Исследование многокритериальных задач теории расписаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Попова, Елена Витальевна

• Попова, Елена Витальевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попова, Елена Витальевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМЫХ БИОТЕХНИЧЕСКИХ И АГРОБИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

1.1. Два типа математико-биологических моделей

1.2. О задаче на перестановках для управляемых биотехнологических

процессов

1.3.0 задаче процесса утилизации биологических отходов

ГЛАВА

ОБОСНОВАНИЕ ОЦЕНОК СЛОЖНОСТИ ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ УПОРЯДОЧИВАНИЯ

2.1 Векторная постановка задачи упорядочивания

2.2. Обоснование оценок вычислительной сложности

ГЛАВА

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОЛОГИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ДИСКРЕТНОЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

3.1. Общее описание проблемы

3.2.К проблеме выбора и принятия решения

3.3.к представлению критериального пространства в контексте

методов теории принятия решений

3.4.0 методологии фрактального анализа критериального пространства в

контексте идей синергетики

3.5.Классификации моделей и методологические вопросы их выбора

3.6.анализ 2-критериальной задачи упорядочивания методом псевдофазового пространства

ГЛАВА

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧИВАНИЯ С УЧЕТОМ ДИСКОНТИРОВАННЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ

4.1. Дисконтирование затрат и результатов

4.2. Векторная постановка задачи упорядочивания с учетом инфляции и дисконтирования

4.3. Сравнительный анализ оптимальных решений с учетом и без учета дисконтирования

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование многокритериальных задач теории расписаний»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Среди важнейших задач общечеловеческого значения проблема взаимодействия человека и окружающей среды, проблема "человек и биосфера" в настоящее время стала одной из основных научных проблем мировой науки. Современные масштабы эколого-биологических изменений создают реальную угрозу жизни и здоровью населению. Необходимость компенсации потерь от вредных технологий и крупных аварий бедствий влечет за собой переключение народнохозяйственных ресурсов с решения стратегических задач формирования новой структуры экономики на бесплодные попытки поддержания её нынешнего состояния. В настоящей работе разработана математическая макро модель, учитывающая различные аспекты биотехнологических и агробиологических процессов. В работе исследуется вычислительная сложность и свойства критериального пространства известной задачи теории расписаний (задачи упорядочивания). В отличие от классических однокритериальных постановок исследуется задача в многокритериальной био-эколого-экономической постановке. В условиях многокритериальности выбор наиболее целесообразного решения осуществляется из множества несравнимых альтернатив.

До настоящего времени модели математической биологии в подавляющем большинстве отражают естественно сложившиеся процессы. Очень мало постановок, в которых отражается эффективность управляющих воздействий на этот или другой биологический процесс. Этим, в частности, можно объяснить весьма упрощенный вид известных к настоящему времени математических моделей управляемых биологических процессов, в частности, агробиологических [2,9,58], утилизационно-биологических [6] и эколого-биологических [7,58].

Необходимость в исследовании многокритериальных задач возникает в результате того, что при математическом моделировании дос-

таточно сложных систем и объектов постановка скалярной (однокрите-риальной) задачи оптимизации не удовлетворяет потребностям лица принимающего решения (ЛПР)[15,27], в связи с тем, что построение обобщенных функций полезности (интегральной эффективности) является проблемой весьма сложной, а иногда и неразрешимой [60]. В то же время потребности практики разработки и эксплуатации сложных систем (в том числе биотехнологических, агробиологических, эколого-экономических и финансово-экономических [18]) требуют учета и согласования значительного числа разнородных требований и целей [12,36,53].

Актуальной научной проблемой является разработка принципиально иного подхода к отысканию наилучшего компромиссного решения. Предложенный в работе подход базируется на априорном знании структуры множества значений векторной целевой функции задачи в критериальном пространстве. В задаче упорядочивания, даже если количество объектов упорядочивания п = 10, совокупность альтернатив представляет собой множество большой мощности, которое ЛПР не в состоянии проанализировать. Если же структура этих значений известна, то при формировании множества альтернатив можно учесть механизм работы процедур системы поддержки принятия решений, которую использует лицо принимающее значение ЛПР. При знании структуры критериального пространства появляется возможность формировать множество альтернатив, которое обозримо для ЛПР. Более того, можно использовать метод ранжирования элементов множества альтернатив по убыванию их предпочтительности, т.е. полезности.

Цель и задачи работы. Основной целью работы является исследование сложности известной задачи упорядочивания теории расписаний в многокритериальной постановке и исследование её критериального пространства с целью выявления закономерностей изменения

значений одного критерия при монотонном изменении значений другого критерия (порядок или детерминированный хаос [42]?, фрактальная размерность [63]?, устойчивость или неустойчивость?, и сложность, и др.). Прикладная цель работы - обосновать механизм отсеивания "очевидно плохих решений" для последующего формирования возможно более ограниченного множества альтернатив, которое предъявляется на вход той или иной системы принятия решений.

Методика исследований. В диссертационной работе использованы понятия и методы комбинаторного анализа, дискретной оптимизации, векторной оптимизации, теории вероятности, теории временных рядов, методы динамического хаоса. В диссертационной работе применяется имитационное моделирование критериального пространства задачи упорядочивания и последующий анализ полученного массива данных при помощи статистических методов, а именно методов ранговой корреляции и предельных распределений с последующим использованием методов нелинейной динамики с целью получения асимптотических (качественных) свойств моделируемой задачи. В настоящее время неизвестно применение перечисленных методов и подходов к каким-либо дискретным многокритериальным задачам.

Научная новизна. В работе доказано, что рассматриваемая задача обладает свойством полноты в случае, когда ВЦФ состоит из критериев вида ММвиМ; из этого свойства выведена точная формула вычисления максимальной мощности искомого решения; из этой формулы вытекает утверждение в труднорешаемости задачи. Так же доказано свойство квазиполноты в случае, когда ВЦФ состоит из критериев вида М1ЫМАХ; из этого свойства выведена экспоненциальная нижняя оценка мощности искомого решения и, как следствие, утверждение о труднорешаемости задачи в случае когда ВЦФ состоит из критериев вида М1ММАХ. Разработана и реализована на персональной электронно-

вычислительной машине имитационная модель, которая на базе генератора случайных значений исходных данных воспроизводит и представляет в явном виде критериальное пространство для различных комбинаций критериев, составляющих векторную целевую функцию. Разработана экономико-математическая модель, в которой учитывается процесс дисконтирования денежных потоков. Определены достаточные условия, при которых алгоритм нахождения оптимального решения для задачи упорядочивания с целевой функцией вида МИЧЭиМ с учетом дисконтирования денежных потоков совпадает с алгоритмом нахождения оптимального решения для задачи упорядочивания с целевой функцией вида МИМЭиМ без учета процесса дисконтирования.

Практическая ценность работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы при разработке системы поддержки принятия решений в процессе био-эколого-экономико-математического моделирования задач календарного типа в условиях многокритериально-сти.

Достоверность полученных результатов. Представленные в диссертационной работе Теоремы и Леммы имеют строгое математическое обоснование. Результаты компьютерного эксперимента имеют массовую реализацию на многочисленных вариантах исходных данных.

Публикации и апробация работ. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 1996), на I Всероссийском симпозиуме «Экономика и право - стратегии 3000» (Кисловодск, 1997), на молодежной научной конференции «XXIII Гагаринские чтения" (Москва, 1997), на второй научно-практической конференция Карачаево-Черкесского технологического института, (Черкесск, 1997), на II Всерос-

списком симпозиуме «Экономика и право - стратегии 3000» (Кисловодск, 1998), на Международном коллоквиуме 1КМ'97(Веймар,1997), на Международном конгрессе математиков 1СМ'98(Берлин,1998), на заседаниях научного математического семинара КЧТИ, на Всероссийской международной конференции "Компьютерные технологии инженерной и управленческой деятельности" (Таганрог, 1998).

Глава 1 посвящена формулировке дискретных экстремальных задач, определенных на множестве перестановок [77]. Различным является содержательный смысл, который отражается в этих задачах. Одна из этих задач относится к проблеме утилизации биологических отходов, для которых важно учесть и их свойство "нескладируемости". Последнее означает, что поступающие на переработку массы с течением времени изменяют свои биологические свойства, в результате чего может теряться экономическая эффективность соответствующего управляемого процесса утилизации [6]. Вторая задача относится к проблеме технологического содержания, которая возникает в отраслях биохимической и фармацевтической промышленности [23,83,87,94].

Глава 2 посвящена проблеме получения и обоснования оценок вычислительной сложности двукритериальной задачи упорядочивания, в главе приведены необходимые для всего дальнейшего изложения определения и понятия, описана двукритериальная постановка известной задачи упорядочивания теории расписаний.

Задача упорядочивания (задача одного станка) известна в одно-критериальной постановке [21,71]. В настоящей работе эта задача формулируется как многокритериальная. Математическая модель этой многокритериальной постановки состоит в следующем. Рассматриваются п объектов упорядочивания, перенумерованных индексом /=1,2,- продолжительность "реализации" I -го объекта или этапа, - "удельный штраф" или "ожидаемый эффект" за единицу

времени от / -го объекта, Ц - директивный срок "реализации" / -го объекта. Всякое допустимое решение задачи упорядочивания представляет собой одну из п\ перестановок х=(ц ,г2 чисел

1,2,...,П. Х= {•*}- множество всех допустимых решений (МДР) этой

задачи. На множестве ^^{х} всех и! перестановок оп~

ределена векторная целевая функция (ВЦФ)

= ), (1) состоящая из минимизируемых критериев, т.е. частных целевых функций (ЦФ)

Ру(х) е{ (ру{х), <р (х), у/у(х) (х)\, \<у< N,

V

где

п

9у{х) = шах - В^, 0)-> пип, (2)

<РУ (х) = Е а у шах (В? - ^, 0) пип, ^

Уу{х) = шах аУ шах - ВУ , 0) пип, (4)

1<к<п к к к

¥у(х) = шах а. шах (В. -, 0) тт.

1<к<п К к к

(5)

В литературных источниках критерии (2) и (3) зачастую называют соответственно терминами "критерий вида ММЗиМ", а (4) и (5)- "критерий вида М1ЫМАХ".

Допустимое решение хеХ называется парето-оптимальным или паретовским оптимумом (ПО), если не существует такого элемента

х*е1, что выполняются неравенства V = и хотя

бы одно из этих неравенств строгое.

Через X обозначим паретовское множество (ПМ), состоящее из всех ПО рассматриваемой задачи с ВЦФ (1) на МДР X.

Подмножество 1°с1 называется полным множеством альтернатив (ПМА), если его мощность минимальна и при этом выполняется равенство где = УХ* с! [46,49].

В Главе 2 получены оценки мощности ПМА двукритериальной задачи упорядочивания в зависимости от того, в какой комбинации критерии (2)-(4) входят в состав ВЦФ (1) (возможны следующие комбинации ММвиМ-М^ЭиМ, Л/ИЫвиМ-М^МАХ, М1ЫМАХ-М1ЫМАХ).

Лемма 2.1. Для ЦФ вида ММвС/М (2) существует такое множество значений параметров аьТьВь 1 = 1,и, что для любой пары выполняется неравенство <р(У) ф . В результате доказательства Леммы 2.1 получены следующие значения параметров для ЦФ вида М1Ы81)М (2), щ = 2™, /=1,2,...п, где

т=к^2и2, 1, /—1,7?, Ц = О, /=1,72, при который для любой пары выполняется неравенство <р(у) ф ^(х") ■ Лемма 2.2. Для ЦФ вида М1ЫЭиМ (3) существует такое множество значений параметров / = 1 ,п, что для любой пары

у, х" е Xвыполняется неравенство <р(х!) ф .

Используя технику доказательства Леммы 2.1 для Леммы 2.2 получены те же значения параметров для ЦФ вида ММЭиМ (3), а( = 2тг,

/=1,2,...и, где m=\og1n1, Tt = 1, i=l,n, Ц = 0, i=l,n, при который для

любой пары х!,х!'еХ выполняется неравенство ^ ■

Рассматривается двукритериальная задача упорядочивания, у которой размер "удельных штрафов" <^=2^,z'=l,2,...л, продолжительность 2^= 1 для всех объектов / = 1,и, а директивные сроки Д1 = 0,

— л -

/ = 1,л для критерия ^(х) вида (2) и Dl = Т= =п, i = \,n для кри-

i=1

терия /^(-х) вида (3), а качество допустимых решений хе J оценивается векторной целевой функцией

F(x) = ( F{(x), F2(x) ) (6)

с минимизируемыми критериями

F{(x) = ^(х) = Тк2мк —min,

(7)

F2(x) = (р2(х) = Z(n-k)2mik min (8)

k=1

Лемма 2.3. Если ВЦФ (6) определена согласно (7), (8), то для всякого допустимого решения х= (ц,12,-,1п)G X сумма

F](x) + F1(x) = С, где С- константа, которая не зависит от выбранной последовательности х.

Из Лемм 2.1, 2.2 и 2.3 вытекает, что всякая пара решений при определенных выше параметрах является векторно-несравнимой по ВЦФ (6)-(8), т.е. справедливы

Теорема 2.1. Двукритериальная задача упорядочивания с критериями вида MINSUM (2),(3) обладает свойством полноты, т.е. для всякого п существуют такие значения параметров

aj, Tt, DJ, i = Un, у=1Л, при которых ПМА Х°, ПМ X и МДР X совпадают.

Теорема 2.2. Алгоритмическая проблема нахождения ПМА для двукритериальной задачи упорядочивания с критериями вида М1Ы-Эим является труднорешаемой, т.е. вычислительная сложность этой задачи растёт экспоненциально с ростом размерности п.

Рассматривается исследуемая двукритериальная задача с критериями вида М1ЫМАХ.

Лемма 2.4. Нижняя оценка мощности \у/(Х)\=\{у/(х):х Х}\ множества значений критерия у/(х) вида М1ЫМАХ равна 2П~1.

Лемма 2.5. Верхняя оценка мощности \у/(Х)\ = \{у/(х)'.хеХ}\ множества значений критерия у/{х) вида М1ЫМАХ равна п2п~1.

Рассмотрим теперь ЦФ (5), определив значения её параметров следующим образом:

¿ = 1,2,..., п-\)лап = 2п;

Т,=2\ ¿ = 1,2(Ю)

Ц = 21п, I = 1,2,...,п. (11)

Тогда при значениях (9)-(11) параметров а^Т^И^ г = 1 ЦФ

(5) принимает вид

щ(х) = тахо,- (21п -и ), (12)

1 <к<п к к

где

к . . 1к 5=1 ^ 1к к к; (13)

к ;

15

*= 1 (14)

Далее определяем множество = на котором ЦФ (12) принимает значения

щх | = 21п -2патг_лх

(15)

В результате получаем что ЦФ (15) получает количество попарно различных значений, равное

т=\

т

п

_ v WW _ - L Cn_i - Z ,

т=1

(16)

откуда получаем, что является справедливой

Лемма 2.6. Нижняя оценка мощности у/(Х) = {у/{х):хеХ) множества значений критерия у/(х) вида MINMAXравна 2п~х. По аналогии с Леммой 2.5 является справедливой Лемма 2.7. Верхняя оценка мощности у/(Х) = {\[/{х):х<еХ\ множества значений критерия у/(х) вида MINMAX равна п2п~1.

По аналогии с Леммой 2.3 является справедливой Лемма 2.8. Если ВЦФ состоит из критериев вида MINMAX, то для всякого её допустимого решения х= (z^v-A) е X существуют такие значения параметров задачи упорядочивания, при которых суммаF{(x) + F2(x) = С, где С- константа, которая не зависит от выбранной последовательности х.

На основании Лемм 2.4-2.8 являются справедливыми Теорема 2.3. Двукритериальная задача упорядочивания с критериями вида MINMAX (4), (5) обладает свойством квазиполноты, т.е. для всякого п существуют такие значения параметров

i = U, v=l2, при которых для ПМА Х\ ПМ X и МДР X выполняется соотношение Х°с X = X.

Теорема 2.4. Алгоритмическая проблема нахождения ПМА для двукритериальной задачи упорядочивания с критериями вида М1Ы-МАХ (4), (5) является труднорешаемой. При этом для задачи размерности п максимальная мощность ПМА ограничена снизу экспо-

нентой 2П~1.

Глава 3 посвящена рассмотрению проблемы получения новой информации о критериальном пространстве векторных комбинаторных задач с двоякой целью: в теоретическом отношении - выявление новых фундаментальных свойств, которые присущи критериальным пространствам исследуемых задач, в прикладном отношении - получение новой информации, которая представила дополнительные соображения для лица принимающего решение. Особый интерес и новизну в проведенном исследовании представляет то, что оно базируется на имитационном моделировании рассматриваемого объекта, т.е. задачи упорядочивания, и применении к нему относительно малоизвестных методов теории временных рядов и динамического хаоса [17,42,73, 13,24,33,41,89,93].

Рассмотрим возможные способы представления образа МДР в критериальном пространстве. Как и в предыдущем параграфе

3, ограничиваемся 2-критериальными задачами, причем, вопрос о структуре множества

: *6ЛТ| (17)

рассматриваем в контексте одной из групп методов теории принятия решений - методов компенсации.

С целью конкретизации подходящей методологии в группе методов компенсации выделим для дальнейшего рассмотрения метод последовательных уступок (МПУ), предложенный Вентцель В.С.[4]. Этот

метод предполагает упорядоченность критериев /^(х) по важности [60].

С учётом специфики МПУ критериальное пространство (17) можем представить, по меньшей мере, тремя способами или, другими словами используя три формы представления критериального пространства. Первый из них - точечный, суть которого в том, что в декартовой системе координат представляется множество из п\ точек, с координатами ^(х) = (^¡(х) , ^М)» Щ = п\. При этом важно

обеспечить выполнение следующего условия: множество всех точек хеХ остается в ограниченной области при я—>оо. Выполнение этого условия обеспечивается путем нормирования значений р (х), у = 1,2 следующим образом.

Если критерий (х), у = 1,2 имеет вид М^БиМ (2), то в качестве нормирующего множителя принимается величина где

" (Щ

1 /=1

Если критерий ^ (х), у = 1,2 имеет вид М1ЫМАХ (4), то в качестве нормирующего множителя принимается величина /Г1, где

п

МУ = Т0, т0 = Т- 1ШПД- . т= £т.

¿=1 (19)

Таким образом, нормированная ВЦФ

**(*)=(/?•(*) , /?(*)). (20)

где

Гун(х) = М;1-Гх/(х)-^шт, \ <у<2. (21)

Для нормированной ВЦФ (20,21 Справедлива следующая

Теорема 3.1. Пусть для всякой индивидуальной задачи упорядочивания её параметры Т(, И; принимают конкретные значения из множеств ¿Д , у , ¿7). Тогда если множества ¿Д и у являются ограниченными множествами, то для любого ^ при и —>• оо

пространство значений : нормированной ВЦФ

(19)-(21) представляет собой ограниченное множество, т.е. значения

величин Ау = тах^(х), у = 1,2 ограничены сверху константой, ко-

хеХ

торая не зависит от размерности п.

Говоря о точечной форме представления критериального пространства (17), впредь будем подразумевать, что в множестве (17) его точки определены нормированными значениями их координат. В декартовых координатах на оси абсцисс откладываем значения первого

критерия для каждого элемента хе! в порядке возрастания

значения Далее из каждой точки хеХ на оси абсцисс

восстанавливается перпендикуляр высотой Т7^(х). Получаем множество точек с координатами (^и(х),.Р2н(х))( хеХ, которое обозначаем через Fн(Z)=|Fм(x) , хе!}.

Приведем описание второй формы представления критериального пространства (17). В множестве (17) устанавливается соседство

между точками (/^(х),^^)), хеХ по принципу «слева на право», т.е. для точки = соседней (справа) является такая

точка Для К0Т0Р°Й разность ^(х")-^(х1)

минимальна. Далее соседние точки соединяются отрезками, образуя

псевдографик, который является второй формой представления критериального пространства задачи.

Представление в первой или второй формах множества (17) условимся называть соответственно графиком и псевдографиком критериального пространства Р(Х) конкретной (индивидуальной) задачи с

данной ВЦФ ^(л;). Например, на Рис.1 изображен псевдографик конкретной задачи с ВЦФ = , (■*))> параметры которой определены так чтобы выполнялось равенство ^(я) + /72(*)=С= 2т(2пт-Ц2тгде т=\оё2п2. При указанных

параметрах критерии -Р (л), у= 1,2 достигают следующих максимальных и минимальных значений соответственно:

А = шах ер (*)= Тк2тк, у = 12,

у хеХ уК 7 к= 1

й =гшп ср (х) = ¿:(п-к+1)2т(п-к+1\ у=1Д.

у хеХ уК 7 к= 1

Как было установлено в главе 2, «платой» за достижение свойства полноты [47] (т.е. обеспечение равенств Х° = Х = X) являются экспоненциальные значения параметров задачи. Отсюда можно сформулировать качественное суждение о том, что свойство полноты, а вместе с ним и монотонный, и, следовательно, предсказуемый характер поведения графика достигается за счет экспоненциальных значений параметров задачи.

рг(х) г(х)= Ы М'^М)»

ж

о ах 4 ^(х)

Рис.1

С учетом намечаемых подходов и специфических потребностей МПУ, введем новое определение.

Определенный выше псевдографик Р(Х) (вторая форма представления) называем диаграммой в случае, если на оси абсцисс всякую пару соседних точек -^(У), ^(х") определяем (отмечаем) так,

чтобы выполнялось равенство

1. Т.е. значениям

^(х) , хеХ ставим в соответствие целочисленные точки отрезка

1, п\

, п\ = \Х\. Вышеуказанная диаграмма критериального про-

странства или, просто, диаграмма представляет собой третью форму представления критериального пространства 2-критериальной задачи упорядочивания.

Последние две формы представления критериального пространства (псевдографик и диаграмма) можно рассматривать в качестве ра-

бочего инструмента визуализации получаемых промежуточных результатов [79].

На рис.2 представлена диаграмма критериального пространства индивидуальной 2-критериальной задачи упорядочивания для случая, когда число объектов п = 5 и параметры 2-критериальной задачи упорядочивания получены с помощью генератора псевдослучайных чисел [16,55]. При этом для N=2 ВЦФ (6) состоит из критериев 271(х)-

вида МШвиМ (2) и ^(х)- вида М1ЫМАХ (4), а параметры а., 77,2).-

случайные числа. На рис.3 представлена диаграмма для такой же задачи с тем лишь отличием, что второй критерий 272(х), так же как и

^(х), имеет вид М1М8иМ (2).

МШ8иМ1-МШМАХ2

М1№иМ1

РИС. 2

MINSUM1-MINSUM2

7000000 г

6000000 -I

5000000 см I

Щ 4000000 4

I зоооооо 4

2000000 I 1000000 -

U I' I III ГТП I I l'HT'l I I' I'T'TT'T'I I "I I I I I I I I I M I'Г I I I I'll" I ГГГИ'1 I IT'I'TI"!' I 11 TTTH I |"|"|"П"1"П"1"1"|"1"1' I I'TH'TTTHTTTT'I I I I H'JT I ' I JJ H'l I'TTT'IT'I'V

MINSUM1

Рис.3

В параграфе 4 рассматривается вопрос о методологии фрактального анализа критериального пространства в контексте идей синергетики [13,17,24,33,41,89].

Предлагаемые методы и подходы базируются на имитационном моделировании в следующем смысле. Если на выходе имитационной модели получены определенные данные, то к ним применяются статистические методы, а именно, методы ранговой корреляции и предельных распределений с последующим использованием методов нелинейной динамики (теории хаоса). Оценка наличия или отсутствия фрактальной структуры базируется на методе псевдофазового пространства [24].

Заметим, что к настоящему времени не известно применение перечисленных выше методов и подходов к каким-либо дискретным многокритериальным задачам. Современное состояние исследований в данной области науки(«попПпеаг science») характеризуется тем, что до настоящего времени методы нелинейной динамики разрабатывались применительно к задачам физики, химии, биологии [8,74,82,92] и, отчасти, гуманитарных дисциплин [13]. К настоящему времени известны лишь публикации [30], в которых на базе синергетических подходов

строятся оригинальные алгоритмы нахождения оптимальных решений классических, т.е. однокритериальных задач дискретной оптимизации (С.Киркпатрик, С.Гелатт и М.Веччи - метод имитации отжига [78]). Так же Дж.Хопфилд и Д.Танк [76] указали возможность альтернативного подхода, основанного на использовании многокомпонентных нелинейных динамических систем с детерминированной динамикой. Более эффективным оказался аналоговый метод решения задачи коммивояжера, предложенный Р.Дурбином и Д.Уилшоу [29].

Упомянутые выше синергетические подходы не удается, однако, использовать для выявления качественных (асимптотических) свойств критериального пространства дискретных многокритериальных задач. Тем не менее, концептуальные идеи синергетики [30] могут быть эффективно востребованы и в нашем случае.

В процессе моделирования критериального пространства (КП) мы не получаем, не выводим, не находим соответствующего уравнения для представления графика или диаграммы траектории КП. Однако, получаем нечто похожее на известную концепцию «Порядок из шума» Фестен Г.фона [64] сформулированную для конвективных структур (см. рисунки 2,3).

С параметрами порядка связан еще один показатель (признак) самоорганизации - симметрия системы. Структурирование системы может означать нарушение её симметрии. С.П. Курдюмов [88] формирует при помощи понятия симметрии аналог второго начала термодинамики («тотальная симметрия»- максимальная энтропия).

Вышеупомянутые методы нелинейной динамики базируются на методах анализа временных рядов и реконструкции аттракторов. Временной ряд - это упорядоченное множество значений 7 = 1,2

для которого естественным, упорядочивающим фактором выступает время. Но во всех исследованиях фрактальных свойств этого ряда

специфические свойства времени нигде не используются. Иными словами, методы исследования временных рядов можно применить к любой, упорядоченной по определенному монотонному признаку числовой последовательности. В качестве такого «монотонного признака» используем первый критерий, что диктуется рассмотренным в параграфе 4 подходом к выбору и принятию решений методом последовательных уступок. С этой целью, занумеруем индексом j допустимые

решения х. е X, j = l,L, L= п\ в порядке не убывания значений первого критерия данной ВЦФ. Строим ряд

Zj'Ffcj), j = (22)

Ряд вида (22) обычно называют термином «траектория», которая рассматривается просто как ряд наблюдений, т.е. временной ряд.

Встает вопрос: что можно сказать о системе (в данном случае о 2-критериальной задаче инвестора), исходя из ряда (22)? Является ли поведение этой системы детерминированным, т.е. существует ли уравнение, которое обеспечивает полное определение поведения системы? При этом вопрос нахождения такого уравнения не является самоцелью, ибо нас интересует предсказание поведения системы на определенное число шагов вперед (прогнозирование). Глубина, т.е. число шагов прогноза определяется так называемыми ляпуновскими показателями [56,73]. Следующий естественный вопрос: как по известному начальному множеству zliz2i...izl предсказать значения zM,zl+2, и т.д.? Совокупность этих и других вопросов называют проблемой прогноза или задачей построения предиктора (от англ.слова to predict- предсказывать).

Параграф 5 посвящен анализу 2-критериальной задачи упорядочивания методом псевдофазового пространства.

Располагая результатами компьютерного эксперимента в виде ряда (22), мы рассматриваем систему с одной степенью свободы, для которой получена последовательность

где а х1 есть такое допустимое решение задачи упорядо-

чивания, которое в представленной выше диаграмме находится на оси абсцисс на ] - ом месте.

Цель использования метода псевдофазового пространства состоит в том, чтобы построить зависимость величины ^ от значения этой же величины в другие моменты «времени» или

■ Вопрос состоит в нахождении или определении такой функции Ф=Фкоторая позволяла бы прогнозировать значения г]+т .

Проблема построения обоснования указанной функции Ф удовлетворительным образом решается с помощью теоремы Такенса [8]. В настоящей работе основное внимание уделяется вопросу о том, в какой степени могут оказаться полезными для прогнозирования качественные выводы, получаемые с помощью визуализации рассматриваемого фазового пространства. При этом имеется основание считать информативным фазовое пространство размерности 2, т.е. в обозначениях (23) пространство точек в декартовых координатах

В процессе использования методов визуализации особую роль играют как отдельные конкретные виды симметрии (зеркальная, изометрическая, аффинная, конформная, топологическая и т.д.), так и аппарат обобщенной симметрии, успешно работающий в естественной

(23)

(24)

научной области. На наш взгляд особое внимание следует обратить на то обстоятельство, что фазовая траектория (24) представляет собой набор точек, последовательно переходящих друг в друга. Положение каждой точки в последовательности (24) одинаково определяется положением в предыдущей точке. Таким образом, существует некоторая функция (р, связывающая между собой положение двух следующих

одна за другой точек: =^у).Это соотношение определяет точечные отображения.

В контексте методов визуализации рассматривается следующая проблема, которая порождается чрезвычайно большими объемами вычислений. В процессе компьютерного эксперимента графики и диаграммы критериального пространства задачи упорядочивания реально получены для числа инвестируемых объектов п = 5,6,7 . Элементарные оценки затрат машинного времени приводят к выводу о невозможности сгенерировать все п! допустимых решений задачи упорядочивания для числа упорядочиваемых объектов П > 10 . Отсюда следует, что для этих значений п в процессе компьютерного эксперимента

можно сгенерировать лишь подмножество X сХ, где X - МДР зада-

чи упорядочивания, а мощности

Г

1*1

и соотносятся как

X'

~ те- Доля решений х еХ стремиться к нулю с ростом

п . В этой связи возникает принципиальный вопрос: обладает ли

подмножество представителей X* всеми свойствами всего МДР X? Положительный ответ на этот вопрос авторы обосновывают с помощью графического представления серии отрезков траектории (23) и использовании методов визуализации. Причем, компьютерный эксперимент проведен для п = 7 и следующих вариантов комбинаций критериев

^(х) составляющих ВЦФ (6)-(8): 1)М1М811М, М^виМ;

2)М1ММАХ, М^ЭиМ; 3)М1М8иМ, М1ЫМАХ; 4) М1ЫМАХ, М1ЫМАХ. Последовательность (23) и соответственно (24) состоят из п\= 7\= 5040 точек (элементов). Эти последовательности развивались на 5 подпоследовательностей, содержащих порядка 1000 точек в каждой. В каждом из четырех случаев 1 )-4).

Рассмотрим критериальное пространство для случая ММЭиМ-М1Ы8иМ.

На рисунках дано графическое представление пяти отрезков фазовой траектории (24) и также отражена траектория (24) и её отрезки в графическом представлении перехода от одной точки к следующей за ней (т.е. образы соседних пары точек соединены отрезком).

Визуализация рисунков позволяет сформулировать ряд утверждений о качественных свойствах фазовой траектории:

1. как точечным диаграммам, так и траекториям, представленных отрезков фазовой траектории, присуще свойство самоподобия;

2. суммарное изображение, где образ каждого отрезка представлен своим цветом, позволяет утверждать о наличии тренда, основным свойством которого является тенденция уменьшения координат точек, т.е. движение к началу декартовых координат;

3. на графическом представлении отчетливо проявляется следующая тенденция: концы отрезков, соединяющих образы соседних элементов траектории (24) расположены по различные стороны оси симметрии, которую можно представить биссектрисой положительного ортанта декартовых координат. Иными словами речь идет о зеркальной симметрии относительно указанной биссектрисы;

4. характер полученного графического представления дает основание предполагать, что динамика аналога временного ряда имеет хаотическую природу и дробную фрактальную размерность.

Аналогичными свойствами обладают критериальные пространства для всех перечисленных комбинаций критериев.

Сформулированные на базе методов визуализации качественные свойства 1)-4), представляют существенную информацию о критериальном пространстве исследуемой двукритериальной задачи упорядочивания. С точки зрения теории выбора и принятия решений наибольшую полезность представляет свойство самоподобия, которое дает наиболее веские основания отказаться от имитационного моделирования всего критериального пространства с тем, чтобы ограничиться некоторой его частичной выборкой. Последнее высказывание практически переводит непреодолимую проблему необозримых объемов вычислений в плоскость практически осуществимых компьютерных расчетов.

В главе 4 рассмотрена проблема построения математической модели задачи упорядочивания с учетом дисконтированных экономических критериев. В отличие от классической однокритериальной постановки исследуется также и двукритериальная постановка задачи упорядочивания с учетом дисконтированных экономических критериев, определенной на множестве перестановок.

Представленную в главе 2 математическую постановку векторной задачи упорядочивания приведем с учетом дисконтирования затрат и результатов. В качестве базовой исследуем двукритериальную модель с векторной целевой функцией (ВЦФ):

(25)

(26)

1к 1к

где

Z. = тах 1к

Л -П. ,0 1к 1к .

к (28)

1к 5

ВЦФ (25) представлена в обозначениях Главы 2: / = 1,2,..., и -номера объектов упорядочивания ,х=(ц,/2,.••>*'„)-допустимые решения, х = {х}-множество допустимых решений (МДР), ^ - продолжительность "реализации" для / -го объекта, Ц — директивный срок, а{ -

"ожидаемый эффект" ("удельный штраф") за единицу времени от /-го

объекта. Полагаем, что значение а,- определяется в базовых иенах с

учетом всех составляющих денежного потока объекта /.

Для формализованного, т.е. математического представления

процесса дисконтирования по шагам £ = 1,2,...,Г календарного периода

к I

г=1

(при Б1к > ^ ) к-ъм член в критериях (25)-(28) равен 0. Если же значе-

к

[0,7], Т= ¿Г., обратимся к выражению (28). Ясно, что в случае = 0

. л I к

ние 21к > 0 к (при < ^ ). то на протяжении календарного отрезка времени [Д ] в формулах (25)-(27) осуществляется суммирование единиц штрафа в каждый единичный отрезок времени 1 = +2,...,^ . Иными словами, А:-ый член в выражении (25)-

(27) приобретает следующий вид:

Ер,

'к

где р1 определяется следующей формулой: р, =7-^-[32,56,88].

(1+ ЕУ

Таким образом, ВЦФ задачи упорядочивания определяется следующими выражениями, учитывающими процесс дисконтирования:

Р(х) = (Р1(х\Р2(х)),

к

Рх (*) = ф(х) = ) ■ тт

к=\ г=1+д.

к \

р2 М = V М = тах ^пг^)- ->тт

\<к<п

1к

где специальная функция определяется следующим образом

[0,.у<0 [1,У>0

Теорема 4.1. Для всякого п> 2 существуют такие индивидуальные задачи упорядочивания с ЦФ вида ММвиМ, у которых множество оптимальных решений, полученных с учетом и соответственно без учета дисконтирования, не совпадают, и более того, не пересекаются.

Теорема 4.2. В случае ЦФ вида М1ЫМАХ существуют такие индивидуальные задачи упорядочивания, у которых множество оптимальных решений, полученных с учетом и соответственно, без учета дисконтирования, не совпадают, и, более того, не пересекаются.

С целью выявления достаточных условий для существования решающего правила для критериев с учетом дисконтирования рассмотрим ряд индивидуальных задач упорядочивания, для которых зна-

чения параметров ограничены следующим образом: Д=0, 7]>0,

а1 > О, Е > О, рг = -——. Поскольку решения каждой такой задачи

(1 + Е)<

оцениваются ЦФ вида М^ЭиМ с учетом дисконтирования и все Д = О, то для этих задач ЦФ имеет следующий вид

(29)

Я (х) = ф(х) Е Л -> тш>

к=1 г=1 к

Достаточные условия существования решающего правила определяет следующая

Теорема 4.3. Если при Д = О, / = 1, п перестановка х° = , ¡2,.. лп) определяет невозрастающую последовательность значений , к = 1,п, так, что и соответствующая последовательность значений = не убывает, то на перестановке

х° = (¿2,¿2,..л„) ЦФ вида М1Ы8иМ с учетом дисконтирования (29) достигает минимума.

Из рассмотренных выше индивидуальных двукритериальных задач вытекает, что является справедливым

Утверждение 4.1. В общем случае являются различными паре-товские множества многокритериальных постановок задачи упорядочивания с учетом дисконтирования критериев её ВЦФ и без учета дисконтирования критериев её ВЦФ.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации, которые выносятся на защиту.

Пользуясь возможностью, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю зав. кафедрой прикладной математики и информатики Карачаево-Черкесского технологического института профессору Перепелице В.А., а также многим коллегам-

математикам за постоянное внимание и поддержку в процессе исследований, посвященных тематике настоящей диссертационной работы.

В работе принята сквозная нумерация формул и теорем для каждой очередной главы. При ссылках на теоремы другой главы в номере теоремы указывается номер главы (например, теорема 3.1- теорема 1 глава 3).

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Попова, Елена Витальевна

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Построена и исследована математическая модель биотехнологической и агробиологической задачи упорядочивания в многокритериальной постановке;

2. Доказано, что рассматриваемая задача обладает свойством полноты в случае, когда ВЦФ состоит из критериев вида MINSUM, выведена точная формула вычисления максимальной мощности искомого решения и доказано утверждение о труднорешаемости задачи;

3. Доказано свойство квазиполноты в случае, когда ВЦФ состоит из критериев вида MINMAX, выведена экспоненциальная нижняя оценка мощности искомого решения и, как следствие, утверждение о труднорешаемости задачи;

4. Разработана и реализована на персональной электронно-вычислительной машине имитационная модель, которая на базе генератора случайных значений исходных данных воспроизводит и представляет в явном виде критериальное пространство для различных комбинаций критериев, составляющих векторную целевую функцию;

5. Предложена методологически новое использование теории временных рядов для анализа исследуемого критериального пространства, что позволило использовать методы динамического хаоса для выявления качественных фрактальных свойств моделируемого объекта, в частности получить ответы на вопросы о наличии свойств симметрии, динамики дрейфа, детерминированную регулярность или хаос и др;

6. Осуществлено обобщение исследуемой математико-биологической модели на случай, когда при оценке эффективности системы учитываются дисконтированные экономические критерии;

7. Для обобщенной модели с учетом дисконтирования найден класс полиномиально разрешимых задач, для которых существуют решающие правила нахождения искомого оптимума.

157

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попова, Елена Витальевна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнхейм Рудольф. Новые очерки по психологии искусства. -М.: Прометей, 1994.

2. Батищев А.Ф., Перепелица В.А. Об одной модели процесса утилизации биологических отходов. В сб. Проблемы кибернетики. Вып.25.-М.: Наука, 1972.-С. 177-181.

3. Березовский Б.А., Борзенко В.И., Кемпнер Л.М., Бинарные отношения в многокритериальной оптимизации. -М.: Наука, 1981.

4. Вентцель Е.С. Исследование операций. -М.: Советское радио, 1973.

5. Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. - М.: Радио и связь, 1981.

6. Ворощук А.Н. Имитация развития экологических систем и системный анализ. В сб. Число и мысль. Вып. 5.-М.: Знание.-1982.-С.142-175.

7. Гимади Э.Х., Перепелица В.А. О статистически эффективном подходе к нахождению экстремума функции, заданной на множестве перестановок. Материалы I Всесоюзной конференции по исследованию операций. -Минск: Институт Математики АН БССР, 1975.-С.46-50.

8. Гласс А., Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни; Пер.с англ. -М.:Мир,1991.

9. Гулиев P.P., Коновалов М.Г., Огнивцев С.Б. Моделирование севооборота с помощью управляемых марковских цепей. // Народное хозяйство Азербайджана ,-1984.№8.-С.49-51.

Ю.Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи: Пер. с англ. - М.. Мир, 1982.

И.Дегтяренко В.Н. Оценка эффективности инвестиционных проектов. "Экспертное бюро М",1997.

12.Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные моде-

ли формирования и выбора вариантов систем. -М.: Наука, 1986.

13. Евин И.Л. Синергетика искусства //1993.

14.Емеличев В.А., Перепелица В.А. Сложность дискретных многокритериальных задач//Дискретная математика.-1994.-Т.6, №1,- с.3-33.

15. Емельянов C.B., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений,- М.: Знание, 1985.

16. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. -М.: Наука, 1976.

17.Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. -М.: Наука, 1984.

18. Инвестиционно-финансовый портфель (Книга инвестиционного менеджера. Книга финансового менеджера. Книга финансового посредника )/Отв. редактор Рубин Ю.Б., Солдаткин В.И.-М.: СОМИН-ТЭК, 1993.

19. Концепции самоорганизации: становление нового образа научного мышления. -М.: Наука, 1994.

20. Копцик В.А. На пороге XXI века: диалог естественных и гуманитарных наук (проблемы симметрии художественного текста). Труды Международной конференции «Математика и искусство». -М.:1997.-С.77-87.

21.Костевич Л.С., Лапко A.A., Теория игр. Исследование операций. -Минск ;"Вышейшая школа", 1982.

22.Кочкаров A.M., Перепелица В.А., Сергеева Л.М. Фрактальные графы и их размерность. Карачаево-Черкесский технологический институт,1996.Деп. в ВИНИТИ,№3284-В96.

23. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. Перевод на русский язык, - М.:Мир,1978.

24.Курдюмов С.П., Куркина Е.С., Потапов А.Б., Самарский A.A. Сложные многомерные структуры горения нелинейнлй среды

//Журн.вычисл.математики и мат.физики.1986.Т26, №8.С.1189-1205.

25.Курдюмов С.П., Потапов А.Б., Малинецкий Г.Г. Нестационарные структуры, динамический хаос, клеточные автоматы. В кн. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. -М.: Наука, 1996.-С.95-164.

26.Лазарсфельд П., Генри Н. Математические методы в социальных науках. - М.: Прогресс, 1973.

27.Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. -М.: Наука, 1979.

28. Липсиц И.В., Коссов В.В. Инвестиционный проект. Методы подготовки и анализа. Учебно-справочное пособие. М.: Изд. БЕК, 1996.-304с.

29.Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир,1984.

30. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику: учеб. руководство. -М.:Наука,1990.

31. Макаров Н.М. Виноградская Т.Н., Рубчинская A.A., Соколов В.Б. Теория выбора и принятие решений. -М.: наука, 1982.

32. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейность. Новые проблемы, новые возможности. В кн. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. -М.: Наука, 1996.-С. 165-190.

33. Малинецкий Г.Г., Митин H.A. Нелинейная динамика в проблеме безопасности. -Там же, с. 191-214.

34. Мандельброт Б. Теория информации и психолингвистика: теория частот слов. - Сб. Математические методы в социальных науках. -М.: Прогресс, 1973.

35. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов и их отбору для финансирования. Официальное издание. Утверждены Госстроем России, Министерством Экономики РФ, Министерством финансов РФ, Госкомпромом России №7-12/47

31 марта 1994.-инфорэлектро.-80с.

36.Михалевич B.C., Волкович B.J1. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. - М.: Наука, 1982.

37. Многокритериальные задачи принятия решений. - М.: Машиностроение, 1978.

38. Моисеев H.H. Математика ставит эксперимент. -М.: Наука, 1979.

39. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука. 1981.

40.Моисеев H.H., Свирижев Ю.М. Методы системного анализа в проблеме "человек-биосфера". Имитационное моделирование и экология. -М.: Наука, 1975.

41.Мун Ф. Хаотические колебания. -М.: Мир, 1990.

42.Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1972.

43.Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990.

44.Пайтген Х.-О. Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. -М.: Мир, 1993.

45.Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. Пер. С англ. -М: Мир, 1985.

46.Перепелица В.А., Мамедов A.A. Исследование сложности и разре-

t

шимости векторных задач на графах. -Черкесск: К-ЧТИ, 1995.

47.Перепелица В.А., Попова Е.В. Исследование мощности множества альтернатив для двукритериальной задачи упорядочивания. В сб.: Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики. Тез. докл. международ. Конф. - Нальчик: НИИ ПМиА РАН, 1996. -С. 66.

48.Подиновский В.В. Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. - М.Советское радио, 1975.

49. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения много-

критериальных задач. - М.: Наука, 1982.

50. Позднякова А.Ю., Сергеева J1.H. Два метода анализа экономических рядов. Там же, с.67-68.

51.Полак Л.С., Михайлов A.C. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. -М.: Наука.1983.

52. Попова Е.В. Исследование мощности множества альтернатив дву-критериальной задачи упорядочивания. Карачаево-черкесский технологический институт, 1996. Деп. в ВИНИТИ,№ 3711-В96.

53. Поспелов Г.С., Ириков В.А., Курилов А.Е. Процедуры и алгоритмы формирования комплексных программ. - М.: Наука, 1985.

54.Пригожин И., Стингере И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. -М..Прогресс, 1986.

55. Прохоров Ю.В. Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. -М.: Наука, 1967.

56.Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности //Странные аттракторы.-М.:1991,С.117-151.

57.Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука,1987.

58.Свирижев Ю.М. Математические модели в экологии. В сб. Число и мысль. Вып. 5.-М.: Знание.-1982.-С.16-55.

59.Свирижев Ю.М., Тарко A.M. Проблема экологического равновесия биосферы и глобальные биогеохимические циклы: Цикл углерода. Методы системного анализа в проблемах рационального использования ресурсов. -М.: ВЦ АН СССР, 1977.

60. Современное состояние теории исследования операций /Под ред. Моисеева H.H. -М.: Наука, 1979.

61.Сотсков Ю.Н., Струсевич В.А., Танаев B.C. Математические модели и методы календарного планирования.-Минск: «УЫВЕРСГГЭЦКАЕ»,

1994.

62.Указания по определению экономической эффективности капитальных вложений в строительство и реконструкцию автомобильных дорог. ВСН 21-83.-Минавтодор РСФСР.

63.Федер Е. Фракталы. -М.: Мир,1991.

64.Фёстер Г.фон. О самоорганизующихся системах и их окружении //Самоорганизующиеся системы.-М.: 1964.

бб.Фишберн П.К. Методы оценки аддитивных ценностей. - В кн.: Статистическое измерение качественных характеристик. -М.: Статистика, 1972, с.8-34.

66. Фишер С.,Дурмбуш Р.,Шмалеизи Р. Экономика. - М.: Дело, 1993.

67.Хакен Г. Информация и самоорганизация. М.:1991.

68.Хакен Г. Синергетика. М.:1980.

69.Хубиева З.К. Основы современной экологии и обеспечения безопасности природопользования. М.: ВИНИТИ, 1998.

70.Хубиева З.К. Проблемы совершенствования безопасности природопользования в условиях развития производственно-технических систем. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. -M.: МАН ИПТ,1998.

71.Шкурба В.В. Задача трех станков. -М.: Наука, 1976.

72.Шубников A.B., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве.-М.:Наука,1972.

73. Шустер Г. Детерминированный хаос. -М.: Мир, 1988.

74.Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе: Пер.с англ./ Предисл. Ю.Г. Рудого. -М.:Мир,1987.

75.KocTÍHa H.I., Алексеев A.A., Василик О.Д. Фтансове прогнозування: методи та модели Навчальний поабник.-К.:Товариство "Знания", КОО, 1997.-183

76. Berge Р., Pomeau Y., Vidal С. Order Within Chaos. -N.Y.:Wiley,1986.

(рус.перев. Берже П., Поло И., Видаль К. Порядок в хаосе. -М., 1991.)

77. Charlton J.М.,Death С.С.(1970), A method of solution for generalmachine-scheduling problems,Ops.Res.,18,p.698.

78. Constantin P., Foias C., Manley O.P., Temam R. //J.Fluid Mech., 1985. V15.P.427-440.

79. Diday E. Et collab. Optimisation en classification automatique./INRIA, Domaine de voluceau, Rocquencourt. B.P.105.78 150 Le Chesnay, 1979.

80. Fishburn P.C. Lexicographic orders, utilities and decision rules, a survey. Manag. Sci., 1974, vol. 20, №11, pp. 103-144.

81. Fishburn P.C. Utility Theory for Decision making. -N.Y.: Wiley, 1970.

82.Haken H. Synergetics.-Springer,1977 (русский перевод: Хакен Г. Синергетика. -М.: Мир, 1980)

83. Haring D.R.(1966),Sequential-circuit synthesis, MIT Press, Reasearch Monograph 31 .Cambridge,Massachusetts.

84. Haring L. Howard; Priesmear H. Richard. Chaos i Mulli-Family Markets // Journal о Property Management (1994) November/December, p 64-69.

85. Keeney R.L., Raiffa H. Decisions with multiple objectives: preferences and value tradeoffs. -N.Y.: Wiley, 1976.

86. Koptsik V.A. Generalized symmetry in crystal physics. Comput.Math.Appl., 1988,Vol. 16,pp.407-424.Maravall A. An application of non-linear time series analysis forecasting. Journal of Business and Economic Statistics, 1983,vol.1 pp.66-74.

87. Krolak P., Felts W., Marble G. (1971), A man-machine approach toward solving the travelling salesman problem, Comm. of ACM, 14,p.327.

88. Kurdyumov S.P. Evolution and self- organization laws in complex systems //Keldysh Institute of Applied Mathematics. -M.:1990.

89. Mandelbrot B. New Methods in Statistical Economics -Journal of Political

Economy(1963),-p. 48-56.

90. Maravall A. An application of non-linear time series analysis forecasting. Journal of Business and Economic Statistics, 1983, vol.1 pp.66-74.

91. McGrimmon K.P. An overview of multiple objective decision making. - In: Multiple criteria decision making/Ed. J. Cochrane., M. Zeleny. Columbia, Univ. South Carolina Press, 1973.

92.Prigogin J. From Being to Becoming. W.H. Freeman and Со.,1980(русский перевод: Пригожин И. От существующего к возникающему. -М.:Наука,1985).

93.Takens F. Detecting strange attractor in turbulence// dynamical system any turbulence. В.: Springer, 1981.P.336-381 (Lect, Notes in Math.,; Vol.7.)

94.Yau S.S.(1967), Generation of all Hamiltonian circuits, paths and centres of a graph and related problems, IEEE Trans., CT-14,p.79.