Исследование фрактальных свойств геологических сред методами геоэлектрики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Любчич, Владимир Алексеевич

• Любчич, Владимир Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Любчич, Владимир Алексеевич

Введение.

Глава 1. Общие свойства фрактальных множеств, фрактальный анализ геофизических рядов данных.

1.1 Фрактальная размерность.

1.2 Спектральный метод оценки фрактальной размерности.

1.3 Мультифрактальный спектр.

1.4 Последовательность показателей массы x(q).

1.5 Вейвлет-анализ.

1.6 Сравнение эффективности методов оценки фрактальной размерности на основе модельного ряда.

Глава 2. Примеры использования фрактальных методов для анализа реально наблюденных рядов геофизических данных.

Глава 3. Фрактальный скейлинг.

3.1 Теория перко л яции.

3.2 Фрактальный скейлинг электрических свойств.

3.3 Транспортные свойства перколяционных систем.

3.4 Исследование фрактального скейлинга кажущегося сопротивления на образце железистых кварцитов.

Глава 4. Исследование фрактального скейлинга кажущегося сопротивления на примере Мончегорского рудного района.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование фрактальных свойств геологических сред методами геоэлектрики»

Общая характеристика работы.

Актуальность темы диссертации.

В последние десятилетия широкое распространение в различных областях естествог знания получили идеи нелинейной динамики, исключением не стала и геология. G современных позиций земная кора в целом и отдельные ее элементы рассматриваются как открытые диссипативные динамические системы. Вследствие этого образование различных геологических структур, будь то рудные поля или текстурные особенности распределения льдистости в мерзлых породах, рассматривается не как результат последовательных линейных воздействий различной природы, а как следствие сложного кооперативного взаимодействия многих факторов. Отличительной особенностью таких систем является иерархическая структура их организации, или другими словами фрактальность. Однако, большинство фрактальных геологических систем недоступны непосредственному наблюдению, для изучения их свойств приходится использовать геофизические, данные. Вследствие этого очень актуальным является решение вопроса, насколько адекватную информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем можно получить, анализируя фрактальные характеристики пространственных рядов геофизических данных, полученных при профилировании над такими системами.

Существует и другой аспект проблемы исследования фрактальных структур. Одним из основных свойств фрактальных систем является их крайняя неоднородность, причем в силу свойства самоподобия неоднородности присутствуют в широком диапазоне масштабов. В том случае, если характерный линейный размер геофизической установки, к примеру, разнос или длина волны, сравним с линейными размерами фрактальной области, то такая среда будет являться макронеоднородной. В силу этого мы не имеем права вводить удельные (плотностные) характеристики среды, такие как, плотность или электропроводность, так как их значения на конкретных реализациях случайно неоднородной среды являются плохо определяемыми параметрами, и должны работать с усредненными по большому количеству реализаций величинами. В данной ситуации, меняя характерный размер установки^ можно наблюдать такое физическое явление, как фрактальный скейлинг, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от разноса установки. Изучение новых физических явлений, возникающих при измерениях на макронеоднородной среде, в том числе и их экспериментальное подтверждение, также является весьма актуальной задачей.

Цель исследования и основные задачи.

Цел ь, работы: во-первых, изучение фрактальной структуры пространственных рядов геофизических данных и ее связи с фрактальными характеристиками геологической среды. Во-вторых, исследование и экспериментальное подтверждение явления скейлинга электрических свойств, в частности, кажущегося сопротивления, фрактальных макроне-однородных сред.

В ходе осуществления поставленной цели решены следующие задачи:

Проанализированы различные методы оценки фрактальной размерности пространственных рядов данных, а именно,, спектральный метод, мультифрактальный анализ и вейв-лет-анализ, на основе модельных канторовских рядов различной длины. Было установлено, что наилучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды, к тому же по достаточно небольшим пространственным рядам данных, достигаются при использовании вейвлет-анализа.

Рассмотрены примеры фрактального анализа реальных рядов геофизических данных, полученных в результате микропрофилирования над фрактальными геологическими средами.

Изучено явление фрактального скейлинга кажущегося сопротивления, экспериментально подтвержденное при измерениях различными электроразведочными установками (трех- и четырехэлектродная установки Веннера, потенциальная двухэлектродная установка) на образце железистого кварцита, рассматривавшегося как модель фрактальной макронеоднородной среды.

На примере Мончегорского рудного района показана возможность проявления фрактального скейлинга кажущегося сопротивления в реальных геологических средах, таких как, например, Печенгско-Варзугская рифтогенная структура.

Основные защищаемые положения.

1. Результаты моделирования фрактальных пространственных рядов данных позволили исследовать эффективность различных методов оценки,фрактальной размерностии показать, что при ограниченной длине ряда лучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды достигаются при использовании вейвлет-анализа.

2. Ряды геофизических данных, полученные в результате профилирования над фрактальными геологическими средами, обладают фрактальными характеристиками и несут информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем.

3. При измерениях на макронеоднородной среде, то есть в-случаях, когда характерный линейный, размер геофизических установок сравним или меньше размеров фрактальной области, наблюдается явление фрактального скейлинга, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от характерного размера установки. Фрактальный скейлинг кажущегося сопротивления экспериментально подтвержден при; лабораторных измерениях разными электроразведочными; установками на; образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой.

4. Скейлинг кажущегося сопротивления может проявляться и в более крупных фрактальных геологических системах, таких как, например, рифтогенная структура Мончегорского рудного района, характеризующаяся широким распространением тектонических нарушений различного масштаба и направления, в том числе и контролирующих размещение рудоносных массивов. В этом случае явление скейлинга кажущегося сопротивления наблюдается в диапазоне масштабов от первых сотен метров до километров.

Научная новизна.

1. Впервые на основе ряда, полученного по результатам физического моделирования, проведен Сравнительный анализ различных методов оценки фрактальной размерности пространственных рядов данных, а именно, спектрального метода, мультифрактально-го анализа, вейвлет-анализа.

2. Впервые экспериментально исследовано явление скейлинга кажущегося сопротивления в диапазоне масштабов от 1 до 10 см при измерениях на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой.

3- Впервые показана возможность проявления фрактального скейлинга электрических свойств в реальных геологических системах, на примере рифтогенной структуры Мончегорского рудного района.

Методы исследований и фактический материал.

Для анализа фрактальных характеристик пространственных рядов, данных использовались спектральный метод, мультифрактальный: формализм и вейвлет-анализ. Данными методами анализировались пространственные ряды данных, полученные в результате специальных работ по индуктивному микропрофилированию, проводившихся сотрудниками лаборатории геоэлектрики кафедры физики Земли СПбГУ в 1994-96 гг. на территории Бованенковского газоконденсатного месторождения на полуострове Ямал, где исследовались фрактальные свойства распределения льдистости в мерзлых породах, и в 1999 т. на территории Нечегубского железорудного месторождения на Кольском полуострове, где изучалась фрактальная структура распределения тел железистых кварцитов.

Явление скейлинга. электрических свойств фрактальных случайно неоднородных систем рассматривалось в рамках теории перколяции, основные моменты которой приведены в подробном обзоре Бунда и Хавлина [24]. Экспериментальный материал, продемонстрировавший явление скейлинга кажущегося сопротивления, был? также получен при участии автора на кафедре физики Земли СПбГУ в результате серии измерений е различными электроразведочными установками (трех- и четырехэлектродная установки В енне-ра, потенциальная двухэлектродная установка) на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой. Образец железистого кварцита был взят сотрудниками Геологического института КНЦ; РАН на одном из обнажений Печегубского месторождения и передан кафедре физики Земли СПбГУ для исследования электрических свойств фрактальных структур.

Исследование фрактальных свойств Печенгско-Варзугской рифтогенной структуры и выявление возможности скейлинга кажущегося сопротивления в столь крупных геологических системах проводилось на основе материалов, полученных ОАО «Центрально-Кольская экспедиция» при проведении поисковых геологоразведочных работ, а также региональных геофизических исследований методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) в Мончегорском рудном районе. Результаты проведенных работ представлены в отчетах [40,41,42].

Практическая ценность работы.

Как уже отмечалось выше, в последние годы все большее распространение в геологии находят идеи нелинейной геодинамики, все большее количество геологических систем, их генезис и структура рассматриваются с этих новых позиций [4]. Вследствие недоступности большинства этих геологических систем непосредственному наблюдению исследование их фрактальных свойств производится с помощью геофизических методов. Естественно, что выяснение вопроса, насколько адекватную информацию о свойствах геологических систем можно получить при исследовании фрактальных характеристик пространственных рядов, геофизических данных, представляет большой практический интерес.

Практическую ценность имеют и результаты исследования электрических свойств макронеоднородных систем. Современная геофизика все чаще выходит за рамки традиционной горизонтально-слоистой однородной модели среды. Поэтому при проведении геофизических работ на геологических разрезах, обладающих фрактальными свойствами, необходимо учитывать возможность таких явлений, как фрактальный скейлинг, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от характерного размера установки.

Личный вклад автора.

В процессе выполнения работы автор:

Разработал программы расчета спектров сингулярности f(a) для исследования муль-тифрактальных характеристик распределения льдистости в мерзлыхпородах.

Провел сравнительный анализ спектрального метода, мультифрактального анализа и вейвлет-анализа на основе модельных, канторовских рядов различной длины и установил, что наиболее достоверные результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды, к тому же по достаточно небольшим пространственным рядам данных,, достигаются при использовании вейвлет-анализа.

В; составе, группы сотрудников лаборатории геоэлектрики кафедры физики Земли принимал участие в работах по индуктивному микропрофилированию на территориях Бо-ваненковского газоконденсатного месторождения на полуострове Ямал и Печегубского железорудного месторождения на Кольском полуострове. Исследовал фрактальные характеристики полученных таким образом пространственных рядов геофизических данных.

Провел серию измерений с потенциальной двухэлектродной установкой на образце, железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой, и экспериментально подтвердил явление скейлинга кажущегося сопротивления.

Во время работы в ОАО «Центрально-Кольская экспедиция» принимал участие в проведении полевых работ методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) в Мончегорском рудном районе. Провел фрактальный анализ рядов магнитной съемки по опорным бурог вым профилям, пересчитал значения градиентов электрического потенциала AU/I в величины кажущегося сопротивления рк и выявил возможность проявления фрактального скейлинга кажущегося сопротивления для рифтогенной структуры Мончегорского рудного района.

Апробация.

Результаты исследований, представленные в работе, докладывались на международной конференции «Неклассическая: геоэлектрика», Саратов^ Россия, 28 августа - 1 сентября 1995 г.; международной конференции «Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками», Санкт-Петербург, Россия; 1996 г.; годичном собрании Совета ПО; криологии Земли РАН, Пущино, 1996 г.; всероссийской научно-практической; конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика-97», Санкт-Петербург, Россия, 3-6 июня 1997 г.;

IV конференции по геологической синергетике, Апатиты, Россия, 16-20 июня 1998г.; международной конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика-99», Санкт-Петербург, Россия, 9-12 ноября 1999 г.; международной конференции «Проблемы геокосмоса», Санкт-Петербург, Россия, май 2000 г.; международной конференции «Неклассическая геофизика»,. Саратов, Россия, 28 августа - 1 сентября 2000 г.;

16 Workshop on electromagnetic induction, College of Santa Fe, Santa Fe, New Mexico, USA, June 16-22, 2002;

30-й сессии международного семинара им. Д.Г. Успенского, Москва, Россия, 2003 г.

Публикации.

Общее число публикаций по теме диссертации - 17, в их числе три статьи в научных периодических изданиях, две статьи в сборниках научных конференций, глава в научной монографии Горяинова П.М., Иванюка Г.Ю. «Самоорганизация минеральных систем. Си-нергетические принципы геологических исследований», одиннадцать, тезисов научных конференций.

Структура и объем.

Диссертация состоит из введения, четырехглав и заключения, содержит 124 страницы машинописного текста, включая 50 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Любчич, Владимир Алексеевич

Заключение.

В представленной работе рассмотрены две области применения элементов теории фракталов в геофизике. В первых двух главах рассматривался случай, когда разрешающая способность геофизической установки сравнима с размером минимального элемента фрактального объекта, а характерная область ее действия L мала по сравнению с размерами исследуемых фрактальных геологических систем Lc (L « Lc), тогда мы имеем возможность получать статистику распределения неоднородностей, проводя профилирование или съемку по площади, не меняя параметров установки. При анализе полученной геофизической информации мы можем рассматривать минимальный элемент фрактальной структуры как квазиоднородный и вводить традиционные удельные характеристики среды, такие как электропроводность, магнитная восприимчивость или плотность, после чего исследовать фрактальные свойства распределения этих величин по профилю или площади съемки.

Однако, фрактальную размерность, оцененную по пространственным рядам геофизических данных, нельзя напрямую отождествлять с фрактальной размерностью самой геологической структуры. Для оценки эффективности различных методов определения фрактальной размерности в лаборатории геоэлектрики на кафедре физики Земли СПбГУ был сконструирован специальный модельный ряд. Была смоделирована среда, состоящая из чередования хорошо проводящих вертикальных пластов, находящихся в плохо проводящих породах, при этом пласты расположены так, что образуют структуру, которую можно рассматривать как триадное канторовское множество, размерность которого df равняется 0,631. Вкрест простирания этой структуры было проведено индуктивное профилирование, разнос установки был меньше размера структуры, соответственно "хвосты" профильной кривой также были меньше этого размера. Полученная профильная кривая размножалась по алгоритму построения триадного канторовского множества до произвольных размеров. Размноженные ряды обрабатывались стандартными приемами фрактального анализа — спектральным методом, мультифрактальным анализом и вейвлет-анализом.

В итоге было установлено, что при ограниченной длине ряда лучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды достигаются при использовании вейвлет-анализа.

В дальнейшем были рассмотрены конкретные примеры фрактального анализа пространственных рядов геофизических данных, полученных в результате индуктивного микропрофилирования на фрактальных геологических разрезах. В частности, исследовалось мультифрактальное распределение неоднородностей (льда) в сильнольдистых засоленных глинах морского генезиса на территории Бованенковского газоконденсатного месторождения, на полуострове Ямал, а таюке фрактальная структура расположения тел железистых кварцитов на территории Печегубского железорудного месторождения на Кольском полуострове.

Было показано, что ряды геофизических данных, полученные в результате профилирования над фрактальными геологическими средами, обладают фрактальными характеристиками и несут информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем.

В последних двух главах рассматривался случай, когда характерные размеры установки (разнос) сравнимы или меньше размеров фрактальной области (L ~ Lc), тогда фрактальная среда является макронеоднородной, и получаемые характеристики среды будут сильно зависеть от конкретного положения установки в пространстве и ее геометрии. Поэтому в этом случае мы не имеем права вводить удельные (плотностные) характеристики среды, так как их значения являются плохо определяемыми параметрами, и должны работать с усредненными по большому количеству измерений величинами.

Долгое время изучением случайно неоднородных сред занималась, физика твердого с тела [20, 27], где впервые было введено понятие критического порога, при котором происходит фазовый переход «металл - диэлектрик». В различных теоретических работах [16, 24] было показано, что вблизи критической концентрации проводящей фазы электрические свойства случайно неоднородной среды степенным образом зависят от линейного размера системы Lc. Такая зависимость называется скейлингом, а степенные индексы — скейлинговыми показателями.

На кафедре физики Земли было проведено экспериментальное исследование фрактального скейлинга кажущегося сопротивления. В качестве модели макронеоднородной среды использовался образец железистого кварцита, обладавший фрактальной структурой и имевший квазиплоскую форму. Одна из его поверхностей была выровнена, и на ней были проведены измерения электрических свойств с помощью трех- и четырехэлектрод-ной установок Веннера, а таюке потенциальной двухэлектродной установки, что позволило выявить скейлинг кажущегося удельного сопротивления и получить статистически состоятельные оценки степенного показателя pCjc .

Оценка показателя pCj(, который в общем случае зависит от типа электроразведочной установки, составила: для двухэлектродной установки - 0.78 ± 0.03 (при усреднении без учета нулевых отсчетов) и 0.74 ± 0.03 (с учетом нулевых отсчетов), для трехэлектрод-ной установки Веннера - 1.49 ± 0.04 (без нулей) и 1.58 ± 0.06 (с нулями), для четырехэлектродной установки Веннера - 1.61 ± 0.06 (без нулей) и 1.73 ±0.08 (с нулями). Коэффициент линейной корреляции во всех случаях превышал значение 0.98.

Так как средние значения кажущегося сопротивления ложились на прямую линию в двойном логарифмическом масштабе с очень высоким коэффициентом линейной корреляции, то можно сделать вывод, что мы действительно наблюдали явление фрактального скейлинга кажущегося сопротивления.

То, что показатель рС^, полученный для четырехэлектродной установки, выше показателя, полученного для трехэлектродной установки, хорошо согласуется с теоретическими представлениями. В терминах теории протекания можно говорить о том, что при использовании трехэлектродной установки мы измеряли кажущееся сопротивление только на бесконечном кластере, а с четырехэлектродной могли попадать и на конечные. Так как электрические свойства макронеоднородных систем определяются транспортом заряженных частиц через случайно неоднородную среду, то скейлинговый показатель рк взаимосвязан с диффузионным показателем системы dw- Для установок Веннера эта связь определяется следующей формулой: k=dw-df+1> где df - фрактальная размерность среды. Так как диффузионный показатель d'w всей перколяционной системы больше показателя dw для одного бесконечного кластера, то скейлинговый показатель р}с для четырехэлектродной установки должен быть выше аналогичного показателя для трехэлектродной установки.

То, что показатель рС^ для потенциальной установки меньше единицы, объясняется спадом электрического потенциала с удалением от источника — питающего электрода А.

Полученные результаты позволяют сделать еще один важный вывод. Если проанализировать зависимости ln(pic)oT InL, полученные при измерениях по разным направлениям, можно убедиться, что показатель меняется. Таким образом, железистый кварцит следует рассматривать как анизотропный фрактал.

Необходимо отметить, что выявленная степенная зависимость среднего кажущегося сопротивления от разноса установки относится к очень малому диапазону масштабов, от одного до десяти сантиметров. Фактически, проведенный эксперимент только демонстрирует возможность проявления скейлинга в реальных средах. Геологические фрактальные системы могут иметь существенно большие размеры, от единиц до десятков и сотен километров. И в этих случаях также можно столкнуться с таким явлением, как скейлинг кажущегося сопротивления.

В качестве примера реальной геологической системы рассмотрена рифтогенная структура Мончегорского рудного района. Район характеризуется чрезвычайно широким распространением разрывных тектонических нарушений, различающихся по направлению и масштабам проявления, что определяет блоковое строение рифтогенной зоны. Проведенные в центральной части района поисковые геологоразведочные работы установили иерархическую организацию рудоперспективных зон [42]. А если учесть, что сложнораз-ветвленная система тектонических нарушений различных масштабов, контролирующих положение и локализацию рудоносных массивов, также имеет самоподобную структуру, то Мончегорский рудный район в целом можно рассматривать в качестве некой фрактальной геологической системы.

Для исследования электрических свойств этой геологической системы использовались материалы, полученные в результате региональных геофизических работ методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) [40]. С этой целью измеренные значения градиентов электрического потенциала AU пересчитывались в кажущееся сопротивление рк по формуле для трехэлектродной установки, питающий электрод А которой погружен на глубину h от дневной поверхности. Такую электроразведочную установку можно рассматривать как предельную трехэлектродную (АО » MN), характерным размером L для которой служит расстояние от источника до середины приемного диполя (L = АО). Большая площадь планшетов съемок ММЗ обеспечила массив данных, достаточный для статистического изучения электрических свойств Мончегорской рудно-магматической системы.

На графике зависимости усредненного кажущегося сопротивления <Рк> от характерного размера установки L в двойном логарифмическом масштабе отчетливо просматривается тенденция к росту значений <рк> с увеличением разноса установки. Линейная аппроксимация по методу наименьших квадратов дает значение скейлингового показателя Рк для данной установки 0,71 ± 0,09 с коэффициентом линейной корреляции 0,78. Достаточно высокое значение коэффициента линейной корреляции позволяет говорить о линейной зависимости в двойном логарифмическом масштабе среднего кажущегося сопротивления <рк> от характерного размера установки L.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: явление скейлинга кажущегося сопротивления характерно и для более крупных фрактальных геологических систем, таких как, например, рифтогенная структура Мончегорского рудного района, где явление скейлинга кажущегося сопротивления просматривается в диапазоне масштабов от первых сотен метров до километров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Любчич, Владимир Алексеевич, 2005 год

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения.7/ Успехи физических наук, 1996, том 166, № 11, с. 1145-1170.

2. Бобров Н.Ю., Крылов С.С., Любчич В.А. Фрактальный анализ рядов дипольного электромагнитного профилирования на Печегубском и Комсомольском месторождениях железистых кварцитов. // Ученые записки СПбГУ. Вопросы геофизики, № 36, 2004 г.

3. Горяинов П.М. Нелинейная тектоника. Содержание, объекты и принципиальные ограничения для интерпретации канонических случаев. // Апатиты, издательство КНЦ РАН, 1995.

4. Горяинов П.М., Иванюк Г.Ю. Самоорганизация минеральных систем. Синергетические принципы геологических исследований. // Москва, издательство Геос, 2001.

5. Дискретные свойства геофизической среды. // под редакцией академика М.А. Садовского, Москва, Наука, 1989.

6. Дещеревский А.В. Фрактальная размерность, показатель Херста и угол наклона спектра временного ряда. // Москва, ОИФЗ РАН, 1997.

7. Егоров Д.Г., Иванюк Г.Ю. Складкообразование в докембрийских железорудных системах как детерминированно-хаотический процесс. // Физика Земли, 1996, № 1, с. 16-29.

8. Загородный В.Г., Радченко А.Т. Тектоника раннего докембрия Кольского полуострова. //Ленинград, Наука, 1983.

9. Иванюк Г.Ю. Фрактальные геологические среды: размерность, основные типы, генетические следствия. // Физика Земли, 1997, № 3, с. 21-31.

10. Крылов С.С., Бобров Н.Ю. Частотная дисперсия электрических свойств мерзлых пород при электромагнитных зондированиях с вертикальным магнитным диполем. // Физика Земли, 1997, № 3, с. 64-70.

11. Крылов С.С., Бобров Н.Ю., Любчич В.А. Аномальная поляризуемость мерзлых пород. // Неклассическая геоэлектрика, сборник материалов международной конференции, Саратов, издательство НВНИИГГ, 1995, с. 47-52.

12. Крылов С.С., Загребельный Н.А., Любчич В.А. Электрические свойства и фрактальная размерность железистых кварцитов. // Вестник СПбГУ, сер. 4.2002, вып. 3, № 20, с. 106110.

13. Крылов С.С., Любчич В.А. Масштабная зависимость кажущегося сопротивления и фрактальная структура железистых кварцитов. // Известия РАН. Физика Земли, № 12, 2002, с. 14-21.

14. Крылов С.С., Сорока И.В., Лгобчич В.А. Фрактальный;подход к анализу данных профилирования. // сборник: "Тезисы докладов международной конференции. "Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками"", Санкт-Петербург, 1996.

15. Лгобчич В.А. Вейвлет-анализ геофизических данных. // Геофизические методы исследования Земли и недр^ материалы международной конференции, Москва, ОИФЗ РАН, 2000, с. 119-125.

16. Морозовский А.Е., Снарский С.С. Конечный скейлинг эффективной проводимости в перколяционных системах с ненулевым отношением проводимостей фаз. // ЖЭТФ, 1996, т. 109, вып. 2.

17. Федер Е. Фракталы. // Москва, Мир, 1991.

18. Филатов В.В. Электродинамика гетерогенных сред в обратных задачах импульсной электроразведки (фрактальный подход и линеаризация). // Автореферат диссертации на, соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Новосибирск, 2002.

19. Чуй К. Введение в вейвлеты. // Москва, Мир, 2001.

20. Шкловский Б.И., Эфрос АЛ. Теория протекания и проводимость сильнонеоднородных сред. // Успехи физических наук,.т. 117, 1975, с. 401-435.

21. Bale P. How Nature works; The science of self-organized criticality. // Oxford University Press, 1997.

22. Ben-Avraham D., Havlin S. Diffusion on percolation , clusters at criticality. // J. Phys. A: Math. Gen. 15,1982, L 691-L 697.

23. Broadbent S.R., Hammersley J.M. Percolation processes. Crystals and mazes. // Proc. Camb. Phil. Soc., 53, 1957, p. 629-641,

24. Bunde A., Havlin S. Percolation I, Percolation II. // Fractals and disordered systems. Berlin, New York: springer-verlag, 1991.

25. De Arcangelis L., Render Si, Coniglio A. Anomalous voltage distribution of random resistor networks and a new model for the backbone at the percolation threshold. // Phys. Rev. B, 1985, v. 31, № 7, P. 4725-4727.

26. Domb C., Lebowitz J.L. eds. Phase Transitions and Critical Phenomena. // Academic Press, New York, 1972.

27. Efros A.L., Shklovslcii B.I. Critical behavior of conductivity and dielectric constant near the metal-non-mctal transition threshold. // Phvsica Status Solidi (b), 1976, v. 76, P. 475-485.

28. Everett M.E., Weiss С J. Geological noise in near-surface electromagnetic induction data. // Geophysical Research Letters, 2002, v.29, № 1.

29. Falconer K. Fractal geometry. Mathematical Foundations and Applications. // John Wiley & Sons Ltd, UK, 2003.

30. Havlin S., Ben-Avraham D., Sompolinsky H. Scaling behavior of diffusion on percolation clusters. // Phys. Rev. A 27, 1983, p. 1730-1733.

31. Higuchi T. Approach to an irregular time series on the basis of the fractal theory. // Physica D, 1988, vol. 31, P. 277-283.

32. Higuchi T. Relationship between the fractal dimension and the power law index for a time series: a numerical investigation. // Physica D, 1990, vol. 46, P. 254-264.

33. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. // San.Francisco. Freeman, 1982.

34. Mandelbrot B.B. Multifractal measures, especially for geophysicists. // Pure and applied geophysics, vol. 131, № 1/2, 1989.

35. Maus S., Dimri V.P. Potential field power spectrum inversion for scaling geology. // J. Geo-phys. Res., 1995, vol. 100, P. 12605-12616.

36. Pilkington M., Gregotski M.E., Todoeschuk J.P. Using fractal magnetization-model in magnetic interpretation. // Geophys. Prospect, 1994, vol. 42, P. 677-692.

37. Turcotte D.L. Fractals and chaos in geology and geophysics. // Cambridge University Press, 1992.

38. Weiss G.H. Aspects and Applications of the Random Walk. // North Holland, Amsterdam, 1994.фондовая литература:

39. Любчич B.A., Ронин А.Л., Поликарпов В.К. и др. Отчет по глубинным геолого- геофизическим исследованиям методами ММЗ, АМТЗ, CSAMT и МВСК в Мончегорском рудном районе за 1999-2003 гг. // Мончегорск, 2003.

40. Шолохнев В.В., Поляков И.В. и др. Отчет о результатах поисковых работ на сульфидные медно-никелевые руды и другие полезные ископаемые в зоне контакта Мончеплутона и Мончетундровского массива в 1994-98 гг. (объект Лойпишнюн). // Мончегорск, 1998.

41. Шолохнев В.В., Пустовойтов B.C. и др. Отчет о результатах поисков хромовых руд и других полезных ископаемых в южной части Мончегорского рудного района за 2001-2003 гг. // Мончегорск, 2003.