Исследование математических моделей нелинейных импульсных систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Чурилов, Александр Николаевич

• Чурилов, Александр Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чурилов, Александр Николаевич

Введение

1. Математическое описание систем с импульсной модуляцией

1.1. Импульсная модуляция. Общие понятия.

1.2. Виды импульсной модуляции. Случай импульсов конечной длительности.

1.2.1. Амплитудно-импульсная модуляция. ф 1.2.2. Частотно-импульсная модуляция первого рода

1.2.3. Частотно-импульсная модуляция второго рода

1.2.4. Широтно-импульсная модуляция первого рода

1.2.5. Широтно-импульсная модуляция второго рода

1.2.6. Комбинированная импульсная модуляция.

1.2.7. Интегральная широтно-импульсная модуляция

1.2.8. Линейная интегральная широтно-импульсная модуляция

1.2.9. Широтно-импульсная модуляция второго рода с пилообразной характеристикой

1.2.10. Фазовая модуляция с неавтономным формированием импульсов.

1.3. Виды импульсной модуляции. Случай мгновенных импульсов

1.3.1. Амплитудно-импульсная модуляция.

1.3.2. Частотно-импульсная модуляция первого рода

1.3.3. Частотно-импульсная модуляция второго рода

1.3.4. Сигма частОтно-импульсная модуляция.

1.4. Непрерывная линейная часть системы.

1.5. Некоторые известные подходы к исследованию систем с импульсной модуляцией.

4 2. Устойчивость состояний равновесия

2.1. Введение.

2.2. Постановка задачи.

2.3. Аналог критерия Попова. Общий случай.

2.4. Аналог кругового критерия. Общий случай.

2.5. Устойчивость систем с импульсами специального вида

2.6. Доказательства теорем из раздела 2.3.

2.7. Доказательства теорем из раздела 2.4.

2.8. Доказательства теорем из раздела 2.5.

2.9. Устойчивость систем с интегральной широтно-импульсной модуляцией.

3. Устойчивость процессов

3.1. Постановка задачи.

3.2. Амплитудно-импульсная модуляция.

3.3. Широтно-импульсная модуляция первого рода.

3.4. Широтно-импульсная модуляция второго рода. 3.5. Широтно-импульсная модуляция второго рода с пилообразной характеристикой.

3.6. Интегральная широтно-импульсная модуляция.

3.7. Линейная интегральная широтно-импульсная модуляция

3.8. Фазовая модуляция с неавтономным формированием импульсов

4. Устойчивость систем с мгновенными импульсами

4.1. Случай ограниченной снизу тактовой частоты.

4.2. Случай неограниченной снизу тактовой частоты

5. Стабилизация импульсным сигналом

5.1. Постановка задачи глобальной стабилизации.

5.2. Стабилизация с помощью амплитудно-широтной модуляции

5.3. Стабилизация с помощью частотной модуляции.

5.3.1. Простейший случай.

5.3.2. Общий случай.

6. Колебания систем с ШИМ

6.1. Постановка задачи.

6.2. Широтно-импульсная модуляция первого рода.

4- 6.3. Широтно-импульсная модуляция второго рода.

6.4. Интегральная широтно-импульсная модуляция.

6.5. Линейная интегральная широтно-импульсная модуляция

6.6. Системы с переменной структурой линейной части

Т. Колебания систем с ЧИМ

7.1. Общий случай вынужденных колебаний.

7.2. Случай доминирующего собственного числа для ЧИМ

7.3. Случай доминирующего собственного числа для ЧИМ

8. Широтно-импульсные системы фазовой синхронизации

8.1. Математическая постановка задачи.

8.2. Стационарные режимы системы сихронизации

8.3. Условия синхронизма.

8.4. Доказательства теорем о стационарных режимах

8.5. Доказательства теорем о синхронизме.

9. Автоколебания в системах с импульсной модуляцией 221 # 9.1. Постановка задачи.

9.2. Условия автоколебаний.

9.3. Доказательства теорем об автоколебательности.

10. Вспомогательные утверждения

10.1. Управляемость, наблюдаемость, невырожденность, гур-вицевость.

10.2. Матричные уравнения Ляпунова и теоремы об инерции

10.3. Лемма Якубовича-Калмана

10.4. Вспомогательные утверждения, связанные с леммой Якубовича-Калмана

10.5. Оценки одного функционала от решений матричных уравнений

10.6. Разрешимость матричных неравенств, встречающихся при исследовании систем с ШИМ.

10.7. Разрешимость матричных неравенств, встречающихся при исследовании систем с ЧИМ.

10.8. Различные утверждения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей нелинейных импульсных систем управления»

Эта диссертационная работа посвящена исследованию математических моделей систем с импульсной модуляцией. Точное математическое описание системы с импульсной модуляцией будет дано в следующих параграфах. Неформально процесс импульсной модуляции может быть описан следующим образом. Некоторое устройство (импульсный модулятор) вырабатывает последовательность импульсов. Импульсы последовательности имеет набор стандартных характеристик: амплитуду, частоту следования, фазу, ширину. Под воздействием входного сигнала модулятора (сигнала ошибки) некоторые из этих характеристик меняются (модулируются). Например, чем больше (в каком-то смысле) сигнал ошибки, тем больше может быть амплитуда или ширина импульса, или тем меньше длина тактового (межимпульсного) интервала. В математическом плане модулируемая характеристика является функционалом, зависящем от входного сигнала модулятора. Обычно эта зависимость существенно нелинейна и определяется довольно сложными функциональными соотношениями. С технической точки зрения импульсные устройства отличаются необычайной простотой реализации, малыми габаритами, малой энергоемкостью и высокой надежностью. Так, при отстутствии модуляции амплитуды сигнал на выходе модулятора обычно принимает не более трех значений (±£/ и 0), что легко достигается при помощи современных электронных устройств. Указанные преимущества особенно важны при условиях, когда ресурсы управления ограничены (авиационная техника, космическая техника).

Системы с импульсной модуляцией имеют две основные области технических приложений: задачи связи и задачи управления. В данной работе рассматриваются математические модели импульсных систем, применяемых главным образом в системах управления. Другая особенность этой работы — рассмотрение классов импульсных систем, для которых математические модели в дискретном времени (в виде разностных схем) мало эффективны, поэтому более целесообразно анализировать их в непрерывном времени. И наконец, мало внимания уделяется системам с амплитудной модуляцией, которые достаточно хорошо изучены. Основные усилия сосредоточены на изучении систем с широтно-импульсной, частотно-импульсной и комбинированной модуляцией. Остановимся подробнее на некоторых приложениях подобных систем.

Системы управления с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) имеют давнюю историю. По-видимому первое описание ШИМ в технической литературе дано в работе 1897 года [168], где с ее помощью решается задача регулирования температуры в печи. В курсе лекций Н.Е. Жуковского, прочитанном в 1908-09 г.г. [63], рассматривается система регулирования хода паровой машины с отсечкой пара, где также используется ШИМ. В настоящее время системы с ШИМ распространены очень широко. Например, в электронной базе данных Expanded Academic ASAP содержится 421 ссылка на публикации по этой тематике за последние годы. Большинство современных приложений ШИМ относятся к электротехнике. В частности, на базе ШИМ строятся преобразователи напряжения в устройствах постоянного тока (см., например, монографии [56,65,201,212], глава в монографии [195] и статьи [64,147,208]). Для систем управления электроприводом используются также тиристорные преобразователи, математическое описание которых приводит к более сложным моделям с непрямоугольной формой импульсов [93].

Другая важная область использования систем с ШИМ связана с космической техникой (управление ориентацией космических аппаратов [20,100,114,175], гашение колебаний [148]). В [145] описана система с ШИМ, используемая для управления радаром. Известны приложения ШИМ к механическим системам. Например, в [176] описана механическая система с ШИМ, предназначенная для стабилизации перевернутого маятника, а в [207] — система с ШИМ для управления роботом-манипулятором. В [96] приведено описание импульсной системы управления механическими вибраторами.

В [22] описаны модели промышленного и транспортного роботов с приводами на основе ШИМ и ЧИМ, модели автоматического регулирования температуры теплоносителя (ЧИМ), производственной системы управления параметрами микроклимата (ЧИМ). В монографии [91] приведены многочисленные примеры основанных на ЧИМ и ШИМ систем управления теплотехническими объектами (системы регулирования температуры теплоносителя, температуры расплава и др.)- В [80] описана система с ЧИМ для регулирования дозировочных насосов, применяемых при изготовлении смесей, а также система управления ориентацией космического аппарата.

Системы с импульсной модуляцией используются в некоторых моделях нейронных сетей. В частности, с этой целью рассматривают ЧИМ [45,197] или ШИМ [160,190].

За последние годы на эту тему защищен ряд диссертаций, в том числе и на соискание ученой степени доктора наук [8,17,66,67,105]. Они, как правило, посвящены изучению конкретных технических систем и используют непосредственное моделирование исходных уравнений.

С математической точки зрения существует несколько подходов к системам с импульсной модуляцией. Во-первых, их можно рассматривать как частный случай функционально-дифференциальных уравнений [1] и попытаться применить общие результаты этой теории. Во-вторых, импульсные системы можно рассматривать в рамках нового направления — теории гибридных систем. Такая точка зрения проводится в работах [187,188]. В третьих, некоторые виды импульсной модуляции (частотно-импульсная или временная) можно изучать как разновидность известных в механике систем с импульсным воздействием (с толчками). (См., например, [14,92] и монографии [103,183].) Близкий подход содержится также в [68].

К сожалению, системы с импульсной модуляцией столь сложны и специфичны, что достичь практически значимых результатов путем применения общих теорий пока не удается, хотя развитие общих подходов, безусловно, является перспективным.

Важной особенностью многих видов импульсной модуляцией является отсутствие непрерывной зависимости решений от начальных данных. Более того, для некоторых математических моделей и сами траектории системы терпят разрыв. В связи с этим математическое исследование импульсных систем существенно сложнее, чем исследование обычных непрерывных систем. Намного чаще, чем для систем других классов встречаются явления хаотизации (они наблюдаются даже в некоторых практически важных системах первого порядка [70,71,144], а для систем второго и третьего порядка являются типичным поведением [65,147]). Поэтому непосредственное численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих модели импульсных систем, встречает серьезные затруднения.

В данной работе развиты несколько новых подходов к качественному исследованию математических моделей импульсных систем. Первый из них состоит в развитии частотных методов анализа качественного поведения решений. Эта линия исследований восходит к работам В.М. Попова, В.А. Якубовича и Р. Калмана, посвященным абсолютной устойчивости. Основной метод исследования устойчивости, используемый в данной работе, носит название метода усреднения. Он объединяет идеи теории абсолютной устойчивости с усреднением импульсного сигнала. Полученные таким образом критерии устойчивости имеют традиционный для технических приложений вид частотных неравенств. Для численной проверки условий устойчивости могут использоваться альтернативные формулировки в виде линейных матричных неравенств, для решения которых имеются хорошо разработанные алгоритмы. Метод усреднения успешно применяется в диссертации не только для исследования вопросов устойчивости (главы 2, 3), но также для изучения стабилизации (глава 5), синхронизации (глава 8) и автоколебаний (глава 9).

Другая важная задача, которая рассматривается в диссертации, это задача существования периодических решений (главы б, 7). Для нее известны традиционные подходы, основанные на методах уравнений периодов и гармонического баланса. В диссертации развит иной поход, использующий метод неподвижной точки. Он базируется на известных работах М.А. Красносельского, изучавшего неподвижные точки опре-ратора сдвига по траекториям. Неподвижная точка такого оператора отвечает периодическому решению системы. Проблема состоит в том, для систем с импульсной модуляцией оператор сдвига по траекториям большей частью разрывен, поэтому известные принципы неподвижной точки неприменимы. Для преодоления этой трудности строятся выпуклые замкнутые области в фазовом пространстве системы, которые инвариантны относительно сдвига вдоль траекторий системы и в которых этот оператор сдвига непрерывен. Условия существования таких областей имеют вид неравенств, включающих Нч-норму (норму Хар-ди) передаточной функции линейной части системы. Для вычисления ^2нормы в настоящее время имеются простые и эффективные алгоритмы.

В целом диссертация посвящена развитию качественных аналитических методов исследования математических моделей импульсных систем автоматического управления для использования на предварительном этапе математического моделирования. Решается задача выбора параметров математической модели импульсной системы для обеспечения желаемых свойств этой системы (устойчивости, существования периодических решений, синхронизации и др.). Полученные критерии ориентированы в первую очередь на последующее использование программных сред МаЫаЬ и БсПаЬ в рамках известных методологий моделирования (см., например, [5,6]). Вопросы практической проверки критериев, полученных в диссертации, обсуждаются в главе 11.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чурилов, Александр Николаевич, 2002 год

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 278 с.

2. Айвазян Э.Ю., Гелиг А.Х. Устойчивость асинхронных импульсных систем с комбинированной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1993. № 4. С. 108-114.

3. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 140 с.

4. Айзерман М.А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости «в большом» динамических систем // Успехи математ. наук. 1949. Т. 4. Вып. 4. С. 186-188.

5. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб: Наука, 1999. 467 с.

6. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. СПб: Наука, 2001. 286 с.

7. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1969. 915 с.

8. Анохин В.В. Моделирование и контроль радиотехнических устройств с широтно-импульсным управлением / Автореф. дисс. на соискание ученой степени доктора техн. наук, спец. 05.12.17. СПб, 2000.

9. Антонова H.A. О простейших периодических режимах в системах импульсного регулирования с ШИМ-I и ШИМ-П // Автоматика и телемеханика. 1975. № 2. С. 46-50.

10. Антонова H.A. Существование и устойчивость периодических режимов частотно-импульсных систем первого рода // Автоматика и телемеханика. 1976. № 11. С. 56-62.

11. Антонова H.A. Существование периодических режимов частотно-импульсных систем второго рода // Автоматика и телемеханика. 1976. № 12. С. 58-66.

12. Афонин А.П., Крейнин Г.В., Янбулатов Р.И. Об одной позиционной системе с пневматическим поршневым двигателем // Машиноведение. 1976. № 4. С. 25-31.

13. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические ситемы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969. 300 с.

14. Барбашин Е.А. Об устойчивости по отношению к импульсным воздействиям // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. № 7. С. 863871.

15. Блягоз З.У., Релиз А.Х. Широтно-импульсная система синхронизации // Автоматика и телемеханика. 1978. № 8. С. 55-60.

16. Бромберг П.В. Устойчивость и автоколебания импульсных систем регулирования. М.: Оборонгиз, 1953. 384 с.

17. Букреев В.Г. Адаптивные регуляторы в широтно-импульсных системах управления электромеханическими объектами / Авто-реф. дисс. на соискание ученой степени доктора техн. наук, спец. 05.13.17. Томск, 1998.

18. Буркин И.М., Якубович В.А. Частотные условия существования двух почти периодических решений у нелинейной системы автоматического регулирования // Сибирский математ. журн. 1975. Т. 16. № 5. С. 916-924.

19. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М.: Энергия, 1974. 336 с.

20. Волосов В.В., Воронова Л.И., Радченко И.Ф., Чеховой Ю.Н. Исследование частотно-импульсной системы стабилизации космического летательного аппарата // Космические исследования. 1973. Т. 11. Вып. 3. С. 360-368.

21. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы. М.: Энергоиздат, 1981. 304 с.

22. Время-импульсные системы автоматического управления / Под ред. И.М. Макарова. М.: Наука, 1997. 224 с.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

24. Гелиг А.Х., Галимова А.Ф. Свойства решений интегродифферен-циальных уравнений, описывающих импульсные системы фазовой синхронизации // Вестник Ленинград, ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1989. Вып. 1. С. 7-10.

25. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В., Чурилов А.Н. Устойчивость одного класса функционально-дифференциальных уравнений Ито // Вестник СПб ун-та, Сер. 1. 1994. Вып. 2. № 8. С. 3-9.

26. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость нелинейных импульсных систем при случайных возмущениях параметров // Автоматика и телемеханика. 1995. № 11. С. 140-147.

27. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость функционально-дифференциальных уравнений Ито с монотонной нелинейной характеристикой // Вестник СПб ун-та, Сер. 1. 1995. Т. 28. Вып. 4. С. 3-7.

28. Гелиг А.Х., Каретный О.Я., Юдкевич М.Л. Устойчивость и предельная ограниченность процессов в системах с широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1988. № 5. С. 31-41.

29. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

30. Гелиг А.Х., Льянова Н.И. Круговой критерий устойчивости нелинейных импульсных систем с новым видом квадратичных связей // Автоматика и телемеханика. 1988. № 6. С. 33-39.

31. Гелиг А.Х., Морговский Ю.Я. Устойчивость в целом систем с неавтономным формированием импульсов и фазовой модуляцией первого рода // Автоматика и телемеханика. 1976. № 10. С. 41-47.

32. Гелиг А.Х., Морговский Ю.Я. Устойчивость стационарного состояния систем с неавтономным формированием импульсов и фазовой модуляцией второго рода // Автоматика и телемеханика. 1976. № Ц. С. 63-69.

33. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в широтно-импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1986. № 11. С. 37-44.

34. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Исследование ^-периодических режимов в широтно-импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1989. № 2. С. 30-39.

35. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в широтно-импульсных системах с переменной структурой линейной части // Автоматика и телемеханика. 1990. № 12. С. 94-104.

36. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во СПб ун-та, 1993. 266 с.

37. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в системах с частотно-импульсной модуляцией второго рода // Автоматика и телемеханика. 1995. № 10. С. 86-93.

38. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в частотно-импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1995. № 7. С. 91-98.

39. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Неосцилляторность нелинейных импульсных систем // Нелинейные динамические системы. Вып. 1. / Под ред. Г.А. Леонова. СПб: Изд-во СПб ун-та, 1997. С. 78-86.

40. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Об устойчивости в целом систем с импульсным воздействием // Дифференциальные уравнения. 1997. № 6. С. 748-753.

41. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические решения одного класса функционально-интегральных уравнений, описывающих динамику асинхронных импульсных систем // Вестник СПб ун-та, Сер. 1. 1997. Вып. 3. № 15. С. 20-26.

42. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Автоколебания в импульсной системе с несколькими модуляторами // Вестник СПб ун-та, Сер. 1. 1999. Вып. 2. № 8. С. 3-8.

43. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Динамика систем с импульсной модуляцией // Нелинейная теория управления: Динамика, управление, оптимизация. М.: Наука, Физматлит, 2001. С. 314-341.

44. Гелиг А.Х. Абсолютная устойчивость нелинейных импульсных систем с широтной и временной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1968. № 7. С. 33-43.

45. Гелиг А.Х. Об устойчивости математической модели нейронной сети // Биофизика. 1968. № 2. С. 290-296.

46. Гелиг А.Х. Устойчивость импульсных систем с частотной модуляцией // Доклады АН СССР. 1969. Т. 185. № 2. С. 253-256.

47. Гелиг А.Х. Устойчивость импульсных систем с частотной модуляцией второго рода // Автоматика и телемеханика. 1971. № 11. С. 53-60.

48. Гелиг А.Х. Устойчивость многомерных асинхронных импульсных систем с частотной модуляцией второго рода // Автоматика и телемеханика. 1972. № 3. С. 52-59.

49. Гелиг А.Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1982. 192 с.

50. Гелиг А.Х. Автоколебания в нелинейных импульсных системах // Вестник Ленинград, ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1983. № 13. С. 82-85.

51. Гелиг А.Х. Метод усреднения в теории устойчивости нелинейных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1983. № 5. С. 55-64.

52. Гелиг А.Х. Автоколебания в импульсных системах с высокой тактовой частотой // Автоматика и телемеханика. 1984. № 10. С. 2329.

53. Гелиг А.Х. Условия автоколебательности нелинейных систем // Вестник Ленинград, ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1985. Вып. 1. С. 10-15.

54. Гелиг А.Х. Робастная устойчивость нелинейных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1996. № 12. С. 78-83.

55. Георгиевский B.C., Левит М.В., Якубович В.А. Частотные условия автоколебаний в нелинейных регулируемых системах // Автоматика и телемеханика. 1972. № 2. С. 30-39.

56. Голъц М.Е., Гудзенко А.Б., Остреров В.М., Шевченко Б.Н., Шпиглер Я.А. Быстродействующие электроприводы постоянного тока с широтно-импуЛьсными преобразователями. М.: Энерго-атомиздат, 1986. 183 с.

57. Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Сабинин Ю.А., Смирнов Г.В., Танский Е.А. Импульсные системы фазовой автоподстройки частоты. Л.: Энергоатомиздат, 1982. 88 с.

58. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: ГИФМЛ, 1963. 455 с.

59. Ерихов М.М., Островский М.Я. О существовании Т-периодиче-ских режимов в системах с ШИМ-2 // Автоматика и телемеханика. 1986. № 10. С. 169-172.

60. Ерихов М.М., Островский М.Я. Достаточные условия существования Т-периодических режимов в системах «линейной» интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1987. № 9. С. 26-30.

61. Ерихов М.М., Островский М.Я. Условия устойчивости систем с широтно-импульсной модуляцией второго рода // Известия вузов. Приборостроение. 1989. Т. 32. № 10. С. 13-18.

62. Ерихов М.М. Условия существования Т-периодических режимов в широтно-импульсных системах с синхронным скачкообразным изменением параметров // Известия вузов. Приборостроение. 1987. Т. 30. № 7. С. 17-20.

63. Жуковский Н.Е. Теория регулирования хода машин / Собрание сочинений, т. III. Гидравлика. Прикладная механика. M.-JL: ГИТТЛ, 1949. 392-492 с.

64. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Пинаев C.B., Рудаков В.Н. Детерминированные и хаотические режимы преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Известия РАН. Энергетика. 1997. № 3. С. 157-170.

65. Жусубалиев Ж. Т., Колоколов Ю.В. Бифуркации и хаос в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления. М.: Машиностроение-1, 2001. 120 с.

66. Жусубалиев Ж. Т. Теоретические и алгоритмические основы хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления / Автореф. дисс. на соискание ученой степени доктора техн. наук, спец. 05.13.06. Курск, 2002.

67. Забродин Ю.С. Преобразователи с широтно-импульсным регулированием напряжения средней мощности для электроприводов постоянного и переменного тока / Автореф. дисс. на соискание ученой степени доктора техн. наук, спец. 05.09.12. М., 1991.

68. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991. 256 с.

69. Кипнис М.М. Фазовые портреты широтно-импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1990. № 12. С. 105-115.

70. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсной системы управления // Доклады Акад. Наук (Россия). 1992. Т. 324. № 2. С. 273-276.

71. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-импульсной системе управления // Техническая кибернетика. 1992. № 1. С. 108-112.

72. Косякин A.A., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983. 334 с.

73. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 351 с.

74. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 322 с.

75. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

76. Крутъко П.Д., Максимов А.И., Скворцов JI.M. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988. 306 с.

77. Кузнецов В.П., Николаев A.B., Онацкий Я.И., Саликов U.M. К расчету электропривода с широтно-импульсным управлением // Известия вузов. Энергетика. 1973. № 6. С. 127-130.

78. Кузнецов В.П., Николаев A.B., Онацкий Я.И., Саликов U.M. К расчету систем с широтно-импульсной модуляцией // Электричество. 1974. № 3. С. 89-91.

79. Кузнецов В.П., Николаев A.B., Саликов JI.M. Синхронизация электроприводов с широтно-импульсным управлением на кратных частотах // Известия вузов. Электромеханика. 1973. № 9. С. 1025-1031.

80. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Техника, 1970. 340 с.

81. Левит М.В., Чурилов А.Н. Об оценках некоторых функционалов от решений матричных неравенств, встречающихся в теории управления // Известия вузов. Математика. 1983. № 5. С. 53-59.

82. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. Части 1, 2. СПб: Изд-во СПб ун-та, 1992. 368+164 с.

83. Леонов Г.А., Селеджи С.М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. СПб: Невский Диалект, 2002. 112 с.

84. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб: Наука, 2000. 400 с.

85. Леонов Г.А., Чурилов А.Н. Частотные условия ограниченности решений фазовых систем // Динамика систем. Горький: Изд-во Горьковского ун-та, 1976. Вып. 10. С. 3-20.

86. Леонов Г.А., Чурилов А.Н. Частотный критерий устойчивости динамических систем с угловыми координатами // Вестник Ленинград. ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1982. Вып. 3. № 13. С. 103105.

87. Леонов Г.А. Об ограниченности траекторий фазовых систем // Сибирский математ. журн. 1974. Т. 15. № 3. С. 687-692.

88. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967. 183 с.

89. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951.

90. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Наука, 1982. 271 с.

91. Макаров В.В., Лохин В.М., Петрыкин А.А. Дискретные системы автоматического управления теплотехническими объектами. М.: Наука, 1998. 224 с.

92. Милъман В.Д., Мышкис А.Д. Об устойчивости движения при наличии толчков // Сибирский математ. журн. 1960. Т. 1. № 2. С. 233-267.

93. Морговский Ю.Я. Импульсные системы управляемой структуры с тиристорными преобразованиями. М.: Энергия, 1976. 248 с.

94. Пакшин П. В. Устойчивость одного класса нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1977. № 4. С. 27-36.

95. Плисс В. А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. JL: Изд-во Ленинград, ун-та, 1958. 184 с.

96. Попков Ю.С., Ашимов A.A., Асаубаев К.Ш. Статистическая теория автоматических систем с динамической частотно-импульсной модуляцией. М.: Наука, 1988. 254 с.

97. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. 22. № 8. С. 961-979.

98. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970. 453 с.

99. Пятницкий E.G., Скородинский В.И. Численные методы построения функций Ляпунова и критериев абсолютной устойчивости в форме численных процедур If Автоматика и телемеханика. 1983. № 11. С. 52-63.

100. Радченко И.Ф., Чеховой Ю.Н. К вопросу о стабилизации космического летательного аппарата // Кибернетика и вычислит, техника. Киев: Наукова думка, 1972. Вып. 16. С. 49-54.

101. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969. 576 с.

102. Розенвассер E.H. Периодически нестационарные системы управления. М.: Наука, 1973.

103. Самойленко A.M., Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987. 286 с.

104. Скородинский В.И. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем с двумя нестационарными элементами. I. // Автоматика и телемеханика. 1981. № 9. С. 21-29.

105. Степанов В.И. Анализ устойчивости и синтез систем стабилизации напряжения с широтно-импульсной модуляцией / Дисс. доктора техн. наук в форме научн. докл., спец. 05.09.03. Омск, 1997.

106. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985. 294 с.

107. Ту Ю.Т. Цифровые и импульсные системы управления. М.: Машиностроение, 1964. 703 с.

108. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными не-линейностями. М.: Наука, 1994. 258 с.

109. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 310 с.

110. Харди Г.Г., Литлъвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.

111. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 414 с.

112. Цыпкин Я.З. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1958.

113. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. 576 с.

114. Чеховой Ю.Н. Применение прямого метода Ляпунова для синтеза частотно-импульсной системы стабилизации космического летательного аппарата // Автоматика и телемеханика. 1971. № 12. С. 55-63.

115. Чеховой Ю.Н. Релейно-гистерезисная модель частотно-импульсного модулятора второго рода // Автоматика (Киев). 1973. № 4. С. 35-38.

116. Чурилов А.Н. Частотные условия захвата в неавтономной системе фазовой автоподстройки частоты // Техника средств связи, сер. ТПС. 1977. Вып. 2(12). С. 111-117.

117. Чурилов А.Н. О решениях квадратичного матричного уравнения // Нелинейные колебания и теория управления. Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1978. Вып. 2. С. 24-33.

118. Чурилов А.Н. Частотная теорема и уравнение Лурье // Сибирский математ. журнал. 1979. Т. 20. N°. 4. С. 854-868.

119. Чурилов А.Н. О разрешимости некоторых матричных неравенств // Вестник Ленинград, ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1980. Вып. 2. № 7. С. 51-55.

120. Чурилов А.Н. Об оценках функционала, встречающегося при исследовании дискретных систем управления // Известия вузов. Математика. 1984. № 9. С. 59-65.

121. Чурилов А.Н. О разрешимости матричных неравенств // Математические заметки. 1984. Т. 36. № 5. С. 725-732.

122. Чурилов А.Н. Замечание о лемме Калмана-Сегё // Автоматика и телемеханика. 1986. № 9. С. 168-169.

123. Чурилов А.Н. О решениях квадратичного матричного уравнения, встречающегося при исследовании дискретных систем управления // Известия вузов. Математика. 1986. № 11. С. 59-65.

124. Чурилов А.Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1991. № 6. С. 95104.

125. Чурилов А.Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных импульсных систем с четным законом импульсации // Автоматика и телемеханика. 1992. № 4. С. 93-101.

126. Чурилов А.Н. Устойчивость систем с интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1993. № 6. С. 142-150.

127. Чурилов А.Н. Частотный критерий ограниченности решений фазовых систем с запаздыванием // Известия вузов. Математика. 1993. № 11. С. 77-79.

128. Чурилов А.Н. Стабилизация линейной системы с помощью комбинированной импульсной модуляции // Автоматика и телемеханика. 2000. № 10. С. 71-76.

129. Чурилов А.Н. Стабилизация линейного объекта импульсным сигналом, модулированным по частоте // Автоматика и телемеханика. 2002. № 6. С. 64-72.

130. Шепелявый А.И. О качественном исследовании устойчивости в целом и неустойчивости амплитудно-импульсных систем // Доклады АН СССР. 1970. Т. 190. № 5. С. 1044-1047.

131. Шепелявый А.И. Частотные критерии устойчивости в целом и неустойчивости широтно-импульсных систем управления // Вестник Ленинград, ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1972. Вып. 3. С. 77-85.

132. ШилъякД. Критерий неотрицательности полиномов // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (ТИ-ИЭР). 1970. Т. 58. № 9. С. 77-78.

133. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 718 с.

134. Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143. № 6. С. 1304-1307.

135. Якубович В.А. Об импульсных системах управления с широтной модуляцией // Доклады АН СССР. 1968. Т. 180. С. 283-285.

136. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сибирский математ. журн. 1973. Т. 14. № 2. С. 384-420.

137. Якубович В.А. Частотные условия автоколебаний в нелинейных системах с одной стационарной нелинейностью // Сибирский математ. журн. 1973. Т. 14. № 5. С. 1110-1129.

138. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости // Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. P.A. Нелепина. М.: Наука, 1975. С. 74-180.

139. Якубович В.А. Частотные условия колебаний в нелинейных регулируемых системах с одной однозначной или гистерезисной нелинейностью // Автоматика и телемеханика. 1976. № 12. С. 51-64.

140. Abramovich S., Koryakin Yu., Leonov G., Reitmann V. Frequenzbedingungen für Schwingungen in diskreten Systemen I. Schwingungen in Sinne von Yakubovich in diskreten Systemen // Wiss. Z. d. Techn. Univ. Dresden. 1976. V. 25. N°. 5/6. P. 1153-1162.

141. Advances in Linear Matrix Inequality Methods in Control / L. El Ghaoui and S.-I. Niculescu (editors). Philadelphia: SIAM, 1999. 400 p.

142. Andeen R.E. Analysis of pulse duration sampled-data systems with linear elements // IRE Trans. Autom. Control. 1960. V. 5. № 4. P. 306-313.

143. Andeen R.E. The principle of equivalent areas // Trans. AIEE (Applications and Industry). 1960. № 79. P. 332-336.

144. Antonova N.A. Chaos and order in pulse-width modulated control systems // Proc. 1st Internat. Conf. Control of Oscillations and Chaos. St.Petersburg, Russia, 1997, August 27-29. P. 164-165.

145. Axelby G.S. Analysis of pulse-width modulation with a variable transport lag in a rendezvous radar // IEEE Trans. Autom. Control. 1964. V. 9. № 4. P. 514-525.

146. Balas G.J., Doyle J.C., Glover K., Packard A., Smith R. //-Analysis and Synthesis Toolbox.' User's Guide. Version 3. Natlick, MA: The MathWorks, Inc., 1998. 740 p.

147. Bernardo M. Di, Budd C.J., Champneys A.R. Grazing, skipping and sliding analysis of the non-smooth dynamics of the DC/DC buck converter // Nonlinearity. 1998. V. 11. № 4. P. 859-890.

148. Bernelli-Zazzera F., Mantegazza P., Nurzia V. Multi pulse-width modulated control of linear systems // J. of Guidance, Control and Dynamics. 1998. V. 21. № 1. P. 64-70.

149. Boyd S., Ghaoui L. El, Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994. 202 p.

150. Chiang R.Y., Safonov M.G. Matlab Robust Control Toolbox. User's Guide. Version 2. Natlick, MA: The MathWorks, Inc., 1998. 230 p.

151. Churilov A.N., Gelig A.Kh. Oscillations of pulse-frequency modulated systems with distributed parameters // Proc. of the Second International Conf. "Asymptotics in Mechanics". St.Petersburg, 1997. P. 73-80.

152. Churilov A.N. Synchronization of time instants using pulse-width modulated control // 2nd Intern. Conf. "Control of Oscillations and Chaos", Proceedings. St.Petersburg, 1997, July 5-7. V. 2. P. 343-345.

153. Churilov A.N. Stabilization of a linear system by means of a combined pulse modulation // 6th Saint Petersburg Symposium on Adaptive Systems Theory. Proceedings. St.Petersburg, 1999, Sept. 7-9. V. 1. P. 47-50.

154. Control System Toolbox. For Use with Matlab. User's Guide. Version 4.2. Natlick, MA: The MathWorks, Inc., 1999. 649 p.

155. Coppel W.A. Matrix quadratic equations // Bull. Austral. Math. Soc. 1974. V. 10. № 3. P. 377-401.

156. Datta K.B. Stability of pulse-width modulated feedback systems // Int. J. Control. 1972. V. 16. № 5. P. 977-983.

157. Delfeld F.R., Murphy G.J. Analysis of pulse-width-modulated control systems // IRE IVans. Autom. Control. 1961. V. 6. № 3. P. 35-44.

158. El Ghaoui L., Nikoukhah R., Delebecque F. LMITOOL: A front-end for LMI optimization. User's Guide. Paris: ENSTA/INRIA, 1995.

159. El-Masry E.I., Yang H.-K., Yakout M.A. Implementations of artificial neural networks using current mode pulse width modulation technique // IEEE Trans, on Neural Networks. 1997. V. 8. № 3. P. 532-548.

160. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M. The LMI Control Toolbox. For Use with Matlab. User's Guide. Natlick, MA: The MathWorks, Inc., 1995.

161. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Popov-type stability criterion for the functional-differential equations describing pulse-modulated control systems // Functional Differential Equations. 1993. V. 1. P. 95-107.

162. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Frequency-domain criteria for absolute stability of nonlinear systems with various types of pulse modulation // Proc. of the third European Control Conf. ECC 95. Roma, Italy, 1995, Sept. 5-8. P. 2251-2255.

163. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Oscillations in nonlinear pulse-modulated control systems // 2-nd Russian-Swedish Control Conf. RSCC-95. St.Petersburg, 1995, Aug. 29-31. P. 90-93.

164. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and oscillations in pulse-modulated systems: a review of mathematical approaches // Functional Differential Equations. 1996. V. 3. № 3-4. P. 287-420.

165. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston, Basel, Berlin: Birkháuser, 1998. 362 p.

166. Gelig A.Kh. Frequency criterion for nonlinear pulse systems stability // Syst. Control Lett. 1982. V. 1. № 6. P. 409-412.

167. Gouy M. On a constant temperature oven //J. Physique, ser. 3. 1897. V. 6. P. 479-483.

168. Gülcür H.O., Meyer A.U. Finite-pulse stability of interconnected systems with complete-reset pulse frequency modulators // IEEE Trans. Autom. Control. 1973. V. 18. № 4. P. 387-392.

169. Hou L., Michel A.N. Moment stability of pulse-width-modulated feedback systems subjected to random disturbances // Proc. of 39th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, Australia, 2000, December 12-15. P. 2343-2348.

170. Hou L., Michel A.N. Stability analysis of pulse-width-modulated feedback systems // Proc. of 39th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, Australia, 2000, December 12-15. P. 3854-3859.

171. Hou L., Michel A.N. Stability analysis of pulse-width-modulated feedback systems // Automatica. 2001. V. 37. № 9. P. 1335-1349.

172. Hou L., Michel A.N. Stability analysis of pulse-width-modulated feedback systems with nonlinear plants // American ControlConference. Proceedings. Arlington, VA, USA, 2001, June 25-27. P. 4846-4851.

173. Hu B., Michel A.N. Stability analysis of digital feedback control systems with time-varying sampling periods // Automatica. 2000. V. 36. P. 897-905.

174. Ieko T., Ochi Y, Kanai K., Hori N., Nikiforuk P.N. Design of a pulse-width-modulation attitude control system via digital redesign // Proc. of the 14th IFAC Congress. Beijing, P.R. China, 1999, July 5-9. P. 355-360.

175. Iwata T., Yamakita M., Furuta K. PWM-type discrete VSS controller for on/off actuator system // Proc. of 39th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, Australia, 2000, December 12-15. P. 5131-5136.

176. Joseph P. J., Inbar G.F. Stability of single sign pulse frequency modulation control systems // Int. J. Control. 1975. V. 21. № 5. P. 865-878.

177. Kadota T.T., Bourne H.C. Stability conditions of pulse-width-modulated systems through the second method of Lyapunov // IRE Trans. Autom. Control/ 1961. V. 6. № 3. P. 266-275.

178. Kalman R.E. Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1963. V. 49. № 2. P. 201-205.

179. Kipnis M.M. Chaos and fractals in a pulse-duration modulated system // Proc. of Amer. Control Conf. ACC'92. Chicago, 111., 1992. P. 2238-2239.

180. Kipnis M.M. Cantor staircase, Hubbard condition and Sturmian chains in a pulse-width modulated control system // Proc. 2nd European Control Conf. ECC'93. Groningen, The Netherlands, 1993, June 28 July 1. P. 450-453.

181. Kuntsevich V.M., Chekhovoi Yu.N. Fundamentals of non-linear control systems with pulse-frequency and pulse-width modulation // Automatica (IFAC journal). 1971. V. 7. № 1. P. 73-81.

182. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of Impulsive Differential Equations. Singapore: World Scientific, 1989.

183. Leonov G.A., Ponomarenko D.V., Smirnova V.B. Frequency-Domain Methods in Nonlinear Analysis: Theory and Applications. Singapore: World Scientific, 1996. 512 p.

184. Leonov G.A., Reitmann V., Smirnova V.B. Non-Local Methods for Pendulum-Like Feedback Systems. Stuttgart, Leipzig: Teubner, 1992. 242 p.

185. Leonov G.A., Reitmann V. Attraktoreingrenzung für nichtlineare Systeme. Leipzig: Teubner, 1987.

186. Michel A.N., Ни В. Towards a stability theory of general hybrid dynamical systems // Automatica. 1999. V. 35. P. 371-384.

187. Michel A.N., Wang К., Ни В. Qualitative Theory of Dynamical Systems. The Role of Stability Preserving Mappings. New York, Basel: Marcel Dekker, Inc., 2000.

188. Min B.I., Slivinsky Ch., Hoft R.G. Absolute stability analysis of PWM systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1977. V. 22. № 3. P. 447-451.

189. Morie Т., Funakoshi J., Nagata M., Iwata A. An analog-digital merged neural circuit using pulse width modulation technique // IEICE Trans. Fundamentals. 1999. V. E82-A. № 2. P. 356-363.

190. Murphy G.J., Wu S.H. A stability criterion for pulse-width-modulated feedback control systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1964. V. 9. № 4. P. 434-441.

191. Nesterov Yu., Nemirovski A. Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming. Philadelphia: SIAM, 1994. 414 p.

192. Nikoukhah R., Delebecque F., El Ghaoui L. LMITOOL: A package for LMI optimization in Scilab. User's Guide. Paris: ENSTA/INRIA, 1998. 16 p.

193. Oi S., Kuwahara M. Stability of interconnected systems with combined pulse frequency and pulse width modulation // Int. J. Control. 1987. V. 45. № 1. P. 97-106.

194. Ortega R.} Loria A., Nicklasson P.J., Sira-Ramirez H. Passivity-Based Control of Euler-Lagrange Systems. Mechanical, Electrical and Electromechanical Applications. London: Springer Verlag, 1998. 575 p.

195. Pavlidis T., Jury E.I. Analisys of a new class of pulse-frequency modulated feedback systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1965. V. 10. № 1. P. 35-43.

196. Pavlidis T. A new model for simple neuronal nets and its application in the design of a neuronal oscillation // Bull. Math. Biophys. 1965. V. 27. № 2. P. 215-229.

197. Polak E. Stability and graphical analysis of first-order pulse width modulated sampled data regulator systems // IRE Trans. Autom. Control. 1961. V. 6. № 3. P. 28-34.

198. Popov V.M. Hyperstability and optimality of automatic systems with several control functions // Revue roumain des sei. techn., ser. electrotechn. et energet. 1964. V. 9. № 4. P. 629-690.

199. Pyatnitskiy Ye.S., Skorodinskiy V.l. Numerical methods of Lyapunov function construction and their application to the absolute stability problem // Systems Control Lett. 1982. V. 2. № 2. P. 130-135.

200. Quercioli V. Pulse Width Modulated (PWM) Power Supplies. Amsterdam, New York:' Elsevier, 1993. 310 p.

201. Ragazzini J.R., Franklin G.F. Sampled-Data Control Systems. New York: McGraw-Hill, 1958.

202. Schulz H. J. Regelungssysteme mit Impulsbreitenmodulation // Z. für Messen, Steuern, Regeln. 1964. V. 7. № 3. P. 129-133.

203. Schulz H.J. Untersuchung von Impulssystemen mit Impulsbreitenmodulator als Regeln // Z. für Messen, Steuern, Regeln. 1966. V. 9. № 5. P. 174-178.

204. Siljak D.D. Nonlinear Systems. The Parameter Analysis and Design. New York, London, Sydney, Toronto: John Wiley &; Sons, 1969. 618 p.

205. Siljak D.D. Algebraic criterion for absolute stability, optimality and passivity of dynamic systems // Proc. IEE. 1970. V. 117. № 10. P. 2033-2036.

206. Sira-Ramirez H., Orestes L.S. On the dynamical pulse-width-modulation control of robotic manipulator systems // Int. J. of Robust Nonlinear Control. 1996. V. 6. № 6. P. 517-537.

207. Sira-Ramirez H., Tarantino-Alvarado R., Llanes-Santiago O. Adaptive feedback stabilization in PWM-controllled DC-to-DC power supplies // Int. J. Control. 1993. V. 57. № 3. P. 599-626.

208. Skoog R.A., Blankenship G.L. Generalized pulse-modulated feedback systems: Norms, gains, Lipschitz constants, and stability // IEEE Trans. Autom. Control. 1970. V. 15. № 3. P. 300-315.

209. Skoog R.A. On the stability of pulse-width-modulated feedback systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1968. V. 13. № 5. P. 532538.

210. Tzafestas S.G. Pulse width and pulse frequency modulated control systems // Pulse width and pulse frequency modulated control systems, pages 41-48. IMACS, North-Holland, 1978.

211. Wu K. Pulse Width Modulated DC/DC Converters. Dordrecht: Kluwer, 1997. 234 c.

212. Ziedan I.E. Conditions for ensuring a satisfactory stability range in a PWM system using the method of Murphy and Wu // Electron. Lett. 1966. V. 2. P. 400-401.

213. Ziedan I.E. Stability criterion for PWM feedback systems containing one integrating element // Electron. Lett. 1966. V. 2. P. 402-403.