Исследование математических моделей вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Омельченко, Екатерина Александровна

• Омельченко, Екатерина Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Омельченко, Екатерина Александровна

Оглавление

Введение

1 Исследование методами теории

полугрупп операторов

1.1 Эволюционные процессы с запаздыванием и теория полугрупп

1.2 Неоднородные невырожденные процессы с запаздыванием

1.3 Условия на операторы

в вырожденном эволюционном уравнении

1.4 Вырожденные эволюционные процессы с запаздыванием

1.5 Неоднородные вырожденные процессы с запаздыванием

1.6 Математические модели с многочленами

от эллиптических самосопряженных операторов

1.7 Квазистационарная линеаризованная

система уравнений фазового поля с запаздыванием

1.8 Модель жидкости Кельвина-Фойгта

2 Исследование методом сжимающих отображений

2.1 Линейная модель вырожденного эволюционного процесса

с интегральным оператором запаздывания

2.2 Математические модели теории фильтрации

2.3 Система фазового поля без ограничений

на ядро и образ оператора запаздывания

2.4 Линеаризованная модель Осколкова

3 Численное исследование и комплекс программ

3.1 Разностная схема для системы уравнений фазового поля

без запаздывания

3.2 Разностная схема для системы уравнений с запаздыванием

3.3 Численный эксперимент

3.4 Алгоритм и программная реализация численного метода

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Публикации автора диссертации

Сведения о регистрации программы

Список иллюстративного материала

Приложения

Исходный код программы «Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием»

Введение

Актуальность темы исследования

Одной из важных задач современного общества является формирование единого информационного пространства во всех сферах человеческой деятельности. Для обеспечения этой задачи должны быть разработаны автоматизированные информационные системы, обеспечивающие электронную обработку всей доступной информации в конкретной области. Компьютерная реализация информационных процессов, предполагает поиск надежных способов преобразования исходной (может быть, даже хаотичной) информации о каком-либо процессе или явлении в точное знание. Зачастую невозможно обычными теоретическими и практическими методами обеспечить полноту и точность научного исследования по причине большого количества затрат, недостатка реальных первичных материалов исследования и др.

В современной науке широко применяется метод познания, при котором исходный объект заменяется его математической моделью. Именно этот метод становится наиболее эффективным при изучении, анализе, прогнозировании разнообразных процессов реального мира. Он позволяет применять ко многим процессам математические методы изучения, исследовать их свойства и поведение в различных ситуациях, применять полученные модели для компьютерной обработки и вычислений. Правильно подобранные математические модели гарантируют получение результатов исследования с высокой степенью точности.

Одним из актуальных направлений современного математического моделирования является построение моделей различных процессов окружающего мира, изучаемых в физике, биологии, химии, экономике и других науках, основанных на передаче массы, энергии, наследственной информации, для исследования которых необходимо учитывать их состояния в предшествующий промежуток времени. Приведем пару примеров. Скорость измене-

ния численности популяции моделируется с обязательным учетом элементов запаздывания: временного отрезка беременности, неоднородностью возраста, миграции, неравномерной распределенности популяции в среде обитания (данный процесс исследовали Т.Р. Мальтус, Дж. Кьютелет, П.Ф. Ферхюльст, Г.Е. Хатчинсон). Процесс движения автомобилей на загруженной дороге, может быть описан моделью с учетом нескольких параметров запаздывания: скорость движения конкретного автомобиля будет зависеть от скорости движения соседних автомобилей и от быстроты реакции водителя. Заметим, что в таких случаях игнорирование даже самого малого промежутка запаздывания приводит к неверным, абсурдным результатам исследования. Математические модели, описывающие такие процессы, представимы с помощью дифференциальных уравнений с запаздыванием.

К настоящему времени исследованы математические модели, описываемые уравнениями с запаздыванием или функционально-дифференциальными уравнениями другого вида с различными дифференциальными операторами: обыкновенными или в частных производных, которые относятся к классическим типам уравнений математической физики — эллиптическому, гиперболическому, параболическому. К таковым относятся большинство встречающихся при математическом моделировании уравнений и систем уравнений. Например, при описании процессов, связанных с фазовыми переходами первого рода, используются так называемая модель фазового поля Г. Кагинал-па [105, 106]. В обычной постановке соответствующая ей система уравнений фазового поля имеет параболический или гиперболический тип, причем, физический интерес представляют ее варианты, моделирующие эффекты памяти или запаздывания [108, 114, 115]. Такие уравнения возникают при описании термомеханического поведения полимеров [107], вязкоупругих жидкостей при низких температурах [116, 126] и др. Однако при естественном предположении нулевого времени релаксации полученная квазистационарная модель фазового поля уже не относится ни к одному из классических

типов уравнений математической физики [56, 57]. Соответствующий этой модели эволюционный процесс является вырожденным, т. е. соответствующая система уравнений является не разрешимой относительно производной по времени. Такие процессы, которые далее будут называться вырожденными эволюционными процессами, с запаздыванием или без, часто встречаются при математическом моделировании в естественных и технических науках [21, 65, 74, 111, 134]. Модели эволюционных процессов, описываемых посредством начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с запаздыванием1, не разрешимых относительно старшей производной по времени, до настоящего времени не исследовались. Поэтому тема диссертационной работы является актуальной.

Степень разработанности темы

Известно, что в связи с исследованием системы уравнений Навье-Стокса и вообще задач гидродинамики вырожденные эволюционные процессы в той или иной форме изучались в конце XIX — начале XX века такими математиками и механиками, как А. Пуанкаре [124], К.В. Озеен [123], Ф.К.Г. Одквист [122], Ж. Лере [119]. В середине XX века работы СЛ. Соболева, посвященные динамике идеальной равномерно вращающейся жидкости, привлекли повышенное внимание ученых к классу математических моделей, описываемых уравнениями и системами уравнений, не разрешенными относительно старшей производной. Исследования СЛ. Соболева [72, 73, 74, 75] были продолжены его учениками и последователями P.A. Александряном [6], A.A. Дезиным, Т.И. Зеленяком, В.Н. Масленниковой [18, 24], М.В. Фокиным

1 Сразу оговоримся, что некоторые типы уравнений в частных производных имеют выделенную переменную, как правило, моделирующую время в том или ином смысле и называющуюся соответственным образом. Например, такими являются параболические уравнения или исследуемые в данной работе уравнения, не разрешимые относительно «производной по времени». Для них термин «запаздывание» впредь будет означать отклонение (в широком смысле) именно переменной времени в отрицательном направлении в аргументах некоторых искомых функций или их частных производных в уравнении.

[96] и многими другими. Поэтому не разрешенные относительно старшей производной уравнения часто называют уравнениями соболевского типа. Отметим посвященные таким уравнениям работы М.И. Вишика [13], С.А. Галь-перна [17], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскина [41], С.Г. Крейна и его учеников [25, 44], А.И. Кожанова [32, 33], Г.В. Демиденко, В.А. Успенского, И.И. Матвеевой [19, 20, 21], И.А. Шишмарева, Е.И. Кайкиной, П.И. Наумкина [27, 28]. В конечномерном случае уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, (алгебро-дифференциальные системы уравнений) исследованы в работах Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова, М.В. Булатова, A.A. Щегловой [9, 10, И, 101] и др.

В работах А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова, А.Б. Алыпина, Ю.Д. Плет-нера [37, 38, 65] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, вопросы разрушения сильных обобщенных и слабых обобщенных решений начально-краевых задач для различных классов линейных и нелинейных уравнений в частных производных, включая уравнения соболевского типа. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы поиска решений.

Математическим моделям, описываемым эволюционным дифференциальным уравнением с вырожденным оператором при производной, посвящены также работы H.A. Сидорова, Б.В. Логинова, М.В. Фалалеева (см. [69, 130] и библиографию там же) при условиях фредгольмовости оператора при производной и существования обобщенного жорданова набора. Аналогичные предположения используются в работах М.В. Фалалеева и С.С. Орлова [80, 81, 82] при исследовании интегро-дифференциальных эволюционных уравнений с вырожденным оператором при производной, моделирующих вырожденные эволюционные процессы с памятью.

В конце 1980-х сразу несколько научных групп в разных странах пришли к идее исследования математических моделей вырожденных эволюционных процессов методами теории полугрупп операторов. Отметим в этом

направлении работы А. Фавини и А. Яги [110, 111, 137], И.В. Мельниковой и ее соавторов [47, 113]. Данная диссертационная работа существенным образом использует результаты теории вырожденных полугрупп операторов, развитые в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Фёдорова [67, 68, 83, 87, 134]. В них исследованы полугруппы операторов, разрешающие эволюционные уравнения с вырожденным оператором при производной. Особенностью такой полугруппы операторов является наличие нетривиального ядра у ее единицы, которое может совпадать с ядром оператора при производной в уравнении [47,111,137], а может содержать помимо векторов из ядра оператора еще и относительно присоединенные векторы [67, 83, 87,134]. Ранее теория вырожденных полугрупп операторов была использована при изучении различных математических моделей вырожденных эволюционных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с вырожденным оператором при производной [66, 94, 134]. В данной диссертационной работе эта теория используется при исследовании вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием, описываемых интегро-дифференциальными и другими функционально-дифференциальными уравнениями с вырождением аналогичного рода.

Начиная с первой половины XX века, активно исследуются различные математические модели процессов, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями, в частности дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Отметим монографии H.H. Красовского [42, 43], Л.Э. Эль-сгольца [102, 103], Р. Беллманаи К. Кука [8], Ю.А. Митропольского, Д.И. Мар-тынюка [48, 49], В.П. Рубаника [63], А.Д. Мышкиса [50], В.Б. Колмановско-го и А.Д. Носова [36], Дж. Хейла [98], A.B. Антоневича [7], Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной [1, 2], Г.А. Каменского и А.Л. Ску-бачевского [30], Я. Прусса [125], Дж. By [136], А.Л. Скубачевского [131], В.Б. Колмановского и А.Д. Мышкиса [117], В.В. Власова и Д.А. Медведева [16] и др.

В перечисленных работах функционально-дифференциальные уравне-

ния (или их системы), описывающие исследуемые модели, по отношению к их дифференциальной части, как правило, либо являются обыкновенными дифференциальными уравнениями [43, 50, 102, 103], либо классическими уравнениями математической физики. Например, параболические функционально-дифференциальные уравнения с отклонением аргумента по времени исследовались в работах [14, 15, 118, 120, 133, 135], параболические с отклонениями аргументов по пространственным переменным — в работах [71, 127, 132], эллиптическим функционально-дифференциальным уравнениям посвящены работы [12, 61, 62, 131].

Численному решению функционально-дифференциальных эволюционных уравнений посвящены работы A.B. Кима, В.Г. Пименова и его учеников [31, 54, 55]. В этих работах, в частности, сконструировано семейство сеточных методов для численного исследования невырожденных эволюционных процессов с, вообще говоря, нелинейной функцией запаздывания на основе идеи разделения конечномерной и бесконечномерной фазовых составляющих. Помимо прочего рассмотрены задачи для функционально-дифференциально-алгебраических уравнений [46, 53], которые представляют собой математические модели вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием в конечномерном фазовом пространстве.

Среди перечисленных работ только работы М.В. Фалалеева и С.С. Орлова [80, 81, 82], В.Г. Пименова и A.B. Лекомцева [46, 53] касаются математических моделей вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием. Однако в данной работе используются совершенно другие методы. Они позволяют, в частности, рассматривать случай бесконечномерного фазового пространства и даже случай бесконечномерного ядра оператора при производной в системе уравнений, описывающей вырожденный процесс. Именно это позволяет исследовать в данной работе квазистационарную линеаризованную модель фазового поля с запаздыванием, модель Кельвина-Фойгта, и другие математические модели данного класса.

Цели и задачи

Целью диссертационной работы является:

• развитие качественных методов исследования математических моделей эволюционных процессов, формализуемых в виде дифференциальных уравнений (и систем уравнений) в частных производных с запаздыванием, не разрешимых относительно производной по времени;

• разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов для указанного класса моделей с применением современных компьютерных технологий;

• реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента при исследовании вырожденных эволюционных процессов.

Для достижения цели решены следующие задачи:

• исследование вопросов однозначной разрешимости моделирующих вырожденные эволюционные процессы начальных задач для абстрактных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с запаздывающим аргументом и с вырожденным оператором при производной;

• приложение полученных общих результатов о разрешимости к изучению различных конкретных математических моделей вырожденных эволюционных процессов, описываемых начально-краевыми задачами для уравнений и систем уравнений в частных производных с запаздыванием, не разрешимых относительно производной по времени;

• разработка численных методов решения задач указанного класса, исследование устойчивости и сходимости разностных схем, предложенных для их решения;

• формализация разработанных численных методов в программном коде и апробирование комплекса программ «Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием».

Программы позволяют задавать отрезки изменения пространственной и временной переменной, начальные и краевые значения искомых решений, определять, какие функции в системе имеют запаздывающий аргумент, и интервал запаздывания, увеличивать или уменьшать количество разбиений заданных интервалов пространственной и временной переменных. Они графически строят приближенное решение заданной начально-краевой задачи.

Научная новизна

Математические модели, учитывающие эффект последействия, описываются функционально-дифференциальными уравнениями, а именно, уравнениями с запаздыванием. Общая теория функционально-дифференциальных уравнений интенсивно развивается и находит все новые приложения в задачах исследования математических моделей различных реальных процессов. При этом модели вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием, описываемых системами уравнений с запаздыванием, не разрешимыми относительно старшей производной по времени, ранее почти не исследовались, несмотря на то, что часто встречаются при математическом моделировании [21, 65, 111, 134].

Рассмотрим модель вырожденного эволюционного процесса в общем виде. Пусть 11 и £ — банаховы пространства, операторы Ь : И —» Ф : С([—г, 0];11) —# линейны и непрерывны, оператор М : с1отМ —У $ линеен, замкнут и плотно определен в И, действует в щ £ С([—г, 0];11), щ(э) = и(Ь + $) для й £ [—г, 0]. Пусть кег Ь ^ {0}. Рассмотрим задачу

гг(*) = Л(*), ¿£[-г,0], (1)

для уравнения

Lü(t) = Mu(t) + Ф^, t € [0, оо). (2)

Если бы оператор L был непрерывно обратим, то уравнение (2) можно было бы переписать в виде

u(t) = L'lMu{t) + Ь~1Фии t е [0, оо). (3)

Различные методы исследования задач вида (1), (3) и близких к ним предложены, например, в работах [14, 15, 16, 109, 118, 120, 133, 135].

В случае kerL ^ {0} разрешимость задачи (1), (2) исследовалась в работах [80, 81, 82] в предположении фредгольмовости оператора L методами теории ветвления решений. Также для случая ker L ^ {0} численные методы решения задачи (1), (2) разработаны в [46, 53] при условии конечномерности пространств Я,

В настоящей работе однозначная разрешимость задачи (1), (2) исследована, а методы численного решения для ее конкретных реализаций разработаны при ker L ^ {0} в случае бесконечномерных банаховых пространств 11, $ без использования условия фредгольмовости оператора L. Это допускает возможность рассмотрения уравнения (2) с оператором L, имеющим бесконечномерное ядро kerL. Такая ситуация возникает, например, при рассмотрении квазистационарной системы уравнений фазового поля, исследованной в данной работе в линейном приближении. Кроме задачи Коши (1) рассмотрена также задача Шоуолтера Pu{t) = h(t), t Е [0, +оо), которая при рассмотрении процессов, моделируемых уравнением (2), часто является более естественной как с физической [56], так и с математической [138, 148, 134] точек зрения. Здесь Р — единица разрешающей полугруппы уравнения (2) при Ф = 0.

Полученные результаты об однозначной разрешимости описанных абстрактных задач использованы при изучении эволюционных процессов, моделируемых начально-краевыми задачами для не разрешимых относительно

производной по времени уравнений и систем уравнений в частных производных с запаздыванием. На примере линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздывающим аргументом разработан численный метод решения таких задач, доказана его устойчивость и сходимость. Полученный метод реализован в программе для численного решения этой системы или соответствующей системы без запаздывания.

Все полученные в данной работе результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы

В диссертационной работе предложены два различных метода качественного исследования математических моделей, описывающих вырожденные эволюционные процессы с запаздыванием. Найдены по возможности наименее ограничительные условия, гарантирующие разрешимость начально-краевых задач для систем уравнений в частных производных, возникающих при исследовании таких процессов. Разработаны вычислительные методы решения таких задач, построена разностная схема, доказана ее устойчивость и сходимость решения разностной системы уравнений к истинному решению исходной задачи. Таким образом, проведено полное исследование класса моделей и тем самым решена задача, имеющая существенное значение для математического моделирования.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования ее результатов при исследовании конкретных математических моделей, выбора их параметров, допускающих корректную постановку соответствующих начально-краевых задач. Кроме того, создан программный продукт, позволяющий численно решать такие задачи для вырожденных дифференциальных уравнений в частных производных с запаздыванием, исследовать поведение их решений при выборе различных параметров, проводить численный эксперимент. При этом предложенные разностные схемы и прове-

денные при исследовании их свойств рассуждения могут послужить отправной точкой для создания численных методов исследования других математических моделей, близких по структуре.

Методология и методы исследования

При качественном исследовании математических моделей вырожденных эволюционных процессов предложены два взаимно дополняющих друг друга метода. В основе одного из них лежат полугрупповой подход вообще [109] и методы теории вырожденных полугрупп операторов в частности [87, 134]. С помощью этих методов исходная модель разбивается на две подмодели — на взаимно дополнительных подпространствах исходного пространства. Одна из подмоделей оказывается тривиальной при определенных дополнительных условиях на ядро или образ оператора запаздывания. Другая подмодель при этом исследуется методами классической теории полугрупп операторов [109].

Другой подход заключается в использовании опять же результатов теории вырожденных полугрупп о представлении решения задачи Коши или Шоуолтера для вырожденного эволюционного уравнения и в последующем применении техники, связанной с использованием теоремы о сжимающем отображении. При этом не используются дополнительные условия на ядро или образ оператора запаздывания, как в предыдущем случае, однако возникает необходимость в выполнении некоторых ограничений на ядро интегрального оператора запздывания. На примерах с квазистационарной системой уравнений фазового поля показаны преимущества и недостатки каждого из подходов.

При численном исследовании квазистационарной системы уравнений фазового поля на основе метода разделения конечномерной и бесконечномерной фазовой составляющей, предложенного в работах [31, 54], а также классического метода разделения переменных [64] разработана разностная схема

для поиска приближенного решения. Далее, с использованием классических рассуждений [60, 64] и их местами весьма непростых модификаций, необходимых в силу специфики рассматриваемой задачи, для полученной схемы доказана устойчивость и сходимость.

На основе предложенных разностных схем построены алгоритмы поиска значений приближенных решений. Алгоритмы реализованы в виде комплекса программ, позволяющих выбрать параметры начально-краевой задачи, в том числе определить промежуток запаздывания и те искомые функции, которые в системе будут иметь запаздывающий аргумент, и найти приближенное решение этой задачи.

Положения, выносимые на защиту

1. Найдены условия однозначной разрешимости начальных задач для класса моделирующих вырожденные эволюционные процессы линейных уравнений с запаздыванием, имеющих вырожденный оператор при производной, при различных условиях на оператор запаздывания.

2. Определены условия однозначной разрешимости начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных с запаздыванием, не разрешимых относительно производной по времени: линеаризованная квазистационарная система уравнений фазового поля, система уравнений Осколкова, уравнение свободной поверхности фильтрующейся жидкости и др.

3. Разработаны эффективные разностные схемы для решения класса линеаризованных квазистационарных систем уравнений фазового поля с запаздыванием. Для предложенных разностных схем доказана устойчивость и сходимость, на их основе построены алгоритмы поиска приближенных решений соответствующих начально-краевых задач.

4. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента, позволяющих варьировать данные начально-краевых задач для решения квазистационарных систем уравнений фазового поля с запаздыванием и искать их приближенные решения.

Степень достоверности и апробация результатов

Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью методов исследования и корректным использованием математического аппарата, адекватностью рассматриваемых моделей.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садовниче-го (Москва, 2009 г.), на Международной конференции «Functional Differential Equations and Applications: Research Workshop of the Israel Science Foundation» (Ариэль, Израиль, 2010 г.), на IX Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Челябинск, 2010 г.), на Международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова (Екатеринбург 2011 г.), на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012 г.), на Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения JI.C. Соболева (Новосибирск, 2013 г.) на научном семинаре по теории операторов и дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.Е. Фёдорова на кафедре математического анализа Челябинского государственного университета

Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с В.Е. Фёдоровым научному руководителю принадлежат лишь постановка задачи и общее руководство.

1 Исследование методами теории полугрупп операторов

1.1 Эволюционные процессы с запаздыванием и теория полугрупп

Многие детерминированные системы, возникающие в естествознании при моделировании реальных изменяющихся во времени процессов, могут быть описаны абстрактной задачей Коши в виде

Существует, однако, много примеров эволюционных процессов, где изменение ?/(£) во времени Ь также зависит от истории системы. Таковым является процесс изменения популяции, описывемый уравнением

где константы (1 > О, Ь > 0, г > 0. Здесь у(Ь) — число особей популяции в момент времени (1 — показатель смертности, Ь — показатель рождаемости, г — запаздывание, связанное с периодом беременности.

Если представить это уравнение в пространстве значений 2) = С, то получим не детерминированную систему, которая не описывается теорией полугрупп операторов. Для решения этой проблемы в соответствии с биологической интерпретацией нужно расширить пространство значений так, чтобы оно содержало недавнюю информацию об истории системы.

Для уравнения (1.1.2), например, можно взять 2) = С{[—г, 0];С), т. е. пространство функций

В качестве начального значения задачи возьмем функцию Н : [—г, 0] -»С, описывающую предысторию системы, т. е. у(Ь) = /¿(¿) для £ £ [—г, 0].

г > о

(1.1.1)

у{1) = -<1у(1) + Ъу(г - г)

(1.1.2)

и : [-Г, 0]С, = + яе[-г,0].

(1.1.3)

В общей постановке мы заменим банахово пространство 2) на банахово пространство 2)г = С ([—г, 0];2)) всех непрерывных функций на [—г, 0] со значениями в 2), снабженных sup-нормами. Возьмем оператор запаздывания Ф Е £(2)г;2)) и генератор А : domA —у 2), domA С 2), сильно непрерывной полугруппы {S(t) Е £(2)) : t > 0}. Рассмотрим абстрактное уравнение с запаздыванием

где ух : [—г; 0] —> 2) определяется согласно (1.1.3). Тогда функцию у £ С1([0, +оо); 2))ПС([—г, +оо); 2)) назовем решением задачи (1.1.4), если ?/(£) € domA для всех £ > 0 и у удовлетворяет равенствам (1.1.4).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Омельченко, Екатерина Александровна, 2013 год

Список литературы

[1] Азбелев, Н.В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. — М.: Наука, 1991. — 280 с.

[2] Азбелев, Н.В. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. — М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. — 384 с.

[3] Азбелев, Н.В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием / Н.В. Азбелев, В.В. Малыгина // Изв. вузов. Математика. — 1994. — № 6. — С. 20-27.

[4] Азбелев, Н.В. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом / Н.В. Азбелев, П.М. Симонов // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 4. - С. 3-13.

[5] Азбелев, Н.В. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II / Н.В. Азбелев, П.М. Симонов // Изв. вузов. Математика. — 2000. — № 6. - С. 3-16.

[6] Александрян, P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С.Л. Соболева / P.A. Александрян // Тр. Моск. мат. об-ва. — 1960. — Т. 9. — С. 455-505.

[7] Антоневич, A.B. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход / A.B. Антоневич. — Минск: Изд-во "Университетское 1988. — 233 с.

[8] Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. - М.: Мир, 1967. - 548 с.

[9] Бояринцев, Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. Бояринцев. — Новосибирск: Наука, 2000. — 223 с.

[10] Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы: Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. — Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. — 224 с.

[11] Булатов, М.В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем уравнений / М.В. Булатов // ЖВМиМФ. - 1994. — Т. 34, № 3. - С. 360372.

[12] Варфоломеев, Е.М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике /Е.М. Варфоломеев // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2007. — Т. 21. — С. 5-36.

[13] Вишик, М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М.И. Вишик // Мат.сб. - 1956. - Т. 38, вып.1. - С. 51-148.

[14] Власов, В.В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве / В.В. Власов // Мат. сб. - 1995. - Т. 186, № 8. - С. 67-92.

[15] Власов, В.В. О разрешимости и оценках решений функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева / В.В. Власов // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова - 1999. - Т. 227. - С. 109-121.

[16] Власов, В.В. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории / В.В. Власов, Д.А. Медведев // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2008. — Т. 30. — С. 3-173.

[17] Гальперн, С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С.А. Гальперн // Тр. Моск. мат. об-ва. — 1960. - Т. 9. - С. 401-423.

[18] Дезин, A.A. О некоторых математических задачах в гидродинамике / A.A. Дезин, Т.И. Зеленяк, В.Н. Масленникова // Дифф. уравнения с частными производными. — Новосибирск: Наука, 1980. — С. 21-31.

[19] Демиденко, Г.В. Задача Коши для псевдопараболических систем / Г.В. Демиденко // Сиб. мат. журн. - 1997. - Т. 38, № 6. - С. 12511266.

[20] Демиденко, Г.В. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши-Ковалевской / Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Тр. ин-та математики СО РАН. - 1994. - Т. 26. - С.42-76.

[21] Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, C.B. Успенский. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — 456 с.

[22] Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // Докл. Академии наук СССР. — 1972. - Т. 202, № 5. - С. 1031-1033.

[23] Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравне-ни / И.Е. Егоров , С.Г. Пятков, C.B. Попов. — Новосибирск: Наука, 2000. - 336 с.

[24] Зеленяк, Т.И. Об обобщенных собственных функциях оператора, связанного с одной задачей С.Л. Соболева / Т.И. Зеленяк // Сиб. мат. журн. - 1968. - Т. 9, № 5. - С. 1075-1095.

[25] Зубова, С.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярным возмущением в банаховом пространстве / С.П. Зубова // Докл. Академии наук СССР. - 1982. - Т. 264, вып.2. — С. 286-291.

[26] Иванова, Н.Д. Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения / Н.Д. Иванова, В.Е. Фёдоров , K.M. Комарова // Вестник Чел. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. - 2012. — Вып. 15, № 26 (280). - С. 49-70.

[27] Кайкина, Е.И. Задача Коши для уравнения типа Соболева со степенной нелинейностью / Е.И. Кайкина, П.И. Наумкин, И.А. Шишмарёв // Изв. РАН. Сер. мат. - 2005. - Т. 69, № 1. - С. 61-114.

[28] Кайкина, Е.И. Периодическая задача для нелинейного уравнения Соболева / Е.И. Кайкина, П.И. Наумкин, И.А. Шишмарёв // Функц. анализ и его приложения. — 2010. - Т. 44, № 3. - С. 14—26

[29] Каменский, Г.А. О минимуме квадратичного функционала и о линейных краевых задачах эллиптического типа с отклоняющимися аргументами / Г.А. Каменский, А.Д. Мышкис, A.JI. Скубачевский // УМН. — 1979. - 34:3(207). - С. 197-198.

[30] Каменский, Г.А. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений / Г.И. Каменский, А.Л. Скубачевский. М.: Изд-во МАИ, 1992. - 190 с.

[31] Ким, A.B. ¿-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений /A.B. Ким, В.Г. Пименов. — М.: Ижевск: РХД, 2004. - 256 с.

[32] Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов // Новосибирск: Новосиб. ун-т. — 1990. - С. 131.

[33] Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // Докл. Академии наук СССР. — 1992. - Т. 326, № 5. - С. 781-786.

[34] Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной / А.И. Кожанов // Сиб мат. журн. - 1994. - Т. 35, № 2. - С. 359-376.

[35] Кожанов, А.И. Задача с косой производной для некоторых псевдопараболических и близких к ним уравнений / А.И. Кожанов // Сиб мат. журн. - 1996. - Т. 37, № 6. - С. 1335-1346.

[36] Колмановский, В.Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием / В.Б. Колмановский, В.Р. Носов — М.: Наука, 1981. — 448 с.

[37] Корпусов, М.О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях / М.О. Корпусов. — М.: Книжный дом 11 Либроком 2010. — 240 с.

[38] Корпусов, М.О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях / М.О. Корпусов. — М.: Книжный дом "Либроком 2011. — 376 с.

[39] Костин, В.А. Об аналитических полугруппах и сильно непрерывных косинус-функциях / В.А. Костин // Докл. Академии наук СССР. — 1989. - Т. 307, № 4. - С. 796-799.

[40] Костин, В.А. К теореме Соломяка-Иосиды об аналитических полугруппах / В.А. Костин // Алгебра и анализ. — 1999. — Т. 11, вып.1. — С. 2542.

[41] Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнения Соболева-Гальперна / А.Г. Костюченко , Г.И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1961. — Т. 10. — С. 273-284.

[42] Красовский, H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения / H.H. Красовский. — М.: Гостехиздат, 1959. — 211 с.

[43] Красовский, H.H. Теория управления движением / H.H. Красовский. — М.: Наука, 1968. - 211 с.

[44] Крейн, С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышов // Препринт Ин-та математики. СО АН СССР. Новосибирск. — 1979. — 18 с.

[45] Ладыженская, O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А Ладыженская. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. ли-етратуры, 1961. — 204 с.

[46] Лекомцев, A.B. Полуявный метод для численного функционально-дифференциально-алгебраических уравнений / A.B. Лекомцев, В.Г. Пименов // Изв. вузов. Математика. — 2009. — № 5. — С. 62-67.

[47] Мельникова, И.В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Альшанский // Докл. Академии наук. - 1994. - Т. 336, № 1. - С.17-20.

[48] Митропольский, Ю.А. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. —Киев: Ин-т математики, 1969. — 309 с .

[49] Митропольский, Ю.А. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. — Киев: Выща школа, 1979. — 248 с .

[50] Мышкис, А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис. — М.: Наука, 1972. — 352 с.

[51] Осколков, А.П. К теории жидкостей Фойгта / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. - 1980. - Т. 96. - С. 233-236.

[52] Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1988. - Т. 179. - С. 126-164.

[53] Пименов, В.Г. Многошаговые численные методы решения функционально-дифференциально-алгебраических уравнений /

B.Г.Пименов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2007. - Т. 13, № 2. - С. 145-155.

[54] Пименов, В.Г. Разностные схемы в моделировании эволюционных управляемых систем с последействием / В.Г.Пименов //Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 5. - С. 151-158.

[55] Пименов, В.Г. Разностные схемы численного решения уравнения теплопроводности с последействием / В.Г. Пименов, A.B. Ложников // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2011. — Т. 17, № 1. — С. 178189.

[56] Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, A.B. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 3. - С. 651-669.

[57] Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старовойтов // Дифферент уравнения. - 1993. — Т. 29, № 3. - С. 461-471.

[58] Пятков, С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков / С.Г. Пятков // Мат. сборник. - 1994. - Т. 185, № 3. - С. 93-116.

[59] Пятков, С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи /

C.Г. Пятков // Сибир. мат. журн. - 1998. - Т. 39, № 2. - С. 409-426.

[60] Рихтмайер, Р. Разностные методы решения краевых задач / Р. Рихт-майер, К. Мортон. — М.: Мир, 1972. — 420 с.

[61] Россовский, J1.E. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжением и сжатием аргументов / JI.E. Россовский // Тр. Моск. мат. о-ва. - 2001. - Т. 62. - С. 199-228.

[62] Россовский, JI.E. Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями аргументов в весовых пространствах / JI.E. Россовский // Тр. семинара им. И.Г. Петровского - 2007. - Т. 26. - С. 37-55.

[63] Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. /

B.П. Рубаник. — М. Наука, 1969. — 288 с.

[64] Самарский, A.A. Численные методы / A.A. Самарский, A.B. Гулин. — М.: Наука, 1989. - 432 с.

[65] Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников [и др.]. — М.: Физматлит, 2007. — 736 с.

[66] Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. — 1988. — № 1. —

C. 74-79.

[67] Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, № 4. — С. 47-74.

[68] Свиридюк, Г.А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами /Г.А. Свиридюк, В.Е. Фёдоров // Сиб. мат. журн. — 1998. — Т. 39, № 3. - С. 604-616.

[69] Сидоров, H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / H.A. Сидоров. — Иркутск: Иркут. ун-т, 1982. — 311 с.

[70] Скубачевский, А.Л. Общие краевые задачи для эллиптических дифференциально-разностных уравнений / А.Л. Скубачевский, Е.Л. Цветков // Тр. С.-Петербург, мат. о-ва. — 1998. — Т. 5. — С. 223-288.

[71] Скубачевский, А.Л. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения / А.Л. Скубачевский, Р.В. Шамин // Мат. заметки. - 1999. - Т. 66, № 1. - С. 145-153.

[72] Соболев, С.Л. Об одной новой задаче для систем уравнений частных производных / С.Л. Соболев // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 81, № 6. -С.1007-1009.

[73] Соболев, С.Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалевской / С.Л. Соболев // Докл. АН СССР. — 1952. — Т. 82, № 2. - С. 205-208.

[74] Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. мат. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.

[75] Соболев, С.Л. О движении симметрического волчка с полостью, наполненной жидкостью / С.Л. Соболев // Прикл. механика и техн. физика. - 1960. - № 3. - С. 20-55.

[76] Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика. — 1998. — № 3 (430). — С. 47-54.

[77] Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, К® 8. - С. 1106-1112.

[78] Сукачева, Т. Г. Задача термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Изв. вузов Математика. — 2001. — № 11 (474). — С. 46-53.

[79] Трибель, X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель. — М.: Мир, 1980. — 664 с.

[80] Фалалеев, М.В. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости /М.В. Фалалеев, С.С. Орлов // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. - 2011. - Т. 4, №. 1. - С. 118-134.

[81] Фалалеев, М.В. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения /М.В. Фалалеев, С.С. Орлов // Изв. вузов. — 2011. - №. 10. — С. 68-79.

[82] Фалалеев, М.В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмо-вым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения / М.В. Фалалеев, С.С. Орлов // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. — 2012. — Т. 5, №. 1. — С. 90-102.

[83] Фёдоров, В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами / В.Е. Фёдоров // Докл. Академии наук. — 1996. - Т. 351, № 3. - С.316-318.

[84] Фёдоров, В.Е. Полугруппы и группы операторов с ядрами./ В.Е. Фёдоров. — Челябинск: Челяб. ун-т, 1998. — 80 с.

[85] Фёдоров, В.Е. Бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов с ядрами / В.Е. Фёдоров // Сиб. мат. журн. — 1999. — Т. 40, № 6. — С. 1409-1421.

[86] Фёдоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов /

B.Е. Фёдоров // Изв. вузов. Математика. — 2000. — № 3 (454). — С. 5465.

[87] Фёдоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Фёдоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12, вып.З. —

C. 173-200.

[88] Фёдоров, В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Фёдоров // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т.37, № 12. — С. 1646-1649.

[89] Фёдоров, В.Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы / В.Е. Фёдоров // Изв. РАН. Сер. мат. — 2003. — Т. 67, № 4. - С. 171-188.

[90] Фёдоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Фёдоров // Мат. сб. 2004. - Т. 195, № 8. - С. 131-160.

[91] Фёдоров, В.Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Фёдоров // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40, № 5. - С. 702-712.

[92] Фёдоров, В.Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В.Е. Фёдоров // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 2. - С. 426-448.

[93] Фёдоров, В.Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов / В.Е. Фёдоров // Вестник. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2009. — Вып. 11, № 20 (158). - С. 12-19.

[94] Фёдоров, В.Е. О разрешимости возмущенных уравнений соболевского типа / В.Е. Фёдоров, O.A. Рузакова // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20, № 4. - С. 189-217.

[95] Фёдоров, В.Е. Обратная задача для одного класса сингулярных линейных операторно-дифференциальных уравнений / В.Е. Фёдоров, A.B. Уразаева // Тр. Воронежск. зимн. мат. шк. Воронеж: ВГУ. — 2004. - С. 161-172.

[96] Фокин, М.В. Существование сингулярного спектра и асимптотика решений задачи Соболева / М.В. Фокин // Тр. Ин-та математики СО РАН. - 1994. - Т. 26. - С. 107-195.

[97] Хатсон, B.K.JI. Приложения функционального анализа и теории операторов / B.K.JI. Хатсон, Дж.С. Пим. — М.: Мир, 1983. — 432 с.

[98] Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. — М.: Мир, 1984.

[99] Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. — М.: Мир, 1985. — 376 с.

[100] Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс. - М.: ИЛ, 1962. - 832 с.

[101] Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова. — Новосибирск: Наука, 2003. — 320 с.

[102] Эльсгольц, Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц. — М.: Наука, 1964. — 296 с.

[103] Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин — М.: Наука, 1971. — 296 с.

[104] Arino О. Delay Differential Equations and Applications / ed. О. Arino, M.L. Hbid, E. Ait Dads. — Springer. 2006. — 594 p.

[105] Caginalp, G. An analysis of a phase field model of a free boundary / G. Caginalp // Arch. Rational Mech. Anal. - 1986. - Vol. 92. - P. 205-245.

[106] Caginalp, G. Phase Field Models and Sharp Interface Limits: Some Differences in Subtle Situations / G. Caginalp // Rocky Mountain J. Math. - 1991. - Vol. 21, № 2. - P. 603-615.

[107] Coleman, B.D. Equipresence and costitutive equations for rigid heat conductors / B.D. Coleman, M.E. Gurtin, Z. Angew // Math. Phys. — 1967. - Vol. 18. - P. 199-208.

[108] Colli, P. Global smooth solution to the standard phase-field maodel with memory / P. Colli, G. Gilardi, M. Grasselli // Adv. Differential Equations. — 1997. - Vol. 3. - P. 453-486.

[109] Engel, К.-J. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.-J. Engel, R. Nagel. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2000. - 609 p.

[110] Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi // Ann. Mat. pur. ed appl. — 1993. - Vol. CLXIII. -P. 353-384.

[111] Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. — New York, Basel, Hong Kong: Marcel Dekker Inc., 1999. — 312 p.

[112] Fedorov, V.E. Applications of the theory of degenerate operator semigroups to the initial-boundary-value problems / V.E. Fedorov // Contemporary Mathematics and Its Applications. — 2003. — Vol. 9. — P. 215-223.

[113] Filinkov, A.I. Abstract Cauchy problems: three approaches / A.I. Filinkov, I.V. Melnikova. — Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, 2001. - 241 p.

[114] Giorgi, C. Well-posedness and longtime behavior of the phase-field model with memory in a history space setting / C. Giorgi, M. Grasselli, V. Pata // Quart. Appl. Math. - 2001. - Vol. 59. - P. 701-736.

[115] Grasselli, M. Hyperbolic phase-field dynamics with memory / M. Grasselli, H.G. Rotstein //J. Math. Anal. Appl. - 2001. - Vol. 261. - P. 205-230.

[116] Gurtin, M.E. A general theory of heat conduction with finite wave speeds / M.E. Gurtin, A.C. Pipkin // Arch. Rational Mech. Anal. — 1968. — Vol. 31. - P. 113-126.

[117] Kolmanovsky, V. Introduction to the Theory of Functional Differential Equations / V.Kolmanovsky, A.Myshkis. — Dortmund; Basel; New York: Kluwer, 1999.

[118] Kunisch, K. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate Co-semigroup / K. Kunisch, W. Schappacher //J. Differential Equations. - 1983. - Vol. 50, № 1. - P. 49-79.

[119] Leray, J. Essai sur mouvement plans d'un liquide visqueux que limitent des parois / J.Leray // J. Math. Pures Appl. Ser. IX. — 1934. — Vol. 13, fasc. 4. - P. 331-418.

[120] Nakagiri, S. Structural properties of functional differential equations in Banach spaces / S. Nakagiri // Osaka J. Math. — 1988. — Vol. 85. — P. 353398.

[121] Odqvist, F.K.G. Die Verfestigung von flusseisenahnlichen Korpern. Ein Beitrag zur Plastizitatstheorie / F.K.G. Odqvist // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. - 1933. - Vol. 13. - P. 360-363.

[122] Odqvist, F.K.G. Beitrage zur Nomographie. II / F.K.G. Odqvist // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1934. — Vol. 14. — P. 117-121.

[123] Oseen, C.W. Hydrodynamik / C.W. Oseen. — Akad. Verl .-Ges. Leipzig, 1927. - 337 p.

[124] Poincare, H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation // Acta Math. — 1885.- Vol. 7. P. 259-380.

[125] Prüss J. Evolutionary Integral Equations and Applications / J. Prüss // Monogr. Math. — Birkhäuser, 1993. — 87 p.

[126] Renardy, M. Mathematical problems in linear viscoelasticity / M. Renardy, W.J. Hrusa, J.A. Nohel. — N.Y.: Longman Scientific and Technical; Harlow John Wiley and Sons, Inc., 1987.

[127] Shamin, R.V. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference equation // Functional Differ. Equations. — 2001. — Vol. 8. — P. 407-424.

[128] Showalter, R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galperin type / R.E. Showalter // Pacific J. Math. - 1963. - Vol. 31 (1.3.4). - P. 787-793.

[129] Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I / R.E. Showalter // Appl. Anal. - 1975. - Vol. 5, № 1. - P. 15-22.

[130] Sidorov, N. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. — Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publisher, 2002. — 568 p.

[131] Skubachevskii, A.L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications / A.L. Skubachevskii. — Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1996.

[132] Skubachevskii, A.L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equation arising in optoelectronics / A.L. Skubachevskii // Nonlinear Analisys. — 1998. — Vol. 32, № 2. — P. 261278.

[133] Staffans, O. Some well-posed functional equations which generate semigroups / O. Staffans. — J. Differential Equations. — 1985. — Vol. 58, № 2. - P. 157-191.

[134] Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. — Utrecht; Boston: VSP, 2003. - 216 p.

[135] Wu, J. Semigroup and integral form of a class of partial differential equations with infinite delay / J. Wu // Differ. Integral Equ. Appl. — 1991. — Vol. 4, № 6 — P. 1325-1351.

[136] Wu, J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations / J. Wu // Appl. Math. Sci. — New York: Springer-Verlag, 1996. - 119 p.

[137] Yagi, A. Generation theorems of semigroup for multivalued linear

_ operators / A. Yagi // Osaka J. Math. - 1991. - Vol. 28. - P. 385-410.

Публикации автора диссертации в журналах, входящих в Перечень ведущих периодических изданий

[138] Фёдоров, В.Е. Неоднородные линейные уравнения соболевского типа с запаздыванием / В.Е. Фёдоров, Е.А. Омельченко // Сиб. мат. журн. —

2012. - Т. 53, № 2. - С. 418-429.

[139] Омельченко, Е.А. Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием / Е.А. Омельченко, М.В. Плеханова, П.В. Давыдов // Вестник ЮжноУральского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Физика. — 2013. — Т. 5, № 2. - С. 45-51.

Другие публикации автора

[140] Омельченко, Е.А. Однозадачная разрешимость начальной задачи для одного класса уравнений соболевского типа с запаздыванием / Е.А. Омельченко // Физика и технические приложения волновых процессов: материалы IX Междунар. научн.-техн. конф. — Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2010. — С. 202-203.

[141] Омельченко, Е.А. Краевая задача для вырожденного уравнения с запаздыванием / Е.А. Омельченко // Обратные и некорректные задачи математической физики: тез. докл. Междунар. конф., посвященной 80-летию со дня рождения М.М. Лаврентьева. — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2012. — С. 408.

[142] Омельченко, Е.А. Один класс вырожденных эволюционных уравнений с запаздыванием / Е.А. Омельченко // Дифференциальные уравнения и их приложения:сб. материалов Междунар. конф. — Белгород: ИПК

-Н-И-У-«БетгРУ»т^20ГЗГ^СГГ67:

[143] Омельченко, Е.А. Глобальная разрешимость уравнения соболевского типа с последействием / Е.А. Омельченко // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: тез. докл. Междунар. конф., посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева. — Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2013. — С. 465.

[144] Омельченко, Е.А. Линеаризованная модель жидкости Кельвина-Фойгта / Е.А. Омельченко // Вестник Челябинского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2013. Принято в печать.

[145] Фёдоров, В.Е. О разрешимости уравнений соболевского типа с запаздыванием / В.Е. Фёдоров, Е.А. Омельченко // Современные проблемы математики, механики и их приложений: сб. матер. Междунар. конф., по-свящ. 70-летию ректора МГУ акад. В.А. Садовничего. Москва: МГУ. — 2009. - С. 182-183.

[146] Фёдоров, В.Е. Об однозначной разрешимости неоднородных линейных уравнений соболевского типа с запаздыванием / В.Е. Фёдоров, Е.А. Омельченко // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Междунар. конф., посвященной памяти В.К. Иванова. - Екатеринбург: «Издательство УМЦ УПИ». —2011. — С. 285.

[147] Fedorov, V.E. On solvability of Sobolev type equation with delay / V.E. Fedorov, E.A. Omelchenko // Functional Differential Equations and Applications: Research Workshop of the Israel Science Foundation. Ariel University Center of Samaria, Ariel, Israel. — 2010. — P. 24.

[148] Fedorov, V.E. On solvability of some classes of Sobolev type equation with delay / V.E. Fedorov, E.A. Omelchenko // Functional Differential Equations. - 2011. - Vol. 18, № 3-4. - P. 187-199.

Сведения о регистрации программы

Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений

фазового поля с запаздыванием: Свид-во о гос. per. программы для ЭВМ

№ 2013616283 РОСПАТЕНТ/ П.Н. Давыдов, Е.А. Омельченко; заявитель

и правообладатель ФГБОУВПО «Челябинский государственный универси-

тет». —№ 2013613587; заявл.06.05.2013; гос. per. в Реестре программ для ЭВМ 02.06.2013.

Список иллюстративного материала

Рисунок 1. График приближенного решения задачи (3.1.1)—(3.1.4) для параметров (3 = —0,75, Т = 5, М = 500, N = 15, г>(а;,0) = sino: при х е (0, тг), Сх = С2 = С3 = С4 = 0. с. 71.

Рисунок 2. График приближенного решения задачи (3.1.1)—(3.1.4) для параметров /3 = —0,75, Т = 5, М = 500, N = 15, v(x,t) = (1 + t)smx при (x,t) G (0,7г) х [-1,0], Ci = 1, С2 = С3 = С4 = 0. с. 72.

Рисунок 3. Главное окно программы, с. 74.

Рисунок 4. Выбор начальных условий, с. 75.

Рисунок 5. Окно построения графика сеточного решения на конкретном временном слое функции v (красным цветом) и функции w (синим цветом), с. 76.

Рисунок 6. Задача Коши. С\ = С2 = 1 Сз - С4 = —1, история v = (1 + t) sinx, w = (1 + 0, 25¿) sin x. с. 77.

Рисунок 7. График приближенного решения задачи Шоуолтера для параметров С\ = С2 = 1, Сз = С4 = 0, история г; = (1 + £)sino;, с. 78.