Исследование чувствительности характеристик надёжности дублированных систем в случайной среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Чан Ань Нгиа

• Чан Ань Нгиа
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Чан Ань Нгиа

Содержание

Список сокращений

Введение

Глава 1. Марковские модели надёжности систем, работающих в марковской случайной среде

1.1. Общая модель

1.1.1. Однородная марковская модель облегчённого резервирования

1.1.2. Уравнения Колмогорова

1.1.3. Стационарные характеристики

1.1.4. Распределение времени безотказной работы

1.1.5. Численный анализ

1.2. Частные случаи

1.2.1. Модель не нагруженного (холодного) резервирования

1.2.2. Модель горячего резервирования

1.3. Модели неоднородных систем

1.3.1. Модель неоднородной системы, работающей в стабильной среде без ограничений на доступность ремонта

1.3.2. Модель неоднородной системы с ограничениями на доступность восстановления

1.3.3. Модель неоднородной системы, работающей в случайной среде

1.3.4. Численный анализ

1.4. Заключение

Глава 2. Исследование чувствительности характеристик надёжности систем к виду функций распределения времени безот-

казной работы и ремонта их элементов

2.1. Постановка задачи и обозначения

2.2. Система холодного дублирования < M2/GI/1 >

2.3. Система холодного дублирования < GI2/M/I >

2.4. Численный анализ систем

2.5. Заключение

Глава 3. Анализ чувствительности характеристик надёжности систем, работающих в случайной внешней среде, к виду распределений времени безотказной работы и ремонта их элементов

3.1. Постановка задачи и обозначения

3.2. Система холодного дублирования < М2/С//1{МЕ) >, работающая в случайной марковской среде

3.3. Система холодного дублирования < GIz/M/1{МЕ) >, работающая в случайной марковской среде

3.4. Численное исследование модели

3.5. Заключение

Заключение

Литература

Список сокращений

В скобках приведены стр., на которых впервые вводится соответствующее сокращение или обозначение

в.б.р. время безотказной работы (6)

МИП Матрица Интенсивностей Переходов (14)

ME Марковская случайная среда (Markov Environment) (6)

GI Рекуррентный поток или обслуживание (General Independent) (6)

ПЛ Преобразование Лапласа (15)

ПРГ Процесс Рождения и Гибели (27)

RE Случайная среда (Random Environment) (98)

п.р. плотность распределения (17)

п.ф.м. производящая функция моментов (13)

СМО Систем Массового Обслуживания (6)

СУР Система Уравнений Равновесия (15)

ф.р. функция распределения (6)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование чувствительности характеристик надёжности дублированных систем в случайной среде»

Введение

Актуальность темы.

Одной из центральных проблем изучения природы является анализ устойчивости систем к малым изменениям внешних параметров. Этим вопросам посвящены классические работы Ляпунова, Пуанкаре и др. в области устойчивости систем дифференциальных уравнений.

Большинство современных технических систем, в том числе систем передачи информации и телекоммуникационных систем, функционируют в условиях изменяющейся внешней среды, которые носят как регулярный (смены времён года), так и случайный характер, причём частота этих изменений может быть как соизмеримой с частотой отказов системы, так и быть значительно больше или меньше неё. Влияние этих факторов на надёжность системы представляет значительный интерес в условиях быстро развивающихся технических возможностей современного мира. Поэтому исследование надёжности систем, работающих в случайной среде, является частью глобальной задачи исследования устойчивости систем к внешним воздействиям и представляется актуальным и интересным как в теоретическом, так и в прикладном плане.

С другой стороны одним из принципиальных вопросов анализа поведения сложных систем является исследование их устойчивости к изменениям их исходных параметров. Применительно к стохастическим системам важным вопросом является исследование чувствительности их выходных характеристик к виду функций распределения входных параметров. Поэтому исследование чувствительности стационарных и не стационарных характеристик надёжности систем к виду распределений времени безотказной работы и времени ремонта их элементов также представляется весьма актуальным.

В диссертации исследуется влияние изменчивости внешней среды на характеристики надёжности системы, с одной стороны, и чувствительность характеристик надёжности систем к виду функций распределения (ф.р.) времени безотказной работы (в.б.р.) и времени ремонта - с другой.

Обзор предшествующих исследований.

Существует ряд работ, посвящённых исследованию поведения систем массового обслуживания {СМО), работающих в случайной среде. Одной из первых работ, посвящённой этой проблематике, была работа Эйсена и Тай-нитера [1], которые исследовали систему < М/М/1(МЕ) > в предположении, что среда может находиться только в двух состояниях. (Здесь и далее угловые скобки "< >" используются для обозначения замкнутых систем обслуживания, с ограниченным числом источников заявок. Символы GI (GI -General Independent) используется для указания рекуррентного потока отказов на первом месте или рекуррентного механизма восстановления элементов на втором и заменяется символом М для показательных распределений в.б.р. или времени ремонта или специальными символами для иных распределений, например Ek{\) для распределения Эрланга с параметрами (/с, Л), а обозначение в скобках (ME - Markov Environment) означает, что соответствующая система функционирует в случайной марковской среде.)

Эта система была исследована также в работах Наора и Ехиали [2-5], а затем обобщена в Ехиали [6] на случай произвольного конечного числа состояний внешней среды.

Ньютс [7-9], использовал матрично-аналитический подход для исследования поведения одно- и много-линейных систем в случайной среде. Затем модели < М/М/1(МЕ) > и < М/М/оо(МЕ) > исследовались в работах Пюрдю [10] и О'Цинниди и Пюрдю [11]. Дальнейшее развитие этой проблематики развивалось в направлении расширения исследования поведения систем обслуживания в различных направлениях, связанных с обобщением моделей

входящего потока, механизма обслуживания и структуры случайной внешней среды. Достаточно подробный обзор современных работ на эту тему можно найти, например, в работах Клименок, Мушко, Дудина и др. [12-14].

В работах школы Томского государственного университета A.M. Горце-ва и A.A. Назарова исследуются СМО с входящими потоками случайной интенсивности, которые также допускают интерпретацию случайной внешней среды.

Однако вопросам исследования надёжности систем, функционирующих в случайной среде, до настоящего времени уделялось недостаточно внимания. Этим вопросам посвящено одно из направлений исследования в данной диссертации.

Другим важным направлением исследований стохастических моделей является изучение чувствительности их выходных характеристик к виду ф.р. входных. Одним из первых результатов о нечувствительности характеристик систем массового обслуживания к виду ф.р. времени обслуживания была теорема Б.А. Севастьянова [15] о справедливости формул Эрланга для произвольных законов распределения длительностей разговоров при фиксированной их средней продолжительности.

И.Н. Коваленко [16] показал, что при показательном распределении в.б.р. элементов резервированной системы необходимым и достаточным условием нечувствительности стационарных характеристик её надёжности (стационарных вероятностей состояний) к виду ф.р. времени ремонта является возможность немедленного начала восстановления отказавшего элемента (т.е. достаточное количество восстанавливающих устройств).

В.В. Рыковым [17] показано, что это условие достаточно для нечувствительности стационарных характеристик надёжности систем к виду как ф.р. в.б.р., так и времени ремонта. Однако при наличии ограничений на возможность ремонта (в случае ограниченного числа восстанавливающих устройств)

этот факт не верен. Для исследования чувствительности характеристик надёжности систем к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта её элементов в диссертации используется метод введения дополнительных переменных (см. [18]).

В случае, если для марковизации процесса, необходимости введения нескольких дополнительных переменных используются кусочно-линейные марковские процессы (см. [16], [19], [20]). Более подробно метод дополнительных переменных представлен также в [21].

Большой вклад в исследование вопросов устойчивости характеристик стохастических систем к случайным внешним воздействиям внесли советские учёные Н.Г. Гамкрелидзе (см. [22]), В.А. Ивницкий (см. [23], [24], [25], [26], [27]), В.А. Каштанов (см. [28], [29], [30], [31]).

Цель диссертационной работы.

Целью исследования является изучение влияния случайности внешней среды и её изменчивости на характеристики надёжности системы, с одной стороны и их чувствительности к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта - с другой. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи.

Задачи исследования.

1. Построить и исследовать марковскую модель надёжности системы, функционирующей в случайной марковской среде.

2. Рассмотреть проблему чувствительности характеристик надёжности дублированных систем < М2/в1/1 > и < а2/М/1 > к виду ф.р. в.б.р.

и времени ремонта их элементов при ограничениях на доступность восстановления.

3. Исследовать проблему чувствительности характеристик надёжности систем < М2/а/1{МЕ) > и < а2/М/1{МЕ) >, работающих в случайной внешней среде, к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов.

4. Разработать программные средства анализа влияния случайности внешней среды на характеристики надёжности дублированных систем и их чувствительности к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Предложен новый метод математического моделирования объектов, подверженных отказам, работающих в случайной среде. Метод опирается на теорию марковских процессов с конечным пространством состояний и реализован с помощью алгоритмов и численных методов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ в среде МАТЬАВ, для проведения вычислительного эксперимента.

2. Исследование чувствительности характеристик надёжности систем

< М2/а/1 > и < С/2/М/1 > к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов при ограничениях на доступность восстановления, которое представляет собой развитие качественных и приближенных аналитических и численных методов исследования математических моделей.

3. Исследование влияния случайности внешней среды на надёжность систем < М2/а/1{МЕ) > и < а2/М/1(МЕ) > с произвольными законами распределения в.б.р. или времени ремонта их элементов, которое представляет собой комплексное решение новой научно-технической проблемы с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

1. В отличие от предыдущих исследований предложена общая математическая модель анализа надёжности систем, функционирующих в слу-

чайной среде. Для марковской модели надёжности системы, функционирующей в марковской случайной среде выписаны дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний и получены формулы для вычисления стационарных и нестационарных характеристик надёжности систем. Проведён численный анализ влияния случайной среды на характеристики надёжности системы.

2. Рассмотрена проблема чувствительности характеристик надёжности дублированных систем к виду функций распределения в.б.р. и времени ремонта её элементов при ограничениях на его доступность. Получены явные, выражения для вероятностей состояний такой системы, разработаны программные средства и проведён численный анализ влияния случайности среды на характеристики надёжности при произвольных законах распределения в.б.р. и времени ремонта элементов системы.

3. Разработана модель, программные средства в среде МАТЬАВ и проведено численное исследование чувствительности характеристики надёжности дублированной системы, работающей в случайной марковской среде к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта её элементов и сравнение полученных результатов с соответствующими характеристиками для марковской модели.

Методы исследования.

Поскольку отказы систем и их восстановление носят случайный характер, их изучение опирается на теоретико - вероятностные методы. Поэтому в работе используются методы теории вероятностей, теории случайных марковских процессов, теории массового обслуживания, теории надёжности, в том числе такие специальные методы, как метод введения дополнительных переменных, численные методы решения дифференциальных и алгебраических уравнений, а также специальные программные средства в среде МАТЬАВ.

Обоснованность и достоверность результатов.

Достоверность результатов определяется их строгими доказательствами, а также подтверждается численными расчетами и вычислительным экспериментом.

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая значимость работы состоит в разработке моделей и методов анализа надёжности систем, работающих в случайной среде, включая анализ чувствительности характеристик надёжности систем к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов.

Практическая значимость этих результатов состоит в значительном расширении возможностей оценки надёжности систем в реальных ситуациях.

Примеры применения рассмотренных моделей надёжности систем, работающих в случайной среде, для исследования гибридной системы передачи информации можно найти, например, в [32, 33].

Реализация результатов работы.

Результаты диссертации были использованы в лабораторных и практических занятиях в курсах "Прикладные задачи теории вероятностей" и "Компьютерная безопасность", читаемых для студентов направлений "Прикладная математика и информатика" и "Компьютерные науки" РУДН.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на

1. Втором Международном семинаре "Прикладная теория вероятностей и теоретическая информатика" в рамках XXXI Международного семинара по проблемам устойчивости стохастических моделей (Москва, 23-27 апреля 2013 г.),

2. Семнадцатой Международной конференции "Распределенные компьютерные и коммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN

- 2013)" (Москва, 07-10 октября 2013 г.),

3. 10-ой Российской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных систем" (Горно-

Алтайск, 9-13 июня 2014 г.).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных и научно-практических семинарах в Российском университете дружбы народов, РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина, НИУ-ВШЭ.

Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах [34-38], из них 2 — тезисы докладов на всероссийских и международных конференциях [34, 35], 3 — статьи в научных журналах [36-38]. Основные результаты представлены в работах, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК [36-38], и получены лично соискателем. В работах, опубликованных в соавторстве, руководителю принадлежит постановка задачи и предложение путей её решения, детальная разработка моделей и методов их исследования, доказательство утверждений, разработка алгоритмов и программных средств для проведения численных расчетов, численный анализ и интерпретация полученных результатов принадлежат соискателю.

В диссертации использовались литературные источники: [39-66].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из списка сокращений, введения, трех глав, разделенных на разделы, заключения и списка литературы из 68 наименования. При ссылке на раздел слева добавляется номер главы. Нумерация теорем сквозная, формул, рисунков и таблиц привязана к номерам глав. Текст изложен на 124 страницах, включая 82 рисунков, 21 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе диссертации представлены результаты исследований [34, 35] марковской модели надёжности системы облегчённого резервирования, функционирующей в случайной марковской среде, частные случаи (холодного и горячего резервирования) которого представлены в работах [36, 37]. Приведены дифференциальные уравнения для вероятностей состояний такой системы и соотношения для вычисления стационарных и нестационарных характеристик надёжности её работы. Получено выражение для производящей функции моментов (п.ф.м.) в.б.р. системы. С целью исследования влияния случайности внешней среды и её изменчивости на характеристики надёжности системы вводится параметр изменчивости среды с, характеризующий её влияние на интенсивности отказов и восстановлений элементов в различных состояниях среды.

В разделе 1.1 приводится общая модель системы изп неоднородных элементов, которая функционирует в случайной марковской среде, принимающей т значений. Состояния такой системы могут быть описаны п + 1 -мерными векторами j = (^о,...,первая компонента^ которых описывает состояния внешней среды и принимает т значений (^о = а бинарные

компоненты з^, (к = 1 ,п), указывают состояния элементов системы. Множество состояний такой системы обозначим через

Е = Шо,Зъ ■ ■ •,Зп) ■ Зо = 1 ,т, зк = {0,1}, (к = Т~п)}.

Общее число состояний конечно и равно N — т х 2п состояний. Множество работоспособных и отказовых состояний обозначим Ео и соответственно.

В разделе 1.1.1 рассмотрена однородная модель марковской системы надёжности, функционирующей в случайной среде, принимающей т состояний, описываемой марковским процессом с матрицей интенсивностей переходов (МИП) Л = [Ajfc,z]. При этом предполагается, что при смене состояния внешней среды элементы системы мгновенно меняют интенсивности отказов и восстановления.

Поведение такой системы описывается двумерным марковским процессом Z(t) = (Jo(i), J{t)), с пространством состояний Е, при этом первая компонента принимает т значений и описывает состояния внешней среды, а вторая J{t) указывают число отказавших элементов системы в момент времени t и принимает п + 1 значение, j = j\ + • • ■ + jn.

При сделанных предположениях процесс Z(t) = (Jo(t),J(t)) является двумерным марковским процессом с пространством состояний Е и блочной МИП Q — [Qx,y] специального вида.

В разделе 1.1.2 получена система дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятности состояний процесса Z(t)

*\t) = • • • , nm(t)) = (7= Р{ J0{t) = k, J(t) = j})

с начальным распределением 71"^(0) = где подвектора TTk(t) описывают

вероятности состояний системы, когда она работает в к-ой среде. Обозначим, кроме того, через а = (а\,..., ат) начальное распределение внешней среды и через е0 = (1,0,...,0) вектор размерности п+ 1, первая (нулевая) компонента которого равна 1, а остальные 0, соответствующий полностью исправному состоянию системы, когда все элементы системы исправны.

Эта система представлена в теореме 1.1.1, в том числе с учётом структуры матрицы Q в виде системы уравнений, соответствующих работе системы в различных средах. В качестве следствия 1.1.2 получена система уравнений изменения внешней среды.

В разделе 1.1.3 представлены стационарные вероятности состояний системы, которые существуют благодаря неразложимости процесса и конечности числа его состояний и совпадают с предельными вероятностями irz = lim^oo 7Tz(t) и удовлетворяют системе уравнений равновесия (СУР), или глобального баланса, которая для вектора стационарных вероятностей тт = {7г2, z 6 Е} с дополнительным условием нормировки имеет вид

tt'q = 0, nl=l. (1)

Получено также представление этих уравнений с учётом структуры МИП.

В разделе 1.1.4 представлено распределение времени безотказной работы. Предположим, что отказовое множество имеет вид Е\ = п)-Обозначим далее через Т время безотказной работы системы, представляющее собой момент первого достижения компонентой J{t) процесса Z(t) отка-зового множества Ei,

Т = inf{t : J(i) G Ei}, и через F(t) = Р{Т ^ t} её ф.р.

оо

Преобразование Лапласа (ПЛ) f(s) = J e~stdF(t) ф.р. в.б.p. F(t) полу-

о

чено в теореме 1.1.4 и имеет вид

~ —>' —_}./ -» f{s) = STTEi(s)l = eQ:Eo{Is - Qo.o) Q0,11, (2)

где Qo,o и Q0,1 обозначены блоки матрицы Q, соответствующие переходам из состояний множества Eq в Eq и Е\ соответственно.

В разделе 1.1.5 представлены несколько вариантов численного анализа модели из двух элементов п = 2, работающей в случайной среде, принимающей два возможных состояния m = 2. Для численного анализа в среде МАТЛАБ разработана программа расчёта стационарных и не стационарных характеристик надёжности системы. Результаты расчётов представлены в виде таблиц и графиков. Проведено сравнения с системой < М2/М/1 >, работающей в неслучайной (стабильной) среде.

В разделе 1.2 представлены результаты для частных случаев моделей холодного и горячего резервирования.

В, разделе 1.3 представлены результаты для модели неоднородных систем с ограничениями на возможность восстановления, работающих в стабильной и случайной средах. Для неоднородных моделей при наличии ограничений на возможность восстановления для построения марковского процесса необходимо помнить, какой из отказавших элементов ремонтируется, что приводит к необходимости расширения пространства состояний системы.

В разделах 1.3.1 и 1.3.2 представлены результаты для неоднородной системы из двух элементов (п ~ 2), работающей в стабильной среде в случаях отсутствия и наличия ограничений на доступность ремонта.

Для этих систем получены системы уравнений для стационарного режима, которые представлены в соответствующих теоремах 1.3.1, 1.3.4 и найдены их аналитические решения, которые используются в дальнейшем для численного анализа и сравнения с результатами для однородных систем.

В разделе 1.3.3 исследована модель неоднородной системы < Мч!М ¡2{МЕ) из п = 2 элементов, функционирующей в случайной среде, принимающей т = 2 состояния. Для описания этой системы приходится использовать трёхмерный марковский процесс, пространство состояний Е которого в этом случае имеет вид

Е = {Оо,ЭъЗг) : ¿о = {1,2},^ = {0,1}, (к = 1, 2)},

где ¿о означает состояние природы, а,¿к ~ состояние к-то элемента (к = 1, 2).

Получены уравнения для вероятностей состояний системы < М2/М/2{МЕ) работающей в случайной среде (теорема 1.3.7), численное решение которых использовано в следующем разделе для анализа поведения системы и сравнения его с поведением аналогичных систем в стабильной среде.

В разделе 1.3.4 представлено несколько вариантов численного анализа. Для сравнения характеристик надёжности систем, работающих в случайной и не случайной средах, с ограничениями на доступность восстановления были согласованы соответствующие параметры отказов и восстановления элементов системы. Результаты представлены в виде таблиц и графиков.

Наконец в разделе 1.4 приводится заключение по результатам исследования в первой главе.

Во второй главе рассматривается проблема чувствительности характеристик надёжности дублированных систем холодного резервирования < Мг/С//1 > и < С/г/М/1 > к виду ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов при ограничениях на доступность восстановления и также представленных в работе [38]. Для этих систем выписаны дифференциальные уравнения в частных производных для нестационарных и обыкновенные дифференциальные уравнения для стационарных вероятностей микро-состояний. Для стационарных вероятностей микро- и макро-состояний этих систем получены явные формулы их зависимости от вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта. Проведено численное исследование влияния законов распределения в.б.р. и времени ремонта элементов на стационарные и не стационарные характеристики надёжности этих систем и их сравнение с соответствующими характеристиками в марковском случае. Не смотря на явную зависимость стационарных вероятностей состояний систем от вида ф.р. в.б.р. и времени ремонта их элементов, численный анализ показал, что при "быстром" восстановлении эта зависимость становится исчезающе малой.

В разделе 2.1 даётся постановка задачи и вводятся обозначения. Будем обозначать ф.р. в.б.р. и времени ремонта элементов системы через А(х) и В{х) соответственно. Предполагается, что они абсолютно непрерывны, и плотности распределения (п.р.) обозначаются череза(х) и Ь{х). Соответствующие средние значения и интенсивности отказов и восстановлений обознача-

ются

оо

а =

ха(х)(1х =

(1 - А(х))сЬ, и Ь

хЪ{х)ё,х — (1 — В(х))<1х о

и

а{х) Ъ{х)

а\х) = 1—лТТл ' и Р\х) =

Наконец для производящей функции моментов в.б.р. и времени ремонта (ПЛ их плотностей а(х) и Ь(х)) используются обозначения

а(в) =

;а(х)с1х, и 6(в)

Ъ(х)(1х.

В разделе 2.2 представлены результаты для системы холодного дублирования < М2/а/1 >. Для марковизации процесса числа неисправных элементов в качестве дополнительной переменной Х(£) используется время, затраченное к моменту £ на обслуживание отказавшего элемента. Обозначим через 7Го(£) вероятность того, что в момент времени i система находится в состоянии г — 0 и через п,(Р,х) плотность распределения вероятностей того, что в момент времени Ь система находится в состоянии % (г = 1,2), и время затраченное на обслуживание отказавшего элемента находится в интервале {х, х + с1х),

7г„(*) = Р{ЛГ(*)=0},

ттг(Р, х)(1х = Р{Л^) = г; х < Х{Ь) <х + в,х] (г = 1,2).

В теореме 2.2.1 получена система дифференциальных уравнений в частных производных для функций 7Го(£) и 7гг(£; ж), (г = 1,2), которая имеет вид ( г

^ = —ащ(Ь) + / 7Г1 и)(3(и)с1и,

о

+ = -(а + ^тг^х),

т

+

дх

—/?(ж)7г2(£; £') + о;7Г1 ж), 18

с граничным условием

71"!0) = аг7Го(£) +

7Г2(^; и)/3(и)с1и.

(4)

В следствии 2.2.2 представлена система уравнений для вероятностей состояний системы в стационарном режиме,

атт0 = / 7Г1(и)/3(и)с1и, о

-к\{х) = -(а + (3(х))7Гг(х), тг2(х) = —/3(х)тт2(х) + ап\{х),

(5)

с граничным условием

(0) = о;7Го +

7Г2 (и)(3(и)с1и.

(6)

Решение системы уравнений (5) с граничным условием (6) представлено в теореме 2.2.3 и имеет вид

Щ

= *(<»)

Р+Ь{а)'

_ ае~ах{1-В(х))

= р+Ь{а) >

_ а(1-е~ах)(1 -В{х)) ~~ р+Ь(а) ;

(7)

7^0)

где р — аЬ.

Вероятности макро-состояний, пред ставленые в следствии 2.2.6, равны

7Г0 =

Ъ(а)

1 -Ь{а) аЬ-(1-Ь{а))

Ж1 = -п2 =

(8)

р + Ь(а) р + Ь(а) р + Ь(а)

В разделе 2.3 представлены результаты для системы холодного дублирования < а2/М/1 >. Используя в качестве дополнительной переменной Х{1) время, прошедшее с момента очередного начала работы прибора и вводя п.р. вероятностей состояний

щ(г-,х)<1х = Р{м(г) = ц х < х(г) <х + (1х} (¿ = 0,1), тг2(*) = Р{#(*) = 2},

аналогично предыдущему случаю для этих функций получена система дифференциальных уравнений в частных производных.

Уравнения для функций 7г2(£) и 7Гг(£; х), (г = 0,1) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в частных производных, которые представлены в теореме 2.3.1, а соответствующие уравнения для вероятностей состояний системы в стационарном режиме, представленные в следствии 2.3.2, имеют вид

/

щ{х) = -а(х)щ(х) + р-К1(х), тг^х) = -{а{х)+/3)ъ1{х)1 (9)

оо

/37г2 = / 7Г] (и)а(и)(1и,

О

с граничным условием

00

тп(О) =

пъ(и)а(и)<1и + /Зтт2.

(10)

В теореме 2.3.3 представлено решение системы уравнений (9) с граничным условием (10)

7г0(:с) 7Г1(ж)

р~1+а{р) р-1 + а(/3) »

(И)

_ а{Р) - р-1+а^)'

где р~1 = а/3.

В следствии 2.3.6 получены вероятности макро-состояний системы, которые определяются формулами

тп = (1-ад)(а/з + ад)-1 = (1-ад)(Р-1 + а(/з))-1,

тг2 = а[Р)№ + а{Р))~1 = аШр~1 + КР))-1-

(12)

Отмечается, что при показательных распределениях в.б.р. или времени ремонта полученные выражения совпадают с соответсвующими результатами для марковской модели, представленными в главе 1.

В разделе 2.4 приводятся результаты численного исследования и сравнительного анализа с марковским случаем. Для численного анализа рассмотрены два примера, когда в качестве общих распределений С/ используются

Гамма-распределения (Г) с п.р.

*> - ^

и распределение Гнеденко-Вейбулла (&[¥) с п.р.

где, с - параметр формы, 7 - параметр скорости.

Аналитические выражения для стационарной вероятности отказа 7Гг(/3) системы в зависимости от скорости ремонта в этих случаях представлены в теореме 2.4.1 и использованы для численного анализа, результаты которого представлены в виде таблиц и графиков.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чан Ань Нгиа, 2015 год

Литература

1. Eisen M., Tainiter M. Stochastic variations in queueing processes // Opens. Res. 1963. Vol. 11. P. 922-927.

2. Naor P., Yechiali U. Queueing problems with heterogeneous arrivals and service // Opens. Res. 1971. Vol. 19, no. 3. P. 722-734.

3. Paz N., Yechiali U. A note on the M/M/oo queue in random environment // Technical report, Department of statistics and operations research, Tel Aviv University, Tel Aviv, Israel. 2007.

4. Paz N., Yechiali U. An M/M/l queue in random environment with disasters // Asia-Pacific J. of operational research. 2012.

5. Levy Y., Yechiali U. An M/M/s queue with servers vacations // Canadian Journal of Operational Research and Information Processing. 1976. Vol. 14, no. 2. P. 153-163.

6. Yechiali U. A queueing tipe birth and death process defined as a continuous time markov chain // Opens. Res. 1973. Vol. 21, no. 2. P. 604-629.

7. Neuts M. F. A queue subject to extraneous phase changes // Adv. Appl. Prob. 1971. Vol. 3. P. 78-119.

8. Neuts M. F. Further results on the M/M/l queue with randomly varying rates // Opsearch. 1978. Vol. 15. P. 158-168.

9. Neuts M. F. Structured stochastic matrices of M/G/l type and their applications. New York: Marcel Dekker, 1989.

10. Purdue P. The M/M/l queue in a markovian environment // Operations Research. 1974. Vol. 22, no. 3. P. 562-569.

11. O'Cinneide С. A., Purdue P. The M/M/oo queue in a random environment // J. of Applied Probability. 1986. Vol. 23, no. 1. P. 175-184.

12. Kim C. S., Klimenok V., Mushko V., Dudin A. The BMAP/PH/N retrial queueing system operating in markovian random environment // Computers к Operations Research. 2010. no. 37. P. 1228-1237.

13. Kim C. S., Dudin A., Klimenok V., Khramova V. Erlang loss queueing system with batch arrivals operating in a random environment // Computers & Operations Research. 2009. no. 36. P. 674-697.

14. Kim C. S., Dudin A., Klimenok V., Khramova V. Performance analysis of multi-server queueing system operating under control of a random environment // Trends in Telecommunications Technologies. 2010. P. 317-344.

15. Б.А.Севастьянов. Предельная теорема для марковских процессов и её приложение к телефонным системам с отказами // Теория вероятностей и её применение. 1957. Т. 2, № 1.

16. И.Н.Коваленко. Исследования по анализу надежности сложных систем. Киев: Наукова думка, 1976. 212 с.

17. Rykov V. V. Multidimensional alternative processes as reliability models. In Modern Probabilistic Methods for Analysis of Telecommunication Networks. (BWWQT 2013 Proceedings). Series: CCIS 356. Springer, 2013. P. 147-157.

18. Ю.К.Беляев. Линейчатые марковские процессы и их приложение к задачам теории надёжности // Тр. VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. - Вильнюс: Гос. изд-во политической и научной литературы Литовской ССР. 1962. С. 309-323.

19. Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко. Введение в теорию массового обслуживания. Москва: Дом Книги, 2005. 400 с.

20. Б.В.Гнеденко, Ю.К.Беляев. Математические методы в теории надежности. Москва: Книжный дом «Либроком», 2013. 584 с.

21. Д.Кёниг, В.В.Рыков, Д.Штоян. Теория массового обслуживания. Москва, РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина (in Russian), 1979. 116 с.

22. Н.Г.Гамкрелидзе. Элементы финансовой математики: Введение в теорию оптимального портфеля ценных бумаг: Учеб. пособие. М.: РГУ нефти и газа, 2000. 36 с.

23. В.А.Ивницкий. Об инвариантности стационарных вероятностей состояний многолинейной системы обслуживания конечного числа различных источников требований при абсолютном приоритете поступающего требования // «Теория вероятностей и её применения», РАН. 1992. Т. 37,

m 2.

24. В.А.Ивницкий. Об инвариантности стационарных вероятностей состояний замкнутой звездообразной сети массового обслуживания при зависимости вероятностей перехода от её состояния // «Теория вероятностей и её применения», РАН. 1997. Т. 42, № 1.

25. В.А.Ивницкий. Теория сетей массового обслуживания. Москва: Физмат-лит, 2004. 772 с.

26. В.А.Ивницкий. Теория нестационарных моментов Марковских сетей. Книга 1. Замкнутые сети массового обслуживания. Москва: Изд. «URSS», 2010.

27. В.А.Ивницкий. Теория нестационарных моментов Марковских сетей. Книга 2. Разомкнутые сети массового обслуживания. Москва: Изд. «URSS», 2010.

28. В.А.Каштанов, К.Е.Малкин. Некоторые формулы для среднего времени безотказной работы систем с горячим резервом // Вопросы радиоэлектроники, общетехническая серия. 1963. N2 24.

29. В.А.Каштанов. Надежность систем с облегченным резервом // Вопросы радиоэлектроники, общетехническая серия. 1963. N5 9.

30. В.А.Каштанов, Е.Ю.Барзилович, И.Н.Коваленко. О минимаксных критериях в задачах надежности // Известия АН СССР Техническая Кибернетика. 1971. № 3.

31. В.А.Каштанов. Теория надёжности сложных систем. Москва: Физматлит, 2010.

32. Rykov V., Efrosinin D. Queueing model of the non-reliable hybrid data transmission channel with heterogeneous links // Proc. 7th Int. Conf. "Mathematical Methods in Reliability (MMR-2011)". 2011. P. 272-279.

33. Vishnevsky V., Kozyrev D., Rykov V. On the reliability of hybrid system information transmission evaluation // Queues: flows, systems, networks (Modern Probabilistic Methods for Analysis of Telecommunication Networks. Proceedings of BWWQT-2013. Edds: A.Dudin, V.Klimenok, G.Tsarenkov, S.Dudin). 2013. P. 192-202.

34. Rykov V., Tran A. N. On markov reliability model of a system, operating in markov random environment // Book of abstracts of the XXXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. Moscow: Institute of Informatics Problems, RAS. 2013. P. 114-116.

35. Rykov V., Tran A. N. Research of the reliability of a homogeneous redundant warm standby system in a random environment // International Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN - 2013). 2013. P. 156-162.

36. Rykov V., Tran A. N. On reliability of binary systems in a random environment // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, no. 6. P. 342-351, (Исследование надёжности бинарной системы в случайной среде // Автоматика и Вычислительная Техника, 2013, No.6, С.73-85).

37. А.Н.Чан. Исследование надёжности однородной системы облегчённого резервирования в случайной среде // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». 2014. № 1. С. 30-42.

38. В.Рыков, А.Н.Чан. О чувствительности характеристик надежности систем к виду функций распределения времени безотказной работы и восстановления их элементов // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». 2014. № 3. С. 65-77.

39. Vishnevsky V., Rykov V. On reliability of systems operating in random environment // Studia informática. 2013. Vol. 34, no. 3. P. 167-176.

40. В.В.Рыков. Системы массового обслуживания. Обобщенные процессы рождения и гибели и их применение к моделям старения // Автоматика и телемеханика. 2006. № 3. С. 103-120.

41. В.В.Рыков, Д.В.Ефросинин. К анализу характеристик производительности СМО с неоднородными приборами // Автоматика и телемеханика. 2008. № 1. С. 64-82.

42. В.В.Рыков, Д.В.Ефросинин. К проблеме медленного прибора // Автоматика и телемеханика. 2008. № 12. С. 81-91.

43. В.М.Вишневский, Д.В.Козырев, В.В.Рыков. К оценке надежности гибридной системы передачи мультимедийной информации // Материалы Международной научной конференции "Современные вероятностные методы нализа, проектирования и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей". Минск: Издательский центр БГУ. 2013. С. 192-203.

44. Д.В.Козырев, В.В.Рыков. Многомерные альтернирующие процессы и их применение в моделях надёжности // Всероссийская конференция «Прикладная теория вероятностей и теоретическая информатика» (Москва, 17-18 апреля 2012 г.): тезисы докладов. Москва: Институт проблем информатики, РАН. 2012. С. 44-45.

45. Rykov V. V., Kozyrev D. V. Reliability model for hierarchical systems: Regenerative approach // Automation and Remote Control. 2010. Vol. 71, no. 7. P. 1325-1336.

46. В.М.Вишневский, И.В.Шахнович, С.А.Фролов. Радиорелейные линии связи в миллиметровом диапазоне радиоволн // Электроника. 2011. Т. 1. С. 90-98.

47. В.М.Вишневский, О.В.Семенова, С.Ю.Шаров. Об одной модели оценки производительности широкополосного гибридного канала связи на основе лазерной и радиотехнологий // Проблемы информатики. 2010. Т. 6, № 2. С. 43-58.

48. В.М.Вишневский, О.В.Семенова, С.Ю.Шаров. Моделирование и анализ гибридного канала связи на базе лазерной и радио технологий // Управление большими системами. Выпуск 35. М.: ИПУ РАН. 2011. С. 237-249.

49. Andronov А. М. Markov modulated birth-death processes // Automatic Control and Computer Sciences. 2011. Vol. 45, no. 3. P. 123-133.

50. Д.В.Козырев. Анализ асимптотического поведения характеристик надёжности дублированных систем при «быстром восстановлении» // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». 2011. Т. 3. С. 49-57.

51. van Doom Е. A. Quasi-stationary distributions and convergence to quasi-sta-tionarity of birth-death processes // Adv. Appl. Probab. 1991. Vol. 23, no. 4. P. 683-700.

52. D'auria B. M/M/oo queues in semi-markovian random environment // Queueing Systems. 2008. Vol. 58. P. 221-237.

53. D'auria B. Stochastic decomposition of the M/G/oo queue in a random environment // Oper. Res. Lett. 2007. Vol. 35. P. 805-812.

54. Boxma O. J., Kurkova I. A. The M/M/l queue in a heavy-tailed random environment // Statistica Neerlandica. 2000. Vol. 54, no. 2. P. 221-236.

55. Klimenok V., Dudin A. Multi-dimensional asymptotically quasi-toeplitz markov chains and their application in queueing theory // Queueing Systems: Theory and Applications. 2006. Vol. 54. P. 245-259.

56. Dukhovny A. Matrix-geometric solutions for bulk GljMj 1 systems with unbounded arrival groups // Stoch. Models. 1999. Vol. 15. P. 547-560.

57. Gursoy M. В., Xiao W. Stochastic decomposition in M/M/oo queues with markov modulated service rates // Queueing Systems. 2004. Vol. 48. P. 75-88.

58. Sztrik J. On the heterogeneous M/G/n blocking system in a random environment // The Journal of the Operational Research Society. 1987. Vol. 38, no. 1. P. 57-63.

59. Lisniansky A., Levitin G. Multi-state system reliability. Assessment, optimization and application. World Scientific. New Jersey, London, Singapore, Hong Kong. 358 p.

60. Petrovsky I. G. Lections on theory usual differential equations. M.-L.: GITTL. (in Russian), 1952. 232 p.

61. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958. 678 с.

62. И.Герцбах. Теория надежности с приложениями к профилактическому обслуживанию. Москва: ГУП Изд-во "Нефть и газ "Р ГУ нефти и газа им. И.М.Губкина (in Russian), 2003. 263 с.

63. Henley Е. J., Kumamoto Н. Probabilistic risk assessment: Reliability engineering, design and analysis. New York: The institute of electrical and electronics engineers, Inc. IEEE Press, 1992. 568 p.

64. Ross S. M. Introduction to probability models. California: Academic Press is an Imprint of Elsevier, 2010. 784 p.

65. Р.Барлоу, Ф.Прошан. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. Москва: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 328 с.

66. П.П.Бочаров, А.В.Печинкин. Теория массового обслуживания. Москва: Изд-во РУДН, 1995. 529 с.

67. В.В.Рыков. Теория случайных процессов. Москва: Российский университет дружбы народов, 2009. 234 с.

68. В.В.Рыков. Надёжность технических систем и техногенный риск. М.: РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2001. 164 с.