Исследование граничных свойств функций, аналитических по Дуглису тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Николаев, Владимир Геннадьевич

• Николаев, Владимир Геннадьевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Николаев, Владимир Геннадьевич

Содержание

Введение

1 Задача Шварца и ее связь с задачей Дирихле для эллиптических систем

1.1 Определение ^/-аналитических функций

1.2 Постановка задачи Шварца

1.3 Однородная задача Шварца в специальных случаях

1.4 Граничные свойства Л-голоморфных функций

1.5 Теоремы существования и единственности решений для эллиптических уравнений и систем

1.6 Редукция задачи Шварца к задаче Дирихле для систем

1.7 Существование и единственность решений для специальных матриц

2 Задача Шварца для размерности п = 2

2.1 Редукция к скалярному уравнению

2.2 Теорема единственности решения для матриц с кратными собственными числами

2.3 Об одном соотношении между вещественными и голоморфными функциями

2.4 Методы построения примеров неединственности решения. Специальная классификация 2 х 2-матриц

3 Нарушение принципа максимума модуля для 3-

аналитических функций

3.1 Основная теорема

3.2 Нарушение принципа максимума модуля в общем случае

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование граничных свойств функций, аналитических по Дуглису»

Введение

Актуальность темы исследования

Диссертационная работа посвящена исследованию граничных свойств вектор-функций, аналитических по Дуглису (J-аналитических функций). Основные результаты относятся к исследованию задачи Шварца для J-аналитических функций. Отметим, что к этой задаче сводятся краевые задачи для многих интересных эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядков.

Впервые J-аналитические функции были рассмотрены А. Дуглисом (А. Douglis), который назвал их гипераналитическими. В дальнейшем это направление развивалось Д. Паскали, Д. Хорватцем, Б. Боярским, Р. Гильбертом, Д. Хайлом, А.П. Солдатовым и др. В частности, для них был построен аналог теории аналитических функций, поэтому теперь эти функции мы называем аналитическими по Дуглису.

Хорошо известно, что решения уравнения Лапласа

д2и д2и

Qx2 Qy2

описываются как вещественная часть аналитических функций. Через аналитические функции выражаются и решения более общих эллиптических уравнений с вещественно аналитическими коэффициентами.

Единый подход к изучению этих представлений был предложен И.Н. Векуа. В дальнейшем A.B. Бицадзе было получено представление через аналитические вектор-функции и их производные общего решения эллиптических систем.

Степень разработанности темы исследования

Сравнительно недавно (А.П. Солдатов, Р. Йех) было обнаружено, что с помощью функций, аналитических по Дуглису, представление Бицадзе существенно упрощается. Можно сказать, что по отношению к эллиптическим уравнениям и системам с постоянными (и только старшими) коэффициентами эти функции играют ту же роль, что и аналитические функции по отношению к уравнению Лапласа. Аналогичные свойства выявлены (H.A. Жура) и для систем, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу.

В этой связй на настоящий момент актуальным является исследование различных граничных задач для функций, аналитических по Дуглису. Рассмотренная в диссертации задача Шварца — одна из них.

Цели и задачи работы

1) доказательство теорем существования и единственности решения задачи Шварца для специальных типов матриц и областей;

2) разработка общих методов построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм;

3) доказательство нарушения принципа максимума модуля для J-аналитических функций.

Научная новизна

Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Таковым, в частности, является метод прямой и обратной редукции задачи Шварца к задаче Дирихле для вещественных эллиптических систем. Новой является идея о применении методов скалярного комплексного анализа для изучения

специальных типов таких систем. Оригинальным результатом является одно соотношение между вещественными и голоморфными функциями, а также основанный на нем общий метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца для матриц 7 Е Спхп.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации носят теоретический характер. По качественным свойствам они охватывают широкие классы матриц и соответствующих им ./-аналитических функций. Полученные в диссертации условия являются конструктивными и сформулированы в терминах исходных данных.

Материалы диссертации могут быть использованы при разработке спецкурсов для студентов-математиков, а также при написании курсовых и дипломных работ, магистерских диссертаций.

Методология и методы исследования

В §1.3 главы 1 применена комбинация методов линейной алгебры и скалярного комплексного анализа ( см. теоремы 1.3.2 и 1.3.3 ). Затем в §1.4-1.7 проведена редукция задачи Шварца для матриц 7 £ £,пхп к граничным задачам для скалярных комплексных дифференциальных уравнений и вещественных эллиитических систем в частных производных второго порядка. Такой подход дает возможность доказать существование и единственность решения задачи Шварца для широкого класса структурных матриц.

В §2.1 главы 2 для матриц ,/ € С2х2 с кратным собственным числом проведена редукция однородной задачи Шварца к равносильному скалярному функциональному уравнению. Этот метод дает возможность в § 2.2

доказать единственность решения задачи Шварца в двумерном случае для специальных областей.

Другой аспект исследования это получение общих методов построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца. Такой подход реализован в § 2.4 с помощью доказанного в § 2.3 соотношения между вещественными и голоморфными функциями.

Результаты §2.3 применены в главе 3 при доказательстве нарушения принципа максимума модуля для ./-аналитических функций.

Положения, выносимые на защиту

1) Доказана теорема единственности решения задачи Шварца для специальных типов матриц 3 £ (£пхп в произвольных областях.

2) Изучены граничные свойства А-голоморфных функций.

3) Для матриц 3 е Спхп проведена редукция однородной задачи Шварца к задаче Дирихле для систем в частных производных второго порядка.

4) С помощью данной редукции и методов скалярного комплексного анализа доказаны три теоремы существования и единственности решения задачи Шварца для матриц 3 Е Спхп.

5) Для матриц 3 Е С2х2 с кратными собственными числами доказана теорема единственности решения задачи Шварца для специальных областей, а также построены примеры отсутствия разрешимости задачи Шварца.

6) Доказано одно соотношение между вещественными и голоморфными функциями.

7) С помощью данного соотношения для матриц 3 Е С2х2 получено два общих метода построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм.

8) Получен критерий по которому можно определить, возможен или нет для матрицы 3 £ С2х2 с кратными собственными числами пример неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичной вектор-функции.

9) Доказаны три теоремы о нарушении принципа максимума модуля для ./-аналитических функций.

10) Получен метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм для матриц 3 £ Спхп при произвольном п > 3.

Степень достоверности и апробация результатов

Степень достоверности полученных в диссертационной работе результатов обусловлена строгостью доказательств, применением апробированных методов исследования, сравнением с известными результатами, а также обсуждениями на научных конференциях и семинарах.

Результаты диссертационной работы докладывались на Международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2012, 2014 гг.), а также на международной конференции "Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум" (Судак, 2014 г.). Полученные результаты неоднократно докладывались на научных семинарах в Новгородском Государственном университете в 2010-2014 гг.

Работа поддержана Министерством Образования и Науки Российской Федерации в рамках выполнения государственного задания.

Публикации и личный вклад автора

По теме диссертации опубликовано 8 статей [18-25]. Статьи [18-24] — в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов диссертаций. Совместная с Е.Ю. Пановым статья [25] опубликована в журнале, индексируемом в международной цитатно-аналитической базе Scopus. Во второй части данной статьи излагается метод доказательства теорем единственности решения задачи Шварца для специальных типов матриц, который был предложен соискателем. Для реализации этого метода необходима специальная теорема, относящаяся к теории граничных задач для скалярных А-голоморфных функций. Она была получена Е.Ю. Пановым и отражена в первой части статьи.

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [20,21,23,24,25], главы 2 — в работах [19,22,23], главы 3 — в работе [18].

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

В соответствии с паспортом специальности "01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление" в диссертации проведено теоретическое исследование краевой задачи Шварца для одного типа систем линейных однородных комплексных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Шварца для специальных случаев. Получен метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений и списка литературы, содержащего 46 наименований. Общий объем диссертации составляет 105 страниц.

Во введении к диссертации используется бинарная нумерация формул, а в рамках всей диссертации — тернарная нумерация утверждений, замечаний и формул.

1. Задача Шварца и ее связь с задачей Дирихле для эллиптических систем

1.1. Определение J-аналитических функций

Данный параграф содержит только известные сведения о функциях, аналитических по Дуглису (А. Douglis). Вопросом их исследования активно занимается А.П. Солдатов, он же является признанным специалистов в этой области. В §1.1 приведены некоторые выдержки из его книги [36], которые будут затем использованы в диссертации.

Пусть матрица J е <ßnxn обратима и не имеет вещественных собственных значений А. С комплексным числом z = х + iy свяжем матрицу [z] = х ■ Е + у ■ J. Ее собственными значениями служат числа х + А у. В частности, матрица [z] обратима при z ^ 0.

Определение 1.1.1. Заданную в области D с R2 п-вектор-функцию ф(г) назовем аналитической по Дуглису, если существует предел

lim [Az]~l [ф{г + Az) - ф(г)] = ф'(г) (1.1.1)

Az—>0

для всех точек z Е D. Вектор-функция ф'(г) называется производной ф(г).

Формула (1.1.1) сложна для практического применения. Поэтому можно дать другое, равносильное

Определение 1.1.2. Пусть матрица J Е CnX7\ det J ^ 0 не имеет вещественных собственных чисел. Заданную в области D С №? п-вектор-функцию ф{г) Е Cl{D) назовем аналитической по Дуглису, или J-аналитической с матрицей J, если

g- J.g = o, (x,y)eD. (1Л.2)

Определение 1.1.3. В скалярном случае, при 3 = Л, 1т Л ^ 0 функцию ф(г) € С1 (£)), удовлетворяющую (1.1.2), назовем Х-голоморфной в области

При А = г такая функция совпадает с обычной голоморфной.

Определение 1.1.4. Будем говорить, что функция ф{г) соответствует матрице 3, если для них выполнено (1.1.2).

Докажем эквивалентность определений 1.1.1 и 1.1.2 (см. [36]). Полагая в (1.1.1) Аг = Ах и Аг = А у, убеждаемся, что существуют всюду ее частные производные, связанные уравнением (1.1.2).

Обратно: пусть функция ф(г) непрерывно дифференцируема в области и и удовлетворяет уравнению (1.1.2). Тогда по условию дифференцируемости

ф(г + Аг) - ф{г) = ~Ах + ^-Ау + |Аг| • е(Аг),

ох оу

где вектор-функция е(Аг) —» 0 при Аг —> 0. В силу равенства [г] = х-Е+у-3 и (1.1.2) отсюда

ф{г + Аг) - ф(г) = [Аг] ^ + |Аг| • е(Аг).

Умножим это равенство на [Аг]-1 и учтем, что матрица-функция [Аг]_1|Аг| однородна степени нуль и поэтому равномерно ограничена. В результате приходим к справедливости (1.1.1).

Замечание 1.1.1. В диссертации будет использоваться только более удобное определение 1.1.2.

Перечислим некоторые свойства ./-аналитических функций. Их доказательства можно найти, например, в [36].

1°. Если числа с^ £ С, /с = а функции фк соответствуют

одной и той же матрице 3: то и функция

ф(г) = агфг + ... + а3-\ф8-.\ +

соответствуют той же матрице 3.

2°. Пусть векторы Ск £ Сп. Тогда векторный полином

будет функцией, аналитической по Дуглису с матрицей 3.

Эти два свойства вытекают непосредственно из определения 1.1.2 и справедливы для любой матрицы 3 £ Спхп, не имеющей действительных собственных чисел.

Приведенные ниже четыре свойства справедливы только в том случае, если все собственные числа матрицы 3 лежат в верхней полуплоскости.

3°. Пусть контур Г+ С I) — граница области О, ориентированная против часовой стрелки. Тогда справедлив аналог теоремы Коши

г+

Эти равенства аналогичны известным формулам Коши для скалярных голоморфных функций.

4°. Функция ф{г) бесконечно дифференцируема в области И, причем

для г £ В

n

n

ф(г) = [х + Зу]к • ск = ^ [*]* • ск

Г"

а так же для каждого г £ Б имеет место представление

г+

5°. Пусть область В содержит круг \г — < Я. Тогда существует такое Я' < II, что в круге \г — го\ < Я' функция ф(г) раскладывается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Тейлора

ОО

А:=0

6°. Пусть область £> содержит кольцо Яо < \г — го\ < К\. Тогда существуют такие числа Я'0, В!ъ что в кольце

До < До < I* - «>1 < К1 ^

функция ф(г) раскладывается в ряд Лорана

+ 00

к=—оо

где

= Ъь

г+

Числа Я', Я'0, Я[ определены специальным образом в [31]. В последней формуле Г+ — окружность |г — = Д, Я'0 < Я < Я[. При этом ряды

- ск и ~ го\к

к> 0 к<0

сходятся абсолютно и равномерно в областях, соответственно, \г\ < Я[ и

и > я'0.

Ниже будут использованы следующие утверждения.

Предложение 1.1.1. Пусть числа А^Аг € М, Аг ф 0. Функция ф(х,у), аналитическая по Дуглису с матрицей <7, в результате обратимой подстановки

Ах

x = xi - — у1

х 2 (1-1-3)

У = т~У\

м

будет функцией ф(х1,у1), 3-аналитической с матрицей «Д = —(7 — Х\Е).

А2

Доказательство- Из (1.1.3) вытекает, что х\ = х + Х\у, у\ = Л2у. Поэтому

дф дф дуг дф дх\ ду дуг ду дхг ду

дф дф дуг дф дх г

дф дф

А2 + ~- ■ М,

9У1

дхг

дф

= 0 + ^-1.

дх дуг дх дхг дх дхг

Подставив эти равенства в (1.1.2), получим

дф дф дф дф дф и = о--J ' = п— ' Л2 + О— • Ах — сУ • -— —

ду дх дуг дхг дхг

откуда и следует требуемое утверждение. ■

Аналогичным образом может быть доказано

Предложение 1.1.2. Функция ф(х,у), аналитическая по Дуглису с матрицей 3, в результате обратимой подстановки

х = хг + Хг 2/1,

(1.1.4)

У = А2 Уъ

будет функцией ф(хг,уг), 3-аналитической с матрицей Зч — ХгЕ + Х2З.

1.2. Постановка задачи Шварца

Задача Шварца (см. [30]) формулируется следующим образом. Пусть односвязная область В ограничена гладким контуром Г. Требуется найти 3-аналитическую с матрицей 3 в области В функцию ф(г) 6 С (В), где В = В иГ, которая удовлетворяет краевому условию

Ке0|г = ^(2;,у), (1.2.1)

где вещественная вектор-функция </?(ж, у) 6 С (Г) задана.

При <р = 0 будем говорить об однородной задаче Шварца. Очевидными решениями последней служат постоянные векторы ф = гс, с £ Iй, которые назовем тривиальными решениями.

Основной вопрос — для каких матриц 3 однородная задача (1.2.1) допускает только тривиальные решения.

Поскольку (1.1.2) есть комплексная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, то задачу Шварца (1.2.1) можно рассматривать как специальную краевую задачу для такой системы.

1.3. Однородная задача Шварца в специальных случаях

Для п = 1 имеет место хорошо известная

Теорема 1.3.1. Пусть скалярная комплексная функция ф(х, у) является X-голоморфной в конечной области И С М2 с границей Г. Тогда однородная задача (1.2.1) допускает только тривиальные решения.

Доказательство. Положим в предложении 1.1.1 3 = X = А1 + А2г, А2 ф 0. Тогда после подстановки (1.1.3) функция ф(х\,у1) будет голоморфной с показателем 3 = X = г. Для нее доказываемое утверждение является известным фактом. ■

В многомерном случае п > 1 это уже не верно: известны примеры нетривиальных решений однородной задачи Шварца, см. [22]. Приведем один из них.

Пример 1.3.1. Пусть п = 2,

-1+Зг 1

3 + 4г 1-г

, х2 + Зу2 - 1 - 2ху г

ФМ= (

х2 + Зу2 - 1 - (4х2 + 2ху + 4у2) г

Функция ф(г) соответствует матрице которая имеет кратное собственное число А = г. Имеем: Р1е</>|Г = 0 на эллипсе Г : х2 + 3у2 = 1.

В § 2.4 второй главы будет получено два метода построения таких примеров. В этом параграфе изучим общий случай п > 1 на предмет единственности решения задачи Шварца. Имеет место

Теорема 1.3.2. [23]. Пусть столбцы обратимой матрицы (2 Е Спхп, начиная со второго, кратны вещественным векторам, и матрица 3\ — С^^ЗСд нижне треугольна. Тогда однородная задача (1.2.1) допускает только тривиальные решения.

Доказательство. Отметим, что вектор х\ в матрице — {х 1, ^2,..., хп) может и не быть кратным вещественному. Кроме того, векторы ^2,... ,хп не именно вещественные, а кратные таковым. Поделим каждый из них на соответствующий комплексный множитель так, чтобы они стали вещественными. Их обозначения оставим прежними.

Обозначим х[ такой реальный вектор, что вещественная матрица О' = (х[, Х2, ■ ■ ■, хп) - неособая. Тогда матрица 3[ = {Я')~13(0') оператора 3 в новом базисе останется нижне треугольной. Пусть п-вектор-функция ф(г) является /-аналитической в области И с границей Г. Подставив 3 = ((Э^З^')-1 в (1.1.2), получим:

а.8.1)

или, умножая обе части на (ф')-1,

« _ . Ш = о. (1.3.2)

оу ох

На главной диагонали матрицы ,/{ стоят собственные числа матрицы так как она подобна ей. Обозначая вектор-функцию (С/)-1 </>(-2) = (РъР2,... ,£>п), распишем (1.3.2) подробнее:

и

/ \ Pi ( Ах 0 0 ... 0 ^ ( \ Р\

д Pi С А2 0 ... 0 д Р2

ду \Рп ) ; ; о * * * ■ - ■ Ап у дх \РП /

Поскольку Q' — вещественная неособая матрица, то 3

Re[(Q')~V]|r = Re(Pi,P2 ,--->Рп)|г = 0

= 0.

(1.3.3)

(1.3.4)

равносильны. Далее заметим, что первое уравнение (1.3.3) имеет вид

дЫ д d(Pi) ^ 0 ду дх

то есть pi(x,y) — Ai-голоморфная функция. При этом в силу (1.3.4) Repi(a:, у)|г = 0. Отсюда с учетом предложения 1.2.1 имеем р\(х, у) = const. Таким образом, для второго уравнения (1.3.3) верно равенство

дЫ , д{р2) dpi д

-т;--А2 • —— = С • = ^-(const) = 0,

оу ох ох ох

то есть функция р2(х:у) будет Аг-голоморфной. При этом в силу (1.3.4) Rep2(^,2/)|r = 0. Отсюда в силу предложения 1.2.1 имеем р2(х,у) = const. Применяя далее тривиальную индукцию, получаем:

{Я')~1ф{г) = (pi,p2, ...,рп)= const, откуда ф(г) = const, что и требовалось. ■

Замечание 1.3.1. Случаю п = 2 в теореме 1.3.1 соответствуют 2x2-матрицы, имеющие хотя бы один вещественный собственный вектор. К ним относятся, в частности, все треугольные матрицы.

Замечание 1.3.2. Матрицу 3\ в формулировке теоремы 1.3.1 можно выбрать и верхне треугольной. Тогда в матрице ф кратными вещественным должны быть векторы ж 1, хг, ■ ■ ■ то есть все> кроме крайнего правого.

Выделим класс матриц, для которых существуют соответствующие им функции с тождественно нулевой реальной частью. Разумеется, для таких матриц нет единственности решения однородной задачи (1.2.1). Имеет место

Теорема 1.3.3. [21]. Пусть матрицы А,Ве №пхп. Для того, чтобы для данной матрицы 7 = А + Вг существовала соответствующая ей непостоянная линейная вектор-функция ф(х,у), удовлетворяющая однородному условию 11е ф = 0, необходимо и достаточно выполнение условия с!е1 В — 0.

Доказательство. Необходимость. Положим

ф(х,у) = 1[ха + уЦ, (1.3.5)

где а и Ъ — вещественные п-векторы, подлежащие определению. Тогда И.еф(х,у) = 0. Нам нужно, чтобы эта функция была аналитической по Дуг-лису. Для нахождения векторов а, Ъ подставим (1.3.5) в (1.1.2):

¿6 = (А + Вг) ■ га, или гЬ — 1Аа — Ва. (1.3.6)

Как нетрудно видеть, (1.3.6) возможно только если

В-а = 0. (1.3.7)

Если в (1.3.6) вектор а = 0, то Ъ — 0, откуда в силу (1.3.5) функция ф(х, у) = 0. Поэтому для выполнения условия ф(х, у) ^ 0 необходимо, чтобы а ф 0, а это согласно (1.3.7) возможно только если сМ В = 0.

Достаточность. Пусть с1е1 В = 0. Подставив любое нетривиальное решение (1.3.7) в (1.3.6), получим вектор 6 = Аа и тем самым восстановим не равную константе линейную функцию ф(х,у) вида (1.3.5). ■

В качестве иллюстрации утверждения теоремы 1.3.3 приведем Пример 1.3.2. Пусть

( г + 1 г \ ( 1 1 \ ( {У+ х)ъ

V * * - 1 / V 1 1 / \(у-х)1

Матрица 3 имеет собственное число А = г кратности два. Здесь с1е! В = 0, Яеф(г) = 0. Как известно, для скалярных Л-голоморфных функций такие примеры невозможны.

1.4. Граничные свойства Л-голоморфных функций

Результаты этого параграфа изложены в нашей совместной с Е.Ю. Пановым статье [25].

Пусть область В с М2. Напомним, что согласно определению 1.1.3 А-голоморфными (1т А -ф 0) называем функции ф{г) : В С комплексной переменной г = х + 1у, которые принадлежат классу С1 {В) и удовлетворяют в В тождеству

Принято обозначать:

2 \дх А ду) 32\ 2 \дх А ду) '

[г]х = гх = х + А у, = ¿х + А Зу, (I-4-2)

г\ = х — А у, Зх\ = Зх — \с1у. В силу (1.4.2) условие (1.4.1) будет равносильно тождеству

(нужно вынести за скобки множитель —1/А). Кроме того, с учетом (1.4.2) можно записать

= + -¿^¿У — + (1.4.3)

ах оу аг\ аг\

Пусть функция f(z) определена в области I), текущую точку которой обозначим г = х + гу. Тогда линейное преобразование (1.1.4) с Ах = Г1еА, А2 = 1т А переводит I) в область переменной г\ = ш = х\ + у\% (круг с центром в нуле переходит в эллипс).

В этом случае обратная замена (1.1.3) отображает в И, а функцию /(г) она в силу предложения 1.1.1 переводит в голоморфную (А = г) функцию д{х\->У\) — У 2/1), у(а;1,2/1)), которая определена уже в области В\.

Итак, /(г) = д\{г) == д(г\), где д(г) - голоморфная функция в Их. Ясно, что обратно любая композиция д{г\), в которой д(г) - голоморфная функция, является А-голоморфной функцией. Поэтому, свойства голоморфных и А-голоморфных функций, в принципе, совпадают. В частности, любая А-голоморфная функция /(г) аналитична и разлагается в некоторой эллипсоидальной окрестности \[г — 2о]л| < ^ любой точки 6 Б в степенной ряд

оо

f(z) = J2a^Z~Z^ А'

71=0

коэффициенты которого можно найти по формуле

= 1 dnf(z0) п ni

(с помощью почленного дифференцирования данного ряда).

Разложение f(z) в ряд можно получить также и из следующего аналога формулы Коши.

Предложение 1.4.1. [25]. Если функция f(z) является \-голоморфной в области D с кусочно-гладкой границей Г = dD и непрерывна на D = D U Г,

то для каждой точки го Е В

/ы

зщпР _ Г /{г)(1г\ 2т ]г [г - г0] л

I

где /3 = 1т Л.

(1.4.4)

Доказательство. Учитывая, что [г — го]\ = [г]\ — [го]л, заключаем, что при замене ги = 1(г) — г\ интеграл в правой части (1.4.4) преобразуется к виду

где д{и;) = /(/ 1{ш)) ~ голоморфная функция в области X) = /(£)), эдо = (2;о)л

Так как линейное отображение и> = 1(г) сохраняет ориентацию при /5 = 1т Л > 0 и меняет ее при /3 < 0, то в последнем случае ориентация границы Гх области £>х = 1(0) противоположна стандартной (то есть согласованной со стандартной ориентацией .Ох). Поэтому из классической формулы Коши для голоморфной функции д{гю) вытекает, что

где знак ± совпадает со знаком /3. ■

Отметим, что при замене и) = 1(г) = г\ справедливо равенство

в котором д'{и;) — производная голоморфной функции д{и)). Из этого равенства следует, что для /(г) = д(г\)

то есть преобразование го = гд сохраняет операцию дифференцирования.

Равенство (1.4.5) позволяет установить следующий аналог теоремы о логарифмическом вычете.

иг = г(г).

(1.4.5)

Предложение 1.4.2. [25]. Пусть D ограниченная область с гладкой границей Г = dD и f(z) — Х-голоморфная в D функция, непрерывная в D = DUT, вместе со своими производными первого порядка. Предположим, что f(z) ф 0 на Г. Тогда

где N — число нулей функции f(z) = 9\{z) в D с учетом их кратности (совпадающее с числом нулей голоморфной функции g(w) в области D' — 1{D), l(z) = z\). Ориентация границы Г предполагается согласованной с ориентацией D.

Доказательство. Как следует из (1.4.5) и теоремы о логарифмическом вычете голоморфной функции g(w) (см. [6, Глава VII), при замене w — l(z) = z\

где Г' = /(Г), а множитель sign/3 появляется в связи с обращением ориентации Г7 при ¡3 < 0. ■

Теперь, опираясь на предложения 1.4.1 и 1.4.2, перейдем непосредственно к изучению граничных свойств Х-голоморфных функций.

Предположим, что D - ограниченная область с гладкой границей

состоящей из / замкнутых контуров ГЛ, к = 1,...,/. Пусть /\(г), /Дг) являются Л- и //-голоморфными функциями в области Б, непрерывными на ее замыкании И. Возникает вопрос, могут ли они совпадать на границе Г = дБ ?

Предположим сначала, что 1т А и 1т ^ имеют разные знаки.

Как установил Е.Ю. Панов, в этом случае справедливо следующее утверждение.

(1.4.6)

Теорема 1.4.1. [25]. Пусть функции f\{z), /¡¿(z) непрерывны в D, (ImA) • (Im//) < 0 и f\(z) = fn(z) на Г = 3D. Если образ /а(Г) имеет пустую внутренность, то J\{z) = ffl{z) = const.

Доказательство. Сделав при необходимости линейную замену переменных (1.4.3), мы можем считать, что А = г, lm.fi < 0.

Далее доказываем "от противного": пусть fi(z) ф const. Тогда по теореме о сохранении области множество fi(D) открыто. По условию, Int/j(r) = 0 и значит fi(D) (£. /¿(Г), то есть существует точка z0 G D, такая что fi(z) - fi(z0) ф 0 на Г. Пусть с = fi{zQ).

По непрерывности функций fi(z), f^z) имеем fi(z)—c ф 0, fll{z)—c ф 0 в окрестности V С D границы Г. Выберем подобласть D С D с гладкой границей Г так, что D \ D С V и граница Г = где Г^ - замкнутые

контуры, гомотопные Г^, k = 1,..., / в D\D. Тогда индекс /¿(Г) относительно с ( равный сумме индексов Ind (/¿(Г^), с) ) совпадает с индексами /¿(Г) и /ДГ), которые равны соответственно

Заметим, что существует по крайней мере один корень го 6 I) функции /¿(г) — с. Поэтому, число нулей нулей этой функции в области £) (с учетом кратности) положительно и по предложению 1.4.2

где N2 это число нулей ¿¿-голоморфной функции — с в области Б. Отрицательный знак появился ввиду условия 1т/л < 0. Равенства (1.4.7), (1.4.8)

(1.4.7)

С другой стороны, снова по предложению 1.4.2,

(1.4.8)

противоречат условию

JL i «w = i / ттт^- =Ind (Л(Г),с).

2тгг /Г fi(z) - с 2т JT f^z) - с Полученное противоречие доказывает, что fi(z) = const. Но тогда и

ffi(z) = const, так как голоморфные, а значит и А-голоморфные функции

однозначно определяются своими граничными значениями. ■

Следующее утверждение показывает, что условие (Im А) ■ (Im д) < 0 в

теореме 1.4.1 является существенным.

Теорема 1.4.2. Если ImA и Im// имеют одинаковый знак, то существуют А- и //-голоморфные квадратичные формы, совпадающие на некотором эллипсе.

Доказательство приведено в §2.3 — см. следствие 2.3.1. В качестве иллюстрации к теореме 1.4.2 приведем

Пример 1.4.1. Пусть А = г, ц = 1 + г,

ш = f(z) = Q + г) • (ж + iy)2\ Uz) = (t - 0 . [х + (1 + i)y]2 + 1.

Тогда

f(z) - f^z) = x2 + xy + ^y2 - 1,

3

то есть (Д — /м) |г = 0 на эллипсе Г : х2 + ху + -у2 = 1.

Если на границу Г наложить специальные условия, то можно получить другие интересные результаты, например приведенную ниже теорему 1.4.3, доказанную А.П. Солдатовым. Но сначала дадим два определения.

Определение 1.4.1. Функция f(z) называется непрерывной по Гёлъдеру с параметром 0 < а < 1 в области D С С", если существует такая вещественная константа М > О, что для любых точек z\ z" G D выполнено неравенство

\f{z')-f{z")\<M.\z'-z'r.

Принято обозначать /(г) £ На(Б).

Определение 1.4.2. Гладкая кривая Г С М2 называется линией Ляпунова, если существуют такие два вещественных числа А > 0 и сг, 0 < сг < 1, что для любых двух точек ¿2 Е Г выполняется условие Ляпу?юва

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Николаев, Владимир Геннадьевич, 2015 год

Список литературы

[1] Балк, М. Б. Полианалитические функции и их приложения / М.Б. Балк // Совр. пробл. матем.-1991 -Т.85- С. 101-108.

[2] Бицадзе, А. В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными /A.B. Бицадзе// Успехи матем. HayK.-1988.-N 6.- С. 153-154.

[3] Бицадзе, А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного /A.B. Бицадзе.- М.: Наука, 1972 - 347 с.

[4] Бицадзе, А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка /A.B. Бицадзе.- М.: Наука, 1986 - 298 с.

[5] Боярский, Б. В. Теор ия обобщенного аналитического вектора / Б.В. Боярский// Annales Polon. Mathem-1997- V.3.- P. 281-320.

[6] Векуа, И. H. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Векуа.- М.: Наука, 1988 - 328 с.

[7] Вишик, М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений / М. И. Векуа// Матем. сб-1991.-Т. 29 - С. 615-676.

[8] Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер- М.: Наука, 1988.-340 с.

[9] Жура, Н. А. Краевые задачи типа Бицадзе-Самарского для эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга систем. /H.A. Жура // Дифференц. уравнения-1992.-Т. 28 - С. 45-55.

[10] Жура, Н. А. Об асимптотике кусочно аналитической функции, удовлетворяющей контактным условиям /H.A. Жура, А.П. Солдатов// Сиб. матем. журн-2012.-Т. 53(5).- С. 1001-1006.

[11] Жура, Н. А. Об одном классе гиперболических полиномов /H.A. Жура// Матем. заметки-2008 - Т. 83(6).- С. 825-830.

[12] Жура, Н. А. Общая краевая задача для эллиптических в смысле Дуг-лиса-Ниренберга систем в областях с гладкой границей /H.A. Жура// Изв. РАН. Сер. матем.-1994.- Т. 58(1).- С. 22-44.

[13] Келдыш, М. В. Математика. Избр. труды / М.В. Келдыш.-М., Наука, 1985. 371 с.

[14] Кочип, Н. Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе.- М.: ГИФМИ, 1983.- 401 с.

[15] Мальцев, Н. И. Основы линейной алгебры / Н.И.Мальцев.- М.: Наука, 1980,- 303с.

[16] Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили - М.: Наука, 1986 - 421 с.

[17] Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили,- М.: Наука, 1988 - 342с.

[18] Николаев, В. Г. Некоторые контрпримеры к принципу максимума модуля /В.Г. Николаев// Вестник НовГУ, серия технические науки-2010-Т.60,- С. 47-49.

[19] Николаев, В.Г. О применении Sw-классификации матриц для решения проблемы единственности задачи Шварца /В.Г. Николаев// Вестник НовГУ, серия технические науки.-2011.-Т. 65 - С. 87-90.

[20] Николаев, В.Г. О единственности решения однородной задачи Шварца для функций, аналитических по Дуглису /В.Г. Николаев// Научные ведомости БелГУ, серия математика, физика.-2011.-Т. 17(112), вып. 24-С. 94-101.

[21] Николаев, В.Г. Об одном преобразовании задачи Шварца /В.Г. Николаев// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия.-2012-T. 6(97).- С. 27-34.

[22] Николаев, В.Г. О некоторых свойствах J-аналитических функций /В.Г. Николаев// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия,—2013.— Т. 3(104).- С. 25-32.

[23] Николаев, В.Г. Единственность решения задачи Шварца в некоторых специальных случаях /В.Г. Николаев// Научные ведомости БелГУ, серия математика, физика.-2013.-Т. 26(169), вып. 33 - С. 35-42.

[24] Николаев, В.Г. О некоторых подходах к проблеме единственности решения задачи Шварца /В.Г. Николаев// Вестник НовГУ, серия физико-математические науки-2013 - Т. 75(2).- С. 38-40.

[25] Nikolaev, V. G., Panov, E.Yu. On Coincidence of A- and /i-Holomorphic Functions on the Boundary of a Domain and Applications to Elliptic Boundary Value Problems / V.G. Nikolaev, E.Yu. Panov // Journal of Mathematical Sciences.-2014.-Vol. 196, N 4.- P. 578-589.

[26] Петровский, И. Г. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия / И.Г. Петровский - М.: Наука, 1986 - 527 с.

[27] Привалов, И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов - М.: Высшая школа, 1999.- 432 с.

[28] Свешников, А. Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, A.I-I. Тихонов - М.: Наука, 2004 - 321 с.

[29] Солдатов, А. П. Гипераналитические функции и их приложения /А.П. Солдатов// Совр. математика и ее приложения-2004.-Т. 15 - С. 142-199.

[30] Солдатов, А. П. Задача Шварца для функций, аналитических по Ду-глису /А.П. Солдатов// Совр. математика и ее приложения.-2010.-Т. 67(68).- С. 99-102.

[31] Солдатов, А. П. Интегральное представление функций, аналитических по Дуглису /А.П. Солдатов// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия.-2008.-Т.8/1(67).- С. 225-234.

[32] Солдатов, А. П. Пространство Харди решений эллиптических систем первого порядка /А.П. Солдатов// Докл. РАН.-2007.-Т.416, N 1.-С. 2630.

[33] Солдатов, А. П. О степенно-логарифмической асимптотике в угле аналитических функций /А.П. Солдатов// Докл. РАН.-2005.-Т.400, N2 - С. 162-165.

[34] Soldatov, A. Hyperanalytic functions and their applications /А. Soldatov// J. Math. Sciences-2004. V.17.

[35] Солдатов, А. П. Эллиптические системы высокого порядка /А.П. Солдатов// Дифференц. yp.-1989.-T.25 - С. 136-142.

[36] Солдатов, А. П. Функции, аналитические по Дуглису /А.П. Солдатов.-Изд-во НовГУ, 1995,- 196 с.

[37] Черных, К. Ф. Введение в анизотропную упругость /К.Ф. Черных.- М.: Наука, 1988 - 432 с.

[38] Эванс, JI. К. Теория меры и тонкие свойства функций /Л.К. Эванс, Р.Ф. Гариепи—Новосибирск: Науч. книга.-2002 - 216 с.

[39] Douglis, A. A function theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables /А. Douglis// Comm. Pure Appl. Math.-1983.- V. 6 - P. 259-289.

[40] Douglis, A. Interior estimates for elliptic systems of partial diff. equations /А. Douglis, L. Nirenberg// Comm. Pure Appl. Math.-1985.-V.8 - P. 503-538.

[41] Gilbert, R. P. Degenerate elliptic systems whose coefficient matrix has a group inverse /R.P. Gilbert, G.N. Hile// Complex variables-1988-V.I.- P. 61-87.

[42] Gilbert, R. P. Analytic, generalized, hyper- analytic function theory and an application to elasticity /R.P. Gilbert, W.L. Wendland// Proc. Roy.Soc. Edinburgh.-1975.-V.73.- P. 317-371.

[43] Hile, G. N. Elliptic systems in the plane with order term and constant coefficients /G.N. Hile// Comm. Pure Appl. Math.-1978.-V.3(10).- P. 949977.

[44] Horvath, J. A generalization of the Cauchy-Riemann equations / J. Horvath// Contrib. Diff. Equations.-1961.-V. 1- P. 39-57.

[45] Paskali, D. Vecturs analytiques generelises /D. Paskali// Rev. Roumeine Math. Pure Appl.-1965.-V.10 - P. 779-808.

[46] Ieh, R. Z. Hyperholomorphic functions and higher order partial differentials equations in the plane /R.Z. Ieh// Pacific Journ. of Mathem.-1990.-V.142, N2,- P.379-399.