Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Черевко, Александр Александрович

• Черевко, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Черевко, Александр Александрович

1 Оптимальная система подалгебр

1.1 Введение.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Алгоритм построения оптимальной системы подалгебр алгебры Ли

2 Программы аналитических вычислений

2.1 Построение канонических систем для инвариантных подмоделей газовой динамики

2.2 Вычисление нормализаторов подалгебр алгебры Ли

3 Инвариантные подмодели вихря Овсянникова (ВО)

3.1 Модель вихря Овсянникова.

3.1.1 Уравнения газовой динамики в сферических координатах

3.1.2 Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение

3.1.3 Полученные результаты.

3.1.4 Исследование радиального движения для инвариантных подмоделей ВО

3.2 Однородный вихрь Овсянникова (ОВО).

3.2.1 Уравнения ОВО в лагранжевых координатах.

• 3.2.2 Интегрирование уравнения Шварца для частных значений j.

3.2.3 Анализ изотермических движений газа

7 = 1).

3.3 Стационарный вихрь Овсянникова (СВО).

3.3.1 Неявные дифференциальные уравнения.

3.3.2 Свойства решения ключевого уравнения для СВО

7 = 3).

3.3.3 Поведение интегральных кривых на бесконечности

3.3.4 Описание течения газа в стационарном ВО

3.3.5 Ударная волна в стационарном вихре Овсянникова

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике»

Свойство симметрии играет важную роль при изучении дифференциальных уравнений. Адекватным математическим оформлением концепции симметрии является групповой анализ дифференциальных уравнений — раздел математики, лежащий на стыке алгебры и дифференциальных уравнений, изучающий алгебраическую структуру на множестве решений.

Сегодня групповой анализ дифференциальных уравнений является одним из наиболее мощных и универсальных методов отыскания широких классов точных решений дифференциальных уравнений произвольного вида. Особенно эффективны его приложения в механике сплошных сред и математической физике, поскольку математические модели рассматриваемые в этих науках по своему построению инвариантны относительно некоторой группы симметрии.

Использование свойств симметрии дифференциальных уравнений для получения точных решений является предметом исследований многих российских и зарубежных авторов. Большое число точных решений уравнений газовой динамики приведено в классических монографиях [1], [2]. Основы группового анализа изложены в [3]. Различным его приложениям, поиску и исследованию точных решений на основе понятия симметрии посвящены работы Н.Х.Ибрагимова, В.В.Пухначева, С.В.Хабирова, П.Олвера и других авторов.

В предложенной академиком Л. В. Овсянниковым научно-исследовательской программе ПОДМОДЕЛИ [4] описан наиболее общий теоретико-групповой подход к изучению дифференциальных уравнений с целью максимального использования заложенных в них свойств симметрии. В лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН программа ПОДМОДЕЛИ применяется к уравнениям газовой динамики. Результаты настоящей диссертации способствуют выполнению этой программы.

Работа посвящена классификации, построению, исследованию и физической трактовке новых точных решений дифференциальных уравнений, возникаюших в газовой динамике.

На защиту выносятся следующие основные научные результаты.

• В работе впервые построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 14-мерной алгебры Ли симметрий, допускаемой уравнениями пространственных движений политропного газа с показателем политропы 7 = 5/3 (одноатомный газ). Данная оптимальная система задает полный перечень существенно различных подмоделей дифференциальных уравнений газовой динамики.

• Разработаны программы аналитических вычислений для построения канонических систем дифференциальных уравнений, описывающих инвариантные подмодели газовой динамики и вычисления нормализатора подалгебр в произвольной алгебре Ли.

• Получены и изучены новые точные решения дифференциальных уравнений газовой динамики. Эти решения порождаются стационарной и однородной подмоделями вихря Овсянникова.

Для однородной подмодели получены следующие основные результаты.

1. Исследование решений подмодели сведено к анализу поведения в целом решений неоднородного уравнения Шварца.

2. Для частных значений показателя адиабаты, равных 1, 4/3, 5/3, получены представления решения в терминах уравнений меньшего порядка.

3. Описано изотермическое движение газа. Показано, что возможно существование периодической геометрической конфигурации траекторий с особенностью плотности.

Для стационарной подмодели получены следующие основные результаты.

1. Исследование решений подмодели сведено к анализу поведения в целом решений неявного дифференциального уравнения.

2. Обнаружены и изучены все качественно различные режимы течения.

3. Наиболее интересным является режим "тонкого диска". В этом режиме газ при больших значениях радиуса R занимает тонкий слой в плоскости экватора, причем толщина этого слоя стремится к нулю при R —> оо. Асимптотическое поведение физических величин отличается от такового для сферически симметричного случая.

4. Построено решение, описывающее течение газа со стационарной ударной волной, фронт которой является сферой. В таком течении происходит переход с одного режима течения на другой, соответствующий переходу между двумя пересекающимися интегральными кривыми неявного уравнения.

Достоверность полученных в диссертации результатов устанавливается доказательствами, иллюстрируется наглядным графическим материалом.

Все результаты являются новыми.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством академика РАН Л.В.Овсянникова в ИГиЛ СО РАН, на семинаре под руководством академика РАН В.Н.Монахова и чл.-корр. РАН П.И.Плотникова в ИГиЛ СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В.В.Пухначева в ИГиЛ СО РАН, на семинаре под руководством академика РАН С.К.Годунова в ИМ СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН И.А.Тайманова в ИМ СО РАН, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ММФ НГУ под руководством профессора А.М.Блохина, на семинаре под руководством профессора В.С.Белоносова и профессора М.В.Фокина в ИМ СО РАН, а также на следующих научных конференциях:

Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999),

Всероссийские конференции «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)» (Уфа, 1998; Абрау-Дюрсо, 2004),

Всероссийская конференция «Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте» (Новосибирск, 2003),

Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003),

Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004), результаты работы, касающиеся стационарного вихря Овсянникова, были отмечены на Общем собрании РАН ее президентом академиком Ю.С. Осиповым в числе важнейших научных достижений Российской Академии наук в 2003 году [5].

Основные положения диссертации опубликованы в работах [41]-[44]. Работы [43, 44] выполнены в соавторстве с А.П.Чупахиным. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Диссертация объемом 164 страницы состоит из введения, трех глав, заключения, 3 приложений, 2 таблиц, 52 иллюстраций и списка литературы из 44 наименований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Черевко, Александр Александрович

Заключение

В работе впервые построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 14-мерной алгебры Ли симметрий, допускаемой уравнениями пространственных движений политропного газа с показателем политропы 7 = 5/3 (одноатомный газ). Данная оптимальная система задает полный перечень существенно различных подмоделей дифференциальных уравнений газовой динамики.

Разработаны программы аналитических вычислений для построения канонических систем дифференциальных уравнений, описывающих инвариантные подмодели газовой динамики и вычисления нормализатора подалгебр в произвольной алгебре Ли.

Для модели однородного вихря Овсянникова в диссертации получены следующие результаты:

1. При частных значениях показателя адиабаты 7, равных 1, 4/3, 5/3, получены представления решения уравнения (1.2) в терминах уравнений меньшего порядка.

2. Наиболее подробно исследован случай изотермического газа, для которого 7 = 1. Показано, что в этом случае возможно существование периодической геометрической конфигурации траекторий, однако плотность газа при этом имеет сингулярность. Физически определенное решение существует на интервалах времени, не содержащих точек сингулярности.

Дано описание движения газа в стационарном вихре Овсянникова. Задача сведена к анализу поведения в целом решений неявного дифференциального уравнения.

1. Доказано, что течение газа определено вне шара R < R2 конечного радиуса R2) как и в классическом сферически симметричном случае.

2. Существует несколько качественно различных режимов течения.

Если в течении газа радиальная компонента скорости U по модулю меньше скорости звука с, то течение определено только внутри некоторого шара с центром в начале координат. Область заполненная газом симметрична относительно плоскости экватора. По мере удаления от начала координат она уплощается и ее границы все более приближаются к плоскости экватора. При максимально возможном значении радиуса R = Лкрит газ занимает слой ненулевой толщины. В таком движении возможен двукратный непрерывный переход через скорость звука. При первом переходе течение становится дозвуковым, а при втором снова сверхзвуковым. Такой режим течения назван авторами режимом "толстого диска".

Если радиальная компонента скорости U по модулю превосходит скорость звука с, то возможен режим течения, аналогичный режиму толстого диска". Кроме того, возможны еще два режима течения, в которых область, заполненная газом, не ограничена в пространстве: режимы "асимптотического конуса" и "тонкого диска".

Для первого из них газ при движении занимает область, которая в пределе при больших значениях радиуса совпадает с дополнением к конусу. Асимптотики физических величин такие же, как и в сферически симметричном случае.

Для режима "тонкого диска" газ при больших значениях радиуса занимает тонкий слой в плоскости экватора, причем толщина этого слоя стремится к нулю при jR —> оо. Асимптотическое поведение физических величин отличается от такового для сферически симметричного случая.

Возможно течение газа со стационарной ударной волной, фронт которой является сферой. В таком течении происходит переключение сверхзвукового режима, для которого \U\ > с, на режим "толстого диска".

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Черевко, Александр Александрович, 2005 год

1. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.:Наука, 1965

2. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971

3. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

4. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, № 4. С. 30-55.

5. Осипов Ю.С. Фундаментальная наука как важнейший ресурс национальной инновационной системы // Вестник Российской Академии наук. 2004. Т. 74, № 10, С. 870-873.

6. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Доклады РАН. 1993. Т. 333, № 6. С.702-704.

7. Овсянников Л. В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики // Новосибирск, 1997. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 3-97.

8. Овсянников Л.В. Особый вихрь //ПМТФ. 1995. Т. 36, № 3, С. 45-52.

9. Чупахин А.П. Инвариантные подмодели особого вихря //ПММ. 2003. Т. 67, вып. 3, С. 390-405.

10. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000.

11. Patera J.,Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. III. The De Sitter groups //J. Math. Phys. 1977. V. 18. т 12 P. 2259-2288.

12. Джекобсон H. Алгебры Ли //М.:Мир, 1964.

13. Головин С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае по-литропного газа. // Новосибирск, 1996. Препринт/Ин-т гидродинамики. Сиб. отделение РАН. № 5-96.

14. Хабиров С. В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. Уфа. 1998. (Препр. / УНЦ РАН. Ин-т механики)

15. Лапко Б. В. Построение оптимальных систем подгрупп группы Ли преобразований, допускаемой уравнениями газовой динамики. // ДСС. 1973. Вып. 14. С. 112-119.

16. Gagnon L. Continuous subgroups of the Galilei and Galilei-similitude groups. // Canad. J. of Phys. 1989. V. 67. №1.

17. Фущич В.И., Баранник И.Ф., Баранник А.Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. Киев: Наук, думка. 1991. 304 с.

18. Ибрагимов Н.Х. Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа. //ПМТФ. 1966. т. С. 19-22.

19. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1992

20. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

21. Чупахин А. П. Небарохронные подмодели типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики // Новосибирск, 1999 (Препр./ Институт гидродинамики СО РАН; №1-99).

22. Овсянников Л. В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Докл. РАН. 1998. Т. 361, №. С. 740 -742.

23. Чупахин А. П. Гидродинамика с квадратичным давлением // ПМТФ. 2002. Т. 43, т. С. 27 36, №2. С. 227 - 28.

24. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.

25. Rogers С., Ames W. Nonlinear boundary value problems in science and engineering. Academic Press. 1989.

26. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1941.

27. Зеликин М.М. Однородные пространства и уравнение Рикатти в вариационном исчислении. М.: Факториал, 1998.

28. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

29. Овсянников Л. В. О периодических движениях газа // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 4. С. 567 577.

30. Овсянников JI.B. О концепции "особого вихря". Тезисы Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", 10-14 мая 2004г., Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, с. 103

31. Чупахин А.П. Самосопряжение решений через ударную волну //ПМТФ. 2003, Т.44, №3, с.26-40

32. Павленко А.С. Проективная подмодель особого вихря. Тезисы Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", 10-14 мая 2004г., Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, с.107

33. Павленко А. С. Проективная подмодель вихря Овсянникова //ПМТФ. 2005, Т.46, №4, с.3-16

34. Головин С.В. "Особый вихрь" в магнитогидродинамике. Тезисы Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", 10-14 мая 2004г., Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, с. 48-49

35. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999

36. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970

37. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961

38. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990

39. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988

40. Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука, 19861. Работы автора

41. Черевко А.А. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = f(S)p5//3 // Новосибирск, 1996. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 4-96.

42. Черевко А.А. Построение канонических систем дифференциальных уравнений для инвариантных подмоделей газовой динамики // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 6. С. 92-96.

43. Черевко А.А., Чупахин А.П. Однородный особый вихрь //ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2, С.75-89

44. Черевко А.А., Чупахин А.П. Стационарный особый вихрь // Новосибирск, 2005. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 1-05.