Исследование 𝑘-дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Шарафутдинова Анна Михайловна

• Шарафутдинова Анна Михайловна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Шарафутдинова Анна Михайловна

Введение

Глава 1 Необходимые теоретические сведения. Обзор известных

результатов

1.1 Основные понятия теории конечных проективных плоскостей

1.2 Описание плоскости над левым почти-полем порядка

1.3 Описание плоскости над правым почти-полем порядка

1.4 Правила перехода от плоскости над левым почти-полем порядка 9 к плоскости над правым почти-полем порядка

Глава 2 Основные методы исследования

2.1 Сведение задачи исследования &-дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9 к исследованию ^-сторонников в двойственной плоскости

2.2 Метод поэтапных отождествлений для исследования ^-сторонников

в плоскости над левым почти-полем порядка

Глава 3 Исследование ^-сторонников в плоскости над левым по-чти-полем порядка

3.1 Результаты исследования ^-сторонников для к = 1, 2,3

3.2 Исследование четырехсторонников

3.3 Исследование ^-сторонников для к = 5,6,...,

Глава 4 Исследование &-дуг в плоскости над правым почти-полем порядка

4.1 Исследование 4-дуг

4.2 Результаты исследования &-дуг для к = 5,6,... ,

Заключение

Литература

Приложение А. Список прямых плоскостей над левым почти-полем порядка 9 и над правым почти-полем порядка

Приложение Б. Поиск опорных ^-сторонников и исключение ^-сторонников, изоморфных опорным (для к = 4)

Приложение В. Поиск опорных ^-сторонников и исключение ^-сторонников, изоморфных опорным (для к = 5)

Приложение Г. Поиск опорных ^-сторонников и исключение ^-сторонников, изоморфных опорным (для к = 6)

Приложение Д. Поиск опорных ^-сторонников и исключение ^-сторонников, изоморфных опорным (для к = 7)

Приложение Е. Поиск опорных ^-сторонников и исключение ^-сторонников, изоморфных опорным (для к = 8)

Приложение Ж. Поиск опорных ^-сторонников и исключение ^-сторонников, изоморфных опорным (для к = 9)

Приложение З. Поиск опорных ^-сторонников и исключение ^-сторонников, изоморфных опорным (для к = 10)

Приложение И. Сведения об опорных &-дугах плоскости над правым почти-полем порядка 9 (для к = 4, 5,..., 10)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование 𝑘-дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9»

Введение

Актуальность темы исследования. Теория конечных проективных плоскостей (КПП) активно развивается и в настоящее время. Регулярно, в особенности за рубежом, выходят статьи, посвященные различным исследованиям в области КПП [5, 24, 26, 28]. Среди работ, касающихся теории КПП и опубликованных на русском языке, можно выделить, в частности, следующие книги [7, 11, 19].

Теория КПП находится на стыке проективной геометрии, алгебры (а именно, теории конечных групп, конечных полей и почти-полей) и комбинаторного анализа. Первые три аксиомы в определении КПП полностью совпадают с аксиомами принадлежности классической проективной плоскости. С другой стороны, можно говорить и об обратном влиянии теории КПП на проективную геометрию. В проективной плоскости справедлива теорема Дезарга, для доказательства независимости этой теоремы от аксиом принадлежности классической проективной плоскости необходимо построить модель, в которой будут выполняться аксиомы принадлежности, но не будет выполняться теорема Дезарга. Такой моделью служит недезаргова КПП, например, плоскость над правым почти-полем порядка 9. В построении некоторых недезарговых КПП конкретного порядка применяются элементы теории конечных почти-полей.

Важным вопросом в исследовании конкретной конечной проективной плоскости (КПП) является изучение дуг в данной плоскости. В исследовании k-дуг КПП конкретного порядка используются элементы теории конечных групп. В рамках диссертационного исследования применение комбинаторного анализа связано с использованием метода поэтапных отождествлений при исследовании ^-сторонников и &-дуг КПП.

Полное исследование &-дуг проведено в трех из четырех известных конечных проективных плоскостях порядка 9: в плоскости над левым почти-полем

и дезарговой плоскости — в работах Ю. Н. Зверевой [9, 10] (1972-1976), в плоскости Хьюза — в работе В.И. Василькова и его ученика Г.В. Масленникова [2] (1995).

Проблема исследования &-дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9 осложняется отсутствием необходимых сведений о группе коллинеаций данной плоскости, в отличие от остальных недезарговых КПП, для которых группы коллинеаций были изучены ранее: J. Andre [20] (1955) — для плоскости над левым почти-полем, G. Zappa [30] (1957) — для плоскости Хьюза. Поэтому актуальна задача разработки метода исследования &-дуг в плоскости над правым почти-полем без использования группы коллинеаций указанной плоскости. Именно такой метод, основанный на двойственности плоскости над правым почти-полем и плоскости над левым почти-полем, описывается и реализуется в настоящей диссертации. С помощью этого метода и достигнута основная цель работы.

Степень разработанности темы. Имеются четыре конечные проективные плоскости порядка 9: дезаргова, Хьюза, плоскость над левым почти-полем и плоскость над правым почти-полем. Исследованием &-дуг в плоскостях над левым почти-полем и Хьюза занимались зарубежные математики G. Menichetti (1966) и R.H.T. Denniston (1971). G. Menichetti [27] (1966) получил отдельные примеры полных &-дуг в плоскости над левым почти-полем для к = 7,8,9,10. R.H.T. Denniston опубликовал статью [25] (1971), в которой исследовал полные дуги в указанных плоскостях для к = 6,9,10.

Полное исследование дуг в плоскости над левым почти-полем и притом единым методом, методом поэтапных отождествлений, созданным проф. Е.Г. Гониным [6] (1968), провела Ю.Н. Зверева [9] (1972).

Тем же методом Ю.Н. Зверева выполнила и полное исследование &-дуг в дезарговой плоскости [10] (1976). Полное исследование &-дуг в плоскости Хьюза

методом поэтапных отождествлений с применением ЭВМ выполнили В.И. Васильков и Г.В. Масленников [2](1995).

Подробное описание самого исследования и результатов исследования &-дуг при к = 1, 2,3,..., 10 в плоскостях: дезарговой, над левым почти-полем и хью-зовой проведено в книге В.И. Василькова, Ю.Н. Зверевой и Г.В. Масленникова [4] (2005).

Аналогичная задача для четвертой плоскости, плоскости над правым почти-полем, до настоящего времени оставалась нерешенной. В настоящей диссертации восполняется этот пробел в теории конечных проективных плоскостей.

Цели и задачи работы. Цель работы — получить, с точностью до изоморфизма, используя единый метод исследования, полный список опорных &-дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9 для к = 4, 5,..., 10. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1) провести полное исследование ^-сторонников в плоскости над левым почти-полем порядка 9, двойственной плоскости над правым почти-полем порядка 9;

2) осуществив с помощью конкретного отображения переход от плоскости над левым почти-полем порядка 9 к двойственной плоскости (плоскости над правым почти-полем порядка 9), получить необходимые сведения о &-дугах этой плоскости.

Научная новизна. В работе впервые единым методом, методом поэтапных отождествлений, проведено полное исследование ^-сторонников в плоскости над левым почти-полем порядка 9. В результате найден, с точностью до изоморфизма, полный список опорных ^-сторонников в плоскости над левым почти-полем порядка 9 для к = 4, 5,..., 10.

С помощью конкретного отображения, описанного в диссертации В.И. Василькова [1] (1995), удалось перейти от плоскости над левым почти-полем к двойственной ей плоскости над правым почти-полем и найти, с точностью до

изоморфизма, полный список опорных &-дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9 для к = 4, 5,..., 10. Для каждой опорной &-дуги найден порядок группы автоморфизмов и общее число &-дуг, изоморфных опорной.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты, описанные в настоящей диссертационной работе, полностью решают проблему исследования &-дуг в известных КПП порядка 9, тем самым, безусловно, обогащая теорию конечных проективных плоскостей. Практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанного метода исследования для изучения дуг в плоскостях над правым почти-полем более высоких порядков.

Методология и методы исследования. Метод исследования &-дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9 основан на двойственности указанной плоскости и плоскости над левым почти-полем. На первом этапе исследования изучаются, с точностью до изоморфизма, опорные ^-сторонники в плоскости над левым почти-полем порядка 9. Для этого используется метод поэтапных отождествлений, но применяемый к наборам прямых. Алгоритм поиска множества допустимых прямых для каждого опорного ^-сторонника реализован с помощью системы GAP (Groups, Algorithms, Programming).

Двойственность рассматриваемых плоскостей позволяет с помощью конкретного отображения осуществить переход от плоскости над левым почти-полем к плоскости над правым почти-полем, тем самым достичь цели исследования.

Результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Получен, с точностью до изоморфизма, полный список опорных ^-сторонников в плоскости над левым почти-полем порядка 9 для к = 4, 5,... , 10. Кроме того, для каждого опорного ^-сторонника найдена группа автоморфизмов (ее порядок и образующие элементы), а также определено общее число ^-сторонников, изоморфных опорному.

2. Получен, с точностью до изоморфизма, полный список опорных &-дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9 для к = 4, 5,..., 10. Кроме того, для каждой опорной &-дуги найден порядок группы автоморфизмов, а также определено общее число &-дуг, изоморфных опорной.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались, в частности, на следующих конференциях и семинарах: на Международной научно-практической конференции «Современная наука: теоретический и практический взгляд» (Уфа, 2013 г.); на III Международной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Математика и ее приложения в современной науке и практике» (Курск, 2013); на научном семинаре отдела алгебры Института математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук (Екатеринбург, декабрь 2013); на Научно-практической конференции студентов и аспирантов с международным участием «Математика и ее приложения в современной науке и практике» (Курск, 2014).

Публикации Основные результаты работы изложены в 8 публикациях, в числе которых 2 статьи в рецензируемых журналах [17, 29], 4 статьи в сборниках трудов научных конференций [12, 14, 15, 18] и 2 — в других периодических изданиях [13, 16].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии и приложений А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. Общий объем диссертации 406 страниц, 329 из которых занимают приложения.

Глава 1

Необходимые теоретические сведения. Обзор

известных результатов

1.1 Основные понятия теории конечных проективных плоскостей

В этом параграфе мы коснемся лишь некоторых аспектов теории конечных проективных плоскостей, используемых в данной диссертации.

Определение 1.1. Инцидентностной структурой (ИС) называется пара непересекающихся множеств Р и Ь с отношением I, которое связывает некоторые элементы из Р с некоторыми элементами из Ь. Элементы множества Р назовем точками, а элементы множества Ь - прямыми.

Определение 1.2. ИС (Р,Ь; I) называется проективной плоскостью, если выполняются следующие аксиомы.

А1. Для любых двух различных точек существует единственная инцидентная им прямая.

А2. Для любых двух различных прямых существует единственная инцидентная им точка.

А3. Существует хотя бы четыре точки, любые три из которых не инцидентны одной прямой.

Определение 1.3. Проективная плоскость называется конечной (КПП), если множество ее точек (прямых) является конечным.

Определение 1.4. Говорят, что КПП имеет порядок п (п > 1), если выполняется еще одна аксиома.

Л4. Некоторой прямой проективной плоскости инцидентны точно п + 1 точек.

Определение 1.5. к-сторонником в КПП называется множество, состоящее из к прямых этой плоскости, никакие три из которых не проходят через одну точку.

Определение 1.6. к-сторонник называется полным, если он не является собственной частью к + 1-сторонника; в противном случае, к-сторонник называется неполным.

Как уже было сказано во введении, изучение дуг является одним из важных аспектов исследования конечной проективной плоскости.

Определение 1.7. Дугой в КПП называется произвольное множество точек этой КПП, любые три из которых не лежат на одной прямой.

Определение 1.8. Дуга, состоящая из к точек, называется к-дугой.

Определение 1.9. Дуга называется полной, если она не является собственной частью другой дуги; в противном случае, дуга называется неполной.

1.2 Описание плоскости над левым почти-полем порядка 9

1.2.1 Левое почти-поле порядка 9

В параграфах 1.2, 1.3, 1.4 приведем обзор известных результатов из теории конечных проективных плоскостей. Эти результаты необходимы для проведения исследований, описанных в главах 3, 4 данной диссертации. Опишем (в соответствии с работами [1, 3, 4, 20]) построение плоскости над почти-полем Р порядка 9 с левым дистрибутивным законом (далее левое почти-поле).

В работах [1, 3] В.И. Василькова подробно описан способ построения левого почти-поля Р порядка 9. Сначала поле порядка 3 СР(3) расширяем до поля порядка 9 СР(9), используя при этом многочлен / (х) = х2 + 1, неприводимый над полем СР(3). Рассмотрим множество И следующего вида:

В = {а + ЬЦа, Ь е СР(3), г2 + 1 = 0} = {0,1, 2,1,1 + 1, г + 2, 2г, 2г + 1, 2г + 2} .

(1.1)

Элементы множества К = СР(3) = {0,1, 2} назовем действительными, а элементы множества И \ К = {г, г + 1, г + 2, 2г, 2г + 1, 2г + 2} - мнимыми. Сложение и умножение в СР(9) будем производить по правилам действий над многочленами, с заменой г2 на 2. Приведем далее таблицы сложения ТС и умножения ТУ в поле СР(9), где для упрощения записи введены следующие обозначения элементов поля СР(9):

0,1, 2,3 = 1,4 = г + 1, 5 = г + 2,6 = 2г, 7 = 2г + 1,8 = 2г + 2. (1.2)

ТС в поле СР(9)

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 0 4 5 3 7 8 6

2 2 0 1 5 3 4 8 6 7

3 3 4 5 6 7 8 0 1 2

4 4 5 3 7 8 6 1 2 0

5 5 3 4 8 6 7 2 0 1

6 6 7 8 0 1 2 3 4 5

7 7 8 6 1 2 0 4 5 3

8 8 6 7 2 0 1 5 3 4

ТУ в поле СР(9)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 0 2 1 6 8 7 3 5 4

3 0 3 6 2 5 8 1 4 7

4 0 4 8 5 6 1 7 2 3

5 0 5 7 8 1 3 4 6 2

6 0 6 3 1 7 4 2 8 5

7 0 7 5 4 2 6 8 3 1

8 0 8 4 7 3 2 5 1 6

Легко проверить, что множество СР(9) = (И, +, •) является полем порядка 9, так как операции сложения и умножения удовлетворяют всем аксиомам поля. Левое почти-поле Р порядка 9 состоит из тех же элементов, что и поле СР(9), то есть ^ = (Д +, 0), где В = {а + Ы\а,Ъ е СР(3),г2 + 1 = 0}, + и 0 -обозначения операций сложения и умножения в Р соответственно. При этом сложение в Р производится по тем же правилам, что и в поле СР(9). Умножение в Р производится по правилу умножения многочленов с использованием левого дистрибутивного закона, ассоциативности, равенства (а + Ы) 0 с = (а + Ы)с для а,Ь,с е СР(3), а также следующего правила, заменяющего правый дистрибутивный закон:

(а + Ы) 0 % = (а + Ы)г = —Ь + аг, для а = 0 или Ь = 0, (а + Ы) 0 % = —(а + Ы)г = Ь — аг, для а = 0 и Ь = 0.

Далее всюду умножение в Р будем обозначать обычным образом. С учетом указанных правил приведем таблицы сложения ТС (совпадает с ТС в поле СР(9)) и умножения ТУ в левом почти-поле Р на языке сокращенных обозначений 1.2 элементов Р:

ТС в почти-поле Р

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 0 4 5 3 7 8 6

2 2 0 1 5 3 4 8 6 7

3 3 4 5 6 7 8 0 1 2

4 4 5 3 7 8 6 1 2 0

5 5 3 4 8 6 7 2 0 1

6 6 7 8 0 1 2 3 4 5

7 7 8 6 1 2 0 4 5 3

8 8 6 7 2 0 1 5 3 4

ТУ в почти-поле Р

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 0 2 1 6 8 7 3 5 4

3 0 3 6 2 5 8 1 4 7

4 0 4 8 7 2 3 5 6 1

5 0 5 7 4 6 2 8 1 3

6 0 6 3 1 7 4 2 8 5

7 0 7 5 8 3 1 4 2 6

8 0 8 4 5 1 6 7 3 2

1.2.2 Построение плоскости над левым почти-полем порядка 9

Способ построения плоскости над левым почти-полем порядка 9 подробно описан в работах [3, 4] В.И. Василькова. В предыдущем параграфе мы определили множество Р = {а + Ьг|а, Ь е СР(3), г2 + 1 = 0} элементов левого почти-поля Р. Расширим множество Р, добавив к нему элемент то. Введем обозначение Р* = Р и то. Определим множества точек и прямых плоскости над левым почти-полем порядка 9 следующим образом.

1. Полагаем, что множество Р точек указанной плоскости есть Р = Р\ и Р2, где Р\ = {(х,у)1х,у е Р}, Р2 = {('ш)1,ш е Р*}. Точки из множества Р\ назовем собственными точками, всего их - 92 = 81. Точки из множества Р2 назовем несобственными точками, всего их - 9+1 = 10. Таким образом, множество Р содержит 91 точку, как и должно быть в КПП порядка 9.

2. Полагаем, что множество Р прямых указанной плоскости есть Р = Р\иР2, где Р\ = {[к,т\1к,т е Р}, Р2 = {[с]|с е Р*}. Прямую [с] при с = то назовем несобственной прямой, а остальные 92 + 9 = 90 прямых назовем собственными прямыми. Таким образом, множество Р содержит 91 прямую, как и должно быть в КПП порядка 9.

Зададим отношение инцидентности I точки и прямой следующими условиями, обозначая при этом отношение инцидентности обычным образом (знаком «е»):

1. (х, у) е [к,т] ^ у = кх + т;

2. (х,у) е [с] ^ х = с (отсюда (х,у) е [то]);

3. (-м) е [к,т] ^ п) = к (поэтому (то) е [к,ш]);

4. (п)) е [с] ^ п) = то или с = то.

Используя эти условия, получим список всех 91 прямых плоскости над левым почти-полем с указанием всех точек на каждой из них. Этот список приведен в таблице А.1 приложения А, в которой принята следующая система сокращенных обозначений точек и прямых:

• точка (х,у), прямая [к,т] обозначены символами «ху», «кт» соответственно, где «ху», «кт» - запись двузначного числа в девятиричной системе счисления при х,к = 0, а при х = к = 0 - возможная запись однозначного числа в той же системе;

• точка (w), прямая [с] обозначены символами «w», «с» соответственно.

Именно такую систему обозначений точек и прямых плоскости над левым почти-полем порядка 9 будем использовать в главах 3 и 4.

1.2.3 Группа коллинеаций плоскости над левым почти-полем порядка 9

Группа G коллинеаций плоскости над левым почти-полем порядка 9 подробно описана в статье [20] J. Andre , а также в работах [1, 3, 4] В.И. Василь-кова. Перечислим подгруппы группы G, а также укажем правила действия основных коллинеаций на точки и прямые рассматриваемой плоскости (используя при этом исходные обозначения точек и прямых).

1. Трансляции ta,b образуют подгруппу Gt порядка 81:

ta,b : (х,у) ^ (х + а,у + b);

[к, т] ^ [к,Ь — ка + т];

[с] ^ [с + а];

Н ^ Н;

(то) ^ (то);

[то] ^ [то],

где а,Ь,с,к,т, х,у,-и) е В. Отметим, что умножение трансляций производится по следующим правилам:

= ta,oto,b = ¿0,6^,0; ^1,0^2,0 = ^а1+а2,0; ^0,61^0,62 = ¿0,61+62.

Учитывая, что рассматриваемая плоскость над левым почти-полем порядка 9 содержит полную подгруппу трансляций порядка 81, в дальнейшем эту плоскость будем называть и плоскостью трансляций порядка 9. Указанную плоскость будем кратко обозначать РТ.

2. Растяжения кр,д образуют подгруппу Си порядка 64:

: (х,У) ^ (РХ,(1У);; [к,т] ^ [дкр—1,дт]; [с] ^ [рс];

^ (^р-1)^ е В' = В \ {0} ;

(■м) ^ (п)),п) = {0, то} ; [то] ^ [то],

где р,д е В', с,к,т,х,у е В. Умножение растяжений производится по следующим правилам:

4142-

3. Коллинеация V порождает подгруппу порядка 8. Известно действие коллинеации V на собственные точки плоскости трансляций:

V : (х,у) ^ (х — у,х + у).

Действие коллинеации V на несобственные точки плоскости можно описать подстановкой (01то2). Учитывая действие коллинеации V на точки, получим, что на прямые V действует следующим образом:

V : [0,т] ^ [1, 2т] ^ [т] ^ [—1, 2т] ^ [0, 2т] ^ [1,т] ^ [2т] ^ [2,т];

V : [к, 1] ^ [к,к+1] ^ [к, 2к] ^ [к, 2^+1] ^ [к, 2] ^ [к, 2к+2] ^ [к, к] ^ [^+2];

V : [к, 0] ^ [к, 0],

при к е В \ К.

4. Коллинеации, порождаемые автоморфизмами й3, й4, йб, й+, 8—, е левого почти-поля Г, образуют подгруппу С3 порядка 6:

« : (х,У) ^ (8(х),8(у)); [к, т] ^ [я(к), в(т)};

[с] ^ [в(с)]; (то) ^ (то);

[то] ^ [то],

где с,к,т,х,у,п) е И. Укажем действие нетождественных автоморфизмов на элементы левого почти поля Г:

йз : (36)(47)(58),54 : (37)(48)(56), йБ : (38)(46)(57), 5+ : (345)(687), й- : (354)(678).

Автоморфизмы третьего порядка получаются умножением двух ав-

томорфизмов второго порядка:

= ^+1 = ^+1 • Кроме того, справедливы следующие соотношения:

5+5^+1 = , = 5^+1, 8—82 = +1, = •

5. Инволютивная коллинеация t образует подгруппу порядка 2:

t : (>,у) ^ (у,х);

[к, т] ^ [к , —к т]; [0,т] ^ [т]; [с] ^ [с-1]; (0) о (то);

[то] ^ [то],

где с, к G D', т,х,у G D.

В статье [20] J. Andre приведена теорема, в которой утверждается, что каждую коллинеацию группы G можно однозначно представить в виде одного из следующих произведений:

hp,qvhi,rsta,b, hp,qsta,b, или thp,qsta,b, где p,q,r G D', a,b G D, s G Gs. Исходя из этого, порядок группы G можно подсчитать следующим образом:

|G| = 83 • 6 • 81 + 82 • 6 • 81 + 82 • 6 • 81 = 311040.

Укажем правила умножения коллинеаций:

thp,q hq,pt; hp,qta,b tpa,qb hp,q;

tta,b tb,at;

$hp,q h

s(p),s(q)s,

st = ts;

sv = vs;

Vta,b = ta—b,a+bV;

vK-pV h—pp;

vt = hi^V;

^hp,p hp,pV; tv = vh\,i;

vhp,qv = hp,qvh1+q-ip,i+p-iqspq,где p G D \ К или q G D \ К, q = p,p—1; h\,iD2 = v2hi,i = t; vh±i,qv = h±i,qvhiTq,i±qsq; vhp,±iv = hp,±ivhi±p,iTpSp; vhp^qv = hp,qvhi+pq,i+qpSpq,где p,q G D \ К, q = p,p—1.

1.3 Описание плоскости над правым почти-полем порядка 9

1.3.1 Правое почти-поле порядка 9

Плоскость, двойственная плоскости РТ, может быть построена над правым почти-полем Р' порядка 9 с правым дистрибутивным законом (Ь + с)а = Ьа + са (см. [1, 3]). Правое почти-поле Р' антиизоморфно левому почти-полю Р, над которым строится плоскость РТ.

Определение 1.10. Отображение : Р ^ Р' называется антиизоморфизмом почти-полей Р и Р', если:

1. является изоморфизмом аддитивной группы почти-поля Р на аддитивную группу почти-поля Р': <р(х + у) = <р(х) + <р(у),Ух,у е Р;

2. р(х • у) = р(у) • ^(х).

Согласно определению 1.10:

• множество элементов правого почти-поля Р' совпадает с множеством И (1.1) элементов левого почти-поля Р;

• таблица сложения в Р' совпадает с таблицей сложения в Р;

• таблица умножения в Р' симметрична таблице умножения в Р относительно главной диагонали.

С учетом вышесказанного приведем таблицы сложения ТС и умножения ТУ в правом почти-поле Р' (используем при этом сокращенные обозначения элементов Р' 1.2):

ТС в почти-поле Р'

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 0 4 5 3 7 8 6

2 2 0 1 5 3 4 8 6 7

3 3 4 5 6 7 8 0 1 2

4 4 5 3 7 8 6 1 2 0

5 5 3 4 8 6 7 2 0 1

6 6 7 8 0 1 2 3 4 5

7 7 8 6 1 2 0 4 5 3

8 8 6 7 2 0 1 5 3 4

ТУ в почти-поле Р'

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 0 2 1 6 8 7 3 5 4

3 0 3 6 2 7 4 1 8 5

4 0 4 8 5 2 6 7 3 1

5 0 5 7 8 3 2 4 1 6

6 0 6 3 1 5 8 2 4 7

7 0 7 5 4 6 1 8 2 3

8 0 8 4 7 1 3 5 6 2

1.3.2 Построение плоскости над правым почти-полем порядка 9

В параграфе 1.2.2 мы описали способ построения плоскости трансляций над левым почти-полем Р. Плоскость над правым почти-полем Р' строится аналогичным образом. Зададим множества точек и множества прямых рассматриваемой плоскости.

1. Полагаем, что множество Р точек указанной плоскости есть Р = Р\ и Р2, где Р\ = {(х,у)1х,у Е Р}, Р2 = {(■м)^ Е Р*}. Точки из множества Р\ назовем собственными точками, всего их - 92 = 81. Точки из множества Р2 назовем несобственными точками, всего их - 9+1 = 10. Таким образом, множество Р содержит 91 точку, как и должно быть в КПП порядка 9.

2. Полагаем, что множество Ь прямых указанной плоскости есть Ь = Р\иЬ2, где Ь\ = {[к,т\1к,т Е Р}, Р2 = {[с]|с Е Р*}. Прямую [с] при с = то назовем несобственной прямой, а остальные 92 + 9 = 90 прямых назовем собственными прямыми. Таким образом, множество Р содержит 91 прямую, как и должно быть в КПП порядка 9.

Перечислим условия, определяющие инцидентность точки и прямой, обозначая при этом отношение инцидентности обычным образом (знаком «Е»):

1. (х, у) Е [к,т] ^ у = кх + т;

2. (х,у) Е [с] ^ х = с (отсюда (х,у) Е [то]);

3. (-м) Е [к,т] ^ п) = к (поэтому (то) Е [^,т\У;

4. (п)) Е [с] ^ п) = то или с = то.

Используя эти условия, получим список всех 91 прямых плоскости РБ с указанием всех точек на каждой из них. Этот список приведен в таблице А.2 приложения А, в которой принята следующая система сокращенных обозначений точек и прямых:

• точка (х,у), прямая [к,т] обозначены символами «ху», «кт» соответственно, где «ху», «кт» - запись двузначного числа в девятиричной системе счисления при х, к = 0, а при х = к = 0 - возможная запись однозначного числа в той же системе;

• точка ('и)), прямая [с] обозначены символами <ш», «с» соответственно.

Далее построенную плоскость над правым почти-полем порядка 9 будем называть и плоскостью сдвигов и кратко обозначать РБ.

1.4 Правила перехода от плоскости над левым

почти-полем порядка 9 к плоскости над правым почти-полем порядка 9

Двойственность рассматриваемых плоскостей дает возможность, используя результаты исследований в плоскости трансляций, получить необходимые

результаты в плоскости сдвигов. Для этого используются так называемые правила перехода от РТ к РБ, подробно описанные в диссертации [1] В.И. Василь-кова.

Согласно отношению инцидентности точки и прямой в плоскости РТ (см. раздел 1.2.2) имеем:

(х, у) Е [к,т] ^ у = кх + т.

Уравнение собственной прямой в РТ имеет вид:

у = кх + т. (1.3)

Если плоскость РБ построить над тем же левым почти-полем Г, что и плоскость РТ, то получим:

(х', у') Е [к', т'} ^ у' = х'к' + т'. При этом уравнение собственной прямой в РБ примет вид:

у' = х'к' + т'. (1.4)

Из 1.3 выразим т:

т = —кх + у. (1.5)

Поскольку, с учетом двойственности плоскостей РТ и РБ, прямая (точка) плоскости РТ преобразуется в точку (прямую) плоскости РБ с сохранением при этом отношения инцидентности между ними, введем в 1.5 следующие обозначения:

к = х'; т = у'; —х = к'; у = т'. (1.6)

С учетом новых обозначений 1.6 из условия 1.5 получаем условие 1.4. Таким образом, используя 1.6, получим правила перехода от плоскости РТ к плоскости

PS:

[к, m] ^ (к, m) ; [с] ^ (-с) ;

M ^ (œ) ;

где с, к, m, x,y,w G D.

(х,у) ^ [-х,у] ; (w) ^ [w] ; (œ) ^ [то] ,

Глава 2

Основные методы исследования

2.1 Сведение задачи исследования к -дуг в плоскости над правым почти-полем порядка 9 к исследованию

7 и и _

^-сторонников в двойственной плоскости

В работе В.И. Василькова, Ю.Н. Зверевой и Г.В. Масленникова [4] подробно описано полное исследование, с точностью до изоморфизма, &-дуг для к = 1, 2, 3, . . . , 10 в трех КПП порядка 9: дезарговой, трансляций и Хьюза. Во всех указанных плоскостях исследование дуг проводится единым методом, методом поэтапных отождествлений (МПО). Согласно МПО на каждом этапе исследования необходимо проводить полное отождествление найденных &-дуг, используя при этом группу коллинеаций исследуемой КПП. Поскольку группа коллинеаций плоскости сдвигов порядка 9 не изучена до настоящего времени, применение МПО для исследования дуг в этой КПП невозможно.

Таким образом, возникает необходимость разработки нового метода, не использующего группу коллинеаций плоскости сдвигов. Такой метод найден и описывается в настоящей диссертационной работе.

Известно [3], что плоскость сдвигов порядка 9 двойственна плоскости трансляций порядка 9, для которой группа коллинеаций полностью изучена [1, 3, 20]. Поэтому основную цель настоящей диссертационной работы, а именно исследование &-дуг в плоскости сдвигов порядка 9, можно свести к иследованию ^-сторонников в плоскости трансляций порядка 9. В таком случае исследование проводится в два этапа.

1. Сначала необходимо изучить, с точностью до изоморфизма, ^-сторонники (наборы из к прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку)

плоскости трансляций. На этом этапе исследование проводится методом поэтапных отождествлений применительно к наборам прямых. Суть этого метода будет подробно изложена в параграфе 2.2.

2. Затем, благодаря возможности перехода от плоскости трансляций к двойственной плоскости сдвигов путем конкретного отображения (см. параграф 1.7), получить необходимые результаты о дугах плоскости сдвигов.

2.2 Метод поэтапных отождествлений для исследования ^-сторонников в плоскости над левым почти-полем порядка 9

Метод поэтапных отождествлений (МПО), разработанный проф. Е.Г. Го-ниным, подробно описан в работах [6, 8]. Описание МПО для исследования дуг в конечной проективной плоскости приведено в работе [4]. Указанный метод применим и для исследования ^-сторонников в плоскости трансляций.

Будем рассматривать ^-сторонники в порядке возрастания числа прямых, входящих в состав ^-сторонника, т.е. числа к. Для общности рассуждений наборы прямых из одной, двух прямых будем также называть ^-сторонниками. Сначала рассматриваем 1-сторонники, далее 2-сторонники и т.д.

Определение 2.1. Назовем к-сторонники изоморфными (эквивалентными), если найдется коллинеация, переводящая один к-сторонник в другой.

Относительно группы С всех коллинеаций плоскости трансляций множество всех ^-сторонников разбивается на классы эквивалентности (орбиты). При этом в один класс попадают изоморфные ^-сторонники. Поэтому для каждого значения к из каждого класса эквивалентности выбираем представитель, который назовем опорным к-сторонником. Опорный ^-сторонник с номером г,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шарафутдинова Анна Михайловна, 2016 год

Литература

1. Васильков, В.И. О строении проетивных плоскостей порядка 9: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Васильков Вадим Иванович. — Екатеринбург, 1995. — 189 с.

2. Васильков, В. И. Исследование к-дуг в плоскости Хьюза порядка 9 с помощью ЭВМ/ В. И. Васильков, Г. В. Масленников. — Труды ИММ УрО РАН, 1998. — Т. 5. — С. 28-38.

3. Васильков, В. И. Конечные проектиные плоскости малых порядков / В. И. Васильков. — Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. университета, 2003. — 197 с.

4. Васильков, В. И. Опорные дуги и группы их автоморфизмов в проективных плоскостях малых порядков / В. И. Васильков, Ю.Н. Зверева, Г.В. Масленников. — Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. университета, 2005. — 261 с.

5. Воропаев, А. Н. Подсчет -угольников в конечных проективных плоскостях / А. Н. Воропаев // Сибирские электронные математические известия — 2013. Т.10. С. 241-270.

6. Гонин, Е. Г. Метод поэтапных отождествлений / Е. Г. Гонин // Материалы XXIV конф. матем. кафедр пед. институтов Урала. — 1968. Киров. — С. 50-51.

7. Гонин, Е. Г. Конечные проектиные плоскости / Е. Г. Гонин. — Пермь: Изд-во ПГПИ, 1983. — 94 с.

8. Гонин, Е. Г. Метод поэтапных отождествлений / Е. Г. Гонин, Е. Е. Гонина // Известия начно-образовательного центра «Математика» — 2006. №.3. С. 16-38.

9. Зверева, Ю. Н. Дуги в проективной плоскости трансляций порядка 9 / Ю. Н. Зверева // Комбинаторный анализ — 1972. №2. С. 92-102.

10. Зверева, Ю. Н. Дуги в дезарговой проективной плоскости порядка 9 / Ю. Н. Зверева // Ученые записки Пермского пед. института — 1976. Т.152. С. 40-43.

11. Картеси, Ф. Введение в конечные геометрии: Пер. с англ. / Ф. Картеси. — М.: Наука, 1980. — 320 с.

12. Кузнецова, А. М. Исследование А-сторонников в плоскости трансляций порядка 9 для к = 4, 5 / А. М. Кузнецова // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество XXI века» с международным участием. — 2010. Красноярск. — С. 13-14.

13. Шарафутдинова, А. М. Исследование А-сторонников в плоскости трансляций порядка 9 для А = 4, 5, 6 / А. М. Шарафутдинова // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона — 2012. — №14. — С. 185-188.

14. Шарафутдинова, А. М. Шестисторонники в плоскости трансляций порядка 9, содержащие одну особенную прямую / А. М. Шарафутдинова // Сб. научных статей III Международной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Математика и ее приложения в современной науке и практике». — 2013. Курск. — С. 87-90.

15. Шарафутдинова, А. М. Исследование полных -дуг в плоскости сдвигов порядка 9 / А. М. Шарафутдинова // Сб. статей Международной научно-практической конференции «Современная наука: теоретический и практический взгляд». — 2013. Уфа. — С. 22-27.

16. Шарафутдинова, А. М. Исследование А-дуг в плоскости сдвигов порядка 9 для А = 8, 9,10 / А. М. Шарафутдинова // Математический вестник

педвузов и университетов Волго-Вятского региона — 2014. — №16. — С. 123-126.

17. Шарафутдинова, А. М. Полный список полных к-дуг в проективной плоскости порядка 9 над правым почти-полем для к = 8,9,10 / А. М. Шарафутдинова // Вестник ЮУрГУ, серия Математика. Механика. Физика — 2014. — Т.6.— №2. — С. 77-79.

18. Шарафутдинова, А. М. Алгоритм поиска множеств допустимых прямых для к-сторонников плоскости трансляций порядка 9 / А. М. Шарафутдинова // Сб. научных статей Научно-практической конференции студентов и аспирантов с международным участием «Математика и ее приложения в современной науке и практике». — 2014. Курск. — С. 54-57.

19. Ширшов, А. И., Никитин, А. А. Алгебраическая теория проективных плоскостей / А. И. Ширшов, А.А. Никитин. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1987. — 84 с.

20. Andre J. , Projecktive Ebenen über Fastkörpern, Math. Zeitschr. (1955) V. 62(2), 137-160.

21. Bruen A.A., Baer subplanes and blocking sets, Bull. Amer. Math. Soc. (1971) V. 76, 342-344.

22. Bruen A. A., Blocking sets in finite projective planes, Siam J. Appl. Math. (1971) V. 21, 380-392.

23. Bruen A.A., Fisher J.C., Blocking sets and complete arcs, Pacific J. Math. (1974) V. 53(1), 73-84, doi:10.2140/pjm.1974.53.73.

24. Caliskan C., Moorhouse G.E., Subplanes of order 3 in Hughes planes, The Electronic Journal of Combinatorics [electronic only] (2011) V. 18(1).

25. Denniston R. H. F. , On arcs in projective planes of order 9, Manuscripta math. (1971) V. 4(1), 61-89.

26. Lazebnik F., Mellinger K.E., Vega O., On the Number of A-gons in Finite Projective Planes, Note di Matematica (2009), V. 29(1), 135—152.

27. Menichetti G. , Sorpa i A-archi completi nel pianograficodi traslazione di ordine 9, Matematiche (1966) V. 21(1), 150-156.

28. Moorhouse G. E., On projective planes of order less than 32, in: Hulpke, A. (ed.) et al., Finite Geometries, Groups, and Computation. Proceedings of the conference, Pingree Park, Colorado, USA, September 4-9, 2004. Walter de Gruyter, Berlin (2006) 149-162.

29. Sharafutdinova A.M., On complete arcs of the right nearfield plane of order 9, International Journal of Pure and Applied Mathematics (2014) V. 94(2), 233-239.

30. Zappa G. , Sui gruppi di colleneasioni dei piani di Hughes, Boll. Un. Mat. Ital. (1957) V. 12(3), 507-516.

Приложение А

Список прямых плоскостей над левым почти-полем порядка 9 и над правым почти-полем порядка 9

Таблица А.1. Список прямых плоскости трансляций порядка 9

ТО то 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 ТО 00 01 02 03 04 05 06 07 08

1 ТО 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2 ТО 20 21 22 23 24 25 26 27 28

3 ТО 30 31 32 33 34 35 36 37 38

4 ТО 40 41 42 43 44 45 46 47 48

5 ТО 50 51 52 53 54 55 56 57 58

6 ТО 60 61 62 63 64 65 66 67 68

7 ТО 70 71 72 73 74 75 76 77 78

8 ТО 80 81 82 83 84 85 86 87 88

00 0 00 10 20 30 40 50 60 70 80

01 0 01 11 21 31 41 51 61 71 81

02 0 02 12 22 32 42 52 62 72 82

03 0 03 13 23 33 43 53 63 73 83

04 0 04 14 24 34 44 54 64 74 84

05 0 05 15 25 35 45 55 65 75 85

06 0 06 16 26 36 46 56 66 76 86

07 0 07 17 27 37 47 57 67 77 87

08 0 08 18 28 38 48 58 68 78 88

То 1 00 И 22 33 44 55 66 77 88

И 1 0Т Т2 20 34 45 53 67 78 86

Т2 Т 02 Ю 2Т 35 43 54 68 76 87

Т3 Т 03 М 25 36 47 58 60 7Т 82

Т4 Т 04 Т5 23 37 48 56 6Т 72 80

Т5 Т 05 Т3 24 38 46 57 62 70 8Т

Т6 Т 06 Т7 28 30 4Т 52 63 74 85

Т7 Т 07 Т8 26 3Т 42 50 64 75 83

Т8 Т 08 Т6 27 32 40 5Т 65 73 84

20 2 00 Т2 2Т 36 48 57 63 75 84

2Т 2 0Т Ю 22 37 46 58 64 73 85

22 2 02 И 20 38 47 56 65 74 83

23 2 03 Т5 24 30 42 5Т 66 78 87

24 2 04 Т3 25 3Т 40 52 67 76 88

25 2 05 Т4 23 32 4Т 50 68 77 86

26 2 06 Т8 27 33 45 54 60 72 8Т

27 2 07 Т6 28 34 43 55 6Т 70 82

28 2 08 Т7 26 35 44 53 62 7Т 80

30 3 00 Т3 26 32 45 58 6Т 74 87

3Т 3 0Т Т4 27 30 43 56 62 75 88

32 3 02 Т5 28 3Т 44 57 60 73 86

33 3 03 Т6 20 35 48 52 64 77 8Т

34 3 04 Т7 2Т 33 46 50 65 78 82

35 3 05 Т8 22 34 47 5Т 63 76 80

36 3 06 Т0 23 38 42 55 67 7Т 84

37 3 07 11 24 36 40 53 68 72 85

38 3 08 12 25 37 41 54 66 70 83

40 4 00 14 28 37 42 53 65 76 81

41 4 01 15 26 38 40 54 63 77 82

42 4 02 13 27 36 41 55 64 78 80

43 4 03 17 22 31 45 56 68 70 84

44 4 04 18 20 32 43 57 66 71 85

45 4 05 16 21 30 44 58 67 72 83

46 4 06 11 25 34 48 50 62 73 87

47 4 07 12 23 35 46 51 60 74 88

48 4 08 10 24 33 47 52 61 75 86

50 5 00 15 27 34 46 52 68 71 83

51 5 01 13 28 35 47 50 66 72 84

52 5 02 14 26 33 48 51 67 70 85

53 5 03 18 21 37 40 55 62 74 86

54 5 04 16 22 38 41 53 60 75 87

55 5 05 17 20 36 42 54 61 73 88

56 5 06 12 24 31 43 58 65 77 80

57 5 07 10 25 32 44 56 63 78 81

58 5 08 11 23 30 45 57 64 76 82

60 6 00 16 23 31 47 54 62 78 85

61 6 01 17 24 32 48 55 60 76 86

62 6 02 18 25 30 46 53 61 77 84

63 6 03 10 26 34 41 57 65 72 88

64 6 04 11 27 35 42 58 63 70 86

65 6 05 Т2 28 33 40 56 64 7Т 87

66 6 06 Т3 20 37 44 5Т 68 75 82

67 6 07 М 2Т 38 45 52 66 73 80

68 6 08 Т5 22 36 43 50 67 74 8Т

70 7 00 Т7 25 38 43 5Т 64 72 86

7Т 7 0Т Т8 23 36 44 52 65 70 87

72 7 02 Т6 24 37 45 50 63 7Т 88

73 7 03 и 28 32 46 54 67 75 80

74 7 04 Т2 26 30 47 55 68 73 8Т

75 7 05 Ю 27 3Т 48 53 66 74 82

76 7 06 Т4 22 35 40 57 6Т 78 83

77 7 07 Т5 20 33 4Т 58 62 76 84

78 7 08 Т3 2Т 34 42 56 60 77 85

80 8 00 Т8 24 35 4Т 56 67 73 82

8Т 8 0Т Т6 25 33 42 57 68 74 80

82 8 02 Т7 23 34 40 58 66 75 8Т

83 8 03 Т2 27 38 44 50 6Т 76 85

84 8 04 Ю 28 36 45 5Т 62 77 83

85 8 05 И 26 37 43 52 60 78 84

86 8 06 Т5 2Т 32 47 53 64 70 88

87 8 07 Т3 22 30 48 54 65 7Т 86

88 8 08 Т4 20 3Т 46 55 63 72 87

Таблица А.2. Список прямых плоскости сдвигов порядка 9

ТО ТО 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 ТО 00 01 02 03 04 05 06 07 08

1 ТО 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2 ТО 20 21 22 23 24 25 26 27 28

3 ТО 30 31 32 33 34 35 36 37 38

4 ТО 40 41 42 43 44 45 46 47 48

5 ТО 50 51 52 53 54 55 56 57 58

6 ТО 60 61 62 63 64 65 66 67 68

7 ТО 70 71 72 73 74 75 76 77 78

8 ТО 80 81 82 83 84 85 86 87 88

00 0 00 10 20 30 40 50 60 70 80

01 0 01 11 21 31 41 51 61 71 81

02 0 02 12 22 32 42 52 62 72 82

03 0 03 13 23 33 43 53 63 73 83

04 0 04 14 24 34 44 54 64 74 84

05 0 05 15 25 35 45 55 65 75 85

06 0 06 16 26 36 46 56 66 76 86

07 0 07 17 27 37 47 57 67 77 87

08 0 08 18 28 38 48 58 68 78 88

10 1 00 11 22 33 44 55 66 77 88

11 1 01 12 20 34 45 53 67 78 86

12 1 02 10 21 35 43 54 68 76 87

13 1 03 14 25 36 47 58 60 71 82

14 1 04 15 23 37 48 56 61 72 80

15 1 05 13 24 38 46 57 62 70 81

16 1 06 17 28 30 41 52 63 74 85

17 1 07 18 26 31 42 50 64 75 83

18 1 08 16 27 32 40 51 65 73 84

20 2 00 12 21 36 48 57 63 75 84

21 2 01 10 22 37 46 58 64 73 85

22 2 02 11 20 38 47 56 65 74 83

23 2 03 15 24 30 42 51 66 78 87

24 2 04 13 25 31 40 52 67 76 88

25 2 05 14 23 32 41 50 68 77 86

26 2 06 18 27 33 45 54 60 72 81

27 2 07 16 28 34 43 55 61 70 82

28 2 08 17 26 35 44 53 62 71 80

30 3 00 13 26 32 47 54 61 78 85

31 3 01 14 27 30 48 55 62 76 83

32 3 02 15 28 31 46 53 60 77 84

33 3 03 16 20 35 41 57 64 72 88

34 3 04 17 21 33 42 58 65 70 86

35 3 05 18 22 34 40 56 63 71 87

36 3 06 10 23 38 44 51 67 75 82

37 3 07 11 24 36 45 52 68 73 80

38 3 08 12 25 37 43 50 66 74 81

40 4 00 14 28 35 42 56 67 73 81

41 4 01 15 26 33 40 57 68 74 82

42 4 02 13 27 34 41 58 66 75 80

43 4 03 17 22 38 45 50 61 76 84

44 4 04 Т8 20 36 43 5Т 62 77 85

45 4 05 Т6 2Т 37 44 52 60 78 83

46 4 06 и 25 32 48 53 64 70 87

47 4 07 Т2 23 30 46 54 65 7Т 88

48 4 08 Ю 24 3Т 47 55 63 72 86

50 5 00 Т5 27 38 43 52 64 7Т 86

5Т 5 0Т Т3 28 36 44 50 65 72 87

52 5 02 Т4 26 37 45 5Т 63 70 88

53 5 03 Т8 2Т 32 46 55 67 74 80

54 5 04 Т6 22 30 47 53 68 75 8Т

55 5 05 Т7 20 3Т 48 54 66 73 82

56 5 06 Т2 24 35 40 58 6Т 77 83

57 5 07 Ю 25 33 4Т 56 62 78 84

58 5 08 И 23 34 42 57 60 76 85

60 6 00 Т6 23 3Т 45 58 62 74 87

6Т 6 0Т Т7 24 32 43 56 60 75 88

62 6 02 Т8 25 30 44 57 6Т 73 86

63 6 03 Ю 26 34 48 52 65 77 8Т

64 6 04 и 27 35 46 50 63 78 82

65 6 05 Т2 28 33 47 5Т 64 76 80

66 6 06 Т3 20 37 42 55 68 7Т 84

67 6 07 М 2Т 38 40 53 66 7Т 85

68 6 08 Т5 22 36 4Т 54 67 70 83

70 7 00 Т7 25 34 46 5Т 68 72 83

7Т 7 0Т Т8 23 35 47 52 66 70 84

72 7 02 16 24 33 48 50 67 71 85

73 7 03 11 28 37 40 54 62 75 86

74 7 04 12 26 38 41 55 60 73 87

75 7 05 10 27 36 42 53 61 74 88

76 7 06 14 22 31 43 57 65 78 80

77 7 07 15 20 32 44 58 63 76 81

78 7 08 13 21 30 45 56 64 77 82

80 8 00 18 24 37 41 53 65 76 82

81 8 01 16 25 38 42 54 63 77 80

82 8 02 17 23 36 40 55 64 78 81

83 8 03 12 27 31 44 56 68 70 85

84 8 04 10 28 32 45 57 66 71 83

85 8 05 11 26 30 43 58 67 72 84

86 8 06 15 21 34 47 50 62 73 88

87 8 07 13 22 35 48 51 60 74 86

88 8 08 14 20 33 46 52 61 75 87

Приложение Б

Поиск опорных ^-сторонников и исключение ^-сторонников, изоморфных опорным (для к = 4)

Таблица Б.1. Классы эквивалентности и их представители

% , со

1 1 И, 12,..., 18, 21, 22,..., 28, 81,82,..., 88 11 64

2 1 01, 02,..., 08, 21,22,...,28 02 16

2 31, 32,..., 38, 41, 42,..., 48, 81,82,..., 88 31 48

3 1 01,02,..., 08 01 8

2 И, 22,33,44, 55,66, 77,88 И 8

3 13, 14, 15,16,17, 18, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 31,32,34,35,37,38, 41,42,43,45,46,47, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 6!, 62,64,65,67,68, 7!, 72,73,74,76,78, 81,82,83, 85,86,87 13 48

% , со 1

4 1 02 02 1

2 03,04,05, 06,07,08 06 6

3 И, 12 И 2

4 13,14,15,16,17,18 13 6

5 21 21 1

6 23, 24, 25, 26, 27, 28 23 6

7 31,36,41,48,51,57,61,63,71,75,81,84 31 12

8 32, 38, 42,47, 52, 56, 62,65, 72, 74, 82,83 32 12

9 33,34, 44,45, 53, 55, 66,67, 77, 78, 86,88 67 12

10 35,43, 54, 68, 76,87 35 6

5 1 то то 1

2 2,02 02 2

3 3,4, 5,6, 7,8,03, 04,05,06,07, 08 03 12

4 13, 14, 15, 16, 17, 18 13 6

5 22 22 1

6 23, 24, 25, 26, 27, 28 27 6

7 32,33, 42,44, 52, 55, 62,66, 72, 77, 82,88 32 12

8 34,38, 45,47, 53, 56, 65,67, 74, 78, 83,86 34 12

9 35,43, 54, 68, 76,87 35 6

10 37,46, 58, 64, 73,85 37 6

6 1 то то 1

2 2, 32, 52 2 3

3 3, 7, 33,37, 53, 57 7 6

4 4,8, 34,38, 55, 56 8 6

% , со

6 5 5,6, 35,36, 54, 58 5 6

6 02,63, 73 02 3

7 04,05,64,67, 75,77 05 6

8 06,08,62,65,72,74 08 6

9 07,68,76 07 3

10 12,16,17, 22, 27, 28 12 6

11 13,14,18, 23, 25, 26 13 6

12 43,44,45 45 3

13 46, 48 48 2

14 47 47 1

15 82,84,85 82 3

16 83,86,88 88 3

Таблица Б.2. Отождествление пар (б*3, ж3,-) при каждом г для всех ]

5'3 ж »■со ^1 Образующие элементы группы С3, '' , и и жз При- меча-ние

1 1 то, 0,00 и 12 5з; 5 4; ^2 , 2* то 0,00 - 5 1 0,00,2Т то

2 1 то, 0, Т0 02 ¿0,2

2 2 то, 0,10 3Т 2 то 0, 10 - 6 1 0,30,5Т то

2 2 то, 0, Т0 3Т 5 з^0,1^6,2 А

3 1 0,00,1 0! 12 5з; 54; ¿1,0^2 ,1 0, Т 00 - 3 1 0, 00, Т 0Т г А

3 1 0, 00, Т 0Т ^1,2^0,2 А

3 2 0,00,1 ТТ 12 5 з; 54; ¿1,0^2,1 0, Т 00 - 5 2 0, 00, 2Т 02

4 1 0, Т, Т0 02 ¿0,2

3 3 0,00,1 Т3 2 55^1,0^2,2 0, Т 00 - 5 3 0, 00, 2Т 03

4 2 0, Т, Т0 06 ¿0,6

4 3 0,1,10 ТТ 6 5 з; 5 4 0 Т Т0 4 3 0, Т, Т0 ТТ ¿0,1^2,1^ А

оо

сг>

5'3 »■со Образующие элементы группы С3, 1 и и ^и При- меча-ние

4 3 0,1, ТО ТТ 6 5 з; 5 4 0 Т ТО 4 3 0, Т, ТО ТТ * 1,1^1,2^ А

4 3 0, Т, ТО ТТ * 1,2^2,2 А

4 4 о, Т, То Т3 2 53*1,1^2,2 0, Т ТО 4 4 0, Т, ТО Т3 А

4 4 0, Т, ТО Т3 5 3*0,6 А

4 5 0, Т, ТО 2Т 12 5з; 54; *1,1^2,2 0, Т ТО 5 5 0,00,2Т 22 ^2,2*0,2^

4 5 0, Т, ТО 2Т *0,1^1,2 А

4 6 0, Т, ТО 23 2 55*1,1^2,2 0, Т ТО 5 6 0,00,2Т 27 ^3,3*0,6^

4 6 0, Т, ТО 23 *0,3^1,2 А

6 5 0,30,5Т 5 *5,8^7,4 5 5

4 7 0, Т, ТО 3Т 1 е 0 Т ТО 6 5 0,30,5Т 5 *0,1^5,2 5+

4 7 0, Т, ТО 3Т 5 3*1,7^2,3 А

4 8 0, Т, ТО 32 1 0 Т ТО 6 4 0,30,5Т 8 *8,4^4,6 5 5

6 3 0,30,5Т 7 * 0,1^7,15+

оо о

5'3 »■со |С3„?1 Образующие элементы группы С3, 1; и 3,1 2 3 При- меча-ние

4 8 0,1, ТО 32 1 е 0 Т 10 4 9 0, Т, Т0 67 ¿ 1,4^2,3

4 10 о, Т, То 35 2 ¿1,1^2, 2 0, Т Т0 6 2 0,30,5Т 2 ¿0,1^2,7 5 5

4 10 0, Т, Т0 35 5 3^1,5^2,3 Л

5 4 0,00, 2Т Т3 2 0,00 2Т 5 4 0,00,2Т Т3 53^7,7^3,2^ Л

5 4 0,00,2Т Т3 53^3,6 Л

6 9 0,30,5Т 07 ££ 7,0^5^8,6

5 7 0,00, 2Т 32 1 е 0 00 2Т 6 6 0,30,5Т 02 ¿0,2^5^5,2

5 7 0,00,2Т 32 53^3,2 Л

6 7 0,30,5Т 05 5+¿0,4 ^3,8^

5 8 0,00, 2Т 34 1 е 0 00 2Т 6 7 0,30,5Т 05 5 5^0,7^8,3

5 8 0,00,2Т 34 Л

5 9 0,00, 2Т 35 2 ^ 0,00 2Т 6 8 0,30,5Т 08 ¿0,8^+ ^2,4

5 10 0,00,2Т 37 ^4,7

6 10 0,30, 5Т Т2 1 е 0 30 5Т 6 12 0,30,5Т 45 ¿0,5^7,4 5^1,6

со

5'3 »■со Образующие элементы группы С3, 1 и и ^и При- меча-ние

6 10 0,30, 5Т 12 1 0 30 5Т 6 10 0, 30, 5Т 12 ¿0,2^3,2 5 3 А

6 15 0, 30, 5Т 82 ^5,25+

6 11 0, 30, 5Т Т3 ¿0,3^7,5 ^ ^1,6 А

6 11 0,30, 5Т 13 1 е 0 30 5Т 6 11 0, 30, 5Т Т3 ^6,2^^0,4^5,5^3 А

6 13 0, 30, 5Т 48 ^6,8^+

6 14 0,30, 5Т 47 6 ^0,1^1,2 «4; ^6,2^ ^1,6 0,30, 51 - - 6 16 0, 30, 5Т 88 ^8,8^3

оо ю

Приложение В

Поиск опорных ^-сторонников и исключение ^-сторонников, изоморфных опорным (для к = 5)

Таблица В.1. Классы эквивалентности и их представители

% 3 4 1

1 1 23, 24, 25, 26, 27, 28 23 6

2 32,36,42, 48, 52, 57,62, 63, 72, 75,82, 84 32 12

3 34,45, 53,67, 78,86 34 6

4 35,37,43, 46, 54, 58,64, 68, 73, 76,85, 87 35 12

5 38,47, 56,65, 74,83 38 6

2 1 02, 28, 68 02 3

2 03,04, 22, 27, 62,66 03 6

3 05, 23, 64 05 3

4 06,07, 25, 26, 65,67 07 6

5 42,44,45,82, 83,85 42 6

6 43,46,48,84, 87,88 43 6

7 52, 56, 57 52 3

8 53, 54, 58 53 3

9 73, 74 74 2

10 75 75 1

11 76,77,78 77 3

3 1 13,14,15,16,17,18, 23, 24, 25, 26, 27, 28 13 12

2 32,33,34,38, 42,44,45,47, 52, 53, 55, 56, 32 24

% 3 4 ^Ьi

3 2 62,65,66,67, 72, 74,77, 78, 82,83,86,88,

3 35,43,54,68, 76,87 35 6

4 1 03,04,05,06, 07,08 03 6

2 13,14,15,16,17,18 13 6

3 23, 24, 25,26, 27, 28 23 6

4 32,37,42, 46, 52, 58,62, 64, 72, 73,82, 85 32 12

5 34,35,43, 45, 53, 54,67, 68, 76, 78,86, 87 34 12

5 1 0!, 02 01 2

2 05 05 1

3 06,08 06 2

4 07 07 1

5 И И 1

6 14,15 14 2

7 16, 17 16 2

8 18 18 1

9 22 22 1

10 24 24 1

11 27, 28 27 2

12 34,87 34 2

13 35,86 35 2

14 37,82 37 2

15 38,81 38 2

16 41,65 41 2

% 3 4 "4.7 та1

5 17 42,64 42 2

18 44,66 66 2

19 45,68 45 2

20 46,62 46 2

21 51, 74 51 2

22 55,77 55 2

23 56,7! 7! 2

24 58, 72 58 2

6 1 03,04,05, 06,07,08, 23, 24, 25, 26, 27, 28 06 12

2 32,33,35,36, 42,43,44,48, 52, 54,55, 57, 62,63,66,68, 72,75,76,77, 82,84,87, 88 32 24

3 34,45,53,67, 78,86 34 6

7 1 02,05, 26, 28 02 4

2 06,07, 21, 24 06 4

3 08, 27 08 2

4 32,65 32 2

5 34,35,36,38, 6!, 62,66,68 34 8

6 4!, 42,44,48, 7!, 74,75, 78 4! 8

7 45,47,72, 77 45 4

% 3 4

7 8 51,84 51 2

9 54, 55, 56, 57, 81,82,86, 87 54 8

8 1 03,04,05,06, 07,08 06 6

2 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 27, 28 24 12

3 32,38,42, 47, 52, 56,62, 65, 72, 74,82, 83 32 12

4 33,34,44, 45, 53, 55,66, 67, 77, 78,86, 88 33 12

9 1 02,04 02 2

2 07,08 07 2

3 И, 12, 24, 25 24 4

4 15, 21 21 2

5 16, 18, 26, 27 26 4

6 17, 28 28 2

7 31,42,65,84 31 4

8 34,47,62, 88 34 4