Исследование динамической эволюции экзопланет в случае орбитальных резонансов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Теплицкая, Вера Сергеевна

• Теплицкая, Вера Сергеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Теплицкая, Вера Сергеевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Математическая модель задачи

1.1. Орбитальный двухчастотный резонанс в задаче трёх тел

1.2. Диссипация рэлеевского типа

1.3. Случай вырождения резонанса

1.4. Уравнения задачи

Глава 2. Аналитическое решение

2.1. Эволюционные уравнения задачи (исключение

короткопериодических слагаемых)

2.2. Канонические преобразования

2.3. Решения в функциях Вейерштрасса

2.4. Аналитические выражения для элементов орбит

2.5. Решения в случае вырождения резонанса

2.6. Сопоставление с результатами численного интегрирования

Глава 3. Качественные исследования

3.1. Стационарные решения и их устойчивость

3.2. Классификация типов решений

3.3. Оценка вероятностей «захватов и уходов» из ,

орбитальных резонансов

3.4. Параметры стохастического слоя (критерии возникновения динамического хаоса)

3.5. Вариации элементов орбит

Глава 4. Моделирование динамической эволюции избранных

экзопланетных систем

4.1. Статистические распределения

4.2. Интегральные постоянные

4.3. Прогностические сценарии эволюции

4.4. Эволюционные характеристики элементов орбит

4.5. Сопоставление с планетами Солнечной системы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование динамической эволюции экзопланет в случае орбитальных резонансов»

Введение

Во многих задачах математической физики и теоретической механики основные закономерности эволюции динамических систем могут быть интерпретированы на базе фундаментальной задачи трех тел. Однако классическая задача трех тел, в которой учитываются лишь гравитационные эффекты взаимодействий, в известной степени, представляет собой идеализированный - вырожденный случай. Тем не менее, в связи с чрезвычайной сложностью задачи трех тел до настоящего времени не удается построить в конечном виде ее общий интеграл [1-4].

С неинтегрируемостью связана особенность задачи трех тел, выражающаяся в явлении динамического хаоса, обусловленного существованием специфической локальной неустойчивости относительно малых возмущений орбит системы, когда траектории системы могут представлять собой реализацию случайных временных процессов, несмотря на то, что в системе непосредственно отсутствуют какие-либо внешние случайные силы (воздействия) [5,6]. Главная специфика хаотических систем состоит в том, что малое возмущение начальных условий для динамической переменной приводит за конечное время к непредсказуемости результирующего движения. Более того, по истечении так называемого времени детерминированного поведения tcr, когда корреляционная функция реального процесса и наиболее адекватной в начальный момент времени модели близка к нулю, динамический хаос (хотя бы частично предсказуемый при ёсг) становится шумом, т.е. процессом для которого не имеется предсказательной модели [7,8].

С другой стороны, наличие в реальных динамических системах диссипативных факторов и связанных с ними асимптотических предельных траекторий приводит к меньшей чувствительности системы к различного рода

слабым возмущениям [9]. Так, в частности, в консервативных системах движение около сепаратрисы всегда хаотическое, в то время как для диссипативных систем это утверждение оказывается неверным [10]. Несмотря на даже малые априори величины рассеяния энергии в гравитирующих динамических системах (например, в экзопланетных системах или кратных звездных системах при перетекании вещества при аккреции), учет диссипативных факторов может существенно отразиться на динамической эволюции "гравитационно активных" компонент системы [11].

Теоретический и практический интерес в ряде случаев представляют решения задачи трех тел при наличии в системе малого параметра ц (так называемый планетный вариант задачи) и существовании между интегралами движения некоторого соотношения, обусловленного рациональной соизмеримостью двух основных частот задачи. В ряде случаев резонансные эффекты могут приводить к устойчивым орбитальным движениям. Условие двухчастотного резонанса означает выполнение рациональной квазисоизмеримости частот вида: [(к+1)п -кп 1<0( ^[¡й), где /-порядок, к-кратность резонанса; 1,к- натуральные числа; п<п' -частоты или среднесуточные движения гравитирующих тел, //-приведенная масса [12,13]. В космических системах орбитальными резонансами связаны движения некоторых больших планет, спутников, астероидов, занептунных объектов в Солнечной системы. Обнаруженные в последнее время кратные экзопланетные системы также характеризуются орбитальными резонансами [14,15].

Так как максимальный резонансный эффект проявляется для орбитальных двухчастотных резонансов первого порядка (линдбладовских резонансов 2:1, 3:2, 4:3, ...), то получение и исследование аналитических решений планетного ограниченного и неограниченного вариантов задачи трех тел в случае

линдбладовских резонансов при наличии возмущающих диссипативных факторов является весьма актуальной и практически значимой задачей [16,17,18], в том числе и при исследовании экзопланетных систем.

Учитывая, что для планетного варианта задачи трех тел заметная неустойчивость в консервативной динамической системе может развиваться лишь на временах ¿»[Г1 [6,7], то в рамках резонансной задачи трех тел корректным является исследование эволюции динамической системы лишь на временах порядка 1/ц, когда применение строго обоснованных асимптотических методов позволяет построить аналитическое решение, интерпретирующее орбитальную эволюцию гравитирующих тел. Указанный подход (концепция частичной детерминированности) был реализован ранее в работах [6,19-22 и др.].

При небольших скоростях течений (рассеяния энергии) неконсервативные силы вязкого трения корректно моделируются диссипативной функцией Рэлея Ф - положительно определенной квадратичной ' формой относительно обобщенной скорости 4. Подобные возмущения в динамике систем с конечным числом степеней свободы уже длительное время моделируются данной диссипативной функцией, введённой Лордом Рэлеем.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время активно реализуются проекты по поиску экзопланетных (внесолнечных) систем, совершенствуются методы их обнаружения. В связи с этим представляет интерес критический анализ интерпретации результатов поисковых исследований, построение корректных статистических распределений экзопланетных систем с учетом эффектов селекции и обоснованной редукции их вычисляемых орбитальных параметров,

а также построение прогностических моделей динамической эволюции экзопланетных систем. Исследование динамической эволюции экзопланетных систем будет также способствовать более глубокому пониманию происхождения и эволюции Солнечной системы, разрешению проблемы ее уникальности.

Актуальность исследуемой темы обусловлена и фундаментальностью проблемы теоретической астрономии, состоящей в интерпретации происхождения, эволюции динамических (в том числе, экзопланетных) систем, а также в определении роли (распространенности) орбитальных резонансных эффектов в формировании и эволюции экзопланетных систем.

Исследованию динамической эволюции экзопланетных систем в настоящее время посвящено значительное количество работ [9, 11, 15, 23-42] однако основное внимание в них уделено численным исследованиям, не удалось получить полного аналитического описания исследуемых систем, всесторонне исследовать различные динамические эффекты в экзопланетных системах, эволюцию всех их орбитальных параметров, надежно оценить вероятности захватов в орбитальный резонанс, детально исследовать влияние диссипативных факторов на орбитальную эволюцию экзопланетных систем.

Следовательно, построение в рамках концепции частичной детерминированности на базе резонансного варианта неограниченной задачи трех тел и с учетом диссипативных факторов надежной аналитической модели, позволяющей получить аналитические выражения для всех орбитальных параметров исследуемых гравитирующих тел (двухчастотных резонансных экзопланетных систем), корректно выявить роль резонансных динамических эффектов в эволюции орбитальных параметров космических систем является актуальной задачей для современной теоретической астрономии и механики, теории динамических систем и математической

физики.

Цели и задачи работы

Целью диссертационного исследования является создание аналитической модели эволюции динамических систем на базе планетного варианта задачи тех тел при учёте дополнительных факторов, как-то орбитальный двухчастотный резонанс первого порядка, наличие в моделируемой системе небольших скоростей течений (рассеяния энергии). Выявление роли указанных факторов (резонанс первого порядка, диссипация рэллеевского типа) на динамическую эволюцию всех орбитальных элементов компонент рассматриваемых динамических систем. В процессе реализации целей работы предполагалось решение следующих задач:

1. Создание математической модели, описывающей динамическую эволюцию экзопланетных систем, проведение полных качественных исследований орбитальных движений исследуемых тел и получение явных аналитических выражений для всех орбитальных элементов гравитирующих тел;

2. На основе разработанной аналитической теории и в рамках области её корректности моделирование орбитальной эволюции избранных экзопланетных систем.

Методы исследования

Используются асимптотические методы теории возмущений, а также теория эллиптических функций, качественные методы исследований, общие методы нелинейного и функционального анализов. Применяется аппарат канонических преобразований, вычислительные методы математического моделирования.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработан теоретический аппарат, базирующийся на применение теории эллиптических функций, теории канонических систем, асимптотических методов теории возмущений и представляющий самостоятельный интерес в теории динамических систем. Полученные аналитические решения и результаты качественных исследований способствуют более глубокому пониманию процессов, лежащих в основе формирования и динамической эволюции экзопланетных систем. Кроме того, установленные аналитические решения могут быть использованы в качестве промежуточной орбиты при построение численно-аналитических теорий движения космических систем при наличии диссипации и двухчастотных орбитальных резонансов.

Практическая значимость работы обусловлена построением прогностических моделей динамической эволюции экзопланетных систем, а также их корректных статистических распределений. Полученные теоретические результаты работы могут найти приложение и при исследовании орбитальной эволюции объектов Солнечной системы (спутниковых систем), экзопланет.

Основные новые результаты, полученные в работе:

1. В случае рэлеевской диссипации для двухчастотных орбитальных резонансов первого порядка в рамках неограниченного планетного варианта задачи трёх тел получено аналитическое решение в функциях Вейерштрасса, интерпретирующее эволюцию всех орбитальных элементов исследуемых гравитирующих тел. Получены частные решения для случая «вырождения резонанса», когда за счёт внешних возмущений - резонансное слагаемое нелинейно уменьшается с течением времени.

2. Проведены качественные исследования эволюции орбитальных элементов гравитирующих тел, в том числе:

- получены и исследованы стационарные решения для орбитальных элементов, их устойчивость по Ляпунову. Установлено, что характеристическое уравнение для стационарных решений представляет собой локальную геометрическую структуру типа сборки Уитни, обладающей структурной устойчивостью;

проведена классификация фазовых траекторий исследуемой динамической системы;

- оценены вероятности переходов траекторий из различных областей фазовой плоскости динамической системы, оценена возможность захватов в резонанс при различных начальных конфигурациях гравитирующих тел (интегральных постоянных);

- получены некоторые качественные оценки • стохастического слоя, обусловленного диссипацией рэлеевского типа;

- получены аналитические выражения для основных эволюционных характеристик орбитальных элементов гравитирующих тел (материальных точек) системы: девиация элементов орбит, основные периоды вариации, скорости движений линии узлов и линии апсид. Показано, что при приближении эксцентриситетов орбит к своему максимальному значению движение линии апсид замедляется, что при прочих равных условиях понижает вероятность столкновений (сближений) гравитирующих тел;

- оценено влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных параметров исследуемых тел динамической системы;

- показано, что в случае «вырождения резонанса» наблюдается бифуркация решений, а стационарные решения приобретают наиболее универсальный -симметричный вид;

3. Для избранных экзопланетных систем на основе полученных аналитических результатов построены прогностические модели их

орбитальной эволюции. Получены также корректные распределения (гистограммы) экзопланетных систем по их орбитальным параметрам (большим полуосям, периодам, эксцентриситетам) и физическим характеристикам (массе, спектральному классу). Проведен корректный учет влияния неинерциапьности системы звезда - экзопланеты, обусловленной барицентрическим движением звезды.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена корректностью применяемых аналитических и качественных методов исследований, обоснованной областью применения моделей. Кроме того, результаты, полученные в работе, основывались на аналитической модели, зарекомендовавшей себя в предельном случае (при отсутствии диссипации) при интерпретации динамической эволюции различных небесно-механических объектов Солнечной системы, движущихся в двухчастотном орбитальном резонансе первого порядка [6, 12,13, 19-22, 43-54]. Достоверность и обоснованность полученных результатов достигалась также их сопоставлением с аналитическими и численными, исследованиями других авторов [11, 28, 29, 32- 42, 55, и др.].

Апробация результатов работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Современные проблемы астрономии" (Украина, Одесса, 2007 г.), международной научной конференции "100 лет Тунгусскому феномену: прошлое, настоящее, будущее" (Москва, 2008 г.), Ломоносовских чтениях (Москва, ГАИШ МГУ, 2008 г. и 2009 г.), международной научной конференции "Луна, спутники и планеты: поисковые

исследования и сравнения" (Казань, 2009 г.), научной конференции "Астрономия в эпоху информационного взрыва: результаты и проблемы" (Москва, ГАИШ МГУ, 2012 г.), на семинаре кафедры теоретической механики РУДН "Математическое моделирование процессов динамики" (Москва, 2014), а также на объединенных заседаниях координационных советов по астрометрии и небесной механики ГАИШ МГУ.

Публикации

Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 9 печатных работах.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 148 страниц, включая 19 рисунков, 7 таблиц и библиографию из 148 наименований.

Содержание работы

Во введении приведен краткий обзор рассматриваемой проблемы, обоснована актуальность темы и достоверность полученных результатов, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна, методы исследования, указана теоретическая и практическая ценность работы, приведены основные результаты работы и форумы, на которых производилась их апробация, а также краткое содержание работы и положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрен критерий двухчастотного орбитального резонанса, приведен краткий обзор работ, в которых рассматриваются различные виды резонансов в динамических системах. Представлена

математическая модель диссипации рэлеевского типа, и рассматриваются области её практического приложения. Дается описание случаев вырождения резонанса. Указываются особенности модели идеального резонанса. Путем выбора специального вида переменных получены уравнения задачи в канонической форме.

Вторая глава посвящена получению в случае рэлеевской диссипации для двухчастотных орбитальных резонансов первого порядка аналитического решения в функциях Вейерштрасса. Эволюционные уравнения задачи получены применением асимптотического метода Цейпеля в результате исключения короткопериодических слагаемых. Интегрирование для эволюционных уравнений задачи формально свелось к системе с двумя степенями свободы за счет выбора дополнительной размерности в виде функциональной переменной от времени. Применение последовательности специального вида канонических преобразований позволило получить аналитическое решение для эволюции всех элементов орбит исследуемых гравитирующих тел. Частные решения получены в случае нелинейного уменьшения амплитуды резонанса (случай вырождения резонанса). При этом было проведено обобщение на случай непостоянства коэффициента пропорциональности диссипативной функции. Полученные результаты концептуально сопоставлены с результатами численного интегрирования.

В третьей главе проведены качественные исследования эволюции орбитальных элементов гравитирующих тел. Получены и исследованы стационарные решения, их устойчивость по Ляпунову. Проведена классификация типов решений. Оценена вероятность переходов между различными областями фазовой плоскости. Получены некоторые качественные оценки параметров стохастического слоя, обусловленного влиянием диссипации. Приведены аналитические выражения для элементов

орбит гравитирующих тел, их экстремальных значений и для девиации орбитальных параметров, а также для основных периодов изменения орбитальных параметров.

В четвертой главе проведено моделирование динамической эволюции избранных экзопланетных систем. Приведен краткий обзор исследований экзопланетных систем. Получены корректные распределения (гистограммы) экзопланетных систем по их орбитальным параметрам (большим полуосям, периодам, эксцентриситетам) и физическим характеристикам (массе, спектральному классу). Построены прогностические сценарии динамической эволюции избранных экзопланетных систем, движущихся в орбитальной резонансе первого порядка. Оценено влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных параметров исследуемых экзопланетных систем. Рассмотрен учет влияния неинерциальности системы звезда - экзопланеты, обусловленной барицентрическим движением звезды. Установлено, что в целом, современные данные по экзопланетным системам свидетельствуют не о том, что Солнечная система уникальна, а о том, что планетные системы могут быть весьма разнообразными.

В заключении приведены основные результаты работы.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построение аналитической теории орбитальной эволюции двухчастотных динамических систем при резонансе первого порядка в случае рэлеевской диссипации, включающей:

- получение аналитического решения, интерпретирующего эволюцию всех орбитальных элементов исследуемых гравитирующих'тел;

- получение частных решений для случая «вырождения резонанса», когда

за счёт внешних возмущений резонансное слагаемое нелинейно уменьшается с течением времени;

- классификацию полученных типов решений, нахождение стационарных решений для орбитальных элементов, их устойчивости, а также аналитические выражения для основных эволюционных характеристик орбитальных элементов гравитирующих тел (материальных точек) системы: девиация элементов орбит, основные периоды вариации, скорости движений линии узлов и линии апсид;

- оценку вероятностей переходов траекторий из различных областей фазовой плоскости динамической системы и возможности захватов в резонанс при различных начальных конфигурациях гравитирующих тел (интегральных постоянных);

- некоторые качественные оценки стохастического слоя, обусловленного диссипацией рэлеевского типа;

2. Практическое приложение разработанной теории к избранным экзопланетным системам, позволившее:

- построить прогностические модели орбитальной эволюции избранных экзопланетных систем и выявить роль резонансных эффектов в орбитальной эволюции экзопланет;

- оценить влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных параметров исследуемых экзопланетных систем;

- построить с учетом доминирующей роли центральной звезды корректные распределения (гистограммы) экзопланетных систем по их орбитальным параметрам (большим полуосям, периодам, эксцентриситетам) и физическим характеристикам (массе, спектральному классу).

Научная новизна работы состоит в том, что все перечисленные результаты, выносимые на защиту, впервые получены автором.

Личный вклад автора и публикации по теме диссертационной работы

Основные результаты по теме диссертационной работы опубликованы в следующих работах:

1. About influence of orbital dynamic resonances for peculiarity of statistical arrangement of asteroids and comets. Odessa Astronomical Publications Vol. 20, 2007, P. 90-93. http://www.astro-observ.odessa.ua/index.php?RQ=Content&id-50 (соавтор Б.Р. Мушаилов);

2.0 роли резонансных объектов в статистических распределениях кентавров и занептунных объектов. Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2010. №1. С. 59-64 (соавтор Б.Р. Мушаилов);

З.О корректных статистических распределениях экзопланет по их динамическим параметрам. Космические исследования. 2010. Т. 48. С. 380-384 (соавторы Б.Р. Мушаилов, JIM. Ивановская);

4. Спектрометрический метод обнаружения экзопланет как еще один тест для проверки инвариантности скорости света. Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2011. №6. С. 99-104 (соавтор Б.Р. Мушаилов);

5.0 надёжности определения орбитальных параметров экзопланет доплеровским методом. Космические исследования. 2012. Т.50. №6. С. 452-461 (соавтор Б.Р. Мушаилов);

6. Качественные исследования эволюции орбитальных элементов в планетном резонансном варианте задачи трех тел в случае рэлеевской диссипации. Космические исследования. 2013, Т. 51, № 5. С. 402-411. (соавтор Б.Р. Мушаилов);

7. Аналитические решения, интерпретирующие эволюцию двухчастотных космических систем в случае орбитального

линдбладовского резонанса при учете рэлеевской диссипации. Космические исследования. 2014. 22 с. (в печати; соавтор Б.Р. Мушаилов);

8.0 влиянии в планетном варианте резонансной задачи трех тел рэлеевской диссипации на параметры стохастического слоя. Космические исследования. 2014. 12 с. (в печати; соавтор Б.Р. Мушаилов);

9. Качественные исследования эволюции орбитальных элементов избранных экзопланетных систем, движущихся в орбитальных двухчастотных резонансах первого порядка. Астрон. журн. 34 с. (в печати).

В работах [4-8] личный вклад автора заключается в получении аналитических результатов, их интерпретации и проведении численных расчетов. В статьях [1-3] автору принадлежит разработка и реализация алгоритма вычислений.

Глава 1. Математическая модель задачи

Орбитальные резонансы проявляются в движениях некоторых больших планет, спутников, астероидов, занептунных объектов Солнечной системы. Обнаруживаемые в последнее время кратные экзопланетные системы также характеризуются орбитальными резонансами. В связи с этим особый интерес представляют различные варианты базовой классической задачи трех тел (круговая, эллиптическая, параболическая, неограниченная задача, плоский вариант задачи) с учетом соизмеримости средних движений [43,56-61]. В настоящей работе рассматривается планетный вариант неограниченной задачи трех тел (материальных точек) при наличии орбитального двухчастотного резонанса и диссипации Рэлея.

1.1. Орбитальный двухчастотный резонанс в задаче трех тел

При описании различных динамических систем под явлением частотного резонанса подразумевается выполнение целочисленного соотношения частот: <7,я, = 0 с рассматриваемой точностью, где г^ - частоты динамической

/

системы, а ^-целые числа.

В настоящее время применяется несколько классификаций порядка и кратности резонанса. Например, за характеристику порядка резонанса сумма [57]. В рассматриваемом в настоящей работе случае под орбитальным

/

двухчастотным резонансом подразумевается целочисленное соотношение между орбитальными периодами Т\:Т2=(к+1):к, где / - порядок, к - кратность резонанса. Максимальной амплитудой эффекта обладают резонансы первого порядка 2:1, 3:2, 4:3 (резонансы первого порядка с кратностью 1,2,3). Помимо классических двухчастотных резонансов средних движений, которые будут подробно рассмотрены в дальнейшем, в механике выделяют еще несколько видов резонансов [62].

Резонанс Лапласа возникает, когда между орбитальными относительными частотами трех и более тел с рассматриваемой точностью выполняется, в частности, соотношение:

дпг(р+д)п2+рп3=0.

Например, движение спутников Юпитера - Ганимед, Европа и Ио синхронизировано орбитальным трехчастотным резонансом 1:2:4.

Вековой резонанс возникает при соизмеримости скорости изменения долгот перицентров или долгот восходящих узлов гравитирующих тел когда прецессии двух орбит синхронизированы (обычно

прецессии перигелия или восходящего узла). За длительное время вековой

резонанс изменяет эксцентриситет и наклонение орбит движущихся тел.

Спин-орбитальный резонанс возникает, когда синхронизируется орбитальное движение гравитирующего тела и его вращения вокруг своей оси. В частности, орбитальное движение Луны, при вращении вокруг Земли находится в спин-орбитальном резонансе 1:1, а движение Меркурия относительно центра масс Солнца - в спин-орбитальном резонансе 3:2 [63].

Разновидностью векового резонанса, при существенных взаимных наклонениях орбит является так называемый резонанс Козаи, когда синхронизированы значения взаимных наклонений и эксцентриситетов орбит гравитирующих тел (при этом увеличение эксцентриситетов орбит сопровождается уменьшением взаимного наклонения орбит и наоборот) [62, 64].

В различных работах также рассматриваются и другие специфические резонансы (коротационный резонанс, вертикальный резонанс и т.п. резонансы), проявляющиеся в виде спиральных волн плотности, как в дисках галактик, так и в тонкой структуре колец Сатурна [62].

Однако подобные резонансы имеют очень малую амплитуду по сравнению с двухчастотными резонансами средних движений. Амплитуды спин-орбитальных эффектов также существенно меньше амплитуд орбитальных резонансов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Теплицкая, Вера Сергеевна, 2014 год

Литература

1 Painlevé P. Mémoiresur les intégrales premières du problème des N corps // Bull. Astron. 1898. V. XV. P. 82.

2 Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Сер. Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1985. Т.З. С. 5.

3 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. тр. М.: Наука. 1971-72. Т. 1,2.771с.; 801 с.

4 Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдиториал УРСС. 2001. 320 с.

5 Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела // Труды матем. об-ва. 1980. Т.41. С. 287.

6 Мушаилов Б.Р., Герасимов И.А. Эволюция орбит системы спутников Сатурна Энцелада и Дионы // Астрон. вест. 1996. Т.ЗО. №4. С. 355.

7 Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость // Успехи физ. наук. 1989. Т. 158. Вып. 1. С. 93.

8 Симо К. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск. Изд-во института компьютерных исследований. 2002. 252 с.

9 Celletti A., Lhotka С. Stability of nearly-integrable systems with dissipation // arXiv:l 202.2443v 1 [math.DS] 11 Feb2012.

10 Лнхтенберг A., Лаберман M. Регулярная и стохастическая динамика. M.: Мир. 1984. 528 с.

11 Batygin К., Morbidelli A., Dissipative Divergence of Resonant Orbits// arXiv:l204.279lv2 [astro-ph.EP] 22 Aug.

12 Герасимов И.А., Мушаилов Б.P. Некоторые вопросы динамической эволюции малых тел Солнечной системы. Препринт 27 МО ГАИШ 1992 -19 с.

58

13 Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. О кратности резонанса в задаче трех тел // Космич. исслед. Т. 33. № 1. 1995. С. 109.

14 Schneider J. (CNRS-LVTH, Paris Observatory) http://exoplanet.eu/catalog.php., http://spacetimes.ru/exoplanets (2012).

15 Michtchenko T.A., Ferraz-Mello S., Beauge C. The periodic and chaotic regimes of motion in the exoplanet 2/1 mean-motion resonance arXiv:l 112.1208vl [astro-ph.EP] 6 Dec 2011.

16 Бардин Б.С., Чекии A.M. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы при резонансе 3:1 // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 353.

17 Маркеев А. П. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы при резонансе 2:1 //ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 757.

18 Холостова О.В. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе третьего порядка // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 5. С. 789.

19 Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. Аналитическое решение обобщенной задачи трех тел при соизмеримости первого порядка // Астрон. вестн. 1995. Т.29. №1. С. 67.

20 Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р., Ракитина Н.В. Исследование стационарных решений ограниченной эллиптической задачи трех тел при

резонансах первого порядка// Космич. исслед. 1995 Т.ЗЗ. №5. С. 474.

21 Мушаилов Б.Р. Аналитическое решение для двухчастотной резонансной системы первого порядка в задаче трех тел // Астрон. вестн. 1995. Т.29. №1. С 47.

22 Мушаилов Б.Р. Эволюция системы Уран - Нептун // Астрон. вест. 1995. Т.29. №4. С. 375.

23 Johnson J.A., Payne М., Howard A.W. et al., Retired A Stars and Their Companions VI. A Pair of Interacting Exoplanet Pairs Around the Subgiants 24 Sextanis and HD200964 // AJ. 2011. V. 141. №1. P. 16.

24 Barnes R., Quinn Т., The (in)stability of planetary system // arXiv:astro-ph/0401171 vl 9 Jan 2004.

25 Ogilvie G. /., Lin D. N. C. Tidal Dissipation in Rotating Giant Planets // ApJ . 2004. V. 610. P. 477.

26 Jackson В., Greenberg R., Barnes R., Tidal Heating of Extra-Solar Planets //ApJ. 2008. V. 681 P. 1631.

27 Kuteeva G.A., Sokolov L.L. Exoplanet orbital evolution under the influence of nearby stars. Few-body problem: Theory and computer simulations // Annales Universitatis Turkuensis. Ser.lA. V.358. P.131.

28 Iladjidemetriou J. D., Voyatzis G. On the dynamics of Extrasolar Planetary Systems under dissipation. Migration of planets // Celest. Mech. Dy. Astr 2010. V. 107. P. 3.

29 Ilaghighipour N. Dynamical Friction and Resonance Trapping in Planetary Systems // arXiv:astro-ph/9812106vl 5 Dec 1998.

30 Haghighipour N. Partial averaging and resonance trapping in a restricted three-body system // arXiv:astro-ph/0106264vl 14 Jun 2001.

31 Кузнецов Э.Д. Резонансные свойства внесолнечный двупланетных систем // Астрон. Журн. 2010. Т. 87. № 6. С. 605.

32 Ferraz-Mello S., Rodr'iguez A., Hussmann Н. Tidal friction in close-in satellites and exoplanets. The Darwin theory re-visited // arXiv:0712.1156v3 [astro-ph] 27 Apr 2009.

33 Rodr'iguez A., Ferraz-Mello S., Michtchenko T. A., Beaug'e C., Miloni O. Tidal decay and orbital circularization in close-in two-planet systems // arXiv: 1104.0964v2 [astro-ph.EP] 14 Apr 2011.

34 Ivanov P. B. Papaloizou J. С. B. On the tidal interaction of massive extrasolar planets on highly eccentric orbit // arXiv:astro-ph/0303669v2 9 Oct 2003.

35 Beaug'el C. Ferraz-Mello S., Michtchenko T.A. Extrasolar Planets in Mean-Motion Resonance: Apses Alignment and Asymmetric Stationary Solutions // arXiv:astro-ph/0210577vl 25 Oct 2000.

36 Pepe F., Correia A.C.M., Mayor M., Tamuz O., et al. The HARPS search for southern extra-solar planets IX. jiAra, a systemwith four planets // arXiv:astro-ph/0608396vl 18 Aug 2006.

37 Correia A.C.M., Udry S., Mayor M., Benz IV., et al The HARPS search for southern extra-solar planets XVI. HD45364, a pair of planets in a 3:2 mean motion resonance // arXiv:0902.0597vl [astro-ph.EP] 3 Feb 2009.

38 S'andor Zs., Kley W. On the evolution of the resonant planetary system HD 128311 // arXiv:astro-ph/0603664v2 25 Mar 2006.

39 S'andor Zs,, Kley W., Klagyivik P. Stability and Formation of the Resonant

System HD 73526 // arXiv:0706.2128v2 [astro-ph] 15 Jun 2007.

40 Kley IV., Lee M. H., Murray N., Peale S. J. Modeling the resonant planetary system GJ 876 // arXiv:astro-ph/0503579vl 27 Mar 2005.

41 Thommes E. W., Duncan M. J., Levison H. F. The formation of Uranus and Neptune in the Jupiter±Saturn region of the Solar System // Nature. 1999. V. 402. P. 635.

42 Batygin Konstantin, Laughlin Gregory On the Dynamical Stability of the Solar System //arXiv:0804.1946v 1 [astro-ph] 11 Apr 2008.

43 Герасимов И.А., Мушаилов Б.P. Аналитическое решение эллиптической ограниченной задачи трех тел // Астрон. вестн. 1994. Т 28. №3. С. 100.

44 Герасимов И. А., Мушаилов Б.Р. Исследование динамических характеристик орбит в задаче трех тел при резонансах первого порядка // Астрон. вестн. 1995. Т.29. №1. С. 58.

45 Gerasimov I. A., Mushailov В. R. Impact of the tidal force from the planets on the brightness of the central star // Astron. And Astroph. Transactions. 2002. V. 21.1. 4-6. P. 305.

46 Gerasimov I.A., Mushailov B.R. И Astron. and Astrophis. Transaction, 2003. 3. Gerasimov I.A., Mushailov B.R. Impact of the fidal force from the planets on the brightness of the central star. Astron. and Astrophys. Transaction. 2003.

47 Герасимов И. А., Мушаилов Б.P., Ракитина H.B. Качественные исследования движений вограниченной эллиптической задачи трех тел при соизмеримости первого порядка //Астрон. вест. Т. 28. № 4-5. 1994. С. 186.

48 Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. Частные аналитические решения в задаче трех тел при соизмеримости первого порядка // Астрон. вестн. Т.30. № 1.

1996. С. 92.

49 Герасимов И.А., Мушашов Б.Р. Эволюция орбит астероидов в случае соизмеримостей первого порядка. Внешний вариант задачи // Астрон. Журн. 1990. Т. 67. вып. 4. С. 875.

50 Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. О существовании объектов пояса Койпера, связанных орбитальным резонансом с Нептуном // Вестник МГУ. 1999. Сер. 3.№1. С. 53.

51 Мушаилов Б.Р.Теплицкая B.C. О роли резонансных объектов в статистических распределениях кентавров и занептунных объектов. // Вестник МГУ 2010. Сер. 3. Физика. Астрономия. №1. С. 59.

52 Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. О существовании либрационных астероидов за орбитой Юпитера// Космич. исслед. 1995. Т.ЗЗ. №3. С.317.

53 Мушаилов Б.Р. О множественности линдбладовских резонансных зон за поясом Койпера // Труды Государственного астрономического института имени П.К. Штернберга. Янус-К. 2004. Т. LXX. М С.251.

54 Герасимов И.А. Эволюция орбит астероидов в случае соизмеримостей первого порядка // Астрон. Журн. 1986. Т. 63. Вып. 4. С. 768.

55 Kenyon S. J. Planet Formation in the Outer Solar System // arXivrastro-ph/0112120vl 5 Dec 2001.

56 Мартынова A.M. Орлов В.Л. Резонансы в задаче трех тел равных масс // Астрон. журнал. 2011. Т. 88. № 2. С. 196.

51 Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике М.: Наука 1978, 128 с.

58 Гребенников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику М.: Янус-К. 1999. 301с.

59 Журавлев С.Г. Метод исследования острорезонансных задач небесной механики и космодинамики. Т.1. Архангельск: ГП «Солти». 2000. 307 с. Т.2. Орбитальное движение Метод исследования острорезонансных задач небесной механики и космодинамики. Т.2. Орбитальное движение, Поступательно-вращательное движение. Архангельск: ГП «Солти». 2002. 368 с.

60 Журавлев С.Г. Герасимов И.А. Новый класс стационарных и условно-периодических решений пространственной ограниченной эллиптической задачи трех тел // Астрон. Журн. 1981. Т. 58. Вып.4. С. 879.

61 Kley W., Peitz J., Bryden G. Evolution of Planetary Systems in Resonance // arXiv:astro-ph/0310321vl 11 Oct 2003.

62 Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы. Физматлит. М., 2009. 588с.

63 Маркеев А.П. К теории резонансного вращения Меркурия // Нелинейная Динамика. 2009. Т.5. №1. С. 87.

64 Соколов J1.JI. Эскин Б.Б. О возможных резонансных орбитах экзопланет // Астрон. Вестн. 2009. Т. 43. №1. С. 87.

65 Malhotra R. The Origin of Pluto's Orbit: Implications for the Solar System Beyond Neptune // AJ. 1995. V. 110. P. 420.

6в Morbidelli A., Levison H.F., Gomes R. The Dynamical Structure of the Kuiper Belt and its Primordial Origin // The Solar system beyond Neptune. P. 275.

67 Холостова О. О бифуркациях и устойчивости резонансных периодических движений гамильтоновых систем с однойстепенью свободы при

вырождении гамильтониана // Нелинейная Динамика. 2006. Т.2. №1 С. 89.

68 Garfinkel В. Formal solution in the problem of small divisions // AJ. 1966. V. 71. N8. P. 657.

69 Garfinkel В., Jupp A., Williams C. A recursive von Zeipel Algorithm for the ideal resonance problem //AJ. 1971. V. 76. N. 2. P. 157.

70 Garfinkel B. On resonance in celestial mechanics // Celestial Mechanics 1982. N. 28. P. 275.

71 Николис Г., Пригожий И. Познание сложного. М.: Мир. 1990. 344 с.

72 Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // Успехи физ. наук. 1971. Т. 105. вып. 1. С.З.

73 Мушаилов Б.Р., Теплицкая B.C. Аналитические решения, интерпретирующие эволюцию двухчастотных космических систем в случае орбитального линдбладовского резонанса при учете рэлеевской диссипации, Косм. Исслед. (2012) (в печати).

1АЛич Дж. У. Классическая механика. Москва. Изд. Иностранной литературы. 1961. 176 с.

75 Стрэтт Дж. В. (Лорд Рэлей) Теория звука. Пер.с 3-его англ.издания П.Н. Успенского и С.А. Каменецкого. М, JI. Гостехиздат. 1944. 476с.

76 Whittaker Е. A. Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid bodies/ Cambridge University Press. Cambridge. 1959.

77 Маркеев А.П. Теоретическая механика M.: ЧеРо. 1999. 572 с.

78 Burmistrov S. N. Dissipative dynamics of the Josephson effect in the binary

Bose-condensed mixtures // arXiv:l 104.0647vl [cond-mat.quant-gas] 4 Apr 2011.

79 Yavari A. A. Geometric Theory of Growth Mechanics // arXiv:0911.4671 vl [math.DG] 24 Nov 2009.

80 Zhu W., Shelley M., Palffy-Muhoray P. Modeling and Simulation of Liquid Crystal Elastomers // arXiv:1006.0044vl [cond-mat.mtrl-sci] 1 Jun 2010.

81 Modin K., Soderlind G. Geometric Integration of Hamiltonian Systems Perturbed by Rayleigh Damping//arXiv: 1103.217lv3 [math.NA] 25 Jul 2011.

82 Вильке В.Г. О модели Солнечной системы с диссипацией, Вест. МГУ 2008. Сер.1.№5. С. 25.

83 Peale S.J. Orbital resonance, unusual configurations, and exotic rotation states among planetary satellites, in Satellites, eds. J. Burns and M. Matthews, University of Arizona Press, Tucson. 1986.

84 GarfinkelB. Theory of libration. // Celest. mech. 1976. V. 13. N 2. P. 229.

85 Garfinkel B. Theory of the Trojan asteroids. // Celest. mech. 1980. V. 22. P.

267.

86 Ландау JJ.,Д., Лнфшиц E.M. Механика. Т. I. Сер. "Теоретическая физика". М.: Наука. 1973. 208 с.

87 Ленг С. Эллиптические функции. М.: Наука. 1984. 312 с.

88 Зайцев В.Ф., Полянин АД. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: "Факториал". 1997. 512 с.

89 Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука. 1986. 800 с.

90 Morbidelli A., Giorgilli A. On the dynamics in the asteroids belt. Part 1.2 // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1990. V.47. P. 145.

91 Yoshikawa M. Numerical investigation of motions of resonant asteroids. In the three-dimensional space // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1992. V.54. P. 287.

92 Mushailov B.R., Teplitskaja V.S. About influence of orbital dynamic resonances for peculiarity of statistical arrangement of asteroids and comets // Odessa Astronomical Publications 2007. Vol. 20. P. 90 (http://www.astro-observ.odessa.ua/index.php?go=Content&id==50).

93 Герасимов И.А., Мушаилов Б.P. Об эволюции орбит астероидов, находящихся в орбитальной соизмеримости с Марсом // Астрон. Вестн. 1992. Т.26. № 4. С. 32.

94 Гкрасимое И.А., Мушаилов Б.Р., Калошин А.А. Обнаружение нового класса предсказанных резонансных объектов за Юпитером. // Астрон. Вестн. 2003. Т.37. № 1. С. 51.

95 Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. Гравитационный механизм возникновения делений в кольце Сатурна // Астрон. Вестник. Т. 26. № 5. 1992. С. 14.

96 Mukhametzyanov, I.A.; Serikbaev, A. On the influence of nonlinear dissipative forces on the stability of stationary motions of systems with quasicyclic coordinates. Vestn. Akad. NaukKaz. SSR 1983. No. 3. P. 41.

97 Гребеников E.A., Земцова Н.И. Методы компьютерной алгебры в качественных исследованиях ньютоновой проблемы многих тел // Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. Изд-во ВЦ РАН, 2012. С. 72.

98 Земцова. Н.И. Качественные исследования ньютоновой проблемы многих тел методами компьютерной алгебры. // Препринт «Сообщения по прикладной математике». Москва: изд-во ВЦ РАН. 2010. 61с.

99 Дикусар В.В., Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Робастная устойчивость по части координат. // СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ. 2009. 234 с.

100 Sarins W. Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach. Germany: DAV. 2000.

101 Whitney H. On singularities of Mappings of Euclidean Spaces // Ann. Math. V. 62. 1955. P. 374.

102 Zeeman E. Catastrophe Theory/ Selected Papers 1972-1977. Reading MA: Addison-Wesley.l977.

103 Алексеев IO.K., Сухорукое А.П. Введение в теорию катастроф. М.: Изд-во МГУ. 2000. 173с.

104 Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука. 1990. 128 с.

105 Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А. А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. Наука. 1991. 240 с.

106 Chirikov В. A. Universal instability of mane dimensional oscillator system // Phys. Reports. 1979. V. 52. P. 263.

107 Арнольд В.И. Математические методы классической механики. Эдиториал. УРСС. М., 2000. 408 с.

108 Лесин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // Успехи мат. наук. 1977. Т. 32. № 4. С. 55.

109 Жуковский Н.Е. О прочности движения. Полн. собр. сочинений.

M.:JL: ОНТИ НКТП, 1937. T.l. 636 с.

110 Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. M.:JI. Гостехиздат. 1950. 472 с.

111 Мушаилов Б.Р., Теплицкая B.C. О влиянии в планетном варианте резонансной задачи трёх тел рэлеевской диссипации на параметры стохастического слоя, Космич. Исслед. (2012) в печати.

112 КурошА.Г. Курс высшей алгебры. Физматгиз. М., 1959. 431с.

113 Абрамовиц М., Стиган. И. Справочник по специальным функциям М.: Наука. 1979. 832 с.

114 Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука. 1979. 320 с.

115 Delorme P., Gagne G, Malo L. et al., CFBDSIR2149-0403: a 4-7 Jupiter-mass free-floating planet in the young moving group AB Doradus ?//Astr. and Astroph. 2012. V. 548. A 26; arXiv:1210.0305vl [astro-ph.SR] 1 Oct 2012."

116 Мушаилов Б.P., Теплицкая B.C. Качественные исследования эволюции орбитальных элементов в планетном резонансном варианте задачи трех тел в случае рэлеевской диссипации, Космич. исслед. 2013. Т. 51. № 5. С. 402.

117 The Microlensing Observations in Astrophysics (MOA) Collaboration & The Optical Gravitational Lensing Experiment (OGLE) Collaboration Unbound or distant planetary mass population detected by gravitational microlensing // Nature. 2011. V.473.P. 349.

118 https://sites.google.com/site/larrygerstman/e-elt—42-m-telescope.

119 "Sullivan J.; EichhornB.; HandorfR.; Sabatke D. et al. Manufacturing and integration status of the JWST OSIM optical simulator // Proc. SPIE. 2010.77313V. 7731."

120 Под ред. B.B. Нестерова, A.M. Черепащука, Е.К. Шеффера. Космический астрометрический эксперимент "Ломоносов". МГУ. 1992.

121 Bonfils X., Mayor М., Delfosse, X., Forveille Т. et al. The HARPS search for southern extra-solar planets. X. A msin i = 11 M planet around the nearby spotted M dwarf GJ 674//Astr. and Astroph. 2007. V. 474. P. 293.

122 Scargle J. Studies in astronomical time series analysis. II - Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data// ApJ. 1982. V. 263. P. 835.

123 Schwarzenberg-Czerny A. Fast and Statistically Optimal Period Search in Uneven Sampled Observations // ApJ. 1996. V. 460. P. LI07.

124 О'Toole S., Tinney C., Jones H., Butler R. Selection Functions in Doppler Planet Searches // MNRAS. 2008. V. 386. P. 516.

125 Мушаилов Б. P., Теплицкая B.C. Спектрометрический метод обнаружения экзопланет как еще один тест для проверки инвариантности скорости света //Вестник Моск. ун-та. 2011. Т.З. № 6. С. 99.

126 Мушаилов Б.Р., Ивановская Л.М., Теплицкая B.C., О корректных статистических распределениях экзопланет по их динамическим параметрам // Космич. Исслед. 2010. Т.48. С. 380.

127 Ida. S., Lin D., Toward a Deterministic Model of Planetary Formation. I. A Desert in the Mass and Semimajor Axis Distributions of Extrasolar Planets // Astroph. J. 2004. V. 604. P. 388.

128 Сафронов B.C., Витязев A.B. Происхождение Солнечной системы.

Сер. «Итоги науки и техники. Астрономия. Т.24».: М. ВИНИТИ, 1983.

129 Энеев Т. М., Козлов Н. Н. I. Модель аккумуляционного процесса формирования планетных тел // Астрон. Вестн. 1981. Т. 15, № 2. С. 80.

130 Энеев Т. М., Козлов Н. Н. II. Модель аккумуляционного процесса формирования планетных тел //Астрон. вестн. 1981. Т. 15. № 3. С. 131.

131 Marois С., Macintosh В., Barman Т., Zuckerman В. et al. Direct Imaging of Multiple Planets Orbiting the Star HR 8799 // Science. V. 322.1. 5906. P. 1348.

132 Kalas P., Graham J., Chiang E., Fitzgerald M. et al. Optical Images of an Exosolar Planet 25 Light-Years from Earth // Science. 2008.V. 322 N. 5906. P. 1345.

133 Абубекеров M.K., Гостев Н.Ю., Черепащук A.M. Анализ кривых блеска затменных систем с экзопланетами. Система HD 209458 //Астрон. журнал. 2010. Т. 87. № 12. С.1199.

134 Абубекеров М.К, Гостев Н.Ю., Черепащук A.M. Анализ кривых блеска затменных систем с экзопланетами. Система HD 189733// Астрон. журнал. 2011. Т. 88. № 12. С. 1139.

135 Langer G.E., Fisher D., Sneden С., Bolte M., Spectroscopic evidence for small metallicity variation among M92 giants // AJ. 1998. V.l 15. P. 685.

136 Santos N.C., Israelian G., Mayor M. Spectroscopic [Fe/H] for 98 extrasolar planet-host stars. Exploring the probability of planet formation //Astr. and Astroph. 2004. V. 415. P. 1153.

137 Fischer D.A., Valenti J. The Planet-Metallicity Correlation 11 ApJ.

2005. V. 632. P. 1102.

138 Ксанфомалити JI.В., Внесолнечные планетные системы // Астрон. вестн. 2000. Т. 34. № 6. С. 529.

139 Мушаилов Б.Р., Теплицкая B.C., О надёжности определения орбитальных параметров экзопланет доплеровским методом. // Косм. Исслед. 2012. Т. 50. С. 452.

140 Baluyev R.V., Statistics of masses and orbital parameters of extrasolar planets using continuous wavelet transforms. Proceedings of the international colloquium held at the observatories de Haute Provence. // Paris. Edited by L. Arnold, F. Bouchyand, C. Moutou. 2006. P. 103. 86

141 Балуев P.В. Освобождение статистики внесолнечных планет от эффектов наблюдательной селекции // Физика космоса. Тр. 35-международной студ. конф. Екатеринбург, 30.01-3.02. 2006. Изд-во Урал.ун-та. 2006. С. 214.

142 Booth М., Wyatt М.С., Morbidelli A., Moro-Martín A., Levison H.F. The history of the Solar System's debris disc: observable properties of the Kuiper belt // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society (MNRAS.) 2009. V.399. P. 385.

143 Холшевников КВ. Кузнецов Э.Д. Обзор работ по орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы //Астрон. Вестн. 2007. Т. 41. №4. С. 291. 118

144 Trujillo С.A., Brown М.Е The radial distribution of the Kuiper belt // ApJ. 2001. V. 554. P. 95 127

145 Sheppard S. Small Bodies in the Outer Solar System // ASP Conf.Series 2006. V. 352. P. 3. 128

146 Chiang, E. I., Lovering, J. R., Millis, R. L., Buie, M. W., et. al. Resonant and Secular Families of the Kuiper Belt // Earth, Moon and Planets. 2003. V. 92. N.l. P. 49. 129

147 Jewitt D., Moro-Martín A., Lacerda P. The Kuiper Belt and Other Debris Disks. Astrophysics in the Next Decade eds: H. Thronson, M. Stiavelli and A. Tielens. 2009. Springer. 520 p. 130

148 Levison H.F. Morbidelli A., Laerhoven C., Gomes R., Tsiganis K. Origin of the structure of the Kuiper belt during a dynamical instability in the orbits of Uranus and Neptune // Icarus. 2008. V. 196 N. 1. P. 258.

&