Исследование и решение обратных задач в проблемах моделирования гидрофизических полей в акваториях с жидкими границами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Шелопут Татьяна Олеговна

• Шелопут Татьяна Олеговна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Шелопут Татьяна Олеговна

Введение

Глава 1. Проблема моделирования гидротермодинамики открытых акваторий: обзор известных методов и формулировка класса обратных задач

1.1. Обзор информационных источников по проблеме математического моделирования гидротермодинамики открытых акваторий

1.2. Формулировка класса задач вариационной ассимиляции данных в проблемах моделирования открытых акваторий

Глава 2. Задача вариационной ассимиляции данных о температуре на жидкой границе

2.1. Постановка задачи

2.2. Исследование разрешимости обратной задачи

2.3. Алгоритм решения задачи

2.4. Результаты численных экспериментов

2.5. Использование предложенного алгоритма для учета потока соленой воды через открытую границу Балтийского моря

2.6. Выводы

Глава 3. Восстановление граничных функций на жидкой границе для задачи, основанной на линеаризованной системе уравнений мелкой воды

3.1. Численное решение задачи вариационной ассимиляции данных об уровне на жидкой границе в модели гидротермодинамики Балтийского моря

3.2. Восстановление граничной функции по данным о баротропных скоростях для задачи распространения поверхностных волн в акватории с открытой границей. Сравнение двух методов восстановления граничной функции

3.3. Метод разделения области для задачи вариационной ассимиляции данных об уровне в модели гидродинамики открытой акватории1

Глава 4. Использование полученных результатов по восстановлению граничных условий на жидких границах

4.1. Информационно-вычислительная система вариационной ассимиляции данных

наблюдений "ИВМ РАН-Балтийское море"

4.2. Описание возможностей ИВС

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и решение обратных задач в проблемах моделирования гидрофизических полей в акваториях с жидкими границами»

Введение

Настоящая работа посвящена исследованию и численному решению некоторых обратных задач и задач вариационной ассимиляции данных наблюдений, возникающих при моделировании гидротермодинамики в акваториях с жидкими границами. Под жидкими (открытыми) границами акватории в данной работе подразумеваются границы типа "вода-вода", отделяющие рассматриваемую акваторию от других водных областей, например, южные границы Индийского океана, северные границы Баренцева, Карского морей, границы, проходящие по проливам, устьям рек и т.д. При этом сама поверхность акватории (которую можно также рассматривать как жидкую границу) в число жидких границ не включается. В основе данной работы лежит общая методология исследования и решения обратных задач и задач оптимального управления, изложенная в [1].

Актуальность темы исследования. В настоящее время одним из активно развивающихся направлений науки и технологий является математическое моделирование и создание систем мониторинга и прогнозирования отдельных акваторий (морей, заливов, открытых акваторий океанов) и прибрежных территорий. Актуальность данной тематики обоснована необходимостью оценки последствий антропогенных воздействий на морские территории, решения задач морской навигации, прогноза погоды, моделирования и оценки последствий штормов и течений, вызванных ураганами, и т.п. Не менее актуальной темой является прогнозирование изменений характера циркуляции и климатических изменений для выбранной акватории. Для корректного воспроизведения физических явлений в отдельных акваториях требуются мелкие масштабы пространственных сеток (1-2 км) и учет специфики рассматриваемой зоны. Для решения таких задач создаются региональные модели.

Разработчики региональных моделей гидротермодинамики открытых акваторий неизбежно сталкиваются с проблемой постановки граничных условий на жидких границах. От способа задания граничных условий на открытых границах напрямую зависит полученный результат как при долгосрочных расчетах, так и в задачах оперативного прогноза. Идеальные граничные условия на открытых границах позволяют волнам и потокам, которые генерируются внутри моделируемой области, свободно проникать через жидкую границу; также открытые границы должны быть проницаемы для волн и потоков, приходящих извне. Одна из трудностей в постановке таких условий связана с тем, что математические модели, описывающие гидрофизические процессы в морях и океанах, сложны и нелинейны. Другая трудность - отсутствие точной информации о внешних («приходящих») потоках энергии и массы. Неудачное задание граничных условий на открытых границах приводит к искажению

результатов моделирования, несоответствию полученных результатов с наблюдаемыми полями течений, температуры и т.д. При долгосрочных (климатических) расчетах адекватное задание граничных условий на жидких границах является особенно важной задачей.

Степень разработанности темы исследования. Существуют различные приближения, которые можно применить для задания граничных условий на жидких границах. В некоторых региональных моделях на открытых границах ставятся условия излучения, которые реализуются в соответствии со схемой, предложенной в работе [2]. Еще одним распространенным приемом является использование осредненных данных о потоках через открытую границу (см., например, [3]). Иногда возможно провести предварительный расчет по акватории большего размера (например, всего Мирового океана) на грубой сетке и использовать полученные данные в качестве граничных условий на жидкой границе. Развитием данной идеи является метод вложенных сеток - с обратной связью [4, 5], с неполной обратной связью и без обратной связи [6]. Каждый из перечисленных способов имеет свои преимущества, недостатки и сферу применения - проблема учета жидких границ в моделях в настоящее время не считается решенной и остается актуальной.

В работе [7] сформулирован класс обратных задач, связанных с моделированием гидротермодинамических параметров (уровня, скоростей,температуры, солености, и др.) в открытых акваториях. В рамках данного подхода функции в граничных условиях на жидких границах, характеризующие влияние Мирового океана на рассматриваемую область, считались неизвестными. В работе рассмотрены некоторые обратные задачи о восстановлении таких «граничных функций» с использованием имеющихся данных о гидротермодинамических параметрах («данных наблюдений»). Тот же подход был использован в ряде других работ [8-10]. В настоящей работе был использован этот подход.

Основной целью работы является постановка и исследование некоторых обратных задач и задач вариационной ассимиляции данных наблюдений, возникающих при моделировании гидротермодинамики в открытых акваториях, сравнение и оценка эффективности различных подходов к решению обратных задач, реализация алгоритмов в численной модели гидротермодинамики открытой морской акватории.

Содержание работы. В качестве математической модели гидротермодинамики открытой акватории используется модель, разработанная в ИВМ РАН и основанная на методе расщепления. Данный метод, используемый в качестве метода аппроксимации по времени, позволяет рассматривать полную задачу ассимиляции как последовательность линейных подзадач. В Главе 1 настоящей работы приводится обзор источников по проблеме математического моделирования гидротермодинамики открытых акваторий, формулируется несколько

обратных задач о восстановлении неизвестных граничных функций в граничных условиях на жидких границах, соответствующих шагам метода расщепления.

В Главе 2 сформулирована и исследована обратная задача о восстановлении неизвестной функции в граничных условиях на жидких границах для нестационарной начально-краевой задачи конвекции-реакции-диффузии, соответствующей задаче о распространении тепла. Данная задача была также сформулирована как задача вариационной ассимиляции данных о температуре. Предложен итерационный алгоритм для решения данной задачи и показано, что достаточным условием сходимости алгоритма является наличие данных наблюдений на открытой границе. Блок ассимиляции данных был включен в соответствующий модуль численной модели Балтийского моря, разработанной в ИВМ РАН на базе модели Мирового океана ШМОМ, что привело к лучшему соответствию вычисляемых профилей температуры по глубине и наблюдаемых профилей вблизи открытых границ акватории Балтийского моря. Теоретические результаты данной главы были использованы для исследования и решения задачи вариационной ассимиляции данных о солености на жидкой границе, которое проводилось аналогично. Алгоритм вариационной ассимиляции данных о солености был сформулирован и использован для моделирования большого балтийского затока 2014 года; результаты численного эксперимента показали лучшее соответствие с наблюдаемыми полями солености, чем полученные с использованием "nudging"-метода.

В Главе 3 сформулирована и исследована обратная задача о восстановлении неизвестной функции в граничных условиях на жидких границах для задачи, основанной на линеаризованной системе уравнений мелкой воды, с привлечением данных о баротропных скоростях. Предложен итерационный алгоритм решения задачи. Также приведен ряд результатов численных экспериментов по сравнению полученного алгоритма с алгоритмом ассимиляции данных об уровне моря, предложенным в работах [8, 9]. Показано, что если данные наблюдений - гладкие функции, алгоритм, рассмотренный в настоящей работе, и алгоритм, предложенный в работах [8, 9], сходятся с одинаковой скоростью. В эксперименте с данными, в которые был внесен искусственный «гауссов» шум, метод, рассмотренный в данной работе, показал лучшее соответствие с точным решением.

В Главе 3 также сформулирован итерационный алгоритм решения задачи вариационной ассимиляции данных об уровне на жидкой границе для численной модели гидротермодинамики, основанной на методе расщепления, и рассмотрены результаты применения алгоритма к решению задачи моделирования гидротермодинамики Балтийского моря, а также проблемы реализации алгоритма с реальными данными наблюдений. Для ассимиляции были использованы данные спутниковой альтиметрии и данные наблюдений за уровнем моря на

уровнемерных постах.

Также в Главе 3 сформулирована и исследована обратная задача о восстановлении граничных функций на внешних и внутренних жидких границах для модели гидродинамики открытой акватории, основанной на линеаризованной системе уравнений мелкой воды. Под внешней жидкой границей подразумевается граница, отделяющая рассматриваемую акваторию от Мирового океана. Под внутренней жидкой границей подразумевается граница, которая вводится при использовании метода разделения области. В работе проведено теоретическое исследование обратной задачи, в том числе доказана однозначная и плотная разрешимость, а также сформулирован итерационный алгоритм ее решения. Данный алгоритм может рассматриваться как совместное применение методов вариационной ассимиляции данных и разделения области. Алгоритм также подразумевает возможность независимого решения в подобластях прямой и сопряженной задач, поэтому может также рассматриваться как параллельный алгоритм вариационной ассимиляции данных. Для иллюстрации результатов теоретических исследований приведены результаты численного эксперимента для модельной задачи.

В Главе 4 описан пример использования сформулированных в работе алгоритмов в информационно-вычислительной системе (ИВС) «ИВМ РАН-Балтийское море». Также приводится описание комплекса программ, составляющих ИВС, и возможностей ИВС.

Научная новизна. В работе подробно рассмотрен подход к учету жидких границ при математическом моделировании гидротермодинамики открытых акваторий, основанный на методе вариационной ассимиляции данных. Проведено теоретическое исследование задачи вариационной ассимиляции данных о температуре. Впервые сформулирована и исследована обратная задача о восстановлении неизвестной функции в граничных условиях на жидких границах для задачи, основанной на линеаризованной системе уравнений мелкой воды, с привлечением данных о баротропных скоростях. Предложен итерационный алгоритм решения этой задачи. В эксперименте с данными, в которые был внесен искусственный «гауссов» шум, данный алгоритм показал лучшее соответствие с точным решением, чем метод, предложенный в работах [8, 9]. Впервые сформулирована и исследована обратная задача о восстановлении граничных функций на внешних и внутренних жидких границах для модели гидродинамики открытой акватории, основанной на линеаризованной системе уравнений мелкой воды. Предложен итерационный алгоритм решения задачи, который может быть интерпретирован как совместное применение методов вариационной ассимиляции данных и разделения области, а также дающий возможность независимого решения в подобластях прямой и сопряженной задач.

Теоретическая ценность работы. В работе сформулированы обобщенные и операторные постановки обратных задач, проведено теоретическое исследование задач, получены условия их однозначной и плотной разрешимости. Предложены итерационные алгоритмы решения задач и сформулированы достаточные условия их сходимости. Полученные теоретические результаты сформулированы в виде теорем.

Практическая ценность работы. В работе проведен анализ эффективности предложенных алгоритмов, определены сферы возможного практического применения того или иного алгоритма. Алгоритмы вариационной ассимиляции данных о температуре (солености) и об уровне на жидкой границе реализованы в модели гидротермодинамики Балтийского моря. Алгоритм вариационной ассимиляции данных о температуре также реализован в качестве подключаемого блока в информационно-вычислительной системе ассимиляции данных «ИВМ РАН-Балтийское море».

В работе были использованы следующие методы и подходы: методы теории сопряженных уравнений; методы вариационной ассимиляции данных наблюдений; теория обратных и некорректно поставленных задач; методы вычислительной математики для численного решения начально-краевых задач; методы разделения области; современные инструменты для численной реализации алгоритмов и разработки комплексов программ; современные инструменты для обработки, интерполяции и визуализации данных.

Положения, выносимые на защиту. Основной результат: проведено теоретическое исследование и разработаны алгоритмы решения обратных задач и задач вариационной ассимиляции данных наблюдений, позволяющие учитывать жидкие границы при моделировании гидротермодинамики в открытых акваториях для моделей, основанных на методе расщепления. В частности:

• проведено теоретическое исследование и разработан алгоритм решения задачи вариационной ассимиляции данных о температуре на жидкой границе, разработанный алгоритм внедрен в численную модель гидротермодинамики Балтийского моря и включен в ИВС «ИВМ РАН-Балтийское море»;

• сформулирована и исследована обратная задача о восстановлении неизвестной функции в граничных условиях на жидких границах для задачи, основанной на линеаризованной системе уравнений мелкой воды, разработан новый алгоритм ее решения и проведен ряд численных экспериментов, иллюстрирующих эффективность алгоритма;

• разработан и обоснован алгоритм совместного применения методов вариационной ассимиляции данных об уровне на жидкой границе и разделения области, дающий возмож-

ность независимого решения в подобластях прямой и сопряженной задач;

• разработан программный комплекс по решению задачи вариационной ассимиляции данных наблюдений за уровнем на жидкой границе для численной модели гидротермодинамики Балтийского моря.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных теоретических результатов обосновывается строгостью и последовательностью рассуждений и подтверждается результатами численных экспериментов. Достоверность результатов численных экспериментов подтверждается использованием известных численных методов и проведенным сравнением с данными измерений и результатами референтных расчетов.

Основные результаты работы докладывались автором и обсуждались: на научных семинарах ИВМ РАН, ИВМиМГ СО РАН, МФТИ; на международных конференциях: «ApplMath20» (2020), «YIC 2019» (2019), «7th IEEE/OES Baltic Symposium» (2018), «ESA Baltic from space Workshop» (2017), «СПММОИ и ПВ - 2017», «EGU General Assembly 2017», «IV International Conference "Modern Information Technologies in Earth Sciences"» (2016), «Марчуковские научные чтения 2020», на 9-ой и 10-ой международных школах-семинарах «Спутниковые методы и системы исследования Земли» (2018, 2019); на всероссийских конференциях: XIX и XX Всероссийских конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (2018, 2019), 15-ой, 16-ой и 18-ой Всероссийских открытых конференциях "Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса"» (2017, 2018, 2020), 59-ой, 60-й и 61-ой Всероссийской научной конференции МФТИ (2016-2018), научной конференции «Ломоносовские чтения» (2017), научной конференции «Тихоновские чтения» (2017), XVII Всероссийской Конференции-школе молодых исследователей "Современные проблемы математического моделирования" (2017), VIII Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (2016).

Результаты работы были отмечены почетным дипломом на XIX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям в 2018 году.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в рецензируемых международных и российских изданиях [11-21], среди которых «Journal of Marine Science and Engineering», «Известия РАН. Физика атмосферы и океана», «Журнал вычислительной математики и математической физики», «Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса», «Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling» и

другие. По результатам работы опубликовано 11 статей, среди которых 8 входят в международные системы цитирования Web of Science, Scopus, 7 - в журналах, включенных в списки ВАК. Также автор имеет «Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ» [22] и является соавтором одной монографии [23].

Личный вклад автора. Теоретическое исследование задач и формулировка алгоритмов их решения осуществлены автором лично под научным руководством Агошкова В. И. Реализация алгоритмов численного решения задач, в том числе применительно к акватории Балтийского моря, дальнейшее исследование и сравнение методов, а также постановка и исследование задачи о восстановлении граничной функции по данным о баротропных скоростях проведены автором лично. Постановка и численное решение задачи о совместном применении метода разделения области и вариационной ассимиляции данных об уровне на жидкой границе осуществлены совместно с Лёзиной Н. Р.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 128 страниц, включая 40 рисунков, 3 таблицы и список литературы из 101 наименования.

Благодарности. Автор выражает благодарность главному научному сотруднику ИВМ РАН, д.ф.-м.н., профессору Агошкову Валерию Ивановичу за научное руководство, а также ученому секретарю ИВМ РАН, д.ф.-м.н., профессору Шутяеву Виктору Петровичу, ведущему научному сотруднику ГЦ РАН, д.ф.-м.н. Лебедеву Сергею Анатольевичу, старшему научному сотруднику ИВМ РАН, к.ф.-м.н. Пармузину Евгению Ивановичу, старшему научному сотруднику ИВМ РАН, к.ф.-м.н. Захаровой Наталье Борисовне, старшему научному сотруднику ИВМ РАН, к.ф.-м.н. Гусеву Анатолию Владимировичу, к.г.н. Тихоновой Наталье Александровне, к.ф.-м.н. Новикову Ивану Сергеевичу, Фомину Владимиру Васильевичу, Асееву Никите Александровичу, Лёзиной Наталье Романовне за плодотворное научное сотрудничество, обсуждение результатов работы и полезные замечания.

Глава 1

Проблема моделирования гидротермодинамики открытых акваторий: обзор известных методов и формулировка

класса обратных задач

В данной главе проводится обзор известных методов по проблеме моделирования гидротермодинамики открытых акваторий и формулируется класс обратных задач, возникающих при моделировании гидрофизических полей в акваториях с жидкими границами.

1.1. Обзор информационных источников по проблеме

математического моделирования гидротермодинамики открытых акваторий

1.1.1. Методы задания граничных условий на открытых границах морской акватории

Существуют различные приближения, которые можно применить для задания граничных условий на жидких границах. Иногда используется приближение «материальной» границы - жидкая граница считается подвижной, и на ней задается условие «непротекания» [24]. Такое приближение часто применяется при моделировании течения вязких жидкостей и в других задачах. Однако, поскольку в данном случае граница является дополнительным неизвестным задачи, данный метод редко фигурирует в задачах моделирования морей и океанов. Еще одним распространенным приемом является использование осредненных данных о потоках через открытую границу (см., например, [3]). Однако, такой способ не учитывает изменчивости водообмена (связанной, например, с характером атмосферной циркуляции). Иногда возможно провести предварительный расчет по всей акватории Мирового океана на грубой сетке и использовать полученные данные в качестве граничных условий на жидкой границе. Развитием данной идеи является метод вложенных сеток - с обратной связью [4, 5], с неполной обратной связью и без обратной связи [6]. Одной из проблем данного метода является разрыв решения на границе раздела областей. Также, каждая конкретная реализация метода вложенных сеток имеет свои преимущества и недостатки [6].

Одним из существующих методов, которые можно применить для учета открытых гра-

ниц в моделях, является использование вариационной ассимиляции данных наблюдений. Так, имея данные наблюдений в некоторый момент времени, можно поставить обратную задачу о восстановлении потоков через открытую границу. Такой подход был предложен в работах [7, 8, 10, 25-27]. Способы применения методов вариационной ассимиляции данных для учета жидких границ в моделях открытых акваторий более подробно рассмотрены в следующем подразделе.

Выбор формы записи граничных условий на жидких границах также является предметом дискуссий. В некоторых региональных моделях (в частности, в модели Regional Oceanic Modeling System (ROMS) [28]) на открытых границах ставятся условия излучения, которые реализуются в соответствии со схемой, предложенной в работе [2]. В отечественных работах [29, 30] встречаются примеры успешной реализации данной схемы при моделировании открытых акваторий. Однако, условие излучения не имеет отношения к закону сохранения массы воды в области, поэтому возможно нереалистичное ее изменение [30]. Постановка граничных условий во многом зависит от используемых упрощений. В частности, моделям, основанным на системе уравнений мелкой воды, посвящено немало работ, в которых приведено исследование обратных задач [9, 21, 31]. Ситуация усложняется в случае моделей, основанных на трехмерных уравнениях Навье-Стокса. Однако, некоторые результаты получены и в этом направлении [10].

Остановимся более подробно на различных формах записи граничных условий на жидких границах и сферах применения данных формулировок в задачах моделирования гидротермодинамики открытых акваторий.

Одной из известных работ по данной тематике является работа И. Орланского [32]. Модели гидротермодинамики могут быть представлены системами уравнений в частных производных с набором начальных и краевых условий. В задачах с преобладающей конвекцией и/или волновыми процессами способ задания граничных условий на жидких границах может оказаться определяющим фактором, напрямую влияющим на процессы, происходящие внутри моделируемой области. В таких случаях требуется граничное условие, которое позволяет явлениям, генерируемым внутри рассматриваемой области, проходить через границу без существенного искажения [32]. Таким условием для гиперболических задач может являться условие излучения (условие Зоммерфельда, [33]), записанное на жидкой границе:

Зф/dt + Сфх = 0,

где ф - некоторая переменная (например, отклонение уровня моря от среднего многолетнего), а С - фазовая скорость. Существует несколько способов оценки фазовой скорости. К

самым простым относится оценка С = Ах/At, где Ах и At - пространственный и временной масштабы сетки соответственно, или С = у/дН [34], где g - ускорение свободного падения, H

- локальная глубина моря. В работе [32] предложен способ численного определения фазовой скорости в каждой точке границы по соседним точкам сетки. Было показано, что в одномерном случае произвольная волна не испытывает отражения на открытой границе, если для задания граничных условий используется предложенный метод. Также были рассмотрены случаи с двумерными и трехмерными областями. В дальнейшем учеными было проведено множество исследований по оценке эффективности данного метода на различных примерах и предложен ряд модификаций. В частности, в работе [34] проведен сравнительный анализ различных типов граничных условий в баротропной модели гидродинамики прибрежных зон океана с ветровым воздействием. Модель основана на системе уравнений мелкой воды, рассматриваемой в области с боковыми границами, одна из которых совпадает с берегом, одна

- граница, отделяющая шельфовую зону от "глубокого" океана, и две границы отделяют рассматриваемую шельфовую зону от других шельфовых прибрежных зон. Автор рассмотрел различные подходы к формулировке граничных условий. Серия экспериментов показала, что прибрежные потоки, наблюдающиеся в результате моделирования, легко изменить путем замены способа учета жидкой границы. В экспериментах со слабым ветровым воздействием условия излучения Орланского с демпферным слоем (SPO) показали себя лучше всего, но при сильном ветре, направленном поперек жидких границ, условия излучения Орланского в неявной форме (ORI и MOI) дают более точный результат. Худшие результаты получились при использовании условия закрепленной границы (CLP). В работе [35] были протестированы и другие схемы, включая новую схему, основанную на методе характеристик, которую авторы признали наиболее эффективной. В работе [36] были представлены результаты экспериментов с нелинейной невязкой баротропной моделью и разными формами записи условий излучения Орланского. Было показано, что далеко не во всех случаях условия излучения работают приемлемо. В статье [37] приведен анализ результатов применения различных форм записи граничных условий в модели Princeton Ocean Model (POM) с несколькими формами рельефа дна и ветровым волнением. В POM решаются примитивные трехмерные уравнения на сетке C по классификации Аракавы с сигма-уровнями по вертикали [38]. Для задания граничных условий на жидких границах были использованы условия излучения Орланского, метод характеристик и комбинированный метод, основанный на результатах работ [39, 40]. Авторы утверждают, что последний из них показал наилучшие результаты. Также в статье [37] приведен наиболее полный обзор форм задания граничных условий на жидких границах в региональных моделях, известных на момент ее написания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шелопут Татьяна Олеговна, 2021 год

Список литературы

1. Агошков В. И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. — М. : ИВМ РАН, 2016. — 244 с.

2. Marchesiello P., McWilliams J. C., Shchepetkin A. Open boundary conditions for long-term integration of regional oceanic models // Ocean modelling.— 2001.— Vol. 3, no. 1-2.— P. 1-20.

3. Чернов И. A., Толстиков А. В. Численное моделирование крупномасштабной динамики Белого моря // Труды Карельского научного центра РАН. — 2014. — № 4. — С. 137-142.

4. Spall M. A., Holland W. R. A nested primitive equation model for oceanic applications // Journal of Physical Oceanography. - 1991. - Vol. 21, no. 2. - P. 205-220.

5. Fox A., Maskell S. Two-way interactive nesting of primitive equation ocean models with topography // Journal of Physical Oceanography. — 1995. — Vol. 25, no. 12. — P. 2977-2996.

6. Кубряков А. И. Применение технологии вложенных сеток при создании системы мониторинга гидрофизических полей в прибрежных районах Черного моря // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. — 2004. — Т. 11. — С. 31-50.

7. Агошков В. И. Методы решения обратных задач и задач вариационной ассимиляции данных наблюдений в проблемах крупномасштабной динамики океанов и морей. — М. : ИВМ РАН, 2016.— 192 с.

8. Agoshkov V. I. Inverse problems of the mathematical theory of tides: boundary-function problem // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2005. — Vol. 20, no. 1.- P. 1-18.

9. Дементьева Е. В., Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Восстановление граничной функции по данным наблюдений для задачи распространения поверхностных волн в акватории с открытой границей // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 10-20.

10. Gejadze I. Y., Copeland G. J. M., Navon I. M. Open boundary control problem for navier-stokes equations including a free surface: Data assimilation // Computers & Mathematics with Applications. — 2006. — Vol. 52, no. 8-9. — P. 1269-1288.

11. Agoshkov V. I., Lezina N. R., Sheloput T. O. Domain decomposition method for the varia-tional assimilation of the sea level in a model of open water areas hydrodynamics // Journal of Marine Science and Engineering. — 2019. — Vol. 7, no. 6. — P. 195.

12. Agoshkov V. I., Sheloput T. O. The study and numerical solution of some inverse problems in

simulation of hydrophysical fields in water areas with 'liquid' boundaries // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2017. — Vol. 32, no. 3. — P. 147-164.

13. Agoshkov V. I., Sheloput T. O. The study and numerical solution of the problem of heat and salinity transfer assuming 'liquid' boundaries // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2016. — Vol. 31, no. 2. — P. 71-80.

14. Informational Computational System "INM RAS-Baltic Sea" in the problem of operational forecasting of the marine environment state and assessment of risks of oil pollution / V. I. Agoshkov, N. A. Aseev, N. B. Zakharova et al. // 2018 IEEE/OES Baltic International Symposium (BALTIC) / IEEE. — 2018. — P. 1-9.

15. Шелопут Т. О. Численное решение задачи вариационной ассимиляции данных об уровне на жидкой (открытой) границе в модели гидротермодинамики Балтийского моря // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. — 2018. — Т. 15, № 7. — С. 15-23.

16. Вариационная ассимиляция данных наблюдений в математической модели динамики Черного моря / В. И. Агошков, В. П. Шутяев, Е. И. Пармузин и др. // Морской гидрофизический журнал. — 2019. — Т. 35, № 6. — С. 585-599.

17. Агошков В. И., Залесный В. Б., Шелопут Т. О. Вариационная ассимиляция данных в задачах моделирования гидрофизических полей в открытых акваториях // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 1-16.

18. Агошков В. И., Лезина Н. Р., Шелопут Т. О. Восстановление граничных функций на внешних и внутренних жидких границах в задаче гидродинамики открытой акватории // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2020. — Т. 60, № 11. — С. 1915-1932.

19. Шелопут Т. О., Лезина Н. Р. Совместная реализация методов ассимиляции данных на «жидкой» границе и разделения области в акватории Балтийского моря // Вестник Тверского государственного университета, Серия: География и геоэкология. — 2018. — № 3. — С. 168-179.

20. Agoshkov V. I., Sheloput T. O. Variational assimilation of temperature for the model of hydrodynamics of the Baltic Sea: the solution of the open boundary problem // Computational Mathematics and Information Technologies. — 2018. — no. 1. — P. 1-8.

21. Агошков В. И., Гребенников Д. С., Шелопут Т. О. Исследование и численное решение одной обратной задачи моделирования циркуляции в акваториях с «жидкими» границами // Математические заметки СВФУ. — 2015. — Т. 22, № 2. — С. 3-15.

22. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2017617552 от

6 июля 2017 г. «Информационно-вычислительная система вариационной ассимиляции данных «ИВМ РАН - Балтийское море»» / В. И. Агошков, М. В. Ассовский, Е. И. Пар-музин и др. — 2017.

23. Информационно-вычислительная система «ИВМ РАН-Балтийское море»: монография / В. И. Агошков, Н. А. Асеев, Н. Б. Захарова и др. — М. : ИВМ РАН, 2016. — 139 с.

24. Динамика атмосферы и океана: В 2 т. / Пер. с англ. В. Э. Рябинина, А. Н. Филатова / Под ред. Г. П. Курбаткина. — М., 1986. — Т. 1. — 396 с.

25. Agoshkov V. I. Application of mathematical methods for solving the problem of liquid boundary conditions in hydrodynamics // Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Mechanik. — 1996. — Vol. 76. - P. 337-338.

26. Bennett A. F., McIntosh P. C. Open ocean modeling as an inverse problem: Tidal theory // Journal of physical oceanography. — 1982. — Vol. 12, no. 10. — P. 1004-1018.

27. Agoshkov V. I. Statement and study of some inverse problems in modelling of hydrophysical fields for water areas with 'liquid' boundaries // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2017. — Vol. 32, no. 2. — P. 73-90.

28. Shchepetkin A. F., McWilliams J. C. The regional oceanic modeling system (ROMS): a split-explicit, free-surface, topography-following-coordinate oceanic model // Ocean modelling. -2005. — Vol. 9, no. 4. - P. 347-404.

29. Semenov E. V., Mortikov E. V. Problems of operational data assimilation for marginal seas // Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. — 2012. — Vol. 48, no. 1. — P. 74-85.

30. Моделирование полей течений в открытых акваториях океана на примере района Гавайских островов / В. Г. Бондур, Р. А. Ибраев, Ю. В. Гребенюк, Г. А. Саркисян // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. — 2008. — Т. 44, № 2. — С. 239-250.

31. On the direct assimilation of along-track sea-surface height observations into a free-surface ocean model using a weak constraints four-dimensional variational (4D-Var) method / H. Ngodock, M. Carrier, I. Souopgui et al. // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. - 2016. - Vol. 142, no. 695. - P. 1160-1170.

32. Orlanski I. A simple boundary condition for unbounded hyperbolic flows // Journal of computational physics. - 1976. - Vol. 21, no. 3. - P. 251-269.

33. Sommerfeld A. Partial Differential Equations. Lecture Notes on Theoretical Physics. — San Diego, Calif. : Academic press, 1949. — Vol. 6.

34. Chapman D. C. Numerical treatment of cross-shelf open boundaries in a barotropic coastal ocean model // Journal of Physical oceanography. — 1985. — Vol. 15, no. 8. — P. 1060-1075.

35. R0ed L. P., Cooper C. K. A study of various open boundary conditions for wind-forced

barotropic numerical ocean models // Elsevier oceanography series.— Elsevier, 1987.— Vol. 45. - P. 305-335.

36. Tang Y., Grimshaw R. Radiation boundary conditions in barotropic coastal ocean numerical models // Journal of Computational Physics. — 1996. — Vol. 123, no. 1.— P. 96-110.

37. Palma E. D., Matano R. P. On the implementation of passive open boundary conditions for a general circulation model: The barotropic mode // Journal of Geophysical Research: Oceans. - 1998. - Vol. 103, no. C1. - P. 1319-1341.

38. Blumberg A. F., Mellor G. L. A description of a three-dimensional coastal ocean circulation model // Three-dimensional coastal ocean models. — 1987. — Vol. 4. — P. 1-16.

39. Flather R. A. A tidal model of the north-west european continental shelf. // Mem. Soc. R. Sci. Liege. — 1976. —Vol. 6, no. 10. — P. 141-164.

40. Engedahl H. Use of the flow relaxation scheme in a three-dimensional baroclinic ocean model with realistic topography // Tellus A. — 1995. — Vol. 47, no. 3. — P. 365-382.

41. Budgell W. P. Numerical simulation of ice-ocean variability in the Barents Sea region // Ocean Dynamics. — 2005. — Vol. 55, no. 3-4. — P. 370-387.

42. Tang H. S., Qu K., Wu X. G. An overset grid method for integration of fully 3D fluid dynamics and geophysics fluid dynamics models to simulate multiphysics coastal ocean flows // Journal of Computational Physics. - 2014. - Vol. 273. - P. 548-571.

43. Regional ocean data assimilation / C. A. Edwards, A. M. Moore, I. Hoteit, B. D. Cornuelle // Annual review of marine science. — 2015. — Vol. 7. — P. 21-42.

44. Беллман Р. Э. Динамическое программирование: Пер. с англ. — М. : Издательство иностранной литературы, 1960. — 401 с.

45. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными: Пер. с фр. — Мир, 1972. — 416 с.

46. Sasaki Y. et al. Some basic formalisms in numerical variational analysis // Monthly weather review. - 1970. — Vol. 98, no. 12. - P. 875-883.

47. Пененко В. В., Образцов Н. Н. Вариационный метод согласования полей метеорологических элементов // Метеорология и гидрология. — 1976. — Т. 13, № 11. — С. 1-11.

48. Provost C., Salmon R. A variational method for inverting hydrographic data // Journal of Marine Research. — 1986. — Vol. 44, no. 1. — P. 1-34.

49. Пример четырёхмерного анализа данных наблюдений программы «Разрезы» для Ньюфаундлендской ЭАЗО / А. С. Саркисян, С. Г. Демышев, Г. К. Коротаев, В. А. Мои-сеенко // Итоги науки и техники. Атмосфера, океан, космос-программа «Разрезы». — 1986. — Т. 6. — С. 88-89.

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

Марчук Г. И. О постановке некоторых обратных задач // ДАН СССР / Российская академия наук. — Т. 156. — 1964. — С. 503-506.

Marchuk G. I., Penenko V. V. Application of optimization methods to the problem of mathematical simulation of atmospheric processes and environment // Modelling and Optimization of Complex System: Proc. Of the IFIP-TC7 Working conf. — Springer, 1979. — P. 240-252. Le Dimet F. X., Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: theoretical aspects // Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography. - 1986. - Vol. 38, no. 2. - P. 97-110.

Lewis J. M., Derber J. C. The use of adjoint equations to solve a variational adjustment problem with advective constraints // Tellus A.-- 1985.-- Vol. 37, no. 4.-- P. 309-322. Courtier P., Talagrand O. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation. II: Numerical results // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society.-- 1987. — Vol. 113, no. 478. - P. 1329-1347.

Lorenc A. C. Optimal nonlinear objective analysis // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society.-- 1988.--Vol. 114, no. 479.--P. 205-240.

Navon I. M. A review of variational and optimization methods in meteorology // Developments in Geomathematics. — Elsevier, 1986. — Vol. 5. — P. 29-34.

Agoshkov V. I., Marchuk G. I. On the solvability and numerical solution of data assimilation problems // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 1993. — Vol. 8, no. 1. — P. 1-16.

Пененко А. В., Пененко В. В. Прямой метод вариационного усвоения данных для моделей конвекции-диффузии на основе схемы расщепления // Вычислительные технологии. — 2014. — Т. 19, № 4. — С. 69-83.

Kaurkin M. N., Ibrayev R. A., Belyaev K. P. ARGO data assimilation into the ocean dynamics model with high spatial resolution using Ensemble Optimal Interpolation (EnOI) // Oceanology. - 2016. - Vol. 56, no. 6. - P. 774-781.

Isakov V. Inverse sourse problems. — Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, 1996. — 400 p.

Kostin A. B., Prilepko A. I. On some problems of restoration of a boundary condition for a parabolic equation. I // Differential Equations.-- 1996.--Vol. 32, no. 1. —P. 113-122. Марчук Г. И., Дымников В. П., Залесный В. Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. — Л. : Гидрометеоиздат, 1987. — 296 с.

Агошков В. И., Ассовский М. В. Математическое моделирование динамики Мирового

океана с учетом приливообразующих сил. — М. : ИВМ РАН, 2016. — 123 с.

64. Agoshkov V. I. Estimates of spectrum bounds for some operators in geophysical hydrodynamics // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2008.— Vol. 23, no. 4. — P. 305-327.

65. Agoshkov V. I. Spectrum bounds for some operators // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2009. — Vol. 24, no. 2. — P. 79-113.

66. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М. : Наука, 1977. — 456 с.

67. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: Пер. с франц. — М. : Мир, 1971. — 370 с.

68. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 496 с.

69. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. — М. : Мир,

1985. — 590 с.

70. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— М. : Наука,

1986.— 142 с.

71. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. — М. : Наука, 1981. — 552 с.

72. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — Л. : Наука, 1973. — 409 с.

73. Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие. «Основы информационных технологий». — М. : Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 523 с.

74. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — М. : Наука, 1978. — 592 с.

75. Василевский Ю. В., Капырин И. В. Практикум по современным вычислительным технологиям и основам математического моделирования. — М. : МАКС Пресс, 2009. — 59 с.

76. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы: Учебное пособие. — М. : Наука, 1981. — 416 с.

77. The Baltic Sea circulation modelling and assessment of marine pollution / V. B. Zalesny, A. V. Gusev, S. Yu. Chernobay et al. // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2014. — Vol. 29, no. 2. — P. 129-138.

78. Дианский Н. А. Моделирование циркуляции океана и исследование его реакции на короткопериодные и долгопериодные атмосферные воздействия. — M. : Физматлит, 2013. — 272 с.

79. Гусев А. В. Численная модель гидродинамики океана в криволинейных координатах для воспроизведения циркуляции мирового океана и его отдельных акваторий : дисс.

... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Анатолий Владимирович Гусев. — М., 2009. — 144 с.

80. ERA-Interim / European Centre for Medium-Range Weather Forecasts (ECMWF).— Reading, UK.— URL: https://www.ecmwf.int/en/forecasts/datasets/ reanalysis-datasets/era-interim (online; accessed: 20.11.2019).

81. SMHI, Model data (HIROMB BS01) / SMHI. — Sweden, 2009.- URL: https://www. smhi.se/en/services/open-data/model-data-hiromb-bs01-1.33361 (online; accessed: 14.11.2019).

82. Copernicus Marine Environment Monitoring Service (cmems) / EU. —— URL: http:// marine.copernicus.eu/ (online; accessed: 24.11.2017).

83. H0yer J. L., She J. Optimal interpolation of sea surface temperature for the North Sea and Baltic Sea // Journal of Marine Systems. — 2007. — Vol. 65, no. 1-4. — P. 176-189.

84. H0yer J. L., Le Borgne P., Eastwood S. A bias correction method for Arctic satellite sea surface temperature observations // Remote sensing of environment. — 2014. — Vol. 146. — P. 201-213.

85. Численное гидродинамическое моделирование большого балтийского затока / Н.А. Тихонова, А.В. Гусев, Е.А. Захарчук, В.Н. Сухачев // Труды II Всероссийской конференции «Гидрометеорология и экология: достижения и перспективы развития».— 2018.— С. 632-635.

86. CMEMS In Situ TAC / CMEMS. — EU, 2017.- URL: http://www.marineinsitu.eu/

(online; accessed: 8.06.2018).

87. DUACS DT2014: the new multi-mission altimeter data set reprocessed over 20 years / M.-I. Pujol, Y. Faugere, G. Taburet et al. // Ocean Science. — 2016.— Vol. 12, no. 5.— P. 1067-1090.

88. Лебедев С. А. Методика обработки данных спутниковой альтиметрии для акваторий Белого, Баренцева и Карского морей // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. — 2016. — Т. 13, № 6. — С. 203-223.

89. Мысленков С. А. Использование спутниковой альтиметрии для расчета переноса вод в Северной Атлантике // Труды Гидрометцентра России. — 2011. — № 345. — С. 119-125.

90. Саркисян А. С. Численный анализ и прогноз морских течений. — Л. : Гидрометеоиздат, 1977.— 182 с.

91. Willis J. K., Fu L.-L. Combining altimeter and subsurface float data to estimate the time-averaged circulation in the upper ocean // Journal of Geophysical Research: Oceans. — 2008. — Vol. 113, no. C12. — P. 1-15.

92. Перенос водных масс через 60° с.ш. Северной Атлантики в 1997-2007 гг. по данным рос-

сийских океанографических разрезов / А. Н. Демидов, С. А. Добролюбов, С. А. Мыс-ленков и др. // Труды Гидрометцентра России. — 2009. — № 343. — С. 90-101.

93. Spall M. A., Holland W. R. A nested primitive equation model for oceanic applications // Journal of Physical Oceanography. — 1991. — Vol. 21, no. 2. — P. 205-220.

94. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ.— М. : Мир, 1981.— 408 с.

95. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М. : Наука, 1971. — 104 с.

96. Ягола А. Г. О выборе параметра регуляризации при решении некорректных задач в рефлексивных пространствах // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1980. — Т. 20, № 3. — С. 586-596.

97. Иванов В. К., Танана В. П., Васин В. В. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М. : Наука, 1978. — 206 с.

98. Агошков В. И. Методы разделения области в задачах гидротермодинамики океанов и морей. — М. : ИВМ РАН, 2017. — 187 с.

99. Лезина Н. Р., Шелопут Т. О. Восстановление граничных функций на внешних и внутренних жидких границах в задаче ассимиляции данных наблюдений за уровнем моря // Фундаментальные и прикладные аспекты геологии, геофизики и геоэкологии с использованием современных технологий. Материалы V Международной научно-практической конференции. Часть 2. — Майкоп : Изд-во «ИП Кучеренко В.О.», 2019. — С. 11-20.

100. ИВС «ИВМ РАН-Балтийское море» / ИВМ РАН. — М., 2018. — URL: http://adeq.inm. ras.ru/icsdescribe (дата обращения: 1.12.2019).

101. Попков А. Р., Шелопут Т. О. Руководство пользователя Информационно-вычислительной системы «ИВМ РАН-Балтийское море»: Отчет по проекту РНФ № 14-11-00609 / ИВМ РАН. — М., 2018. — 17 с.