Исследование математических моделей процессов государственного пенсионного страхования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гарайшина, Ирина Рашитовна

• Гарайшина, Ирина Рашитовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гарайшина, Ирина Рашитовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Исследование математических моделей числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде

1.1. Математическая модель числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде

1.2. Исследование переходных режимов математической модели числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде

1.3. Асимптотическое приближение распределения Пуассона

1.4. Исследование процессов изменения числа застрахованных лиц

1.5. Исследование процессов изменения числа застрахованных лиц при нестационарном пуассоновском входящем потоке

1.6. Резюме

ГЛАВА 2. Исследование математических моделей процессов изменения объемов денежных средств Пенсионного фонда

2.1. Анализ бюджета Пенсионного фонда Российской Федерации на 2002 год

2.2. Анализ Федеральных законов об обязательном пенсионном страховании и об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии

2.3. Математическая модель процессов изменения объемов базового капитала Пенсионного фонда

2.4. Исследование математической модели процессов изменения страхового капитала Пенсионного фонда

2.5. Исследование общей модели процессов изменения страхового капитала Пенсионного фонда при стационарном пуассоновском входящем потоке

2.6. Исследование общей модели процессов изменения страхового капитала Пенсионного фонда при нестационарном пуассоновском входящем потоке

2.7. Резюме

ГЛАВА 3. Исследование математических моделей процессов изменения накопленного капитала Пенсионного фонда

3.1. Математические модели процессов изменения накопленного капитала

3.2. Исследование математической модели процесса изменения накопленного капитала

3.3. Частные случаи математической модели процесса изменения накопленного капитала

3.4. Резюме

ГЛАВА 4. Прогноз количественных результатов пенсионной реформы

4.1. Численная реализация математической модели числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде

4.2. Численная реализация математической модели процесса изменения базового капитала Пенсионного фонда

4.3. Численная реализация математической модели процесса изменения страхового капитала Пенсионного фонда

4.4. Численная реализация математической модели процесса изменения , накопленного капитала Пенсионного фонда

4.5. Резюме 136 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 137 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей процессов государственного пенсионного страхования»

Актуальность работы. Пенсионная реформа, принятая Федеральным законом об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации [73], затрагивает интересы всех без исключения граждан Российской Федерации как в социальном, так и экономическом плане. Суть реформы заключается в переходе от государственного обеспечения по старости, слабо зависящем от индивидуального вклада пенсионера, к пенсионному страхованию, при котором трудовая пенсия будет иметь три составляющие: базовую, страховую и накопительную, при этом две последние определяются индивидуальным вкладом пенсионера за время его трудовой деятельности.

При этом государство берет на себя ответственность за величину базовой составляющей, увеличивая размер накопительной части пенсии за счет дополнительных доходов от инвестиций временно свободных денежных средств Пенсионного фонда, формируемых, главным образом, накопительной составляющей трудовой пенсии.

Исследование этих сложных процессов выполнено на качественном уровне в работах, в основном, экономистов [4, 11, 23, 42, 82-85], либо государственных деятелей [86], в то время как необходимо их детальное исследование методами математического моделирования, позволяющими получить прогноз количественных оценок результатов пенсионной реформы на достаточно далекую перспективу, так как продолжительность перехода к новой системе пенсионирования составит не менее 20 лет.

Таким образом, данная работа, в которой проводится исследование математических моделей в пенсионном страховании, является, безусловно, актуальной.

Состояние проблемы. Страхование - одна из древнейших категорий общественно-производственных отношений. Эволюцию страхового дела рассматривают в своих работах Гвозденко А.А., Дегтярев Г.П., Пылов К.И. и др. [11, 23, 63]. Страхование в России имеет глубокие корни [23, 63]. Начало истории развития страхового дела в России своими корнями уходит к началу 18 века, когда при Государственном банке в 1786 году была создана Страховая Экспедиция, в функции которой вменялось проведение страхования строений. Вскоре появляются такие виды страхования как страхование имущества, страхование грузов, страхование от несчастного случая, долгосрочное страхование жизни. В годы советской власти особое развитие получает социальное страхование, декретом «О государственном имущественном страховании» положено начало созданию системы государственного страхования - Госстрах. В 1992 система Госстраха преобразована в систему Росгосстраха. Государственные и муниципальные страховые предприятия преобразуются в акционерные страховые общества. Федеральным законом об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации [73] года регламентирован переход от пенсионного обеспечения к пенсионному страхованию.

Проблемами страхования в нашей стране занимаются экономисты (Александров А.А., Гвозденко А.А., Дегтярев Г.П., Денисова И.П., Саркисов С.Э., Шахов В.В., Шихов А.К. и др. [4, 11, 23, 25-27, 42, 69, 82-85]), что, на наш взгляд, не совсем верно, так как для решения этих проблем необходимо привлекать методы математического моделирования, которыми владеют математики, экономисты-математики и специалисты других направлений. Такой подход реализует так называемая актуарная математика [67, 89, 97, 98], методы которой основаны на теории ^ вероятностей [10, 18, 64], математической статистике [58] и других математических дисциплинах.

Считается, что первыми работами по математической теории страхования являются работы Ф. Лундберга и X. Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования. Ее описание мож-4 но найти, например, в монографии Э. Штрауба [87]. В публикациях, посвященных изучению классической модели, в основном исследуются вероятности разорения и выживания страховой компании, принципы выбора нагрузки страховой премии, анализируются время дожития, вероятность наступления страхового случая, страховые тарифы и страховые возмещения. щ> В то время как, например, в пенсионном страховании, а также в других видах страхования, определяющее значение имеет процесс изменения числа заключенных договоров и продолжительности срока страхования. Эти процессы, очевидно, являются случайными, поэтому при анализе страховых процессов необходимо использовать модели и методы теории случайных процессов [8,64].

Наиболее адекватными математическими моделями процессов изменения числа заключенных договоров страхования являются процессы теории массового обслуживания [19, 50, 52, 57, 65, 68]. Такой подход рассматривается в работах Ахме-довой Д.Д.[5, 6], Глуховой Е.В., Капустина Е.В. [14-17], Змеева О.А. [29-41], Лившица К.И. [46, 47, 56], Терпугова А.Ф. [в, 39-41] и ряда других авторов.

Системы массового обслуживания, используемые для моделирования числа застрахованных лиц при пенсионном страховании, обладают существенной особенностью, заключающейся в том, что необходимо рассматривать двухфазное обслуживание, отражающее период, когда застрахованный работает, а страхователь оплачивает страховые взносы, и период, когда застрахованный является пенсионером, тогда выплату пенсий финансирует Пенсионный фонд.

Исследованию таких процессов изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, и изменения объемов денежных средств фонда и посвящена данная диссертационная работа.

Целью данной работы является построение и исследование математических моделей, определяющих результаты пенсионной реформы, количественными показателями которой являются размер пенсии и величина накопленных временно свободных денежных средств Пенсионного фонда, формирующих инвестиционный фонд государства.

Реализуя эту цель, необходимо:

- построить математическую модель процесса изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, в виде бесконечнолинейной двухфазной системы массового обслуживания;

-провести исследование построенной математической модели, определив ее основные вероятностно-временные характеристики;

- построить математическую модель изменения объемов временно свободных денежных средств и провести ее исследование;

- оценить влияние уровня инфляции и доходности инвестиционных проектов на результаты пенсионной реформы;

-построить прогноз оценки величины пенсии и объема временно свободных денежных средств Пенсионного фонда на достаточно продолжительный горизонт планирования.

Методика исследования. Предлагается в качестве математической модели числа застрахованных лиц рассмотреть бесконечнолинейную двухфазную систему массового обслуживания, а процесс изменения накопленного капитала определить дифференциальным соотношением, включающим число застрахованных лиц; провести исследование этих моделей методами теории случайных процессов, включая гауссовские и диффузионные, теории стохастических дифференциальных уравнений, методами асимптотического анализа марковизируемых систем.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

- предложена математическая модель процесса изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде в виде бесконечнолинейной двухфазной системы массового обслуживания;

- показано, что в стационарном режиме распределение вероятностей их значений является пуассоновским с параметром, определяемом только интенсивностью входящего потока и средним значением времени обслуживания, не зависящим от вида функции распределения времени обслуживания;

- доказано, что в асимптотической модели двумерный случайный процесс, характеризующий изменение числа работающих пенсионеров, можно аппроксимировать двумерным стационарным гауссовским процессом, найдена его матричная корреляционная функция;

- предложены математические модели процессов изменения величины базового, страхового и накопленного капитала Пенсионного фонда;

- найдены явные выражения, характеризующие изменения с течением времени средних значений величины пенсии и объема накопленного капитала в зависимости от уровня инфляции;

-доказано, что случайный процесс, характеризующий изменение накопленного капитала, является нестационарным гауссовским процессом, найдена его корреляционная функция;

- получены прогнозные оценки средних значений трудовой пенсии и величины накопленного капитала на перспективу.

Эти результаты, выносимые на защиту, и составляют научную новизну диссертационной работы. ш

Теоретическая ценность работы состоит в том, что предлагаются математические модели и методы их исследования для процессов, количественно характеризующих результаты пенсионной реформы в Российской Федерации, т.е. разработана теоретическая база таких исследований.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволяют проводить количественный анализ результатов пенсионного страхования при возможных вариантах его реформы. Это проиллюстрировано численными расчетами результатов пенсионной реформы в Российской Федерации на основе Бюджета Пенсионного фонда за 2002 год, текущего уровня инфляции, страховых тарифов, установленных Федеральным законом об обязательном пенсионном т страховании от 15 декабря 2001 года.

Краткое содержание работы

В первой главе исследуются процессы изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде РФ. В качестве математической модели предлагается бесконеч-нолинейная двухфазная система массового обслуживания, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с параметром имеющим смысл среднего числа новых лиц, застрахованных за единицу времени (за один год).

Каждая заявка, поступающая в систему, проходит две фазы. Первая фаза системы соответствует периоду трудовой деятельности застрахованного лица, в течение которого страхователь уплачивает в Пенсионный фонд страховые взносы. Вторая фаза соответствует периоду выплаты застрахованному пенсии из средств Пен* сионного фонда. Полагаем, что длительность пребывания лица на каждой фазе является экспоненциально распределенной случайной величиной с заданным средним значением у. первой фазы и у - для второй. Щ / Н-2

Завершив пребывание на первой фазе заявка с вероятностью г переходит на ^ вторую фазу обслуживания, а с вероятностью 1 - г покидает рассматриваемую смо.

Обозначим / - число застрахованных лиц на первой фазе, a j - их число на второй фазе.

Для исследования математической модели введем вероятности P(i,j,t) = P(i(t) = i,j(t) = j). В работе показано, что распределение P(i,j,t) удовлетворяет системе уравнений + i+li2j)P{i,j,t) = XP(i-l,j,t) + (l-r)[il(i + \)P(i + l,j,t) + ф! (/ +1 )P(i +1, j -1,0 + И2С/ + W, j + l0 •

В пункте 1.2 проводится исследование переходных режимов данной математической модели. Решение указанной системы уравнений осуществляется методом производящих функций, что позволяет установить, что число работающих лиц, застрахованных в Пенсионном фонде и число вышедших на пенсию в один и тот же момент времени t как в стационарном, так и нестационарном режиме являются стохастически независимыми пуассоновскими случайными величинами.

В пункте 1.4 осуществляется более детальное исследование процессов {/(/), У(/)} методом асимптотического анализа, для чего выполняется замена вида: is = x(t), js = y(t), -^-P(i,j,t) = n(x,y,t,E).

Здесь .y(f) имеют смысл асимптотически среднего нормированного значения числа работающих и пенсионеров, застрахованных в Пенсионном фонде РФ. Доказываются теоремы:

Теорема 1.4.1. При X -» оо предельный процесс {а,(/),а2(0} Для последовательности случайных процессов j^'^'^yCoj является детерминированной двумерной вектор-функцией, определяемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

4(0 = -Ц2«2 СО

Теорема 1.4.2. При Х,-»оо предельный процесс {х(*),;К0} Для последовательi{t)-XaAt) j(t)-Xa2(t)\ , , ности <—— ^ \ является двумерным гауссовским диффузион Л VA. J ным процессом с коэффициентами переноса

A{(x,y,t) = -iijx, A2(x,y,t) = r\ixx-\i2y и диффузии

Вп (/) = 1 + (0, Вх2(О = (/),

22 (О = rV\a\ (О + ц2а2 (0 •

Найдены явные выражения указанных процессов.

В пункте 1.5 приведено обобщение рассматриваемой модели для нестационарного пуассоновского входящего потока. Доказаны теоремы, аналогичные предыдущим и найдены соответствующие характеристики нестационарной модели.

Во второй главе проводится анализ федеральных законов «О бюджете Пенсионного фонда Российской Федерации», «Об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации» и «Об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии в Российской Федерации», регламентирующих реформирование пенсионной системы, исследуются процессы изменения базового и страхового капиталов ПФР.

Под базовым капиталом Фонда понимаются средства, направляемые на финансирование базовой части пенсии и поступающие из федерального бюджета за счет сумм единого социального налога. Страховым капиталом Фонда называем совокупность средств, образуемых суммами страховых взносов, зачисляемые в Фонд на выплату страховой части трудовой пенсии.

В разделе 2.3 полагаем, что величина базового капитала G(/) связана с величиной страховых взносов Cj(f), поступивших в бюджет фонда в течение года за каждого работающего и величиной с2 (*) базовой части трудовой пенсии, выплаченной за год каждому пенсионеру следующим соотношением: I

G(t)= f(c1(s)x(s)-c2(s)y(s))ds. о

Показано также, что процесс G(/) является гауссовским процессом.

В работе рассмотрены две модели процесса изменения страхового капитала Пенсионного фонда. В разделе 2.4 приведена модель, в которой величина страхового капитала зависит от двух факторов: суммы поступивших страховых взносов и суммы выплаченной страховой части пенсии застрахованным лицам.

Для анализа величины страхового капитала Пенсионный фонд Российской Федерации представлен как некоторый объект, который в момент времени t характеризуется двумя случайными процессами: числом застрахованных пенсионеров j(t) и страховым капиталом фонда S(t). Таким образом, в качестве математической модели процесса изменения страхового капитала рассмотрен двумерный случайный процесс {/(/), £(/)}.

Отметим, что страховой капитал S(t) представляется здесь не реально накопленной суммой средств, а с позиции внутреннего долга государства по обязательствам перед пенсионерами.

Исходными считаем следующие положения:

1) с выходом застрахованного лица на пенсию страховой капитал фонда увеличивается на величину, равную сумме перечисленных за данное лицо страховых взносов, являющейся случайной величиной с функцией распределения А(х);

2) поток заявок на назначение трудовой пенсии по старости является простейшим с параметром \г (Я - интенсивность поступления заявок на страхование, г -вероятность достижения пенсионного возраста), имеющим смысл среднего числа лиц, достигших пенсионного возраста за единицу времени;

3) каждому пенсионеру ежемесячно выплачивается страховая часть пенсии, которая является случайной величиной с функцией распределения В(х). Суммарный поток выплат пенсий всем застрахованным пенсионерам является марковским с интенсивностью 12 j, где j - число пенсионеров;

4) продолжительность получения пенсии является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с параметром ц2 •

Показано, что в таком случае распределение вероятностей P{^j,S,t) = P{^j{t)- j,S <S{t)<S + dSydS удовлетворяет системе уравнений: dPU'S+ (lr + (ц2 +12 )j)P(j,S,t) = Xr\P(j -\,S- u,t)dA{u) + ot о oo

12 j JPG, S + u, t)dB(u) + ц2 (J +1 )P(J + 1,5,/). 0

Аналогичным представленным в пункте 1.4 способом доказываются теоремы:

Теорема 2.4.1. При \->со предельный процесс {Р(0>у(0} для последовательности процессов j — — I является детерминированной двумерной вектор-(Я, Я. I функцией вида:

3(0 = —(1 - е~м'~'о)) + Р0е-|Д2('"'о). H2V ' у(0 = !)(r + ц р ) + L 12VV,) + Уо> где «j, Z>[ - первые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения и Р(/0) = Ро> У(?о) = Уо

Теорема 2.4.2. При Я, -> со предельный процесс {у(0> 2(0} Для последователь

ГЛО-ЖО 5(0-Xy(0l ности j--,-^у— | является двумерным гауссовским диффузионным процессом с коэффициентами переноса

A(y>z>0 = -V2y> A2(y,z,t) = -\2bxy и диффузии

Вп(0 = г + ц2р(0, в22 (0 = ra2 +12^р(0, В\ 2 =га{, где ах, bx, а2, Ь2 - первые и вторые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения А(х) и В(х).

В разделе 2.5 проведено исследование второй, более общей модели процесса изменения страхового капитала Пенсионного фонда в виде трехмерного случайного процесса (i(t), j(t), S(t)j, отражающего изменение капитала в зависимости от изменения численности лиц, занятых в экономике и лиц, достигших пенсионного возраста. Изменим условия 1) и 2) вышерассмотренного случая на следующие:

1) страховой капитал фонда регулярно увеличивается на величину, равную сумме поступивших страховых взносов, перечисленных работодателями за застрахованных лиц;

2) сумма страховых взносов, поступившая за застрахованное лицо в бюджет Пенсионного фонда является значением случайной величины с функцией распределения А(х) и определяется величиной его заработной платы и ставкой страхового взноса;

3) поток заявок на страхование является простейшим с параметром А., а суммарный поток поступающих взносов - марковским с интенсивностью 12/(/), где = — число застрахованных работающих лиц в момент времени t, а множитель

12 получен в результате того, что страховые взносы перечисляются 12 раз в год;

4) продолжительность трудовой деятельности является значением случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону с параметром Ц];

5) вероятность достижения пенсионного возраста равна г.

В рамках данной задачи распределение вероятностей P(i(0-i>j(t) = j, S<S(t)<S + dS)/dS = P(iJ,S,t) удовлетворяет системе уравнений: dP(i,J,S,t) + (х + (fli +! г) / + (ц2 +12 )j) P(i, j, S, 0 = at XP(i -1, j, S, t) + p, (1 - r)(i+1 )P(i+1, j, S,t) + (/+1 )P(i + l,j-1,5,0 + p2 0' +1)?(/, j +1, S, t) +

12/ JP{i, j, S-u, t)dA(u) +12 j jP(i, j, S + u, t)dB(u). о о

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.5.1. При А.-»оо предельный процесс {a(/),P(0>Y(0} для последовательности процессов | — /(/),—j(О [ является детерминированной трехмер

А- X A, J ной вектор-функцией вида: а(0 = — (l - £Гм'('-'о)) + ос0е~^,('~'о),

-^-(l - а0р2- (1 - а0р,+ p0^"2(,/o).

Р(0 =

И2 ч 12 h

12 НА l-aoP,)^'^'-!)-1

1-а0р2) + ^р0 f

2ax 12 b,r\ ч

-1--4('-'o)+Yo.

Mi йг ; где atj , - первые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения А(х) и i?(jt), а а0, (30, у0 определяют начальные условия в момент времени Г = /0,тоесть a(f0) = a0, р(/0) = р0, у(?о) = Уо

Теорема 2.5.2. При X -> со предельный процесс {*(/), y(j), z(/)} для последоваi{t)-Xa(t) j{t)-XР(0 5(/)-Л,у(0] тельности I--j=-,-——,— j- является трехмерным гауссовским диффузионным процессом с коэффициентами переноса A2(x,y,z) = nlrx-n2y, А3 = \2alx-l2bly и диффузии

5п(/) = 1 + ц,а(/), Bl2(t) = -iilra(t), В22 (/) = ц,га(0 + ц2Р(0, В33 (/) = \2a2a(t) + , где ах, Ьь а2, Ь2- первые и вторые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения А{х) и В(х) соответственно.

В разделе 2.6 исследование модели пункта 2.5 обобщается на случай нестационарного пуассоновского входящего потока, для которого получены все вышеперечисленные характеристики.

Третья глава посвящена исследованию процесса изменения накопленного капитала Пенсионного фонда, то есть капитала, включающего в себя суммы страховых взносов, перечисленные в Пенсионный фонд на финансирование данной части пенсии и доходы от операций по инвестированию временно свободных средств пенсионных накоплений.

Вследствие того, что формирование капитала будет происходить в течение не менее 20 лет, прежде чем начнутся выплаты накопительной части пенсии, целесообразно учесть влияние инфляции.

В настоящей работе рассмотрена следующая модель процесса изменения уровня инфляции к (?): к(0) = к0, здесь v > 0 - параметр, определяющий темп снижения уровня инфляции, параметр к, имеет смысл экономически обоснованного уровня инфляции.

Таким образом, уровень инфляции в момент времени t определяется равенством к(*) = к, + (к0 -к,)е~у'.

Предполагается, что темпы изменения во времени средней заработной платы совпадают с соответствующим уровнем инфляции, а в качестве доходности 8 инвестиционных портфелей рассмотрена номинальная доходность 8(7).

Аналогично ранее рассмотренным случаям, при построении нестационарной математической модели процесса изменения во времени накопленного капитала Пенсионного фонда Российской Федерации исходим из следующих предположений:

1) поток заявок на страхование является пуассоновским с параметром А,(/);

2) сумма страховых взносов, ежемесячно перечисляемая в ПФР на финансирование накопительной части трудовой пенсии, является значением случайной величины с функцией распределения A(x,t);

3) величина накопительной части трудовой пенсии, ежемесячно выплачиваемой пенсионерам, является значением случайной величины с функцией распределения B{x,t);

4) величина выплат пенсионных накоплений в случае смерти застрахованного лица его правопреемникам, является значением случайной величины с функцией распределения D(x,i)\

5) продолжительность трудовой деятельности и продолжительность получения пенсии являются случайными величинами, распределенными по экспоненциальному закону с параметрами ^ и jli2 соответственно;

6) вероятность достижения пенсионного возраста равна г ;

7) ставка доходности инвестиционных портфелей равна 8(/).

В качестве математической модели процесса изменения накопленного капитала ПФР рассматривается трехмерный случайный процесс {/(?), где /(/)

- число работающих застрахованных лиц, у(/) - число пенсионеров, S(t) - накопленный капитал фонда. Обозначим ij{t) = j, S< S{t) < S + dS)ldS = P(iJ,S,t) . При входящем потоке на страхование с параметром Я(/) = Яр(/), распределение вероятностей P(i,j,S,t) удовлетворяет уравнению s 00 Яр (t) P(i-1, j, S, t) +12/ JP(i, j, S - u, t)dA{u, t) +12j jP(i, j, S + u, t)dB(u, t) + о о ц, r (/ +l)/>(7 +1, j-1,0 + ц2 (j +1 )P(i, j +1, S,t) +

00

1 - r)(i+1) JP(i +1 J,S + u, t)dD(u, t). 0

В разделе 3.2 приведено доказательство следующих теорем. Теорема 3.2.1. При Х->оо предельный процесс {а(0>Р(0>у(')} Для последовательности процессов < — /(0>"~У(0>~"^(0[ является детерминированной трехмер

IX X X I ной вектор-функцией вида: a(t) = e~ i t( р0емЛj а0ем + ]р(и)Л/и Л

04 У где ах (/), bx (f), dx (/) - первые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения A(x,t), B(x,t), D(x,t); a(t0) = a0, P(/0) = P0> Y('o) = Yo

Теорема 3.2.2. При X —>co предельный процесс [x{t),y(t),z{t)) для последоваf/(/)-?ta(0 j(t)-XP(r) S(t)-Xy(t)\ тельности |— j— ,-——I является трехмерным гауссовским диффузионным процессом с коэффициентами переноса

Ах(х,y,z,t) = -щх(0; A2(x,y,z,t) = \i2y(f), и диффузии

Яц(0 = р(')+Ща(0, Bn(t) = -\ixra(t), Bn(t) = ^ (l - r)a(0, B22(t)=nira{t)+[i2V(t), B23(t)=0, B33(t) = (l 2a2 (t) + v{(\-r)d2{t))a{t) + \2b2(t)V{t), где ax{t), dx({)\ «2(0' ^г(0> ~~ первые и вторые начальные моменты случайных величин, определяемых функциями распределения A(x,t) и B(x,t), D(x,t).

В пункте 3.3 представлены частные случаи математической модели процесса изменения накопленного капитала. Отдельно рассматривается процесс чистого накопления капитала, а также процесс изменения его величины по окончании переходного периода.

В четвертой главе представлена численная реализация рассмотренных моделей. Расчеты произведены с использованием системы Mathcad.

Получены сценарии изменения следующих количественных показателей:

- числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде Российской Федерации,

- величины базового и страхового капитала ПФР,

- величины накопительной части пенсии и накопленного капитала ПФР с учетом их увеличения за счет инвестирования временно свободных денежных средств.

Показано, что величина накопленного капитала будет сравнима с бюджетом страны, вместе с тем накопительная часть пенсии не позволит кардинально изменить величину трудовой пенсии.

Публикации. Основное содержание работы отражено в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Гарайшина И.Р. Асимптотическое приближение числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде // Сборник трудов межрегиональной VII научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». - Анжеро-Судженск, 2002. С. 2224.

2. Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Математическая модель числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде // Труды второй всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. - Красноярск, 2003. С.41-44.

3. Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование переходных режимов в математической модели изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 5. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 14-20.

4. Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование математической модели процесса изменения страхового капитала Пенсионного фонда//Вестник Томского государственного университета, 2003. №280. С. 109-111.

5. Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование бесконечнолинейной двухфазной системы массового обслуживания// Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети. Материалы международной научной конференции «Современные математические методы анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей» 23-25 сентября. Выпуск 17. - Гомель, 2003. С. 88-92.

6. Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование процесса изменения страхового капитала Пенсионного фонда//Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Наука и практика: диалоги нового века» (14 ноября 2003 г., г. Анжеро-Судженск). Часть III. - Томск: «Твердыня», 2003. С. 58-60.

7. Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование математической модели числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде // Материалы XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». -Новосибирск, 2003. С. 130-131.

8. Гарайшина И.Р. Математические модели процесса изменения накопленного капитала Пенсионного фонда // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 39-48.

9. Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Исследование математической модели изменения страхового капитала Пенсионного фонда при стационарном пуассоновском входящем потоке страховых взносов // Известия ВУЗов. Физика. - 2004. - №2. - С. 44-53.

10. Гарайшина И.Р. Исследование процесса изменения накопленного капитала Пенсионного фонда // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции (16-17 апреля 2004 г.). Ч. 1-Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 22-24.

11. Гарайшина И.Р., Назаров А.А. Прогноз величины накопленного капитала ПФР и накопительной части трудовой пенсии // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (11-12 декабря 2004 года) Ч. 2. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 142-144.

12. Гарайшина И.Р. Исследование процесса изменения накопленного капитала Пенсионного фонда при нестационарном входящем потоке фонда // Вестник Томского государственного университета, 2004. №284. С.46-48.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные её результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. VII межрегиональной научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2002.

2. Второй Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск, 2003.

3. XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2003.

4. Международной научной конференции «Современные математические методы анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей». Гомель, 2003.

5. Всероссийской научно-практической конференции «Наука и практика: диалоги нового века». Анжеро-Судженск, 2003.

6. VIII Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2004.

7. III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2004.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гарайшина, Ирина Рашитовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена построению и исследованию моделей, определяющих результаты пенсионной реформы, количественными показателями которой являются: размер пенсии и величина накопленных временно свободных денежных средств Пенсионного фонда, формирующих инвестиционный фонд государства. Получены следующие результаты:

- Построена математическая модель изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде в виде бесконечнолинейной двухфазной системы массового обслуживания. Методами асимптотического анализа проведено исследование модели в случае стационарного и нестационарного пуассоновского входящего потока. Показано, что случайный процесс, характеризующий изменение во времени числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, является нестационарным гауссовским процессом. Найдены его характеристики.

- Предложены математические модели процессов изменения объемов базового и страхового капиталов Пенсионного фонда. Проведено исследование этих моделей. Помимо общей модели процесса изменения страхового капитала рассмотрен случай, когда страховой капитал Фонда рассматривается с позиции внутреннего долга государства по обязательствам перед пенсионерами. Показано, что при нестационарном пуассоновском входящем потоке процесс изменения страхового капитала ПФР является нестационарным гауссовским процессом, для которого найдены его характеристики.

-Построена математическая модель процесса изменения во времени накопленного капитала ПФР при условии, что поток заявок на страхование является нестационарным пуассоновским. Проведено ее исследование, показавшее, что данный процесс является нестационарным гауссовским процессом. Найдены его характеристики. Рассмотрены частные случаи предложенной математической модели, отражающие особенности формирования объема пенсионных накоплений в переходный период, в течение которого происходит процесс чистого накопления капитала. Полученные в этом случае выражения для среднего значения величины накопленного капитала позволяют оценить объем пенсионных накоплений и размер накопительной части пенсии к моменту окончания переходного периода.

-Приведена модель изменения уровня инфляции и рассмотрен вопрос о ее влиянии на доходность инвестиционных портфелей.

-Построен прогноз оценки среднего значения численности работающих и пенсионеров, средней величины базового, страхового и накопительного капиталов фонда, а также величины накопительной части пенсии на достаточно далекую перспективу - до 35 лет. Показано, что величина накопленного капитала будет сравнима с бюджетом страны, вместе с тем накопительная часть пенсии не позволит кардинально изменить величину трудовой пенсии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гарайшина, Ирина Рашитовна, 2005 год

1. Агеев Ш.Р., Васильев Н.М., Катырин С.Н. Страхование: теория, практика и зарубежный опыт. М.: Экспертное бюро, 1998. - 276 с.

2. Акерман С.Г., Визерс С., Голубев С.Н. и др. Добровольное медицинское страхование. М.: Российский юридический издательский дом, 1995. -106 с.

3. Актуальные проблемы совершенствования пенсионного законодательства в Российской Федерации (к вопросу о пенсионной реформе) // Аналитический вестник.-2002.-№33 (189)- 105 с.

4. Александров А.А. Страхование. М.: ПРИОТ, 1998. -190 с.

5. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Модель страховой компании с нестационарным потоком входящих рисков и переменной интенсивностью наступления страховых случаев // III Всероссийская ФАМ конференция: Тез. докл. Красноярск, 2004.С. 14.

6. Ахмедова Д.Д., Терпугов А.Ф. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Изв. вузов. Физика. 2001. -№1.- С. 25-28.

7. Баскаков В.Н., Баскакова М.Е. Пенсии для мужчин и женщин. М. Московский философский фонд, 1998.

8. Боруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1988. - 480 с.

9. Бочкарева В.К. Пенсионная реформа в программе «Стратегия развития Российской Федерации до 2010 года» // Социальный мир. 2001.- №2. - С.40-45.

10. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1988. - 480 с.

11. Гвозденко А.А. Основы страхования. М.: Финансы и статистика, 1998. -300 с.

12. Гербер X. Математика страхования жизни: Пер. с англ. М.: Мир 1995.

13. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. - 354 с.

14. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности выживания страховой компании с учетом банковского процента при пуассоновском потоке взносов //

15. Изв. вузов. Физика. 2001. - № 6. - С. 7-12.

16. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972. - 287 с.

17. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. - 336 с.щ- 20. Гражданский кодекс Российской Федерации. В редакции Федеральногозакона от 12.08.1996№110-73.

18. Григелионис Б.И. Об одной предельной теореме теории восстановления // Латвийский математический сборник. 1962. - №1. - С. 25-34.

19. Давыдов Н.П. Единый социальный налог и четко отлаженная система // ^ Социальный мир.-2001.-№6.-С. 25-29.

20. Дегтярев Г.П. Социальное страхование в России: начало трудового пути // Социальный мир 2001. - №5. - С. 10-17.

21. Дегтярев Е.К. Об одном классе многофазного обслуживания для структурно-временного анализа ЦВМ//Известия АН СССР. Техническая кибернетика. -1969.-№1.-С. 64-71.

22. Денисова И.П., Романова Т.Ф. Страхование: научно-практическое пособие. Ростов н/Д.: РГЭА, 1996. - 163 с.

23. Дмитриев В.Ю. ЕСН: новые проблемы для страховщиков // Социальный мир.-2001.-№3.-С.15-16.

24. Дмитриев М.Э. Формируется единая система страхования // Социальный мир. 2001. - №4. - С. 11-12.

25. Закон Российской Федерации от 27.11.1992 №4015-1 «О страховании».

26. Змеев О. А. Диффузионное приближение в математических моделях фонда социального страхования // Труды II Всероссийской ФАМ конференции. Ч. II. Красноярск, 2002, с. 80-85.

27. Змеев О.А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах // Вестник Томского государственного университета. 2003. № 280. С. 130-135.

28. Змеев О.А. Математическая модель фонда социального страхования с детерминированными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) // Изв. вузов. Физика. 2003. № 3. - С. 83-87.

29. Змеев О.А. Математическая модель фонда социального страхования со случайными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) // Известия высших учебных заведений. Физика. 2003. - № 3. - С. 88-93.

30. Змеев О.А. Математические модели функционирования страховой компании с учетом банковского процента // Изв. вузов. Физика. 2001. - № 1. - С. 19-24.

31. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика: Сб. статей. Томск, 1999. С.67-73.

32. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов // Изв. вузов. Физика. 1999. - № 4. - С. 34-39.

33. Змеев О.А. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с интенсивностью входного потока, зависящей от числа клиентов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 1: Сб. статей.-Томск, 1999. С. 66-75.

34. Змеев О.А., Змеева Е.Е. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов // Наука и образование: пути интеграции: Тез. докл. Часть 2. Анжеро-Судженск, 1998. С. 21-22.

35. Змеев О.А., Змеева Е.Е. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с интенсивностью входного потока, зависящей от числаимеющихся рисков // Наука и образование: пути интеграции: Тез. докл. Анжеро-Судженск, 1999. С. 32-33.

36. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Наука и образование: пути интеграции: Тез. докл. Часть 2. Анжеро-Судженск, 1998. С. 23-24.

37. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний // Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция: Тез. докл. Барнаул, 1999. С.88-90.

38. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с конечным числом возможных рисков. // Качество образования и наука. Тез. доклада. Анжеро-Судженск, 1999. С. 33-34.

39. Зубец А.Н. Страховой маркетинг. М.: Издательский дом АНКИЛ, 1998. -251 с.

40. Каспина Т.И. Бухгалтерский учет в страховых организациях. М.: СО-МИНТЭК, 1998.-230 с.

41. Кац В.М. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний // Рыночная экономика России в XXI веке: Сб. трудов. -Томск: Изд-во «SPRINT», 2001. С. 238-240.

42. Кац В.М. Основные принципы моделирования деятельности страховых компаний в условиях рынка // Вторая областная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых: Сб. статей. Томск: Изд-во «Графика»', 2001.-С. 86-87.

43. Кац В.М., Лившиц К.И. Влияние расходов на рекламу на характеристики страховой компании // Изв. вузов. Физика. 2001. - № 1. - С. 29-35.

44. Кац В.М., Лившиц К.И., Назаров А.А. Исследование нестационарных бес-конечнолинейных систем массового обслуживания и их применение к анализу экономико-математических моделей // Вестник ТГУ. 2002. - №275.

45. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений: Пер. с англ. М., 1966.

46. Кениг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. М.: Радиосвязь, 1981.- 128 с.

47. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. -243 с.

48. Колесник А.П. Глобализация и пенсионное обеспечение: движение к новой парадигме // Социальный мир. 2001. - №6. - С. 24-32.

49. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложение. -М.: Мир, 1965.-302 с.

50. Краснова А.И. Страховые фонды и финансово-кредитные отношения. -М.:АНКИЛ, 1993.-77 с.

51. Кудрявцев Ю.Н. Влияние отдельных факторов на изменение расходов на выплату пособий по обязательному социальному страхованию // Социальный мир. -2001,-№6.-С. 70-72.

52. Лившиц Б.С., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория теле графика. -М.: Связь, 1979.-224 с.

53. Лившиц К.И. Вероятность разорения страховой компании для пуассонов-ской модели // Известия вузов. Физика. 1999. - № 4. - С. 28-33.

54. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том.ун-та, 1991. - 158 с.

55. Общая теория статистики. Под ред. Башиной О.Э., Спирина А.А. М.: Финансы и статистика, 2001. - 440 с.

56. Павлюченко В.Г. Необходимый шаг в реформировании и пенсионного страхования // Социальный мир. 2001. - №3. - С.2-11.

57. Павлюченко В.Г. Практика уплаты страховых взносов // Социальный мир. -2001.-№2.-С. 56-60

58. Перечень основных нормативных правовых актов по вопросам государственного социального страхования. Красноярск, 1998. - 198 с.

59. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

60. Пылов К.И. Страховое дело в России. М.: ЭДМА, 1993. 163 с.

61. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. -Томск.: Изд-во Томск, ун-та, 1988. 174 с.

62. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. М.: Мир, 1966. -256 с.

63. Российский статистический ежегодник. 2002: Стат.сб./Госкомстат России. -М., 2002. -690 с.

64. Ротарь В.И., Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики: Вып. 5. Т. 1. -1994. С. 699-779.

65. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания. М.: Советское радио, 1971.-570 с.

66. Саркисов С.Э. Личное страхование. М.: Финансы и статистика, 1998. -96 с.

67. Сербинский Б.Ю., Гарькуша В.Н. Страховое дело. Ростов н/Д.: ФЕНИКС, 2000. -384 с.

68. Ускова Н.Е. Пожилые люди и ветераны: их правовая защита // Социальный мир. 2001.-№5. - С.4-9.

69. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. М.: Изд-во МГУ, 1994.-86 с.

70. Федеральный закон от 15.12.2001 №167-ФЗ «Об обязательном пенсионном страховании в Российской Федерации».

71. Федеральный закон от 24.07.2002 №111-ФЗ «Об инвестировании средств для финансирования накопительной части трудовой пенсии в Российской Федерации».

72. Федеральный закон от 28.07.2004 №90-ФЗ «Об исполнении бюджета 11ен-сионного фонда Российской Федерации за 2002 г.».

73. Федеральный закон от 29.05.2002 №61-ФЗ «О бюджете Пенсионного фонда Российской Федерации на 2002 год».

74. Федеральный закон от 31.12.2002 №197-ФЗ «О бюджете Пенсионного фонда Российской Федерации на 2003 год».

75. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / Пер. с анг.: В 2 т. М.: Мир, 1967. Т. 1.498 с.

76. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. -М.: Физматгиз, 1963.

77. Четыркин Е.М. Пенсионные фонды. Зарубежный опыт для отечественных предприятий, актуарные расчеты. М.: АО «АРГО», 1953. - 100 с.

78. Шахов В.В. Введение в страхование. М.: Финансы и статистика, 2000. -286 с.

79. Шахов В.В. Введение в страхование: экономический аспект. М.: Финансы и статистика, 1992. - 192 с.

80. Шевченко В.И. Страховое дело. Новочеркасск: НГМА, 1998. - 96 с.

81. Шихов А.К. Страхование. М.: ЮНИТА ДАНА, 2000. 431 с.

82. Шмаков М.В. О пенсионной реформе в Российской Федерации // Социальный мир.-2001.-№5.-с. 22-23.

83. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. Цюрих, 1988.- 148 с.

84. Эльгольц JI. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -М.: Наука. 1969-424 с.

85. Эмбрехтс П., Клюппельберт К. Некоторые аспекты страховой математики //Теория вероятностей и ее применение: Вып.2. Т. 38 1993. - С. 374-416.

86. Anderson A.W. Pension Mathematics for Actuaries, 2nd ed. Winsted, Connecticut: Actecx Publications. - 1992.

87. Asmussen S. On the Ruin Problem for Some Adapted Premium Rules. Probabilistic Analysis of Rare Events: Theory and Problems of Safety, Insurance and Ruin.-Riga, 1999.-P. 3-15.

88. Bedard D., Dufresne D. Pension Funding with Moving Average Rates of Return // Scand. Actuarial J. 2001. -№ 1. - P. 1 -17.

89. Benjamin S. Driving the pension fund. J. of the Institute of Actuaries. - 1989. -№116.-P. 717-735.

90. Berin B.N. Fundamentals of Pension Mathematics- Shaumburg, Illinois: Society of Actuaries. 1989.

91. Bolton Offutt Donovan, Inc. Actuarial Aspects of Cash Balance Plans. Report for the Society of Actuaries. - 2000.

92. Boulier J-F., Michel S., Wisnia V. Optimizing investment and contributions policies of a defined benefit pension fund // Proceedings of The 6th AFIR International Colloquium, 1. 1996. - P. 593-607.

93. Bowers N., Gerber H., Hickman J. et al. Actuarial Mathematics. Shaumburg: Society of Actuaries. - 1997.

94. Bowers N., Gerber H., Hickman J., Jones D., Nesbitt C. Actuarial Mathematics, 2nd ed. Shaumburg, Illinois: Society of Actuaries. - 1997.

95. Bowers N., Hickman J., Nesbitt C. Introduction to the Dynamics of Pension Funding // Trans. Society of Actuaries, XXVIII. 1976. - P. 177-203.

96. Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. Springer Verlag, New York.-1970.

97. Cairns A. Some notes on the dynamics and optimal control of stochastic pinsion fund models in continuous time // ASTIN Bulletin. 2000.- №30. -P. 19-55.

98. Committee on Retirement Systems Research. Survey of Asset Valuation Methods for Defined Benefit Pension Plans. Shaumburg, Illinois: Society of Actuaries. -1998.

99. Cooper S., Hickman J. A Family of Accrued Benefit Actuarial Cost Methods // Trans. Society of Actuaries, XIX. 1967. - P. 53-59.

100. Crosson W.H. Basic Funding Methods and Actuarial Assumptions // Record of the Society of Actuaries. 1979. - №5.

101. Davis E.P. Pension Funds. Oxford: Clarendon Press. - 1995.

102. Daykin C.D., Penticainen Т., Pesonen M. The Practical Risk Theory lor Actuaries. Chapman and Hall. - 1994.

103. Dufresne D. Moments of Pension Fund Contributions and Fund Levels when Rates of Return are Random // J. of the Institute of Actuaries. 1988. - №115. - P. 535544.

104. Dufresne D. Pension Funding and Random Rates of Return. In: M. Goovaerts et al., eds., Insurance and Risk Theory, Reidel, Dordrecht. - 1986.

105. Dufresne D. Stability of Pension Systems when Rates of Return are Random // Insurance: Mathematics and Economics. 1989. - №8. - P. 71-76.

106. Gerber H.U. An Introduction to Mathematical R isk Theory. Wharton School. University of Pennsylvania, 1979. 164 p.

107. Grandell J. Aspect of Risk Theory. New York: Springer-Verlag, 1991.

108. Grandell J. Risk and geometric sums // Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002. P. 52-53.

109. Grandell J. Simple Approximation of Ruin Probabilities. Probabilistic Analysis of Rare Events: Theory and Problems of Safety, Insurance and Ruin. Riga, 1999, - P. 47-51.

110. Haberman S. Auto Regressive Rates of Return and the Variability of Pension Contributions and Fund Levels for a Defined Benefits Pension Scheme // Insurance: Mathematics and Economics. 1994. - №14. - P. 219-240.

111. Haberman S., Sung J.-H. Dynamic Approaches to Pension Funding // Insurance: Mathematics and Economics. 1994.-№115.-P. 151-162.

112. Haberman S., Wong L.Y.P. Moving Average Rates of Return and the Variability of Pension Contributions and Fund Levels for a Defined Benefits Pension Scheme // Insurance: Mathematics and Economics. 1997. - №20. - P. 115-135.

113. Harry H. P., Gordon E.W. Insurance risk models // Society of actuaries, 1994. -P. 442.

114. Khorasanee Z. Deterministic Modeling of Defined Contribution Pension Funding // North American Actuarial J. 1996.

115. Konstantinides D.G., Tang Q.H., Tshitsiashvili G. Sh. Two-sides Bounds for Ruin Probability under Constant Interest Force // Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk. 2002. P. 98-101.

116. Loads D. Instability in Pension Funding // Trans. Intern. Congress of Actuaries. 1992.-P. 137-154.

117. Malinovskii V.K. Approximations and upper bounds an probabilities of large deviations in the problem of ruin within finite time // Scand. Actuarial J., 1996. P. 124147.

118. Malinovskii V.K. Probabilities of Ruin when the Safety Loading Tends to Zero. // Laboratory of Actuarial Mathematics University of Copenhagen. Working Paper № 153, 1998.-36 p.

119. Maynard J.C. Pricing Defined-benefit Pension Plans with Indexed benefits // Trans. Society of Actuaries. 1992. -№44. - P. 193-246.

120. Norberg R. Sensitivity Analysis in Insurance and Finance // Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002. P. 121-124.

121. O'Brien T. A Stochastic-dynamic approach to Pension Funding // Insurance: Mathematics and Economics. 1987. - №6. - P. 129-134.

122. Owadally M.I., Haberman S. Pension Plan Asset Valuation Methods. Paper presented at the 35th Actuarial Research Conference. - Quebec City, Quebec, Canada. -2000.

123. Panjer H.Y., Willmont G.E. Insurance Risk Models. Society of Actuaries. 1992.-442 p.

124. Schmidli H. Asymptotics of ruin probabilities for controlled risk processes in the small claim case // Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002.-P. 141-142.

125. Sherris M. The Valuation of Option Features in Retirement Benefits // J. of Risk and Insurance. 1995. -№62. - P. 509-535.

126. Shieber S., Shoven J. Public Policy Toward Pensions. MIT Press. - 1997.

127. Trowbridge C.L. Fundamentals of Pension Funding // Trans. Society of Actuaries. 1952. - P. 17-43.

128. Trowbridge C.L. The Unfunded Present Value Family of Pension Funding Methods // Trans. Society of Actuaries. 1963. - P. 151-169.

129. Tshitsiashvili G.Sh. Quality Properties of Risk Models Under Stochastic Interest Force// Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002. P. 149152.