Исследование эволюции квадрупольной и октупольной деформации атомных ядер в рамках коллективной модели тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мардыбан Евгений Васильевич

• Мардыбан Евгений Васильевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Мардыбан Евгений Васильевич

1.1 Сосуществование форм в изотопах Zr

1.2 Геометрическая коллективная модель

1.3 Квадрупольный коллективный гамильтониан Бора

1.4 Диагонализация гамильтониана Бора

1.5 Распределения вероятностей и матричные элементы

1.6 Параметризация потенциальной энергии

1.7 Результаты по описанию низколежащих состояний 96Zr

1.8 Влияние триаксиальности на описание низколежащих состояний 9^г

1.9 Заключение

2 Исследование эволюции потенциальной поверхности в изотопах Zr

2.1 Модель и параметризация потенциальной энергии

2.2 Результаты расчета характеристик низколежащих состояний изотопов Zr

2.2.1 9^г

2.2.2 9^г

2.2.3 9^г

2.2.4 9^г

2

2.3 Поверхности потенциальной энергии изотопов Zr

2.4 Заключение

3 Исследование стабилизации октупольной деформации в актинидах и редкозе-

мельных ядрах

3.1 Стабилизация октупольной деформации

3.2 Модель октупольных коллебаний

3.3 Дипольные переходы

3.4 Связь с критическим моментом

3.5 Результаты расчетов расщеплений по четности

3.6 Анализ расхождения расчетных и экспериментальных зависимостей расщепления

по четности

3.7 Результаты расчетов дипольных моментов

3.8 Проявление зеркально-асимметричной деформации в

структуре сверхтяжелых ядер

3.9 Заключение

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование эволюции квадрупольной и октупольной деформации атомных ядер в рамках коллективной модели»

Актуальность работы

Диссертация посвящена разработке теоретических подходов к изучению структуры тяжелых атомных ядер при различных деформациях и энергиях возбуждения. С деформацией атомных ядер связанно много примеров различных физических явлений и эффектов. Одним из таких явлений служат фазовые переходы при увеличении энергии возбуждения, углового момента и при изменении числа нуклонов. Это фазовые переходы равновесной формы и структуры основного и низколежащих возбужденных состояний ядер, связанные с изменением их симметрии. В диссертации рассматриваются примеры фазовых переходов, обсуждаются возможности описания этих переходов в рамках коллективной модели ядра с гамильтонианом, зависящим от небольшого числа динамических переменных. Предметом рассмотрения в этой работе являются, в основном, тяжелые ядра, т.е. ядра с числом нуклонов А & 100. Однако стоить отметить, есть многочисленные примеры квантовых фазовых переходов и в более легких ядрах. Цель данной работы - проанализировать в рамках геометрической коллективной модели фазовые переходы в тяжелых ядрах, происходящие при изменении энергии возбуждения и углового момента и ведущие к изменению симметрии среднего поля ядра.

С изменением симметрии ядра, т.е. с деформацией, непосредственно связано представление о равновесной форме атомного ядра, прежде всего, в основном состоянии. Базовой характеристикой атомного ядра, отличающей его от многих других микросистем, является самосогласованное поле, формирующееся в результате когерентного движения большого числа нуклонов. Характерная черта самосогласованного поля ядра - присутствие ядерных оболочек. Оболочечная структура ядер объясняет происхождение магических чисел протонов и нейтронов, т. е. такого количества нуклонов, при которых ядро наиболее стабильно и, в большинстве случаев, имеет сферическую форму. Хорошо известно, что при заполнении оболочки ядра нук-

лонами ядро может переходить из сферической формы в деформированную. Так возникает понятие переходных ядер, которые занимают промежуточное положение между сферическими и деформированными ядрами.

При использовании представления о среднем поле ядра и движущихся в нем нуклонах, возникновение деформации может быть объяснено действием разных механизмов. Рассматривая наиболее стабильные ядра, обычно предполагалось, что возникновение деформации происходит в результате поляризации остова ядра валентными нуклонами, заполняющими вполне определенные орбиты. Связь валентных нуклонов с колебаниями остова ядра ведет к возникновению ядерного эффекта Яна-Теллера [1], т.е. к неустойчивости сферической симметрии среднего поля ядра относительно понижающих эту симметрию деформаций. Другой механизм связан со специфическим характером взаимодействия нуклонов, выражающимся в зависимости взаимодействия от взаимной ориентации их спинов и изоспинов. В результате, в ряде случаев существенно изменяется расстояние между одночастичными уровнями, что приводит к возникновению новых оболочек, т.е. новых магических чисел, и новых подоболочек, т.е. щелей между одночастичными уровнями в одной оболочке. Такие примеры впервые были приведены Л.Коэном [2] в 1968 году на симпозиуме по структуре атомных ядер в Дубне.

Когда идет речь о понижении симметрии системы, возникает понятие фазового перехода. Так возникло представление о фазовых переходах от сферических к деформированным ядрам при изменении числа нуклонов. Конечно же, это не те фазовые переходы, которые хорошо известны в термодинамике и происходят при изменении температуры и давления. Благодаря конечному числу нуклонов в ядрах, эти переходы от одной формы ядра к другой размыты, хотя наблюдаются и резкие изменения формы при незначительном изменении числа нуклонов. Кроме того, нужно иметь в виду, что из-за того, что числа нуклонов дискретны, они не могут служить как строго определенные контрольные параметры. Можно сказать, что те признаки, указания на квантовые фазовые переходы, которые наблюдаются в ядрах являются "предшественниками "действительных фазовых переходов, которые могли бы происходить в ядрах, если бы они имели бесконечный объем. В то же время расчеты позволяют использовать непрерывные вариации контрольных параметров, делая " предшественника" фазовых переходов более ярко выраженным.

При изучении стабильных ядер, фазовые переходы наблюдались не только при изменении числа нуклонов, но и при изменении углового момента ядра. Последние годы характе-

ризуются смещением интереса ядерщиков в сторону исследования ядер, удаленных от области стабильности. Именно в таких ядрах при разных энергиях возбуждения были найдены состояния, в которых ядро имеет совершенно различные формы. Так возникло понятие сосуществования форм [3,4,6]. Феномен сосуществования форм в последние годы стал предметом многих исследований в ядерной физике. Более того, оказывается, что сосуществование форм является практически почти универсальным свойством ядер [4]. Большое количество работ, включая обзоры [4,6-8], посвящено исследованию сосуществования форм [9-24]. Для изучения этого явления были использованы различные подходы [25-30].

Используя теорию фазовых переходов Ландау [31] можно сказать, что среднее поле ядра может служить энергетическим функционалом, который изменяется при заполнении ядерных оболочек. Этот функционал может зависеть от различных контрольных параметров: деформации, углового момента, числа нуклонов и т.д. Если в качестве примера взять функционал, зависящий от деформации, то при заполнении оболочки ядра будет наблюдаться следующая картина: при магических числах нуклонов энергетический функционал будет иметь минимум при нулевом значении деформации. При увеличении числа нуклонов в оболочке, среднее поле начнет меняться - минимум начнет сдвигаться в сторону некоторого ненулевого значения, что приводит к возникновению фазового перехода. В свою очередь, кардинально меняются свойства и характеристики ядерной системы. Если имеет место сосуществование форм, то картина немного иная. По мере увеличения числа нуклонов в энергетическом функционале (среднее поле как функции деформации), помимо минимума для сферической формы, возникает второй, деформированный, минимум. Таким образом, в зависимости от взаимного положения минимумов и энергии возбуждения, ядро может принимать различные формы.

Квантовые фазовые переходы, обнаруженные в атомных ядрах, можно разделить на две группы. К первой группе относятся переходы в ядрах, средние поля для которых имеют только одну стабильную конфигурацию при любых значениях контрольных параметров. Другими словами, потенциальная энергия ядра имеет только один минимум, который, однако, может отвечать как сферической, так и деформированной форме, в зависимости от значений контрольных параметров. Контрольными параметрами могут быть числа протонов и нейтронов. В этом случае фазовый переход, т.е. изменение симметрии среднего поля, происходит при изменении чисел протонов и нейтронов. Ко второй группе относятся переходы в ядрах, средние поля которых, зависящие от многих динамических переменных, имеют две стабильные конфигурации с

различными симметриями среднего поля и полными энергиями, т.е. имеет место сосуществование форм. В этом случае фазовый переход из одной конфигурации в другую будет происходить при изменении энергии возбуждения ядра. Такие переходы были обнаружены в ядрах с А ~ 100 [4,5].

Тот факт, что атомное ядро может и не быть сферическим, был отмечен еще Н.Бором в 1936 году в его статье [32], в которой он сформулировал основные положения модели составного ядра. Исторически, введение параметров формы развивалось следующим образом. Модель, учитывающая связь колебаний поверхности ядра с движением отдельных нуклонов, была сформулирована О.Бором в 1952 году [33]. О.Бор и Б.Моттельсон в 1953 году [34] связали появление ротационных полос в спектрах возбуждения ядер с их деформацией во внутренней системе координат. Параметрами деформации в этом случае становятся компоненты квадру-польного момента плотности ядра, определенные во внутренней системе координат. Однако от квадрупольного момента, определенного во внутренней системе координат, можно перейти к квадрупольному моменту, заданному в лабораторной системе. Используя как динамические переменные компоненты квадрупольного момента и канонически сопряженного импульса, можно построить ротационно инвариантный гамильтониан в лабораторной системе. Так возникла геометрическая коллективная модель ядра с гамильтонианом О.Бора [33]. С тех пор рассмотрение формы ядер проводилось, опираясь на представление о среднем поле ядра, определенном во внутренней системе координат.

Таким образом, для описания свойств ядер, вызванных деформациями, необязательно использовать лишь оболочечную модель. Тяжелые атомные ядра - это системы с огромным числом степеней свободы. При этом вблизи основного состояния возбужденные состояния ядра связаны согласованным движением большого числа нуклонов [35]. При этом свойства таких систем, при небольшой энергии возбуждения 1-2 МэВ, можно описать гамильтонианом, использующим небольшое количество переменных, называемых коллективными. Важнейшей динамической переменной, определяющей свойства ядер при относительно малых энергиях возбуждения, является квадрупольная мода [33], которая включает пять степеней свободы. Конечно, эти пять степеней свободы сложнейшим образом связаны с координатами, описывающими движение отдельных нуклонов (приближение хаотических фаз, метод генерирующей координаты, бозонные разложения, модель взаимодействующих бозонов и т.д. [36]), но, при феноменологическом рассмотрении, гамильтониан содержит только эти динамические переменные. Такой гамильтониан

описывает возбужденные состояния ядер, связанные с вращением, квадрупольными колебаниями относительно равновесной формы и их влияние на движение отдельных нуклонов.

Квадрупольная мода возникает, как член разложения радиус-вектора поверхности атомного ядра по сферическим гармоникам. В таком разложении не все коэффициенты разложения являются независимыми. Они должны удовлетворять условиям сохранения объема и положения центра масс, что накладывает ограничение на монопольный и дипольный коэффициенты разложения. В большинстве случаев использование лишь квадрупольной моды достаточно для описания свойств деформированных ядер, ведь большинство деформированных ядер имеют только квадрупольную деформацию. В этом случае остальные члены разложения принимаются малыми по сравнению с квадрупольным членом. Однако в области актинидов и редкоземельных ядер, экспериментальные данные указывают на необходимость учета также и зеркально асимметричных деформаций. Такие деформации могут описываться при использовании следующего, после квадрупольной моды, члена разложения радиуса ядра по сферическим гармоникам - ок-тупольной моды [37]. Таким образом, можно сказать, что главными параметрами формы ядра являются квадрупольная и октупольная моды, где первая - описывает отклонение формы ядра от сферической, но сохраняет зеркальную симметрию формы ядра, а вторая - описывает понижение симметрии формы ядра до зеркально-асимметричной. Остальные члены разложения также можно использовать для описания форм ядер, но их вклад очень мал.

Есть и другие динамические переменные, которые можно называть, как квадруполь-ную и октупольную моды, коллективными переменными, так как они связаны с изменением состояния движения большого числа нуклонов. Это динамические переменные, описывающие парные корреляции нуклонов [38,39], кластерные корреляции [40], флуктуации направления углового момента деформированного ядра относительно оси аксиальной симметрии [41], ки-ральность в нечетно-нечетных ядрах [42]. Рассмотрение деформации ядер и, соответственно, их формы было также реализовано и в алгебраических коллективных моделях, базирующихся на той или иной группе динамической симметрии. Первая из таких моделей была предложена Дж.Эллиотом [43]. Популярной стала алгебраическая коллективная модель, основанная на группе Би(6), как группе динамической симметрии [44,45]. Экспериментальные данные по зеркальной асимметрии ядер в актинидах и ядрах редко-земельной области были описаны в рамках кластерной модели двойной ядерной системы [46].

Большой набор данных по низколежащим коллективным квадрупольным возбуж-

дениям получен для [47]. Изотопы Zr представляют особый интерес для исследования,

поскольку для них характерен резкий переход от сферической к деформированной форме при низких энергиях возбуждения [4,9]. Для этих ядер накоплено много спектроскопических данных [47-62], содержащих информацию об энергиях возбуждения и вероятностях электромагнитных переходов. Теоретические исследования изотопов Zr можно разделить на две группы. Первая группа направлена на выяснение механизма резкого перехода от сферической формы к деформированной. Эти исследования основаны либо на модели ядерных оболочек [10, 11, 14,21,26,63-72], либо на самосогласованном среднем поле. Отметим также микроскопически-макроскопические расчеты поверхности потенциальной энергии [16,17,20,70,73-76], и расчеты с использованием функционала плотности энергии [18,19,77,78]. Модель взаимодействующих бозонов также использовалась для описания свойств изотопов Zr [79-81]. Во вторую группу входят исследования, основанные в основном на феноменологических подходах: модели взаимодействующих бозонов со смешиванием конфигураций [12,13,24,82-85] или модели, основанные на коллективном гамильтониане Бора [27,86].

В диссертации цепочка изотопов Zr исследуется, опираясь на геометрическую коллективную модель. Конечно, интерпретация явления сосуществования состояний различной симметрии в ядре - это задача микроскопической теории. Но коллективная модель, которая непосредственно использует переменные формы ядра в качестве динамических переменных, может описать динамические следствия явления сосуществования форм наиболее простым образом. Кроме того, интересно узнать, в какой степени коллективная модель способна воспроизвести экспериментальные данные. Резкое изменение формы основного состояния в изотопах Zr является исключением. Однако возможно смешивание сферической и деформированной компонент в волновых функциях собственных состояний ядра. Поэтому интересен вопрос о том, насколько сильным является такое смешивание. Данные о Е2 переходах между возбужденными состояниями говорят о том, что в 9^г сферические и деформированные состояния являются очень чистыми. Простая модель двухуровневого смешивания [22,59,87], позволяет оценить, что смешивание сферического и деформированного состояний не превосходит нескольких процентов. В таком подходе предполагается, что экспериментально наблюдаемые состояния представляют собой смесь деформированной и сферической структур, их волновые функции записываются в виде суперпозиции сферической и деформированной компоненты. Используя экспериментальные энергии возбуждения этих состояний и наблюдаемые силы квадрупольных переходов в качестве

входных данных, рассчитываются амплитуды смешения. Также делаются предположения, что элемент матрицы смешения между сферической и деформированной структурами идентичен для рассматриваемых состояний, а матричные элементы Е2 переходов между чистыми конфигурациями равны нулю. Этот вопрос может быть проанализирован в рамках коллективной модели ядра, для этого будет использован потенциал, имеющий два минимума - сферический и деформированный. Такой подход является новым в применении геометрической коллективной модели. Его отличительная черта заключается в том, что на потенциал не накладывается больше никаких условий, кроме наличия двух минимумов. Ближайшим аналогом такой картины в алгебраической модели ядра является рассмотрение в бозонном пространстве, объединяющем конфигурации с разными значениями максимального числа бозонов, а именно N и N + 2 [9].

На данный момент проанализированы фазовые переходы между сферическими, аксиально деформированными и 7-мягкими ядрами [88], но в последнее время большое внимание уделяется также эволюции зеркально асимметричной деформации в актинидах и редкоземельных ядрах. Это пример интересного случая фазового перехода, происходящего с ростом углового момента. Это явление можно также рассматривать как пример квантового фазового перехода в возбужденных состояниях [89]. Экспериментально зеркально-асимметричная деформация проявляется появлением низколежащих состояний отрицательной четности, связанных сильными (коллективными) переходами нечетной мультипольности с членами полосы основного состояния [37]. С момента первого наблюдения низкоэнергетичных состояний отрицательной четности [90,91] был накоплен большой набор экспериментальных данных (см. обзор [92]). Отметим также недавние экспериментальные исследования зеркально-асимметричной деформации в 218,220Кп и 222,224Ка [93], в 240ри [94,95], в 143Ва [96] и в 144'146Ба [97]. Для анализа ядерного фазового перехода с понижением симметрии равновесной формы ядра от зеркально-симметричной до "грушевидной", удобно рассмотреть вращательную полосу, составленную из нижайших состояний для каждого углового момента - ираст полосу. Такая полоса состоит из уровней с четным спином и положительной четностью и уровней с нечетным спином и отрицательной четностью. В случае, когда равновесная форма ядра зеркально-асимметрична, уровни образуют гладкую вращательную полосу, в которой уровни противоположной четности чередуют друг друга. Такие ротационные полосы встречаются в спектрах асимметричных двухтомных молекул [98]. Если же равновесная форма зеркально-симметрична, то уровни отрицательной четности сдвинуты вверх по энергии по отношению к своим положениям в гладкой ротационной полосе молекулярного

типа. Как было показано в [161], эволюция расщепления по четности в полосах переменной четности в актинидах наглядно демонстрирует переход от октупольной недеформированной фазы к стабильной октупольной деформации. Анализ показывает, что зависимость величин расщепления по четности и переходных дипольных моментов от углового момента имеет универсальный характер. Другими словами можно, предложить простое аналитическое описание зависимости этих величин от углового момента, содержащее небольшое число параметров, имеющих ясный физический смысл. Эти параметры могут быть определены экспериментально или рассчитаны микроскопически.

Теоретические модели, разработанные для описания динамики ядерной зеркальной асимметрии, варьируются в зависимости от того, какая степень свободы используется. Эти степени свободы связаны либо с октупольной деформацией [99, 100], либо с кластеризацией [46,101,102]. В рамках этих моделей можно получить качественное и количественное описание эволюции зеркально асимметричной деформации с массой и зарядом ядра, а так же характеристики нижайших возбуждений отрицательной четности (энергии и вероятности распада). Эволюцию зеркальной асимметрии трудно анализировать полностью микроскопически, поскольку это требует выполнения вычислений для больших значениях углового момента. Попытка выполнить такие расчеты для нижайших состояний положительной и отрицательной четности в 144Ва была выполнена в рамках метода генераторных координат [103]. Такая же методика была применена к описанию нижайших состояний в 224 И,а в рамках релятивистской модели среднего поля [104]. Однако, поведение систематических расчетов для большого числа ядер и с учетом различных типов зеркально-асимметричных деформаций, например, учет зеркально- и аксиально-асимметричных степеней свободы, в рамках микроскопических моделей на данный момент времени не возможен. Тем не менее, существенного прогресса в описании ядерных корреляций, приводящих к появлению деформаций нарушающих зеркальную симметрию можно добиться в рамках полумикроскопических моделей. Отметим также интересный анализ окту-польных свойств изотопов и, выполненных с использованием улучшенных расчетов поверхности потенциальной энергии при различных значениях момента вращения [105,106]. В рамках модели взаимодействующих бозонов, расширенной включением дипольных и октупольных бозонов, получено хорошее описание экспериментальных данных [107]. Большое количество экспериментальных данных удалось описать в рамках кластерной модели двойной ядерной системы [108]. В этой модели предполагается, что сильные пространственно-асимметричные корреляции мо-

гут быть объяснены примесью а-кластерной компоненты к волновой функции ядра. Кажется очевидным предположить те же свойства и для трансфермиевых ядер, являющихся сильными а-распадчиками.

В последнее время изучение коллективных эффектов, характеристик а-распада и К -изомерных состояний привлекают большое внимание при исследовании структуры сверхтяжелых ядер [109-121]. Большое количество новой спектроскопической информации получено для ядер с зарядовыми числами Z > 96. К примеру, в экспериментах на пучке тяжелых ионов, были измерены вращательные состояния в ядрах 252,254N0 вплоть до угловых моментов 20-22 [109]. Изучение электромагнитных переходов между состояниями вращательных полос, построенных на основном и низколежащих возбужденных состояниях, слабозаселенных изомерных состояний, а также тонкой структуры альфа-распада является сложной экспериментальной задачей в связи с малыми сечениями получения сверхтяжелых ядер и большим количеством фоновых событий. Однако, повышение чуствительности современных детекторных систем в лабораториях ANL (Аргон, США), 081 (Дармштадт, Германия), ЛУЕЬ (Йювяскюля, Финляндия), САШЬ (Кан, Франция) и FLNR (Дубна, Россия) позволяет использовать измерения таких схем совпадения как а-7 и а-электроны конверсии [109-121]. Знание структуры сверхтяжелых ядер является необходимым условием для тестирования и дальнейшей проработки моделей среднего поля. Изучение спектроскопических свойств ядер в трансфермиевой области важно для определения последовательности одночастичных уровней, расположения щелей между оболочками. Также изучение спектров возбуждений и распадных свойств ядер с Z > 100 может пролить свет на возможность существования следующего за свинцом дважды магического ядра. Спектроскопия дает величины моментов инерции, из которых могут быть извлечены величины параметров деформации [109-111]. Далее эти параметры деформации могут быть сравнены с предсказаниями, полученными в рамках различных моделей [122,123]. Изучая стабильность ядер по отношению к угловому моменту можно определить максимально возможные угловые моменты [109, 118], которые дают вклад в полное слияние и формирование сверхтяжелых элементов [121]. Таким образом, понимание структуры сверхтяжелых ядер и их распадных характеристик может стимулирует дальнейший прогресс в получении новых сверхтяжелых ядер. В диссертации, кластерная модель применяется для описания фазовых переходов, ведущих к стабилизации зеркально-асимметричной деформации с угловым моментом в ядрах в Z > 96

Цели и задачи

Целью диссертации являются:

• Исследование свойств низколежащих коллективных состояний и приведенных вероятно-

92—102Г7

стей переходов между ними для 92 /г на основе пятимерной геометрической коллективной квадрупольной модели, получение коллективных потенциалов для цепочки изотопов /г и исследование их эволюции с увеличением числа нуклонов. Изучение влияния неаксиальной деформации на описание свойств низколежащих коллективных состояний цепочки изотопов /г. Получение распределения волновых функций коллективных состояний в плоскости .

• Анализ расщепления по четности и электрических дипольных переходов в полосах переменной четности тяжелых ядер в зависимости от углового момента. Использование модели октупольных колебаний для получения аналитического выражения для зависимости расщепления по четности и момента электрического дипольного перехода от углового момента. Применение кластерной модели к описанию низколежащих состояний отрицательной четности в изотопах N0, ИГ, Sg, Ия и Вб. Расчет критических угловых моментов, характеризующих фазовый переход от октупольных колебаний к стабильной октупольной деформации для изотопов начала актинидной (Иа, ТЬ, и и Ри), редкоземельной (Ва, Се, Nd) областей и сверхтяжелых ядер (N0, ИГ, Sg, Ия, Вб). Исследование жесткости сверхтяжелых ядер по отношению к зеркально-асимметричной деформации.

Для достижения указанных целей были решены следующие задачи:

- Разработан и программно реальзован метод по диагонолизации пятимерного гамильтониана Бора;

- Программно реализованы алгоритмы подбора по экспериментальным данным потенциальной энергии, зависящей от в-7, для гамильтониана Бора;

- В рамках пятимерной геометрической коллективной квадрупольной модели для ядер 92-102/г построены поверхности потенциальной энергии, рассчитаны энергии нижайших возбуждений и приведенные вероятности квадрупольных переходов между ними;

- Получены распределения волновых функций коллективных состояний в плоскости в-7 для ядер 92-102/г;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мардыбан Евгений Васильевич, 2022 год

Литература

[1] P.-G. Reinhardt, F. W. Otten, Nucl. Phys. A 420, 173 (1984).

[2] B. L. Cohen in Proc. Int. Sym. on Nuclear Structure Dubna Symposium, IAEA, Vienna, p. 3 (1968).

[3] H. Morinaga, Phys. Rev. 101, 254 (1956).

[4] K. Heyde, J.L. Wood, Rev. Mod. Phys. 83, 1467 (2011).

[5] Е. А. Колганова и Р. В. Джолос, УФН том. 64, 325 (2021).

[6] A. Poves, J.Phys. G: Nucl. Part. Phys. 43, 024010 (2016).

[7] K. Heyde, P. Van Isacker, M. Waroquier, J. L. Wood, and R. A. Meyer, Phys. Rep., 102, 291 (1983).

[8] J. L. Wood, K. Heyde, W. Nazarewich, M. Huyse, and P. V. Duppen, Phys. Rep. 215, 101 (1992).

[9] J. E. García-Ramos and K. Heyde, Phys. Rev. C 100, 044315 (2019).

[10] T. Togashi, Yu. Tsunoda, T. Otsuka, and N. Shimizu, Phys. Rev. Lett. 117, 172502 (2016).

[11] K. Sieja, F. Nowacki, K. Langanke, and G. Martínez-Pinedo, Phys. Rev. C 79, 064310 (2009); Erratum, Phys. Rev. C 80, 019905(E) (2009).

[12] J. E. Garcia-Ramos, K. Heyde, R. Fossion, V. Hellemans, and S. De Baerdemacker, Eur. Phys. J. A 26, 221 (2005).

[13] M. Böyukata, P. Van Isacker, and I. Uluer, J. Phys. G 37, 105102 (2010).

[14] Y.-X. Liu, Y. Sun, X.-H. Zhou, Y.-H. Zhang, S.-Y. Yu, Y.-C. Yang, and H. Jin, Nucl. Phys. A 858, 11 (2011).

15] A. Petrovici, K. W. Schmid, and A. Faessler, J. Phys. Conf. Ser. 312, 092051 (2011).

16] R. Rodriguez-Guzman, P. Sarriguren, L. M. Robledo, and S. Perez-Martin, Phys. Lett. B 691, 202 (2010).

17

18

19

20 21 22

23

24

25

26 27

29

30

J. Skalski, P.-H. Heenen, and P. Bonche, Nucl. Phys. A 559, 221 (1993). J. Xiang, Z. P. Li, Z. X. Li, J. M. Yao, and J. Meng, Nucl. Phys. A 873, 1 (2012). H. Mei, J. Xiang, J. M. Yao, Z. P. Li, and J. Meng, Phys. Rev. C 85, 034321 (2012). J. Skalski, S. Mizutori, and W. Nazarewicz, Nucl. Phys. 617, 282 (1997). C. Ozen and D.J. Dean, Phys. Rev. C 73, 014302 (2006). H. T. Fortune, Phys. Rev. C 95, 054313 (2017).

M. Büscher, R. F. Casten, R. L. Gill, R. Schuhmann, J. A. Winger, H. Mach, M. Moszynski, and K. Sistemich, Phys. Rev. C 41, 1115 (1990).

N. Gavrielov, A. Leviatan and F. Iachello, Phys. Rev. C 99, 064324 (2019).

M. Bender, P.-H. Heenen, and P.-G. Reinhardt, Rev.Mod.Phys. 75, 121 (2003).

A. Holt, T. Engeland, M. Hjorth-Jensen, and E. Osnes, Phys. Rev. C 61, 064318 (2000).

T. Niksic, Z.P. Li, D. Vretenar, L. Prochniak, J. Meng, and P. Ring, Phys.Rev. C 79, 034303 (2009).

P. Federman, S. Pittel, and R. Campos, Phys.Lett. B 82 2 (1979).

K. Heyde, E.P. Kirchuk, and P. Federman, Phys.Rev. C 38, 984 (1988).

A. Etchegoyen, P. Federman, and E.G. Vergini, Phys.Rev. C 39, 1130 (1989).

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоритическая Физика Статистическая Физика. 3-е изд., испр. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 584 с. (т. V) (1976).

[32] N. Bohr, Nature 137, 344 (1936).

[33] A. Bohr, Dan. Mat.-Fys. Medd. 26, n. 14 (1952).

[34] A. Bohr, B. Mottelson, Mat.Fys.Medd.Dan.Vid.Selsk. 27 n.16 (1953).

[35] В. Г. Соловьев, Теория сложных ядер, Наука, Москва (1971).

[36] P. Ring and P. Schuck, The Nuclear Many-Body Problem (Springer-Verlag, Berlin, 1980).

[37] P. Butler and W. Nazarewicz, Rev. Mod. Phys. 68, 349 (1996).

[38] Н. Н. Боголюбов, ДАН СССР 119, 52 (1958).

[39] A. Bohr, B. Mottelson, Pines D Phys. Rev. 110, 936 (1958).

[40] К. Вильдермут, Я. Тан, Единая теория ядра. Издательство "Мир", Москва (1980).

[41] F. S. Stephens, Rev. Mod. Phys. 47, 43 (1975).

[42] S. Frauendorf, J. Meng, Nucl. Phys. A 617, 131 (1997).

[43] J. P. Elliott, Proc. Royal Soc. A 245, 128 (1956); 245, 562 (1958).

[44] F. Iachello, A. Arima, The Interacting Boson Model, Cambridge University Press, (1987).

[45] D. Janssen, R. V. Jolos, and F. Doenau, Nucl. Phys. A 224, 93 (1974).

[46] T. M. Shneidman, G. G. Adamian, N. V. Antonenko, R. V. Jolos, W. Scheid, Phys.Rev. C 67, 014313 (2003).

[47] W. Witt, N. Pietralla, V. Werner, and T. Beck, Eur. Phys. J. A 55, 79 (2019).

[48] K. Kawade, G. Battistuzzi, et al., Z. Phys. A 304, 293 (1982).

[49] J. Ebert and K. Sistemich (eds.) Nuclear Structure of the Zirconium Region, Proceeding of the International Workshop, Springer-Verlag, Berlin, (1988).

[50] H. Mach, M. Moszynski, R. Gill, F. Wohn, J. Winger, J. C. Hill, G. Molnar, and K. Sistemich, Phys. Lett. B 230, 21 (1989).

[51] H. Mach, F.K. Wohn, G. Molnr, K. Sistemich, John C.Hill, M. Moszynski, R. L. Gill, W.Krips, D. S. Brenner, Nucl. Phys. A 523, 197 (1991).

[52] G. Lhersonneau, B. Pfeiffer, K.-L. Kratz, T. Enqvist, P. P. Jauho, A. Jokinen, J. Kantele, M. Leino, J. M. Parmonen, H. Penttilä, and J. Aystö, Phys. Rev. C 49, 1379 (1994).

[53] W. Urban, T. Rzaca-Urban, J. L. Druell, W. R. Phillips, A. G. Smith, B. J. Varley, I. Ahmad and N. Schulz , Nucl. Phys. A 689, 605 (2001).

[54] C. Y. Wu, H. Hua, D. Cline, A. B. Hayes, R. Teng, R. M. Clark, P. Fallon, A. Goergen, A. O. Macchiavelli, and K. Vetter, Phys. Rev. C 70, 064312 (2004).

[55] U. Hager, T. Eronen, J. Hakala, A. Jokinen, V. S. Kolhinen, S. Kopecky, I. Moore, A. Nieminen, M. Oinonen, S. Rinta-Antila, J. Szerypo, and J. Aysto , Phys. Rev. Lett. 96, 042504 (2006).

[56] C. Goodina, Y. X. Luoab, J.K. Hwanga, A.V.Ramayya, J.H. Hamiltona, J.O. Rasmussen, S.J. Zhuc, A. Gelberg, and G.M. Ter-Akopian, Nucl. Phys. A 787, 231 (2007).

[57] A. Chakraborty, E. E. Peters, B. P. Crider, et al., Phys. Rev. Lett. 110, 022504 (2013).

[58] F. Browne, A. M. Bruce, T. Sumikama, et al., Phys. Lett. B 750, 448 (2015).

[59] C. Kremer, S. Aslanidou, S. Bassauer, et al., Phys. Rev. Lett. 117, 172503 (2016).

[60] S. Ansari, J. M. Regis, J. Jolie, et al., Phys. Rev. C 96, 054323 (2017).

[61] P. Singh, W. Korten, T. W. Hagen, et al., Phys. Rev. Lett. 121, 192501 (2018).

[62] V. Werner, W. Witt, T. Beck, et al., Eur. Phys. J. WEB of Conf. 223, 01070 (2019).

[63] P. Federman and S. Pittel, Phys. Lett. B 77, 29 (1978).

[64] P. Federman and S. Pittel, Phys. Rev. C 20, 820 (1979).

[65] A. Kumar and M. R. Gunye, Phys. Rev. C 32, 2116 (1985).

[66] F. R. Xu, P. M. Walker, and R. Wyss, Phys. Rev. C 65, 021303(R) (2002).

[67] P.-G. Reinhard, D. J. Dean, W. Nazarewicz, J. Dobaczewski, J. A. Maruhn, and M. R. Strayer, Phys. Rev. C 60, 014316 (1999).

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80 81 82

83

84

85

S. Verma, P. A. Dar, and R. Devi, Phys. Rev. C 77, 024308 (2008). E. T. Gregor, M. Scheck, et al. , Eur. Phys. J. A 53, 50 (2017). S. Miyahara and H. Nakada, Phys. Rev. C 98, 064318 (2018). A. Petrovici, Phys. Rev. C 85, 034337 (2012). M. Sugita and A. Arima, Nucl. Phys. A 515, 77 (1990).

P. Bonche, H. Flocard, P. H. Hennen, S. J. Krieger, M. S. Weiss, Nucl. Phys. A 443, 39 (1985). D. Galeriu, D. Bucurescu, and M. Ivascu, J. Phys. G 12, 329 (1986).

P. Möler, J. R. Nix, W. D. Myers, and W. J. Swiatecki, At. Data Nucl. Data Tables 59, 185 (1995).

J. -P. Delaroche, M. Girod, J. Libert, H. Goutte, S. Hilaire, S. Peru, N. Pillet, and G. F. Bertsch, Phys. Rev. C 81, 014303 (2010).

G. A. Lalazissis, S. Raman, P. Ring, At. Data Nucl. Data Tables 71, 1 (1999). T. Niksic, D. Vretenar, and P.Ring, Prog.Part.Nucl.Phys. 66, 519 (2011). K. Nomura, R. Rodriguez-Guzman, and L. M. Robledo, Phys. Rev. C 94, 044314 (2016). T. Otsuka and Y. Tsunoda, J. Phys. G 43, 024009 (2016).

A. Vitturi, Nuclear theory (eds. M. Gaidarov, N. Minkov), Heron Press, Sofia, Vol. 37 (2017).

S. Lalkovski and P. Van Isacker, Phys. Rev. C 79, 044307 (2009).

P. Van Isacker, A. Bouldjedri, S. Zerguine, Nucl. Phys. A 836, 225 (2010).

J. E. Garcia-Ramos, K. Heyde, Phys. Rev. C 102, 054333 (2020).

N. Gavrielov, A. Leviatan and F. Iachello, Phys. Scr. 95, 024001 (2020).

86] D. A. Sazonov, E.A. Kolganova, T.M. Shneidman, R.V. Jolos, N.Pietralla, and W. Witt, Phys.Rev. C 99, 031304(R) (2019).

[87] H. T. Fortune, Phys. Rev. C 100, 034303 (2019).

[88] P. Cejnar, J. Jolie, R.F. Casten, Rev. Mod. Phys. 82, 2155 (2010).

[89] F. Iachello, at 8th Workshop on QPT in nuclei and other many-body systems, Praha, Czech Republic (2016).

[90] F. Asaro, F. S. Stephens, Jr., and I. Perlman, Phys. Rev. 92, 1495 (1953).

[91] F. S. Stephens, Jr., F. Asaro, and I. Perlman, Phys. Rev. 100, 1543 (1955).

[92] I. Ahmad and P. A. Butler, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci 43, 71 (1993).

[93] L. P. Gaffney et al, Nature (London) 497, 199 (2013).

[94] M. Spieker, et al, Phys. Rev. C 88, 041303(R) (2013).

[95] M. Spieker, et al, Phys. Rev. C 97, 064319 (2018).

[96] X. C. Chen, et al., Phys. Rev. C 94, 021301(R) (2016).

[97] B. Bucher, et al, Phys.Rev.Lett. 116, 112503 (2016).

[98] W. Greiner, J. Y. Park and W. Scheid, Nuclear Molecules, World Scientific, Singapure (1995).

[99] R. G. Nazmitdinov, I. N. Mikhailov, Ch. Briancon, Phys. Lett. B 188, 171 (1987).

[100] N. Minkov, S. Drenska, K. Drumev, M. Strecker, H. Lenske, and W. Scheid, Phys. Rev. C 88, 064310 (2013).

[101] B. Buck, A. C.Merchant, and S.M. Perez, Phys. Rev. C 59, 750 (1999).

[102] F. Iachello and A.D. Jackson, Phys. Lett. B 108, 151 (1982).

[103] R. N. Bernard, L.M. Robledo, T.R. Rodriguez, Phys. Rev. C 93, 061392(R) (2016).

[104] J. M. Yao, E. F. Zhou, Z. P. Li, Phys. Rev. C92, 041304 (2015).

[105] H. L. Wang, H. L. Liu, and F. R. Xu, Phys. Scr. 86, 035201 (2012).

[106] H. L. Wang, H. L. Liu, and C.F. Jiao, Chin Sci Bull 57, 1761 (2012).

[107] D. Kusnezov and F. Iachello, Phys. Lett. B 209, 420 (1988).

[108] T. M. Shneidman, G. G. Adamian, N. V. Antonenko, R. V. Jolos, and S.-G. Zhou, J. Phys.: Conf. Ser. 569, 012056 (2014).

[109] P. Reiter, et al., Phys. Rev. Lett. 82, 509 (1999), 84 3542 (2000).

[110] M. Leino,et al. , Eur. Phys. J. A 6, 1 (1999).

[111] F. P. Hessberger, Acta Phys. Slovaca 49, 43 (1999); F. P. Hessberger et al., Eur. Phys. J. A 3 521 (2000); F.P. Hessberger et al.,ibid. 12 57 (2001).

[112] R.-D. Herzberg, et al., Phys. Rev. C 65, 014303 (2001).

[113] P. A. Butler et al., Phys. Rev. Lett, 89, 202501 (2002).

[114] M. Leino and F. P. Hessberger, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. 54, 175 (2004).

[115] R.D. Humphreys et al., Phys. Rev. C 69, 064324 (2004).

[116] D. Ackermann, Eur. Phys. J. A 25, 577 (2005).

[117] P. T. Greenlees et al., Eur. Phys. J. A 25, 599 (2005).

[118] S. Eeckhaudt et al., Eur. Phys. J. A 25, 605 (2005).

[119] P. Reiter et al., Phys. Rev. Lett. 95, 032501 (2005).

[120] J. E. Bastin et al., Phys. Rev. C 73, 024308 (2006).

[121] S. Hofmann and G. Munzenberg, Rev. Mod. Phys. 72, 733 (2000).

[122] A. Sobiczewski, I. Muntian and Z. Patyk, Phys. Rev. C 63, 034306 (2001).

[123] P. Moller, et al., At. Data Nucl. Data Tables 59, 185 (1995).

[124] https://www.nndc.bnl.gov/ensdf/.

[125] Otsuka T, Suzuki T, Fujimoto R, Grawe H, and Akaishi Y Phys. Rev. Lett. 95 232502 (2005)

[126] Von Weizsacker C F Z. Phys. 96, 431 (1935).

[127] Gamow G Proc. Royal Soc. A 126, 632 (1930).

[128] L. Wilets, M. Jean, Phys. Rev. 102, 788 (1956).

[129] D. J. Rowe and J.L. Wood, Fundamentals of Nuclear Models: Foundational Models, World Scientific (2010).

[130] R. V. Jolos and P. von Brentano, Phys. Rev. C 79, 044310 (2009).

[131] R. V. Jolos and P. von Brentano, Phys. Rev. C 76, 024309 (2007).

[132] R. V. Jolos and P. von Brentano, Phys. Rev. C 77, 064317 (2008).

[133] D. Bonatsos, P. Georgoudis, D. Lenis, N. Minkov, C. Quesne, Phys. Lett. B 683, 264 (2010).

[134] D. Bonatsos, P. E. Georgoudis, D. Lenis, N. Minkov, and C. Quesne, Phys. Rev. C 83, 044321 (2011).

[135] D. Bonatsos, P. E. Georgoudis, N. Minkov, D. Petrellis, and C. Quesne, Phys. Rev. C 88, 034316 (2013).

[136] D. R. Bes, Nuclear Phys. 10, 373 (1959).

[137] G. G. Dussel and D. Bes, Nucl.Phys. A 143, 623 (1970).

[138] Racah G. Phys. Rev. 43, 367 (1943).

[139] W. Cheney, D. R. Kincaid Linear Algebra: Theory and Applications. Sudbury, Ma: Jones and Bartlett. pp. 544, 558. (2009).

[140] M. A. Caprio, Phys. Rev. C 83, 064309 (2011).

[141] D. J. Rowe, P.S. Turner, and J. Repka, J. Math. Phys. 45, 2761 (2004).

[142] M. A. Caprio, D.J. Rowe, and T.A. Welsh, Comput. Phys. Commun. 180,1150 (2009).

[143] D. P. Grechukhin, Nucl. Phys. 40, 422 (1963).

[144] N. Yu. Shirikova, R. V. Jolos, N. Pietralla, A. V. Sushkov, and V. V. Voronov, Eur. Phys. J. A 41, 393 (2009).

[145] O. Prior, F. Boehm, and S. G. Nilsson, Nucl. Phys. A 110, 257 (1968).

[146] Р. В. Джолос, Е. А. Колганова, Л. А. Малов, Е. В. Мардыбан, Д. А. Сазонов, Т. М. Шнейдман, Ядерная физика, том 83, номер 4 (2020).

[147] E. V. Mardyban, E. A. Kolganova, T. M. Shneidman, R. V. Jolos, and N. Pietralla, Phys. Rev. C 102, 034308 (2020).

[148] E. V. Mardyban, E. A. Kolganova, T. M. Shneidman, R.V. Jolos, Physics of Particles and Nuclei Letters Vol. 19, No. 5, 463 (2022).

[149] D. Abriola and A. A. Sonzogni, Nuclear Data Sheets for A = 96, Nucl. Data Sheets 109, 2501 (2008).

[150] A. H. Taqi, Z. Q. Mosa, Egypt. J. Phys., 48, 1 (2020).

[151] E. V. Mardyban, E. A. Kolganova, T. M. Shneidman and R. V. Jolos, Phys. Rev. C 105, 024321 (2022).

[152] R. V. Jolos and P. von Brentano, Phys. Rev. C 49, R2301(R) (1994).

[153] W. Nazarewicz, et al., Nucl. Phys. A 429, 269 (1984).

[154] P. Möller,et al., At. Data Nucl. Data Tables 94, 758 (2008).

[155] J. Egido and L. Robledo, Nucl. Phys. A 494, 85 (1989).

[156] K. Rutz, J. A. Maruhn, P.-G. Reinhard, and W. Greiner, Nucl. Phys. A 590, 680 (1995).

[157] L. M. Robledo and G. F. Bertsch, Phys. Rev. C 84, 054302 (2011).

[158] B. N. Lu, J. Zhao, E. G. Zhao, and S. G. Zhou, Phys. Rev. C 89, 014323 (2014).

[159] S. G. Zhou, Phys. Scr. 91, 063008 (2016).

[160] J. Zhao, B. N. Lu, E. G. Zhao, and S. G. Zhou, Phys. Rev. C 86, 057304 (2012).

[161] R. V. Jolos, P. von Brentano and J. Jolie, Phys. Rev. C 86: 024319 (2012).

[162] G. A. Leander and Y. S. Chen, Phys. Rev. C 37, 2744 (2003).

[163] R. V. Jolos, P. von Brentano, Phys. Rev. C 84: 024312 (2011).

[164] R. V. Jolos, N. Minkov, and W. Scheid, Phys. Rev. C 72: 064312 (2005).

[165] V. M. Strutinsky, J. Nucl. Energy 4, 523 (1957).

[166] T. M. Shneidman, G. G. Adamian, N. V. Antonenko, R. V. Jolos, S.-G. Zhou, Phys. Rev. C 92, 034302 (2015).

[167] Eugen Merzbacher, Quantum Mechanics, (1970).

[168] R. V. Jolos and P. von Brentano, Nucl. Phys. A 587, 377 (1995).

[169] R. V. Jolos, P. von Brentano, Phys.Rev. C 92, 044318 (2015).

[170] S. Zhu,et al., Phys. Rev. C 81,041306(R) (2018).

[171] I. Wiedenhöver, R. V. F. Janssens, G. Hackman, et al., Phys. Rev. Lett. 83, 2143 (1999).

[172] H. J. Wollersheim, et al, Nucl. Phys. A 556, 261 (1993).

[173] R. W. Ibbotson et al., Nucl. Phys. A 619, 213 (1997).

[174] T. M. Shneidman, G. G. Adamian, N. V. Antonenko, R. V. Jolos, And W. Scheid, Phys. Lett. B 526, 322 (2002).

[175] G. G. Adamian, N. V. Antonenko, R. V. Jolos, Yu. V. Palchikov, and W. Scheid, Phys. Rev. C 67, 054303 (2003).

[176] G. G. Adamian et al., Acta Phys. Pol. B 34, 2147 (2003).

[177] G .G. Adamian, N. V. Antonenko, R. V. Jolos, and T. M. Shneidman, Phys. Recv. C 70, 064318 (2004).

[178] G. G. Adamian, N.V. Antonenko, R. V. Jolos, Yu. V. Palchikov, W. Scheid, and T. M. Shneidman, Phys. Rev. C 69, 054310 (2004).

[179] M. Wang, W. J. Huang, F. G. Kondev, G. Audi, S. Naimi, Chin. Phys. C 45, 030003 (2021).

[180] G. G. Adamian, et al, Int. J. Mod. Phys. E 5, 191 (1996).

[181] A. B. Migdal, Theory of Finite Fermi Systems and Applications to Atomic Nuclei, Wiley, New York, (1967).

[182] T. M. Shneidman, G. G. Adamian, N. V. Antonenko, R. V. Jolos, Phys. At. Nucl., 70, 1452-1456 (2007).

[183] E. T. Gregor, et al., J. Phys. G 46, 075101 (2019).

[184] S.T. Belyaev, Nucl. Phys. 24, 322 (1961).

[185] E. V. Mardyban, T. M. Shneidman, E.A. Kolganova, R. V. Jolos, and S.-G. Zhou, Chin. Phys. C 42, 124104 (2018).

[186] Е. В. Мардыбан, Т. М. Шнейдман, Е. А. Колганова, и Р. В. Джолос, Ученые записки физического факультета МГУ. № 4. 1840203 (2018).

[187] Е. В. Мардыбан, Т. М. Шнейдман, Е. А. Колганова, и Р. В. Джолос, Ядерная физика, том 83, номер 1 (2020).

[188] E. V. Mardyban, E. A. Kolganova, T. M. Shneidman, R. V. Jolos, Physics of Particles and Nuclei Letters Vol. 19, No. 6, 646 (2022).