Исследование квадратичных форм Картана-Титса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Колмыков, Владислав Алексеевич

• Колмыков, Владислав Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колмыков, Владислав Алексеевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОТКЛОНЕНИЕ ФОРМЫ КАРТАНА-ТИТСА. ТОЧКА ПРИКОСНОВЕНИЯ

Введение

§1.1. Отделенные квадратичные формы

§1.2. Некоторые свойства вогнутых вершинных функций

§1.3. Понятие отклонения формы Картана-Титса

§1.4. Точка прикосновения

ГЛАВА 2. ФОРМУЛА ДЛЯ ОТКЛОНЕНИЯ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ

Введение

§2.1. Классы деревьев

§2.2. Выражение отклонения через другие характеристики дерева

§2.3. Множество отклонений деревьев

§2.4. Деревья с отклонениями 1 + 1 /п

§2.5. Отклонения и графы Дынкина

§2.6. Отклонения центрально-неотрицательно-определенных форм

ГЛАВА 3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ ГРАФОВ

Введение

§3.1. Формулы, связанные с суммированием по путям

§3.2. Характеристические многочлены периодических циклических графов

§3.3. Устойчивость периодических циклических графов

ЛИТЕРАТУРА

73

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование квадратичных форм Картана-Титса»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация в основном посвящена изучению свойств квадратичных форм Картана-Титса.

В начале мы приведем наиболее интересные результаты диссертации, чтобы сразу осветить основную проблематику наших исследований. Затем подробно опишем содержание диссертации по главам и параграфам.

Граф Кокстера - это конечный граф, каждому ребру которого сопоставлен элемент множества {3, 4, 5,..., +оо}. Такие графы играют важную роль в некоторых классификационных вопросах алгебры и анализа. С каждым графом Кокстера С связана (все определения смотрите ниже, в описании диссертации по главам и параграфам) квадратичная форма Картана-Титса Вд-

Среди графов Кокстера центральное место занимают простые и расширенные графы Дынкина (см.[3], с.241-248), т.е. связные графы Кокстера, для которых Вд > 0, соответственно В с Ё 0 (последнее означает \/хВс{х) > О Л Зхфо Вс(х) = 0).

В диссертации изучается "мера отклонения" и{Сг) нулевого конуса Вд от диагонали пространства, на котором определена эта форма. Казалось бы, что простые и расширенные графы Дынкина должны играть скромную роль в этих вопросах: самое большее, что можно ожидать, - это какая-то особенность чисел и)(С), где - граф Дынкина. Однако роль графов Дынкина оказывается неизмеримо большей.

Например, они "управляют" формулами, выражающими ш(Т) через другие характеристики дерева Т: формулы различаются в зависимости от того, какому расширенному графу Дынкина "родственно"

дерево Т (множество Т всех деревьев естественно разбивается на 5 классов:

T = v II ¿6 И ¿7 Ы ¿8 И V

см. теорему 2.1.1 и замечание к ней, и для каждого класса существует своя формула, выражающая и>(Т) через другие характеристики дерева Т (теоремы 2.2.1 - 2.2.3)).

Удивительно и то, что графы Дынкина управляют решениями теоретико -графовых задач типа: найти все деревья, для которых со(Т) £ М, где М - некоторое подмножество R. Беря М равным [2;+оо], (2; +оо], Z, {1 + п £ N}, и т.п. всякий раз удавалось найти (вообще говоря многозначную) операцию орм на множестве всех деревьев и набор Т>упм графов Дынкина так, что oj(T) Е М -ФФ- Т Е орм^упм), иными словами о;_1(М) = орм(Т>упм) (см.теоремы 2.4.1. и 2.5.1.).

Приведем еще один интересный факт, связанный с понятием отклонения.

Среди рассматриваемых форм Картана-Титса мы выделяем класс Z, состоящий из неприводимых форм, сужение которых на диагональ пространства является неотрицательно-определенной формой. Оказывается, что

и(2) П Z = {1; 2; 3; 4; 6; +оо}.

Множество {1; 2; 3; 4; 6;+оо} часто появляется в разных вопросах математики. Например, {1; 2; 3; 4; 6; +оо} - множество всевозможных периодов неустойчивости периодических циклических графов (это — один из результатов главы 3). Другой пример из классики: если n-ранговая решетка Г в Rn устойчива относительно действия группы Вейля W, a Gw ~ соответствующий граф Кокстера, то m(u, v) Е {1; 2; 3; 4; 6; +00} Vu, v Е V{GW) (см. [3], с. 163).

Понятие отклонения oj(G) (впервые введенное в [15]) в своей идее

восходит к работе [4], где, фактически, использовалось то обстоятельство, что при уклонении вектора х от диагонали пространства, множество графов Кокстера, для которых Вс<(х) > 0, резко сокращается. Это обстоятельство и послужило первым толчком для введения понятия отклонения нулевого конуса формы Картана-Титса.

Публикации и доклады

По теме диссертации опубликовано 11 работ. Кроме этого опубликовано еще три работы, написанные в соавторстве [8], [13] и [15], однако, из этих работ в настоящую диссертацию включены лишь формулировки нескольких утверждений, необходимых для расчётов.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1) Семинар А.И.Кострикина (МГУ, май 1993 г.).

2) Семинар Э.Б.Винберга (МГУ, февраль 1998 г.).

3) Воронежская математическая школа " Понтрягинские чтения-УШ" (май, 1997 г.).

4) Межвузовская конференция "Молекулярные графы в химических исследованиях" (Калинин, май 1990 г.)

Описание диссертации по главам и параграфам

Диссертация в основном посвящена исследованию квадратичных форм Картана-Титса и графов Кокстера.

Диссертация состоит из трех глав.

Глава 1 посвящена исследованию точек минимума квадратичных форм специального вида на кубах в пространстве Ш1.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [21], [20], [17].

Глава 2 посвящена исследованию геометрических свойств нулевого конуса формы Картана-Титса и связи этих свойств с графами Дынкина.

Результаты главы 2 опубликованы в работах [16], [18], [17], [19].

Глава 3 посвящена исследованию характеристических многочленов графов.

Результаты главы 3 опубликованы в работах [9], [10], [11], [12], [14].

Глава 1, §§1.1-1.2. Исследования точек минимума квадратичной формы на многограннике относятся к теории квадратичного программирования. Эти исследования разделяются на два направления: 1) теоретическое изучение поведения квадратичной формы на многограннике и 2) создание алгоритмов, позволяющих точно или приближенно находить точки минимума.

§§1.1-1.2 главы 1 представляют теоретическое исследование задачи квадратичного программирования.

В(х) тгп, хеК^ [а, Ь]п, (*)

где 0 < а < Ь - вещественные числа. Здесь многогранник — это куб в пространстве Кп, а квадратичная форма В(х) обладает некоторыми специальными свойствами. Отметим, что в отличие от почти тради-

ционной постановки задач квадратичного программирования, мы не требуем выпуклости вниз функции у = В(х) (т.е. неотрицательной определенности квадратичной формы В(х)).

Несмотря на отказ от выпуклости вниз функции у = В(х), нам все-таки удалось усмотреть и использовать это поистине замечательное свойство — выпуклость, однако, не применительно к функции у = В(х), а к решениям задачи (*). Оказывается, вектора из Кп можно интерпретировать как функции на некотором геометрическом объекте, причем решения задачи (*) будут функциями, выпуклыми вверх (т.е. вогнутыми). В этом и состоит основной технический прием первой главы. Упомянутый геометрический объект — это некий граф (см.ниже), построенный по квадратичной форме В{х).

Всякое решение задачи (*) принадлежит границе дК куба К — [а; Ь]п. Это означает, что у всякого решения задачи (*) найдется хотя бы одна координата, принадлежащая множеству {а;Ь}. Однако, если форма В{х) — отделенная (определение см. ниже), а относительные размеры кубика К = [а]Ь\п невелики (т.е. 1{К) °= ^ < 2), то можно утверждать, что "большое" число координат решения задачи (*) оказывается равным Ь.

Квадратичная форма В : И" —> К, В(х) = хВх1 (матрица В -симметрическая) называется отделенной, если

1

Ъц > 0, 6у € (-оо; ~-тах{Ъц, Ь„)] и {0} при г ф 3.

Сопоставим форме В граф С в следующим образом: вершины С в - это элементы множества {1,2,..., п}; % ^ 3 смежны (обозначается 1а(1] либо ] айъ), если и только если Ъ^ < 0.

Пример. В(х) = (х\ + ... + х2п) - (х\ + Х2)ж3 - (ж3ж4 + ж4ж5 + ... + хп-1хп) (п > 4), С в = ~ трехлучевая звезда с лучами длины

1,1 и п — 3:

о • • • • о-О

Вершина г графа С\д называется главной относительно задачи (*), если выполнена импликация {х - решение задачи (*)} {.хг; = Ь}.

Смысл слов "большое" число координат оказывается равным 6" (см. выше) раскрывается тремя нижеследующими теоремами.

Определение. Подмножество множества вершин графа называется выпуклым, если: 1) вместе с любыми двумя вершинами и иг; оно содержит все вершины любого простого пути, соединяющего и и V; 2) вместе с любой вершиной и оно содержит и все вершины любого простого цикла, проходящего через и.

Теорема 1.1.1. Если В - отделенная квадратичная форма, то множество главных вершин графа О в является выпуклым.

Определение. Вершина и графа С? называется узлом, если ее степень йеди > 3.

Теорема 1.1.2. Если В — отделенная квадратичная форма,

7 Г

1{К) = ~ < |, то всякий узел графа С в является главной вершиной.

Определение. Квадратичная форма называется неприводимой относительно базиса {/¿}г (по умолчанию - относительно некоторого стандартного базиса) пространства, если ни при какой перенумерации этого базиса матрица формы не является блочно-диагональной с квадратными блоками на диагонали.

Теорема 1.1.3. Пусть В - неприводимая отделенная квадратичная форма, ф (го > 4) и 1(К) й= ^ < 2. Тогда всякий узел графа £ в является главной вершиной.

Теоремы 1.1.1 - 1.1.3 будут нужны нам в § 1.4.

Глава 1, §1.3. Граф Кокстера - это граф без петель и крат-

ных ребер, каждой паре (u,v) вершин которого сопоставлен элемент m(u,v) £ N = {1, 2,...,+оо} следующим образом: 1) m(w, v) = 1 и = v; 2) т{и, v) — 2 и и г? не соединены ребром и и ф v.

Если и и v соединены ребром, то m(u, г») называется порядком ребра гш.

С этого момента и до конца второй главы под словом "граф" (соответственно "дерево") понимается конечный граф (соответственно конечное дерево) Кокстера, каждое ребро которого имеет порядок 3.

Пусть G - граф, V{G) - множество его вершин. Через R/^), как обычно, обозначается пространство всех вещественных функций, определенных на множестве V(G). Для элементов пространства удобно использовать обозначения fu вместо f(u).

На пространстве определена квадратичная форма Картана-

Титса BG(x) = - £ xuxv cos-¿-г (здесь -J- d= 0).

Диагональ d =

d(RvW)

пространства R V{G) - это {x G

RV(G) I

x„ =

xv Vu,v G V{G)} = {te\t G R}, где e(u) = 1. Ясно, что BG(e) = x{G) (эйлерова характеристика графа G ([5], с.217)). Известно, что для связного графа G имеем: x(G) > 0 -<=Ф- G - дерево.

Определение. Форма В о называется древесной, если G - дерево.

Лемма 1.3.1.([15]) Если Вд - неприводимая форма Картана-Титса, то Bc\d > 0 Во древесна.

Сейчас мы введем "меру отклонения" нулевого конуса В0 d= { х \ В ( х ) = 0} древесной формы Картана-Титса В от диагонали d. Пусть Ka{G) = {х G Rf(g)| 1 < хи < а \/и G V(G)}.

Прежде, чем давать формальное определение отклонения, поясним в общих чертах, о чем идет речь. Множество BQ нулей квадратичной формы В является конусом. Пусть сужение В на диагональ d

является неотрицательной формой. Начнем "распускать" куб Ка((Т), увеличивая а, до тех пор, пока куб Ка{0) не коснется конуса В0. То значение а, при котором это произойдет (возможно а = 1, если в, С В0), и называется отклонением и (В). Если Ка(С) ни при каком а не пересекается с В0, то отклонение полагаем равным +оо.

Определение. ([15]) Отклонением древесной формы Картана-Титса Во (или дерева Кокстера С) называется число

ш(В) = ш{Вс) = о;(С) = зир{ас| 1 < /3 < а

УхеЫС)В0{х) > 0} е я

Сразу возникает вопрос: для каких деревьев ш = +оо? Оказывается со = +оо только для графов Дынкина Ап, Вп, £7, (см. п.1 теоремы 2.5.1), то есть для тех деревевьев, для которых В > 0.

Глава 1, §1.4. Здесь доказывается важнейшая теорема главы 1, на которой строится дальнейший расчет в главе 2. Суть этой теоремы состоит в том, что если и(В) ф +оо, то куб имеет в точности

одну точку пересечения с конусом В0, и координаты этой "точки прикосновения" удается выразить через топологические характеристики дерева, ассоциированного с формой В.

Напомним сначала несколько определений из теории графов. Степенью йед и вершины и называется количество примыкающих к ней ребер. Простым путем \и,у] в дереве называется множество попарно различных вершин {гио, • • •, и)п}, (п > 1) таких, что и;о = и, иоп = г;, и соединены ребром Уг 6 {1,...,п}. Число п называется длиной ¿иу пути [«, у] (или расстоянием от и до г>), йии 0. Путь [и, у] называется каноническим, если ¿еди, ё,еду / 2 и (уи £ [и, у] Л ии £ {и, у}) =Ф- йедио = 2. Концевым путем называется канонический путь [и, у], для которого ¿еду = 1, 1С <1 1

Напомним, что узлом в графе называется всякая вершина степени > 3.

Определение. Выпуклая оболочка (то есть пересечение всех выпуклых надмножеств) множества узлов графа G называется телом графа G, обозначается Body(G), вершины из Body{G) называются телесными.

Например, множество всех вершин дерева, отличного от А^ разбивается на два подмножества:

1) телесные вершины;

2) вершины, лежащие в собственном смысле на концевых путях, т.е. вершины, принадлежащие концевым путям и имеющие степень < 2.

Теорема 1.4.2. Если cj(G) ф +оо, то

1) Ku(Q)(G)nBQ состоит из единственного элемента (обозначаемого

xG)-

2) xG = co(G) для любой телесной вершины и;

3) Если «--концевая вершина концевого пути длины /, то =

тах( 1, u(G)/{l + l)).

4) Для любого концевого пути [u,v] и любой вершины а этого концевого пути XG = (x^dav + xGdau)/duv.

Определение. xG называется точкой прикосновения.

При доказательстве теоремы 1.4.2 использовались результаты § 1.1-1.2.

Глава 2, § 2.1. При изучении отклонений выясняется, что множество всех деревьев естественно разбивается на 5 классов (формулы, выражающие и через другие характеристики дерева, различны для этих классов).

Через т(Т) будем обозначать число концевых путей дерева Т (определение концевого пути см. выше). Звездой (точнее, s-лучевой

звездой) Z/b/2,...,/s называется граф, получающийся следующим образом: в графах A¡1+i, ... A¡s+i (1 < /1 < ... < ls) фиксируется по одной концевой вершине, затем фиксированные вершины отождествляются в одну вершину, называемую центром звезды. Числа /1, ... ,ls называются длинами лучей звезды.

Теорема 2.1.1. Множество Т всех деревьев разбивается на 5 классов:

1) V =f {Т е Т\ 3nDn СТ} = {ТеТ\ т{Т) > 4}.

2) ё6 dM {TeT-V IЁ6 СТ} = {Zp,q>r I р > 2}.

3) ¿7 =f {т е т - V - Ц Ё7 С Т V (Ё7 % Т Л Ё8 С Т Л \V(T)\ > 12)} = {ZM>PI (р = 1, q > 3) V (р = 1, g = 2, г > 8)}.

4) ¿z=f {Т eT-V-éQ- S7\ Ё8СТ} = {Zp>q,r\ р = l, q = 2; 5 < г < 7}.

b)Td^T-V-£Q-E7-S8 = {Ап, Dn, E6, E7, E8}.

Замечание.

Нижеследующие 12 утверждений мы приводим без доказательства, так как в дальнейщем мы на них нигде не ссылаемся, а нужны они нам лишь для полноты изложения.

la) {G G V\ BG > 0} = {Д}*. 16) Vi {Geék\BG>o} = {Ék}.

А. Л

1в) Из графов класса S\¡ наименьшее число вершин имеет граф Е^.

2а) ¿Q = {Zp^r| 1 < üj(Zp>q>r) <р+ 1}. 26) ¿y = {Zp>g>P| р + 1 < w(Zp>e>P) < q + 1}.

2в) ¿8 - {Яр>в>г| g + 1 < из{грл%г) < г + 1}.

2г) Р = {An} U {Zp>qtr\ г + 1 < w(ZPtqtr) < +оо}.

Коразмерность минимальной по включению грани кубика Кш, на которой лежит xG (точка прикосновения), обозначим codimG. Если üj(G) - +оо, то codimG d= 1.

За) Т G V & codimT = 1.

36) Т е ¿8 сосИтТ = 2. Зв) Т е ¿7 & соМтТ = 3. Зг) Т € ¿6 & соАгтТ = 4.

Зд) Т £ V о- соАътТ > 5 (отметим, что если Т £ то сосИтТ =

т

V + т — £ здесь V- число вершины дерева, т- число концевых

г=1

путей, ¿1.....1т- длины концевых путей).

т

Определение. Сумму обратных длин концевых путей £ ч будем

г=1

называть гармонией дерева Т и обозначать т(Т').

Множество V можно разбить на классы Тт деревьев с т концевыми путями: V =

Определение. Пусть ХСЯ. Наименьший (по включению) из полуинтервалов, интервалов и отрезков (в том числе бесконечных), содержащих X, обозначим соХ (т.к. это - выпуклая оболочка множества X).

Лемма 2.1.1. соу(Тт) = (0;т],

со у (¿о) = (0; 1,5].

7(4) ={1ё;1|;1,7}

Введем четыре вещественные функции, которые связаны с классами деревьев и которые будут нам необходимы для выражения ш(Т) через топологические характеристики дерева Т.

Определение, а) с? : и^=4({т} х соу(Тт)) К,; ¿(т; 7) = (7 + т)К7 + ^т2 - 2(7 + ш)); б) ё{ : со у (£{) И; еб(7) = (7 + 3)/(7 + УЗ^) е?(7) = (7 + 1)/(7 - 1 + ^,5-1,57) е8(7) = (27 - 1)/(2Т - 3 + ^/17/3 - 107/3).

Замечание. Функции <27 и ёз определены корректно, т.к. 7 — 1 + ^2,5-1,57 = 0 7 = -1 £ со7(^7), 2Т - 3 + ^17/3 - Ю7/З = 0 ^

7 = 0,5 0 со 7(4)-

Глава 2, § 2.2. В этом параграфе доказана одна из основных теорем диссертации, выражающая отклонение через другие характеристики дерева, и на которой основано дальнейшее изучение отклонения.

Сначала поясним в общих чертах, за счет чего удается выразить uj через другие характеристики.

Так как среди координат точки прикосновения xG есть хотя бы одна, равная со, а форма В с содержит всю информацию о G, то мы получаем уравнение, связывающее ш с этой информацией: Bq{xg) = 0.

Теорема 2.2.1 Т G V => и(Т) = +оо.

Теорема 2.2.2. Т € V ш(Т).= d(m(T), 7(Г)).

Для полноты изложения сформулируем один результат, доказательство которого можно найти в [15].

Теорема 2.2.3. Т G £к и(Т) = ek(j(T)).

Замечание 1. Напомним, что V U £q U £7 U £g U V есть разбиение множества всех деревьев.

Замечание 2. Теоремы 2.2.1-2.2.3 показывают, что и зависит лишь от количества концевых путей т(Т) и их длин /1, ..., lm и не зависит от "более глубокой" структуры дерева.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колмыков, Владислав Алексеевич, 1998 год

Литература

[1] Sierpinski W. O rozkladach liczb wymernych na ulamki proste.-Warszawa: [Panstwowe wydawnictwo naukowe], 1957.- 108 s.

[2] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- 3-е изд.- М.: Наука, 1967.- 575 с.

[3] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней: Пер. с франц.- М.: Мир, 1972. - 334 с.

[4] Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Пономарев В.А. Функторы Кокстера и теорема Габриеля // УМН. 1973.- N 2. - С. 19-33.

[5] Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология. Введение: Пер. с англ.- М.: Мир, 1977.- 340 с.

[6] Пашковский С. Вычислительное применение многочленов и рядов Чебышева: Пер. с польск.- М.: Наука, 1983.- 383 с.

[7] Цветкович Д., Дуб М., Захс X. Спектры графов. Теория и применение: Пер. с англ. - Киев: Наукова Думка, 1984. - 382 с.

[8] Колмыков В.А., Субботин В.Ф. Спектры составных графов II (циклическая периодичность, разрезание по двум вершинам, дальнейшее изучение типов графов) / Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1984. - 44с.- Деп. в ВИНИТИ 7.8.84, N 5707-84.

[9] Колмыков В.А. Спектры составных графов-Ш (извлечение корня из М(А), типы циклической периодичности) / Воронеж, гос. ун-т.- Воронеж, 1985.- 18с.- Деп. в ВИНИТИ 18.07.85, N 5255-85.

[10] Колмыков В.А. Спектры составных графов-IY (улучшение формул Швенка) / Воронеж, гос. ун-т,- Воронеж, 1985.- 6с.- Деп. в ВИНИТИ 18.07.85, N 5256-85.

[11] Колмыков В.А. Несколько соотношений для характеристических многочленов графов // Математические исследования в химической информатике.- Новосибирск, 1990.- Вып. 136: Вычислительные системы.- С.35-37.

[12] Колмыков В.А. Новые реккурентные формулы для характеристических многочленов графов // Молекулярные графы в химических исследованиях: Тез. докл. межвуз. конф. 21-26 мая 1990 г.- Калинин, 1990.- С.36.

[13] Колмыков В.А., Субботин В.Ф. Спектры периодических графов типа "цепь" и альтернирование устойчивости углеводородов // Алгебраические вопросы анализа и топологии.- Воронеж, 1990.-С.124-129.

[14] Колмыков В.А. Спектры периодических графов типа "цикл" и устойчивость углеводородов // Современные проблемы механики и математической физики: Тез. докл. (21-28 января 1994 г.). - Воронеж, 1994. - С.54.

[15] Колмыков В.А., Купцов B.C., Субботин В.Ф. Об одном инварианте формы Картана-Титса деревьев / Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1994. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.01.94, N 122-В94.

[16] Колмыков В.А. Топологическое строение множества отклонений форм Картана-Титса деревьев и схемы Дынкина// XXYI Воронежская зимняя математическая школа.- Воронеж, 1994. - С.57.

[17] Колмыков В.А. О нулевом конусе формы Картана-Титса // Глобальный и стохастический анализ. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1995. - С.51-56.

[18] Колмыков В.А. Несколько замечаний о форме Картана-Титса // П-я Международная конф. "Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы теории чисел": Тез. докл. 25-30 сентября 1995 г. - Воронеж, 1995. -С.86

[19] Колмыков В.А. Об исследованиях квадратичных форм Картана-Титса // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. 2: Естеств. науки. -1996. - N 2. - С.205-210.

[20] Колмыков В.А. О квадратичном программировании отделенных форм / Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1996. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.01.97, N 263 - В97.

[21] Колмыков В.А. О квадратичном программировании отделенных форм // " Понтрягинские чтения - УПГ' на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач": Тез. докл. (4-8 мая 1997 г.). - Воронеж, 1997. - С.73.