Исследование изоконических и асимптотических равномерных движений твердого тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Вархалев, Юрий Петрович

• Вархалев, Юрий Петрович
• 1984

Оглавление диссертации Вархалев, Юрий Петрович

1.B ВЕДЕНИЕ. . . . 1.

2. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ РАВНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ.

2.1. Асимптотически равномерные движения тяжелого твердого тела.

2.2. Асимптотически равномерные движения тяжелого твердого тела к неустойчивому состоянию покоя

2.3. Асимптотически равномерные движения тяжелого твердого тела в некоторых случаях интегрируемости.

2.4. Асимптотически равномерные движения гиростата

2.5. Частные случаи асимптотически равномерных движений гиростата в поле силы тяжести.

2.6. Решение Н.Е.Жуковского.

2.7. Выводы.

3. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ МАЯТНИКОВЫХ ДВИЖЕНИЯХ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ.

3.1. Уравнения возмущенного движения

3.2. Асимптотически маятниковые движения гироскопа Гесса-Аппельрота

3.3. Второй случай асимптотически маятниковых движений.

3.4. Условия существования некоторых классов решений уравнения (3.29)

3.5. Выводы . . . . . •.

4. И30К0НИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ

4.1. Постановка задачи

4.2. Существование изоконических движений твердого тела, имеющего неподвижную точку, в известных случаях интегрируемости уравнений движения

4.3. Выводы.ИЗ

5. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ГИРОСТАТА ЖУКОВСКОГО

5.1. Асимптотически равномерные движения

5.2. Прецессионные движения

5.3. Изоконические движения.

5.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование изоконических и асимптотических равномерных движений твердого тела»

Математическая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела принадлежит Л.Эйлеру. Им введены все основные динамические и кинематические характеристики, созданы как динамические, так и обе формы кинематических уравнений. Большой вклад в нее внесли Ж.Л.Лагранж, С.Пуассон, Л.Пуансо, К.Якоби, А.Пуанкаре, У^.Лиувилль, В.Гесс, а также отечественные ученые С.В.Ковалевская, Н.ЕДуковский, А.М.Ляпунов, С.Л.Чаплыгин, В.А.Стеклов, Д.Н.Горячев, Г.В.Колосов, П.А.Некрасов, В.В.Голубев, Г.Г.Аппельрот, Л.Н.Сретенский, П.Я.Кочина и другие.

Интерес к задачам динамики твердого тела и их интенсивное исследование в настоящее время связаны не только с дальнейшим развитием аналитической механики, но и с практической важностью разработок в этой области - модель абсолютно твердого тела широко применяется при расчетах конструкций, при анализе движений спутников и гироскопических приборов.

Арсенал математических средств, используемых в динамике твердого тела, сейчас существенно расширился. К ним относятся методы исследования, разработанные в теории гироскопических и навигационных приборов (А.Ю.Ишлинский, Я.Н.Райтенберг,Д.М.Климов,В.Н.Котляков, И.В.Новожилов, А.А.Богоявленский, Е.А.Девянин и другие),в теории устойчивости движения механических систем (Н.Г. Четаев, В.В.Румянцев, В.М.Матросов, В.И.Зубов, П.А.Цузьмин, В.Г.Демин, А.Анчев, В.Н.Рубановский, В.Н.Скимель, С.Я.Степанов,А.М.Ковалев, А.Я.Савченко и другие), в методе малого параметра (Ю.А.Архангельский, В.Г.Демин, В.В.Козлов, А.П.Маркеев и другие), в решении обратных задач механики (А.С.Галиуллин,И.А.Мухаметзянов,Р.Г.Му -харлямов и другие), в теории Колмогорова - Арнольда - Мозера (А.П.Маркеев,А.Г.Сокольский, А.М.Ковалев,А.Я.Савченко, В.С.Сергеев и другие), топологической динамике (В.В.Козлов, Я.В.Тата-ринов, М.П.Харламов и др.), в теории асимптотических движений механических систем (В.И.Зубов, В.В,Белецкий, В.В.Козлов,В.П.По-ломодов, С.В.Болотин и др.), в методе годографов ( П.В.Харламов, Е.И.Харламова, Г.В.Горр, А.М.Ковалев и др.).

Одной из основных целей динамики твердого тела по-прежнему является изучение свойств движения тела. При этом возможно применение различных методов анализа (метод апекса, метод годографов, методов топологической механики и др.) .и различных подходов.

Определенный интерес представляет исследование свойств движения тела (в более общем случае гиростата), в основу которого положены не аналитические признаки (структура интегралов, представление решений в той или иной форме), а типы движений. Такой подход позволил Г.В.Горру рассмотреть широкий спектр движений -равномерные вращения, асимптотически равномерные, прецессионные, изоконические, d -условно периодические движения и получить результаты, которые находят применение в классификации движений.

Данная работа посвящена изучению специальных классов асимптотически равномерных, асимптотически маятниковых и изоконичес-ких движений тяжелого твердого тела и гиростата с одной неподвижной точкой.

Кратко остановимся на содержании диссертационной работы.

Вторая и третья главы посвящены построению и изучению некоторых классов асимптотических решений уравнений движения гиростата в однородном поле силы тяжести и в центральном ньютонов -ском поле сил. Исследование асимптотических движений в механике представляет интерес, так как оно не только позволяет решить вопрос об устойчивости предельного движения в случае гамильтоно-вых систем, но и дает дополнительную информацию, которая необходима при классификации движений. Постановка задачи и первые результаты о существовании асимптотических движений восходят к работам А.М.Ляпунова [47} , А.Пуанкаре [бо] , А.Кнезера [78,79], Ж.Адамара [7б] , П.Боля [б] , Е.Меттлера [во].

Метод, открытый А.М.Ляпуновым и А.Пуанкаре дает возможность установить достаточные условия существования таких движений и получить конструктивное решение в виде рядов по восходящим степеням вспомогательных переменных.

Пусть задана система дифференциальных уравнений = Р*г••• * Ре„«** +

ОС , (I.I)

2 0^,., тп; m m m

Ps № >

1 . i- ^ f±\ D <-eni)"-)mn^ где S = l, n , p (.t) , r c-t) - непрерывные и ограниченные функции Тогда согласно методу Ляпунова-Пуанкаре, если линейная система уравнений, полученная из (I.I), есть правильная и Хк - положительные характеристичные числа этой системы, то систэма уравнений (I.I) допускает решения следующего вида а8ш = Z L a) .-с* fceui , (s^,a)j(i.2) m+.+ пг^й s где Ls Ci) - непрерывные функции -t , характеристичные числа которых не менее нуля, а суммирование распространяется на все целые неотрицательные значения чисел » сумма которых больше нуля.

Первый метод Ляпунова в настоящее время получил дальнейшее развитие (см., например, работы Е.Меттлера [во] , В.И.Зубова [33] ).

Асимптотические к покою движения натуральных механических систем изучали А.Кнезер [78] , Ж.Адамар [7б] , П.Боль [б] и современные авторы В.В.Козлов [4l] , В.П.Паламодов [40] , С.В.Болотин [б] и другие. Эти исследования условно можно разделить на два направления - первое направление относится только к изучению существования асимптотических движений (А.Кнезер, Ж.Адамар, П.Боль), второе направление включает в себя и конст -руктивное построение соответствующих асимптотических решений (В.В.Козлов, В.П.Паламодов). Построенные при этом решения не всегда совпадают по структуре с решениями Ляпунова-Пуанкаре.

Во второй главе на основе метода Ляпунова-Пуанкаре рассмотрен некоторый класс асимптотически равномерных движений гиростата, имеющего неподвижную точку.

Асимптотически равномерным движением гиростата, имеющего неподвижную точку, называют движение, которое при неограниченном возрастании времени стремится к равномерному вращению.

В пункте 2.1 записаны уравнения движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, в форме Эйлера-Пуассона и их первые интегралы. Рассмотрена система уравнений, описывающая движение тела в окрестности равномерных вращений, которая приводится к системе вида (I.I) с постоянными psl , Р£ . Выписаны условия, при которых существуют положительные характеристичные числа линейной системы уравнений, полученной из данной. С помощью теоремы Г.В.Каменкова [35] , обобщающей результаты Ш.Брио и Т.Буке, показано, что система уравнений, описывающая движение тяжелого твердого тела в окрестности равномерных вращений, до ь-Ь пускает решения в виде аналитических функций переменной б=Се

С>0, р<0 оо ОО со-со v° + Z <5 б? v=vVZv б^ (1.3) пг=1 n.=i где со - вектор угловой скорости, а)°=сОо\?° - вектор угловой скорости равномерного вращения. Это решение описывает класс асимптотически равномерных движений тела к неустойчивому равномерному вращению. Данное решение (1.3) зависит в общем случае от одной произвольной постоянной.

Е.Меттлер [во] , используя метод Ляпунова-Пуанкаре, рассмотрел вопрос о построении решений вида (1.2) в задаче о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Предельное состояние при этом соответствует равномерному вращению вокруг вертикали. В отличие от работы Е.Меттлера [80] здесь ряды (1.3) построены в переменных v , со и далее они обобщены в задаче о движении гиростата в центральном ньютоновском поле сил.

В пункте 2.2 изучены асимптотически равномерные движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, описываемые решениями вида (1.3), когда предельным движением является неустойчивое состояние покоя. При этом решения (1.3) имеют вид оо со = Z й^б"? v=-e + Zv6\ (1.4) m=i n=i

Установлены условия,при которых решение (1.4) описывает движения, отличные от движения физического маятника. В частности,если центр масс принадлежит главной оси, например, первой, то движения, отличные от движения физического маятника, возможны только при выполнении условия А2по=Азто , где гп-0 (натуральные числа), а А2 , А3 - моменты инерции относительно небарицентрических осей. Такое соотношение в динамике твердого тела встречается в решении Горячева-Чаплыгина. В случае Лагран-жа движение происходит по закону физического маятника. При вылолнении условия A.KU =A.m.2 (включая случай Лагранжа) реше

• v о о ния (1.4) зависят от двух произвольных постоянных.

В случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости

2- 2 л Г\ эллипсоида инерции (например, е4*е =1, движения физического маятника возможны, если не выполняется условие А, Алп.2

2. 2.Д2 1 2 о

-Hi А3 (Aiei + А2£2)=0 . В противном случае движение по своему характеру отличается от вращения вокруг горизонтальной оси. Такому соотношению в динамике твердого тела удовлетворяют параметры распределения масс, характеризующие гироскоп Гесса-Аппель-рота. Отметим, что при условии, когда центр масс не лежит в главной плоскости эллипсоида инерции, ряды (1.4) заведомо не будут описывать движение вокруг горизонтальной оси.

В пункте 2.3 рассмотрен вопрос о существовании асимптоти -чески равномерных движений, описываемых решениями вида (1.3),в известных случаях интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела. В качестве последних рассмотрены гироскопы Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, Лагранжа. На основе результатов В.В.Румянцева [53,54] показано, что асимптотически равномерные движения гироскопа Ковалевской происходят при выполнении условий

I. = , f С00 - любое; Ч f 4A3v; 0 A.v. о 3 гироскопа Горячева-Чаплыгина при условиях о , 2 Г . о 1 г Г I. V=-d,o)>—— ; 2.-1<V<-T, СО —--• 0 ЗА5 1 3 ЗА5Ч°

Гироскоп Лагранжа не имеет асимптотически равномерных движений, описывающихся рядами (1.3). Таким образом, асимптотически равномерные движения гироскопа Лагранка, выделенные А.М.Ковалевым [38] , не входят в данный класс.

В пункте 2.4 обобщены результаты пункта 2.1 и работы Е.Мет-тлера [во] на случай гиростата в центральном ньютоновском поле сил. В пункте 2.5 рассмотрены свойства асимптотических к покою движений гиростата в поле силы тяжести, когда центр тяжести лежит на главной оси, а гиростатический момент направлен по главной оси, ортогональной барицентрической. Показано, что асимптотическое к покою движение в этом случае отлично от вращения вокруг горизонтальной оси при выполнении условия Г(А'А,п2)А

2 v б о d

- А3Л3 = 0 , где YL0 - натуральное число, - гиростатический момент. Таким соотношением в динамике твердого тела характеризуется решение Л.Н.Сретенского, обобщающее на гиростат случай интегрируемости Д.Н.Горячева-С.А.Чаплыгина. В заключение главы показано, что асимптотически равномерные движения, описываемые решением (1.3), гиростат Жуковского совершает, когда параметры задачи удовлетворяют неравенству

4 2 Аь(АьГ A Ja?> А Afe-4K{ Ы

- Со) где СО - вектор угловой скорости. Отметим, что в силу интеграла энергии гиростат Жуковского не допускает движений, асимптотически стремящихся к покою.

Асимптотические движения, отличные от самых несложных асимптотически равномерных в динамике твердого тела с неподвижной точкой известны только в решениях.Ковалевской [34,28] Горячева-Чаплыгина [27] , Гесса [37,49]. Однако их нахождение не связано с применением единого метода, они получены либо из свойств непосредственного интегрирования уравнений Эйлера-Цуассона [27,28] , либо путем исследования фазовых траекторий [37].

Вращение тела вокруг неподвижной в пространстве горизонтальной оси является уже более сложным, чем равномерное вращение тела - оно описывается эллиптическими функциями Якоби. В силу этого соответствующие уравнения в вариациях содержат переменные коэффициенты, что несомненно затрудняет исследование. В третьей главе указаны два типа гироскопов, для которых эти трудности разрешимы. В пункте 3.1 записаны уравнения движения тяжелого твердого тела в специальной системе координат [бб] . Указаны три первых интеграла задачи. Известно, если центр масс лежит в главной плоскости эллипсоида инерции, то существует частное решение., системы уравнений, описывающей движение твердого тела с неподвижной точкой, характеризующее движение тела вокруг горизонтальной оси. Оно записывается в специальной системе координат в следующем виде

1.5) q> = Гсоас^Уг»

- — здесь tj> - угол между векторами V и е ; ОС , у ,2: -компоненты вектора кинетического момента тела относительно непод

-х- -к- вижной точки; V ,V ,V^ - компоненты единичного вектора V , указывающего направление действия силы тяжести; (Xz - компонента гирационного тензора; Г - максимальное значение величины момента силы тяжести; ё - единичный вектор, направленный из неподвижной точки в центр масс Е - постоянная интеграла энергии. Записаны уравнения для возмущений, в которых дифференцирование проводится по углу су , так как при условии Е > Г угол монотонно возрастает и может быть взят за независимую переменную. Система в вариациях распадается на две замкнутые системы дифференциальных уравнений

1.6) и которые допускают интегралы хй coscf-cc£smcpi*ai3 = тй, (1.8) и coscf-^sincf =m3, (1.9) здесь (/) -штрих означает дифференцирование по Cf ; (t± ,(Х , компоненты гирационного тензора инерции, отнесенные к й2 . Исследованием уравнений в вариациях (1.6),(1.7) занимались Ю.А.Архангельский [з] , А.И.Докшевич [29] , Е.Меттлер [во] . В работе [29] уравнения в вариациях (1.6),(1.7) для частного решения (1.5) рассмотрены лишь с точки зрения их интегрируемости, в работе [з] изучена задача об устойчивости по Ляпунову указанного решения в предположении, что максимальное отклонение центра тяжести тела от положения устойчивого равновесия мало. Е.Меттлер [80] исследовал устойчивость в случае резонанса. В данной главе поставлена задача об изучении условий существования асимптотических движений тела, которые при неограниченном возрастании времени стремятся к движению физического маятника, описываемому соотношениями (1.5) при Е >Г .Та -кие движения называют асимптотически маятниковыми.

В пункте 3.2 построена фундаментальная система решений уравнений в вариациях (1.6),(1.7) в случае (гироскоп

Гесса-Аппельрота). Показано, что полученная фундаментальная система решений нормальная и имеет одно положительное характеристичное число. Согласно теореме Ляпунова [4?] , если система дифференциальных уравнений линейного приближения правильная (система в вариациях (1.6), (1.7) правильная - ее коэффициенты суть периодические функции угла Сj> ) и нормальная система фундаментальных решений имеет положительные характеристичные числа, то существует решение системы в возмущениях по восходящим степеням некоторых вспомогательных переменных. В данном случае это решение имеет вид т cs> fc ^ Cs) u>. fc x^ZL^e1'»), ^=ZMfc(Rie '*), (i.io) r CS) i. (S) где L в » W ft " непрерывные функции q> и не зависят от р^ , характеристичные числа которых не менее нуля, pd - некоторая постоянная величина. В данном пункте указаны рекуррентные форт Cs) у cs; мулы для нахождения Lfc , 1. Ряды (1.10) описывают асимптотически маятниковые движения гироскопа Гесса-Аппельрота.Отметим, что класс асимптотически маятниковых движений гироскопа Гесса-Аппельрота, описываемый соотношениями (1.10), не содержит в себе, как частный случай, решение В.Гесса.

В пункте 3.3 указан второй случай существования асимптотически маятниковых движений гироскопа специального вида. Центр масс данного гироскопа лежит в главной плоскости эллипсоида, построенного в неподвижной точке, и его расположение зависит от моментов инерции:

2 ВОА-С) г А (С-4 В) е< = -^-"> е2= -/ Л „Ч ' (1Л1)

1 С (А-В) С(А-В) которые связаны соотношением

В- *А"*С С.

ЗА-1С

В заключение главы исследован вопрос о существовании в некотором классе функций решения дифференциального уравнения второго порядка [29]

2 Гащ) , - urease,- 4Е*л) ^ ♦ a(q>){(2A2-g)rcosq>^ (£2-А)Гзшср + 2Е (Л-fo}=Тт^е7(I лз) где u С.Ц>) = GC е , X - некоторая постоянная,

-йУЬ*, fe2= • fc3 = (d-ai) , полученного из системы (1.6) на основе интеграла (1.8). Показано, что уравнение (I.I3) не имеет других решений в данном классе, кроме отмеченных в пунктах 3.2, 3.3.

Изоконические движения не столь общий класс движений,как, например, асимптотически равномерные, но они все же часто встречаются в динамике твердого тела. Достаточно отметить,что гироскопы Стеклова и Гриоли совершают изоконические движения для всех допустимых значений параметров, характеризующих соответствующие решения [б7,7о] . Данные движения возникают при использовании метода годографов, согласно которому, движение тела можно представить качением без скольжения подвижного годографа угловой скорости по неподвижному. Этот метод основан на теореме Л.Пуансо [81] и кинематических уравнениях П.В.Харламова [б2] .

Четвертая глава диссертации и посвящена исследованию изо-конических движений тяжелого твердого тела (гиростата), имеющего неподвижную точку.

Изоконическим движением гиростата, имеющего неподвижную точку, называют движение, для которого подвижный и неподвижный аксоиды угловой скорости симметричны друг другу относительно касательной к ним плоскости.

Инвариантное соотношение [77]

60-V = СО-С, (I.I4) где с - неизменный в теле единичный вектор, характеризует условие существования изоконических движений.

В пункте 4.1 дана постановка задачи. Показано, что задача наховдения условий существования изоконических движений гиро -стата сводится к исследованию системы трех алгебраических уравнений, зависящих лишь от компонент вектора угловой скорости. Предложен один способ нахождения этих условий, основанный на известной задаче математической экономики - задаче о назначениях. В пункте 4.2 исследуются условия существования изоконических движений в частных случаях интегрируемости уравнений дви -жения тяжелого твердого тела и гиростата с неподвижной точкой. Предложенный в пункте 4.1 алгоритм применен для нахождения условий существования изоконических движений в решениях Д.Н.Го -рячева [25] , Л.Н.Сретенского [5б] . Показано, что в решении Д.Н.Горячева изоконические движения отсутствуют. Уравнения движения гиростата и интегралы в случае Л.Н.Сретенского записаны в специальной системе координат [б5~[

X.I5) и

Инвариантное соотношение (I.14) запишется так

Здесь постоянные ol , jb , h , e , fc имеют известный вид [Зб] . Для нахождения условий существования изоконических движений в решении Л.Н.Сретенского необходимо решить систему 19 алгебраических уравнений с 8 неизвестными (начальные данные и параметры задачи). Найдено одно решение данной системы е2=0, ее -fe-Cji =0, р2=р* =jbfi+pc + 2cd, (cl|>+ = (рс + 2^)2] (I.I7) p($>bf>ct2cd)2(£cr 2с)=с/^2е)[с1^(|>^с+Ц>2с4е]-, здесь р= ро - полярный радиус ( £=р SLncp, у, = pcoscp );

С , С1 , С2 - компоненты единичного вектора С . Условия (I.I7) соответствуют существованию изоконических движений в случае полурегулярной прецессии.

Показано, что в решении В.Гесса изоконических движений нет. Рассмотрено решение Лагранжа, показано, что других изоконических движений кроме указанных П.В.Харламовым [б4] и В.С.Ел-фимовым [3l] гироскоп Лагранжа не имеет.

Пятая глава диссертации посвящена классификации движений гиростата Н.Е.Дуковского. Решение Н.Е.Цуковского [32] описывает свободное движение гиростата с одной неподвижной точкой. Метод годографов прямого геометрического истолкования, развитый П.В.Харламовым [62J , позволил к настоящему времени получить картину движения твердого тела, во многих случаях интегрируемости уравнений движения (см. обзор [24] ). С этой точки зрения решение Н.Е.Жуковского является мало изученным [15,39,68]. Устойчивость стационарных движений гиростата Буковского рассмотрена в работах [l5,52,83 ] . В пятой главе дана полная клас -сификация движений гиростата Жуковского.

Уравнения движения гиростата Жуковского и их первые инте -гралы запишутся так

Ай)«(Асо+л)*о}, А<й 60 = fe, (АаЗ+л) = ос*. ц.18)

Введем единичный вектор V , направленный по неподвижному в пространстве вектору момента количества движения гиростата сс-ь 4-Х .В подвижной системе он имеет координаты v lllk, (1.19) где р , ty , г - компоненты вектора угловой скорости со .

В пункте 5.1 рассмотрены асимптотически равномерные движе -ния гиростата Жуковского. Указаны условия существования таких движений. Исследованы необходимые и достаточные условия существования асимптотически равномерных движений в частных случаях.

Инвариантное соотношение (I.I4) с учетом интеграла энергии в случае Н.Е.Жуковского примет вид р(с1х0-л1) + с^(с2зс0-л2) + г(с4л0-л3)=0. (1.20)

Соотношение (1.20) является линейным инвариантным соотношением специальной структуры. К такому нее соотношению приводится и равенство

CL-V =а0, (I.2I) где CL - единичный вектор, компоненты V должны быть подставлены из (I.I9). Равенство (I.2I) характеризует постоянство угла между векторами а и ссо , то есть прецессионное движение ги -ростата Жуковского. Пункты 5.2,5.3 посвящены исследованию линейного инвариантного соотношения (I.2I). В пункте 5.2 указаны условия на параметры задачи, при которых гиростат Жуковского оо -вершает регулярную и полурегулярную прецессии. Показано, что аналога полурегулярной прецессии в решении Эйлера нет. В пункте 5.3 рассмотрено соотношение (1.20). Указаны условия на параметры задачи, при которых гиростат Жуковского совершает изоконичес-кие движения. В заключение главы показано, что в общем случае гиростат Жуковского совершает об - условно-периодическое движение [22].

Автор выносит на защиту следующие положения:

1. На основе первого метода Ляпунова и теоремы Г.В.Каменкова построены решения уравнений Эйлера-Пуассона в виде рядов по вспомогательной переменной, описывающие асимптотически равномерные движения тяжелого твердого тела (пункт 2.1).

2. Изучены асимптотические к покою движения тела и указаны условия на параметры, характеризующие распределение масс,при выполнении которых данное движение по своему характеру отличается от движения вокруг горизонтальной оси (пункт 2.2).

3. Обобщены результаты на случай движения гиростата в центральном ньютоновском поле сил (пункт 2.4).

4. На основе метода А.М.Ляпунова, А.Пуанкаре построены асимптотически маятниковые движения для двух типов гироскопов с одной неподвижной точкой (пункты 3.2-3.3).

5. Предложен способ исследования изоконических движений в динамике твердого тела. Выделены новые случаи изоконических движений в решении Л.Н.Сретенского (пункты 4.1-4.2).

6. Изучены асимптотически равномерные и изоконические движения гиростата Жуковского (глава 5).

Основные результаты диссертации были доложены на Ш Республи -канском совещании по проблемам динамики твердого тела (Донецк, 9-12 сентября 1981 г.), на 17 Республиканском совещании по проблемам динамики твердого тела (Донецк, 1-2 ноября 1984 г.), на семинарах отделов прикладной и технической механики Института прикладной математики и механики АН УССР, на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Донецкого государственного университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

0-и] •

Считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность и глубокую признательность своему научному руководителю-доктору физико-математических наук Г.В.Горру за постановку задач и внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Вархалев, Юрий Петрович

5.4. Выводы.

В данной главе дана полная классификация движений гиростата Жуковского:

1. Указаны условия существования асимптотически равномерных движений в зависимости от значений гиростатического момента.

2. Изучены прецессионные движения относительно вектора кинетического момента. Найден новый случай полурегулярной прецессии, для которого прямая, образующая неизменный угол с вектором-моментом количества движения, ортогональна круговому сечению ги-рационного эллипсоида.

3. Исследованы условия существования изоконических движений. Найдены два новых случая изоконических движений.

4. Показано, что в общем случае гиростат Жуковского совершает cL -условно-периодическое движение.

Список литературы диссертационного исследования Вархалев, Юрий Петрович, 1984 год

1. Анчев А. О перманентных вращениях тяжелого гиростата, имеющего неподвижную точку. - Прикл. математика и механика, 1967, т.31, вып.1, с.49-58.

2. Аппельрот Г.Г. Не вполне симметричные тяжелые гироскопы. -В кн.: Движение твердого тела вокруг неподвижной точки: Сб. посвящ. памяти С.В.Ковалевской. М., Л.: Изд-во АН СССР,1940, с.61-155.

3. Архангельский Ю.А. Об устойчивости движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в одном частном случае. -Прикл. математика и механика, I960, т.24, № 2, с.294-302.

4. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. М.:Наука,1965. - 416с.

5. Болотин С.В., Козлов В.В. Об асимптотических движениях уравнений динамики. Вестник Московского ун-та. Серия I. Математика, механика, 1980, М, с.84-89.

6. Боль П. Собрание трудов. Изд-во "Зинатне", Рига, 1974г." 517с.

7. Вархалёв Ю.П. Об изоконических движениях твердого тела, имеющего неподвижную точку. В кн.: Третье Республиканское совещание по проблемам динамики твердого тела. Тез. докл., Донецк, 1981, с.8.

8. Вархалёв Ю.П. Асимптотически равномерные движения гиростата. -Механика твердого тела, 1983, вып.15,с.93-98.

9. Вархалёв Ю.П. Об асимптотически маятниковых движениях двух типов гироскопов. В кн.: Четвертое Республиканское совещание по проблемам динамики твердого тела. Тез. докл., Донецк, 1984, с.9-10.

10. Вархалев Ю.П.,Горр Г.В. Изоконические движения твердого тела, имеющего неподвижную точку. Механика твердого тела, 1982, вып.14, с.20-33.

11. Вархалев Ю.П.,Горр Г.В. Новый класс асимптотически равномерных движений тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Прикл. математика и механика, 1982, т.46, вып.З,с.397-400.

12. Вархалев Ю.П.,Горр Г.В. Свойства одного класса асимптотических движений тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Математическая физика и нелинейная механика, 1984, вып.2(36), с.14-18.

13. Вархалев Ю.П.,Горр Г.В. Асимптотически маятниковые движения гироскопа Гесса-Аппельрота. Прикл. математика и механика, 1984, т.48, вып.З, с.490-493.

14. Е4. Вархалев Ю.П. ,Горр Г.В. К вопросу о классификации движений гиростата Жуковского. Прикл. механика, 1984, т.20, Ш, c.I04-III.

15. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. -292с.

16. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. М.: Наука, 1981.-143с.

17. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостех-издат, 1953. - 287с.

18. Горр Г.В. Об одном движении тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина. Прикл. математика и механика, 1970, т.34, вып.6, C.II39-II43.

19. Горр Г.В. Асимптотически равномерные движения твердого тела с неподвижной точкой в потенциальном поле сил. Механикатвердого тела, 1980, вып. 12, с.19-26.

20. Горр Г.В. Новый класс асимптотических движений тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Докл. АН СССР, 198I, т. 260, «6, с.1316-1317.

21. Горр Г.В. Необходимые условия существования асимптотически равномерных движений тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Механика твердого тела, 1981, вып. 13, с. 27-34.

22. Горр Г.В.,Илюхин А.А.,Ковалев A.M.,Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. К.: Наукова думка, 1984. - 286с.

23. Горр Г.В. Методы исследования движений твердого тела и их приложение в классификации движений. Механика твердого тела, 1982, вып. 14, с.54-74.

24. Горр Г.В.,Кудряшова Л.В.Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и современное состояние. -К.: Наукова думка, 1978. 296с.

25. Докшевич А.И. Качественное исследование решения Горячева-Чаплыгина. Мзханика твердого тела, 1972, вып. 4,с.3-8.

26. Докшевич А.И. Об одном частном решении системы Эйлера-Пуассона при условиях Ковалевской. Механика твердого тела, 1980, вып. 12, с.16-19.

27. Докшевич А.И. Об уравнениях в вариациях соответствующих вращению тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, вокруг горизонтальной оси. Математическая физика, 1968,вып. 5, с.68-73.

28. Дружинин Э.И. Устойчивость стационарных движений гиростата.-Тр. Казан, авиац. ин-та, 1966, вып.92, с.12-23.

29. Елфимов B.C. О геометрическом исследований движений гиро -скопа Лагранжа. Механика твердого тела, 1979, вып.II,с.22-32.

30. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч., T.I, М.: Гостехиздат, 1949, с.31-152.

31. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.271 с.

32. Каменков Г.В. Устойчивость и колебание нелинейных систем.-М.: Наука, 1972. 256 с.

33. Ковалев A.M. О движении тела в случае Л.Н.Сретенского. -Прикл. математика и механика, 1968, т.32, вып.З, с.535-542.

34. Ковалев A.M. О движении тела в случае Гесса. Механика твердого тела, 1969, вып.1, с.12-27.

35. Ковалев A.M. Асимптотически равномерные движения гироскопа Лагранжа. Механика твердого тела, 1974, вып.7, с.45-47.

36. Ковалева Л.М. Один случай движения гиростата по инерции. Разделяющие движения. Механика твердого тела, 1978, вып. 10, с.41-45.

37. Козлов В.В., Паламодов В.П. Об асимптотических решениях уравнений динамики. Бестн. Московского ун-та. Сер. I. Математика, механика, 1980, М, с.84-89.

38. Козлов В.В. Асимптотические решения уравнений классической механики. Прикл. математика и механика, 1982, т.46, вып. 4, с.573-577.

39. Кузьмин П.А. К теории перманентных вращений. Известия вузов. Авиац. техника, 1958, №2, с16-19.

40. Кузьмин П.А. Стационарные движения твердого тела и их устойчивость в центральном поле тяготения. В кн.: Труды межвузовской конф. по прикл. теории устойчивости движения и аналит. механике (Казань,1962). Казань, 1964, с.93-98.

41. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. 432с.

42. Леви-Чивита Т.,Амальди У. Курс теоретической механики. -В 2-х т., Т.2.,4.2., М.: Изд-во иностран. лит., 1951. 555с.

43. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824с.

44. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. сочинений., Т.2, М.-Л.: Изд-во АН СССР, с.7-264.

45. Млодзеевский Б.К. О перманентных осях в движении твердого тела около неподвижной точки. Труды отд-ния физ. наук об-ва любителей естествознания, 1894, т.7, вып. I, с. 46-48.

46. Млодзеевский Б.К.,Некрасов П.А. Об условиях существования асимптотических периодических движений в задаче Гесса. -Труды отд-йия физ. наук об-ва любителей естествознания, Т.6, вып. I, 1893, с.43-52.

47. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды В 3-х т., T.I, М.: Наука, 1971. - 771с.

48. Рубановский В.Н. О бифуркации и устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. -Теор. и прикл. механика, 1974, т.5, $ 2, с.55-70.

49. Рубановский В.Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений в некоторых задачах динамики твердого тела. -Прикл. математика и механика, 1974, т.38, вып.4, с.616-627.

50. Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела. Прикл. математика и механика, 1956, т.20, вып.1, с.51-65.

51. Румянцев В.В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки. Прикл. математика и механика, 1957, т.21, вып.З, с.339-346.

52. Савченко А.Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. К.: Наукова думка, 1977. - 160 с.

53. Сретенский Л.Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата. Докл. АН СССР, 1963, 149, № 2,с.292-294.

54. Сретенский Л.Н. Движение гироскопов Горячева-Чаплыгина. -Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, 1953, № I, с.109-119.

55. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат,1946.-655 с.

56. Харламов М.П. О построении аксоидов пространственного движения твердого тела. Механика твердого тела, 1980, вып.12, с.3-8.

57. Харламов М.П. О построении годографов угловой скорости те -ла, имеющего неподвижную точку. Механика твердого тела, 1981, вып.13, с.10-14.

58. Харламов П.В. Об уравнениях движения гиростата. Тр. меж -вузовской конференции по прикл. теории устойчивости движе -ния и аналит. механике. Казань, 1964.

59. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела имеющего неподвижную точку. Прикл. математика и механика, 1964, т. 28, вып. 3, с.502-507.

60. Харламов П.В. О равномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку. Прикл. математика и механика, 1965, т. 29, вып.2, с.373-375.

61. Харламов П.В. Геометрические методы исследования движения твердого тела. В кн.: Третья Всесоюз. Четаевская конференция по устойчивости движения, аналит. механике и управлению движением. Тез. докл. Иркутск,1977, с.27.

62. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. Новосибирск: Изд-во Н1У, 1965. -221с.

63. Харламов П.В. Об алгебраических инвариантных соотношениях уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку. Механика твердого тела, 1974, вып. 6, с.25-33.

64. Харламова Е.И. Об одном движении тела, имеющего неподвижную точку. Механика твердого тела, 1970, вып. 2, с.15-23.

65. Харламова Е.И. О движении гиростата по инерции. Механика твердого тела, 1978, выл. 10, с.34-40.

66. Харламова Е.И.Ковалева Л.М. Уравнения движения гиростата в ньютоновском поле сил. Механика твердого тела, 1972, вып. 4, с.92-98.

67. Харламова Е.И.,Мозалевская Г.В. Исследование решения В.А. Стек-лова уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку. -Математическая физика, 1968, вып. 5, с.194-202.

68. Харламова Е.И.,Харламов П.В. О решении Лагранжа дифференциальных уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку.

69. Механика твердого тела, 1969, вып. I, с.28-34.

70. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращения твердого тела с однойнеподвижной точкой в случае Лагранжа. Прикл. математика и механика, 1954, т.18, № I, с.123-124.

71. Чудненко А.Н. Устойчивость равномерных вращений твердого тела вокруг осей, не совпадающих с главными. Механика твердого тела, 1979, вып.II, с.78-87.

72. Grioli G. Eaiatenza е determinazione delle precessioni re-golari dinamicamente possibili per un solido pesante asim-metrico, Ann. mat. pura ed appl., 1947, Serie 4, t.26,fазе. 3-4, p. 271-281.

73. Hadamard J. Sur certaines propridtes des trajectoirea en dynamique. Journal de math£matique, 5 me, t. 111,1987.

74. Heas W. Uber die Eulerachen Bewegungagleichungen und liber eine neue partikulSre L63ung des Problems des Bewegung einea starren achweren K'drpers um einen featen Punkt. -Math. Ann,, 1890, 37, H. 2, S. I53-I8I.

75. Pabbri R. Sul lea rotationa iaoconiquea. C.r. Acad. t.I98, 1934, p.I746-I747.

76. Kneser A. Studien Uber die Bewegungsvorgange in der Umgebun-ginstabiler Gleichgewichttalagen. (Erater Aufsatz). Journal flir die reine und angewandte Mathematik, B. 115.» H. 4, 1895, S. 308-327.

77. Kneser А» Studien Uber die Bewegungsvorgange in der Umge -bund instabiler Gleichgewichtalagen. (Zweiter Aufsatz). -Journal fUr die reine und angewandte Mathematik, B. 118, H. 3, 1897, S. 186-223.

78. Mettler E. Periodischa und aaymptotiache Bewegung des unaym-metrischen achweren Kreisela. Mathematische Zeita.chrift, 1937, B. 43, H. I, S. 59-100.

79. Poinsot L. Theorie nouvelle la rotation des corps. Paris, Bachelier imprimeur libraire. 1851.

80. Staude 0. Uber permanente Rotationsaxen bei der Bewegung eines schweren Korpers um einen festen Punkt. J, reine und angew. Math., 1851, 42, p. 95-116.

81. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes. -Acta math., 1899, 22, p. 201-353.