Исследование гиперболической модели процесса плавления одномерного материала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Стратилатова, Елена Николаевна

• Стратилатова, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стратилатова, Елена Николаевна

Введение.

Глава I. Предварительные сведения.

§1.1. Матрицы Римана первого и второго рода.

§ 1.2. Задача типа Коши. Метод граничных интегральных уравнений.

§ 1.3. Операторное неравенство в банаховом пространстве с конусом.

§ 1.4. Гиперболическая модель теплопроводности.

Глава II. Матрицы Римана гиперболического оператора теплопроводности.'.

§2.1. Вычисление матриц Римана гиперболической системы двух уравнений.

§ 2.2. Случай постоянных коэффициентов.

§ 2.3. Матрицы Римана оператора (1.25).

§ 2.4. Задача Коши для гиперболической системы уравнений теплопроводности. Редукция к параболической модели.

§ 2.5. Оценки для элементов матрицы Римана второго рода оператора (1.25).

Глава III. Задача Стефана для гиперболической системы уравнений теплопроводности.

§ 3.1. Особенности модели и метода исследования.

§ 3.2. Формулировка краевой задачи.

§ 3.3. Производящая функция краевой задачи.

§ 3.4. Уравнение для производящей функции. Теорема существования и единственности.

§ 3.5. Теорема существования и единственности решения краевой задачи.

§ 3.6. Итоговый результат.

Глава IV. Перенос результатов на случай неоднородного материала.

§4.1, Формулировка задачи.

§ 4.2. Уравнение для производящей функции.

§ 4.3. Теоремы существования и единственности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование гиперболической модели процесса плавления одномерного материала»

X. Одна из трудных задач теории теплопроводности - разработка методов расчета процессов фазового перехода, в том числе процессов плавления. В рамках классической теории теплопроводности математическими моделями процессов плавления служат краевые задачи с неизвестной границей для уравнений параболического типа (см. [9], [13] и ссылки в них). В связи с появлением гиперболической модели теплопроводности, устраняющей имеющий место в классической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла [3; 5; 6; 52; 14-17; 22-25; 39; 40; 48-51; 53; 54; 63], является актуальной задача построения и анализа уточненных моделей процессов плавления на базе теории уравнений гиперболического типа.

Имеющиеся к настоящему времени работы по этой проблематике сводятся к попыткам обоснования - как правило с помощью не вполне строгих методов - корректности рассматриваемой модели [4; 11; 19; 21; 46; 5561].

В цикле работ [7; 26-30] развит подход к анализу краевых задач для гиперболических систем на плоскости, который может быть охарактеризован как метод граничных интегральных уравнений. В рамках этого подхода анализ корректности и построение решения краевой задачи приводятся к таким же задачам для системы интегральных уравнений на границе области. На этом пути исследован класс смешанных задач, возникающих, в частности, при моделировании процессов в химических реакторах [1; 2; 12; 20; 31; 32].

Целью диссертационной работы является разработка специального варианта метода граничных интегральных уравнений применительно к краевой задаче с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления одномерного материала в рамках гиперболического закона теплопроводности, и анализ этой задачи на основе построенного математического аппарата. Эта задача включает в себя в качестве составного элемента вычисление матриц Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности.

Из сказанного вытекает актуальность, научная новизна, теоретическая и практическая значимость темы диссертации.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Стратилатова, Елена Николаевна

Заключение

Одна из задач теории теплопроводности - разработка методов расчета процессов фазового перехода, в том числе процессов плавления. В связи с появлением гиперболической модели теплопроводности, актуальной является задача построения и анализа уточненных моделей процессов плавления на базе теории уравнений гиперболического типа.

Диссертационная работа посвящена этой проблематике.

Получены следующие основные результаты [33-38, 42-45].

1. Построено явное представление через коэффициенты матриц Римана первого и второго рода гиперболической системы двух уравнений общего вида, на этой основе вычислены матрицы Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности.

2. Построение решения краевой задачи с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления, приведено к вычислению производящей функции этой задачи, определенной на границе раздела фаз.

3. Построено уравнение для производящей функции, представляющее собой нелинейное операторное уравнение в конусе положительных непрерывных функций на некотором отрезке. Найдено условие на параметры задачи, обеспечивающее однозначную разрешимость этого уравнения и - на этой основе - краевой задачи.

4. Построена итерационная процедура вычисления характеристик процесса плавления: температуры и теплового потока в жидкой фазе, закона движения границы раздела фаз. ч

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стратилатова, Елена Николаевна, 2006 год

1. Акрамов, Т.А. Качественный и численный анализ модели реактора с противотоком компонентов/ Акрамов, Т.А.// Математическое моделирование каталитических реакторов. - Новосибирск: Наука, 1989. С. 195-214.

2. Акрамов, Т.А. О поведении решений одной гиперболической задачи/ Акрамов, Т.А. //Сиб. мат. журн. 1998. - Т. 39, № 1. - С. 3-19.

3. Баумейстер, К. Гиперболическое уравнение теплопроводности. Решение задачи о полубесконечном теле! Баумейстер, К., Хамил, Т. // Теплопередача. 1969. - №4. - С. 112-119.

4. Береговая, Г.И. Гиперболическая задача Стефана в криволинейном секторе! Береговая, Г.И., Кирилич, В.М. // Укр. мат. журн. 1997. - Т. 49, №12.-С. 1684-1689.

5. Бубнов, В.А. Об использовании гиперболического уравнения в теории теплопроводности! Бубнов, В.А., Соловьев, И.А.// Инж.-физ. журн. 1977. -Т. 33, №6.-С. 1131-1135.

6. Бураханов, Б.М. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики! Бураханов, Б.М., Лютикова, E.H., Медин, С.А. М., 2002. - 28с. (Препринт / ОИВТРАН; №> 2-462).

7. Воробьева, Е.В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости! Воробьева, Е.В., Романовский, Р.К.// Сиб. мат. журн. -2000. Т. 41, № 3. - С. 531-540.

8. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве/ Далецкий, Ю.Л., Крейн, М.Г. М.: Наука, 1979. - 534 с.

9. Данилкж, И.И. О задаче Стефана! Данилкж, И.И. // Успехи мат. наук -1985. Т. 38, вып. 5(245). - С. 133-185.

10. Джураев, Т.Д. Гиперболическая задача Стефана! Джураев, Т.Д., Та-хиров, Ж.О.// Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, № 5. - С. 821-831.

11. Елтышева, Н.А О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости! Елтышева, Н.А // Мат. сб. 1988. -Т. 135, №2.-С. 186-209.

12. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел /Карташов, Э.М. М.: Высшая школа, 1985. - 480с.

13. Карташов, Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами! Карташов, Э.М. // Изв. РАН. Сер. Энергетика 1999. - № 5. - С. 3-34.

14. Карташов, Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами! Карташов, Э.М.// /Инж.-физ. журн. -2001. Т. 74, № 2. - С. 1-24.

15. Корнеев, С.А. Гиперболические уравнения теплопроводности! Корне-ев, С.А. // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2001. - № 4. - С. 117-125.

16. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики/ Кошляков, Н.С., Глинэр, Э.Б., Смирнов, М.М. М.: Высшая школа, 1970.-710 с.

17. Кирилич, В.М. Обобщенная полулинейная гиперболическая задача Стефана на прямой! Кирилич, В.М., Мышкис, А.Д. // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27, № з. - С. 497-501.

18. Лаврентьев, М.М. (мл.) Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач! Лаврентьев, М.М. (мл.), Люлько, Н.А. // Сиб. мат. журн. 1997. - Т. 38, № 1. - С. 109-124.

19. Летавин, М.И. О корректности постановки одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана/] Летавин, М.И. // Дифференц. уравнения. 1991.- Т. 27, № 8. - С. 1395-1402.

20. Лыков, А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена /Лыков, А.В. // Инж.-физ. журн-1965. Т. 9, № 3. - С. 287-304.

21. Лыков, А.В. Теория теплопроводности /Лыков, А.В. М.: Наука, 1967. - 599 с.

22. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода! Романове™, Р.К. // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 267, № 3. - С. 577-580.

23. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода! Романовский, Р.К //Мат. сб. 1985. - Т. 127, № 4. - С. 494-501.

24. Романовский, Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными! Романовский, Р.К. // Мат. сб. 1987. - Т. 133, № 3. - С. 341-355.

25. Романовский Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами! Романовский Р.К. // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики Киев, 1987. - С. 47-52.

26. Романовский, Р.К. Усреднение гиперболических уравнений/ Романовский Р.К. // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 306, № 2. - С. 286-289.

27. Романовский, Р.К. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости! Романовский, Р.К., Воробьева, Е.В., Макарова, И.Д. // Сиб. журн. индустриальной мате-матики-2003. Т.VI, №1(13). - С. 118-124.

28. Романовский, Р.К. Об устойчивости стационарных режимов в химическом реакторе с противотоком компонентов! Романовский, Р.К., Коло-зова, О.А., Макарова, И.Д. //Докл. СО АН ВШ. 2002. - №1. - С. 38-44.

29. Романовский, Р.К. Анализ гиперболической модели задачи о фазовом переходе методом граничных интегральных уравнений! Романовский, Р.К., Стратилатова, E.H. //Докл. СО АН ВШ. 2003. - №2(8). - С. 52-58.

30. Романовский, Р.К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений! Романовский, Р.К., Стратилатова, Е.Н. // Сиб. журн. индустриальной математики2004. Т.VII, №3(19). - С. 119-131.

31. Романовский, Р.К. Задача Коши для гиперболической системы уравнений теплопроводности. Редукция к параболической модели! Романовский, Р.К., Стратилатова, Е.Н.// Омский научный вестник. 2006. - № 4(38) (в печати).

32. Соболев, C.JT. Процессы переноса и бегущие волны! Соболев, С.Л.// Успехи физ. наук.-1991. -Т. 161, №3.-С. 5-29.

33. Соболев, С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса/ Соболев, С.Л.//Успехи физ. наук. 1997. - Т. 167, № 10. - С. 1095-1106.

34. Седов, Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. / Седов, Л.И. -М.: Наука, 1970.-492 с.

35. Стратилатова, Е.Н. Матрицы Римана гиперболического оператора теплопроводности! Стратилатова, Е.Н.//Омский гос. техн. ун-т. Омск,2005. 22с. - Деп. В ВИНИТИ. 26.10.2005, № 1367-В 2005.

36. Стратилатова, Е.Н. Матрицы Римана гиперболического оператора теплопроводности/ Стратилатова,Е.Н // Современная математика и ее приложения. 2004. - Т. 33 (в печати).

37. Тахиров, Ж.О. Двухфазная задача с неизвестными границами для гиперболической системы уравнений первого порядка/ Тахиров, Ж.О. // Узб. мат. журн. 1991. - № 6. - С. 48-56.

38. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики/ Тихонов, А.Н., Самарский, А.А. М.: Наука, 1977. 736 с.

39. Харитонов, В.В. К вопросу о теплопроводности при конечной скорости распространения тепла/ Харитонов, В.В // Инж.-физ. журн . 1969. -Т. 16, №4. - С. 737-741.

40. Шашков, А.Г. Волновые явления теплопроводности'. Системно-структурный подход/ Шашков, А.Г., Бубнов, В.А., Яновский, С.Ю.Минск: Наука и техника, 1993. 279 с.

41. Bai, С. On the hyperbolic heat conduction and the second low of thermodynamics./ Bai, C., Lavine, A.S. // J. Heat Transfer, Trans. ASME. 1995. - V. 117, May.-P. 256.

42. Bogy, D. On heat conduction and wave propagation in rigid solids! Bogy, D., Naghadi, P. // J. math. Phys. 1970. -V. 11. - P. 917-923.

43. Cattaneo, С. Sur une forme de Г equation de la chaleur eliminant le para-doxe d\mepropagation insantanee/ Cattaneo, C.// Comptes Rend. 1958. - V. 274.-P. 431-433.

44. Chester, M. Second sound in solids! Chester, M.// Phys. Rev. 1963. - V. 131.-P. 2013-2015.

45. Dafermos, C.M. Polygonal approximations of solutions of the initial value problem for a conservation law! Dafermos, C.M. // J. math. Anal. Applies. -1972.-V. 38. -P.33-41.

46. DeCocio, L. A hyperbolic Stefan problem! DeCocio, L., Gaultier, G. // Q. appl. Math. 1985. -V. 41. P. 253-259.

47. Greenberg, J.M. On the interaction of shocks and simple waves of the same family! Greenberg, J.M. // Arch. rat. Mech. Anal. 1970. - V. 37. - P. 136-160.

48. Greenberg, J.M. A free boundary problem for the linear heat equation! Greenberg, J.M. //J. diff. Eqns. 1970. -V. 7. - P. 287-306.

49. Greenberg, J.M. A hyperbolic heat transfer problem with phase changes! Greenberg, J.M. // IMA J. Appl. Math. 1987. - V. 38. - P. 1-21.

50. Sadd, M. Non Fourier melting of semi infinite solid! Sadd, M., Didlake, J. // Trans. ASME Ser С (USA). 1977. - V. 99. - P. 25-28.

51. Schaeffer, D.G. On loading near a shear band: A free boundary problem for the wave equation! Schaeffer, D.G., Shearer, M. // Commun. Part. Differ. Equat. 1993. -№ 7-8. - P. 1271-1298.

52. Showalter, R.E. A hyperbolic Stefan problem! Showalter, R.E., Walkington, N.J. // Quar. Appl. Math. 1987. - V. 45, N 4. - P. 769-781.

53. Solomon, A.D. On the hyperbolic Stefan problem! Solomon, A.D., Alex-iades,V., Wilson, D.G., Drake, S. // Quar. Appl. Math. 1985. - V. 43, N 3. -P. 295-304.

54. Vernotte, P. Les paradoxes de la theorie continue de Г equation de la chaleur! Vernotte, P. // Comptes Rend.- 1958. 246. - P. 3154-3155.