоторые известные модели (политропный чаплыгинский газ, опрокинутая мелкая вода, без дисперсионный вариант (длинноволновое приближение) нелинейного уравнения Шрёдингера, двухслойная мелкая вода под крышкой), которые указаны в §2.4 §2.4.4. Постановка задачи в терминах инвариантов Римана для всех моделей дана в §3.2, а в §3.3 указаны инварианты Римана, связь с исходными переменными и характеристические направления для рассматриваемых моделей.

Глава 2, которая является ключевой для диссертационной работы, посвящена развитию метода решения эволюционных задач Коши для двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка в случае гиперболических и эллиптических уравнений, поставленных в §3.1, §3.2. Для конструирования решения применяется один и тот же метод годографа на основе закона сохранения с последующим построением функции Римана Грина и интегрированием задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений на линиях уровня неявного решения. Показаны качественные отличия поведения решений в случае гиперболических и эллиптических уравнений. В § 4 описан метод построения решения один из вариантов метода годографа. В §4.1 §4.4 построено неявное решение

эволюционной задачи Коши и в § 4.5 указана связь метода, развиваемого для двух квазилинейных уравнений, с методом характеристик для одного квазилинейного уравнения. Способ построения явного решения на линиях уровня неявного решения развит в § 5. Показано, что задача определения явного решения сводится к задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В §5.1 приведены некоторые вспомогательные соотношения. В §5.2 развивается метод построения решения на линиях уровня неявного решения, в частности, на изохронах, указаны условия опрокидывания профиля решения в случае гиперболических уравнений, сформулирован ряд свойств решений. В § 6 показано, что решением линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, возникающим при использовании метода годографа, с точностью до множителя совпадает с соответствующей функций Римана Грина. В § 6.3 указана функция Римана Грина для уравнения аномального зонального электрофореза, а в § 6.2 функция Римана Грина для политроп-ного газа. Аналогичные функции для других моделей из § 2.4 различаются от функции для политропного газа лишь значениями параметров. В § 7, который является основным при построении решений моделей неустойчивых сред (то есть в случае эволюционной задачи Коши для уравнений эллиптического типа), показано как метод, развитый в § 4 § 6 для гиперболических уравнений, переносится на метод для решения уравнений эллиптического типа. Для эллиптических уравнений в §7.1 приведены соотношения метода годографа, а в §7.1 способ построения явного решения. В §7 показано, что для эволюционных задач Коши эллиптического типа неоднозначность решений невозможна, а в § 8 указан способ изучения структуры линий уровня неявного решения при помощи исследования гамильтоновой системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

В главе 3 основное внимание фокусируется на модели аномального зонального электрофореза, а также классического зонального электрофореза. Модель исследуется как аналитическими, так и численными методами (§ 10). Кроме этого, с целью демонстрации эффективности метода, а также выявления основных свойств поведения решения задачи Коши для эллин-

тических уравнений изучены комплексное уравнение Хопфа и уравнения опрокинутой мелкой воды (§9,§11).В§9 приведено решение эволюционной задачи Коши для комплексного варианта уравнения Хопфа. В §9.1 описан метод характеристик, а в § 9.2 метод годографа, и показано, что для данного уравнения эти методы эквивалентны. Анализ решения для некоторых начальных данных приведен в §9.3, где отмечены наиболее типичные черты поведения решения, характерные для уравнений эллиптического типа. В § 10 приведено решение для задачи о классическом и об аномальном зональном электрофорезе. В § 10.1 рассмотрен вариант гиперболических уравнений, результаты которого используются для решения задачи в случае аномального зонального электрофореза в § 10.2. Свойства симметрии решений, неявное решение и явное решения дано в § 10.1.1, § 10.1.2 и § 10.1.3. Кроме этого, в § 10.1.4 приведено сравнения решения задачи методом годографа и методом конечных объёмов. Задача для аномального зонального электрофореза решена в § 10.2 построены неявное решение (§ 10.2.1), явное решение на изохронах (§ 10.2.2), и приведены результаты расчётов для нескольких вариантов начальных данных (§ 10.2.3). Подробно проанализировано поведение решения, его характерные особенности, и описан возможный сценарий перехода с одного типа решений на другой (§ 10.2.3.2). Задача об опрокинутой мелкой воде решена в §11, а в §11.1 приведены результаты расчётов для разных видов начальных форм свободной поверхности жидкости.

Четвертая глава диссертации посвящена описанию программных комплексов для решения задач классического (§ 12.1), аномального (§ 12.2) зонального электрофорезом и задачи об опрокинутой мелкой воде (§ 13).

В Заключении изложены основные результаты и выводы диссертационной работы.

Приложения содержат детальный вывод некоторых громоздких соотношений, используемых в диссертационной работе.

.....I......I с^Т^с"^1 !■

Модели неустойчивых сплошных сред

Цель главы — построение и описание нескольких моделей неустойчивых сплошных сред. Первая из таких моделей предназначена для описания аномального зонального электрофореза — переноса вещества под действием внешнего электрического поля в случае, когда электрическая проводимость многокомпонентной смеси (растворитель + примеси) существенно зависит от величины концентраций растворенных веществ. Вторая модель — это чаплыгинский политропный газ. К уравнениям, описывающим такой газ, сводится некоторое асимптотическое приближение обобщённого нелинейного уравнения Шрёдингера, а также уравнения опрокинутой мелкой воды. Третья модель — один из вариантов уравнений, описывающих поведение двухслойной мелкой воды в случае, когда имеется сдвиг скорости течения слоев жидкости с почти одинаковой плотностью. Четвёртая модель — комплексное уравнение Хопфа — бездисперсионное приближение нелинейного уравнения Шрёдингера с нелинейностью пятой степени или чаплыгинский политропный газ со специально выбранным показателем политропы. В этом случае два квазилинейных уравнения «расщепляются» на независимые уравнения типа обычного уравнения Хопфа (в инвариантах Римана), связанные между собой лишь при помощи начальных данных.

С математической точки зрения, все модели представляют собой системы двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, которые приводятся к инвариантам Римана. Однако эти модели описывают различные физические процессы и, что особенно важно,

тип уравнений является эллиптическим. Указанные модели не учитывают диссипативные процессы в средах (диффузию, вязкость и т.п.). Иными словами, модели являются асимптотическими и, в некотором смысле, достаточно «грубыми». Несмотря на кажущуюся простоту, именно такие модели, как это убедительно продемонстрировано в [44, 114, 115], описывают широкий круг нелинейных процессов. С физической точки зрения это означает, что в тех средах, которые именуются неустойчивыми, решающую роль играют физические нелинейности, а вовсе не процессы диссипации. Заметим, что для классического зонального электрофореза, описываемого гиперболическими квазилинейными уравнениями, как показано в [49], электромиграционные эффекты (нелинейности) превалируют над диффузионными эффектами.

Отличительной особенностью рассматриваемых в диссертационной работе моделей является возможность приведения исходных уравнений к инвариантам Римана, причём связь исходных переменных и инвариантов Римана записана в явной аналитической форме. Хорошо известно, что система двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка всегда имеют инварианты Римана (см., например, [68]). Однако отсутствие явного представления взаимозависимости инвариантов Римана и исходных переменных, делает практически нереализуемым (более точно, крайне громоздким) метод решения уравнений, используемый в работе и, как следствие, делает невозможным детальное исследование свойств моделей и их решений. Заметим, что в случае эллиптических квазилинейных уравнений инварианты Римана являются комплексными (комплексно-сопряжёнными в случае двух уравнений), а пара уравнений может быть заменена одним комплексным уравнением. В некоторых случаях (например, для политропного газа со специально выбранным показателем адиабаты, зонального электрофореза) это существенно упрощает построение и интерпретацию решения. Отметим, что запись уравнений в комплексной форме в виде одного уравнения ещё не означает, что можно использовать всю мощь комплексного анализа по настоящему комплексное уравнение не должно содержать модулей и комплексно-сопряжённых величин.

Как уже говорилось, модели неустойчивых сред, рассматриваемые в диссертационной работе представляют собой системы двух квазилинейные уравнений в частных производных первого порядка. Такие уравнения, когда они имеют гиперболический тип, часто используются для описания движущихся нелинейных волн (процессов переноса). Свойства квазилинейных гиперболических уравнений достаточно хорошо изучены и, в частности, известно (см. [68]), что в процессе эволюции решения (то есть когда независимыми переменными являются координата и время) может изменяться область гиперболичности уравнений, строго гиперболические уравнения (имеющие различные характеристики) могут становиться нестрогими (характеристики совпадают), допускаются автомодельные решения (волны разряжения), разрывные решения (ударные волны), возможны «опрокидывания» решений (если они не противоречат физике процесса), а также градиентная катастрофа (стремление производных решения к бесконечности за конечно время) и т. п. Ситуация кардинально меняется, если тип уравнений эллиптический. Формально структура уравнений остаётся прежней изменяются лишь знаки некоторых членов уравнений. Типичный пример обычные уравнения мелкой воды и уравнения мелкой воды на потолке отличаются лишь знаком ускорения поля тяжести. Однако для опрокинутой мелкой воды (эллиптический тип уравнений) почти все перечисленные выше возможности исчезают нет характеристик, отсутствую автомодельные решения, отсутствует опрокидывание профилей решений и т.д. Иными словами, несмотря на структурное сходство уравнений модели, это несомненно новые модели в том смысле, что они описывают совершенно новые явления. Следует отметить, что до сих пор нет ясного ответа на вопрос о том, что может ли квазилинейное гиперболическое уравнение в процессе эволюции решения сменить тип на эллиптический. Ситуация подобна той, что имеется в случае смешанного уравнения Эйлера Трикоми с той разницей, что линия вырождения решения заранее известна (смена типа с гиперболического на эллиптический, для классического варианта уравнения Эйлера-Трикоми происходит при х = 0), а для квазилинейных уравнений возможно возникает при эволюции решения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Долгих Татьяна Федоровна, 2021 год

Литература

1. Аксенов, A.B. Нелинейные периодические волны в газе / A.B. Аксенов // Изв. РАН, МЖГ. - 2012. - №5. - С. 88-98.

2. Аксенов, A.B. Нелинейные периодические волны в газоподобных средах: автореф. дне. ...докт. физ.-мат. наук: 01.02.05. / A.B. Аксенов — М., 2004. - 36с.

3. Аксенов, А. В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу / A.B. Аксенов // Математ. физика. - 2001. - Т. 381, № 2. - С. 176-179.

4. Аксенов, A.B. Точные решения, описывающие изэнтропическое одномерное движение пол тройного газа / А. В. Аксенов // Тр. МИАН. — 1998. - Т. 223. - С. 148-152.

5. Аксенов, A.B. Эволюция периодических волн в газе и квазигазовых средах / A.B. Аксенов // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. — 2011. - (3). — С. 620-621.

6. Бабский, В. Г. Математическая теория электрофореза: Применение к методам фракционирования биополимеров / В. Г. Бабский, М.Ю. Жуков, В. И. Юдович. — Киев: Наукова думка, 1983. — 202 с.

7. Балашов, А. Д. Математическое моделирование процессов филамента-нии в средах с кубической нелинейностью / А. Д. Балашов, А.Х. Пергамент // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2004. — 17с.

8. Баутин Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. — М.: Наука, 1990. — 488 с.

9. Бейтман, Г. Высшие трансцендентные функции. Т. 1 / Г. Бейтман,

А. Эрдейи — М: Наука, 1986. — 295 с.

10. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе. — М.: Наука, 1981. — 449с.

11. Бицадзе, A.B. Уравнения смешанного типа / A.B. Бицадзе. — М.: Наука, 1959. — 165 с.

12. Долгих, Т. Ф. Варианты метода годографа для решения системы двух квазилинейных уравнений / Т. Ф. Долгих, М.Ю. Жуков // Владикавк. мат. журн. - 2021. - Т. 23. - № 2. - С. 34-50.

13. Долгих, Т. Ф. Задача об опрокинутой мелкой воде / Т. Ф. Долгих // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XX Международной конференции, Ростов-на-Дону, 18-21 июня 2020 года: в 2 томах. — Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2020. — Т. 2. - С. 78-82.

14. Долгих, Т. Ф. Задача об опрокинутой мелкой воде / Т. Ф. Долгих // Современные проблемы механики сплошной среды: тезисы докладов XX Международной конференции, Ростов-на-Дону, 18-21 июня 2020 года. — Ростов-на-Дону-Таганрог: Южный федеральный университет, 2020. - С. 54.

15. Долгих, Т. Ф. Исследование процесса массопереноса в случае уравнений эллиптического типа / Т. Ф. Долгих, М.Ю. Жуков, Е. В. Ширяева // Численное моделирование прибрежных, шельфовых и устьевых процессов: тезисы докладов международной конференции. — Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2015. — С. 20.

16. Долгих, Т. Ф. Исследование решений эллиптических уравнений зонального электрофореза / Т. Ф. Долгих // Материалы докладов международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VII». — Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2017. - С. 81.

17. Долгих, Т. Ф. Метод годографа для решения задачи об опрокинутой мелкой воде / Т. Ф. Долгих // Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019. XXX Крымская Осенняя Математическая

Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. — Симферополь: Полипринт, 2019. — С. 257-260.

18. Долгих, Т. Ф. Метод годографа для решения задачи о мелкой воде под твердой крышкой / Т. Ф. Долгих // Изв. Высших учебных заведений. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. — 2021. — № 1. — С. 15-24.

19. Долгих, Т. Ф. Метод конечных объёмов для решения задачи зонального электрофореза / Т. Ф. Долгих // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XIX международной конференции, Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2018 года: в 2 томах. — Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2018. — Т. 1. — С. 94-98.

20. Долгих, Т. Ф. Метод конечных объёмов для решения задачи зонального электрофореза / Т. Ф. Долгих // Современные проблемы механики сплошной среды: тезисы XIX международной конференции, Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2018 года. — Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2018. — Т. 1. — С. 42.

21. Долгих, Т. Ф. Методы решения задачи зонального электрофореза с периодическими начальными данными / Т. Ф. Долгих // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа». — Воронеж: ВГУ, 2019. - С. 120-121.

22. Долгих, Т. Ф. Методы решения задачи зонального электрофореза с периодическими начальными данными / Т. Ф. Долгих. — Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. - 2019. - Т. 172. - С. 38-47.

23. Долгих, Т. Ф. Нахождение стационарных решений задачи о конвекции Рэлея-Бенара-Кармана / Т. Ф. Долгих, М. Ю. Жуков, Е. В. Ширяева // Изв. Высших учебных заведений. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки, _ 2015. - №4. - С. 44-48.

24. Долгих, Т. Ф. Пространственно-периодические решения уравнений зонального электрофореза / Т. Ф. Долгих // Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2017. XXVIII Крымская Осенняя

Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам: секции 5-9. — Симферополь: Диайпи, 2017. — С. 40-42.

25. Долгих, Т. Ф. Пространственно-периодические решения уравнений переноса массы / Т. Ф. Долгих, М. Ю. Жуков, Е. В. Ширяева // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — V: международная научная конференция. — Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2015. - С. 102-103.

26. Долгих, Т. Ф. Пространственно-периодические решения уравнений переноса массы / Т. Ф. Долгих, М.Ю. Жуков, Е. В. Ширяева // Международная конференция КРОМШ-2015. XXVI Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам: сборник тезисов. — Симферополь: ДИАЙПИ 2015. — С. 90-91.

27. Долгих, Т. Ф. Пространственно-периодические решения эллиптических уравнений зонального электрофореза / Т. Ф. Долгих // Материалы международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VIII». — Ростов-на-Дону: Ростовское отделение Российской инженерной академии, 2018. - С. 79-80.

28. Долгих, Т. Ф. Процесс массопереноса электрическим полем в случае квазилинейных уравнений эллиптического типа / Т. Ф. Долгих, М.Ю. Жуков, Е. В. Ширяева // Нелинейные волны — 2016: тезисы докладов молодых ученых (электронная версия) XVII научной школы, Нижний Новгород, 27 февраля-4 марта 2016 год. — Нижний Новгород. - 2016. - С. 51.

29. Долгих, Т. Ф. Решение задачи зонального электрофореза в случае эллиптических уравнений / Т. Ф. Долгих // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: тезисы докладов XIII Всероссийской школы-семинара. — Ростов-на-Дону; Таганрог: Издательство Южного федерального университета, 2018. — С. 24.

30. Долгих, Т. Ф. Решение задачи о переносе массы под действием электрического поля в двухкомпонентной смеси / Т. Ф. Долгих // Изв. Высших

учебных заведений. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. — 2017. — № 3-1 (195-1). - С. 28-35.

31. Долгих, Т. Ф. Решение квазилинейных уравнений эллиптического типа для зонального электрофореза / Т. Ф. Долгих, М. Ю. Жуков, Е. В. Ширяева // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VI: материалы международной конференции, Ростов-на-Дону, 24-29 апреля 2016 года. — Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2016. - С. 88-89.

32. Долгих, Т. Ф. Решение уравнений зонального электрофореза эллиптического типа / Т. Ф. Долгих // Неравновесные процессы в сплошных средах: материалы международного симпозиума: и 2 т. Пермь, 2017. - Т.1. - С. 159-161.

33. Долгих, Т. Ф. Решение уравнений эллиптического типа для переноса массы / Т. Ф. Долгих // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: тезисы докладов XII Всероссийской школы-семинара. — Ростов-на-Дону; Таганрог: Издательство Южного федерального университета, 2017. — С. 42.

34. Долгих, Т. Ф. Решение эллиптических уравнений с периодическими данными для задачи зонального электрофореза / Т. Ф. Долгих, М.Ю. Жуков, Е. В. Ширяева // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2017. Л" 2. С. 85-96.

35. Долгих, Т. Ф. Уравнения эллиптического типа для зонального электрофореза / Т. Ф. Долгих // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XVIII Международной конференции: в 2 томах, Ростов-на-Дону, 07-10 ноября 2016 года. - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2016. — Т. 1. — С. 179-183.

36. Долгих, Т. Ф. Уравнения эллиптического типа для зонального электрофореза / Т. Ф. Долгих // Современные проблемы механики сплошной среды: тезисы докладов XVIII Международной конференции, Ростов-на-Дону, 7-10 ноября 2016 года. — Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2016. — С. 62.

37. Дубровин, Б. А. Гидродинамика слабо деформированных солитон-ных решеток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова теория / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков // УМН. — 1989. — Т. 44, вып. 6 (270). — С.29-98.

38. Дубровин, Б. А. Интегрируемые системы. I / Б. А. Дубровин, И.М. Кричевер, С. П. Новиков — Современные проблемы математики (Итоги науки и техники). — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. — Т.4. — С.179-288.

39. Елаева, М. С. Взаимодействие слабых разрывов и метод годографа для задачи о фракционировании двухкомпонентной смеси электрическим полем / М. С. Елаева, М. Ю. Жуков, Е. В. Ширяева // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2016. — 56:8. — С. 1455-1469.

40. Елаева, М.С. Исследование зонального электрофореза двухкомпонентной смеси веществ /М.С. Елаева // Математическое моделирование. — 2010. - Т. 22, № 2. - С. 146-160.

41. Елаева, М. С. Математическое моделирование капиллярного зонального электрофореза: дис. ...канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Елаева Мария Сергеевна — Ростов-на-Дону, 2010.

42. Елаева, М.С. Разделение двухкомпонентной смеси под действием электрического поля / М.С. Елаева // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2012. - Т. 52, № 6. - С. 1143-1159.

43. Елизарова, Т. Г. Квазигазодинамический алгоритм численного решения двухслойных уравнений мелкой воды [Электронный ресурс] / Т. Г. Елизарова, A.B. Иванов // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 2016. — №69. - 27 с.

44. Жданов, Б. А. Квазиустойчивые газовые среды / Б. А. Жданов, С. К. Трубников. — М.: Наука, 1991. — 176 с.

45. Жуков, М.Ю. Движение слоя идеальной несжимаемой жидкости на внешней поверхности вращающегося цилиндра / М.Ю. Жуков, A.M. Морад // Изв. Высших учебных заведений. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. — 2015. — № 4. — С. 49-55.

46. Жуков, М.Ю. Исследование процессов переноса в двухкомпонентной среде для гиперболического и эллиптического случаев /М.Ю. Жуков, С. А. Паламарчук // Материалы научной конференции РГЭУ «РИНХ» «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания». — Ростов-на-Дону, 2005. — С. 15-18.

47. Жуков, М.Ю. Исследование уравнений мелкой воды на поверхности неподвижного цилиндра / М.Ю. Жуков, A.M. Морад, Е. В. Ширяева // Изв. Высших учебных заведений. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2014. - № 5. - С. 32-36.

48. Жуков, М. Ю. Математические модели жидкости, газа и переноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах / М.Ю. Жуков, Т. Ф. Долгих // Математический форум (Итоги науки. Юг России). - 2020. - Т. 13. - С. 87-104.

49. Жуков, М.Ю. Массоперенос электрическим полем / М.Ю. Жуков — Ростов-на-Дону: Изд. Ростовского университета, 2005. 216 с.

50. Жуков, М. Ю. Математическое моделирование процессов электрофореза / М.Ю. Жуков, Е. В. Ширяева, Н.М. Полякова. — Ростов-на-Дону: Изд. ЮФУ, 2019. - 160 с.

51. Жуков, М.Ю. Математическая модель изотахофореза / М.Ю. Жуков,

B. И. Юдович // Доклады АН СССР. - 1982. - Т. 267, № 2. - С. 334 338.

52. Жуков, М.Ю. Метод годографа для решения гиперболических и эллиптических квазилинейных уравнений /М.Ю. Жуков, Е. В. Ширяева, Т. Ф. Долгих. — Ростов-на-Дону: Изд. ЮФУ, 2015. — 126 с.

53. Жуков, М.Ю. Нестационарная модель изотохафореза / М.Ю. Жуков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — Т. 24, № 4. —

C.549-565.

54. Жуков, М.Ю. РТО «Программа компьютерного моделирования зонального электрофореза для двухкомпонентной смеси» / М.Ю. Жуков, Е. В. Ширяева, Т. Ф. Долгих // Навигатор в мире науки и образования. - 2016. - № 4 (33). - С. 445-452.

55. Жуков, М.Ю. Уравнения переноса масс для сильно концентрированных многокомпонентных смесей при наличии электрического поля. Модель изотахофореза /М.Ю. Жуков // Математическое моделирование, 1995. - Т. 7, №4. - С. 19-28.

56. Ибрагимов, Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике / Н.Х. Ибрагимов // УМН. - 1992. - Т.47(286), вып.4. - С.83-144.

57. Ивонин, И. А. Динамика двумерных излучающих вихрей в нелинейном уравнении Шрёдингера / И. А. Ивонин // ЖЭТФ. — 1997. — Т. 112, вып. 6 (12). - С. 2252-2262.

58. Кузнецов, H.H. Некоторые математические вопросы хроматографии / H.H. Кузнецов // Вычислит, методы и программирование. — 1967. — Л" 6. - С. 242-258.

59. Куликовский, А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А.Ю. Семёнов — М.: Физматлит, 2012. — 656 с.

60. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. — М.: Мир, 1964. - 830 с.

61. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М.А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука, 1977.

62. Ляпидевский, В.Ю. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости / В.Ю. Ляпидевский, В.М. Тешу кои. — Новосибирск: Изд. Сибирского отделения РАН, 2000. 420 с.

63. Морад, А. М. Моделирование движения жидких пленок на внутренней и внешней поверхности вращающегося цилиндра: дис....канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Адель Мохамед Морад — Таганрог, 2015. — 156 с.

64. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников — М.: Наука, 1978. — 339 с.

65. Овсянников, Л. В. Модели двухслойной «мелкой воды» / Л. В. Овсянников // ПМТФ. - 1979. - № 2. - С. 3-14.

66. Овсянников, Л. В. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внут-

ренних волн / Л. В. Овсянников, Н.И. Макаренко, В. И. Налимов и др. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1985. — 319 с.

67. Павлов, М. В. Интегрируемые системы уравнений гидродинамического типа: лис... .канд. физ.-мат. наук: 01.04.02 / Максим Валентинович Павлов — М., 1992. — 100 с.

68. Рождественский, Б. Л. Системы квазилинейных уравнений / Б. Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. - М.: Наука, 1978. — 668 с.

69. Сенатов, С. И. Построение упруго-пластических границ с помощью законов сохранения / С. И. Сенатов, Е. В. Фи. пошипи. О. В. Гомонова // Вестник СибГАУ. - Т. 16, №2. - С. 343-359.

70. Ферапонтов, Е. В. Системы гидродинамического типа, возникающие в газовой хроматографии. Инварианты Римана и точные решения / Е. В. Ферапонтов, С. П. Царев // Математическое моделирование. — 1991. - Т. 3, № 2. - С. 82-91.

71. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. — М.: Мир, 1990. - 512 с.

72. Царев, С. П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа / С. П. Царев // Изв. АН СССР. Серия математическая. — 1990. — Т. 54, № 5. — С. 1048-1067.

73. Царев, С. П. О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых системах гидродинамического типа / С. П. Царев // Докл. Акад. Наук СССР. - 1985. - Т. 282, вып. 3. - С. 534-537.

74. Чиркунов, Ю. А. О классификации по симметриям и законам сохранения квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Ю. А. Чиркунов // Математические заметки. — 2010. — Т. 87, вып. 1. — С.122-129.

75. Чиркунов, Ю. А. Обобщенные преобразования эквивалентности и групповая классификация систем дифференциальных уравнений / Ю. А. Чиркунов // ПМТФ. - 2012. - Т. 53, вып. 2. - С. 3-13.

76. Шефтель, М.Б. Об интегрировании гамильтоновых систем гидродина-

мического типа с двумя зависимыми переменными с помощью группы Ли Бек.lyиди / М.Б. Шефтель // Функц. анализ и его прил. — Т. 20, В. 3. - 1986. - С. 70-79.

77. Электромиграционный метод в физико-химических, радиохимических исследованиях / Под. ред. Шведова В. П. — М.: Атомиздат, 1971. — 288 с.

78. Aksenov, А. V. Linear differential relations between solutions of the class of Euler-Poisson-Darboux equations / A.V. Aksenov // Journal of Mathematical Sciences. - 2005. - Vol. 130, No. 5. - P. 4911-4940.

79. Aksenov, A. V. Symmetries and Invariant Solutions of Absolutely Unstable Media Equations / A.V. Aksenov // Physics of Atomic Nuclei. — 2000. — Vol.63, No.4. - P. 677-679.

80. Babskii, V. G. Mathematical Theory of Electrophoresis / V. G. Babskii, M.Yu. Zhukov, V.l. Yudovich — Plenum Publishing Corporation, New York, 1989. - 241 p.

81. Bello, M. S. Combined effects on non-linear electrophoresis and non-liner chromatography on non-concentration profiles in capillary electrophoresis / Bello, M.S., Zhukov, M.Yu., Righetti, P. G. // J. Chromatography A. -

1995. _ v0i. 693. _ p. 113-130.

82. Bier, M. Electrophoresis / M. Bier // New York: Acad. Press. — 1967. — V.2. - 553 p.

83. Bocek, P. Analytical isotachophoresis: Theory, instrumentation and application P. Bocek, M. Demi, P. Gebauer, V. Dolnik // VCH, Weinheim. — 1988.

84. Book, D.L. Nonlinear evolution of the sausage instability / D. L. Book, E. Ott, M. Lampe // Citation: Physics of Fluids (1958-1988) 19. - 1982 (1976). - P. 1982-1986.

85. Book, D.L. RayleighTaylor instability in the «shallow water» approximation / D.L. Book, E. Ott, A.L. Sulton // Physics of Fluids (1958-1988) 17. _ 1974. _ p. 676-678.

86. Copson, E. T. On the Riemann-Green Function / E. T. Copson // Arch.

Ration. Modi. Anal. - 1958. - Vol. 1. - P. 324-348.

87. Curro, C. Exact description of simple wave interactions in multicomponent chromatography / C. Curro, D. Fusco, N. Manganaro // J. Phys. A: Math. Theor_ _ 2015. - Vol.48. - 015201.

88. Daggit, E.A. The Use of Infinitesimal Transformations in Predicting the Form of the Riemann (-Green) Function / E.A. Daggit // Journal of mathematical analysis and applications. — 1970. — Vol. 29. — P. 91-108.

89. Ermakov, S. V. On the Solvent motion in electrophoresis systems S. V. Ermakov, M. Yu. Zhukov, P. G. Righetti // Electrophoresis. — 1996. — Vol. 17. - P. 1134-1142.

90. Everaerts, F. M. Isotachophoresis: Teory, instrumentation and application / F.M. Everaerts, J. L. Beckers, T. P. E. M. Verheggen // Elsivier, Amsterdam, 1976.

91. Ghosal, S. Nonlinear waves in capillary electrophoresis / Ghosal, S., Chen, Z. // Bulletin of Mathematical Biology. - 2010. - Vol. 72. - pp. 20.

92. Isoard, M. Dispersionless evolution of inviscid nonlinear pulses / M. Isoard, A. M. Kamchatnov, N. Pavloff // arXiv:1912.04559vl [nlin.PS], 2019. - 7p.

93. Isoard, M. Wave breaking and formation of dispersive shock waves in a defocusing nonlinear optical material / M. Isoard, A. M. Kamchatnov, N. Pavloff // Phys. Rev. A. - 2019. - Vol.99. - P.053819-1-053819-18.

94. Ivanov S.K., Kamchatnov A.M. Collision of rarefaction waves in Bose-Einstein condensates / S. K. Ivanov, A. M. Kamchatnov // Phys. Rev. A. — 2019. - Vol.99. - P. 013609-1-013609-5.

95. Ivanov, S. K. Evolution of wave pulses in fully nonlinear shallow-water theory / S.K. Ivanov, A.M. Kamchatnov // Phys. Fluids 31, 2019. P. 057102-1-057102-11.

96. Lax, P. D. Hyperbolic systems of conservation laws II / P. D. Lax // Comm. Pure Appl. Math. - 1957. - № 10. - P. 537-566.

97. Liu, T. P. The Riemann problem for general system of conservation laws / T. P. Liu // J. Differential Equations. - 1975. - Vol. 18. - P. 218-234.

98. Longsworth, L. G. Moving Boundary Electrophoresis — Practice; Elect-

rophoresis: theory, methods, and applications / L.G. Longsworth, M. Bier, ed. // New York: Academic Press. — 1959. — P. 137-177.

99. Longsworth, L. G. Moving Boundary Electrophoresis — Theory; Electrophoresis: theory, methods, and applications / L.G. Longsworth, M. Bier, ed. // New York: Academic Press. — 1959. — P. 91-136.

100. Ludford, G. S. S. On an extension of riemann's method of integration, with applications to one-dimensional gas dynamics / G.S.S. Ludford // Proc. Camb. Phil. Soc. - 1952. - Vol.48. - P.499-510.

101. Madelung, E. Quantum Theory in Hydrodynamical Form / E. Madelung // Z. Phys. - 1927. - Vol.40 - P.322.

102. Moore, G.T. Theory of isotachophoresis. Development of concentration-boundaries / G.T. Moore // J. Chromatogr. 1975. Vol.106, №1. P. 1-16.

103. Morad, A.M. The motion of a thin liquid layer on the outer surface of a rotating cylinder / A.M. Morad, M.Yu. Zhukov // European Physical Journal Plus. - 2015. — Vol. 130. - P. 8.

104. Mosher, R. A. The Dynamics of Electrophoresis / R. A. Mosher, D. A. Saville, W. Thorman. - VCH Publishers, New York, 1992. - 236 p.

105. Ott, E. Nonlinear Evolution of the Rayleigh-Taylor Instability of a Thin Layer / E. Ott // Phys. Rev. Lett., Vol. 29, No. 21. - 1972. - P. 1429-1432.

106. Pavlov, M.V. Hamiltonian formalism of electophoresis equations. Integrable equations of hydrodynamics / M.V. Pavlov. — Moscow: Preprint of Landau Institute for Theoretical Physics, 1987. — 17 p.

107. Pavlov, M.V. Classification of integrable hydrodynamic chains and generating functions of conservation laws / M.V. Pavlov // Journal of Physics A: Mathematical And General. - 2006. - Vol. 39, No. 34. -P.10803-10819.

108. Senashov, S. I. Conservation laws, hodograph transformation and boundary value problems of plane plasticity / S. I. Senashov, A. Yakhno // SIGMA. - 2012. - Vol. 8, 071. - 16 p.

109. Senashov S.I. Solution of Boundary Value Problems of Plasticity with the Use of Conservation Laws / S.I. Senashov, I. L. Savostyanova,

O.N. Cherepanova // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - 2018. - Vol. 11(3). - P. 356^363

110. Sheftel, M.B. Group analysis of hydrodynamic-type systems / M. B. Sheftel // arXiv:0104014, 2001. - Vol. 1. - 55 p.

111. Shiryaeva, E.V. Hodograph Method and Numerical Integration of Two Hyperbolic Quasilinear Equations. Part I. The Shallow Water Equations / E.V. Shiryaeva, M.Yu. Zhukov // arXiv:1410.2832, 2014.

112. Shiryaeva, E.V. Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations System. Part II. Zonal Electrophoresis Equations / E.V. Shiryaeva, M.Yu. Zhukov // arXiv:1503.01762, 2014.

113. Srivastava, H.M. Multiple gaussian hypergeometric series // H.M. Srivastava, P. Karlsson — Ellis Horwood Limited, 1985. — 422 p.

114. Trubnikov, B.A. Hydrodynamics of Unstable Media: General Theory and Applied Problems, 1st. ed. / B.A. Trubnikov, S. K. Zhdanov, S.M. Zverev. - CRC Press LLC, 1996.

115. Trubnikov, B.A. Unstable quasi-gaseous media / B.A. Trubnikov, S. K. Zhdanov // Physics Reports. - 1987. - Vol. 155. - P. 137-230.

116. Vlasov, V. P. Nonlinear theory of Kelvin-Helmholtz instability / V. P. Vlasov, S. K. Zhdanov, B.A. Trubnikov // Fluid Dynamics. — 1991. — Vol. 26. - P. 325-330.

117. Vreugdenhil C.B. Numerical methods for shallow-water flow / С. B. Vreugdenhil — Kluwer Academic Publishers, 1994. — 272 p.

118. Wood, D.H. Simple Riemann Functions / D.H. Wood // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1976. — Vol.82, No. 5. — P.37-739.

119. Zeitsch, P.J. On the Riemann Function [Электронный ресурс] / P. J. Zeitsch // Reviews in Mathematical Physics. — 2017.

120. Zeitsch, P.J. On the Riemann Function [Электронный ресурс] / P.J. Zeitsch // Mathematics. - 2018. - Vol.6, No.316. -doi:10.3390/math6120316.

121. Zhdanov, S.K. Theory of quasi-Chaplygin unstable media and

evolutionary principle for selecting spontaneous solutions / S.K. Zhdanov, B. A. Trubnikov // JETP Lett. - 1986. - Vol.43. - P. 226-229.

122. Zhukov, M.Yu. Computer simulation of transient states in capillary zone electrophoresis and isotachophoresis / M.Yu. Zhukov, S. V. Ermakov, O. A. Majorova // Electrophoresis. - 1992. - Vol. 13. - P. 838-848.

123. Zhukov, M.Yu. Modelling of transport processes in the presence of substance-locking effects / M.Yu. Zhukov, S.V. Ermakov, P. G. Righetti // SIAM Journal on Applied Mathematics. — Vol. 59, No. 2. - 1999.

124. Zhukov, M.Yu. Solution of a Class of First-Order Quasilinear Partial Differential Equations / M. Y. Zhukov, E. V. Shiryaeva // Operator Theory and Differential Equations. — 2021. — P. 331-341.

125. Zhukov, M.Yu. Thin film Motion of an ideal fluid on the rotating cylinder surface / M.Yu. Zhukov, A.M. Morad // arXiv: 1303.2327. 2013.

Приложения

П. 1 Условия эллиптичности модели электрофореза

Система уравнений (2.12) (2.17) (и её более общий вариант) описывает перенос набора слабых кислот и слабых оснований с большими концентрациями под действием электрического поля в бездиффузионном приближении (см., например, [49, с. 68, 69]).

После соответствующих замен система квазилинейных уравнений приводится к виду [49, с. 106, 109] стандартной квазилинейной системе с алгебраическим ограничением

ди,, л дuj л д (Х,иь\ /а \

ат + Е ^^ = 0 ^ = ) (АЛ>

^ АЩ = 0, а = ^ Х,и,. (А.2)

г г

Здесь знаки величин щ, Xi могут быть как положительными, так и отрицательными, но = иг/рг > 0.

Тип системы определяют собственные значения матрицы А^. В случае гиперболического типа все собственные значения веществены это характеристические направления, определяющие характеристики. Ввиду наличия двух интегралов (см. (2.11), (2.19)), которым соответствуют нулевые собственные значения, удаётся уменьшить размерность матрицы на две единицы и, в конечном итоге, записать задачу для определения Хк в форме

Е^иг ул Х'кик у^ Хгиг у^ Х'кик = о (А , .. А - А, ^ (X - ХкК ^ (Л - Х - Хк .

Окончательно задача определения собственных значений сводится к отысканию нулей мероморфной функции F(Л), которую также можно трактовать, как квадратичную форму

f (А) ^ £ о—Щ—й ■ F (А) = ° (А'4)

Ьгк = хгхкагак(вгв'к — 9к6-)(цк — рг), (А.5)

Кг Н

6л(Н) =- (для кислот), 6л(Н) =- (для оснований). (А.6)

JK Ki + ну J К + ну J v 7

Утверждение 1.1. Квадратичная форма (А.4) (относительно переменных (Л — Хк)) является неопределенной (знакопеременной).

Действительно, матрица b¡k — симметричная матрица с нулевой диагональю. Главный минор Ьц = 0, что и означает знакопеременность. □

Это означает, что уравнение F(X) = 0 имеет решение при ненулевых (X — Хк). Для уравнений, рассмотренных в §2.1-§2.3, то есть для случая одного слабого основания (т = 1) и трех слабых кислот (п = 3), коэффициенты квадратичной формы таковы, что при выполнении условия (2.25), (2.26) два собственных значения являются комплексно-сопряжёнными, что и означает эллиптичность уравнений.

П. 2 Сильные электролиты

Случай сильных электролитов наиболее популярен при исследовании закономерностей процессов рассмотрении зонального электрофореза (и изотахофореза), рассмотрен в большом количестве работ (см. например, [6, 51, 80, 91, 98, 99, 102, 104]), и позволяет наиболее просто объяснить некоторые наиболее важные эффекты, в частности, уменьшение проводимости смеси при увеличении концентрации некоторых компонент. Такой эффект играет ключевую роль при построении модели аномального зонального электрофореза.

В случае сильных электролитов, сохраняя условия (2.9), (2.10), достаточно потребовать

вг = 1, г = 0,1,...,п,п + 1. (В.1)

Тогда в пространственно одномерным случае имеем (сравни с (2.12) (2.15))

да* , д № п • 1 ,1 /П о^

Ж + д~х— = 0 г = 1'..->п'п + 1 (в-2)

дь дъЬ = 0, (В.З)

dt дх а

п+1

b = ^ ai, (В.4)

i=1

п+1 п+1

а = Job + 7iai = + 70 К, (в.5)

i=i i=i

Здесь для простоты (без потери общности) уравнения записаны в случае j = —1, z0 = —1, zi = 1, i = 1,... ,n,n + 1.

Система уравнений (В.2), (В.З), по-прежнему, имеет два интеграла (сравни с (2.11), (2.19))

п+1 п+1

b — У ai = Q(x) = 0, R(x) = Y аг, (В.6)

t! 7=1 Ъ

один из которых, а именно Q(x) = 0 в силу уравнения (В.4).

Далее достаточно ограничиваться рассмотрением уравнений (В.2), ( ), так как концентрация & определяется явно через концентрации ai7 то есть системой

dai , д ^iai п • 1 , 1

Ht + dx~V = 0, 1 = 1>...>п>п + 1 (В-7)

п+1

а = + 7o)Ui. (В.8)

i=1

Повторяя процедуру, описанную в , то есть исключая ап+1 и производя замены (сравни с. (2.20) (2.22)), получим

7п+1 j и ^ 1г + lo \ (т>а\

ап+1 =-■- # — > v-ал . (В.9)

7п+1 + 70 \ 1г )

а = 7п+1Д(ж) ^1 + ¿«^ . (В.10)

« = Сга, Сг (В.11)

и систему, которая после дополнительной замены

х

х ^ J 7п+1Я(х') б,х', (В.12)

формально, в точности совпадающую с (2.23), (2.24)

диг д рг«г .

Ж + дхтг^ = 0' (влз)

п

в = р = 71 > 0. (В.14)

1=1

Напомним, что функции щ(х, £) могут быть как положительными, так и отр и цат е л ы I ы м и.

В новых переменных и, концентрация ап+1 записывается в форме

(1 - Е ^п+^и)

\ 7 - 7п+1 )

ап+1 = ^±^Д(х) ( 1 - V иг) > 0. (В.15)

7п+1 + 70 \ Г~17г -7п+1

Условие неотрицательности концентрации ап+1 накладывает существенные ограничения на свойства модели. Именно это условие не позволяет уравнениям модели приобретать свойства эллиптичности.

Рассмотрим несколько вариантов, которые позволяют объяснить возникновение эффектов уменьшения проводимости при увеличении концентрации компонент.

§ 2.1 Случай п = 1, 71 <72

В случае п = 1, 71 < 72 соотношения ( ), ( ), ( ) имеют вид

+1 (^) =0, (В.16)

д х 1 +

а = 1 + «ь (В.17)

щ = Giai < 0, Gi = (71 + ^1 - 72) < 0, (B.18)

а2 = 72 ДЫМ--) ^ 0. (В.19)

72 + 70 V 71 - 72 у

Одно квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка (В.16), очевидно, имеет (всегда) гиперболический тип. Именно этот пример показывает, что при увеличении реальной концентрации а1 с ростом концентрации проводимость смеси а уменьшается. Используя ( ) и а > 0, получим неравенства

0 ^ щ ^ — - 1 > -1, (В.20)

2

которые указывают область применимости уравнения (В. 16).

Аномалия в поведении проводимости с физической точки зрения объясняется тем, что в процессе эволюции менее подвижные заряженные компоненты (ионы) вытесняют более подвижные, что и приводит к уменьшению проводимости.

§ 2.2 Случай п = 1, 71 > 72

В случае п = 1, 71 > 72 имеем

£ +1 (^) =0, (В-*)

а =1 + иь (В.22)

щ = с1й1 > 0, С1 = (71 + 7о)(71 - 72) > 0, (В 23)

7172ЩХ"

а,2 = 72 R(x)(l--—Щ1 ) ^ 0. (В.24)

72 + 70 V 71 - Ъ J

Одно квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка (В.21), очевидно, имеет (всегда) гиперболический тип. Именно этот пример показывает, что при увеличении реальной концентрации а1 с ростом концентрации проводимость смеси а уменьшается. Используя ( ) и а > 0, получим неравенства

0 < — - 1, (В.25)

72

которые, вновь, указывают область применимости уравнения (В.21).

Это стандартная модель зонального электрофореза без аномалий увеличение реальной концентрации приводит к увеличению проводимости.

§ 2.3 Случай п = 2

В случае п = 2 получим модель, которая формально совпадает с моделью §2.4 для случая слабых электролитов и имеет вид (см. (3.1))

ргиг 4

ди.; д

' + -ТГ-

= 0, г = 1, 2,

д1 дх\ 1 + й ^

й = Щ + Щ, > 0,

условием эллиптичности модели является неравенство

^(^1,^2) = (М1 + М2 + + ^2М1)2 - 4(1 + Щ + щ)^^ < 0.

Кроме этого, естественно должны выполняться условия положительности проводимости а и неотрицательности а3

а(и1,и2) = 1+ и1 + и2 > 0, (В.29)

(В.26) (В.27)

(В.28)

^0(^1,^2) = 1 -

7з

-и1

Ъ

-щ ^ 0.

(В.ЗО)

71 - 7з 72 - 7з Легко показать, что условия (В.28) (В.ЗО) никогда не выполняются (см.,

в частности, рис. 2.1, где координаты отмеченных точек задаются соотношениями (В.31))

^ (иьщ) = 0

) = 0

щ) = 0

Рис. 2.1. Области гиперболичности и эллиптичности (см. |52, с. 19|, |41|

Л 72- 7Л (Ъ - 72 Л ( -72 71 А

Р\ = 0, - , Р2 =-, 0 , Рз =-, - ,

2 2 - 72 -

-72(ъ - 7з)2 71 (72 - 7з)2\ = ( -72(7з -Ъ) Ъ (7з - 72Л 7з(72 -Ъ) ' 7З(72 -Ъ^ 7 V 7З(72 -Ъ) ' 7З(72 -Ъ)У '

Область гиперболичности ^ ограничена линиями Г0 = 0 ® = 0, а

область эллиптичности — линией Г = 0 и показана на рисунке Имеется точка касания р6 облает ей ^ и но даже в этой точке, ввиду строгих неравенств условие эллиптичности не выполнено.

Таким образом, в случае сильных электролитов неустойчивой сплошной среды (т. е. эллиптичности уравнений) не возникает. Подтверждением этому служит также тот факт, что уравнение зонального электрофореза для сильных электролитов это уравнение изотохофореза, для которого в [49], а также для уравнений хроматографии в [58, 68], в случае положительности щ показана гиперболичность в узком смысле.

Несмотря на то, что в конечном итоге ввиду предположений, сделанных в §2.3, см. с. 36, уравнения (В.26), (В.27) и (2.27), (2.28) (или (3.1), (3.2)) формально совпадают, исходные уравнения модели различны. В случае зонального электрофореза существенную роль играет концентрация ионов водорода Н и непостоянство степеней диссоциации в{(Н) (см. пр. ). Иными словами, в силу предположения о малости концентраций разделяемых компонент смеси по сравнению с концентрациями буферного раствора ограничение (В.30) отсутствует и области гиперболичности и эллиптичности зонального электрофореза будут области, задаваемые условиями

Пе: Г (щ,и2) < 0; Пк :Г (щ,и2) > 0, а(щ,и2) > 0. (В.32)

Заметим, что формально результаты частично совпадают с приведенными в [41], полученными для задачи изоэлектрического фокусирования, в которой существенную роль играет градиент рН, тогда как в случае зоН

Список иллюстраций

4.1 Контур PQM ....................................................60

5.1 Варианты смен знака производной Хм(д)......................71

7.1 Отрезок интегрирования........................................91

9.1 Решение задачи Коши для уравнения Хопфа ................105

9.2 Функция ¿(0, V*)..................................................105

9.3 Наибольшее значение функции p(x, Т)........................106

10.1 Метод конечных объёмов для зонального электрофореза . . 113

10.2 Метод годографа для задачи зонального электрофореза . . 114

10.3 Концентрации в случае £ = 0.2..................................120

10.4 Проводимость s в случае £ = 0.2................................120

10.5 Изохроны и линии уровня при £ = 0.1 ........................122

10.6 t(0,V), tv(0, V) ..............124

10.7 t(U*,V), tv(U*,V) ............125

10.8 Функции p(x, t), q(x, t) в случае £ = 0.1........................125

10.9 Функции p(x, t), q(x, t) в случае £ = 0.1........................125

(x, ) (x, ) = 0.1

(x, ) (x, ) = 0.1

11.1 Функция Т(U,V) ................................................133

11.2 Функция tu(U,V), tv(U,V)......................................133

11.3 Якобиан J(U,V)..................................................134

11.4 Решения gh(x), v(x) при t = 0.495 0.912......................134

11.5 Решения gh(x) v(x) при t = 0.991 1.012......................135

h(x) (x) = 1.020 1.021

11.7 Функции U(ц), V(ц) x(p) t(p) = 1.019 . 136

11.8 Функции^(д), V(д), х(д), t(p) = 1.019 . 137

12.1 Инварианты Римана в моменты t\, t3,t6......................141

12.2 Концентрации компонент смеси в моменты t\, t2j t3.....142

12.3 Концентрации компонент смеси в моменты £4, £5, ¿6.....142

12.4 Функции р(х, t) и q(x, t) в моменты t\,t2......................144

12.5 Функции р(х, t) и q(x, t) в моменты t3,t4......................145

12.6 Концентрации компонент для (12.9) при а = 1, ¡3 = 2 . . . . 145

12.7 Фазовый портрет при а = 2 3 = 1 ............................146

(х, ) (х, ) 2

(х, ) (х, ) 3 4

12.10 Якобианы преобразований метода годографа......... 148

12.11 Функции р(х, t) и q(x, t) ........................................149

12.12 Концентрации компонент смеси щ (х, t\ и2(х, t)..............149

(х, ) (х, ) (х, ) (х, )

12.15 Якобианы преобразований метода годографа......... 151

13.1 Пример работы программы-1....................................153

13.2 Пример работы программы-П..................................153

2.1 Области гиперболичности и эллиптичности.......... 175

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное научное учреждение

ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ ОБРАЗОВАНИЕМ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ

ОБРАЗОВАНИЯ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ФОНД ЭЛЕКТРОННЫХ РЕСУРСОВ "НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ"

(основан в 1991 году)

СВИДЕТЕЛЬСТВО О РЕГИСТРАЦИИ ЭЛЕКТРОННОГО РЕСУРСА

1ШШ1

№ 21124 1Ш11

Настоящее свидетельство выдано на электронный ресурс, отвечающий [требованиям новизны и приоритетности:

Программа компьютерного моделирования зонального электрофореза для двухкомпонентной смеси

кта регистрации: 03 августа 2015 года Авторы: Жуков М.Ю., Ширяева Е.В., Долгих Т.Ф.

Директор ФГБНУ ИУО РАО, д.экон.н., профессор__

С.С. Неустроев

Руководитель ОФЭРНиО, почетный^

работник науки и техники РогсИи/ /А.И. Галкина