Исследование корректной разрешимости некоторых математических моделей тепломассопереноса методом С.Г. Крейна тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Небольсина, Марина Николаевна

• Небольсина, Марина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Небольсина, Марина Николаевна

Введение

1 Равномерно корректные задачи для абстрактных дифференциальных уравнений.

1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства.

1.2 Оператор-функции и полугруппы.

1.3 Позитивные операторы.

1.4 Уравнение 2-го порядка. Эллиптический случай.

2 Метод С.Г. Крейна исследования корректной разрешимости задач с генератором равномерно ограниченной Cq— полугруппы.

2.1 Точные оценки для резольвент дробных степеней операторов.

2.2 Корректная разрешимость краевых задач с генератором равномерно ограниченной Co-полугруппы.

2.3 Дробные степени оператора — ^ в весовых пространствах с равномерной метрикой.

2.4 Представление решений краевых задач для уравнения Лапласа.

2.5 Задача Неймана.

3 Со — операторные ортогоналные многочлены Чебышева и их представления.

3.1 Ортогональные многочлены скалярного аргумента.

3.2 Со - операторные рациональные дроби.

3.3 Обращение бесконечных трехдиагональных матриц специального вида (скалярный случай).

3.4 Обращение операторных матриц бесконечного порядка.

3.5 Представление оператора

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование корректной разрешимости некоторых математических моделей тепломассопереноса методом С.Г. Крейна»

Исследование многих математических моделей в теории тепломассопе-реноса часто сводится к решению нестационарных задач для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Например (см. [2]), при х ^ Q,t ^ 0 ищется ограниченное решение уравнения du(t, х) d2u(t, х) dt = дх2 ^ удовлетворяющее начально-краевым условиям и(0,х) = 0, (2) u(t,0)=g(t). (3) д

При этом важным является вопрос о вычислении производной характеризующий поток на границе раздела сред.

Задачам такого рода посвящены многочисленные исследования Ю.И. Бабенко, А.В. Лыкова, см.[2], В.П. Маслова, В.Г. Данилова, К.А. Волосо-ва, см. [27]. Для некоторых частных случаев в монографии А.Д. Полянина, А.В. Вязьмина, А.И. Журова, Д.А. Казенина см.[29] выписываются точные их решения в случае, когда А некоторый дифференциальный оператор. В [2] для решения подобных задач используется метод дробного интегро-дифференцирования. Здесь соответствующее решение ищется в виде рядов по дробным производным и интегралам граничной функции я(*).

Однако эти исследования дают ответ на вопрос существования и представления решений, но не рассматривают в рамках корректной разрешимости задач по Адамару вопросов их устойчивости по начальным данным, которые являются основными, например, при численной реализации соответствующих алгоритмов.

Учитывая, что многие из этих задач можно свести к эллиптическому случаю, когда находится решение уравнения с соответствующими граничными условиями при х = 0их = Т<оо и линейным оператором А, действующим в некотором банаховом пространстве, естественно для их исследования применить метод С.Г. Крей-на, изложенный в [21], гл.III в предположении сильной позитивности оператора А. В связи с этим в диссертации схема С.Г. Крейна переносится на случай, когда оператор —А является генератором равномерно ограниченной Co-полугруппы. Это условие обеспечивает наличие квадратного корня в терминах которого даются определения решений и формируются соответствующие критерии корректной разрешимости этих задач и указываются представления их решений.

В частности, в случае задачи Дирихле, когда решение уравнения (4) удовлетворяет условиям ограниченности при х —> оо и

8 = Аи(х), О^х^Т <оо

4) и(0)

5) решение имеет вид (см. [21], с.324) и{х) = Ui(x)g, (6) где Ul(x) - сильно непрерывная полугруппа класса Со, производящим оператором (генератором), которой является оператор —{А)ъ. Отсюда немедленно следует равенство

U = = ~(Л)"Щ(х)\х=0д = (7).

Таким образом, для определения скорости тепломассопотока на границе раздела сред достаточно знать оператор Ah.

Например, в случае, когда оператор А задается дифференциальным выражением L = ^ и областью определения D(A) = {</? £ Срд1], <£>(0) = 0, ip £ С[о,т]}> гДе С[о,т] - пространство непрерывных на [0,Т] функций с равномерной метрикой, то оператор Ah = Щ- является правой дробной dt г производной Римана-Лиувилля (см.[2], с. 18).

В [21], гл. II,§3 исследуются краевые задачи для уравнения

0 < t < Т < оо) (8) в предположении позитивности оператора А, действующего в банаховом пространстве Е, то есть область определения D(A) плотна в Е и для его резольвенты выполняется оценка

IKAZ-AJ-^j-^, (А < 0). (9)

Здесь I— тождественный оператор, С- не зависит от Л. Это обеспечивает существование дробных степеней оператора Аа (0 < а < 1) оператора А и, кроме того, операторы — Аа являются производящими операторами (генераторами) аналитических полугрупп класса Со (см. [21], теор. 5.4, с. 145).

При этом для их резольвент выполняется оценка (см. [21], с. 146)

Д(-А,А«)||<^, (А>0). (Ю)

К сожалению, оценка t/i(f)|| < Me-'

И) приведенная в [21], с. 323, для а — при условии (9), не всегда верна. Например, в скалярном случае при А = w, 0 < си < 1, А^ = имеем:

12)

Uh{t) = и, очевидно, что (11) не выполняется.

Однако оценка (11) является ключевой в [21] с.324 при доказательстве теоремы о представлении обобщенного решения уравнения (8) на полуоси t G [0, оо), удовлетворяющего начальному условию

В связи с этим, в диссертации для операторов А, таких, что —А является генератором полугруппы U{t) класса Со, с оценкой приводятся точные оценки на резольвенты их дробных степеней и показывается равномерно корректная разрешимость краевых задач для уравнения (8) с этим классом операторов.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Небольсина, Марина Николаевна, 2009 год

1. Аткинсон Ф., Дискретные и непрерывные граничные задач, М., Наука, 1968, 749 с.

2. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен, методы расчета тепловых и диффузионных потоков. JL: Химия, 1986 144 с.

3. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. // Г.Н. Ватсон. М.: ИЛ, 1949.

4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи/ Ф.Д. Гахов.-М.: Наука, 1977. 638 с.

5. Горбачук В.И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений.// В.И. Горбачук, М.Л. Горбачук, Киев, -"Наука Думка". 1984. 283 с.

6. Горбачук В.И., Князюк А.И. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений. // Успехи мат. наук. 1989. Т. 44, № 3 (267). С. 55-91.

7. Глушко В.П. О вырождающихся линейных дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве/ В.П. Глушко, С.Г. Крейн.-ДАН СССР, т. 181, N 4, 1968, стр. 784-787.

8. Дал едкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве./ Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.— Физмат. лит., 1970. 534 с.

9. Джалиль М.С. Абстрактные ортогональные многочлены и дифференциальные уравнения. Диссертация на соискание уч. ст. канд. физ-мат. наук. Воронеж, ВГУ, 2004, 76 с.

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. //А. Зигмунд. М.: Мир. -Т.1, 1965. 616 с.

11. Иосида К. Функциональный анализ: Учебник/ К. Иосида, пер. с анг. В.М. Волосова М.: Мир, 1967-624 с.

12. Князюк А.В. Граничные значения эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Диссертация на соискание уч. ст. канд. физ-мат. наук. Киев. 1985. 115 с.

13. Костин В.А. О равномерно корректной разрешимости краевых задач для абстрактных уравнений с оператором Келдыша-Феллера. // В.А. Костин. Дифференциальные уравнения. - Т.7, 31, №8. с.1419 — 1425.

14. Костин В. А. Неравенства для норм производных в пространствах ЬРгЧ>/ В.А. Костин, мат. заметки, 1969. т.6. N4. с. 472—473.

15. Костин В.А., К теореме Соломяка-Иосиды для аналитических полугрупп, Алгебра и анализ, Т.1, вып.1, 1999, 118—140.

16. Костин А.В., Костин В.А. 5-весовые пространства Степанова и некоторые модели тепломассопереноса./ А.В.Костин, В.А.Костин -Воронеж:2009. 35 с.

17. Костин А.В. К теории функциональных пространств Степанова/ А.В. Костин, В.А. Костин,- Воронеж: Издательско полиграфический центр ВГУ, 2007. 259 с.

18. Красносельский М. А., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., Наука, 1966, 499 с.

19. Крейн М. Г., О спектре якобиевой формы в связи с теорией крутильных колебаний валов, Мат. сб., 40, 1933, No 4, 455—465.

20. Крейн С. Г., Хазан М. И., Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Итоги науки и техники. Мат. анализ, Т.21 130—264.

21. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1967.—464 с.

22. Функциональный анализ/ под редакцией С.Г Крейна.М.: Наука, 1979, 418 с.

23. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного/ М.А. Лаврентьев, Б.П. Шабат.-М.: Наука, 1973 —736 с.

24. Левитан Б.М. Почти-периодические функции/ Б.М. Левитан,—М.: Тех-лит, 1953. 396 с.

25. Мартыненко Н.А. Конечные интегральные преобразования и их применение/ Н.А. Мартыненко, Л.М. Пустыльников.-М.: Наука, 1986. 301 с.

26. Маслов В.П. Операторные методы/ В.П. Маслов.-М.: Наука, 1973. 543 с.

27. Маслов В.П. Математическое моделирование процессов тепломассо-переноса/ В.П. Маслов, В.Г. Данилов, К.А. Волосов, М.:Наука, 1987. 352 с.

28. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений/ В.П. Маслов.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 312 с.

29. Полянин А.Д. Справочник по точным решениям уравнений теп-ломассопереноса, А.Д. Полянин, А.В. Вязьмин, А.И. Журов, Д.А. Казенин.— М.: Факториал, 1998. 368 с.

30. Самарский А. А., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., Наука, 1978, 591 с.

31. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения/ С.Г., А.А. Килбас, О.И. Маричев.- Минск: Наука и техника, 1987, 687 с.

32. Сеге Г., Ортогональные многочлены, М., Физматгиз, 1962, 650 с.

33. Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, М., Наука, 1979, 416 с.

34. Уиттекер Э.Т. Курс современного анализа, т. 2/ Э.Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, пер с англ. под ред. Ф.В. Широкого, М.: Физ-мат. лит., 1963.-515 с.

35. Фадеев Д. К., Лекции по алгебре, М., Наука, 1984, 416 с.

36. Фадеев Д. К., О свойствах матрицы обратной Хессенберговой, Записки научных семинаров, ЛОМИТ, II, 1981.

37. Вострикова М.Н. Расширенная задача Коши и ортогональные многочлены / М.Н.Вострикова, В.А. Костин// Образование, наука, производство и управление в 21 веке : материалы международ, науч. конф., 20-22 окт. 2004 г. 2004. Ч. 1. С. 279-280.

38. Небольсина М.Н. Операторные полиномы Чебышева и решения краевых задач для уравнений второго порядка в банаховом пространстве / М.Н. Небольсина, М.С. Джалиль// Воронежская зимняя Математическая школа С.Г. Крейна 2006 : тез. докл. - Воронеж, 2006. С. 70.

39. Небольсина М.Н. Задача Неймана для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве и ортогональные многочлены / М.Н. Небольсина// Математические модели и операторные уравнения Воронеж: ВорГу, 2007. Т. 4. С. 104—115.

40. Небольсина М.Н. О корректной разрешимости краевых задач для уравнений в банаховом пространстве с оператором Штурма-Лиувилля /М.Н. Небольсина// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008 : тез. докл. - Воронеж, 2008. С. 109.

41. Небольсина М.Н. Исследование методом С.Г. Крейна некоторых математических моделей тепломассопереноса / В.И. Гондарев, В.А. Костин, М.Н. Небольсина// Математические модели и операторные уравнения .- Воронеж: ВорГу, 2008. Т. 5, ч. 2. С. 55-66.

42. Небольсина М.Н. О корректной разрешимости краевых задач для уравнения второго порядка /М.Н. Небольсина, В.А. Костин// Доклады Академии Наук, 2009, Т.428, №1, С. 20-22.

43. Небольсина М.Н. Представления Со операторных ортогоналных многочленов Чебышева/ В.А. Костин, М.Н. Небольсина// Математические модели и операторные уравнения .- Воронеж: ВорГу, 2009. Т. 6, С. 80-94.