Исследование моделей матричной фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Сазонова Софья Викторовна

• Сазонова Софья Викторовна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Сазонова Софья Викторовна

Введение

Глава 1. Математическая модель матричной

фурье-фильтрации в нелинейной оптической системе с контуром обратной связи

1.1 Основные обозначения и определения

1.1.1 Используемые функциональные пространства

1.1.2 Оператор фурье-фильтрации

1.2 Математическая модель нелинейной оптической системы с матричной фурье-фильтрацией в контуре обратной связи

1.3 Свойства оператора матричной фурье-фильтрации

1.4 Свойства нелинейного оператора правой части в уравнении диффузии

1.4.1 Оценки для нелинейного оператора правой части

1.4.2 Дифференцируемость нелинейного оператора правой части

1.5 Существование и единственность решения начально-краевой задачи для квазилинейного уравнения диффузии с матричной фурье-фильтрацией и его свойства

Глава 2. Моделирование структурообразования в нелинейной оптической системе с матричной фурье-фильтрацией в контуре обратной связи на основе теории бифуркации Андронова-Хопфа

2.1 Линеаризация задачи

2.1.1 Приведение задачи к локальной форме

2.2 Условия бифуркации Андронова-Хопфа. Структура бифуркационного решения

2.3 Структура бифуркационного решения для некоторых классов

фильтров-мультипликаторов и матричных фильтров

2.3.1 Бифуркация Андронова-Хопфа для

фильтра-мультипликатора

Стр.

2.3.2 Бифуркация Аидронова-Хоифа для матричного фильтра

Глава 3. Задачи управления фильтром для модели

нелинейных оптических систем с матричной фурье-фильтрацией в контуре обратной связи

3.1 Постановки задач управления фильтром в случае терминального и интегрального функционалов оценки качества

3.2 Исследование сопряженной задачи для случая терминального функционала

3.3 Свойства терминального функционала

3.4 Исследование сопряженной задачи для случая интегрального функционала

3.5 Свойства интегрального функционала

3.6 Метод проекции градиента

Глава 4. Численное моделирование структурообразования в нелинейных оптических системах с матричной фурье-фильтрацией в контуре обратной связи

4.1 Разностная аппроксимация уравнения диффузии с матричной фурье-фильтрацией

4.2 Разностная аппроксимация сопряженных задач

4.3 Численное моделирование явления бифуркции Андронова-Хопфа для некоторых классов матричных фильтров . 76 4.3.1 Пульсирующие структуры

4.4 Численное решение задачи управления фильтром для моделирования некоторых типов структур

4.4.1 Методика подбора стартового приближения фильтра

4.4.2 Фазовые гребенки

4.5 Функция Габора

4.6 Сравнение численных решений задач управляемой фурье-фильтрации с использованием фильтров

мультипликаторов и матричных фильтров

4.6.1 Стоячая волна. Старт с диагонального фильтра

4.6.2 Стоячая волна. Старт с матричного фильтра

Стр.

4.6.3 Вращающаяся волна

Заключение

Список литературы

Приложение А. Программный комплекс для моделирования

процессов бифуркации и численного решения задачи управления фильтром

Приложение Б. Программный комплекс для численного

решения задачи управления матричным фурье-фильтром

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование моделей матричной фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью»

Введение

Интерес к управляемым нелинейным оптическим системам обусловлен широким спектром возможных приложений: от оптического хранения данных и высокоточных измерений ([1]) до методов распознавания изображений и шифрования данных ([2],[3],[4]). Одним из видов таких систем, обеспечивающих широкие возможности управления структурой светового поля, являются нелинейные оптические системы с контуром обратной связи и тонким слоем нелинейной среды. Подходы к управлению сигналом в оптических системах с обратной связью для формирования сложных структур и возможные области применения этих методов описаны в [5]. В качестве управляющего элемента часто используется пространственный фильтр, установленный в контуре обратной связи. В представленной диссертации изучаются системы с так называемыми фурье-фи л ьтрами.

Фурье-фильтрация является широко распространенным методом обработки сигналов различной природы. Под фурье-фильтрацией понимается изменение сигналов путем преобразования их фурье-образов. В оптике простейшее устройство, осуществляющее фурье-фильтрацию, состоит из конфокальной 4 — / системы двух тонких линз [6], в общей фокальной плоскости которых установлен пространственный фильтр, например, фазовый фильтр Цернике ([7], [8], [9]), фильтр типа "фазовый нож"([10], [11]), амплитудный фильтр типа методов "темного поля"([12]), и др. Такого рода фильтры воздействуют на каждую фурье-гармонику сигнала по отдельности и относятся к классу фильтров-мультипликаторов.

На использовании фурье-фильтров основаны методы решения задач визуализации фазы и оптических вычислений ([13], [14], [15]), задачи формирования оптических диссипативных структур с заданными свойствами ([10], [12]), управляемое структурообразование ([16],[17],[18],[19],[20],[21],[22],[23]), детектирование и улучшение границ на изображениях ([24],[25],[26]).

Также фурье-фильтрация находит свое применение в адаптивной оптике. Во многих областях науки и техники возникают задачи адаптивного подавления искажений и высокоразрешающей коррекции волнового фронта ([7], [8], [27], [28], [29], [30]). В частности в астрономии адаптивные оптические системы используются в наземных телескопах для изучения далеких небесных тел. Ат-

мосфера Земли вносит сильные искажения, что существенно снижает качество и информативность изображения. Подходы к решению этой проблемы средствами адаптивной оптики исследуются, например, в [31].

Для этих и многих других приложений управление нелинейными оптическими системами и изучение их динамики становится еще более очевидной необходимостью. Накопленная за время изучения экспериментальная база демонстрирует, что даже такие элементарные линейные преобразования как поворот, отражение от координатных осей, может вызвать возникновение нетривиальных оптических структур, например многолепестковых вращающихся волн. Прикладной интерес представляет возможность использования фурье-фильтров для формирования волнового фронта заданной структуры, что позволит выполнять необходимые преобразования оптического сигнала аналоговым способом.Развитие технологии световых модуляторов с использованием современных быстродействующих микрочипов ([8], [32], [33],[34]) позволяет ограничиться рассмотрением конечной апертуры оптической системы и дискретных фурье-фильтров. Соответствующие модели управляемой дискретной фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью разработаны в [35], [36], а в [37] получены оценки скорости сходимости про-екционно-разностных аппроксимаций задач управления фильтром.

Полученные результаты по использованию традиционных дискретных фильтров-мультипликаторов продемонстрировали эффективность оптической фурье-фильтрации как нового метода управления волновым фронтом. Вместе с тем к настоящему времени уже накоплен большой опыт экспериментальной реализации всевозможных линейных управляемых преобразований светового поля в нелинейных оптических системах с обратной связью [38]. Перенесение действия этих преобразований в фурье-плоскость (например, с помощью управляемого элемента, установленного в общей фокальной плоскости системы двух линз) позволяет существенно расширить потенциал дискретной фурье-фильтрации как эффективного метода решения задач формирования светового поля с заданными свойствами. Однако математические модели, описывающие общие линейные преобразования фурье-образов в задачах оптической фурье-фильтрации, до последнего времени отсутствовали. Представленная диссертация посвящена обобщению задачи фурье-фильтрации для случая линейного преобразования фурье-образов в пространственно-одномерном случае окружности, которое задается бесконечной матрицей из класса Гильберта-Шмидта и

называется далее матричной фурье-фильтрацией. Фильтр-мультипликатор соответствует оператору с диагональной матрицей в фурье-плоскости и является частным случаем матричного фурье-фильтра. Расширение класса используемых фильтров влечет за собой существенное усложнение математической модели рассматриваемой оптической системы, поэтому в данной работе рассматривается только одномерный случай - распространение сигнала в тонком кольце.

Еще одним эффективным методом решения проблемы формирования светового поля с заданными свойствами является исследование возможностей управляемого структуробразования на основе теории бифуркаций. Использование линейного преобразования аргументов предоставляет богатые возможности реализации нетривиальной пространственно-временной динамики в нелинейных оптических системах с обратной связью. Типичными представителями здесь являются одномерные и двумерные вращающиеся волны [38—40], наблюдаемые в эксперименте и при численном моделировании. В соответствующих математических моделях, описываемых квазилинейными уравнениями диффузии с преобразованием поворота пространственных аргументов и или запаздыванием, такие волны ответвляются от пространственно-однородного состояния в результате бифуркации Андронова-Хопфа и являются предметом интенсивного изучения в последнее время ([41], [42], [43], [44], [45], [46]). Вместе с тем в литературе отсутствуют результаты о существовании бифуркации Андронова-Хопфа в параболических функционально-дифференциальных уравнениях с фурье-фильтрацией даже для случая фильтров-мультипликаторов.

Целью данной работы является исследование нелинейной оптической системы с матричным фурье-фильтром в контуре обратной связи, а именно:

1. Теоретическое исследование математической модели системы для нового класса фильтров - матричных фурье-фильтров: постановка задачи, исследование ее разрешимости и свойств решения.

2. Аналитическое исследование структуры фазовой модуляции, порождаемой матричным фурье-фильтром. Поиск конструктивных условий на основе применения теории бифуркаций, при которых матричный фильтр приводит к возникновению пространственно неоднородных периодических по времени структур, в частности вращающихся волн.

3. Постановка и решение новых задач управления матричным фурье-фильтром в смысле приближения фазовой модуляции к некоторому

целевому распределению наперед заданного вида. Сравнение эффективности использования матричных фурье-фильтров и фильтров-мультипликаторов для численного решения задач управления.

Научная новизна: Исследована обобщенная задача матричной фурье-фильтрации для случая линейного преобразования фурье-образов в пространственно-одномерном случае окружности, которое задается бесконечной матрицей из класса Гильберта-Шмидта.

Теоретически и численно исследованы особенности и условия возникновения бифуркации Андронова-Хопфа в модели нелинейной оптической системы с матричной фурье-фильтрацией в контуре обратной связи. Изучена структура бифуркационного решения для некоторых практически важных классов фильтров, описываемых конечными недиагональными матричными фильтрами. На конкретных примерах показано, что использование матричной фурье-фильтрации приводит к новым нетривиальным видам пространствено-временной самоорганизации светового поля (вращающиеся волны с узлами и пульсирующие структуры), которые не имеют аналогов в случае использования традиционных фильтров-мультипликаторов.

Проведено исследование задач оптимального управления фильтром для формирования волнового фронта заданной структуры. Полученные результаты демонстрируют преимущество решения задач оптимизации именно на классе полных матричных фильтров. Во многих случаях только матричные фильтры позволяют приблизиться к искомой структуре со сложной пространственно-временной динамикой, характерной для моделей нелинейных оптических систем с нелокальной обратной связью.

Практическая значимость. Теоретические и численные результаты, изложенные в диссертации, могут являться основой для дальнейшего изучения нелинейных оптических систем рассматриваемого вида. Построенный численный метод решения задачи управления фильтром и разработанное программное обеспечение могут быть применены как для теоретического решения задач адаптивной оптики, так и на практике для создания оптических устройств, обеспечивающих подавление искажений в режиме реального времени.

Методология и методы исследования. В работе используются математические методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории бифуркаций, методы вычислительной математики и численного моделирования.

Личный вклад. Все результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены автором лично под научным руководством д.ф.-м.н., доц. A.B. Разгулпна. Вклад автора диссертации в полученные результаты в части аналитического исследования, математического моделирования, численных методов и разработки комплекса программ является определяющим.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новая постановка задачи фурье-фильтрации, которая основана на использовании матричных фурье-фильтров вместо традиционных фильтров-мультипликаторов, и основные свойства матричной фурье-фильтрации для матриц из класса Гильберта-Шмидта. Существование и липшиц-непрерывная зависимость от фильтра решений периодической начально-краевой задачи из энергетического класса для возникающего в приложениях квазилинейного функционально-дифференциального уравнения диффузии с матричной фурье-фильтрацией.

2. Новая постановка задачи управления матричным фурье-фильтром для случаев терминального и интегрального функционалов оценки качества и доказательство их разрешимости для различных классов матричных фурье-фильтров.

3. Демонстрация возможностей матричной фурье-фильтрации как эффективного средства конструктивного построения периодических решений с заданной пространственно-временной структурой. Описание структуры бифуркационного решения для некоторых важных классов фильтров: конечных фильтров-мультипликаторов и матричных фильтров. Примеры конечных матричных фильтров, обеспечивающих возникновение новых нетривиальных видов пространственно-временной самоорганизации вследствие бифуркации Андронова-Хопфа, не имеющих аналогов в случае использования фильтров-мультипликаторов.

4. Комплекс программ для моделирования явления бифуркации Андропова-Хопфа и численного решения задач оптимизации. Результаты численных экспериментов, подтверждающие теоретически описанные структуры бифуркационных решения для рассмотренных классов фильтров. Численное исследование задач оптимального управления фурье-фильтром и демонстрация преимущества использования матричных фурье-фильтров по сравнению с фильтрами-мультипликаторами.

Достоверность и апробация работы. Достоверность полученных результатов подкреплена согласованностью выводов аналитического исследования и численного моделирования. Основные результаты работы докладывались на:

1. научных семинарах кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета космических исследований МГУ имени М.В.Ломоносова (Москва, МГУ, 2018-2020);

2. the 8-th International Conference on Differential and Functional Diferential Equations, Москва, Россия, 14-19 августа 2017 года;

3. научной конференции «Ломоносовские чтения 2017», секция «Вычислительная математика и кибернетика» (Москва, Россия, 18-27 апреля 2017);

4. научной конференции «Ломоносовские чтения 2016», секция «Вычислительная математика и кибернетика» (Москва, Россия, 17-26 апреля 2016);

5. Научная конференция «Тихоновские чтения 2015» (Москва, Россия, 26-29 октября 2015);

6. Ibaraki KOSEN Mathematics - Technology - Education 2012 Workshop (MTE-2012) Moscow State University Session: May 03, 2012.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 8 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах Scopus, WoS, RSCI, а также в изданиях, рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности , 5^в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Полный объём диссертации составляет 119 страниц, включая 24 рисунка. Список литературы содержит 101 наименование.

В первой главе описана математическая модель нелинейной оптической системы с матричным фурье-фильтром в контуре обратной связи. Приведена описывающая модель начально-краевая задача для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения (ФДУ) диффузии. Подробно исследованы свойства оператора фурье-фильтрации и порождаемого им нелинейного оператора рассматриваемого ФДУ. Доказаны существование и единственность решения поставленной начально-краевой задачи, а также его непрерывная зависимость от фурье-фильтра и начального состояния.

Вторая глава посвящена исследованию условий возникновения бифуркации Андронова-Хопфа и анализу структуры бифуркационного решения в модели нелинейной оптической системы с фурье-фильтрацией в контуре обратной связи. Показано, что выбором матричного фурье-фильтра можно конструктивно управлять локализацией спектра линеаризованного оператора задачи. Описаны условия на матричный фильтр, обеспечивающие возникновение бифуркации Андронова-Хопфа. Изучена структура бифуркационного решения для некоторых важных классов фильтров: конечных фильтров-мультипликаторов и матричных фильтров.

В третьей главе приведены постановки задач управления матричным фурье-фильтром для терминального и интегрального функционалов оценки качества. Доказана разрешимость этих задач для различных классов матричных фурье-фильтров. Установлены дифференцируемость рассматриваемых целевых функционалов по матричному фурье-фильтру и липшиц-непрерывность их градиентов.

Четвертая глава посвящена моделированию явления бифуркации Андронова-Хопфа и численному решению задач управления матричным фурье-фильтром. Построена разностная аппроксимация уравнения матричной фурье-фильтрации. На конкретных примерах показано, что при соответствующем выборе конечного матричного фильтра бифуркация Андронова-Хопфа приводит к новым нетривиальным видам пространственно-временной самоорганизации светового поля, которые не имеют аналогов в случае использования фильтров-мультипликаторов. Построен метод проекции градиента для решения задачи оптимизации фильтра, доказана его сходимость. На конкретных примерах показано преимущество использования матричных фурье-фильтров для решения задачи оптимизации по сравнению с фильтрами-мультипликаторами.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Александру Витальевичу Разгулину за постановку задачи и чуткое руководство научной работой.

Глава 1. Математическая модель матричной фурье-фильтрации в нелинейной оптической системе с контуром обратной связи

Глава 1 посвящена исследованию математической модели матричной фурье-фильтрации. Установлены основные свойства матричной фурье-фильтрации для матриц из класса Гильберта-Шмидта, доказаны теоремы существования и липшиц-непрерывной зависимости от фильтра и начального условия решений периодической начально-краевой задачи из энергетического класса для возникающего в приложениях квазилинейного функционально-дифференциального уравнения диффузии с матричной фурье-фильтрацией.

Обозначим основные функциональные пространства, которые будут использоваться в тексте диссертации.

Ьр(0,2п) при 1 ^ р < - банахово пространство измеримых на (0,2п) функций с нормой

Отдельно выделим пространство L2(0,2n), которое для краткости записи везде далее будет обозначаться со стандартным скалярным произведением

П 2п

{¡,д)н = f (x)g*(x)dx. J о

С[0,2п] - банахово пространство непрерывных на [0,2п] функций с нормой

IMIc[о,2п] = max Кж)|.

1 J хе[о,2п]

^m(0,2n) (т Е N ) - пространство Соболева, состоящее из измеримых функций ^(ж), которые вместе со всеми своими обобщенными производными

1.1 Основные обозначения и определения

1.1.1 Используемые функциональные пространства

до порядка т включительно принадлежат Ь2(0,2п). В диссертации без доказательств будут использоваться некоторые известные свойства пространств Соболева, которые подробно рассмотрены в [47], [48], [49]. Нт(0,2п) - банахово пространство с нормой

х 1/2

М1я-(0,2п) = I V \\дку/дхк1{2

/ т \

^ \\дку/дхк\\2Н \к=0 )

В дальнейшем будет использоваться оператор

Ли = и - Вд2ххи, В е К, В> 0, с плотной в Н областью определения

Э(Л) = {и е Н2(0,2п) : м(0) = и(2п), дхи(0) = дхи(2п)} и его энергетическое пространство

V = {и е Н 1(0,2п) : м(0) = и(2п)}. Скалярное произведение и норма в V имеют вид:

(и,у)у = {и,у)н + В (дхи,дху)н , \\и||у = {и,и)\/2 = (\\и||2Н + В \\дхи\\2Н^

Собственные функции и собственные значения оператора Л задаются формулами

= егпх, = 1 + °п2,

1 = Ло < Л±1 < Л±2 < • • • < Л±п < ...

Заметим, что собственные функции оператора Л образуют полную ортонор-мнрованную систему в Я. С помощью введенных обозначений выражение для нормы в V можно записать в следующем виде

м| у = (Лп1и„\2)

\пеЪ )

1/2

2

причем \\и\\н ^ \M\v-

V * - двойственн ое к V пространство с н ормой \\и|| у * = яир |(м,6)|.

т\у=1

Далее в доказательствах теорем потребуются две мультипликативные оценки

1/1 • ЛУу* < ||н||/2||я, /ъ/2 е Н, (1.1)

|3/4

\н

I/|ь4(0,2п) ^ С2ШЦ^Ц/|$4, / е У. (1.2)

Первая оценка следует из определения нормы V* и ограниченного вложения V ^ С[0,2п], вторая вытекает из неравенства Гальярдо-Ниренберга в пространственно одномерном случае (см., например, [50], стр. 247).

Далее будут использоваться пространств Ь2(0,Т; В) измеримых по Бохне-ру па (0,Т) со значениями в банаховом пространстве В функций, имеющих конечную норму

( (Т \ 1/2 \Щ\ Ь2(0,т-В) = (/ ЫМЬ)

пространство С([0,Т]; В) непрерывных со значениями в В функций с нормой |М1 с([0,т];В) = Н^^Н-В и нормированное пространство

№(0,Т) = {и : и е Ь2(0,Т; V), дги е ^(0,Т; V*)},

Г^ 1 /2

|М1 ^(0,Т) = (у ||^(т)Уу + Цдьи^Цу* с1ч) . Имеют место следующие свойства вложений этих пространств:

W(0,Т) ^ Ь2(0,Т; Н) компактно ([51], гл. 1., п. 5.2), (1.3)

W(0,Т) ^ С([0,Т]; Н) непрерывно ([52], гл. 1., п. 3). (1.4)

1.1.2 Оператор фурье-фильтрации

Фурье-фильтрация описывается как действие оператора в пространстве Н. Обозначим С<х< пространство бесконечных матриц с ограниченными комплексными элементами. Назовем Р = {р^} е С<х< матричным фильтром, а порождаемый им оператор - оператором матричной фурье-фильтрации:

(/) = ЕЕ Рч ь, 1 е Н, (1.5)

где = (/, е^ )н коэффициенты Фурье функции ]. Для диагональных матриц Р оператор фурье-фильтрации приобретает вид

Фр(/) = Е Р"ье<, ? е н.

1=—<х

Подробно это семейство фильтров, называемых фильтрами-мультипликаторами, было рассмотрено в работах [35], [36]. Таким образом, фильтры-мультипликаторы являются частным случаем матричных фурье-фильтров.

С точки зрения приложений важно учитывать тривиальный случай, когда фильтрация отсутствует, т.е. когда фурье-гармоники остаются неизменными. Очевидно, что такая фильтрация соответствует случаю Ф^(/) = / для всех / е Н и задается единичной бесконечной матрицей Е. Исходя из этого, будем представлять фильтры в виде суммы = Е + Р, где Р - нетривиальная часть матричного фильтра. Тогда соответствующий оператор фурье-фильтрации можно записать как Фд = Ф^+р.

Однако не любая матрица из пространства может быть рассмотре-

на как фурье-фильтр. В качестве допустимого множества матричных фильтров мы возьмем класс С2 матриц Гильберта-Шмидта, состоящий из всех комплексных бесконечных матриц, для которых конечна норма

\\р\\2 = (ЕЕ . (1-е)

\кеЪ зеЪ у

Далее будет показано, что для всех Р е С2 справедливо включение

Ф^+р е Ь(Н ^ Н), где Ь(Н ^ Н) - пространство линейных ограниченных

операторов из Н в Н.

Наряду с С2 также будем использовать весовое пространство матричных фильтров С2:л7 состоящие из всех комплексных бесконечных матриц, для которых конечна норма

\\р ь = (ЕЕ Ль\Рм |2) , (1.7)

\кеЪ зеЪ у

где Лк - собственные значения оператора Д. Ясно, что \\Р\\2 ^ \\Р\\2л и, следовательно, С2Л с С2.

Бесконечные матрицы из класса Гильберта-Шмидта возникают как матрицы соответствующих операторов в бесконечномерном пространстве. Пространство таких матриц является банаховым ([53], гл. 11, п. 6). Этот класс матриц достаточно хорошо изучен в литературе в качестве отдельного математического объекта без привязки к дифференциальным уравнениям и задачам оптимального управления ([54], [55], [56], [57]).

Далее нам будет удобно рассматривать изометрическую реализацию С2 (обозначается тем же символом) в виде гильбертова пространства бесконечных матриц с двумерными вещественными элементами, построенными с помощью действительных и мнимых частей комплексных матриц: Р,Я е С2,

Ркз = Р1 + гР2к] ^ (Р1 ,Р2кз) е К2, Я* = Яц + ^ (Я1к],Я%) е К2,

(р,яь = £ (р!ЯЪ + Р2ЯЬ) = £ ие(рк]яг,).

к,зеъ к,зеъ

Заметим, что соответствующая евклидова норма совпадает с || • ||2 из (1.6).

1.2 Математическая модель нелинейной оптической системы с матричной фурье-фильтрацией в контуре обратной связи

Гассмотрим модель оптической системы, схема которой изображена на рисунке 1.1. Пусть 1т(х) = |А^п(ж)|2 - интенсивность, а ф(х) - стационарная фаза входного поля. 1/ь(х) = 1А^(х)12 - интенсивность волны обратной связи. Световая волна с комплексной амплитудой А{п(х) = А0(х)ехр{1ф(х)}7 входя в оптическую систему, проходит сквозь тонкий слой нелинейный среды, приобретая фазовый набег (фазовую модуляцию) и(х,Ь), который пропорционален изменению показателя преломления среды. Затем часть волны выходит из системы через полупрозрачное зеркало, а отраженная его часть попадает в контур обратной связи, где установлен фурье-фильтр Р. После прохождения фурье-фильтра волна имеет вид А^ = Фр(А^п(х) ехр{т(х^)}). Эта волна взаимодействует с волной, входящей в систему, определяя фазовый набег волны, проходящей через нелинейную среду.

Рисунок 1.1 Нелинейный кольцевой резонатор с фурье-фильтром в контуре

обратной связи.

В достаточно общем случае математическая модель нелинейной оптической системы с фурье-фильтрацией в контуре обратной связи описывается квазилинейным функционально-дифференциальным уравнением диффузии [36] относительно фазовой модуляции и7 вносимой тонким слоем нелинейной среды керровского типа при взаимодействии входной световой волны с комплексной амплитудой Ain и волны обратной связи Afb. В рассматриваемом далее пространственно-одномерном приближении тонкой кольцевой апертуры уравнение принимает вид

dtu + и — Dd^u = F (и),

где Ain = Ain(x\ и = u(x,t\ dt = d/dt, д2хх = д2/дх2, угловая координата х G [0,2п], t ^ 0 D > 0, где D - коэффициент диффузии нелинейный среды. Правая часть уравнения имеет вид

F (и) = KxIAinl2 + K2Re (A**nAfb) + К^А^2,

причем выбором вещественных коэффициентов К^ K2j К3 охватываются различные типичные способы организации взаимодействия входной волны и волны обратной связи: К\ = К2 = 0 соответствует конфигурации с разделением входной волны и волны обратной связи ([11]); К\ = К3 = 0 отвечает случаю сложения этих волн, как с учетом интерференции К2 = 2К\ ([35]), так

и без нее К2 = 0 ([7], [35]). Отметим, что в этих и других работах рассматривался только случай фильтров-мультипликаторов, задаваемых диагональной матрицей Q. Для сокращения несущественных технических деталей основное изложение ведется далее на примере модели с нелинейным вхождением волны обратной связи

F (и,Р) = К\ФЕ+р (Лп exp{rn})|2, (1.8)

где К - параметр нелинейности, отрицательный для само-дефокусирующейся среды и положительный для само-фокусирующейся.

Принимая во внимание граничные условия, естественным образом вытекающие из непрерывности функции в кольце х £ (0,2п), запишем начально-краевую задачу для параболического функционально-дифференциального уравнения ([58], [59])

dtu + Ли = F (и,Р), (1.9)

u(0,t) = u(2n,t), dxu(0,t) = dxu(2n,t), (1.10)

u(x,0) = Uq(X). (1.11)

1.3 Свойства оператора матричной фурье-фильтрации

В этом разделе исследуются основные свойства оператора матричной фурье-фильтрации в различных функциональных пространствах.

Нам понадобится несколько вспомогательных утверждений. Для приращений экспоненты справедливы элементарные неравенства

| exp{iv}- 1| < H, | exp{iv}- 1 - ivl < |^|2, (1.12)

используемые для получения оценок комплексной амплитуды Aj = Ain exp{iuj } при Uj G H, j = 1,2:

\\Aj\\H ^ V2n\\Ain\\c[0M, (L13)

ll^i - M\\h < \\Am\\c[0,2n] 11^1 - U2\\H. (1.14)

Теорема 1. Для всех P G C2 фурье-фильтрация является линейным непрерывным, оператором в H, и справедлива оценка

\\фр\\L(H^H) < \\Р\\2. (1.15)

Если Р е С2,Л) то фурье-фильтрация является линейным, непрерывным оператором из Н вУ и справедлива оценка

|ФР\\ь(Н^У) ^ \\Р\\2,Л.

(1.16)

Доказательство. В силу равенства Парсеваля и неравенства Коши-Бупя-ковского для внутренней суммы (1.5) имеем

2

|2 I £ 12 I II п||2ц /Ч|2

Ф (/)Ня = £

ке Z

зеЪ

<£ (Г ^Т.^\21 = \\р Ш\\* ■

кеЪ \ зеЪ зеЪ

Отсюда вытекает (1.15). Аналогично проверяется (1.16).

Е ь

Ф(/)\\Ь = ЕЛкI(Фр(/),ек)н12 = ЕЛк

кеЪ кеЪ

з еЪ

<

л^| рк1 | 2£| }, \2 = \\р шлу■

кеЪ зеЪ зеЪ

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сазонова Софья Викторовна, 2021 год

Список литературы

1. Mercer, С. R. Liquid-crystal point-diffraction interferometer for wave-front measurements / C. R. Mercer, K. Creath // Applied Optics. — 1996. — Apr. - Vol. 35, no. 10. - P. 1633.

2. Chen, W. Advances in optical security systems / W. Chen, B. Javidi, X. Chen // Advances in Optics and Photonics. — 2014. — June. — Vol. 6, no. 2. - P. 120.

3. Fourier Synthesis in Classical Ghost Imaging / T. Shirai [et al.] // Imaging and Applied Optics. - Toronto : OSA, 2011. - JWA17.

4. Optical image encryption via high-quality computational ghost imaging using iterative phase retrieval / S. Liansheng [и др.] // Laser Physics Letters. — 2018. - Июль. - Т. 15, № 7.

5. Denz, G. Handbook of chaos control / G. Denz ; под ред. H. G. Schuster. — 2nd, completely rev. and enlarged ed. — Weinheim : Wiley-VCH, 2008.

6. Goodman, J. W. Introduction to Fourier optics / J. W. Goodman. — 2nd ed. — New York : McGraw-Hill, 1996. — (McGraw-Hill series in electrical and computer engineering).

7. Degtiarev, E. V. Spatial filtering in nonlinear two-dimensional feedback systems: phase-distortion suppression / E. V. Degtiarev, M. A. Vorontsov // Journal of the Optical Society of America B. — 1995. — July. — Vol. 12, no. 7. - P. 1238.

8. Adaptive optics with advanced phase-contrast techniques II High-resolution wave-front control / E. W. Justh [et al.] // Journal of the Optical Society of America A. - 2001. - June. - Vol. 18, no. 6. - P. 1300.

9. Wavefront correction using a self-referencing phase conjugation system based on a Zernike cell / S. Dale [et al.] // Optics Communications. — 2001. — May. - Vol. 191, no. 1/2. - P. 31 38.

10. Larichev, A. V. Optical dissipative structures with a controlled spatial period in a nonlinear system and with a Fourier filter in a feedback loop / A. V. Larichev, I. P. Nikolaev, V. I. Shmalgauzen // Quantum Electronics. — 1996. _ Окт. - T. 26, № 10. - C. 871 875.

11. Larichev, A. LCLV-based system for high resolution wavefront correction: phase knife as a feedback intensity producer / A. Larichev, I. Nikolaev, P. Vi-olino // Optics Communications. — 1997. — May. — Vol. 138, no. 1—3. — P. 127-135.

12. Nikolaev, I. P. Controlled optical structures in a nonlinear system involving the suppression of low spatial frequencies in the feedback loop / I. P. Nikolaev, A. V. Larichev, V. I. Shmalgauzen // Quantum Electronics. — 2000. — Июль. - T. 30, № 7. - С. 617-622.

13. Advanced phase knife technique / A. Larichev [et al.] // Optics Communications. - 1995. - Dec. - Vol. 121, no. 4-6. - P. 95-102.

14. Fourier Plane Filtering Revisited - Analogies in Optics and Mathematics / S. Bernstein [и др.] // Sampling Theory in Signal and Image Processing. — 2014. - Сент. - T. 13.

15. Lane, P. M. Optical Fourier processor and point-diffraction interferometer for moving-object trajectory estimation / P. M. Lane, M. Cada // Applied Optics. - 1999. - July. - Vol. 38, no. 20. - P. 4306.

16. Controlling pattern formation and spatio-temporal disorder in nonlinear optics / R. Martin [et al.] // Optics Express. — 1997. — July. — Vol. 1.110. 1.

P. 39.

17. Direct measurement of multiple instability regions via a Fourier filtering method in an optical pattern forming system / M. Pesch [и др.] // Phys. Rev E_ _ 2003. - Июль. - T. 68, вып. 1. - С. 016209.

18. Control of spatio-temporal complexity in nonlinear optics / O. G.-L [и др.] // Chaos, Solitons and Fractals. - 1999. - Апр. - T. 10. - C. 865-874.

19. Jensen, S. J. Manipulation, Stabilization, and Control of Pattern Formation Using Fourier Space Filtering / S. J. Jensen, M. Schwab, C. Denz // Physical Review Letters. - 1998. - Aug. - Vol. 81, no. 8. - P. 1614-1617.

20. Fourier control of pattern formation in an interferometric feedback configuration / M. Schwab [et al.] // Optics Communications. — 1999. — Oct. — Vol. 170, no. 1-3. - P. 129-136.

21. Optical pattern formation far beyond threshold / T. Ackemann [и др.] //. — Minsk, Belarus, 07.2002. - C. 370.

22. Control and generation of drifting patterns by asymmetrical Fourier filtering / E. Louvergneaux [et al] // Physical Review E. — 2016. — Jan. — Vol. 93, na i 010201. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE. 93.010201 (visited on 02/10/2021).

23. Experimental Control of Unstable Patterns and Elimination of Spatiotemporal Disorder in Nonlinear Optics / E. Benkler [et al.] // Physical Review Letters. - 2000. - Jan. - Vol. 84, no. 5. - P. 879^882. - URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.84.879 (visited on 02/10/2021).

24. Situ, G. Spiral phase filtering and orientation-selective edge detection/enhancement / G. Situ, G. Pedrini, W. Osten // Journal of the Optical Society of America A. - 2009. - Aug. - Vol. 26, no. 8. - P. 1788. - URL: https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?URI=josaa-26-8-1788 (visited on 02/10/2021).

25. Ram, B. S. B. Edge enhancement by negative Poincare-Hopf index filters / B. S. B. Ram, P. Senthilkumaran // Optics Letters. — 2018. — Apr. — Vol. 43, no. 8. — P. 1830. — URL: https://www.osapublishing.org/abstract. cfm?URI=ol-43-8-1830 (visited on 02/10/2021).

26. Real-time image edge enhancement with a spiral phase filter and graphic processing unit / Z. Zhong [et al.] // Applied Optics. — 2014. — July. — Vol. 53, no. 19. — P. 4297. — URL: https://www.osapublishing.org/abstract. cfinYUm ao-53-19-4297 (visited on 02/10/2021).

27. Enhancement of the response of a differential-phase heterodyne microscope with spatial signal filtering / D. V. Baranov [h ^p.] // Quantum Electronics. — 1996. _ CenT. - T. 26, № 9. - C. 833^835. - Publisher: IOP Publishing.

28. Shirai, T. Real-time restoration of a blurred image with a liquid-crystal adaptive-optics system based on all-optical feedback interferometry / T. Shirai, T. Barnes, T. Haskell // Optics Communications. — 2001. — Feb. — Vol. 188, no. 5/6. - P. 275—282.

29. Cohen, M. Image sharpness and beam focus VLSI sensors for adaptive optics / M. Cohen, G. Cauwenberghs, M. Vorontsov // IEEE Sensors Journal. — 2002. - Dec. - Vol. 2, no. 6. - P. 680^690.

30. Manipulation and Removal of Defects in Spontaneous Optical Patterns / R. Neubecker [et al] // Physical Review Letters. — 2003. — Sept. — Vol. 91, no. 11. - P. 113903.

31. Davies, R. Adaptive Optics for Astronomy / R. Davies, M. Kasper // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. — 2012. — Sept. — Vol. 50, no. 1. — P. 305-351.

32. Poyneer, L. A. Fourier transform wavefront control with adaptive prediction of the atmosphere / L. A. Poyneer, B. A. Macintosh, J.-P. Veran // Journal of the Optical Society of America A. - 2007. - Vol. 24, no. 9. - P. 2645.

33. Nagashima, M. Application of complex-valued FXLMS adaptive filter to Fourier basis control of adaptive optics / M. Nagashima, B. Agrawal // Proceedings of the 2011 American Control Conference. — San Francisco, CA : IEEE, 06.2011. - C. 2939-2944.

34. Real time optical correction using electrostatically actuated MEMS devices / M. Horenstein [et al.] // Journal of Electrostatics. — 1999. — Apr. — Vol. 46, no. 2/3. - P. 91-101.

35. Потапов, M. Об одной модели амплитудно-фазовой фильтрации в нелинейной оптической системе с обратной связью / М. Потапов, К. Чеч-кина // Вычислительная математика и кибернетика. 1997.ЛН. —. — q 31—36. _ (15_я сер.)

36. Разгулин, А. В. О задаче оптимальной Фурье-фильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью / А. В. Разгулин, В. Чушкин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2004. — Т. 44, № 9. — С. 1608—1618.

37. Razgulin, А. V. Projection-difference method for controlled Fourier filtering / A. V. Razgulin // Computational Mathematics and Modeling. — 2012. — Jan. - Vol. 23, no. 1. - P. 56-71.

38. Controlling transverse-wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatiotemporal structures / S. A. Akhmanov [et al.] // Journal of the Optical Society of America B. — 1992. — Jan. — Vol. 9, no. 1. — P. 78.

39. Adachihara, H. Two-dimensional nonlinear-interferometer pattern analysis and decay of spirals / H. Adachihara, H. Faid // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics. — 1993. — Июль. — Т. 10, № 7. — С. 1242—1253. - Publisher: OSA.

40. Rotating spiral waves in a nonlinear optical system with spatial interactions / N. Zheleznykh [et al.] // Chaos, Solitons & Fractals. — 1994. — Aug. — Vol. 4, no. 8/9. - P. 1717—1728.

41. Skubachevskii, A. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics / A. Skubachevskii // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 1998. _ Apr. - Vol. 32, no. 2. - P. 261 278.

42. В elan, E. P. Rotating structures in a parabolic functional-differential equation / E. P. Belan, О. B. Lykova // Differential Equations. — 2004. — Oct. — Vol. 40, no. 10. - P. 1419^1430. - (Visited on 01/19/2021).

43. Romanenko, Т. E. Two-dimensional rotating waves in a functional-differential diffusion equation with rotation of spatial arguments and time delay / Т. E. Romanenko // Differential Equations. — 2014. — Feb. — Vol. 50, no. 2. - P. 264 267. - (Visited on 01/19/2021).

44. Skubachevskii, A. L. Boundary-value problems for elliptic functional-differential equations and their applications / A. L. Skubachevskii // Russian Mathematical Surveys. - 2016. - Окт. - Т. 71, № 5. - С. 801 906. -(Дата обр. 19.01.2021).

45. Budzinskiy, S. Rotating and standing waves in a diffractive nonlinear optical system with delayed feedback under 0(2) Hopf bifurcation / S. Budzinskiy, A. Razgulin // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2017. - T. 49. - C. 17 29.

46. Budzinskiy, S. Reducing dimensionality to model 2D rotating and standing waves in a delayed nonlinear optical system with thin annulus aperture / S. Budzinskiy, A. Larichev, A. Razgulin // Nonlinear Analysis: Real World Applications. - 2018. - T. 44. - C. 559 572.

47. Adams, R. A. Sobolev spaces / R. A. Adams, J. J. F. Fournier. — 2. ed., Reprinted. — Amsterdam : Acad. Press, 2008. — (Pure and applied mathematics ; 140). - OCLC: 553037242.

48. Мазья, В. Пространства С.Л. Соболева / В. Мазья. — Издательство ленинградского университета, 1985.

49. Triebel, Н. Interpolation theory, function spaces, differential operators / H. Triebel. — 2nd rev. and enl. ed. — Heidelberg : J.A. Barth Verlag, 1995.

50. Brezis, H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Functional Differential Equations. / H. Brezis. — London : Springer, 2010.

51. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. / Ж.-Л. Лионе. - М.: Мир, 1972.

52. Лионе, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения. / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. — М.: Мир, 1971.

53. Dunford, N. Linear Operators, Part 2 / N. Dunford, J. T. Schwartz. — Wiley Classics Library ed. — New York : Interscience Publishers, 1988. — (Wiley classics library).

54. Cooke, R. G. Infinite matrices & sequence spaces / R. G. Cooke. — 1. publ. — Mineola, NY : Dover Publications, 2014. — (Dover books on mathematics). — OCLC: 883512282.

55. Lindner, M. Infinite matrices and their finite sections: an introduction to the limit operator method / M. Lindner. — Basel ; Boston : Birkhauser, 2006. — (Frontiers in mathematics). — OCLC: ocm70778384.

56. Maddox, I. J. Infinite Matrices of Operators. / I. J. Maddox. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin / Heidelberg, 2006. — OCLC: 1066189729.

57. Swartz, C. Infinite matrices and the gliding hump / C. Swartz. — Singapore ; River Edge, NJ : World Scientific, 1996.

58. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — Наука, 1967.

59. Ладыженская, О. Краевые задачи математической физики / О. Ладыженская. — Наука, 1983.

60. Брёйн, Н. Г. де. Асимптотические методы в анализе / Н. Г. де Брёйн. — Издательство иностранной литературы, 1961.

61. Kashchenko, S. Asymptotic behaviour of rapidly oscillating contrasting spatial structures / S. Kashchenko // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1990. - Jan. - Vol. 30, no. 1. - P. 186^197.

62. Kubyshkin, E. P. Analysis of the Conditions for the Emergence of Spatially Inhomogeneous Structures of Light Waves in Optical Information Transmission Systems / E. P. Kubyshkin, V. A. Kulikov // Modeling and Analysis of Information Systems. — 2019. — Июнь. — Т. 26, № 2. — С. 297-305.

63. Kubyshkin, E. Features of Bifurcations of Periodic Solutions of the Ikeda Equation / E. Kubyshkin, A. Moriakova // Nelineinaya Dinamika. — 2018. — T. 14, № 3. - C. 301-324.

64. Analysis of Special Cases in the Study of Bifurcations of Periodic Solutions of the Ikeda Equation / P.G.Demidov Yaroslavl State University [и др.] // Nelineinaya Dinamika. - 2020. - T. 16, № 3. - C. 437-451.

65. Boundary-induced localized structures in a nonlinear optical feedback experiment / M. Ayoub [et al.] // The European Physical Journal D. — 2010. — July. - Vol. 59, no. 1. - P. 133 137.

66. Schwab, M. Multiple-pattern stability in a photorefractive feedback system / M. Schwab, C. Denz, M. Saffman // Applied Physics B. — 1999. — Dec. — Vol. 69, no. 5/6. - P. 429 433.

67. Experimental observation of space-time chaos in a nonlinear optical system with 2D feedback / F. Arecchi [et al.] // Optics Communications. — 1995. — June. - Vol. 117, no. 5/6. - P. 492 496.

68. Prato, G. da. Hopf bifurcation for fully nonlinear equations in Banach space / G. da Prato, A. Lunardi // Annales de l'lnstitut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis. — 1986. — July. — Vol. 3, no. 4. — P. 315^329.

69. Skubachevskii, A. On the Hopf Bifurcation for a Quasilinear Parabolic Functional-Differential Equation / A. Skubachevskii / / Differential Equations. - 1998. - T. 34, № 10. - C. 1395-1402.

70. Kielhofer, H. Bifurcation Theory. T. 156 / H. Kielhofer. — New York, NY : Springer New York, 2012. — (Applied Mathematical Sciences).

71. Henry, D. В. Geometric theory of semilinear parabolic equations / D. B. Henry. — Berlin ; New York : Springer-Verlag, 1981. — (Lecture notes in mathematics ; 840).

72. Ко,to, T. Perturbation Theory for Linear Operators. T. 132 / T. Kato. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1995. — (Classics in Mathematics).

73. Mars den, J. E. The Hopf Bifurcation and Its Applications. T. 19 / J. E. Marsden, M. McCracken. — New York, NY : Springer New York, 1976. — (Applied Mathematical Sciences).

74. Crandall, M. G. The Hopf Bifurcation Theorem in infinite dimensions / M. G. Crandall, P. H. Rabinowitz // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1977. - Vol. 67, no. 1. - P. 53-72.

75. Control and manipulation of solitary structures in a nonlinear optical single feedback experiment / B. Gtitlich [et al.] // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2003. - Mar. - Vol. 13, no. 1. - P. 239-246.

76. Mamaev, A. V. Selection of Unstable Patterns and Control of Optical Turbulence by Fourier Plane Filtering / A. V. Mamaev, M. Saflman // Physical Review Letters. - 1998. - Apr. - Vol. 80, no. 16. - P. 3499-3502.

77. Frequency combs and platicons in optical microresonators with normal GVD / V. Lobanov [et al.] // Optics Express. — 2015. — Mar. — Vol. 23, no. 6. — P. 7713.

78. Lobanov, V. E. Generation of platicons and frequency combs in optical microresonators with normal GVD by modulated pump / V. E. Lobanov, G. Lihachev, M. L. Gorodetsky // EPL (Europhysics Letters). — 2015. — Дек. - Т. 112, № 5. - С. 54008.

79. Photonic chip-based optical frequency comb using soliton Cherenkov radiation / V. Brasch [et al.] // Science. — 2016. — Jan. — Vol. 351, no. 6271. — P. 357-360.

80. Harmonization of chaos into a soliton in Kerr frequency combs / V. E. Lobanov [et al.] // Optics Express. - 2016. - Nov. - Vol. 24, no. 24. - P. 27382.

81. Budzinskiy, S. Rotating waves in a spatially nonlocal delayed feedback optical system with diffraction / S. Budzinskiy, T. Romanenko // Journal of Physics: Conference Series. - 2018. - Дек. - T. 1141. - С. 012106.

82. Razgulin, A. V. Rotating waves in parabolic functional differential equations with rotation of spatial argument and time delay / A. V. Razgulin, T. E. Romanenko // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2013. - Nov. - Vol. 53, no. 11. - P. 1626^1643.

83. Romanenko, T. E. Modeling of distortion suppression in a nonlinear optical system with a delayed feedback loop / T. E. Romanenko, A. V. Razgulin // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2015. — May. — Vol. 7, no. 3. - P. 259^270.

84. Васильев, Ф. Методы оптимизации / Ф. Васильев. — M.: Издательство "Факториал Пресс", 2002.

85. Разгулин, А. В. О методе проекции градиента для квазидифференци-руемых функционалов с гёльдеровым градиентом / А. В. Разгулин // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. — М., 2006. — № 1. — С. 12—15.

86. Альбер, Я. О минимизации функционалов класса $C"{l,\mu}$ на ограниченных множествах / Я. Альбер // Экономика и математические методы. _ 1980. _ т. 16. - С. 185-190.

87. Амосов, А. А. Разностные схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого газа / А. А. Амосов, А. А. Злотник // Журнал вычислительной математики и математической физики. — М., 1987. - Т. 27, № 7. - С. 1032-1049.

88. Zlotnik, A. Convergence rate estimate in L2 of projection-difference schemes for parabolic equations / A. Zlotnik // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 1978. - Jan. - Vol. 18, no. 6. - P. 92^104.

89. Самарский, А. А. Устойчивость проекционно-разностных схем для нестационарных задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Ва-бигцевич // Журнал вычислительной математики и математической фИзИКИ. _ ,\1.. 1995. _ т. 35, № 7. - С. 1011-1021.

90. Razgulin, A. V. Weighted estimate for the convergence rate of a projection difference scheme for a parabolic equation and its application to the approximation of the initial-data control problem / A. V. Razgulin // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2010. — June. — Vol. 50, no. 6. — P. 969-983.

91. Grebennikov, V. A. Weighted estimate for the convergence rate of a projection difference scheme for a quasilinear parabolic equation / V. A. Grebennikov, A. V. Razgulin // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 20Ц. - July. - Vol. 51, no. 7. - P. 1208-1221.

92. Smagin, V. V. Coercive error estimates in the projection and projection-difference methods for parabolic equations / V. V. Smagin // Russian Academy of Sciences. Sbornik Mathematics. — 1995. — Февр. — Т. 83, № 2. —

C. 369-382. - Publisher: ЮР Publishing.

93. Смагин, В. В. Оценки скорости сходимости проекционного и проек-ционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнений / В. В. Смагин, V. V. Smagin // Математический сборник. — 1997. - Т. 188, № 3. - С. 143-160.

94. Smagin, V. V. Mean-square accuracy estimates of a projection-difference method for weakly solvable quasilinear parabolic equations / V. V. Smagin,

D. S. Sotnikov // Differential Equations. — 2010. — Apr. — Vol. 46, no. 4. — P. 598-606.

95. Razgulin, A. V. Approximation of the problem of controlling arguments transformation in a nonlinear parabolic equation / A. V. Razgulin // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — Road Town, United Kingdom, 2001. - Vol. 41, no. 12. - P. 1752-1764.

96. Raju S, S. Gabor Filter Based Block Energy Analysis for Text Extraction from Digital Document Images / S. Raju S, P. Pati, A. Ramakrishnan // First International Workshop on Document Image Analysis for Libraries, 2004. Proceedings. - Palo Alto, CA, USA : IEEE, 2004. - C. 233-243.

97. Ramakrishnan, A. Neural Network-Based Segmentation of Textures Using Gabor Features / A. Ramakrishnan, S. Kumar Raja, H. Raghu Ram // Proceedings of the 12th IEEE Workshop on Neural Networks for Signal Processing. — Martigny, Switzerland : IEEE, 2002. — C. 365—374.

98. Fourier space control in an LCLV feedback system / G. K. Harkness [и др.] // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 1999. — Февр. — Т. 1, № 1. - С. 177—182.

99. Spatial and Temporal Properties of a Nonlinear Optical Feedback System / Y. Hayasaki [et al.] // Optical Review. — 2001. — Sept. — Vol. 8, no. 5. — P. 343 347.

100. Pattern dynamics and competition in a photorefractive feedback system / C. Denz [и др.] // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics. - 1998. - Июль. - Т. 15, № 7. - С. 2057-2064. - Publisher: OSA.

101. Almost Frechet differentiability of Lipschitz mappings between infinite-dimensional Banach spaces / W. B. Johnson [et al.] // Proceedings of the London Mathematical Society. - 2002. - May. - Vol. 84, no. 3. - P. 711 746.

Публикации автора по теме диссертации

В журналах Scopus, WoS, RSCI, а также в изданиях, рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности

1. Sazonova, S. V. Optimization of the Matrix Fourier-Filter for a Class of Nonlinear Optical Models with an Integral Objective Functional / S. V. Sazonova, A. V. Razgulin // Computational Mathematics and Modeling (Scopus SJR 0.236). - United States, 2020. - Vol. 31, no. 3. - P. 320^337.

2. Razgulin, A. V. Hopf bifurcation in diffusive model of nonlinear optical system with matrix fourier filtering / A. V. Razgulin, S. V. Sazonova // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation (Scopus SJR 1.3). - 2019. - T. 77. - C. 288-304.

3. Разгулин, А. В. О задаче матричной фурье-фильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью / А. В. Разгулин, С. В. Сазонова // Журнал вычислительной математики и математической физики (RSCI; ИФ РИНЦ: 1.17). — 2017. — Т. 57, Л'° 9. — С. 1403—1420. — Перевод: Razgulin А. V., Sazonova S. V. On the matrix fourier filtering problem for a class of models of nonlinear optical systems with a feedback // Computational Mathematics and Mathematical Physics (WoS; Scopus SJR 0.509). - 2017. - Vol. 57, no. 9. - P. 1385-1403.

В сборниках трудов конференций

1. Razgulin, А. V. Hilbert-Schmidt matrix approach to fourier filtering in functional-differential equations: theory and applications / A. V. Razgulin, S. V. Sazonova // Abstracts of the 8-th International Conference on Differential and Functional Diferential Equations, August 13-20, 2017. — RUDN Press Moscow, 2017. - C. 146-147.

2. Разгулин, А. В. О структурообразовании в модели нелинейной оптической системы с управляемым матричным фильтром / А. В. Разгулин, С. В. Сазонова // Ломоносовские чтения: Научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, 17-26 апреля 2017 г. Тезисы докладов. — МАКС Пресс Москва, 2017. — С. 47—48.

3. Разгулин, А. В. Операторы Гильберта-Шмидта и их использование в задаче матричной фурье-фильтрации / А. В. Разгулин, С. В. Сазонова // Ломоносовские чтения: Научная конференция, Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 18-27 апреля 2016 г.: Тезисы докладов. — М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ; МАКС Пресс Москва, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 2016. — С. 58—59.

4. Сазонова, С. В. Исследование задачи матричной фурье-фильтрации / С. В. Сазонова // Тихоновские чтения МГУ им. М. В. Ломоносова, Научная конференция: Тезисы докладов, 26 октября-2 ноября 2015. — МАКС Пресс Москва, 2015. - С. 82-82.

5. Разгулип, А. В. Об одной задаче управляемой фурье-фильтрации / А. В. Разгулин, С. В. Сазонова, Г. О. Волков // Ломоносовские чтения: Научная конференция, посвященная 300-летию со дня рождения М.В.Ломоносова. Тезисы докладов. — МАКС Пресс Москва, МГУ, 2011. - С. 123-124.

Приложение А

Программный комплекс для моделирования процессов бифуркации и численного решения задачи управления фильтром

Для математического моделирования процессов, происходящих в рассматриваемой оптической системе, в том числе явления бифуркации Андронова-Хопфа, и визуализации результата было разработано программное обеспечение на языке Python с использованием модуля Numpy, в частности субмодуля fît, предоставляющего методы для работы с быстрым преобразованием Фурье. Для визуализации результата использовался модуль Matplotlib. Результаты, представленные в главе 4, были получены с использованием пространственной сетки со 128 узлами и шагом по времени 0.1. В ходе экспериментов также рассматривались сети с 256 и 512 узлами, шагом по времени 0.05 и 0.001, но увеличение точности расчетов не оказало заметного влияния на результаты визуализации. Среднее время, необходимое для притяжения решения к соответствующей вращающейся волне, составляет 20-30 секунд. Для расчетов использовался компьютер с ЦП Intel Core i5-4460 3.2 ГГц и объемом оперативной памяти 8 Гб. Среднее время выполнения расчетов 500 шагов по времени с 2 итерациями на каждом временном слое для пространственной сетки со 128 узлами, составляло 2.2 с.

Программное обеспечение имеет графический интерфейс для удобного ввода параметров системы и визуализации результатов. Возможно указать следующие параметры:

— N - количество узлов пространственной сетки;

_ ])']" _ шаг по времени;

_ YJ" _ количество временных слоев;

_ х* - ожидаемое критическое значение параметра среды керровского типа;

— К - параметр среды керровского типа;

— I) коэффициент диффузии среды;

_ Д]ц _ амплитуда входящей волны;

— и0 - выражение на языке Python, задающее функцию начального условия;

— phi - выражение на языке Python, задающее функцию ожидаемого решения для сравнения с результатом программы:

— S - количество итераций для численного мтеода:

— Элементы фильтра, отличные от нуля. Используется индексация в квадратных скобках, допускающая как положительные, так и отрицательные индексы. Значения элементов задаются как выражения для комплексных чисел на языке Python.

Имеется возможность сохранить параметры системы в файл и загрузить набор параметров из ранее сохраненных файлов.

После выполнения расчетов возможно выбрать один из вариантов визуализации:

1. анимация профиля волны:

2. временная развертка в виде тепловой карты:

3. трехмерная визуализация.

Результаты расчетов также можно записать в файл, чтобы затем визуализировать без повторного моделирования. Полученные изображения также возможно сохранить в файлы.

Рисунок А.1 — Графический интерфейс ПО численного решения задачи

матричной фурье-фильтрации.

Приложение Б

Программный комплекс для численного решения задачи управления матричным фурье-фильтром

Программное обеспечение для численного решения задачи управления матричным фурье-фильтром состоит из двух модулей: вычислительного модуля и интерфейсного модуля. На каждой итерации метода выполняется поиск численного решения прямой и сопряженной задач и вычисление значения градиента. В связи с этим время поиска оптимального приближения матричного фильтра значительно превосходит время моделирования процессов в рассматриваемой оптической системе. В среднем, для приближения решения к заданному с точностью до 0.01 требуется около 200 итераций, что занимает от 60 до 80 секунд. Для расчетов использовался компьютер с ЦП Intel Core i5-4460 3.2 ГГц и объемом оперативной памяти 8 Гб.

Для вычислительных экспериментов был реализован только вариант с интегральным функционалом как более общий. С помощью весовой функции ш(^) возможно локализовать временной отрезок, на котором необходимо приблизиться к целевому распределению, с достаточно большой точностью, чтобы можно было рассматривать эту задачу как задачу оптимизации в сколь угодно малой окрестности определенного момента времени.

Для удобства проведения вычислительных экспериментов ПО имеет графический интерфейс. Возможно указать следующие параметры:

— Параметры системы для решения задачи матричной фурье-фильтрации:

— N - количество узлов пространственной сетки;

_ ])']" _ шаг по времени;

_ YJ" _ количество временных слоев;

— Кх ожидаемое критическое значение параметра среды керровского типа;

— К - параметр среды керровского типа;

— I) коэффициент диффузии среды;

_ Дп] - амплитуда входящей волны;

— uO - выражение на языке Python, задающее функцию начального условия;

— S - количество итераций для численного мтеода;

— phi - целевое распределение, задаваемой выражением на языке Python.

— Вид используемого для оптимизации фильтра: матричный или фильтр-мультипликатор (диагональный);

_ eDK - минимальный размер смещения для метода проекции градиента, необходимый для того, чтобы не затягивать численный эксперимент, если сходимость к итоговому результату происходит слишком медленно. В таких случаях чаще всего итерации с настолько малым смещением несущественно влияют на результат за счет непрерывной зависимости решения уравнения матричной фурье-фильтрации от фильтра.

— e.J необходимая точность приближения к заданному распределению в смысле используемого функционала.

^ Л ............. ограничение на элементы матричного фильтра, используемые для

оптимизации (см. 4.6.1).

_ у _ ограничение на норму матричного фильтра (см. 4.6.1).

— mu - шаг метода проекции градиента;

— Элементы стартового приближения фильтра, отличные от нуля. Используется индексация в квадратных скобках, допускающая как положительные, так и отрицательные индексы. Значения элементов задаются как выражения для комплексных чисел на языке Python.

Справа в верхнем текстовом поле выводится информация об итерациях метода, в нижнем - отличные от нуля элементы фильтра, полученного на текущей итерации.

В центральной части окна приложения расположены четыре графика.

1. На верхнем левом графике отображаются профили функции, полученной в ходе оптимизации, и целевой функции;

2. На верхнем левом графике отображается динамика значений целевого функционала;

3. На нижнем левом графике представлена временная развертка функции, полученной в ходе оптимизации;

4. На нижнем правом графике представлена временная развертка целевой функции.

Рисунок Б.1 — Графический интерфейс ПО для численного решения задачи

управления фильтром.