Использование цепных дробей для решений дифференциальных уравнений и оценки адекватности математических моделей динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Яралиева, Бугаят Сарухановна

• Яралиева, Бугаят Сарухановна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Яралиева, Бугаят Сарухановна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Оценки погрешности модели цепных дробей для различных функций

§ 1. Тригонометрические и гиперболические функции

§ 2. Скорость сходимоси двух цепных дробей

§ 3. Об одной периодической ЦД

§ 4. Модель ЦД для функции Бесселя

ГЛАВА И. Цепные дроби и интегрально-параболическое интерполирование

§ 1. Интегральное и интегрально-параболическое интерполирование

§ 2. Связь интегрально - параболического интерполяционного

многочлена с ЦД

ГЛАВА III. Решение дифференциальных уравнений с помощью ЦД. Другие приложения ЦД

§ 1. Скорость сходимости ЦД для решений дифференциальных

уравнений

§2. Разбор типовых задач дифференциальных уравнений

§3. О теореме Гурвица

§4. Задачи Жуковского

ПРИЛОЖЕНИЕ I

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование цепных дробей для решений дифференциальных уравнений и оценки адекватности математических моделей динамических систем»

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, понятие «функция» в чистой и прикладной математике имеет различное содержание. В первом случае оно воспринимается как конкретное выражение одной переменной через другую; изучение функции сводится к изучению различных свойств этого выражения. В прикладной математике «функция», прежде всего, есть конечная последовательность арифметических действий, с помощью которых из заданного значения одной переменной можно получить значение другой переменной. «Функция» прикладной математики является моделью «функции» чистой математики. Замечательно, что есть множество функций, которые сами по себе являются моделями. Таким множеством является линейное пространство всех алгебраических многочленов или отношений многочленов.

Одной и той же функции можно сопоставить различные модели, выбор которой зависит от решаемой задачи. Для широкого класса функций с точки зрения возможности получения их значений с наперед заданной точностью за наименьшее количество арифметических действий (за наименьшее машинное время) наилучшими моделями являются подходящие дроби цепных дробей. Цепные дроби имеют долгую историю (см., напр., [1]-[4]). Приведем основные обозначения и определения.

Пусть имеются две последовательности многочленов ¿„(х),^*),...; д,(х),а2(*),....

Цепной дробью называется выражение вида

(1)

1=1

АМ.

выражение

= + (2)

называется ее подходящей дробью п - го порядка. Многочлены а,.(;с),6,(х) называются элементами цепной дроби (ЦД).

ЦД (1) записывают и в развернутом виде

и fY), „fifel аг(х) Л) Ь2(х)+"

Если существует конечный lim/„ =/, то ЦД (1) называется сходящейся;

п->оо

при этом / называется значением ЦД (1). Если же написанный предел не существует (существует, но равен бесконечности), то ЦД (1) называется расходящейся существенно (не существенно).

ЦД (1) эквивалентна (т.е., имеет одинаковые подходящие дроби) обыкновенной ЦД (если а,,а2,...~ натуральные числа, то ЦД называется правильной)

«о +К

4=1

( 1 4

(3)

где

гу - h щ - ''"' a2k-\^2k-l _ а\ '' a2k-\^2k

U0 — U0, «24-1 — > и2k ~

ах-...-а2к_х а2-...-а2к

(здесь Ък = Ьк (*), ак = ак (*)).

При Ь0 = О ЦД (1) эквивалентна ЦД

00 f „ \

К

к=1

£l

vly

где

«я

с, =-!-, с„ =——, п> 2.

^ ьп,хьп

Д. Бернулли в 1775 г., [4] поставил и решил задачу: Найти ЦД (1), подходящие дроби fn которой имеют наперед заданные значения Кп, где Кп -заданные числа, из которых никакие три рядом стоящих не равны между собой. Искомая ЦД имеет вид

К | К\~К2 К\ ~К2 (К1 ~ К0 ХК2 ~Къ) [Кп-2 ~ Кп-3 \Кп-\ ~ Кп )

1 + К2-К0 + К,-К, + "' Кп-кп_2 +"'

Пусть заданы две ЦД

к+к

С I \

с

и Ь0+К

*=1 К ик У к=\ \ ик у/

ъ„

\

с подходящими дробями /; и /„ соответственно. Если /„'=/2„ (/„'=/2п+1), и > О, то первая ЦД называется четной (нечетной) частью второй ЦД. Говорят, что первая ЦД получена сужением второй ЦД. Имеет место теорема.

Теорема, (см. [4]) ЦД (1) имеет четную (нечетную) часть тогда и только тогда, когда Ъ2п ф 0 (¿2я+1 * 0), п> 1 (л > 0). При этом

К=Ьй, а\ = ахЪ2, Ь'х = а2 + ЪХЪ2, а'г = -а2а3а4, а[ = -а2к_2а2к_хЬ2к_АЪ2к_2, к = 3,4,... К =а2к-Ак +Ь2кЛа2к +Ь2к-Ак), к = 2,3,...

( К = (а, + Ь0ЬХ )/Ьх, а[ = - аха2Ъъ /Ьх, = а2Ъг + Ъх (а3 + Ъ2Ъъ), = ~а2к_ха2кЬ2к+хЬ2к_3, ^ =а2кЬ2Ш + Ь2к_х(а2к+х + Ь2кЬ2к+х), к = 2,3,...)

Существует несколько алгоритмов для вычисления /„(*).

I. Прямой рекуррентный алгоритм (БЯ-алгоритм) заключается в применении рекуррентных формул

Р„=ЬпРп->+аЛ-2,вп=Ь„0„-1+апдп_2, Р0=Ь0, е0=1, Р.х = 1, а, =0. При этом получаются значения Рх,..., Рп_л, £)„ и, совершив еще п-1

делений, получаем значения /,,...,/„_,. Общее количество действий для вычисления /„ равно 4/7 умножений, и сложений и одно деление.

Трудность при работе с БЯ-алгоритмом состоит в том, что хотя последовательность {/„} может сходиться к конечному пределу, последовательности {Рп} и. {()„} могут одновременно стремиться к 0 или к оо, что делает необходимым время от времени производить перемасштабирование во избежание машинного переполнения или исчезновения порядка.

II. Обратный рекуррентный алгоритм (БЯ-алгоритм). Вычисление /„ производится снизу вверх. Начиная с я-го звена ЦД, где п должно соответствовать заданной точности счета, выполняются все указанные

сложения и деления. Этот процесс записывается с помощью следующих рекуррентных соотношений

с(_, =Ъ,_Х+—, i = п,п-\,...,2,\, где с„ = &„.

с,

Подходящая дробь /„ находится из равенства /„ =Ь0 + —. Число действий: п

Сх

сложений и п делений.

Недостатком этого метода является то, что в процессе счета нельзя пользоваться формулой для проверки достигнутой точности, так как для вычисления каждой следующей подходящей дроби нужно все вычисления повторять сначала.

Поэтому представляется интересным получение оценок (сверху и снизу) для f{x)~/„(х), зависящих от п и х, с помощью которых для заданной точности s, при заданных х, мы можем выбрать п.

III. Третий алгоритм основывается на использовании формулы

реализация которой требует большего числа арифметических действий. Лучшим является (FR-алгоритм). Он устойчив в том смысле, что ошибки округления, получающиеся при вычислении /„, или ограничены, или же

растут с ростом п очень медленно. Здесь нужна формула зависимости погрешности от п.

Актуальность темы исследования.

Одной из актуальных проблем теории алгоритмов является поиск оптимальных алгоритмов, т. е. таких, при реализации которых потребуется наименьшее количество арифметических действий или наименьшее машинное время. Практически во всех наиболее часто используемых математических моделях природных явлений, так или иначе, используются дифференциальные уравнения. Поэтому поиск таких алгоритмов, которые

позволяют аппроксимировать решения задач теории дифференциальных уравнений за счет выполнения наименьшего количества арифметических действий, является актуальной проблемой.

Цели и задачи.

Цели работы:

1. Изучить возможность использования подходящих дробей цепных дробей в качестве аппарата аппроксимации специальных функций. Специальные функции выступают как решения дифференциальных уравнений.

2. Получить такие двусторонние оценки погрешности аппроксимации функций подходящими дробями, которые позволили бы выразить количественно погрешность через число используемых арифметических операций.

3. Провести анализ влияния количества операций различных аппаратов аппроксимации на погрешность аппроксимации.

4. Разработать алгоритмы численного решения задач дифференциальных уравнений с использованием аппарата цепных дробей.

Исходя из целей работы, решены следующие задачи:

1. Построены цепные дроби для основных классов специальных функций.

2. Получены двусторонние оценки аппроксимации специальных функций подходящими дробями заданного порядка.

3. Получены зависимости погрешностей от количества производимых алгебраических операций. Аналогичные зависимости в случае многочленов и рациональных дробей были известны.

4. В работе разработаны различные алгоритмы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна.

Вычисление для функции, заданной разложением в ЦД

л^)=Ьо+к{г

*«1 \°к у

с помощью и - го приближения

» („ \

/п=ь0+К

Ы1

У

производится, как отмечалось, снизу вверх. Этот процесс записывается с помощью рекуррентных соотношений

Пи- 1 = Ьк-1+ТГ> к = п,п-1,...2, Ьп=п„. 11к

Тогда /„(х) = Ь0 +ауц • При этом достижение заданной точности е

проверяется по формуле |/„+,(х)-/„(х)| <е, что очень неудобно, так как для

вычисления каждой следующей подходящей дроби нужно все вычисления повторять сначала. Чтобы избавиться от этого неудобства, нужны двусторонние оценки погрешности |/(х)-/„(х)|.

В работе даются двусторонние оценки скорости сходимости разложений в ЦД элементарных функций и многих специальных функций математической физики и, во второй главе, указываем связь ЦД с интегрально-интерполяционными многочленами, введенными В. Г. Власовым для практических запросов кораблестроения (В. Г. Власов, Интегральное интерполирование и некоторые его приложения, Военмориздат, 1946, 263 с.) и связь последних со смешанными рядами по классическим ортогональным многочленам, введеными И. И. Шарапудиновым (И. И. Шарапудинов, Смешанные ряды по ортогональным многочленам, Теория и приложения, Махачкала, 2004 г., 276 е.). Из результатов параграфов 2 и 3 следует, что «усовершенствованные» частные суммы рядов Фурье по ортогональным многочленам совпадают с суммами, введенными И. И. Шарапудиновым, и они связаны с ЦД соответствующих порождающих функций.

Во многих работах оценка погрешности замены функций подходящими дробями устанавливалась поточечно или с помощью расчетов. В работе

впервые получены двусторонние равномерные оценки погрешностей. Такой подход позволяет получить оценки погрешностей решения дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты работы дополняют теоретические изыскания в области теории цепных дробей и их приложений к решению различных технических задач. Практическая значимость в том, что результаты работы могут применяться при численном анализе математических моделей различных естественнонаучных задач, связанных с динамикой явления.

Степень достоверности и апробация результатов.

Все результаты, изложенные в работе, приводятся с подробными доказательствами, докладывались на конференциях (Махачкала, 1998 г., Ростов-на-Дону, 1999 г., Воронеж, 1999 г., 2001 г.) и напечатаны в тезисах названых конференций и в статьях автора (см. список использованной литературы).

Положения, выносимые на защиту.

1. Приближение тригонометрических и гиперболических функций для вещественных значений аргумента ЦД. Имеет место разложние

1- 3- - 2/1-1-

для всех вещественных г + к - целое, y = tgx является решением дифференциального уравнения у' = 1 + у2, .у(О) = 0 (Д-У-1 )•

Теорема 1. Если Р„(Х)/ЯЛХ) ~ подходящая дробь ЦД (4), то для |х| < х, < у

С,(2и-1)!!<аМ<С2(2л-1)!! (5)

где положительные числа С,, С2 не зависят от х, т.е.

а (х)« (2/1-1)!.

Теорема 2. Для тех же х, |х| < х, < ^ будет

tgx-

ЗМ &М

|2и+1

п4"Г2

' г

п + -к 2,

(6)

Если ^(х) — решение дифференциального уравнения у' = 1-у2, ^(0) = 0 (Д.у.2), то для всех - оо < х < со имеет место разложение

/7гх = — х

1+ 3+ 5+ 2я —1 + Теорема 3. Если Ря(х)/0„(х) - подходящая дробь ЦД (7), то

а(Ф(2«-1)и.

Неравенство (8) точное. Оно обращаетя в равенство при х = 0. Теорема 4. Для -осххсоо, « = 1,2,... будет

Р»{х)

(7)

(8)

//г х-

Г I 1Л2л+1 е\х\

Тем самым, если у(х) - решение (Д.у.2), то

у(х)~

Рп(х)

вЛх)

е\х\

(9)

к2п;

Через tg х и //г х выражается остальные тригонометрические и гиперболические функции.

2. Пусть последовательность многочленов

Рп(х) = Иихп +... + //„, цп >0

ортонормирована в промежутке (а,Ь) по весу р{х). Для функции /(х) составим ряд Фурье

¿с*(/М(х), ск{/) = \р{х)/(х)Рк(х)ск.

к=0 а

Положим для конечных х<=[а,Ь], у = 0,1,2,... и п = 0,1,...

(х, /) = £ск (/)Рк (х), Д „ (х, /) = /(х) - (х, /), Му+1 (/,р)=\р{х)/{х)кЧх.

к=о

Пусть в (а,Ь) заданы т точек х, <...<хт. Если а или Ъ , или оба они конечны, то х, могут совпадать с конечными концами промежутка (а, Ь). Поставим

и

задачу: для целых неотрицательных п, т, г построить многочлен относительно х степени не выше п + т{г +1)

п+т(г+\)

Рп+ш(г+1)(Х)= ^акХ>С > к=О

который удовлетворял бы условиям

Ми+1(/,р), 0<^<и, (10)

ря(,+1(г+1)(*у)=/(')(*7), 0 < у < т, 0 < / < г . (11)

я

Теорема 5. Многочлен Рп(х) = ^акРк(х) удовлетворяет условиям (10)

к=0

(т = 0) тогда и только тогда, когда ак = ск (/), 0 < к < п, т.е. когда

р. (*МЯ (*,/).

В силу теоремы 5 условиям (10) - (11) при т> 1 можно придать вид: подобрать числа ак, 1 <к<т(г +1) так, чтобы

т(г+\)

1<У<т, 0 < / < г. (12)

Теорема 6. Пусть определитель системы (12) Ат(г+,) отличен от нуля и д»,(/•+:кД*) ~~ определитель, получаемый из Дт(г+,)(х) добавлением первой строки Д„ (х, /), Д„ (х,,/),..., Д(дг)(х,,/),..., Д„ (хя,/),..., Д{яг)(хт,/). Тогда

ЛХ)~Р7+т(г+1)(*) = --Дт(г+1)+1 М*

Аш(г+1)

3. Скорость сходимости двух ЦД. Рассмотрим две ЦД

х

р(х) = К

( v2 / > ( x2/^

/4

2у + 1

Ч У

и Тфг)= А

2& + 1

Первая ЦД сходится для х е (-оо,оо), вторая для х ф 2кк, А: - целое. Известно, что ех, тригонометрические, гиперболические функции выражаются через Г(х) и /ф). Для подходящих дробей этих функций имеем Теорема 7. Для х е (-оо,оо) и |х| < 4п + 6 будет

.2л+2

где

о<л(*)<

16С.

Г—Т

V. е У

Теорема 8. Пусть А е (0,6), х2 <4А. Тогда

,2л+2

4п+1б„Ш„+2(х)1

где

л г 36х_

Д (б - л)2 [1б(2и + 5)4 - х4

и

1-6

(2« +1) !!< ()п (х) < (2п +1)!!.

4. Для решений дифференциальных уравнений

(а + сс'хк )ху' + {р + р'хк )у + уу2 = 5хк, ^(о) = О

и

(1 + хк)/ = 1, у(0) = 0.

Найдены двусторонние оценки погрешности аппроксимации их решений подходящими дробями.

5. Для периодической ЦД К

' I Л

1-г

, часто встречающейся в

приложениях, найдена область ее сходимости.

и)

6. Для функции /(г) = "+т+1 ' - отношения двух бесселевых

функций справедливо разложение

/со-

2 (у + т + \)~ 2(у + т + 2)-'"-2(у + т + п)-"" Найдена область равномерной сходимости и оценка порядка сходимости.

Изложим краткое содержание работы. Работа состоит из трех глав и двух приложений.

В первой главе собраны оценки погрешностей моделей цепных дробей для различных функций.

§ 1 (Приближение тригонометрических и гиперболических функций ЦД) состоит из двух пунктов.

I. Здесь изучается скорость сходимости ЦД функции у = которая является решением дифференциального уравнения

у' = \ + у2, у(0)=0. Имеет место разложение ([2], с. 120)

2 г2 г2

= — — ... —-- ... (13)

1- 3- -2п-\- 4 }

для всех комплексных г + к - целое. (Это разложение было впервые

получено Ламбертом в 1770 г. [3])

Известно ([5], с. 49, 109), что разложение функции y = tgz в степенной ряд имеет вид

_^22к(2и -1),

где В2к -числа Бернулли выражаются через дзета функцию Римана ¿;(z) равенством

\ln) к=1 л

сходится для |zl< —.

i i 2

Имеют место следующие 2 теоремы.

Теорема 1. Если при некотором х, Зх2 <5 двойное неравенство

e„(2n-l)»<Qn(x)<{2n-\)\\ (14)

имеет место для двух значений п = к и п = к +1, к- некоторое число, то при тех же значениях х (14) останется в силе и при п = к + 2.

Здесь ех =1, еп =£„_, - -у, п>\, Q„(x) - знаменатель и-той подходящей

п2

п2

дроби /„ (х) = Рп {x)/Qn (х) ЦД (13). Нетрудно заметить, что еп i 2--« 0,35.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 при х2 <1,13 будет

\tgx-Pn{x)/Qn{x]

|2и+1

«4"Г2

f 1Л' пл— 2

v ^у

где ап ~Ьп означает 0<с, <ап/Ьп <с2 <оо, г - гамма функция Эйлера.

II. Известно ([2], с. 121), что при -оо<х<оо имеет место разложение

thx =

х х

.. —- ... . (15)

1 + 3 + 2п -1 + 4 У

Если /п{х) = Рп(х)/Яп(х) ~ «-тая подходящая дробь ЦЦ (15), то имеют место следующие две теоремы. Теорема 3. Для - оо < х < со

а,М*(2и-1)!. (16)

Неравенство (16) точное. Оно обращается в равенство при х = 0. Теорема 4. При -оо<х<со, п = 1,2,... будет

| ihx-fn(x\-

/ | | \ 2/7 + 1

е х

к2п;

(17)

Кроме названных теорем в § 1 указываются рациональные дроби, хорошо приближающие я/гх, скх, бшх, собх.

Параграфы 2 и 3 посвящены двум часто встречающимся в приложениях ЦЦ. В частности, в §2 доказаны две теоремы.

00

Теорема 1. Если F(x)= К

{ 2 / Л X /

/4

2v + 1

v у

■ая подходящая

дробь, то для любого х е (- оо, оо) и п такого, что |х| <4п + 6 будет

.2п+2

F(x)~ /„(*) = (-1)" , J +

«"'аМа^М

причем

0 <i?„(x)<

i66;+l -х4

и Qn{x)>2^2n

(2п^п К е .

Теорема 2. Если /„(х) = уп "~ая подходящая дробь ЦД К

'/4

1 21/ + 1 '

Ч

У

сходящейся при х * 2Ъг, к = ± 1, ±2,...,то при А е (0,б), х2 < 4А будет

^(/х) - /„ (х) = (-1)" + [! + Л (х)],

Г(1х)-/„(х)=(-1)

п

6 + Ля(х)],

где

^ / _ -зох_

ЛХ)-{б-А)г^б(2п + 5У-х*\

\г\ > 1; если же щ < 1 она сходится к г.

В четвертом параграфе первой главы исследованы модели ЦД для функций Бесселя.

Доказан следущий результат.

константа в О зависит только от и и не зависит от п.

Глава вторая состоит из двух параграфов.

§1. Интегральное и интегрально-параболическое интерполирование посвящен идеям, развитым впервые В.Г.Власовым. Как показывают недавние результаты И.И. Шарапудинова, интегрально-параболические многочлены с пользой могут быть использованы при решении дифференциальных уравнений. Полезность результатов, полученных в главе 1, для приложений видна из следующих слов академиков Л.В. Канторовича и В.И. Крылова: ([11]) «В проблеме интерполирования, при обычной ее постановке, считаются заданными в отдельных точках значения самой функции и нескольких производных. Эти значения и играют роль параметров, по

/тЛ2) ~ п'ая подходящая дробь для От(г), то

И —» 00,

которым строится интерполирующая функция. Во многих технических вопросах существенную роль играют не только (даже, может быть, не столько) значения функции и ее производных, но и величины другой природы - длины, площади, статистические и инерционные моменты и т.д., значения которых бывает необходимо учитывать при расчетах. Такого рода величины встречаются, например, в теории корабля, где при помощи их характеризуются его мореходные и другие качества. Потребности расчета кораблей побудили В.Г. Власова рассмотреть задачи интерполирования в том случае, когда кроме значений функции считаются заданными интегралы или моменты от нее различных порядков».

Для формулировки основных результатов сформулируем постановку задачи.

Пусть последовательность многочленов

Рп(х)=МпХи +- + А>> Мп >0 ортонормирована в промежутке (а,Ь) по весу р(х). Для функции f(x) составим ряд Фурье

Цск(Г)Рк(х), ck{f)=\p{x)f{x)pk{x)dx.

*=0 а

Положим для конечных xe[a,b] и v = 0,1,2,...

fc f) = tck {f)Pk (x), A „ (x, /) = /(*) - (x, /), My+l (f,p)=\p{x)f(x)xrdx.

k=0 a

Пусть в (a,b) заданы m точек x, <...<xm. Если а или b, или оба они конечны, то х, могут совпадать с конечными концами промежутка (а,Ъ). Поставим задачу: для целых неотрицательных п, т, г построить многочлен относительно х степени не выше п + m(r +1)

п+т(г+\)

Р«+ш(г+1)(Л:)= 2lakxk > к=0

который удовлетворял бы условиям

Му+х(Рл+Я(г+.)>р) = Mv+lif,p), 0<v<n, (18)

Р^оЫ^'У, 0<]<т, 0</<г. (19)

п

Теорема 1. Многочлен Ря(л;) = Ес,Л(х) удовлетворяет условиям (18)

4=0

(т = 0) тогда и только тогда, когда ск = ск(/), 0 < £ < и, т.е. когда

Р„(х) = £„(*,/).

В силу теоремы 1 условиям (18) - (19) при ш> 1 можно придать вид: подобрать числа ак, 1 <к< т(г +1) так, чтобы

т(г+1)

Е«ЛЦ*у)=Д&Л*у./)> ^У^1»» 0 < / < г .

(20)

¿=1

Теорема 2. Пусть определитель системы (20) Ат(г+)) отличен от нуля и

г)(г+1)+1

кт(г+1)

А „(*,,/)

д; (*../)

д я (*»»/)

д^У/)

Тогда

1 т(г+\)

А «ММ М = /М - ^ (*, /) - Т- Е Л С* М

и многочлен

1 /и(г+1)

Р„+т(г+1) М = (*, /) + -- Е Ак Рп+к (*)

Д/и(г+1) к=\

удовлетворяет всем условиям (18)-(20).

Теорема 3. Если Р„(х) - многочлены Лежандра, а = -1, 6 = 1, то при любом г = 0,1,2,... существует Р„+2г+2(х), причем Ря+2г+2(ж) = Уя+2г+2(х,/) (см. [8]). Пусть Рп (х) = Ьп (х, а) - многочлены Лагерра, р(х) = хае'х, (а,Ь) = (0, да), »7 = 1,

л+1

х,=0. Тогда существует Рл+,+1(х) = 5и(х,/)+Ед*£„+*(*>я)> удовлетворяющий условиям (о) = /(,)(0), 0 < / < г.

Это следует из

Теорема 4. При и = 0Д,2,...; г = 0,1,2,... будет

¿„+1(0,а) ... Ьп+г+1 (О,а\

=

1&(0,а) ... ь:+г+](0,а)

(и+1Хг+0

X [г(я + а + 2)..г(и + а + 2 + г) - (« +1)!...(я + г + 1)ф х

х [Г(а + 1)...Г(а + г +1)]4 • Пт^Г * 0 ■

ы \П + /')!

В §2 (Связь интегрально-параболического интерполяционного многочлена с ЦД) получены следующие результаты.

Для функции /(х), заданной на [од] и принадлежащей классу 1([о,1]) положим

1 ( X

с1х,...

70 =М0 =/(1), У, = У2 = |

о о Чо >

1 1 1

о

Уп и Мп называются, соответственно, интегралами и моментами порядка п (п> 1) функции /(х) по отрезку [од].

Поставим следующую задачу: для функции /(х)е ¿([ОД]) найти многочлен степени не выше п

у = Рп(х)=а0 +а1х + ... + апх", для которого интегралы всех порядков от 0 до п -1 по отрезку [од] совпадают с таковыми для функции /(х) и, кроме того, при х = 0 принимает произвольно заданное значение а0. а0 можно выразить либо через Г0, ..., Уп, либо через М0, ..., Мп. Соответствующие формулы имеют вид

к\(п-к)

к=I

Используя последние два равенства для функций ех, (1 + х)а, 1п(1 + х) получены рациональные приближения, которые в некоторых случаях (для первых двух функций) совпадают с подходящими дробями ЦД соответствующих функций; но, вообще говоря, это не всегда имеет место.

Третья глава состоит из двух параграфов. Здесь собраны различные приложения аппарата цепных дробей. В § 1 установлена скорость сходимости ЦД для решений уравнений Риккати. В §2 собраны типовые задачи дифференциальных уравнений первого порядка. В §3 доказана теорема Гурвица о приближении иррациональностей рациональными числами, используя свойства подходящих дробей ЦД для «золотого сечения» (1 + л/5 )/2. Параграф 4 посвящен двум задачам Жуковского.

В приложении I собраны формулы - разложения часто встречающихся функций в ЦД.

Приложение II содержит программы и результаты расчетов значений основных элементарных и гиперболических функций с помощью подходящих дробей их ЦД.

В частности:

1 )Даны программы для вычисления значений tgx и 1п(1 + х), и указаны приближенные значения этих функций с точностью до 7 знака по формулам

1-3-5-...'

х х х 4х 4х 9х 9х

1п(1 + х) = 4 7 1+2+3+4+5+6+7 + ...

при помощи подходящих дробей /3,...,/8 для х = 0,1; 0,2; ...;1 для первой функции и х = -0,9;...;-0,1;0,1;...;1,2,3,4,5 для второй функции. 2)Указаны приближенные значения функции

У ' 3+ 5 + ... с точностью до 9 знака при помощи /3,...,/8 для х = 0,1;0,2;...;1,5 .

3) Используя результаты пункта 2) и связь между tgx и F(x) вычислены значения tgx при помощи /4,...,/«, с точностью до 9 знака при х = 0Д;0,2;...;1,5 .

4) Вычислены значения thx с помощью разложения

у XX X

1 + 3+5 + ...

при помощи /4,...,/, для х = 0,1;0,2;...;1,5 с точностью до 7 знака.

5) Вычислены с точностью до 6 знака значения этх и собх при помощи

/5^ /б> /? Для х = 0Д;0,2;...;1,5, используя связь этх и соэх с

ГЛАВА I. Оценки погрешности модели цепных дробей для различных

функций

§1. Тригонометрические и гиперболические функции

1.В этом пункте мы даем двусторонние оценки для скорости сходимости ЦД для функции у = которая является решением дифференциального уравнения у' = \ + у2, у(0) = 0.

7Т

Известно ([5], с. 49, 1091), что для \Щ<— функция tgz разлагается в

степенной ряд

оо ъ2к-\

к=1 я I

Здесь £,{т)- дзета функция Римана.

В ([2], с. 209) доказано: для комплексных г ф (2к + \)—, £-целое, справедливо разложение в ЦД

г- - ^¿ТГ •■•• (')

Если />„(г)/0„(г) - подходящая дробь порядка п ЦД (1), то Я2к(г), £>2к+1(г), гР2кЛ2)> гР2к(2) будут многочленами степени 2 к. Так как д1(г) = \, £2(г) = 3-*2,то из ([2], с. 8)

следует

бз(г)=15-6г2,

@4(г)= \Q5-A5z2 ,

05 (г) = 945 - 420г2 + 15г4,

б6(г) = 10395 -4725г2 +210г4 - г6,

67(г)= 135135 -6237г2 + 3150г4 - 28гб.

Заметим еще, что если е1 = 1, еп = епЛ - то ег= 0,75, еъ = 0,64, е4 = 0,54,

п

£5=0,50, £6=0,48, е7=0,46. Здесь значения еп округлены. Имеет место теорема.

Теорема 1. Если при некотором х, Зх2 <5 двойное неравенство

е„{2п-\)\\<ап{х)<{2п-\)\\ (2)

имеет место для двух значений п = к и п = к +1, к -некоторое число, то при тех же значениях х (2) останется в силе и при п = к + 2.

Доказательство. Из рекуррентной формулы (1) следует

а+2 (*) = (2 к + 3&+1 (х) - х2^ (х) < (2 к + 3)дк+х (х) < (2 к + 3)!!, что совпадает с правой частью (2) при п = к + 2. Так как в силу условий теоремы 1

&+2(х)>^+1(2* + 3)!!-х2(2*-1)П, то левая часть неравенства (2) при п = к + 2 следует из неравенства

(2к + 3)!-х2 (2к -1)!> (2к + 3)!, что равносильно неравенству

^(а + Ца + Э (3)

{к + 2)

Неравенство (3) верно, так как его правая часть Р(к), как функция от к монотонно возрастает и 7г(1) = |- = 1,66... .

Замечание. Непосредственной проверкой убеждаемся, что неравенство (2) для п = 1,2,3,4,5,6,7 имеет место для х2 <хп, где х, = оо, х2 =0,75, х3 =0,9, х4 =1,01, х5 =1,08, х6 =1,13, х7 =1,17.

Следствие. При х2 <1,13 ии>1 имеет место двойное неравенство

( _ 2 Л 2 - — ч 6/

(2я -1)!! ^ (х)^ (2л -1)!! . (4)

Заметим, что ([15], с. 54)

Теорема 2. При х2 <1,13 будет

\tgx-Pn{x)lQn(x\ = -

12л+1

л4"Г2

< о

л+ -ч 2,

а„

где ап «6„ означает: 0 < С, < — < С2 < а>, Г - гамма функция Эйлера.

ъ„

Доказательство. В [16] получено равенство: для ЦД (1) если / - ее значение, а /„ = Рп /£>„ - подходящая дробь порядка п, то

QnQn+гЪ

n+2+rk 1 Г „

II"

л+1+v

QnQn+2 к=\ Qn+2kQn+2+2k^n+2 v=\

В нашем случае а, = х, ап= -х2, bn = 2л -1. Поэтому

«в» - л М/а W=("'ГГ''(2"+3) Я+4. (4.

УпУп+2

где с учетом теоремы 1,

()< 36 А (2/1-1)11 (2л + З)!! (2/| + 3 + 4AVt<

36 ^

(6)

<

х

44

= 0

ч"4/

(12-^2)2^(2л + 1Г

Теорема 2 доказана.

II. Рассмотрим функцию f(x) = thx. Для нее ([2], с. 121) при -оо<х<оо имеет место разложение

V2 V2

(7)

1 + 3 + + 2п -1 + Если /„ (х) = Р„ (x)/Q„ (х), то g, (х) = 1, g2 (х) = 3 + х2, вообще

Qn(x) = (2n-\)Q^{x)+x2Qn_2(x). Теорема 3. Для -со<х<оо и п>\

Qn{x)>{2n-\)\\.

Доказательство. Из (8) имеем

Q„ (х) > (2п -1 (х)> (2л - 1Х2л - 3)0Я_2 (х)>... > (2л - фи - 3>..1 = (2л - l)l! .

(8)

Заметим, что неравенство (9) точное; оно превращается в равенство при х = О Преобразуем (2п-\)\\ используя формулу Стерлинга

Получим

л!=л/2яи—(! + ©„), О<гу„ <еПп — 1,

^ 2"-л! 2"У и 1 + «у

2/7+1 /

1

\ 2п+1

1 +

V 2/7 у

1 + СО-.

1 + <0. \е ;

2" V 2п еп+х -п" Таким образом, при любом хе(-оо,а>) будет

а(х)>2

\ е 7

У т \

1 + 0

У ч У

Теорема 4. При х < 2п -1 будет /Лх-Р.М/б, (х) =

(2и + 3)х2"+1

1 + 0

/ 4 > X

б4 -X4 V /7 Л у

аМа.^*)

Доказательство. Из (6), положив а, = х, а„ = х2, Ъп=2п-\, получим

где

а« - рп т. м = "Ть+ Д &+^ м)'

^ ллу 2я + 3 + 4* 4>

^/7+2+2*

(х) 2« + 3

Из (8) следует —. Поэтому

&(*) - &(*) ^ 1

£,7+2* (*) ,=«

Л+2А-1

ГК.

Следовательно,

(2гс + 3 + 4А:)х4*

Ая+24-1 Л

у+1

Ч У

]~]А+1 -(2п + 3)б„

¿=1

X

6„4-Х4

V я+1 У ип

+24+1

Окончательно,

(10)

,2n+\

ß„M Qn{x)Q„Ax)

b4 — x

4 е" л

где Qn (x) оценивается снизу по (10).

Добавление. Для знаменателей ß„(x) подходящих дробей ЦД (7) можно дать оценку и сверху. Из (8) следует (так как бА.2(х)<0^_,(х))

en(x)<(2«-l + x2)ön_1(x)<...<n(2v-l + x2).

v=2

III. По значениям tgx и thx можно вычислить sin х, cosx, shx, chx используя

формулы

sinx =--—, cosx =

1 2 X l + 'g -

1 7 л

-

1 + tg

2 X

shx =

x(l + F(x))

chx = 1 + -

x

T

2 X

(1 + F(x)f -

(1

§2. Скорость сходимости двух цепных дробей.

Рассмотрим ЦД

К

v=\

< х2/4 > ч2и + 1у

и К

У=1

2v + l

(1)

Первая ЦД сходится для любого хе(-оо,оо), вторая сходится для х ф 2ктг, к = ±1,±2Если обозначить значение первой ЦД через F(x), то

ех =! + •

2х , x[l + F(x)] ,

, shx = -—^ \ ,chx — \ + -

х

74

2 • [l + F(x)]-x ' [l + F(x)]2 - x2/4 ' [l + F(x)]2 - x2/4 '

Кроме того, напомним, что chx = cos/х, shx = -/sinix, thx = -itgix, chx = ictgix.

Известно, что если ЦД К

¡a >

V=1

сходится к значению F и fn=Pn!Qn означает

ее п - подходящую дробь, то

F-fn={-\)"h"+2a^2-a^[\ + Rn]

аа

(2)

я+2

где

п+2+2к

2 к 1>

я+1+i/ '

к=\ Qn+2kQn+2+2kbn+2 Рассмотрим первую ЦД в (1). Если /„ (х) = Рп (х) / Qn (х) - ее

п - подходящая дробь, то имеет место следующая

Теорема 1. Для любого хе(-со,од) и п такого, что |х| <4« + 6 будет

(3)

F(x)-/„(x) = (-l)"

(2 п + 5)л

,2п+2

4"+1а(*)-а+2(*)

[i+^w],

(4)

причем

0<Я„(х)<

х

1 Ы4п+1-х<

и Qn(x)>2^2n

(5)

Доказательство. Прежде всего, заметим, что Qx(х) = 3, Q2 (х) = 15 + —.

Из рекуррентного соотношения

следует, что во-первых, все £>„ (х) положительны и, во-вторых, для п> 2 будет 0„ (х) > (2 л + 1)б„-1 (*) ■ Таким образом £>„ (х) > (2п +1).!. Используя формулу Стирлинга, получим:

4 2я-и! 2" V и 1

где 0<<у„ <*?12" -1.

Отсюда нетрудно получить, что для и = 1,2,...

(2« +1)!> 2л/2«Г—1 .

Ч е У

Окончательно имеем для и = 1,2,..., - од < х < оо

а«>2л/2п

'2 «V

Для завершения доказательства теоремы 1 остается оценить Яп (х) при

х2 О 1

= —> Ьп=2п + \. Из (6) последовательно имеем £>и+1 >6л+]0я, -,

4 бя+1 ¿л+1

~ Г1 < П ^ < *

бл+24 и=0 бл+и+1 v=\ би+2+24

Следовательно,

А(*)<

1 Гх2] 24 / \ X

>44 и;

44

и

4=1

1бб;+1 -х4

для |х < 26 ,.

Неравенство Л* (х) > 0 очевидно. Теорема 1 доказана.

Рассмотрим теперь вторую цепную дробь в (1). Как и раньше, через /„ (х) = Р„ (х) / (х) обозначим подходящую дробь п -го порядка. Теперь

(7)

&(*) = (2л+ !)&_, (х)-^- 0,-2«.

Кроме того, /„(х) сходится к F(/x) при х*2 кп, к = ± 1,±2,.„ Прежде чем

оценить |^(/х)- /я(х)|, оценим £?„(х) снизу и сверху.

( А Построим последовательность {£„}, положив ех=\, £п+1 = £„--,-^-г,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яралиева, Бугаят Сарухановна, 2013 год

Использованная литература

[1]. А.Я Хинчин, Цепные дроби, Изд. «Наука».- М.-1978.-С.112.

[2]. А.Н.Хованский, Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа, ГИИТТЛ.- М.-1956.-С.203.

[3]. У. Джоунс, У. Трон. Непрерывные дроби, Аналитическая теория и положения, Мир.-М.-1985.-С.414.

[4]. О. Perron, Die Lehze von den Kettenbruchen, Vol.l (1954) Vol 2 (1957), Teubner, Leipzig.

[5]. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Наука.-М.-1971 .-С. 1108.

[6]. В.Л.Данилов и др. Математический анализ, СМБ, Физматгизю.-М.-1961.-С.439.

[7]. Я.С. Безикович, Исчисление конечных разностей.-Л.Изд. ун-та.-1939.-С.369.

[8]. И.И. Шарапудинов, Смешанные ряды по ультрасферическим многочленам и их аппроксимативное свойства.-Мат.сб.-т.194.-№3.-2003.

[9]. И.П. Натансон, Конструктивная теория функций.-Гостех издат.-1949.-С.688.

[10]. Л.А. Люстерник и др. Математический анализ СМБ.-Физматгиз.-М.-1963.-С.248.

[11]. Л.В. Канторович, В.И. Крылов, Математика в СССР за 30 лет.-ГИТТЛ.-М.-Л.-1948.-С. 1044.

[12]. Дж. Бейкер мл., П. Грейве-Маррис, Аппроксимации Паде, 1.Основы теории, 2. Обобщения и приложения, Мир.-М.-1986.-С.502.

[13]. В.Г. Власов, Интегральное интерполирование и некоторые его приложения.-Военмориздат.-1946.-С.263.

[14]. И.И. Шарапудинов, Приближение кусочно-гладких функций суммами Фурье - Лежандра.-Мат.сб.-т.191.-№5.-2000.-С.143-160.

[15]. Е.Янке, Ф. Эндс, Ф.Лёш, Специальные функции.-Наука.-М.-1968.-С.344.

[16]. Г.С. Рагимханова, Скорость сходимости некоторых цепных дробей и их приложения.-Диссертация к.ф-м.н.-Санкт-Петербург.-2003.

[17]. С.А. Агаханов, 3.0. Османов, Скорость сходимости цепных дробей для функций Бесселя, Актуальные проблемы математики, информатики и их методик преподавания.-Махачкала.-2005.-С.5-7.

[18]. С.А. Агаханов, Г.С. Рагимханова, Б.С. Агаханова, Интегрально -Лагранжево интерполирование функций, Современные методы теории функций и смежные проблемы.-Воронеж.-2001.-С.7-8.

[19]. Агаханова Б.С. Скорость сходимости цепных дробей. Тезисы докладов студенческих научных конференций ДГУ .-Махачкала.-1998.-С.14-15.

[20]. Агаханова Б.С. Скорость сходимости цепных дробей для tgx. Современные методы теории функций и смежные проблемы.-Воронеж.-1999.-C.il.

[21]. Агаханова Б.С. Об интерполировании рациональными дробями. Международный симпозиум. Ряды Фурье и их приложения.-Ростов - на Дону.-1999.-С.47.

[22]. Агаханова Б.С. Порядок приближения tgx цепными дробями. Вестник ДГУ.-Вып.4.-Махачкала.-2004.-С.54-56.

[23]. Агаханова Б.С. Существование интегрально - интерполяционного многочлена Лагранжа и его приложения. Вестник ДГУ.-Вып.4.-Махачкала.-2004.-С.57-60.

[24]. Агаханова Б.С. Загиров Н.Ш. Оценка погрешности аппроксимации цепными дробями. Вестник ДГУ.-Вып.6.-Махачкала.-2011.-С.111-114.

[25]. Агаханова Б.С., Давудова Э.С., ЗагировН.Ш. Скорость сходимости цепных дробей. Вестник ДГУ.-Вып.6.-Махачкала.-2011.-С.115-119.

[26]. Н.Е.Жуковский, собрание сочинений.-ГИТТЛ.-1949.-М.-Л.-том 3.-С.322-328, 553-577.

«ДАГЕСТАНСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

367002, Республика Дагестан, г. Махачкала,

ул. М. Гаджиева, 43А, телефон/факс: [phone] e-mail: [e-mail]. http://www.dgu.ru

СПРАВКА

Дана Яралневой Б.С. для предоставления в диссертационный Совет, свидетельствующая о том, что результаты исследования «Использование цепных дробей для решений дифференциальных уравнений и оценки адекватности математических моделей динамических систем» внедрены в учебный процесс. Они используются при чтении спецкурса «Дискретный гармонический анализ» (5 курс факультета математики и компьютерных наук) и курса по численным методам (3 курс).

И.о. ректора

М.М. Гасанов

Исп. декан ФМиКН Рамазанов A-P.K Тел.:56-31-23