Исследование качества процессов в дискретных стохастических системах на основе качественной экспоненциальной устойчивости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Михайлов, Сергей Владимирович

• Михайлов, Сергей Владимирович
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Михайлов, Сергей Владимирович

Содержание:

стр.

Введение 4 Глава 1. Дискретные стохастические системы. Качественная экспоненциальная устойчивость дискретных стохастических систем

1.1 Случайные процессы. Основные статистические характеристики

1.2 Дискретные стохастические системы. Особенности описания

1.3 Сходимость случайных последовательностей. Типы сходимостей

1.4 Качественная экспоненциальная устойчивость (КЭУ) дискретных стохастических систем. 23 Глава 2. Анализ дискретных стохастических систем на основе КЭУ

2.1. Достаточное (локальное) условие качественной экспоненциальной V -

устойчивости стохастических систем. л;г'>"■■•.'■'

Д "

2.2. Оценочные трубки, используемые для исследования качества процессов в дискретных стохастических системах

2.3. Оценка качества процессов в линейных дискретных стохастических системах

2.4. Анализ многомерных дискретных стохастических система с использованием векторных функций Ляпунова. 53 Глава 3. Прогнозирование. Основные понятия

3.1. Определение понятия прогнозирования

3.2. Требования к прогнозирующей системе. ,

3.3. Общая схема прогнозирования

3.4. Понятия эвристического и математического прогнозирования

3.5. Совместное использование результатов математического и эвристического прогнозирования

3.6. Математическое прогнозирование

3.7. Интервал упреждения

3.8. Модели в математическом прогнозировании

3.9. Ошибки прогнозирования. 75 Глава 4. Прогнозирование расчётной точки посадки летательного аппарата на подвижное основание

4.1 Посадочный комплекс

4.2. Волнение моря. Модель качки

4.3. Введение фильтра Калмана в прогнозирующую систему. Структурная

схема прогнозирующего устройства

4.4. Оценка качества прогнозирования

4.5. Пример прогнозирования положения расчётной точки посадки летательного аппарата на подвижное основание. 99 Заключение 105 Приложение 1 107 Приложение 2 112 Список литературы * ■

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование качества процессов в дискретных стохастических системах на основе качественной экспоненциальной устойчивости»

Введение

Стремление к повышению эффективности систем, которое наблюдается в различных областях науки и техники неизбежно приводит к тому, что при разработке той или иной системы, необходимо учитывать всё большее число влияющих на неё факторов. К таким факторам можно с уверенностью отнести случайные возмущения, действующие на систему во время её функционирования. В связи с этим система может рассматриваться не как детерминированная, а как стохастическая .

Расчёт систем автоматического управления САУ при случайных воздействиях производится специальными методами с введением в рассмотрение определённых количественных оценок случайных 'воздействий — статистических характеристик случайных воздействий, которые, характеризуя случайные воздействия, сами по себе уже не являются случайными зависимостями. Однако, система автоматического управления, анализируемая или синтезируемая на основе статистических методов, будет обеспечивать удовлетворение предъявляемых к ней требований не для одного определенного (детерминированного) воздействия, а для целой совокупности воздействий, заданной с помощью статистических характеристик. Так как предсказать ход единичного явления теория вероятностей не может, то статистические методы позволяют выяснить лишь закономерности, присущие случайным явлениям массового характера.

Другой особенностью развития систем автоматического управления в настоящее время является всё более широкое использование цифровой техники, применительно к решению различных задач управления. Современное производство

трудно себе представить без ЭВМ, которая может использоваться не только в контуре управления, но и для решения задач анализа и синтеза систем управления [22,39]. В связи с этим становится необходимостью разработка методов анализа и синтеза систем автоматического управления, ориентированных на использование ЭВМ для решения задач управления [4 3,58].

Присутствие цифровых устройств в системе управления приводит к необходимости описания такой системы как дискретной и использования для анализа и синтеза такой системы методов, применимых к дискретным системам [47,72].

Для дискретных детерминированных систем автоматического разработаны и хорошо себя зарекомендовали методы анализа качества и аналитического синтеза регуляторов на основе качественной экспоненциальной устойчивости. Понятие качественной экспоненциальной устойчивости КЭУ вводится на основе двух параметров — степени затухания процессов и степени их гладкости, которые связаны с инженерными показателями качества, такими как перерегулирование и время переходного процесса. Последний факт позволяет производить анализ и синтез САУ не на основе абстрактных параметров, а на основе физически понятных количественных характеристик.

В диссертационной работе рассматриваются дискретные стохастические системы. Сложность описания, необходимость оперирования с вероятностными характеристиками при анализе и синтезе дискретных стохастических систем с одной стороны, и эффективность методов анализа и синтеза детер-. минированных САУ на основе качественной экспоненциальной устойчивости — с другой, вызывают необходимость распространения этих методов на дискретные стохастические сис-

темы.

Данная работа посвящена методам исследования качества процессов в дискретных стохастических системах и базируется на использовании методов исследования Ляпунова A.M. [49], Барбашина Е.А. [10,11], Пятницкого Е.С. [59], метода сравнения векторных функций Ляпунова, введённого Мат-росовым В.М.[53], развитого Вороновым A.A. [26,27], оценок качества процессов динамических систем, разработанных в трудах Барбашина Е.А. [12], Шубладзе A.M.[78].

В связи с этим целью диссертационной работы является разработка модификаций методов анализа детерминированных дискретных систем, основанных на понятии качественной экспоненциальной устойчивости, для использования полученных модификаций при анализе дискретных стохастических систем, а именно:

• дать определение качественной экспоненциальной устойчивости для дискретных стохастических систем общего вида с учётом особенностей описания таких систем;

• вывод и доказательство достаточного условие качественной экспоненциальной устойчивости дискретных стохастических систем общего вида;

• разработка технологии построения различных характеристик для оценки качества процессов в дискретных стохастических системах в виде оценочных трубок постоянного и равновероятностного уровней;

• разработка технологии вычисления характеристик переходного процесса в линейных дискретных стохастических системах, таких как переходная и установившаяся составляющая, в виде их статистических характеристик, таких как математическое ожидание и матрица ковариаций;

• разработка технологии построения оценочных трубок постоянного и равновероятностного уровней для оценки качества процессов в линейных дискретных стохастических системах;

• модификация метода сравнения для анализа многосвязных дискретных стохастических систем.

Основными научными результатами диссертационной работы, выносимыми на защиту, являются:

1.Определение качественной экспоненциальной устойчивости дискретных стохастических систем общего -вида;

2.Достаточное условие качественной экспоненциальной устойчивости дискретных стохастических систем общего вида;

3.Методика построения характеристик качества процессов в дискретных стохастических системах общего вида и линейных дискретных стохастических системах в виде оценочных трубок постоянного и равновероятностного уровней;

4.Методика расчёта статистических характеристик переходной и установившейся составляющих переходного процесса;

5.Технология анализа многосвязных дискретных стохастических систем на основе метода сравнения.

Новизна представленных научных результатов состоит в следующем:

1.Дано определение качественной экспоненциальной устойчивости дискретных стохастических систем общего вида, дана геометрическая интерпретация качественной экспоненциальной устойчивости таких систем, пояснён смысл параметров КЭУ, применительно к рассматриваемым системам;

2.Получено и доказано достаточное условие качественной экспоненциальной устойчивости для дискретных стохастиче-

ских систем общего вида;

3.На основе определения КЭУ для дискретных стохастических систем разработана методика оценки качества процессов в дискретных стохастических системах общего вида путём построения оценочных трубок постоянного и равновероятностного уровней;

4.Для линейных дискретных стохастических систем получена технология определения статистических характеристик переходного процесса в виде математического ожидания и матриц к'овариаций переходной и установившейся составляющих;

5.Для дискретных стохастических систем разработана методика построения систем сравнения для анализа процессов в сложных многосвязных системах.

Практическая ценность и реализация результатов диссертации по исследованию качества процессов в дискретных стохастических системах подтверждена в работах [46,56,79,80], по оценке качества процессов в линейных стохастических системах — в работе [82], а также пакетом прикладных программ для исследования дискретных' систем общего вида «Кеди1а"Ьог_М».

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Михайлов, Сергей Владимирович

Заключение

В диссертационной работе, проведено исследование, связанное с анализом качества процессов в дискретных стохастических системах общего вида, а также в линейных дискретных стохастических системах.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем :

Х.Дано определение качественной экспоненциальной устойчивости дискретных стохастических систем общего вида. Показано, что данный тип устойчивости является наиболее общим, из которого вытекают экспоненциальная и асимптотическая устойчивости, а параметры КЭУ тесно связаны с инженерными показателями качества, такими как быстродействие системы и её колебательность.

2.Получено и доказано достаточное условие качественной экспоненциальной устойчивости дискретных стохастических систем общего вида. Данное условие позволяет определить параметры КЭУ, а следовательно оценить «добротность» системы с инженерной точки зрения, то есть по быстродействию и колебательности.

3.Разработана технология. построения характеристик качества процессов в дискретных стохастических системах в виде оценочных трубок постоянного и равновероятностного уровня. Трубка постоянного уровня позволяет определить вероятность нахождения процессов внутри заданной области, трубка же равновероятностного уровня определяет границы этой области при заранее известной величине вероятности.

4.Для линейных дискретных стохастических систем разработана методика анализа переходной и установившейся составляющих процессов в линейной дискретной стохастической системе в виде определения первых двух моментов переход-

ной и установившейся составляющих (математического ожидания и матрицы ковариаций).

5.Для линейных дискретных стохастических систем модифицирована технология построения оценочных трубок постоянного и равновероятностного уровней с целью исследования качества процессов в таких системах и с учётом особенностей описания подобных систем.

6.Для линейных дискретных стохастических систем была произведена модификация исследования многосвязных -систем с использованием векторных функций Ляпунова. Полученная технология позволяет рассматривать каждую подсистему сложной многосвязной системы отдельно, что существенно упрощает решение задачи анализа, а также позволяет строить оценочные трубки для анализа процессов как в отдельной подсистеме, так и в сложной системе в целом.

•к

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Михайлов, Сергей Владимирович, 1999 год

1.Абакумова O.JI., Дёмин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений. — Автоматика и Телемеханика, 1995, №9, стр. 49, 1995, № 10, стр. 36.

2.Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание — М.: Наука, 1977. — 223 стр.

3.Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления. Под ред. A.A. Воронова и И.А. Орурка. — М. : Наука, 1984. - 344 стр.

4.Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова. — Итоги науки и техники. Общ. Механика, 1975, 2, стр. 53.

5.Ажмяков В.В. Экспоненциальная стабилизация и синтез дискретных стохастических систем. — Автоматика и Телемеханика, 1994, №7, стр. 77.

6.Ажмяков В.В., Пятницкий Е.С. Нелокальный синтез систем стабилизации дискретных стохастических объектов управления. — Автоматика и Телемеханика, 1994, №2, стр. 68.

7.Алексеев В.Г. К оценке качества моделирования последовательности белого шума. — Автоматика и Телемеханика, 1991, №10, стр.181.

8.Барабанов И.Н., Пятницкий Е.С. Численное построение функций Ляпунова для стохастических систем. — Автоматика и Телемеханика, 1994, №7.

9.Барабанов И.Н. Построение функций Ляпунова для дискретных систем со случайными параметрами. — Автоматика и Телемеханика, 1995, №11, стр.31.

Ю.Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом. - Докл.АН СССР, 1952, 86, №3, стр. 453456.

И.Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. - 223 стр.

12.Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1976, 367 стр.

13.Белкина Т.А., Пресман Э.Л. Асимптотически оптимальные по распределению управления для линейной стохастической системы с квадратичным функционалом. — Автоматика и Телемеханика, 1997, №3, стр.106.

14.Бобрик Г.И., Голован A.A., Матасов А.И. Фильтр Калмана при гарантирующем подходе к решению задачу топографической привязки. — Автоматика и Телемеханика, 1997, №10, стр. 34.

15.Борисов A.B., Панков А.Р., Сотский Н.М. Фильтрация и сглаживание в непрерывно стохастических системах с частично наблюдаемыми входными воздействиями.' — Автоматика и Телемеханика, 1991, №3, стр.85.

16.Борщевский В.И., Филимонов С.Н. Стохастические методы в диагностике. — Автоматика и Телемеханика, 1992, №11, стр.127.

17.Босов A.B., Панков А. Р. Алгоритмы управления для дискретных систем случайной структуры. — Автоматика и. Телемеханика, 1997, №10, стр.113.

18.Брайсон, Хо-Юши Прикладная теория оптимального управления. Пер. с англ. —М.: Наука, 1984.

19.Брандт 3. Статистические основы обработки информации. -М.: Мир, 1975.

20.Бродский Б.Е., Дарховский Б.С. Алгоритмы апостериорного обнаружения многократных разладок случайных последовательности. — Автоматика и. Телемеханика, 1993, №1, стр.62.

21.Бухалев В. А. Оптимальное сглаживание в системах со

случайной скачкообразной структурой. — Автоматика и Телемеханика, 1992, №6, стр.46.

22.Вавилов A.A., Имаев Д.Х. Машинные методы расчёта систем управления. — JI.: Изд. Ленингр. Ун-та. 1981. — 232 стр.

23.Виленчик Л.С., Катулев А.Н., Малевский М.Ф. Метод восстановления спектра функции по конечной выборке. — Автоматика и Телемеханика, 1997, № 6, стр.42,

24.Вишняков А.Н., Цыпкин Я.З. Синтез дискретных модальных систем управления. — Автоматика и Телемеханика, 1993, №7, стр.86.

25.Волгин Л.Н. О предсказании стационарных случайных процессов с помощью ортополиномов. — Автоматика и Телемеханика, 1994, №7, стр.84.

26.Воронов A.A. Устойчивость, управляемость,, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979, — 335 стр.

27.Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. — М.: Наука, 1985. — 352 стр.

28.Гаджиев Ч.М. Диагностирование динамических систем по обновляющей последовательности фильтра Калмана. — Автоматика и Телемеханика, 1992, №1, стр180.

29.Гаджиев Ч.М. Проверка ковариационной матрицы обновляющей последовательности при оперативном контроле фильтра Калмана. — Автоматика и Телемеханика, 1996, №7, стр.17 0

30.Гаджиев Ч.М. Прогнозирование технического состояния динамических систем по обновляющей последовательности фильтра Калмана. — Автоматика и Телемеханика, 1993, №5, стр.163.

31.Голован A.A., Мироновский Л. А. Алгоритмический контроль фильтра Калмана. — Автоматика и Телемеханика, 1993, №7, стр.173.

32.Головченко В.Б., Носков С.И. Прогнозирование на основе дискретной динамической модели с использованием экспертной информации. — Автоматика и Телемеханика, 1993, №10, стр.140.

33.Гольденшлюгер A.B., Назин A.B. Оценивание параметров в присутствии случайных и ограниченных помех. — Автоматика и Телемеханика, 1992, №10, стр.68.

3 4.Горелик С.И., Казаринов JI.C. Прогнозирование случайных колебательных процессов на основе метода экспоненциального сглаживания. — Автоматика и Телемеханика, 1994, №10, стр.27.

35.Гребенюк Е.А., Кузнецов В.И. Применение методов последовательного анализа для прогнозирования резких сигналов случайных временных рядов. — Автоматика и Телемеханика, 1997, №11, стр.65.

3 6.Григорьев В.В. Аналитические методы синтеза регуляторов на основе качественной устойчивости. Докторская диссертация./ ЛИТМО,198 9.

37.Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Путятин А.П., и др. Прогнозирование случайных процессов с помощью управляющей ЭВМ. - ОМП, 1980, №7, стр. 8.

38.Григорьев В.В., Коровьяков А.Н. Алгоритмы вычисления установившихся ошибок многомерных систем управления. — Автоматика и телемеханика, 1980, №3, стр. 13-19.

3 9.Дицук Г.А. Машинные методы исследования автоматических систем. — Л.: Энергоатомиздат, Леню отд., 1979. — 176 стр.

40.Домбровский В.В. Синтез оптимальных динамических регуляторов пониженного порядка для нестационарных линейных дискретных стохастических систем. — Автоматика и Телемеханика, 1996, №4, стр.79.

41.Дьяченко И.В., Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Численный метод построения функций Ляпунова и анализ устойчивости нелинейных динамических систем на ЭВМ. — Автоматика и Телемеханика, 1994, №4, стр.23.

42.Ефимов Предсказание случайных процессов. — М. : Знание, 1976.

43.Игнатущенко В.В., Скугарев В.В. Новая технология групповой выборки данных для однопроцессорных и параллельных ЭВМ: характерные особенности и возможности. — Автоматика и Телемеханика, 1993, №3, стр.165.

44.Йонгхи Ли, Йонггун Чо, Менхо О, Шин В.И. Итерационные условно оптимальные фильтры. — Автоматика и Телемеханика, 1997, №6, стр.95.

45.Кабанов С.А., Шалыгин A.C. Решение терминальной задачи управления движением летательного аппарата с применением методов аналитической динамики. — Автоматика и Телемеханика, 1992, №8, стр.39.

46.Качественная экспоненциальная стохастическая устойчивость дискретных систем./ Бойков В.И., Григорьев В. В.,

■Коровьяков А.Н., Михайлов C.B., Рюхин В.Ю., Мансурова O.K.// Изв.вузов. Приборостроение. 1998. Т.41, №7, стр. 5-8 .

47.Колмановский В.Б. Об ограниченности некоторых дискретных систем. — Автоматика и Телемеханика, 1997, №4,

стр.121.

4 8.Корепанов Э.Р., Пугачев B.C., Синицин В.И., Синицин И.Н., Хатунцев А.П., Шин В.И. Математическое обеспечение для проектирования оптимальных фильтров и анализа процессов в дискретных стохастических системах. — Автоматика и Телемеханика, 1992, №6, стр.78.

49.Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. —

M. :Л. , 1950.- 472 с.

50.Лобоцкий A.B. Синтез, анализ и моделирование алгоритма оценивания параметров группы близких случайных процессов. — Автоматика и Телемеханика, 1997, №2, стр.47.

51.Ляшенко Е.А., Ряшко Л. Б. Об оценивании при помощи фильтра, содержащего случайные помехи. — Автоматика и Телемеханика, 1992, №2, стр.75.

52.Матасов А.И. Об оценке чувствительности фильтра Калма-на-Бюси к априорным значениям ковариационных матриц. —

' Автоматика и Телемеханика, 1991, №1, стр. 7,8.

53.Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости — В кн.: Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике: М.: Наука, 1965, вып. 1, стр. 112-125.

54.Матросова А.Ю. О вероятностном моделировании дискретных устройств. — Автоматика и Телемеханика, 1995, №3., стр.156.

55.Мейлахс A.M. О построении функции Ляпунова для параметрически возмущенных линейных систем. — Автоматика и Телемеханика, 1991, №10, стр.186.

56.Михайлов C.B. Качественная экспоненциальная устойчивость дискретных стохастических систем и её использование для анализа и синтеза таких систем.// XXX научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава. 25-28 января 1999 года. Тезисы докладов. Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет), 1999 г.

57.Приходько М.Л. Многошаговый алгоритм фильтрации процессов в нелинейных дискретных стохастических системах — Автоматика и Телемеханика, 1992, №8, стр.86.

58.Пугачев B.C., Синицин И.Н., Синицин В.И., Череднеченко

A.A., Шин В. И. Математическое обеспечение для анализа многомерных нелинейных стохастических систем — Автоматика и Телемеханика, 1991, №1, стр.87.

59.Пятницкий Е.С., Скородинский В.М. Численные методы построения функций Ляпунова и критерий абсолютной устойчивости в форме численных процедур. — Автоматика и Телемеханика, 1983, №11, стр.52.

60.Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика — М.: Наука,1985.

61.Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы — М. : Наука,1990.

62.Рубинович Е.Я. Обобщенная линейно-квадратичная стохастическая задача управления по неполным данным. — Автоматика и Телемеханика, 1997, №7, стр.216.

63.Руш Н., Абето П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости.// Пер. с англ. — М.: Мир,1980.

64.Силаев A.B. Оптимальное оценивание параметров марковских последовательностей, изменяющих свои свойства в случайный момент времени. — Автоматика и Телемеханика, 1997, №10, стр.58.

65.Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ/ Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В, Ушаков A.B. — Л.: Машиностроение, 1983.

66.Синицин И.Н. Условно-оптимальная фильтрация и распознавание сигналов в стохастических дифференциальных системах. — Автоматика и Телемеханика, 1997, №3, стр.124.

67.Системы цифрового управления самолётом / Александров А.Д., Андреев В.П., Кайн В.М. и др. Под ред. А.Д. Александрова, С.М. Фёдорова. — М. : Машиностроение, 1983. — 223 стр.

68.Соколов C.B. Оптимальное оценивание возмущений процесса калмановской фильтрации. — Автоматика и Телемеханика, 1991, №4, стр.65.

69.Таран В.Н., Трофименко Т.Н. Синтез оптимального алгоритма угловой стабилизации методом прогнозирующей модели. — Автоматика и Телемеханика, 1997, №5, стр.82.

7 0.Уиттл П. Вероятность./Пер. с англ./ Под ред. В. В. Сазонова — М.: Наука, 1982.

71.Ушаков A.B. Модальные оценки качества процессов- в линейных многомерных системах при внешних . конечномерных воздействиях. — Автоматика и Телемеханика, 1992, №11, стр.72 .

72.Фишман Л.З К вопросу об определении опасных и безопасных границ области устойчивости. — Автоматика и Телемеханика, 1993, №4, стр.185.

73.Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. — М.: Наука, 1978, — 247 стр.

74.Фурасов В. Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. — М. .-Наука, 1982, — 192 стр.

75.Чуев Ю.В. и др. Прогнозирование количественных харак-' теристик процессов. — М.: Сов. Радио, 1975.

7 6.Шароватов В. Т. Основы статистического расчета систем автоматического управления. — Л.:ЛМИ; 1980.

77.Шильман C.B. Адаптивное- прогнозирование при управлении. — Автоматика и Телемеханика, 1996, №8, стр.100.

7 8.Шубладзе A.M. Способы синтеза систем управления максимальной степени устойчивости. — Автоматика и Телемеханика, 1980, №1, стр.28.

7 9.Grigoriev V.V., Mikhailov S.V., Ryukhin V.Yu., Man-surova O.K. Analysis and Synthesis Methods Based on Lyapunov's Method. The Second International Conference

Differential Equation and Applications. Abstracts. St . Petersburg, 1998, pp. 37-38. 8 0.Horia L. Pop, Mikhailov S.V., Ryukhin V.Yu. Analysis and Synthesis Methods Based on Lyapunov's Method.— Preprints of 6th international student Olympiad on automatic control, session I. St . Petersburg, 1998, p. 37.

81.Menahem M. Sidar, Brian F. Doolin On Feasibility of Real-Time Prediction of Aircraft Carrier Motion at Sea. IEEE Trans. On Automatic Control, vol. AC-28, No.3, March, 1983.

82.Mikhailov S.V., Ryukhin V.Yu. Design of Stochastic Process Commit Values Regions.— Preprints of 6th international student Olympiad on automatic control, session III. St . Petersburg, 1998, pp. 91-95.

83.K. Ogada State Space Analysis of Control Systems. Englewood Cliffs, NJ:. Prentice-Hall,1968.