Исследование и разработка частотного метода расчета автоколебаний в многокамерных нелинейных системах управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.02, кандидат технических наук Шодманов, Толиб Рахманович

• Шодманов, Толиб Рахманович
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шодманов, Толиб Рахманович

ВВЕДЕНИЕ.

1. АВТОКОЛЕБАНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

1.1. Модели многомерных нелинейных систем управления и формы их представления.

1.2. Методы исследования периодических режимов в сложных нелинейных системах.

1.3. Особенности частотных методов исследования периодических движений в автономных многомерных нелинейных системах управления.

1.4. Этапы расчета автоколебаний в многомерных нелинейных системах управления. Задачи диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и разработка частотного метода расчета автоколебаний в многокамерных нелинейных системах управления»

Необходимость автоматизации исследований и проектных работ для обеспечения интенсификации экономики отмечается в ряде постановлений ЦК КПСС. Только широкомасштабное внедрение современной технологии с использованием ЭВМ может дать существенный эффект при разработке сложных комплексов управления и позволит создать высококачественные системы, работающие на предельных и оптимальных режимах.В последнее время в связи с возрастакощми запросами со стороны народного хозяйства специалисты по технике и теории управления большое внимание уделяют сложным многомерным нелинейным системам, проектирование и реализация которых стало принципиально возможным благодаря широкому применению средств вычислительной техники. Усложнение систем управления и их математических моделей затрудняет црименение традиционных методов расчета. Современные вычислительные машины призваны преодолеть все углубляющееся противоречие между стремительно растущей сложностью современных систем и необходимостью их производства в сжатые сроки, йдесте с тем следует отметить, что недостаточное развитие машинно-ориентированных методов, алгоритмов и программ расчета сложных систем управления по нелинейным моделям не позволяет в полной мере использовать потенциальные возможности дВи при цроектировании.Задача расчета нелинейных систем часто заключается в определении в пространстве состояний границ областей с однотипными движениями и асимптотических движений, которыми во многих практически важных случаях являются периодические движения и положения равновесия. Автоколебательные режимы функционирования с заданными параметрами для одних систем являются нормальными (генераторы, самонастраивающиеся системы, некоторые системы с логическими законами управления), а для других недопустимы и должны быть исключены. Для предварительного исследования периодических движений в одномерных нелинейных системах широко применяется приближенный частотный метод гармонической линеаризации. Традиционные частотные подходы к приближенному расчету автоколебаний в нелинейных системах базируются на работах Н.М.Крылова и Н.Н.Боголюбова; в их развитие большой вклад внесли советские ученые: Л.С.Гольдфарб, Е.П.Попов, А.А.Вавилов, Б.Н.Наумов, Ю.И.Топчеев, Я.З.Цыпкин и многие другие.Методы расчета автоколебаний в многомерных нелинейных системах управления развиты относительно слабо. Только в последнее время были предприняты значительные усилия по разработке частотных методов расчета, использущие результаты матричной алгебры и ориентированные на црименение ЭВМ и возможности машинной графики /114,117,118,125,108,105,104,120,122, 111,115,119,110,107/. В нашей стране методы передаточных функций и частотных характеристик применительно к многомерным системам развиваются в работах В.В.Солодовникова и его учеников (см. /73,77,78/ и др.).При исследовании многомерных нелинейных систем имеется большая начальная неопределенность - движения даже в автономных системах отличаются большим разнообразием. Вследствие этого разработка общих подходов к их исследованию сопряжена с большими трудностями. Создание качественной теории сложных нелинейных систем управления, несмотря на актуальность проблемы как в теоретическом, так и прикладном аспектах, в настоящее время находится еще в начальной стадии развития.Целью диссертационной работы является разработка машинно-ориентированного метода исследования одночаетотных периодических движений в автономных многомерных нелинейных системах управления.Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих основных задач: разработка метода локализации периодических движений на основе достаточных условий регулярности матриц гармонически линеаризованной многомерной нелинейной системы; разработка методики уточнения параметров периодических решений и оценки области начальных условий для исследования многомерных нелинейных систем во временной области; разработка алгоритмического и программного обеспечения для расчета автоколебаний в многомерных нелинейных системах.Методы и алгоритмы расчета разрабатываются на основе предложенных А.А.Вавиловым общих принципов системного подхода к построению моделей, анализу и синтезу сложных систем управления, в частности, принципов последовательного раскрытия неопределенности, однозначного представления совокупности свойств систем множеством неизбыточных частных моделей и др. /27,37/. Многомерные нелинейные системы являются цримером сложных систем в смысле широты класса, в котором решаются задачи исследования и проектирования (в смысле В.В.Солодовникова /77,79/). Поэтому при решении поставленных задач необходимо руководствоваться принципом сложности /79/.Основными положениями, выносимыми на защиту, являются: построена общая схема комплексных исследований периодических режимов в многомерных нелинейных системах в частотной и временной областях, базирующаяся на принципе последовательного раскрытия неопределенности; разработаны алгоритмы локализации периодических решений; разработана методика уточнения параметров периодических движений.Разработанные в диссертации методики, алгоритмы и программы расчета автоколебаний в многомерных нелинейных системах уцравления внедряются в проектную црактику ПО "Кировский завод" и учебный процесс ЛЭТИ.

Заключение диссертации по теме «Теория систем, теория автоматического регулирования и управления, системный анализ», Шодманов, Толиб Рахманович

Основные выводы и результаты диссертации сводятся к следующим:

1. Построена общая схема комплексных исследований автоколебательных режимов в МНС управления в частотной и временной областях, содержащая этапы локализации периодических движений, уточнения их параметров, анализа устойчивости и грубости решения, выбора начальных условий для моделирования и исследования во временной области.

2. Предложен метод локализации колебаний, заключающийся в последовательном применении критериев регулярности матриц возвратной разности гармонически линеаризованных МНС.

3. Разработаны численные алгоритмы и графоаналитические методики локализации колебаний, использующие логарифмические частотные характеристики. Дана топологическая интерпретация достаточных условий отсутствия колебаний в МНС.

4. Методики уточнения параметров колебаний, основу которых составляет решение систем нелинейных уравнений, образованных необходимым условием существования периодического решения и уравнениями связей переменных, позволяют упростить численные и графоаналитические процедуры определения значений частоты, амплитуд и фаз колебаний.

5. Влияние неучтенных высших гармоник и малых параметров на периодические движения в МНС целесообразно оценивать по сечениям функции параметров колебаний в окрестности ее нулевого минимума, соответствующего искомому решению.

6. Дана методика выбора начальных условий для моделирования МНС на ЭВМ по значениям параметров колебаний, полученных с помощью приближенного частотного метода.

7. Разработано алгоритмическое и црограммное обеспечение для расчета автоколебаний в МНС управления частотным методом.

8. Проведено исследование комплекса управления судового турбоагрегата, образованного взаимодействующими нелинейными подсистемами уцравления частотой вращения и давлением пара. Показано, что моделирование МНС с использованием результатов цредварительного частотного анализа позволяет быстро обнаружить искомые колебания, уточнить их форму и параметры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шодманов, Толиб Рахманович, 1984 год

1. Алгоритм 170 б. Определитель с полиномиальными элементами. - В кн.: Библиотека алгоритмов 1501.б - 200 б /Под ред. М.И.Агеева. - М.: Радио и связь, 1981, с.44-48.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. - 424 с.

3. Александров А.Г., Небалуев H.A. Аналитический синтез передаточных матриц регуляторов по частотным критериям качества. I. Автоматика и телемеханика, 1971, J6 12.

4. Андронов В.Н. Исследование и разработка машинно-ориентированных методов расчета нелинейных топологически сложных систем. Диссертация на соискание ученой степени к.т.н. -Л.: ЛЭТИ, 1979. 223 с.

5. Андронов В.Н., Вавилов A.A., Имаев Д.Х. Алгоритмы и программы несимметричной гармонической линеаризации однозначных нелинейностей. "Изв. ЛЭТИ", вып.202, 1976, с.3-10.

6. Андронов В.Н., Веревкйн А.П., Имаев Д.Х. Расчет частотных характеристик сложных систем управления. В кн.: Вопросы автоматизации химико-технологических процессов. Уфа, 1975, вып.31, с.75-82.

7. Андронов В.Н., Имаев Д.Х. Об одном классе безынерционных нелинейностей. В кн.: Вопросы теории систем автоматического управления. Вып.4. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978, с.84-93.

8. Андронов В.Н., Имаев Д.Х. 0 формализованном представлении некоторых классов безынерционных нелинейных преобразований. Л., 1981. - 25 с. - Рукопись представлена Ленингр. электротехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ от 26 ноября 1981,1. Jfe 5390-81.

9. Андронов В.Н., Имаев Д.Х. Вопросы построения частных моделей топологически сложных систем управления различных рангов неопределенности. Изв. ЛЭТИ. Научн. тр. /Ленингр. электротехн. ин-т им.В.И.Ульянова (Ленина), 1982, вып.312, с.70-77.

10. Андронов В.Н., Имаев Д.Х. Систематизация алгоритмов частотного анализа линейных топологически сложных систем управления. Л., 1982. - 25 с. - Звукопись цредставлена Ленингр. электротехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ от 25.06.81, № 3254-82.

11. Андронов В.Н., Имаев Д.Х., Шодманов Т.Р. Матричные условия отсутствия периодических движений в нелинейных многомерных системах. Л., 1983. - 10 с. - Звукопись цредставлена Ленингр. электротехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ, 9 декабря 1983, № 6670-83.

12. Андронов В.Н., Имаев Д.Х., Шодманов Т.Р. Некоторые воцро-сы анализа периодических режимов в нелинейных многомерных системах. Тезисы докладов У Всесоюзного совещания-семинара "Современное состояние проблем автоматического управления", Москва, 1983, с.

13. Авдронов В.Н., Имаев Д.Х., Шодманов Т.Р. К предсказанию периодических движений в нелинейных системах со сложной структурой. Известия высших учебных заведений. Электромеханика, № 3, 1984. с.122.

14. Андронов В.Н., Имаев Д.Х., Шодманов Т.Р. Автоматизированный расчет периодических движений в нелинейных системах управления со сложной структурой. Сборник ТашПИ, сер. Автоматического управления, 1984, с.18-28.

15. Анисимов В.И. Топологический расчет электронных схем. -Л.: Энергия, 1977. 240 с.

16. Анисимов В.И., Перков Н.К. Программа машинного расчета частотных и переходных характеристик линейных систем. В кн.: Воцросы теории систем автоматического управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974, вып.1, с.8-18.

17. Башарин A.B. Расчет динамики и синтез нелинейных систем управления. M.-JI.: ГЭИ, i960. - 300 с.

18. Башарин A.B., Чернышева Т.А. Математическое моделирование систем управления на цифровых вычислительных машинах. В кн.: Автоматизация цроизводства /Под ред. А.В.Башарина и Б.Я.Советова. -Л.: ЛГУ, 1981, вып.5, с.3-17.

19. Белова Д.А., Кузин P.E. Применение ЭВМ для анализа и синтеза автоматических систем управления. М.: Энергия, 1979. - 264 с.

20. Борцов Ю.А. Математические модели автоматических систем. -Л.: ЛЭТИ, 1981. 96 с.

21. Борцов Ю.А., Путов В.В. Исследование автоколебаний нелинейной унифицированной САРС с уцругой механической связью. Изв. ЛЭТИ. Научн. тр. /Ленингр. электротехн. ин-тим.В.И.Ульянова (Ленина), 1974, вып.151, с.89-97.

22. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954. - 892 с.

23. Бусленко Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. М.: Сов.радио, 1973, 439 с.

24. Вавилов A.A., Имаев Д.Х. и др. Исследование и оптимизация структур электрогидравлических систем автоматического регулирования турбоагрегата (отчет о НИР), часть 2, № Гос. per. 75006538. Инв.№ Б 669549 от 30.05.78. Л.: ЛЭТИ, 1977. - 328 с.

25. Вавилов A.A. Структурный и параметрический синтез сложных систем. Л.: ЛЭТИ, 1979. - 94 с.

26. Вавилов A.A. Частотные методы расчета нелинейных систем. Л. : Энергия, 1970. - 324 с.

27. Вавилов A.A., Имаев Д.Х. Машинные методы расчета систем управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. - 232 с.

28. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 575 с.

29. Гольдфарб Л.С. Метод исследования нелинейных систем регулирования, основанный на принципе гармонического баланса. Труды 2-го Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования, том I, 1955.

30. Двдук Г.А. Машинные методы исследования автоматических систем. Л.: Энергоатомиздат, 1983. - 176 с.

31. Дудников Е.Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов. М.: Госэнергоиздат, 1956. - 264 с.

32. Емельянов C.B., Коровин С.И. Применение принципа регулирования по отклонению для расширения множества типов обратных связей. Докл. АН СССР, 1981. Том 258, № 5, с.1070-1074.

33. Зубов В.И. Об одном новом методе построения области устойчивости в пространстве допустимых значений параметров системы автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, 1959, № 3, т.20.

34. Имаев Д.Х. Анализ и синтез структур и законов управления в автоколебательных релейных системах. Диссертация на соискание ученой степени к.т.н. Л.: ЛЭТИ, 1971. - 224 с.

35. Имитационное моделирование производственных систем. Под общ. ред. А.А.Вавилова. М. : Машиностроение; Берлин: Техника, 1983. 416 с.

36. Кадыров A.A. Динамические графовые модели в системах автоматического и автоматизированного управления. Ташкент: Фан, 1984. - 240 с.

37. Кадыров A.A. Графы и дискретные автоматические системы. -Ташкент: Фан, 1976. 160 с.

38. Кадыров A.A. Топологический расчет систем автоматического управления. Ташкент: Изд-во ТашПЙ, 1979. - 86 с.

39. Казьмин А.И., Пополитов В.Н. Языки непрерывного моделирования. Автоматика и телемеханика, 1979, J6 2, с.141-158.

40. Калиткин H.H. Численные методы. М. : Наука, 1978. - 512с.

41. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 400 с.

42. Калниболотский Ю.М., Казанджан H.H., Романенко Е.А., Гоголева Л. П. Комплекс программ частотного анализа линейных электронных схем. Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1980, № 6, т.ХХШ, с.99-101.

43. Катковник В.Я., Полуэтов P.A. Многомерные дискретные системы управления. М.: Наука, 1966. - 416 с.

44. Квакернаан X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы уцра-' вления. М. : Мир, 1977. - с.

45. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937. - 366 с.

46. Ковалев В.Е. Ррафо-аналитический метод анализа сложных нелинейных автоматических систем. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1983, № 4, с.187-192.

47. Кузьмин H.H., Яковлев В.Б. К вопросу построения машинного алгоритма для исследования частотных свойств релейно-логи-ческих законов управления. Изв. ЛЭТИ, 1974, вып.160,с.7-12.

48. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 269 с.

49. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М.-Л.: ГИТЛ, 1950. 471 с.

50. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. - 232 с.

51. Мееров М.В. Системы многосвязного регулирования. М.: Наука, 1965. - 384 с.

52. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления. Коллектив авторов. Под ред. Ю.И.Топчеева. М.: Машиностроение, 1970. - 567с.

53. Морозовский В.Т. Многосвязные системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1970. - с.

54. Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. М.: ИЛ, 1963. - 620 с.

55. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. Час-.тотные методы. М.: Наука, 1972. - 544 с.

56. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем управления со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 559 с.

57. Пакет научных программ на языке Фортран-1У. Кн.1. ПРО 309.004.Д1; Кн.З. ПРО 309.004ДЗ, 1977.

58. Пакет прикладных программ для моделирования на ЭВМ аналоговых систем и непрерывных процессов. ПР0.309.006Д,

59. ПР0.309.006Д1, ПР0.309.006Д2, 1977.

60. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. М.: Изд-во иностранной литературы, i960. -170 с.

61. Петров Б.Н., Старикова Т.В. К приближенному исследованию автоколебаний в автоматической системе, управляемой конечным автоматом. Автоматика и телемеханика, 1976, № 12, с.13-19.

62. Поляк Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. -376 с.

63. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973. - 584 с.

64. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1960.792 с.

65. Программные средства моделирования непрерывно-дискретных систем. /Под ред. В.М.Глушкова. Киев: Наукова Думка, 1975. - 152 с.

66. Пупков К.А. Статистический расчет нелинейных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1965. -404 с.

67. Путов В.В. Анализ и синтез унифицированных систем электропривода с нелинейными и упругими свойствами. Дисс. на соискание ученой степени канд.техн.наук. Л.: ЛЭТИ, 1975. -192 с.

68. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974. - 632 с.

69. Расчет автоматических систем. Под ред. А.В.Фатеева. М.: Высшая школа, 1973. 336 с.

70. Розенвассер E.H., Юсупов Г.М. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 1981. - 484 с.

71. Ротач В.Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. М.: Энергия, 1973. - 440 с.

72. Сивцов В.И., Чулин H.A. Автоматизированный синтез систем регулирования на основе частотного метода теории автоматического управления. М.: Машиностроение, 1982.

73. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Советское радио, 1976. - 608 с.

74. Смольников Л.П., Бычков Ю.А., 1Удкова Н.В. Расчет систем управления (численные методы). Л.: Энергия, 1979. - 112с.

75. Соболев О.С. Однотипные связанные системы регулирования. -М.: Энергия, 1973. 136 с.

76. Солодовников В.В. Автоматизация проектирования систем управления технологическими процессами. М.: НИИВШ, 1982. -60 с.

77. Солодовников В.В. Проблема автоматизации проектирования систем управления и методы теории автоматического управления. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1980, № 5, с.23-30.

78. Солодовников В.В., Бирюков В.Ф., Тумаркин В.И. Принцип сложности в теории управления. М.: Недра, 1977.-341 с.

79. Сольницев Р.И. Машинные методы анализа сложных систем. -Л.: ЛЭТИ, 1982. 70 с.

80. Стефани Н.П. Основы расчета настройки регуляторов теплоэнергетических процессов . М.-Л.: Госэнергоиздат, i960.

81. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972. - 552с.

82. Тамм Б.Г., Тыугу Э.Х. Пакеты программ. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1977, № 5, c.III-124.

83. Теория автоматического управления. Часть I. Теория линейных систем автоматического управления. Под ред. А.А.Воронова. М.: Высшая школа, 1977. - 304 с.

84. Теория автоматического управления. Часть 2. Под ред. A.B. Нетупшла. М.: Высшая школа, 1972. - 432 с.

85. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. - 190 с.

86. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 564 с.

87. Уолли С., Рид И. Асинхронные конечные автоматы новый класс систем регулирования. - Ракетная техника и космонавтика, 1969, № 3.

88. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее приложения к дифференциальным уравнениям и динамике. М.: ИЛ, 1950. - 445 с.

89. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. - 300 с.

90. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975. 534 с.

91. Хлыпало Е.И. Нелинейные корректирующие устройства в автоматических системах. Л.: Энергия, 1973. - 344 с.

92. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. - 576 с.

93. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко A.B. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. -Л.: Энергия, 1970. 374 с.

94. Чинаев Л.И. Методы анализа и синтеза многомерных автоматических систем. Киев: Техн ка, 1969. - 380 с.

95. Чхартишвили Г.С., Чхартишвшги Л.П., Клюкин Н.Г. Программа моделирования нелинейных непрерывных систем автоматического управления. В кн.: Автоматизация научных исследований. Труды МЭИ, вып.241. - M., 1975, с. 103-109.

96. Яковлев В.Б. Разработка методов расчета нелинейных импульсных систем и воцросы построения многоканальных регулирующих устройств. Диссертация на соискание ученой степени д.т.н. Л.: ЛЭТИ, 1978.

97. Gzay 10,TauEoz P.M. Computez aided design of muHivaiiaBce noniineaz contzoß systems usino fzeouencu domain techniques Automatica, w9, 15, pp. 281-291.

98. Kaufman I On po2es and zezos of iineaz systems.-IEEE Tzans. on cizcult theozu 1915, voß, CT-20, N2, pp. 93-101no. MacTazEane A. 0.1 The Development of Tzeyuency

99. MaclazPane A.G.I ßeEMzuite 11 The chazactezistcc locus design method. f\utomatica, /073 9, p. 575.

100. MoPez C., Van ifoan C. Nineteen HuSious Waus to Compute the Exponential! of a Matzix.-SiAM Review, voi. 20,^4, /978, pp. 801-232.

101. Mees A. I. lesciißiny functions, ciicCe czitezia andmuHtipEe loop feedSack systems.-Pzoc. IEE, 1913, 1203 6l),pp. 126-130.ns.Mees A.Z 7he desciiêiny Junctions matzix.

102. RamanL N.3 Alhezton U.P. ötaßihiy'oj non lineazmultiuaziMe systems, Pzoc. oj 3-zd IF AC symposium on muHiyaiLaèle tech systems. Papez 5-/Û-Manchesiez, UK.m^pHU'

103. Rosenßzock H.H. Computez- Aided Conizol Systems

104. Desian. Academic Piess, /974, -p. 230.

105. Rosenßzock H.H. lesLyn ojmuHivaziaßle contzol sustems usùny. the invezse /1lyyutsi azzay.-Pzoc. IEE, №9,PP.'929-/936.

106. Shankaï S.t Othezton D.P. Ozaphical staßilit^ analusis oj non-Pineal multivaziaßle contzol systems .-Int. I Contzol, 1977,25, r/3, pp. 375-33S.

107. Viswanadham A/., Deekshotulu B.Ü. Siaßility, Anafusis oj Hon-lineaz Multivaziaßle Sustems. Int. 1. Contzol!, 1966, sol. 5t pp. 369-375

108. Way land H, Expansion oj deteiminantal equations into polynomial jozm. Quaztezlu oj applied Math. vol. ¡1, ttqt Januazy, /945, pp. 277-306*

109. Ialoon SXt Nicholson H. Desczißinu junctions, limit cycles and leduced models in nonlineaz sustems -Election. Jett¡971f 13,(7),pp. 185-m