Исследование алгоритмов стабилизации линейных нестационарных систем линейными и нелинейными регуляторами: на примере динамики вертолета тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Макаров, Дмитрий Александрович

• Макаров, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макаров, Дмитрий Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РОБАСТНОГО И КОМПОЗИТНОГО УПРАВЛЕНИЯ И МОДЕЛИ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЕРТОЛЕТА

1.1. Обзор методов синтеза управления в условиях неопределенности и методов, основанных на гипотезе о разделении движений

1.1.1. Робастная устойчивость, стабилизация и управление для линейных систем

1.1.2. Композитное управление

1.2. Уравнения движения вертолета

1.2.1. Уравнение движения вертолета в общем виде

1.2.2. Некоторые линейные модели продольной динамики вертолета

1.3. Координатная, координатно-операторная и операторная обратные связи

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ

2.1. РОБАСТНЫЙ НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕГУЛЯТОР

2.1.1. Стабилизация угла тангажа вертолета для двумерной модели

2.1.2. Обобщение исследуемого нелинейного алгоритма стабилизации

2.1.3. Условия устойчивости в общем виде

2.1.4. Условия устойчивости для двумерного случая

2.1.5. Построение функции Ляпунова для двумерного случая на примере динамики вертолета

2.2. Композитный линейный регулятор

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Схема декомпозиции управляемой системы и структура регулятора

2.2.3. Построение функции Ляпунова

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЕРТОЛЕТА

3.1. Исследование робастного нелинейного регулятора

3.1.1. Параметрическая оптимизация нелинейной системы автоматической стабилизации угла тангажа вертолета

3.1.2. Стабилизация угла тангажа вертолета в различных условиях работы

3.2. Исследование композитного линейного регулятора

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

109

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование алгоритмов стабилизации линейных нестационарных систем линейными и нелинейными регуляторами: на примере динамики вертолета»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Задача стабилизации фазовых координат динамических систем является фундаментальной задачей теории автоматического управления. С течением времени постановка задачи стабилизации постоянно усложняется, что связано с ростом учитываемой неопределенности., обусловленным усложнением объектов управления, повышением требований к надежности и качеству их работы. В соответствии с этим изменяются и методы стабилизации.

Непрогнозируемая среда и существенное изменение свойств самого объекта управления делают задачу стабилизации регулируемых координат нетривиальной. На настоящий момент не существует регулярной и общепринятой концепции структурного и аналитического синтеза регулятора при наличии существенной и неустранимой неопределенности разного рода. Классические методы теории автоматического управления требуют знания точной модели объекта управления, что не всегда может быть обеспечено на практике: например, некоторые параметры могут быть неизвестны априорно или меняться в широком диапазоне в процессе эксплуатации.

Методы управления при неустранимой неопределенности изучаются в быстро развивающейся теории робастного управления. Её зарождение связано с трудами A.A. Маркова, П.Л. Чебышева, С. Фаэдо (S. Faedo). Значительный вклад в теорию внесли отечественные и зарубежные исследователи, среди которых отметим В.Л. Харитонова, ЯЗ. Цыпкина, Ю.И. Неймарка, Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова, C.B. Емельянова, С.К. Коровина, В.Н. Афанасьева, Г. Замеса (G. Zames), А. Танненбаума (А. Tannenbaum), Д. Акерманна (J. Ackermann), А. Паккарда (A. Packard).

Широкий класс существующих систем характеризуется наличием как сравнительно быстро, так и медленно протекающих процессов, что позволяет использовать гипотезу о разделении движений. Это приводит к

декомпозиции исходной системы на ряд подсистем и, тем самым, открывает возможности для синтеза общего (композитного) управления на основе управлений для полученных подсистем меньшей размерности. Однако такой метод построения управления теоретически обоснован лишь при большой разнице в скоростях протекания процессов двух подсистем. В противном случае необходимо развитие методов синтеза композитного стабилизирующего управления, имеющих более широкие пределы применимости. Указанная декомпозиция исходной системы опирается на теорию сингулярно возмущенных систем, зарождение и развитие которой связано с трудами А.Н.Тихонова, А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова, Р. О'Молли (R. O'Malley) и др. Среди работ по теории управления сингулярно возмущенными системами отметим труды П. Кокотовича (Р. Kokotovic), М.Г. Дмитриева, Г.А. Куриной, A.A. Первозванского, В.Г. Гайцгори, В .Я. Глизера, X. Халила (Н. Khalil) и др.

Обозначенные особенности задач стабилизации требуют развития специальных методов. В последнее время наблюдается рост работ, посвященных задаче конструирования регуляторов, в частности, для управления нестационарными динамическими системами. Настоящая диссертационная работа посвящена разработке и исследованию нелинейного робастного стабилизирующего регулятора и развитию метода построения композитного линейного регулятора на основе стабилизирующих регуляторов подсистем исходной системы, выделенных с помощью гипотезы о разделении движений, что свидетельствует об её актуальности.

В качестве моделей объектов управления в работе рассмотрены непрерывные линейные нестационарные системы. С помощью такого класса может быть описан широкий спектр задач автоматизации, например, полученных в ходе линеаризации нелинейных систем около опорных траекторий, являющихся функциями времени. Одним объектом из такого класса является линеаризованная модель продольной динамики вертолета,

характеризуемая широким диапазоном изменения значений параметров в заданном коридоре в зависимости от режима полета.

Предмет исследования - задачи стабилизации непрерывных динамических систем с определенными и частично неопределенными коэффициентами.

Целью исследования является разработка эффективных методов робастной стабилизации линейных непрерывных динамических систем с ограниченными неопределенными нестационарными коэффициентами, для которых известны минимальные и максимальные значения, и развитие метода построения композитного стабилизирующего управления линейными непрерывными детерминированными системами на основе стабилизирующих управлений их подсистем.

Задачи исследования:

- Разработать робастный стабилизирующий нелинейный алгоритм, снижающий воздействие неопределенности на качество переходных процессов.

- Исследовать на устойчивость соответствующую замкнутую систему.

- Развить подход к разделению исходной системы на подсистемы с целью построения композитного стабилизирующего управления на основе управлений подсистемами.

- Провести численные эксперименты и анализ работы систем стабилизации с разработанными линейными и нелинейными регуляторами.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы с использованием методов линейной алгебры, теории координатно-операторных и операторных обратных связей, теории управления и теории устойчивости.

Научная новизна.

Предложен и исследован класс нелинейных алгоритмов стабилизации, полученный в рамках подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина. Алгоритмы

позволяют задавать область в фазовом пространстве, характеризующуюся повышенным коэффициентом усиления основного стабилизирующего контура, что позволяет снизить воздействия факторов параметрической неопределенности на качество переходных процессов.

Получены условия равномерной асимптотической устойчивости замкнутого контура с предложенным нелинейным регулятором для линейного нестационарного объекта управления.

С помощью введенной в работе функции Ляпунова найдены достаточные условия устойчивости замкнутой системы для модели продольной динамики вертолета на различных режимах полета.

Обобщен подход к построению стабилизирующего регулятора на основе разделения движений и матричных неравенств, позволяющий строить обратную связь для исходной системы в виде линейной комбинации регуляторов подсистем.

Проведены численные эксперименты, результаты которых показали эффективность предложенных регуляторов.

Практическая значимость. Предложенные методы и подходы к синтезу систем управления достаточно универсальны и могут быть использованы для решения широкого спектра практических задач, которые хорошо описываются в виде линейных непрерывных нестационарных систем.

Достоверность результатов подтверждена строгими математическими доказательствами теоретических утверждений и результатами численных экспериментов.

Апробация результатов исследования. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях: «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности и экономике» (Санкт-Петербург, 2012 г.), «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2012), 1-м чешско-

русском Форуме молодых ученых (Пльзень, 2012), XV Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения - 2013» (Гроддо, 2013), на семинарах ИСА РАН, ИПС РАН и МГУ.

Публикации. Всего по теме опубликовано 9 работ: 3 из них в рецензируемых журналах из списка ВАК РФ [1-3], 4 в материалах международных конференций [4-7]. Получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ [9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и 2-х приложений. Диссертация содержит 110 страниц, 24 рисунка, 9 таблиц, 97 наименований в списке используемой литературы.

В первой главе приведен обзор (параграф 1.1) методов синтеза управления в условиях неопределенности и методов, основанных на гипотезе о разделении движений. В параграфе 1.2 рассматриваются уравнения движения вертолета в общем виде и некоторые линейные модели продольного движения вертолета, используемые в диссертации в численных экспериментах. Последний параграф первой главы посвящен описанию подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина к синтезу нелинейного управления на основе координатной, координатно-операторной и операторной обратных связей.

Вторая глава посвящена методам построения стабилизирующего управления. Параграф 2.1 посвящен описанию одного класса робастных нелинейных регуляторов. Сначала (раздел 2.1.1) на примере задачи стабилизации угла тангажа вертолета в рамках подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина строится модель регулятора для системы второго порядка. Показывается, что предложенный регулятор обеспечивает локальную устойчивость при постоянных неопределенных параметрах модели объекта управления, обладающих определенными свойствами. В разделах 2.1.2 и 2.1.3 приводятся обобщение предложенного нелинейного регулятора на п-мерный случай и условия устойчивости замкнутой системы. Далее (раздел

2.1.4) с помощью предложенной в работе функции Ляпунова рассматриваются условия устойчивости положения равновесия двумерной системы, которые иллюстрируются (раздел 2.1.5) на примере робастной стабилизации модели продольной динамики вертолета на различных режимах полета. В параграфе 2.2 на основе метода разделения движений предложен новый, обобщающий известный (разработанный П. Кокотовичем (P. Kokotovic) и Р. Вайлдом (R. Wilde)), подход к построению линейного стабилизирующего управления для управляемой линейной нестационарной системы. В разделе 2.2.1 осуществляется постановка задачи, определяются требования к исходной системе. В разделе 2.2.2 приводится схема декомпозиции управляемой системы и структура регулятора: в исходной управляемой системе выделяются условно медленная и быстрая подсистемы, а итоговое управление ищется в виде линейной композиции стабилизирующих управлений подсистем. Далее, в разделе 2.2.3, с помощью функции Ляпунова приводится доказательство равномерной асимптотической устойчивости нулевого положения равновесия замкнутой системы с предложенным регулятором.

Третья глава посвящена численным экспериментам. В первом параграфе главы исследуется эффективность нелинейного регулятора с помощью двух задач стабилизации угла тангажа вертолета (разделы 3.1.1 и 3.1.2), учитывающих ограничения на допустимое управление. В обеих из них осуществлялось сравнение с линейными регуляторами со статическими значениями параметров, которые широко применяются для пилотируемых вертолетов. В конце главы (параграф 3.2) рассматриваются примеры построения композитного регулятора и приводятся соответствующие численные эксперименты.

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертационной работы. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Предложен и исследован класс нелинейных алгоритмов стабилизации, полученный в рамках подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина.

2. Получены условия равномерной асимптотической устойчивости замкнутой системы с предложенным нелинейным регулятором для линейного нестационарного объекта управления.

3. С помощью предложенной в работе функции Ляпунова найдены достаточные условия устойчивости замкнутой системы для модели продольной динамики вертолета на различных режимах полета.

4. Получено обобщение теоремы о построении линейного композитного стабилизирующего регулятора в линейной нестационарной системе.

5. Выполнена экспериментальная программная реализация нелинейного и линейного композитного регуляторов, реализована программа параметрической оптимизации нелинейного регулятора (получено Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ). Выполнены численные эксперименты, подтверждающие эффективность предлагаемых регуляторов.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Макаров, Дмитрий Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения диссертационной работы получены следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Предложен и исследован класс нелинейных алгоритмов стабилизации, полученный в рамках подхода C.B. Емельянова и С.К. Коровина.

2. Получены условия равномерной асимптотической устойчивости замкнутой системы с предложенным нелинейным регулятором для линейного нестационарного объекта управления.

3. С помощью предложенной в работе функции Ляпунова найдены достаточные. условия устойчивости замкнутой системы для модели продольной динамики вертолета на различных режимах полета.

4. Получено обобщение теоремы о построении линейного композитного стабилизирующего регулятора в линейной нестационарной системе.

5. Выполнена экспериментальная программная реализация нелинейного и линейного композитного регуляторов, реализована программа параметрической оптимизации нелинейного регулятора (получено Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ). Выполнены численные эксперименты, подтверждающие эффективность предлагаемых регуляторов.

На основании полученных теоретических результатов и численных экспериментов, выполненных в диссертационной работе, можно сделать следующие выводы:

- Подход Емельянова C.B., Корвина С.К. позволяет генерировать нелинейные регуляторы, эффективные для сложных технических систем в условиях неопределенности.

- Область применения композитных регуляторов в системах с быстрыми и медленными движениями может быть расширена за счет использования комбинаций регуляторов для подсистем и матричных неравенств.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макаров, Дмитрий Александрович, 2013 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Емельянов C.B., Макаров Д.А. Стабилизация угла тангажа вертолета на различных режимах полета с помощью координатно-операторной и операторной обратных связей // Искусственный интеллект и принятие решений. 2011. №4. с. 68-80.

2. Дмитриев М.Г., Макаров Д.А. Построение линейного регулятора с помощью разделения движений // Информационные технологии и вычислительные системы. 2012. №4. С. 3-12.

3. Зубарев Д.В., Макаров Д.А., Панов А.И., Яковлев К.С. Принципы построения многоуровневых архитектур систем управления беспилотными летательными аппаратами // Авиакосмическое приборостроение. 2013. №4. С. 10-28.

4. Makarov D.A. Class Of Nonlinear Regulator For Dynamical Control Systems With Undetermined Coefficients // Proceedings of 1st Czech-Russian Forum of Young, Scientists, 19-22 April 2012, Plzen, Czech Republic. Pp. 11-12.

5. Макаров Д.А., Дмитриев М.Г. Численное исследование автоматической стабилизации угла тангажа вертолета // Высокие технологии, экономика, промышленность. Т. 1 : Сборник статей Тринадцатой международной научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности и экономике". 24-26 мая 2012 года, Санкт-Петербург, Россия / под. ред. А.П. Кудинова. СПб.: Издательство Политехи, ун-та. 2012. С. 186-188.

6. Макаров Д.А. Нелинейная система автоматической стабилизации угла тангажа вертолета // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XII Международной конференции. Москва, ИПУ РАН, 5 июня - 8 июня 2012 г. М.: Изд-во ИПУ РАН. 2012. С. 227-229.

7. Дмитриев М.Г., Макаров Д.А. Построение стабилизирующего регулятора в линейной нестационарной системе на основе регуляторов подсистем // XV Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям (ЕРУГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - 2013): тез.

докладов Международной научной конференции. Гродно, 13-16 мая 2013 г. - Часть 1. - Мн.: Институт математики HAH Беларуси. 2013. С. 75-76.

8. Макаров Д.А. Параметрическая оптимизация нелинейной системы автоматической стабилизации угла тангажа вертолета // Теория и практика системного анализа: Труды II Всероссийской научной конференции молодых ученых. - Т. II. Рыбинск: РГАТУ имени П.А. Соловьева. 2012. С. 4-14.

9. Макаров Д.А. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ «Программа условной оптимизации параметров системы стабилизации сложного технического объекта в условиях неопределенности». № 2012615718,22.06.2012г.

10. Абгарян К.А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем. Уч. пособие. М.: Физматлит, 1994.

11. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. Уч. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1992.

12. Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систему управления: Учеб. для вузов. / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. - 3-е изд., испр. и доп. М.: Высш. шк., 2003.

13. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

14. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

15. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

16. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: Физматлит, 2003.

17. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

18. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.

19. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.

20. Harris С. J., Miles J. F. Stability of linear systems. London : Academic Press, 1980.

21. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления неопределенным объектом без измерения производных регулируемой переменной // АиТ. 2008. №8. С. 82-96.

22. Воронов К. В., Королева О. И., Никифоров В. О. Робастное управление нелинейными объектами с функциональными неопределенностями // АиТ. 2001. №2. С. 112-121.

23. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2007.

24. Мирошник И.В., Никифоров В.А., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

25. Теория систем с переменной структурой / Под ред. С.В. Емельянова. М.: Наука, 1970.

26. Ackermann J. Robust control. The parameter space approach. London: Springer, 2002.

27. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P. Nonlinear and Adaptive Control Design. New York: Wiley, 1995.

28. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. Н.Д. Егупова; издание 2-ое, стереотипное. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

29. Афанасьев В.Н. Динамические системы управления с неполной информацией: Алгоритмическое конструирование. М.: КомКнига, 2007.

30. Бобцов А.А., Мирошник И.В. Динамический алгоритм адаптации нестационарных систем // АиТ. 1999. №12. С. 121-130.

31. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

32. Ackermann J. Robust control: systems with uncertain physical parameters. New York: Springer-Verlag, 1993.

33. Barmish B.R. New tools for robustness of linear systems. New York: MacMillan, 1995.

34. Bhattacharyya S. P., Chapellat H., Keel L. H. Robust control. Upper Saddle River, New Jersey : Prentice-Hall, 1995.

35. Жабко А. П., Харитонов В. Jl. Необходимые и достаточные условия устойчивости линейного семейства полиномов // АиТ. 1994. № 10. С. 125134.

36. Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. ScuolaNorm. Super. Piza, Ser. sci. fis. e mat. 1953. V. 7. No. 1-2. P. 53-63.

37. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №11. С. 2086-2088.

38. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.3. Робастный критерий Найквиста // АиТ. 1992. №7. С. 25-31.

39. Bartlett А.С, Hollot C.V. and Huang L. Root locations of an entire polytope of polynomials: It suffices to check the edges // Mathematics of Control, Signals and Systems. 1988. V.l. P. 61-71.

40. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

41. Хорн Н., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

42. Boyd S.L., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in systems and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

43. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I. Анализ // АиТ. 2002. № 8. С. 37-53.

44. Поляк Б.Т. Обобщенная сверхустойчивость в теории управления // АиТ. 2004. №4. С. 70-80.

45. Packard A., Doyle J.C. The complex structured singular value // Automatica. 1993. V.29. P. 71-109.

46. Young P. M., Newlin M. P., Doyle J. C. ц-analysis with real parametric uncertainty 11 Decision and Control, 1991., Proceedings of the 30th IEEE Conference on. IEEE, 1991. P. 1251-1256.

47. Stengel R.F., Ray L.R. Stochastic robustness of linear time invariant control systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1991. V.36. P. 82-87.

48. Tempo R., Bai E. W., Dabbene F. Probabilistic robustness analysis: Explicit bounds for the minimum number of samples // Systems & Control Letters. 1997. V. 30. №. 5. P. 237-242.

49. Vidyasagar M. Randomized algorithms for robust controller synthesis using statistical learning theory //'Automatica. 2001. V. 37. №. 10. P. 1515-1528.

50. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. JI.: ЛКВВИА, 1949.

51. Петров Н.П., Поляк Б.Т. Робастное D-разбиение // АиТ. 1991. №11. С. 41-53.

52. Грязина Е.Н., Поляк Б.Т., Тремба А.А. Современное состояние метода D-разбиения // АиТ. 2008. № 12. С. 3-40.

53. Поляк Б. Т., Щербаков П. С., Техника D-разбиения при решении линейных матричных неравенств // АиТ. 2006. № 11. С. 159-174.

54. Luenberger D.G. Canonical forms for linear multivariable systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1967. V. 12. P. 290-293.

55. Баландин Д.В., Коган M.M. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007.

56. Zames G. Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses // IEEE Transactions on Automatic Control. 1981. V. 26. № 2. P. 301-320.

57. Khargonekar P.P., Petersen I.R., Zhou R.A. Robust stabilization of uncertain linear systems: quadratic stabilizability and Hx -optimal control // IEEE Transactions on Automatic Control. 1990. V. 35. № 3. P. 356-361.

58. Честнов B.H. Синтез робастных регуляторов многомерных систем при параметрической неопределенности на основе круговых частотных неравенств // АиТ. 1999. № 3. С. 229-238.

59. Курдюков А.П., Тимин В.Н. -управление энергетической системой в аварийном режиме. Ч. 1. Теоретические основы синтеза робастных На-регуляторов // Проблемы управления. 2009. №1. С. 8-17.

60. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. II. Синтез // АиТ. 2002. № 11. С. 56-75.

61. Краснова С.А., Сиротина Т.Г., Уткин В.А. Структурный подход к робастному управлению // АиТ. 2011. № 8. С. 65-95.

62. Дракунов C.B., Изосимов Д.Б., Лукьянов А.Г., Уткин В.А., Уткин В.И. Принцип блочного управления // АиТ. 1990. Часть 1. №5. С. 38-47; Часть 2. №6. С.20-32.

63. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд. перераб. и доп. Т.1: Математические модели, динамические характеристики и анализ автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 2004.

64. Лебедев A.A., Чернобровкин Л. С. Динамика полета. М.: Оборонгиз, 1962.

65. Петросян Э.А. Аэродинамика соосного вертолета. Полигон-пресс, 2004.

66. Padfield G.D. Helicopter flight dynamics: the theory and application of flying qualities and simulation modelling. Washington DC: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2007.

67. Морозов M.B. Условия робастной устойчивости линейных нестационарных систем управления с интервальными ограничениями // Проблемы управления. 2009. № 3. С. 23-26.

68. Афанасьев В.Н. Управление неопределенными динамическими объектами. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2008.

69. Афанасьев В. Н., Орлов П. В. Субоптимальное управление нелинейным объектом, линеаризуемым обратной связью // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. № 3. С. 13-22.

70. Chow J.H., Kokotovic P.V. A decomposition of near-optimum regulators for systems with slow and fast modes // IEEE Trans. Automat. Contr. V.AC-21. 1976. P. 701-705.

71. Chow J.H., Kokotovic P.V. A two-stage Lyapunov-Bellman feedback design of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. V.AC-26. 1981. P. 656-663.

72. Asamoah F., Jamshidi M. Stabilization of a class of singularly perturbed bilinear systems // Int. J. Control. 1987. V. 46. № 5. P. 1589-1594.

73. Chen C.C. Global exponential stabilization for nonlinear singularly perturbed systems // IEEE Proc. Control Theory Appl. 1998. V.145. № 4. P. 377382.

74. Saberi A., Khalil H. Stabilization and regulation of nonlinear singularly perturbed systems—Composite control // Automatic Control. IEEE Transactions on. 1985. V. 30. №. 8. P. 739-747.

75. Wilde R.R., Kokotovic P.V. Stability of singular perturbed systems and networks with parasitics // IEEE Trans. Automat. Contr. V. AC-17. 1972 P. 245246.

76. Климушев A.H., Красовский H.H. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // ПММ, том 25. №4. 1961. С. 680-690.

77. Пейн П.Р. Динамика и аэродинамика вертолета. М.: Оборонгиз, 1963.

78. Кожевников В.А. Автоматическая стабилизация вертолета. М.: «Машиностроение», 1977.

79. Остославский И.В. Аэродинамика самолета / И.В. Остославский. М. : Гос. изд-во оборон, пром-сти, 1957.

80. Есаулов С.Ю., Бахов О.П., Дмитриев И.С. Вертолет как объект управления. М.: «Машиностроение», 1977.

81. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. М.: Наука. Физматлит, 1997.

82. Емельянов СВ. Бинарные системы автоматического управления. М.: МНИИПУ, 1984.

83. Емельянов СВ., Коровин С.К. Теория нелинейной обратной связи при неопределенности // Университеты России. МГУ. Т.1. Математическое моделирование. 1993. С. 214-278.

84. Емельянов СВ., Коровин С.К. Новые типы обратных связей. Синтез нелинейного управления в условиях неопределенности // Юбилейный сб. трудов ОИВТиА РАН. Т. 1. 1993. С. 115-137.

85. Emelyanov S.V., Korovin S.K., Ulanov B.V. Control of Dynamic Systems in Face of Exogenous Signals with Feedbacks of Various Types // Problems of Control and Inform. Theory. Hungarian Acad, of Sci. V. 14. 1985. №1. P. 3-16.

86. Емельянов СВ., Коровин CK., Мамедов И.Г., Носов А.П. Асимптотическая инвариантность систем управления с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. Т. 27. 1991. №3. С. 415^27.

87. Коровин СК., Нерсисян A.JL, Нисензон Ю.Е. Управление по выходу линейными неопределенными объектами // Техническая кибернетика. 1990. №1. С. 67-73.

88. Emelyanov S.V., Korovin S.K., Mamedov I., Nosov A.P. Asymptotic Invariance and Stabilization of Uncertain Delay Systems // Dynamic and Control. V. 4. 1994. P. 39-58.

89. Emelyanov S. V. Variable Structure Systems as a Gateway to New Types of Feedback Structures // Proc. of the 18th IF AC World Congress, Milano, Italy, Sept. 2011. P. 747-755.

90. Избранные труды C.B. Емельянова: В 2-х томах: Том 1/Отв. ред. акад. С.К. Коровин. М.: Издательство Московского университета, 2009.

91. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: Сборник статей / Под. ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

92. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления. Обзор 1982-2004 гг. //'Автоматика и телемеханика. 2006. №1. С. 3-53.

93. Kokotovic P.V., Khalil Н.К. Singular perturbations in systems and control. New York: IEEE, 1986.

94. Володко A.M. Основы аэродинамики и динамики полета вертолетов. М.: «Транспорт», 1988.

95. Доброленский Ю.П. Динамика полета в неспокойной атмосфере. М.: «Машиностроение», 1969.

96. Богданов Ю.С. Конструкция вертолетов. М.: «Машиностроение», 1990.

97. Далин В.Н., Михеев C.B. Конструкция вертолетов: Учебник. М.: Изд-во МАИ, 2001.