Исследование движения намагничивающихся сред в неоднородных магнитных и температурных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Лушников, Максим Александрович

• Лушников, Максим Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лушников, Максим Александрович

- 2 -СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Двухфазная модель намагничивающейся среды: магнитная жидкость и агрегаты.

§ 1.1. Образование агрегатов в магнитной жидкости в магнитном поле

§ 1.2. Вывод уравнения, описывающего перераспределение агрегатов в неоднородно нагретой магнитной жидкости в присутствии магнитного поля

§ 1.3. Уравнения тепловой конвекции магнитной жидкости в присутствии магнитного поля в приближении Буссинеска. 44 § 1.4. Постановка задачи о движении дисперсной двухфазной намагничивающейся среды в экспериментальной установке

Глава 2. Численное исследование конвективного течения магнитной жидкости в экспериментальной установке.

§ 2.1. Построение расчетной сетки и разностной схемы

§ 2.2. Вычисление поля скоростей, температуры и давления. 65 § 2.3. Анализ полученного решения

- з -

Глава 3. Исследование перераспределения агрегатов ■ в магнитной жидкости в экспериментальной установке. § 3.1. Постановка задачи о перераспределении агрегатов в канале и между резервуарами экспериментальной установки. 85 § 3.2. Решение задачи о перераспределении агрегатов в вертикальном канале с двухслойным встречным течением. 93 § 3.3. Перераспределение агрегатов между резервуарами экспериментальной установки

Заключение Библиография

115

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование движения намагничивающихся сред в неоднородных магнитных и температурных полях»

ВВЕДЕНИЕ

Дисперсные намагничивающиеся среды представляют собой искусственно синтезированные вещества, взаимодействующие с магнитным полем из-за своей способности к намагничиванию. Примером таких сред являются магнитные жидкости — коллоидные растворы мелких ( диаметром порядка 10 см.) магнитных о дно доменных частиц, покрытых слоем поверхностно-активного вещества (ПАВ) в жидкости-носителе. Частицы находятся в броуновском движении. Адсорбированный на поверхности полярный слой ПАВ препятствует взаимной агломерации частиц благодаря кулоновским силам отталкивания. В качестве жидкости-носителя используются различного типа углеводороды, вода, парамагнитные растворы солей и другие жидкости. Современные магнитные жидкости стабильны по своим свойствам, устойчивы по отношению к расслоению и соединяют в себе текучесть жидкости и способность к намагничиванию. Намагниченность насыщения магнитных жидкостей достигает

3

величины 3 • 10 Гс.

Благодаря уникальным свойствам магнитные жидкости находят широкое применение в технике, биологии, медицине и при разработке новых технологий. В связи с этим возникает необходимость построения моделей таких сред и теоретическое описание их поведения в электромагнитном поле.

Основы гидродинамики и общие принципы построения моделей

сред, взаимодействующих с электрическим или магнитным полями разработаны в [1 - 5]. В [6] впервые предложена система уравнений для однофазной равновесно намагничивающейся среды. В работе [7] предложена модель однофазной намагничивающейся среды с учетом релаксации намагниченности из-за вращения магнитных частиц в жидкости. В монографии [8] изложены основы физики и гидродинамики магнитных жидкостей и двухфазных магнитных систем. Здесь же перечислены различные области практического применения магнитных жидкостей и имеется обширная библиография по данному вопросу.

При построении моделей дисперсных намагничивающихся сред используется два подхода: диффузионный и многоскоростной. Вывод системы уравнений, описывающих поведение дисперсных намагничивающихся либо поляризующихся сред, взаимодействующих с электромагнитным полем, в диффузионном приближении приводится в работе [9].

В статье [10] сконструирована многоскоростная модель дисперсной среды, когда для каждой фазы выводится свое уравнение движения. Наличие других фаз учитывается добавлением в уравнение слагаемых, которые связаны с обменом импульсом между фазами. В этой работе также проведено сравнение диффузионного и многоскоростного подходов.

В [11] выводится система уравнений, описывающая поведение поляризующихся многофазных (дисперсных) сред в электромагнитных полях в приближении электрогидродинамики в предположении, что среда состоит из к сжимаемых и Ы—к несжимаемых фаз, каждая из которых поляризуется по своему закону и имеет свою температуру.

В [12] выписана замкнутая система уравнений для дисперсной намагничивающейся среды с учетом броуновского движения частиц диспергированной фазы в диффузионном приближении.

Общий обзор и сравнение различных моделей дисперсных намагничивающихся сред приведен в работах [5, 13].

Одним из важнейших направлении исследовании поведения дисперсных намагничивающихся сред является изучение вопросов, связанных с перераспределением концентрации диспергированной фазы и с образованием в магнитной жидкости агрегатов из мелких диспергированных частиц. Такие агрегаты образуются в намагничивающейся жидкости в присутствии внешнего магнитного поля из-за слипания части диспергированных мелких магнитных частиц.

Изучение этих вопросов связано, во-первых, с исследованием устойчивости по отношению к расслоению магнитных жидкостей, а во-вторых, с изучением магнитных и реологических свойств намагничивающейся среды при образовании в ней агрегатов. Исследование зависимости физических свойств магнитной жидкости от размера, формы, структуры и концентрации агрегатов является актуальной

задачей, решение которой позволит найти пути к улучшению рабочих характеристик магнитных жидкостей.

Одной из первых работ по экспериментальному исследованию образования агрегатов является работа [14]. Образование цепочко-образных и нитевидных агломератов в магнитных жидкостях обсуждалось в публикациях [15 - 16]. В статье [17] феноменологическим методом выведена система уравнений, описывающая поведение магнитной жидкости с образующимися в магнитном поле цепочками.

Вопросы образования микрокапельных агрегатов в коллоидах ферромагнетиков обсуждались в публикациях [ 18, 19], в которых описано исследование структуры разбавленных магнитных жидкостей при помощи светорассеяния в тонком слое. Было обнаружено, что в случае разбавления коллоида раствором ПАВ происходит образование микрокапельных агрегатов магнитной жидкости, а при разбавлении чистой несущей средой образуются твердые агрегаты из частиц диспергированной фазы. В работе [ 20] исследовалось движение деформируемых капель магнитной жидкости и пузырей в магнитной жидкости при наличии внешнего магнитного поля с учётом поверхностного натяжения.

Агрегаты в магнитной жидкости влияют на её физические свойства. Например, наличие агрегатов может существенно изменить вязкость магнитной жидкости. Это подтверждается многочисленными исследованиями.

В статье [21] приведены экспериментальные данные об аномаль-

ной зависимости вязкости магнитной жидкости от направления приложенного магнитного поля. Показано, что вязкость жидкости, текущей в цилиндрической трубе, увеличивается в 6 - 10 раз при наложении магнитного поля, перпендикулярного потоку, по сравнению со случаем, когда поле направлено вдоль оси трубы. Этот результат не объяснялся в рамках известных моделей магнитных жидкостей.

Представление о магнитной жидкости как суспензии, состоящей из мелких однодоменных частиц и образованных из них вытянутых вдоль поля агрегатов, объёмная концентрация которых незначительна 3%), предложенное в работе [22] позволило описать наблюдаемый в [21] эффект.

В статье [23] приведены результаты исследования вязкости коллоидных растворов ферромагнетиков с различной кристаллической магнитной анизотропией при различных ориентациях магнитного поля в вязкозиметре с плоским каналом. Обнаружена зависимость вязкости от скорости сдвига, выраженная сильнее в поле, перпендикулярном плоскости канала. Анализ результатов измерений вязкости, времени релаксации магнитного момента и намагниченности показал, что коллоидные частицы являются не о дно доменными, а представляют собой агрегаты.

Результаты эксперимента по определению влияния осциллирующего течения магнитной жидкости на размер агрегатов изложены в статье [24]. Течение создавалось продольными колебаниями намагниченного стержня, погружённого в магнитную жидкость на основе

керосина. В статье описан метод определения размеров агрегатов с помощью эффекта индуцирования ЭДС магнитной жидкостью, движущейся в пробирке, являющейся сердечником катушки. Наблюдения показали, что осциллирующее течение магнитной жидкости приводит к уменьшению размеров агрегатов, причём скорость изменения размера возрастает при увеличении амплитуды колебаний.

Агрегаты также влияют на другие физические свойства магнитной жидкости, в частности, на распространение в ней звуковых волн.

В публикациях [25, 26] рассмотрены вопросы распространения ультразвука в магнитных жидкостях. Предложена модель, описывающая магнитную жидкость, как дисперсную среду, состоящую из дисперсионной жидкости и агрегатов, размер и форма которых существенно зависят от величины приложенного магнитного поля.

Найдены выражения для скорости распространения и декремента затухания ультразвука в магнитной жидкости. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Предлагается метод по определению эффективного размера агрегатов, основанный на анализе экспериментов по изучению зависимости коэффициента затухания ультразвука от величины и направления магнитного поля.

Одной из первых работ по экспериментальному исследованию образования и перераспределения агрегатов в магнитной жидкости является работа [27]. В ней, в частности, описан эксперимент, за-

ключавшийся в следующем. В вертикальную пробирку длиной 11 см. помещалась магнитная жидкость на водной основе. Было обнаружено, что в присутствии однородного магнитного поля величины Н = 230 Э в течении часа 20% мелких частиц, размером 20 - 300

7 9

А слипались в агрегаты, состоявшие из 10 — 10 частиц. Средний

— 4

размер таких агрегатов составил 1,2-10 см. Образование агрегатов почти не наблюдалось в хорошо стабилизированных магнитных жидкостях на основе углеводорода. Проводилось измерение концентрации частиц в магнитной жидкости после выдерживания пробирки в вертикальном и горизонтальном однородном магнитном поле. Анализ профиля концентрации частиц по высоте пробирки показал, что скорость осаждения частиц и их агрегатов в вертикальном однородном магнитном поле больше скорости их осаждения в горизонтальном однородном поле.

В статье [28] обсуждаются результаты аналогичного эксперимента по наблюдению образования и седиментации агрегатов в магнитной жидкости на основе додекана. Для такой жидкости экспериментально получена зависимость относительной концентрации частиц, образующих агрегаты, от величины однородного поля и изучена зависимость скорости оседания агрегатов не только от направления однородного магнитного поля, но и от его величины. Из результатов эксперимента следует, что в слабых магнитных полях с Н < 100 Э , в отличии от [27], в вертикальном поле осаждение агрегатов происходит медленнее, чем в горизонтальном. В сильных

полях с Н > 100 Э процесс седиментации происходит быстрее в случае вертикального направления поля, что согласуется с результатом, полученным в [27]. Это объясняется тем, что образующиеся в сильном поле агрегаты имеют вытянутую вдоль приложенного поля форму. Скорость гравитационной седиментации такого агрегата в вертикальном магнитном поле больше, чем в горизонтальном. В случае слабого поля форма агрегатов близка к сферической и различие в скорости седиментации определяется различием в скорости роста агрегатов. В работе показано, что при Н < 100 Э скорость роста сферических агрегатов в горизонтальном поле больше скорости их роста в вертикальном магнитном поле.

Исследование осаждения агрегатов, образовавшихся в диамагнитной суспензии кварца в растворе хлорида марганца в присутствии однородного магнитного поля проводилось в работе [29]. С использованием системы оптического наблюдения и анализа изображения агрегатов найдено критическое значение величины магнитного поля, при котором начинается процесс агломерации микрочастиц. Экспериментально обнаружено, что скорость осаждения частиц кварца в вертикальном магнитном поле в растворах хлорида марганца различной концентрации линейно зависит от квадрата величины поля.

В [30] предложен процесс обработки магнитной жидкости в неоднородном магнитном поле, названный авторами сепарацией, в результате которого в магнитной жидкости остаются агрегаты с раз-

мером меньше заданного. Показано, что в прошедшей сепарацию магнитной жидкости частицы обладают высокой степенью устойчивости к агрегированию в достаточно Сильных магнитных полях.

В статье [31] приведены результаты эксперимента, в котором обнаружена зависимость кривой намагниченности магнитной жидкости от времени измерения. Наблюдаемый эффект объясняется влиянием процесса агрегирования в жидкости. Предложен новый метод вычисления функции распределения частиц диспергированной фазы по размерам, использующий данные кривой намагниченности.

Одной из важных задач, возникающих при изучении свойств магнитных жидкостей, является нахождение перераспределения в ней фазы агрегатов. Для описания такого перераспределения необходимо использовать выражение для силы, действующей на агрегат. Вычисление силы, действующей на находящееся в намагничивающейся или поляризующейся среде в присутствии электрического, магнитного или температурного полей тело, свойства которого отличаются от свойств среды, проводилось во многих работах.

В публикации [9] выведена формула для силы, действующей на намагничивающуюся или поляризующуюся среду со стороны электромагнитного поля в предположении, что среда состоит из нескольких фаз и компонент, каждая из которых намагничивается или поляризуется, вообще говоря, по своему закону и имеет свою температуру.

В работе [12] получено выражение для силы, действующей на намагничивающуюся среду со стороны. магнитного поля в случае,

когда магнитная проницаемость среды \х зависит от объёмной концентрации Г дисперсной фазы: ¡1 = ц{Г).

Зависимость магнитных проницаемостей вещества тела и окружающей его магнитной жидкости от температуры в присутствии магнитного поля и неоднородного нагрева приводит к появлению силы, действующей на тело.

В статье [32] на основе решения задачи о стоксовом обтекании ферромагнитной сферы магнитной жидкостью в однородном магнитном поле показано, что при наличии градиента температуры возможно возникновение термомагнитофореза в суспензии. В параллельном градиенту температуры магнитном поле частицы перемещаются в сторону возрастания температуры, в перпендикулярном — в сторону уменьшения. Здесь же приведены оценки скорости термомагнитофореза, показывающие, что описанное явление доступно экспериментальному наблюдению. Искажение магнитного поля частицей в [32] не учитывается.

В работе [33] вычислена сила, действующая на сферическую частицу, находящуюся в неоднородно нагретой намагничивающейся жидкости в произвольном магнитном поле. В отличии от [32] рассмотрен случай, когда магнитная проницаемость вещества частицы /I много больше магнитной проницаемости [х жидкости. Предпо-

I г

лагается, что магнитные проницаемости ц и ц зависят только от температуры. Также как и в [32] искажение магнитного поля здесь не учитывается.

В статье [34] получено выражение для силы, действующей на сферическую частицу, когда теплопроводности вещества частицы и намагничивающейся жидкости — одинаковы. Предполагалось, что

г , 7. V

магнитная проницаемость частицы ¡1 (Т ) и магнитная проница-

I . I.

емость ¡1 [Т ) жидкости зависят только от температуры.

Случай различной теплопроводности сферической частицы и жидкости, когда магнитная проницаемость частицы /¿'(Т') много больше магнитной проницаемости //(Т* ) жидкости исследован в работе [35]. В обоих публикациях [34] и [35] учтено искажение магнитного поля из-за неоднородности температуры. Полученное в [35] выражение для силы существенно отличается от выражения, приведённого в [33].

В работе [36] вычислена сила, действующая на сферическую частицу в неоднородно нагретой намагничивающейся жидкости в том случае, когда магнитная проницаемость жидкости зависит только от температуры в жидкости, \1 = ¿/(Т ), а магнитная проницаемость вещества частицы зависит от температуры и величины приложенного поля: ¡1 — ¡1 (Т ,Н). При вычислении силы учитывается различие теплопроводностей частицы и жидкости и, в отличие от [33], искажение частицей приложенного магнитного поля. Сила вычислена с точностью до слагаемых, порядка еа, где а > 1, а £ — малый параметр, равный отношению размера частицы к характерному размеру изменения параметров: температуры, величины магнитного поля и т.д.

Исследование влияния термомагнитной силы на процессы перераспределения частиц в магнитной жидкости проводилось в нескольких работах.

В статье [37] сообщаются результаты экспериментального исследования перераспределения концентрации ферромагнитных частиц под действием диффузионного, гравитационного и термофоретичес-кого переноса.

Установка, используемая в эксперименте, состояла из двух резервуаров прямоугольного сечения, соединённых вертикальным каналом. Схема установки приведена на стр. 49 на рисунке 1.4.1 в §1.4. Длина канала составляла Ьс = 7 см. ширина 1с = 0,05 см. Стенки канала поддерживались при постоянных разных температурах. Термогравитационное течение намагничивающейся жидкости, возникающее из-за разного нагрева стенок канала, осуществляло обмен жидкостью между нижним и верхним резервуарами установки. Намагничивающаяся жидкость, используемая в эксперименте, представляла собой смесь 40%-ного водного раствора МпС12 с частицами магнетита диаметром, порядка 10 см. Установка помещалась в однородное (однородность поля составляла 0,004%). горизонтальное магнитное поле величиной Н = 3520 Э , параллельное градиенту температуры жидкости в канале, равного ¡V Т| = 40 град/см. Спустя характерное время эксперимента, составлявшего 1-5 часов, проводилось измерение стационарного распределения концентрации частиц в верхнем и нижнем резервуарах.

Измерения показали, что значение концентрации частиц в верхнем резервуаре меньше, а в нижнем больше, чем начальная концентрация.

Полученный результат объяснялся действием на частицы, двигающиеся в канале, силы, вычисленной в работе [33], направленной против градиента температуры. Эта сила сносила частицы магнетита в канале к более холодной стенке, вблизи которой магнитная жидкость двигалась вниз. Таким образом, обнаруженное перераспределение частиц между резервуарами объяснялось воздействием на частицы магнетита термомагнитной силы.

Однако термомагнитная сила, действующая на частицу в этом случае, может быть вычислена по формуле, выведенной в работе [36]. Анализ выражения для силы, проведённый в [38] показал, что термомагнитная сила в условиях эксперимента [37] направлена по градиенту температуры. Это означает, что ферромагнитные частицы должны перемещаться к более нагретой стенке и выноситься восходящим потоком жидкости в верхний резервуар.

В [38] предложено возможное объяснение результатов эксперимента [37]. Часть ферромагнитных микрочастиц в присутствии маг— 3

нитного поля образовывала крупные (диаметром, порядка 10 см. и более) агрегаты, которые под действием силы тяжести перемещались в нижний резервуар.

В результате этого концентрация ферромагнитных частиц в нём увеличилась, а в верхнем — уменьшилась. Именно образова-

нием в магнитном поле агрегатов и их гравитационной седиментацией в работе [38] объяснялось отсутствие перераспределения микрочастиц в том случае, когда не создавалось магнитное поле или не нагревались стенки канала. Действительно, в отсутствии поля агрегаты не образуются, а в случае УТ = 0 нет конвективного течения, осуществляющего обмен между резервуарами. Таким образом, в [38] показано, что наблюдаемый в [37] эффект вызывается не действием термомагнитной силы, а имеет другой — гравитационный механизм.

В связи с этим в работе [39] было проведено экспериментальное исследование перераспределения ферромагнитных частиц и их агрегатов при термогравитационной конвекции в магнитной жидкости с немагнитной жидкостью-носителем. Использовалась экспериментальная установка, аналогичная по схеме [37]. Она состояла из двух цилиндров диаметром 3 см., соединенных плоским вертикальным каналом длиной Ьс — 10 см. и шириной 1с = 0,1 см. Одна стенка канала нагревалась при помощи электрического нагревателя до постоянной температуры Т2 , другая охлаждалась окружающим воздухом до температуры Тг . При заданной интенсивности нагрева разность температур Т2 — Тг = $ поддерживалась постоянной и контролировалась чувствительными термосопротивлениями, закреплёнными на стенках канала.

Приблизительно через 5 часов производился отбор жидкости из верхнего резервуара. Отобранная магнитная жидкость не содержала очень крупные агрегаты — они осели в нижнем резервуаре. С этой

жидкостью эксперимент повторялся при прежних внешних условиях: установка в течении 5 часов находилась в постоянном горизонтальном магнитное поле, параллельном градиенту температуры в канале.

Далее определялась концентрация ферромагнитных частиц при помощи измерения частоты колебаний автогенератора с ЬС — контуром, в катушке индуктивности которого находилась пробирка с исследуемой жидкостью, отобранной из верхнего цилиндра установки. Методика измерения магнитных свойств жидкости при помощи автогенератора с ЬС ■— контуром была предложена в работе [40]. Эта методика использовалась для определения концентрации ферромагнитных частиц в магнитной жидкости в исследовании [41]. Также проводились измерения отношения мнимой и действительной частей высокочастотной магнитной восприимчивости при различной частоте магнитного поля.

у

Проведенные измерения позволили оценить перераспределение относительной концентрации агрегатов между верхним и нижним резервуарами за время эксперимента. Оказалось, что относительная концентрации агрегатов в верхнем резервуаре со временем увеличивается, а в нижнем резервуаре — уменьшается. Такое перераспределение относительной концентрации не наблюдалось в случае проведения эксперимента в отсутствии хотя бы одного из внешних факторов: магнитного поля или нагрева жидкости.

В [38] приведены результаты экспериментального исследования и предложено следующее теоретическое обьяснение наблюдаемого

явления. На находящиеся в канале установки агрегаты действует термомагнитная сила , вычисленная в статье [36], которая сонап-равлена градиенту температуры жидкости в канале: Ргт = а V Г, а > 0. Течение в канале состояло из двух встречных конвективных потоков. Градиент температуры жидкости в канале перпендикулярен его стенкам, так что термомагнитная сила сносит находящиеся в канале агрегаты в восходящий поток жидкости. Таким образом, агрегаты, двигающиеся вместе с жидкостью из верхнего в нижний резервуар возвращаются восходящим потоком в верхний резервуар, а агрегаты, подхватываемые течением в нижнем резервуаре также переносятся в верхний цилиндр.

На основании такой модели перераспределения агрегатов в диссертации [38] были выписаны и проинтегрированы уравнения движения агрегатов в канале установки с учётом силы тяжести, сопротивления по Стоксу со стороны магнитной жидкости и термомагнитной силы. Анализ траекторий агрегатов позволил качественно объяснить изменение со временем относительной концентрации агрегатов в резервуарах.

Однако при этом анализе не учитывались броуновское движение агрегатов, связанное с градиентом их концентрации и полная картина течения магнитной жидкости в установке. Не вычислялся поток массы агрегатов через поперечное сечение канала, а концентрация агрегатов на плоскости, разделяющей плоскопараллельные потоки жидкости, движущиеся в канале в противоположных направле-

ниях, считалась постоянной.

Отметим, что в литературе описаны исследования по разделению компонентов в многокомпонентных газовых средах в экспери-

и о —' ••

ментальной установке, состоящей из двух колб, соединенных тонким вертикальным капилляром. Однако главную роль при таком разделении играет механизм, не связанный с термомагнитной силой. Так, в работах [42 - 44] проводилось экспериментальное и теоретическое изучение эффекта разделения компонентов при изотермическом смешении в тройных газовых смесях. Изучался диффузионный перенос бинарной смеси (лёгкого и тяжелого газов, например, гелия и фреона или водорода и аргона) в чистый компонент (азот или метан). Состав бинарной смеси, находящейся в верхней колбе при заданных давлении и температуре подбирался таким образом, чтобы её плотность была меньше плотности чистого компонента, находящегося в нижней колбе.

В начале эксперимента, после открытия перегородки в капилляре, наблюдалось увеличение плотности тройной смеси в верхней части капилляра из-за нелинейного распределения тяжёлого компонента по длине капилляра. В результате этого в капилляре возникали встречные конвективные потоки, различные по своему составу: бинарная смесь двигалась вниз, чистый компонент перемещался вверх. При таком течении лёгкая компонента бинарной смеси из-за различия в коэффициентах взаимной диффузии газов быстрее, чем тяжелая компонента проникала за счет диффузии во встречный поток

и бинарная смесь обеднялась лёгкой компонентой. Таким образом происходило разделение компонентов бинарной смеси: концентрация тяжёлого возрастала в нижней и убывала в верхней колбе. Плотность смеси газов в целом возрастала в верхней колбе и убывала в нижней.

Предложенная авторами теоретическая модель смешения трёх газов на основе положения о различии в коэффициентах взаимной диффузии компонент позволила получить количественные оценки, хорошо согласующиеся с экспериментом.

В настоящей диссертации решена задача о перераспределении агрегатов в экспериментальной установке в неоднородно нагретой магнитной жидкости при наличии магнитного поля с учётом броуновской диффузии агрегатов в магнитной жидкости.

В первой главе диссертации рассматривается модель намагничивающейся среды, состоящая из немагнитной жидкости-носителя (керосина), однородно распределенных в ней мелких частиц магнетита, и агрегатов, образованных из этих частиц. Такую среду можно считать двухфазной: одну дисперсионную фазу составляет обычная магнитная жидкость, другую диспергированную фазу — агрегаты.

В § 1.1 приведены результаты наблюдения образования агрегатов в магнитной жидкости на основе керосина в магнитном поле. Наблюдения проведены с использованием системы оптического макроскопического анализа дисперсных систем и программным комплексом "Gallery" на кафедре коллоидной химии химического факультета

МГУ. Описание системы и комплекса имеется в работе [45].

Вначале пробирка с магнитной жидкостью помещалась в однородное магнитное поле величины Н . ^ 3000 Э. Часть частиц магнетита образовывала агрегаты. Далее пробирка с жидкостью перемещалась в вертикальном направлении вверх между полюсами электромагнита, создающего неоднородное магнитное поле с градиентом |УЯ| = 1000 Э/см.

Из условия баланса между силой трения, действующей на агрегаты заданного размера, двигающиеся в магнитной жидкости, и силой, вызывающей магнитную седиментацию агрегатов (Ма\7)Н, Ма — магнитный момент агрегата, Н —напряжённость магнитного поля, находилась скорость перемещения пробирки, необходимая для очистки жидкости от достаточно крупных агрегатов.

Наблюдения показали, что при перемещении пробирки со ско--2 .

ростью ^ 10 см ¡сек в присутствии заданного магнитного поля в области сильного поля остаются крупные агрегаты, размером, более

— 4 —4

5-10 см. Средний размер остальных агрегатов равен 1,47-10 см. Их средний коэффициент формы

где Р — периметр, а Б — площадь изображения наблюдавшихся агрегатов, оказался равным 0,86. Таким образом, можно приближённо считать, что фаза агрегатов состоит из одинаковых сферических частиц.

В § 1.2 приведён вывод уравнения, описывающего перераспределение числовой плотности п агрегатов при их движении в неоднородно нагретой магнитной жидкости под действием силы тяжести, силы Архимеда, силы трения по Стоксу со стороны окружающей агрегаты магнитной жидкости, термомагнитной силы вычи-

сленной в работе [34], и силы, обусловленной броуновской диффузией агрегатов, пропорциональной градиенту их числовой плотности.

Уравнение для п получено из уравнения неразрывности и движения для фазы агрегатов в предположениях, что давление ра фазы агрегатов есть ра = пкТ, где к, Т — постоянная Больцмана и температура жидкости, в пренебрежении конвективными слагаемыми в уравнении движения для фазы агрегатов.

Учёт броуновской диффузии агрегатов приводит к повышению порядка дифференциального уравнения, описывающего массоперенос агрегатов в вертикальном канале по сравнению со случаем, рассмотренным в [38], где учитывался лишь седиментационный перенос и перенос под действием термомагнитной силы. Это обстоятельство требует задания дополнительного граничного условия для числовой плотности агрегатов. Граничное условие, применяемое на твердой стенке в случае устойчивой жидкости состоит в непроницаемости границы, то есть предполагается, что поток массы агрегатов на вертикальную стенку канала равен нулю. Это обычное граничное условие обсуждалось и применялось, например, в работах [46 - 48].

Однако особенности поведения частиц на стенке и их взаимо-

действия с ней, вообще говоря, неизвестны. Например, при наличии большого градиента магнитного поля может существовать ненулевой поток массы частиц на поверхность. В этом случае, для числовой плотности ставится граничное условие третьего рода, как например в [49].

В рассматриваемом же случае, соответствующем условиям экспериментов [37, 39], применение в качестве граничного условия равенства нулю потока массы агрегатов на вертикальной стенке канала представляется достаточно оправданным.

Для исследования перераспределения агрегатов в экспериментальной установке необходимо вычислить скорость и магнитной жидкости и её температуру Г, то есть решить задачу о термогравитационном течении жидкости. Для этого следует дополнить уравнение для числовой плотности агрегатов уравнениями неразрывности и движения для магнитной жидкости и уравнением теплопроводности в движущейся жидкости. Эти уравнения выписаны в § 1.3.

Предполагается, что агрегаты не влияют на движение магнитной жидкости из-за их малой концентрации. Выписанные уравнения обезразмериваются. В случае, когда искажением приложенного магнитного поля из-за неоднородного нагрева можно принебречь, данные уравнения совпадают с обычными уравнениями конвекции в приближении Буссинеска [50] с точностью до переопределения давления в жидкости.

Граничными условиями для этих уравнений являются равенство

нулю скорости жидкости на стенке и равенство температуры заданной функции.

Везде далее в диссертации магнитная жидкость с агрегатами, прошедшая обработку в неоднородном магнитном поле, рассматривается как двухфазная намагничивающаяся среда, одну фазу которой составляет обычная магнитная жидкость, а другую — сферические агрегаты.

Полученные в § 1.2 уравнение для числовой плотности агрегатов и выписанные в § 1.3 уравнения, описывающие движение неоднородно нагретой магнитной жидкости в магнитном поле используются в § 1.4 при постановке задачи о стационарном течении в экспериментальной установке неоднородно нагретой магнитной жидкости при наличии однородного магнитного поля, и задачи о перераспределении агрегатов в установке. Течение считается двумерным в плоскости ОХУ, изображенной на рисунке 1.4.1 в § 1.4 на стр. 49.

Во второй главе диссертации численно решена задача о плоском стационарном течении магнитной жидкости в экспериментальной установке при различных условиях нагрева её стенок в присутствии внешнего однородного магнитного поля.

В § 2.1 Приведены описания расчетной сетки и разностной схемы, запись разностных операторов и V11 в индексных

обозначениях для использующейся расчетной сетки.

В § 2.2 изложен использовавшийся численный метод, основанный на сочетании идей искусственной сжимаемости и установления

по времени [51]. Сделаны необходимые пояснения по выбору итерационных параметров [52 - 54] и реализации обращения в расматрива-емой области разностного оператора Лапласа попеременно-треугольным методом [55]. Обоснован выбор значений итерационных параметров, использованных в расчётах. Приведены результаты апостериорной оценки точности полученных результатов.

В § 2.3 рассмотрены результаты проведенных расчётов. Приведены графики линий тока скорости и = (и1Ги2) и поля распределения температуры Т, соответствующие разным условиям нагрева стенок. Приведены характерные значения величины скорости и температуры в резервуарах и в канале. Показано, что имеющиеся особенности течения вблизи соединения канала с резервуарами уменьшают суммарный расход жидкости, попадающей из резервуаров в канал и наоборот, из канала в резервуары. Этот расход увеличивается при нагреве стенок канала и резервуаров, по сравнению со случаем, когда нагреваются только стенки канала. На основании известных результатов [50, 56 - 58] решения задачи о стационарной конвекции проанализирован вопрос об устойчивости течения жидкости в канале установки.

Таким образом, во второй главе диссертации численно моделируется течение неоднородно нагретой магнитной жидкости в экспериментальной установке при различных условиях нагрева её стенок во внешнем однородном магнитном поле.

В третьей главе диссертации с учётом результатов второй

главы решена задача о перераспределении фазы агрегатов в экспериментальной установке.

В § 3.1 рассмотрено перераспределение агрегатов в резервуарах установки под действием сил тяжести, трения со стороны жидкости, термомагнитной силы и силы, связанной с градиентом числовой плотности агрегатов при различных условиях нагрева стенок установки. Проведена сравнительная оценка рассматриваемых сил, влияющих на перераспределение агрегатов в резервуарах. С использованием результатов § 2.3 показано, что в случае нагрева стенок резервуаров внутри цилиндров образуются значительные области замкнутых траекторий агрегатов, что препятствует перераспределению агрегатов между резервуарами. Показано, что диффузией агрегатов вдоль их траекторий в резервуарах за характерное время эксперимента можно пренебречь, то есть агрегаты внутри областей замкнутых траекторий участвовать в обмене между резервуарам не будут. В случае нагрева только стенок канала пренебрежимо малым является приток агрегатов в канал из нижнего резервуара из-за резкого, на два порядка, снижения в нём скорости течения магнитной жидкости. Таким образом, сделан вывод о целесообразности перемешивания жидкости в резервуарах установки для улучшения обмена агрегатами между верхним и нижним резервуарами. Проведенные оценки показывают, что время выравнивания числовой плотности агрегатов в резервуарах много больше времени перераспределения агрегатов по длине канала. Поэтому в канале можно решать стаци-

онарное уравнение для числовой плотности агрегатов.

В § 3.2 решена плоская задача о перераспределении агрегатов под действием термомагнитной силы в вертикальном канале длины 12 и ширины /2 /15 стенки которого поддерживаются при постоянных температурах Тх и Т2, Т2 — Тг = 0 > 0.

Течение в таком канале моделируется двумя плоскопараллельными встречными потоками с постоянной скоростью. Это сохраняет основные особенности конвективного течения в канале установки: его двухслойность и противоположную направленность потоков. В качестве граничных условий в горизонтальных сечениях канала внизу и вверху задана числовая плотность, на вертикальных стенках — равенство нулю потока массы агрегатов. Диффузией агрегатов, обусловленной градиентом их числовой плотности вдоль канала пренебрегается.

Использование такого упрощения позволяет свести исходную задачу для эллиптического уравнения к уравнению параболического типа [59] (уравнению с меняющимся направлением времени для классического уравнения теплопроводности). Для полученного уравнения требуется задавать граничное условие не на всем горизонтальном сечении канала, а лишь на входе потоков агрегатов вверху и внизу канала. Приближение скорости жидкости кусочно-постоянной функцией позволило получить аналитическое решение.

Поставленная задача обобщена и решена численно для течения жидкости в канале с профилем скорости, вычисленном в § 2.3. Обоб-

щение связано с наличием двух областей входа агрегатов в канал сверху и одной области входа потока агрегатов снизу канала. Численное решение получено при помощи пакета численного анализа 1МБЬ [60]. Найдено выражение для потока массы агрегатов через поперечное сечение канала, приведены результаты расчета зависимости потока от внешних параметров — размера агрегатов, градиента температуры в канале, его длины и ширины.

В § 3.3 решена задача о перераспределении агрегатов во всей экспериментальной установке. Исследовано перераспределение фазы агрегатов в резервуарах с течением времени. Рассмотрен вопрос об оптимальных размерах канала установки, обеспечивающих эффективный обмен агрегатами между нижним и верхним резервуарами. Исследована зависимость интенсивности переноса агрегатов из нисходящего в восходящий поток от длины канала установки. Найдено характерное значение длины канала и показано, что дальнейшее увеличение длины почти не приводит к увеличению переноса агрегатов в канале из потока, двигающегося вниз, в поток, двигающийся вверх. Определена зависимость потока агрегатов вдоль канала (через плоскость, разделяющую потоки агрегатов, двигающиеся в противоположных направлениях) от параметров эксперимента, показывающая, как следует выбирать параметры установки в области, соответствующей устойчивому течению в канале, обеспечивающие увеличение потока агрегатов.

Таким образом в третьей главе диссертации показано, что под

действием термомагнитной силы агрегаты в канале экспериментальной установки могут перераспределяться так, что станет возможным их перенос из нижнего в верхний резервуар. Исследовано влияние особенностей течения магнитной жидкости в экспериментальной установке на интенсивность процесса перераспределения агрегатов между её верхним и нижним резервуарами. Даны рекомендации по выбору оптимальных размеров канала установки, обеспечивающих эффективный перенос агрегатов из нижнего в верхний резервуар.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Лушников, Максим Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулирована и численно решена задача о движении магнитной жидкости в магнитном поле при термогравитационной конвекции в экспериментальной установке, состоящей из двух резервуаров прямоугольного сечения, соединенных узким длинным вертикальным каналом. Для решения нелинейных уравнений конвекции применялся численный метод, основанный на сочетании идей искусственной сжимаемости и установления по времени.

2. Показано, что существуют диапазоны изменения параметров эксперимента: интенсивности нагрева стенок, диаметра агрегатов, размеров канала, величины магнитного поля, в которых возможен перенос агрегатов из нижнего в верхний резервуар.

3. Исследована задача о перераспределении агрегатов в экспериментальной установке под действием силы тяжести, трения со стороны магнитной жидкости, термомагнитной силы и силы, пропорциональной градиенту парциального давления агрегатов.

4. Сформулирована и аналитически решена задача о перераспределении агрегатов в узком вертикальном канале с плоскими стенками с двухслойным плоскопараллельным встречным течением магнитной жидкости в случае приближения профиля скорости несущей магнитной жидкости кусочно-постоянной функцией. Показано, что рассматриваемая задача сводится к неклассическому уравнению параболического типа с меняющимся направлением времени. В случае, когда профиль скорости соответствует течению в канале установки, задача решена численно.

5. С использованием решения задачи о термогравитационном течении магнитной жидкости в экспериментальной установке и решения задачи о перераспределении агрегатов в канале проведено численное моделирование перераспределения агрегатов между верхним и нижним резервуарами. Исследована зависимость переноса агрегатов в канале от внешних параметров эксперимента; даны рекомендации по выбору оптимальных размеров канала установки, обеспечивающих эффективный перенос агрегатов из нижнего в верхний резервуар. Показано, что существует характерное значение длины канала, дальнейшее увеличение которой не приводит к росту под действием термомагнитной силы расхода агрегатов через плоскость, разделяющую потоки агрегатов, движущиеся в противоположных направлениях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лушников, Максим Александрович, 1998 год

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. М.: Наука, 1982. 576 с.

2. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. // Успехи матем. наук. 1960. Т.20. N 5. С. 121 - 180.

3. Седов Л.И. О пондеромоторных силах взаимодействия электромагнитного поля и ускоренно движущегося материального континуума с учётом конечных деформаций. // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 28. Вып. 1. С. 4 - 17.

4. Седов Л.И. Применение базисного вариационного уравнения для построения моделей сплошных сред. // Избранные вопросы современной механики. Ч 1. М.: МГУ, 1981. С. 10 - 64.

5. Гогосов В.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. Гидродинамика намагничивающейся жидкости. // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1981. Т. 16. С. 76 - 208.

6. Neuringer J.L., Rosensweig R. Е. Ferrohydrodynamics. // Phys. Fluids. 1964. V. 7. N 12.

7. Марценюк Ю., Райхер Ю.Л, Шлиомис М.И. К кинетике намагничивания суспензий ферромагнитных частиц. // Ж. экспер. и теорет. физ. 1973. Т. 65. N 8. С. 834 - 841.

8. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. М.: Мир, 1989. 357 с.

9. Гогосов В.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. Гидродинамика дисперсных систем, взаимодействующих с магнитным полем. //

Известия АН СССР. МЖГ. 1977. N 3. С. 59 - 70.

10. Гогосов В.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. Диффузионная и многоскоростная модели двухфазных сред в электрическом поле. // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 2. С. 290 - 301.

11. Гогосов В.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. О конструировании моделей поляризующихся дисперсных многокомпанентных сред. // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 3. С. 489 - 499.

12. Gogosov V.V., Naletova V.A., Shaposhnikova G.A. Hydrodynamics of dispersive magnetizable media including Brown motion. // IEEE Trans. Magn. 1980. V. 16. No 2. P. 301 - 308.

13. Шлиомис M.И. Магнитные жидкости. // Успехи Физических Наук. 1974. Т. 112. Вып. 3, С. 427 - 458.

14. C.F. Heyes Association in a ferromagnetic. //J. Colloid and Interface Sci. 1975. V. 52. P. 239 - 243.

15. D.A. Krueger. Review of agglomeration in ferrofluid. // IEEE Trans. Magn. 1980. V. 16. No 2. P. 251 - 253.

16. P.S. Jordan. Association phenomena in a ferromagnetic colloid. // Mol. Phys. 1973. V. 25, P. 961 - 973.

17. Кирюшин В.В. Структурирование магнитных жидкостей. // ДАН СССР. 1983. Т 272. N 6. С. 1335 - 1339.

18. Дроздова В.И., Скибан Ю.Н., Шагрова Г.В. Исследование структуры разбавленных магнитных жидкостей по светорассеянию. // III Всесоюзное совещание по физике магнитных жидкостей. Ставрополь. 1986. С. 47 - 48.

19. Дроздова В.И., Шагрова Г.В., Черёмушкин A.B. Исследование структуры магнитных жидкостей, содержащих микрокапельные агрегаты. III Всесоюзное совещание по физике магнитных жидкостей. Ставрополь. 1986. С. 49 - 50.

20. Голубятников А.Н., Субханкулов Г.И. О поверхностном натяжении магнитной жидкости. // Магнитная гидродинамика. 1986. N 1. С. 73 - 78.

21. Kamiyama Sh., Oy ama T., Mokuya К. On the flow of a ferromagnetic fluid in a circular pipe. Report 4. Experimental study of the flow in nonuniorm transeverse magnetic field. // Нихон кикай гак-кай ромбунсю. Trans. Jap. Soc. Mech, Eng. 1981. V. B77. No 424. P. 2299 - 2305.

22. Налётов a В. A., Шкелъ Ю.М. Исследование течения магнитной жидкости в трубе с учетом анизотропии жидкости в присутствии магнитного поля. // Магнитная гидродинамика. 1987. N 4. С. 51 - 57.

23. Майоров М.М. Измерение вязкости ферросуспензий в магнитном поле. // Магнитная гидродинамика. 1980. N 4. С. 11 - 18.

24. Кубасов A.A. Разрушение агрегатов сдвиговым течением магнитной жидкости. // Магнитная гидродинамика. 1992. N 4. С. 107 - 109.

25. Гогосов В.В., Мартынов С.И., Цуриков С.Н., Шапошникова Г.А. Распространение ультразвука в магнитной жидкости. I. Учёт агрегирования частиц; вывод и анализ дисперсионного урав-

нения. // Магнитная гидродинамика. 1987. N 2. С. 19 - 27.

26. Гогосов В.В., Мартынов С.И., Цуриков С.Н., Шапошникова Г.А. Распространение ультразвука в магнитной жидкости. II. Анализ экспериментов; определение размера агрегатов. // Магнитная гидродинамика. 1987. N 3. С. 15 - 22.

27. Е.А. Peterson, D.A. Krueger. Reversible, field induceted agglomeration in magnetic colloids. // J. Colloid and Interface Sci. 1977. V. 62. No 1., R 22 - 34.

28. Naletova V.A., Tyatyushkin A.N. Gravitational sedimentation of aggregates of ferromagnetic particles of magnetic fluid in uniform magnetic fields. // J. Magn. Magn. Mat. 1993. V. 122. P. 102 - 105.

29. R.P.A.R. van Kleef, H.W. Myron, P.Wyder, Limits of magnetic floc-culation in colloidal dispersions. // IEEE Trans. Magn. 1983. V. MAG - 19. No 5. P. 2118 - 2120.

30. Лукашевич M.В., Цуриков С.H. Отчет института механики МГУ N 3445. М.: НИИ механики МГУ, 1985. 35 с.

31. Lukashevich M.V., Naletova V.A., Turkov V.A., Nazarenko A. V. A new method of measuring magnetization of a magnetic fluid not affecting its dispersive composition and calculation of volume distribution function. //J. Magn, Magn. Mat. 1993. V. 122. P. 139 - 141.

32. Блум З.Я. О термофорезе частиц в намагничивающихся суспензиях. Магнитная гидродинамика. 1979. N 1. С. 23 - 27.

33. Мирошников В.А. Термофорез ферросуспензий в магнитном поле. // Матер. Всесоюз. симпоз. "Гидродинамика и теплофизика

магнитных жидкостей." 1980. Саласпилс. С. 177 - 182.

34. Налётова В.А., Кирюшин В.В., Тимонин Г.А. Движение частицы в неоднородно нагретой намагничивающейся или поляризующейся жидкости. // Современные проблемы ЭГД. М.: МГУ, 1984. С. 133 - 145.

35. Мартынов С.И., Налётова В.А., Тимонин Г.А. Движение частиц (пузырей) в неоднородно нагретой магнитной жидкости в магнитном поле. Отчет НИИ механики МГУ N 3224. М.: НИИМ МГУ, 1985. 47 с.

36. Налётова В.А., Тимонин Г.А., Шкелъ И.А. О силе, действующей на тело в неоднородно нагретой намагничивающейся жидкости. // Известия АН СССР. МЖГ. 1989. N 2. С. 76 - 83.

37. Blums Е., Kronkals GOzols R. The characteristics of mass transfer process in magnetic fluids. // J. Magn. Magn. Mat. 1983. V. 39. N 1 - 2, P. 142 - 147.

38. Шкелъ И.А. Движение дисперсных намагничивающихся сред в неоднородных магнитных полях. Дис. канд. физ.-мат. наук, УДК 532.529:537.6. М., 1989. 151 с.

39. Lukashevich M.V., Naletova V.A., Tyatyushkin A.N., Tsurikov S. N.. Shkel I. A. Redistribution of ferromagnetic particle concentration in a magnetic fluid. //J. Magn. Magn. Mat. 1990. V. 85. P. 216 - 218.

40. Лукашевич M.В., Шкелъ Ю.М., Яминский И.В. Применение LC-генератора для изучения процессов с малыми изменениями магнитных свойств жидкости. // Магнитная гидродинамика. 1988.

N 3. С. 88 - 90.

41. Лукашевич М.В., Налётова В.А., Цуриков С.Н. Перераспределение концентрации магнитной жидкости в неоднородном магнитном поле. // Магнитная гидродинамика. 1988. N 3. С. 64 - 69.

42. Жаврин Ю.И., Косое Н.Д. и др. Влияние давления на устойчивость диффузии в некоторых трёхкомпонентных газовых смесях. // ЖТФ. 1984. Т. 54. Вып. 5. С. 943 - 947.

43. Жаврин Ю.И., Косое В.Н., Селезнев В.Д. Эффект разделения компонентов при изотермическом смешении тройных газовых систем в условиях свободной конвекции. // ЖТФ. 1997. Т. 67. N 10. С. 139 - 140.

44. Жаврин Ю.И., Косое В.Н., Селезнев В.Д. Инверсия градиента плотности и диффузионный "затвор" при изотермическом смешении газов. // ЖТФ. 1998. Т. 68. N 5. С. 14 - 17.

45. Матвеенко В.Н., Волчкова И.И., Левачёв С.М. Микроскопический анализ дисперсных систем с использованием цифровой обработки видеоизображения объекта программным комплексом "Gallery". Методическая разработка к специализированному практикуму по коллоидной химии. М.: МГУ, 1986. 22 с.

46. Влум З.Я., Майоров М.М., Цеберс Р.Я. Магнитные жидкости. Рига: Зинантне, 1989. 354 с.

47. R. Gerber, М. Takayasu, F.J. Friedlaender, Generalization of HGMS theory: the capture of ulta-fine particles. // IEEE Trans. Magn. 1983. V.MAG - 19. No 5. P. 2115 - 2117.

48. M.R. Parker, R.P.A.R. van Kleef, H.W. Myron, P.Wyder. Kinetis of magnetic flocullation in colloidal dispersions. // J. Colloid and Interface Sei. 1983. V. 101. No 2. P. 314 - 320.

49. Блум Э.Я., Римша А.Я., Чухов А.Ю. Конвекция и массоперенос. при высоко градиентной магнитной сепарации коллоидных частиц. // Магнитная гидродинамика. 1987. N 2. С. 28 - 40.

50. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972. С. 300 - 305.

51. Кобельков P.M. Решение задачи о стационарной свободной конвекции. // ДАН СССР 1980, Т. 225, С. 277 - 282.

52. Аристов П.П., Чижонков Е.В. О некоторых конечно-разностных аппроксимациях задачи Стокса. // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. N 3, С. 573 - 580.

53. Чижонков Е.В. О сходимости одного алгоритма для решения задачи Стокса. // Вестник МГУ. Выч. матем. и киберн. 1995. N 2. С. 12 - 17.

54. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевских циклических итерационных методах. // ЖВМ и МФ. 1971. Т. 11. N 2. С. 425 - 438.

55. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решений сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

56. Шлиомис М.И. Конвективная неустойчивость феррожидкости. // Известия АН СССР. МЖГ. 1973. N 6. С. 130 - 135.

57. Боришанский А.И., Кутателадзе С.С. Справочник по теплопере-

даче. М.: Госэнергоиздат. 1959. 150 с.

58. Лыков А.В. Тепломассообмен (Справочник). М.: Энергия, 1971. 560 с.

59. Терсенов С.А. Первая краевая задача для уравнения параболического типа с меняющимся направлением времени. Препринт инст. матем. СО АН СССР. Новосибирск, 1978. 54 с.

60. Зарубежные библиотеки и пакеты программ по вычислительной математике. / Под ред. У. Кауэлла. М.: Наука, 1993. 218 с.

61. Osiptsov A.N. Mathematical modeling of dusty-gas boundary lays. // Appl. Mech. Rev. 1997. V. 50. No 6. P. 357 - 370.

62. Rubinov S.I., Keller J.B. Transverse force on a spinning sphere moving in a viscous fluid. //J. Fluid Mech. 1961. V. 11. P. 447 - 458.

63. Нигматулин P.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. Т 2. 359 с.

64. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 122 с.

65. Шкадов В.Я., Запрлнов З.Д. Течения вязкой жидкости. М.: МГУ, 1984. 200 с.

66. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 412 с.

67. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Чижонков Е.В. Эффективные методы решения уравнений Навье-Стокса. Численное моделирование в аэрогидродинамике. М.: Наука, 1986. С. 37 - 45.

68. Кобельков P.M. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление. // Вычислительные

процессы и системы. М.: Наука, 1991. Вып. 8. С. 204 - 236.

69. Кураев Г.Н. Задача о стационарной свободной конвекции при нелинейных граничных условиях. // ЖВМ и МФ. 1978. Т 18. N 3. С. 784 - 789.

70. Лебедев В.И. Метод сеток для уравнений типа Соболева. // Доклады АН СССР. 1956. Т. 114. N 6. С. 1166 - 1169.

71. Н.К. Moffatt. Viscous eddies near a sharp coner. // Arc. Mech. Stosowaney. 1964. С 365 - 372.

72. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.

73. H.H. Калиткин. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.