Использование моделей контакта для математического описания механических и биомеханических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Влахова, Анастасия Владимировна

• Влахова, Анастасия Владимировна
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Влахова, Анастасия Владимировна

Содержание

Введение

Глава 1. Реализация связей в динамике систем с качением

1.1. Обзор вариантов предельных переходов, приводящих к модели непроскальзывания

1.2. Реализация неголономных связей и первичных связей Дирака контактными силами, зависящими от малых относительных проскальзываний соприкасающихся поверхностей

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Модель движения без проскальзывания

1.2.3. Модель первичных связей Дирака

Глава 2. Реализация неголономных и первичных связей в задачах качения колесного аппарата

2.1. Постановка задачи. "Велосипедная" модель аппарата

2.2. Уравнения движения, модель контактных сил

2.3. Асимптотическая модель качения с конечными углами поворота передних колес. Отсутствие проскальзывания

2.3.1. Построение асимптотической модели

2.3.2. Достаточные условия корректности модели

2.3.3. Неголономная модель. Движение аппарата при отсутствии

управляющих и возмущающих сил и моментов

2.4. Модель качения с малыми углами поворота передних колес.

Подход Дирака

2.5. Численное исследование упрощенных моделей

Глава 3. Реализация неголономных связей в задачах о заносе колесного аппарата при блокировке и пробуксовке колес одной оси

3.1. Постановка задачи и уравнения движения аппарата

3.2. Моделирование движения при блокировке и пробуксовке колес

Глава 4. Реализация первичных связей в задаче об оценке опасности схода железнодорожного экипажа за счет вкатывания гребня колеса на

рельс

4.1. Введение. Критерии безопасного взаимодействия колес с

рельсами

4.2. Постановка задачи и уравнения движения

4.3. Асимптотическая модель качения экипажа

4.3.1. Построение модели

4.3.2. Модель движения в зоне свободного хода

4.3.3. Модель движения с вкатыванием гребня на рельс

4.3.4. Движение экипажа при постоянном угле конусности гребня и отсутствии возмущений. Оценка поперечного отклонения

центра масс

4.3.5. Уточнение модели поперечных колебаний экипажа в зоне свободного хода

4.4. Условия движения экипажа без потери сцепления колес с

рельсами. Критерии безопасности движения

Глава 5. Реализация голономных и первичных связей в задаче о движении железнодорожного вагона конечной жесткости

5.1. Постановка задачи и уравнения движения

5.2. Асимптотические модели движения вагона

5.2.1. Предельная модель при неограниченном увеличении жесткостей подвешивания и контактных сил

5.2.2. Уточнение предельной модели

Глава 6. Моделирование контакта искусственного тактильного механорецептора с мягкими биологическими тканями

6.1. Организация системы осязания человека. Принцип работы ИТМ. Свойства мягких биологических тканей

6.1.1. Общие свойства мягких тканей

6.1.2. Примеры строения мягких тканей и их патологии

3

6.1.3. Модели сплошной среды, используемые для описания

мягких тканей

6.1.4. Особенности проведения экспериментов с мягкими

тканями

6.2. Методы, используемые для формирования требований к конструкции механорецептора, исследования механических свойств мягких тканей и диагностики их неоднородностей

6.2.1. Проблема наблюдаемости параметров модели ткани

6.2.2. Идентификация параметров в задаче о вдавливании штампа

в упругое полупространство

6.2.3. Идентификация параметров в задаче о взаимодействии пневматической камеры с упругим полупространством

6.3. Конечно-элементное моделирование работы ИТМ

6.3.1. Постановка задачи и цели исследования

6.3.2. Ширина индентора 0.5 см

6.3.3. Ширина индентора 1 см

6.3.4. Влияние податливости индентора на контактные характеристики

6.3.5. Результаты расчетов

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование моделей контакта для математического описания механических и биомеханических систем»

Введение

В работе рассматриваются задачи, связанные с моделированием перекатывания тел и описанием контактирования составляющих биомеханических систем, постановка которых учитывает деформируемость взаимодействующих тел.

Первая часть работы посвящена построению и исследованию математических моделей систем, содержащих перекатывающиеся тела (систем с качением). С использованием "конструктивного подхода" [96, 97] (см. также раздел 1.1) изучаются пределы применимости формально-аксиоматического метода динамики неголономных систем, базирующегося на запрете относительных проскальзываний поверхностей перекатывающихся тел. При выборе свободной от связей (доопределенной) системы предполагается, что угловая скорость относительного верчения тел мала [73, 75], а тела являются достаточно жесткими и имеют несогласованную форму [62], при этом размеры областей контакта тел малы по сравнению с их характерными размерами. Это позволяет использовать результаты теории качения [108] и в задачах, не связанных с изучением окрестности области контакта, считать взаимодействие тел точечным (т.е. рассматривать главный вектор распределенных по области контакта усилий, а главный момент этих усилий считать равным нулю). Свойство деформируемости тел в области взаимодействия учитывается моделью касательной составляющей контактной силы, которая непрерывно зависит от скорости относительного проскальзывания их поверхностей. Распространено мнение [108], что в предположении абсолютной твердости перекатывающихся тел движение системы следует описывать неголономной моделью. Однако предельный переход к бесконечным значениям жесткостей касательных составляющих контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания) может приводить как к классическим неголономным, так и к неклассическим системам. Ранее "конструктивный подход" использовался для обоснования классических неголономных, а также неклассических вако-

номных и "промежуточных" моделей [10, 17, 85, 87, 94 - 97, 132]. В настоящей работе показано [34, 36, 38], что в случаях, когда при движении системы величины части обобщенных скоростей соизмеримы с величинами скоростей проскальзывания поверхностей тел, при переходе к бесконечному значению жесткостей касательных составляющих контактных сил могут реализовы-ваться первичные связи Дирака. Эти связи представляют собой соотношения между обобщенными координатами и импульсами системы, которые возникают при отбрасывании кинетической энергии, отвечающей малым обобщенным скоростям. Проводится разделение ситуаций, когда система переходит в классическую неголономную модель или в неклассическую модель с первичными связями, в рамках которой проскальзывания сохраняются. В обоих случаях порядок системы понижается1. С использованием полученных результатов проводится моделирование движений колесных аппаратов и железнодорожных экипажей [16, 31, 33, 35, 37, 41 -44, 140]. Рассмотрены ситуации, когда в системе совместно реализуются неголономные и первичные или голономные и первичные связи. Подобное систематическое исследование предельных систем ранее не проводилось.

Вторая часть работы служит введением в круг проблем, связанных с созданием искусственного тактильного механорецептора (ИТМ) - системы искусственного осязания, функции которой близки к осязательным функциям человека [51 - 54, 81, 166 - 169, 182, 208, 209, 212]. Такой медицинский прибор для диагностики заболеваний мягких биологических тканей путем пальпации (ощупывания), разрабатываемый НИИ механики и Институтом математических исследований сложных систем МГУ имени М.В. Ломоносова в рамках темы "Медицинские приборы с тактильным очувствлением" и Инсти-

1 Часть уравнений предельных моделей не содержат обобщенных ускорений, т.е. представляет собой дифференциальные уравнения первого порядка. Если начальные условия находятся в области притяжения многообразия, описываемого этими уравнениями, то (с известной степенью приближения) можно говорить о том, что обобщенные скорости системы однозначно определяются ее положением. Как указывалось в [98], в таких случаях от Ньютонианской теории, в рамках которой траектория движения тела определяется его начальным положением и скоростью, можно перейти к теории Декарта, считавшего, что тела переносятся эфиром.

тутом математических исследований сложных систем в рамках темы "Организация производства медицинских и биологических устройств с тактильными возможностями", представляет интерес, поскольку он действует, не нарушая целостности тканей, без проникновения в них (неинвазивно). В наше время неинвазивные методы диагностики заболеваний имеют приоритет и широко используются в медико-биологических исследованиях и лечебной практике. Механорецептор позволит минимизировать врачебную ошибку при обследованиях и хирургических операциях, дистанционно проводить профилактические осмотры пациентов и повысить эффективность диагностики патологии мягких тканей в ситуациях, когда при эндоскопических вмешательствах поле зрения датчика оказывается ограниченным, либо участок ткани пациента труднодоступен или недоступен для руки врача из-за малости разреза. Поскольку конкурентный метод обследования пациентов при помощи

Л

ультразвуковых или ЯМР-приборов является дорогостоящим, связан с использованием громоздкой аппаратуры и не всегда позволяет получить полную информацию о состоянии исследуемого участка ткани [166, 180], ИТМ может применяться как альтернатива этим приборам или совместно с ними. Диагностика патологии путем пальпации базируется на том, что механические свойства (упругие, вязкие, реологические и проч.) здоровых и больных тканей отличаются друг от друга ([166], стр. 16). Аналогия пальпации и метода индентирования в механике деформируемого твердого тела дает основание рассматривать взаимодействие тканей и механорецептора, находить и оценивать различия между откликами здоровой и больной тканей на механическое воздействие с использованием подходов механики контактных взаимодействий, занимающейся рассмотрением соприкасающихся тел вблизи области контакта. Патология мягких тканей может быть идентифицирована по изменениям параметров их математических моделей, определяемых путем решения обратных задач механики деформируемого твердого тела. Для обоснования конструкции ИТМ и разработки методов диагностики патоло-

2 Приборы, в основе работы которых лежит явление ядерного магнитного резонанса (ЯМР).

гии необходим ответ на вопрос, какую информацию можно получить при контактировании чувствительного элемента с моделью мягких биологических тканей, каковы возможные диапазоны измеряемых датчиками величин и как эти величины зависят от механических свойств тканей, в частности, тканей со структурными неоднородностями.

Разумеется, решающую роль при выборе модели контакта для конкретных задач определяют результаты эксперимента.

Диссертация состоит из 6 глав.

В главе 1 обсуждаются [34, 36, 38] условия реализации связей в системах с качением. В предположении, что качение сопровождается малыми относительными проскальзываниями соприкасающихся тел, рассматриваются два типа систем. Движение систем первого типа происходит так, что обобщенные скорости по величине существенно превосходят компоненты скоростей проскальзывания, и порядки слагаемых в правых и левых частях связывающих их соотношений различаются. Подходы A.B. Карапетяна, В.Н. Бренделева, И.В. Новожилова [17, 85, 87, 132] к реализации условий непроскальзывания вязким или кулоновым трением обобщаются на случай, когда касательные составляющие контактных сил зависят, в том числе, от нормальных реакций в точках взаимодействия. При движении систем второго типа слагаемые в правых и левых частях соотношений между компонентами скоростей проскальзывания и обобщенными скоростями соизмеримы за счет того, что часть обобщенных скоростей имеет порядок компонент скоростей проскальзывания, а при других обобщенных скоростях стоят малые множители. Здесь модель непроскальзывания теряет обоснование, поскольку предельный переход к бесконечным значениям жесткостей касательных составляющих контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания тел) переводит эти соотношения в тождества. С использованием подхода В.И. Арнольда, В.В. Козлова и А.И. Нейштадта для систем с малыми массами [10], показано, что при стремлении скоростей проскальзывания к нулю решения систем второго типа могут развиваться вблизи многообразия, определяемого первичными связями Дирака [63, 127]. Первичные связи - конеч-

8

ные соотношения между обобщенными координатами и импульсами - возникают из-за вырождения лагранжиана предельной системы при переходе к нулевым значениям малых обобщенных скоростей. Многообразие, определяемое первичными связями, в общем случае не близко к многообразию, задаваемому условиями непроскальзывания тел. Достаточные условия реализации связей находятся с применением "конструктивного подхода" [96, 97], методов теории сингулярно возмущенных уравнений с пограничным слоем [23 - 25, 187] и фракционного анализа [136, 138], развитых в работах В.В.Козлова, А.Н. Тихонова, А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова, И.В. Новожилова.

Математические модели, построение которых проводится без учета кинетической энергии, отвечающей малым обобщенным скоростям, широко распространены в теоретической и прикладной механике. К ним, в частности, относится прецессионная модель гироскопии, в рамках которой в выражении для кинетической энергии пренебрегают угловыми скоростями поворота колец подвесов гироскопов по сравнению с угловыми скоростями вращения их роторов. А.Ю. Ишлинский замечал [82], что уравнения этой модели с отброшенными инерционными членами "имеют такой же вид, как и уравнения не-голономных связей, зависящих в общем случае от времени (реономных)". Эффект сильного разброса характерных значений обобщенных скоростей системы позволяет реализовать схожие нелинейные неголономные связи и при моделировании динамики полета [135, 136]. Эти связи, представляющие собой "балансировочные уравнения" моментов аэродинамических и других сил, пригодны для описания полетов с малым углом атаки, поскольку угловая скорость его изменения существенно меньше угловой скорости тангажа самолета. Можно показать [38], что неклассические связи в задачах качения, которые возникают после пренебрежения кинетической энергией, отвечающей малым обобщенным скоростям, имеют ту же природу, что и нелинейные

л

неголономные связи в [82, 135, 136] .

3 Если матрица гироскопических сил системы вырождена, то для использования подхода Дирака при ее моделировании предварительно следует отделить уравнения колебаний с "маятниковыми" частотами [74].

В главах 2-5 подход, разработанный в главе 1, применяется для построения и исследования математических моделей движения колесных аппаратов и рельсовых экипажей. Рассматриваются также ситуации, когда в системе совместно реализуются неголономные и первичные или голономные и первичные связи. Полученные алгоритмы понижения порядка уравнений конкретных механических систем могут оказаться полезными для качественного анализа их движения и решения задач оценивания и управления в реальном времени. Обзор современных постановок задач, связанных с исследованием влияния сингулярных возмущений на решение задач управления содержится в работе [64].

В главе 2 рассматривается [33, 36, 37] задача о качении двухосного четырехколесного аппарата по горизонтальной однородной плоскости с малыми проскальзываниями колес. В предположении малого различия характеристик сцепления правых и левых колес одной оси с опорной плоскостью используется двухколесная, так называемая "велосипедная" модель аппарата [44, 141], в рамках которой его передние (управляемые) колеса заменяются одним эквивалентным передним колесом, задние - одним задним, боковые наклоны корпуса не учитываются. Показано, что предельный переход к бесконечному значению жесткости касательных составляющих контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания) приводит к разным моделям для случаев качения аппарата с малыми и конечными углами поворота передних колес относительно корпуса (вокруг вертикальной оси). Сформулированы достаточные условия, при которых движение аппарата с конечными углами поворота передних колес близко к движению неголономной модели с условиями непроскальзывания колес. Показано, что при малых углах поворота передних колес вокруг вертикальной оси проскальзываниями в поперечных к плоскостям колес направлениях (боковым уводом) пренебрегать нельзя. Это связано с тем, что, в силу малости поперечной и угловой скоростей корпуса, порядки слагаемых в правых и левых частях соотношений между компонентами скоростей проскальзывания колес в поперечном направлении и обобщенными скоростями оказываются одинаковыми. В системе мо-

10

гут быть реализованы условия непроскальзывания в продольных к плоскостям колес направлениях и первичные связи Дирака, возникающие из-за вырождения лагранжиана системы при переходе к нулевым значениям малых обобщенных скоростей и (как и в [10]) малой по сравнению с массой корпуса массы колес. В отличие от неголономной модели, использование последней модели возможно и для больших скоростей путевого движения аппарата. Корректность использования моделей со связями для типовых значений параметров легкового автомобиля подтверждается численными расчетами.

В главе 3 построены математические модели, позволяющие аналитически описать движение двухосного четырехколесного аппарата при блокировке или пробуксовке колес одной оси [41, 42]. Как и в главе 2, используется "велосипедная" схема аппарата. Для колеса, не потерявшего сцепление с опорной плоскостью, модель контакта учитывает малые относительные проскальзывания; потерявшее сцепление колесо взаимодействует с опорной плоскостью посредством кулонова трения. Рассматриваемое движение иллюстрирует ситуацию, когда при переходе к бесконечному значению жестко-стей касательных составляющих контактных сил в системе реализуются условия непроскальзывания колеса, не потерявшего сцепление с опорной плоскостью. Приведены примеры случаев, когда блокировка или пробуксовка колес приводит к заносу аппарата. Показано, что торможение и разгон передними колесами с точки зрения безопасности движения предпочтительнее заднеприводных вариантов реализации этих режимов.

Разработанные подходы к математическому моделированию движения колесных аппаратов применялись для создания динамической модели переменной структуры [43], описывающей движение автомобиля при различных сочетаниях возмущающих факторов, приводящих к разгону, торможению, виражу, заносу и проч. Структура модели изменяется в зависимости от числа колес, потерявших сцепление с дорогой. Она может использоваться для формирования средств активной безопасности автомобиля, работающих в реальном времени и способствующих предотвращению заноса или минимизации

его отрицательных последствий. Динамическая модель применялась при раз-

11

работке программного обеспечения тренажерного комплекса водителя [16, 140], имитирующего как движения без потери сцепления колес с дорогой (с малыми проскальзываниями), так и движения и в режиме заноса. Программы комплекса позволяют оценить навыки вождения и проводить эффективное обучение водителей. Обеспечение реализовано в обучающе-тренажерной установке ОТКВ-2, разработанной на кафедре теории и методики прикладных и экстремальных видов спорта Российского государственного университета физической культуры, спорта и туризма.

В главе 4 построена [35] математическая модель вкатывания гребня колеса железнодорожного экипажа на головку рельса - одного из наиболее опасных режимов движения, чреватого сходом. Работа дополняет исследования [142], базирующиеся на модели с условиями непроскальзывания колес относительно рельсов. В отличие от [142], где рассматривалось взаимодействие сухих и чистых поверхностей колес и рельсов, здесь учитывается, что в эксплуатационных условиях они загрязнены водой и смазочным материалом. При этом переход к модели непроскальзывания теряет обоснование, поскольку скорости точек контакта колес и рельсов увеличиваются на порядок [144], и слагаемые в правых и левых частях соотношений между их компонентами и обобщенными скоростями становятся соизмеримыми. Показано, что в системе могут быть реализованы первичные связи Дирака, возникающие из-за вырождения ее лагранжиана при переходе к нулевым значениям малых обобщенных скоростей и малого отношения масс колесной пары и экипажа. Многообразие, определяемое этими связями, в общем случае не близко к многообразию, определяемому условиями непроскальзывания колес относительно рельсов. Полученная неклассическая модель позволяет исследовать эффективность ряда критериев безопасности рельсового движения, а также провести аналитическую оценку условий схода в зависимости от формы гребня, радиуса кривизны пути, высоты центра масс экипажа, сил взаимодействия колес и рельсов, коэффициентов трения контактирующих поверхностей, внешних возмущающих сил и моментов.

В главе 5 исследуется [31] задача о влиянии жесткости подвешивания на амплитуду поперечных колебаний четырехосного грузового вагона в зоне свободного хода (зазоре между гребнями колес и боковыми гранями рельсов). Вагон состоит из кузова, который при помощи рессорного подвешивания (вязкоупругого устройства), опирается на две двухосные тележки. Кузов и колесные пары предполагаются недеформируемыми, оси колесных пар жестко скреплены рамами тележек. Для тележек с одинаковыми коническими колесами и жесткой заделкой осей колесных пар, не допускающей их смещение относительно боковых рам, условия непроскальзывания колес приводят к переопределенной системе уравнений, имеющей лишь тривиальное решение [106, 126, 136]. В связи с этим качение вагона моделируется с учетом малых проскальзываний колес относительно рельсов. Путем перехода к бесконечной жесткости подвешивания и касательных составляющих контактных сил исследуется задача о реализации голономных связей, определяемых условиями недеформируемости подвешивания, и первичных связей Дирака, возникающих в пренебрежении кинетической энергией, отвечающей малым поперечным и угловым обобщенным скоростям кузова и тележек. Система со связями описывает незатухающие поперечные колебания тележек вагона в зоне свободного хода ("кинематические виляния"). С использованием метода интегральных многообразий проведено уточнение этой системы и построена математическая модель, улавливающая слабое возрастание амплитуды поперечных колебаний тележек вагона в зависимости от параметра, характеризующего жесткость подвешивания. Справедливость результатов, полученных при помощи асимптотических процедур, подтверждается численными расчетами. Построенная модель может быть использована при выборе рациональных параметров подвешивания железнодорожных вагонов и исследовании поперечных колебаний поезда.

В главе 6 обсуждаются задачи, возникающие при создании искусственного тактильного механорецептора - прибора для пальпации мягких биологических тканей [52, 166]. Этот способ диагностики патологии основан на

анализе различий механических свойств исследуемой и здоровой тканей.

13

Взаимодействие тканей и чувствительного элемента механорецептора рассматривается в рамках механики контактных взаимодействий. Для реализации такого подхода необходимо разработать адекватные математические модели тканей, модели их контактного взаимодействия с ИТМ и методы идентификации параметров этих моделей по результатам измерений контактных характеристик. Изучением физико-механических свойств тканей занимались как отечественные, так и зарубежные ученые [174, 180, 185, 236]. Полученные ими результаты показывают, что ткани как объект исследования механики деформируемого твердого тела представляют собой класс материалов, специфическими особенностями которых является слабая сжимаемость и существенное различие скоростей распространения продольных и поперечных ультразвуковых волн. В работе приводятся краткие сведения об особенностях строения тканей, обзор современного состояния исследований их механических свойств, возможные постановки контактных задач, позволяющих описывать их взаимодействие с механорецептором, а также подходы к решению обратных задач, которые могут возникнуть при определении механических и геометрических характеристик тканей. Анализировались результаты конечно-элементного моделирования контактного взаимодействия чувствительного элемента механорецептора с мягкой тканью при наличии патологии, проводимого с использованием программного комплекса ANS YS. Показано, что контактные характеристики напряженно-деформированного состояния модели ткани позволяют делать выводы о параметрах включения, моделирующего патологию, формировать требования к конструкции чувствительного элемента механорецептора, точности тактильных датчиков и проведению безопасных обследований пациента. Изложенный материал может использоваться при разработке специального медицинского оборудования, предназначенного для диагностики патологии мягких биологических тканей.

В большой степени результаты исследований, изложенные в первой части настоящей работы, являются развитием идей моего учителя И.В. Новожилова, под руководством которого автору посчастливилось сделать первые шаги в науке. Крайне ценными для автора были обсуждения

14

этих результатов с В.Ф. Журавлевым, Д.М. Климовым и В.В. Козловым, позволившие ему по-новому взглянуть на задачи реализации связей в механике. Часть исследований, относящихся к материалу главы 2 и созданию программного обеспечения для тренажерного комплекса водителя, выполнена автором со своим учеником И.А. Смирновым, которым были получены неравенства (2.19), (2.22) и проведен численный анализ результатов, и коллегами - сотрудниками кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ П.А. Кручининым и A.B. Лебедевым (их результаты не были включены в работу). Исследования, относящиеся ко второй части работы, проводились при неизменной поддержке и участии И.Г. Горячевой, открывшей автору мир механики контактных взаимодействий. Идею о возможности рассматривать взаимодействие мягких биологических тканей и чувствительного элемента механорецептора с использованием аппарата механики контактных взаимодействий сообщил автору Ю.Г. Мартыненко. Расчеты, результаты которых обсуждаются в разделе 6.3, выполнялись совместно с И.Ю. Богдановичем. Автор выражает всем им свою глубокую признательность. Автор благодарит В.В. Александрова, Ю.В. Болотина, C.B. Болотина, Р.В. Гольдштейна, А.И. Кобрина, В.М. Морозова, В.А. Самсонова, В.В. Сидоренко, С.Н. Сошенкова за полезные обсуждения.

Вошедшие в диссертацию работы последних лет выполнялись в рамках финансируемых РФФИ грантов № 06-01-00517, 07-01 -92167-НЦНИ_а, 09-0100593 и гранта Правительства РФ для господдержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых, в ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова" по договору № 11.G34.31.0054.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Влахова, Анастасия Владимировна

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Предложена методика математического моделирования механических систем, которые содержат тела, взаимодействующие с малыми относительными проскальзываниями, путем предельного перехода к бесконечной жесткости составляющих контактных сил, действующих по направлению проскальзывания тел (касательных составляющих контактных сил). Проведено разделение ситуаций, когда предельный переход приводит систему к классической неголономной модели или к неклассической модели с первичными связями Дирака, возникающими из-за вырождения лагранжиана системы. Получена оценка рассогласования между решениями исходной и предельных систем.

227

2. Предложена методика моделирования качения колесного аппарата, использующая предельный переход к бесконечной жесткости касательных составляющих контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания колес относительно опорной плоскости). Получены достаточные условия реализации неголономной модели. Показано, что при малых углах поворота передних колес аппарата относительно корпуса (вокруг вертикальной оси) пренебрежение боковым уводом колес некорректно: предельная модель определяется условиями непроскальзывания колес в продольном по ходу движения направлении и первичными связями Дирака, возникающими из-за вырождения лагранжиана системы.

3. Построены модели движения колесного аппарата при блокировке или пробуксовке колес одной оси. Показано, что при переходе к бесконечной жесткости касательных составляющих контактных сил в системе реализуются условия непроскальзывания колес, не потерявших сцепление с опорной плоскостью. Приведены примеры ситуаций, когда блокировка или пробуксовка колес вызывает занос аппарата.

4. Путем предельного перехода к бесконечной жесткости касательных составляющих контактных сил показано, что при моделировании качения железнодорожного экипажа в эксплуатационных условиях необходим учет проскальзываний колес относительно рельсов. Предложена модель, определяемая первичными связями Дирака, которая позволяет расширить возможности аналитической оценки опасности схода при вкатывании гребня колеса на рельс по сравнению с неголономной моделью.

5. Проведено моделирование поперечных колебаний грузового вагона, движущегося в зоне свободного хода с малыми проскальзываниями колес относительно рельсов. Рассмотрена задача о реализации голономных связей, определяемых условиями недеформируемости подвешивания, и первичных связей Дирака, возникающих из-за вырождения лагранжиана системы. Исследовано влияние жесткости подвешивания на слабое возрастание амплитуды поперечных колебаний тележек вагона.

228

6. Исследовано влияние локальных включений на напряженно-деформированное состояние модели мягкой биологической ткани при вдавливании в нее жесткого или податливого несжимаемого индентора. Проведена оценка диапазона нагрузок и условий контактного взаимодействия, не приводящих к значительным деформациям и концентрации напряжений вблизи и внутри включения. Показано, что о присутствии включения можно судить, исходя из данных измерения жесткости контакта, а также путем анализа распределения контактного давления и нормальных контактных перемещений.

Заключение

В работе изучался ряд задач механики и биомеханики, постановка которых учитывает деформируемость взаимодействующих тел в окрестности точки их первоначального контакта. Рассматривались как теоретические, так и практические приложения такой постановки.

Теоретическим приложением служит решение задачи об указании границ применимости моделей динамики систем с неголономными связями. Как правило, формально-аксиоматический метод позволяет сформулировать лишь необходимые условия их реализации. При формулировке достаточных условий естественной является идея "конструктивного подхода", когда вместо системы со связями рассматривается свободная, деформируемая, система, на которую действуют дополнительные силы, определяемые физическим представлением о природе связей, и, далее, жесткости этих сил устремляются к бесконечности. Основным преимуществом "конструктивного подхода" служит то, что в результате предельного перехода, помимо классических, могут быть получены и осмысленные неклассические системы. В первой части работы (главы 1-5) на основе "конструктивного подхода" изучались предельные системы со связями и их зависимость от "исходных", деформируемых, систем. Предложен подход, позволяющий расширить возможности математического моделирования систем с качением и получить достаточные условия реализации в таких системах неголономных связей и первичных связей Дирака. Рассматривались прикладные задачи, в которых могут быть использованы предельные системы. Изучалась применимость разработанных подходов к моделированию движений колесных аппаратов и рельсовых экипажей.

Важным практическим приложением служит задача создания искусственного тактильного механорецептора (ИТМ) - системы искусственного осязания, функции которой близки к осязательным функциям человека. Такой медицинский прибор для диагностики патологии мягких биологических тканей путем пальпации (ощупывания) представляет интерес, поскольку он действует, не нарушая целостности тканей, без проникновения в них (неинва-зивно). Принцип работы ИТМ, который основан на определении и оценке различий между откликами здоровой и больной тканей на механическое воздействие, близок к методу индентирования, широко применяемому в механике деформируемого твердого тела. Это дает основание проводить анализ экспериментальных данных, получаемых путем пальпации, с использованием постановок задач механики контактного взаимодействия мягких тканей и чувствительного элемента механорецептора, которые, в отличие от рассматриваемых в главах 1-5 задач, связаны с рассмотрением соприкасающихся тел в области контакта. Патология мягких тканей может быть идентифицирована по изменениям параметров их математических моделей, определяемых путем решения обратных задач механики деформируемого твердого тела. Во второй части работы рассматривался круг проблем, связанных с обоснованием конструкции ИТМ и разработкой методов диагностики патологии. Проводилось исследование, какую информацию можно получить при контактном взаимодействии чувствительного элемента механорецептора с мягкими биологическими тканями, каковы возможные диапазоны измеряемых датчиками величин и как эти величины зависят от механических свойств тканей, в частности, тканей со структурными неоднородностями.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Влахова, Анастасия Владимировна, 2013 год

Литература

1. Айзикович С.М., Александров В.М. О свойствах функций податливости, соответствующих слоистому и непрерывно-неоднородному полупространству // ДАН СССР. 1982. Т. 266. № 1. С. 40^13.

2. Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконъ A.B., КреневЛ.И., Труб-чикИ.С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: Физматлит, 2006. 240 с.

3. Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику контактных взаимодействий. Ростов н/Д: Изд-во ООО "ЦВВР", 2007. 108 с.

i

4. Алисейчик А.П., Павловский В.Е. Модель и динамические оценки управляемости и комфортабельности движения многоколесного мобильного робота // Проблемы управления. 2013. № 1. С. 70-78.

5. Амензаде Ю.А. Вдавливание штампа в полуплоскость с включениями // ПММ. 1972. Т. 36. Вып. 5. С. 905-912.

6. Амензаде Ю.А. Вдавливание штампа в полуплоскость с круговыми включениями//ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 1. С. 175-177.

7. Андронов A.A., BummA.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959. 916 с.

8. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., МайерА.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.

9. Андронов В.В., Журавлев В. Ф. Сухое трение в задачах механики. М.Ижевск: ИКИ, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2010. 184 с.

10. Арнольд В.И., Козлов В.В., НейштадтА.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2009. 416 с.

11. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1988. 640 с.

12. Бакушинский A.B., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 199 с.

13. Балабанов Е.И. Кожа человека. Механические свойства. Теплопередача: Аналитический обзор. М., 2001 //

http://osense.narod.ru/librarv/physics/html/041001 b.htm (дата обращения: 30.05.2013)

14. Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости. М.: Мир, 1965. 200 с.

15. Болотин C.B. Задача оптимального управления качением шара с роторами // Нелинейная динамика, 2012. Т. 8. № 4. С. 837-852.

16. Боуш Р.Л., Влахова A.B., Денисов С.Г., Кручинин П.А., Лебедев A.B., Новожилов И.В. Математическое моделирование движения автомобиля для тренажерного комплекса водителя // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. НГУ им. Н.И. Лобачевского, 2006. С. 26-27.

17. Бренделев В.Н. О реализации связей в неголономной механике // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 3. С. 481-487.

18. Буданов В.М., Козорезов Ю.Ю., Мартыненко Ю.Г., Перов Ю.Л., Соколов М.Э., ФрлетаМ. Возможность использования тактильного телехирургического робототехнического комплекса при обследовании верхних отделов желудочно-кишечного тракта // Вестн. нов. мед. технологий. 2006. T. XIII. № 1. С. 126-128.

19. Буданов В.М., Соколов М.Э., Мартыненко Ю.Г., Перов Ю.Л., Сурин A.B. Способ и устройство для оценки плотности и неоднородности биологической ткани // Патент на изобретение № 2299011.

20. Бурдаков С.Ф., МирошникИ.В., СтелъмаковР.Э. Системы управления движением колесных роботов. Спб.: Наука, 2001. 227 с.

21. Вагоны. Конструкция, теория и расчет / Под ред. Л.А. Шадура. М.: Транспорт, 1980. 439 с.

22. Вайдман П.Д., Мальотра Ч. О финальном движении скользящих и вращающихся дисков с однородным кулоновым трением // Нелинейная динамика, 2011. Т. 7. №2. С. 339-365. = WeidmanP.D., Malhotra Ch.P. On the terminal motion of sliding spinning disks with uniform Coulomb friction // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2007. V. 233. № 1. P. 1-13.

23. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных // Ж. выч. матем. и мат. физ. 1963. Т. 3, № 4. С. 611-642.

24. Васильева А.Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.

25. Васильева А.Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.

26. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 224 с.

27. Вертинский C.B., Данилов В.Н., Челноков И.И. Динамика вагона. 2-е изд. М.: Транспорт, 1978. 352 с.

28. Вильке В.Г. Об анизотропном сухом трении и неудерживающих неголо-номных связях // ПММ. 2008. Т. 72. Вып. 1. С. 3-12.

29. Вильке В.Г. О движении железнодорожной колесной пары // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 538-551.

30. Вильке В.Г., Максимов Б.А., Попов С.А. Устойчивость прямолинейного движения железнодорожной колесной пары // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2010. № 2. С. 23-30.

31. Влахова A.B. Математические модели движения железнодорожного вагона конечной жесткости // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 4. С. 30-38.

32. Влахова A.B. О безытерационных приближениях по малому параметру // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2003. № 5. С. 29-37.

33. Влахова A.B. Моделирование качения колесного аппарата // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации. Сб. XXI Междунар. науч.-техн. семинара. М.: Изд-во ГУЛ Ака-демиздат центр "Наука" РАН, 2012. С. 198.

34. Влахова A.B. О возникновении неклассических связей в системах с качением // Межд. конференция Анализ и особенности, посвященная 75-летию со дня рождения В.И. Арнольда. М.: МИАН, 2012. С. 48-50.

35. Влахова A.B. Моделирование движения железнодорожного экипажа при вкатывании гребня колеса на рельс с использованием подхода Дирака // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2013. № 2. С. 67-71.

36. Влахова A.B. О реализации связей в динамике систем с качением // ПММ. 2013. Т. 77. Вып. 3. С. 371-385.

37. Влахова A.B. О реализации связей в задачах качения колесного аппарата // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2013. № 3. С. 22-39.

38. Влахова A.B. О "неголономных движениях" гироскопических и колесных систем // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2013. № 5. С. 66-72.

39. Влахова A.B., Новожилов И.В. Разделение движений разночастотной механической системы, не содержащей явно "малых" или "больших" параметров // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 1. С. 42-51.

40. Влахова A.B., Новожилов И.В. Разделение движений в системах с разрывными правыми частями // Проблемы механики. К 90-летию акад. А.Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 187-195.

41. Влахова A.B., Новожилов И.В. О возмущениях прямолинейного движения колесного экипажа при потере сцепления одного из колес с дорогой // Мобильные роботы и мехатронные системы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004. С. 110-116.

42. Влахова A.B., Новожилов И.В. О заносе колесного экипажа при "блокировке" и "пробуксовке" одного из колес // Фундамен. и прикл. Математика. 2005. Т. 11. Вып. 7. С. 11-20.

43. Влахова A.B., Новожилов И.В., Смирнов И.А. Математическое моделирование заноса автомобиля // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 6. С. 44-50.

44. Влахова A.B., Смирнов И.А. Методы приближенного математического моделирования движения автомобиля // Сб. трудов Междунар. науч. симпозиума, посвященного 140-летию МГТУ "МАМИ". М. Изд-во МАМИ, 2005. С. 37-40.

45. Воропаева H.B., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. М.: Физматлит, 2009. 256 с.

46. Галин H.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. 304 с.

47. ГаргВ.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава. М.: Транспорт, 1988. 391 с.

48. Голъдштейн Р.В., Сковорода А.Р. Применение модели слоистой упругой среды для диагностики патологий мягких тканей при помощи деком-прессионных датчиков. Препринт ОНТИ НЦБИ АН СССР. Пущино, 1989. 34 с.

49. Горячева КГ. Механика фрикционных взаимодействий. М.: Наука, 2001. 478 с.

50. Горячева И.Г., Захаров С.М., Торская Е.В. Влияние относительного проскальзывания и свойств поверхностного слоя на напряженное состояние упругих тел при трении качения // Трение и износ. 2003. Т. 24. № 1. С. 515.

51. Горячева И.Г., Мартпыненко Ю.Г. Проблемы разработки робототехниче-ских и биомехатронных систем с тактильным очувствлением // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4 (5). С. 2112-2114.

52. Горячева И.Г., Мартпыненко Ю.Г., Окунев Ю.М., Влахова A.B., Богданович И.Ю. Задачи диагностики патологий мягких биологических тканей при помощи искусственного тактильного механорецептора // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова. - М.: Изд-во Московского ун-та, 2008. С. 65.

53. Горячева И.Г., Мартпыненко Ю.Г., Су Фон-Чин, Рязанцева М.Ю., Антонов Ф.К. Анализ контактного взаимодействия искусственного видеотактильного механорецептора с мягкими биологическими тканями // Российский журнал биомеханики. 2013. Т. 17. № 1 (59). С. 8-21.

54. Горячева И.Г., Мартыненко Ю.Г., Fong-ChinSu, Досаев М.З., Рязанцева М.Ю., Антонов Ф.К. О применении сенсорного метода для определения механических свойств мягких тканей // Биомеханика 2010, X Все-рос. Конф., май 2010. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. С.60-61.

55. Горячева И.Г., Чекина О.Г. Механика дискретного контакта / В кн.: Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. М.: Физматлит, 2001. С. 418-437.

56. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1100 с.

57. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 455 с.

58. ГураГ.С. Качение тел с трением. Фреттинг. Сочи: Дория, 2009. 295 с.

59. Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. 432 с.

60. Дерябин М.В. О гамильтоновом формализме Дирака и реализации связей малыми массами // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 1. С. 41-45.

61. Дерябин М.В. О движении твердого тела в идеальной жидкости и реализации связей присоединенными массами // Успехи механики. 2004. Т. 2. №3.

62. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 506 с.

63. Дирак П. Обобщенная гамильтонова динамика // Вариационные принципы механики / Под ред. J1.C. Полак. М.: Физматгиз, 1959. С. 705-724.

64. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3-51.

65. ДудельЙ., РюеггЙ., Шмидт Р. Физиология человека / Под ред. Р. Шмидта и Г. Тевса. М.: Мир, 1996. Т. 1. 330 с.

66. Ермаков В.М., Певзнер В. О. О сходах порожних вагонов // Железнодорожный транспорт. 2002. № 3. С. 29 - 33.

67. Есенбаева М.З., Мьгшкис А.Д. О качении жесткой поверхности по двум направляющим // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 5. С. 759-765.

68. Есенбаева М.З., Мышкис А.Д. Кинематика качения твердого тела по двум линиям // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 1. С. 21-29.

69. Жуковский Н.Е. Трение бандажей железнодорожных колес о рельсы // Собр. соч. М.; Д.: Гостехиздат, 1950. Т. 7. С. 426^178.

70. Журавлев В. Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 762-767.

71. Журавлев В. Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 4. С. 81-88.

72. Журавлев В. Ф. Динамика тяжелого однородного шара на шероховатой плоскости // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 6. С. 3-9.

73. Журавлев В. Ф. Понятие связи в аналитической механике // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 4. С. 853-860.

74. Журавлев В. Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

75. Журавлев В. Ф., Розенблат Г.М. Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского: Системы с качением. Неголономные связи. М.: ЛИБРОКОМ, 2013. 192 с.

76. Золоторевский B.C. Механические свойства металлов. 2 - изд. М.: Металлургия, 1983. 352 с.

77. Иванов А. П. О свойствах решений основной задачи динамики в системах с неидеальными связями // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 3. С. 372-385.

78. Иванов А.П. Сравнение моделей трения в динамике шара на плоскости // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 4. С. 907-912.

79. Иванов А.П. Основы теории систем с трением. М.-Ижевск: ИКИ, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2011. 304 с.

80. Ильюшин А.А., ПобедряБ.Е. Основы математической теории термовяз-коупругости. М.: Наука, 1970. 281 с.

81. Интеграл. Научно-практический межотраслевой журнал. 2012. № 2 (64). 120 с.

82. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.482 с.

83. Игилинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. 670 с.

84. Игилинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Кн. 1. Механика вязко-пластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. 360 с. Кн. 2. Механика упругих и абсолютно твердых тел. М.: Наука, 1986. 416 с.

85. Калинин В.В., Новожилов И.В. О необходимых и достаточных условиях реализуемости неголономных связей силами кулонова трения // АН СССР. МТТ. 1975. № 3. С. 15-19.

86. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера Практическое руководство. М.: УРСС, 2003. 269 с.

87. Карапетян A.B. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивости кельтских камней // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 1. С. 42-51.

88. Карапетян A.B. Двухпараметрическая модель трения // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 515-519. Там же. 2010. Т. 74. Вып. 4. С. 531-535.

89. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и дисси-пативных систем. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1983. Т. 6.

90. Киреенков A.A. Закон Кулона в обобщенной дифференциальной форме в задачах динамики твердых тел с комбинированной кинематикой // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 15-26.

91. Клишко А.Н. Определение механических свойств мягких биологических тканей. Моделирование и эксперимент: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Пущино, 2003. 135 с.

92. Коган А.Я. Динамика пути и его взаимодействие с подвижным составом. М.: Транспорт, 1997. 326 с.

93. Коган А.Я., Черняков Е.А. Оценка достаточного условия устойчивости колеса на рельсе с учетом вероятностного характера влияющих на нее некоторых факторов // Вестн. ВНИИЖТ. № 2. С. 36—41.

94. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями. // I. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1982. №3. С. 92-100. II. Там же. 1982. № 4. С. 70-76. III. Там же. 1983. № 3. С. 102-111. IV. Там же. 1987. № 5. С. 76-83. V. Там же. 1988. № 6. С. 51-54.

95. Козлов В.В. Реализация неинтегрируемых связей в классической механике // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272. № 3. С. 550-554.

96. Козлов В. В. Конструктивный подход к обоснованию динамики систем со связями (к 200-летию Аналитической механики Ж.Л. Лагранжа) // Сб. научно-методических статей. М.: Изд-во МГУ, 1990. Вып. 20. С. 8-15.

97. Козлов В.В. К вопросу о реализации связей в динамике // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 4. С. 692-698.

98. Козлов В.В. Общая теория вихрей. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский ун-т", 1998. 238 с.

99. Козлов В.В. Замечания о сухом трении и неголономных связях // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 4. С. 903-906.

100. Козлов В.В., Нейштадт А.И. О реализации голономных связей // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 5. С. 858-861.

101. Копылов И.А., Новожилов И.В. Модель переменной структуры для поперечного движения железнодорожного вагона // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 6. С. 27-36.

102. Копылов H.A., Новожилов И.В. Модель поперечных колебаний железнодорожного поезда // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 2. С. 27-35.

103. Косенко И.И., Александров Е. Б. Реализация модели Контенсу-Эрисмана касательных сил в контактной задаче Герца // Нелинейная динамика, 2009. Т. 5. №4. С. 499-517.

104. Кузьмина Р.П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2003. 336 с.

105. Кулешов A.C., Трещев Д.В., Иванова Т.Б., Наймуилина О.С. Твердый цилиндр на вязкоупругой плоскости // Нелинейная динамика, 2011. Т. 7. № 3. С. 601-625.

106.ЛазарянВ.А. Динамика транспортных средств: Избр. тр. Киев: Наук, думка, 1985. 528 с.

107. Лазарян В.А., ДлугачЛ.А., Коротенко М.Л. Устойчивость движения рельсовых экипажей. Киев: Наук, думка, 1972. 197с.

108. Левин М.А., Фуфаев H.A. Теория качения деформируемого колеса. М.: Наука, 1989. 272 с.

109. Литвинов A.C. Управляемость и устойчивость автомобиля. М.: Машиностроение, 1971. 416 с.

110. Лужнов Ю.М. Сцепление колес с рельсами (природа и закономерности). М.: Интекст, 2003. 144 с.

111.Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955.492 с.

112. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

113. Лысюк B.C. Причины и механизм схода колеса с рельса. Проблема износа колес и рельсов. 2-е изд. М.: Транспорт, 2002. 215 с.

114. Любичева А.Н., Торская Е.В. Напряженное состояние упругих тел с включениями при контактном взаимодействии // Трение и износ. 2004. Т. 25. №4. С. 416-422.

115. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 336 с.

116. Мартыненко Ю.Г., Формальский A.M. Проблемы управления неустойчивыми системами // Успехи механики. 2005. Т. 3. № 2. С. 71-135.

117. Матросов В.М., Финогенко H.A. О разрешимости уравнений движения механических систем с трением скольжения // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 3-13.

Ii 8. Матросов КВ. О существовании решения уравнений движения механической системы с сухим трением // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. №3. С. 343-351.

119. Матюхин В.И. О реализации неголономных механических связей // Изв. АН. МТТ. 1999. № 6. С. 3-11.

120. Матюхин В.И. Безударный контакт твердых тел // Докл. РАН. 2009. Т. 427. № 1. С. 44-47.

121. Мусарский P.A. Математические модели колесных экипажей. Нижний Новгород: Нижегородский гос. Ун-т им. Н. И. Лобачевского, 2008. 164 с.

122. Мусхелишвили H.H. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд. М.: Наука, 1966. 707 с.

123. Нагулин Н.Е., Нагулин С.Н. Многофункциональный ультразвуковой эхо-томоскоп "Сономед-500" с расширенной компьютерной обработкой // Военно-медицинский журнал. 2006. Т. 327. № 11. С. 55-56.

124. Нагулин Н.Е., Нагулин С.Н., Шарапов A.A. Ультразвуковые диагностические приборы с расширенной компьютерной обработкой // Приборы. 2006. № 12. С. 20-24.

125. Наумов Ю.А., Шевляков Ю.А., Чистяк В.И. К решению основных задач теории упругости для слоя с произвольной неоднородностью по толщине // Прикладная механика. 1970. Т. VI. Вып. 7. С. 25-31.

126. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 519 с.

127. Нестеренко В.В., Червяков A.M. Сингулярные лагранжианы. Классическая динамика и квантование. Препринт ОИЯИ Р2-86-323. Дубна, 1986. 101 с.

128. Никишин B.C. Статические контактные задачи для многослойных упругих сред // Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. М.: Физматлит, 2001. 672 с.

129. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. М.: Вычислительный центр АН СССР, 1970. 260 с.

130. Никольский В.В., Смирнов Ю.П. Динамика систем с многовариантными моделями контактного взаимодействия трущихся твердых тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 2. С. 51-59.

131. НовацкийВ. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

132. Новожилов И.В. Условия застоя в системах с кулоновым трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 1. С. 8-14.

133. Новожилов ИВ. Разделение движений рельсового экипажа // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 1. С. 55-59.

134. Новожилов И.В. Предельная модель системы с упругими элементами большой жесткости // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 4. С. 24-27.

135. Новожилов И.В. Модель движения деформируемого колеса // Изв. АН. МТТ. 1995. №6. С. 19-26.

136. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995. 224 с.

137. Новожилов И.В. Качение колеса // Изв. АН. МТТ. 1998. № 4. С. 50-55.

138. Новожилов И.В. Методы формирования приближенных математических моделей движения // Фундамен. и прикл. Математика. 2005. Т. 11. Вып. 7. С. 5-9.

139. Новожилов И. В., Кручинин П. А., Магомедов М. X. Контактные силы взаимодействия колеса с опорной поверхностью // Сб. научно-методических статей. М.: Изд-во МГУ, 2000. Вып. 23. С. 86-95.

140. Новожилов И.В., Кручинин П.А., Лебедев A.B., Влахова A.B., БоушР.Л. Модель движения автомобиля как основа математического обеспечения тренажерного комплекса водителя // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 6. С. 31-36.

141. Новожилов И.В., Павлов И. С. Приближенная математическая модель колесного экипажа // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 2. С. 196-204.

142 .Новожилов И.В., Филиппов В.Н. К оценке условий вкатывания гребня железнодорожной колесной пары на головку рельса // Изв. РАН. МТТ. 2002. №4. С. 21-29.

143. Нормы расчета и проектирования вагонов железных дорог МПС колеи 1520 мм (несамоходных). М.: ГосНИИВ-ВНИИЖТ. 1996. 319 с.

144. Обобщение передового опыта тяжеловесного движения: вопросы взаимодействия колеса и рельса: Пер. с англ. / У.Дж. Харрис., С.М. Захаров, Дж. Ландгрен, X. Турне, В. Эберсен. М.: Интекст, 2002. 408 с.

145. Орлова A.M. Влияние конструктивных схем и параметров тележек на устойчивость, ходовые качества и нагруженность вагонов: Дисс.... докт. техн. наук. Санкт-Петербург, 2009. 403 с.

146. Охоцимский Д.Е., Мартыненко Ю.Г. Новые задачи динамики и управления движением мобильных колесных роботов // Успехи механики. 2003. Т. 2. № 1.С. 3^6.

147. Павлов И. С. Математическое моделирование пространственного движения автомобиля: Дисс.... канд. физ.-мат. наук. Москва, 1998. 188 с.

148. Певзнер Я.М. Теория устойчивости автомобиля. М.: Машгиз, 1947. 156 с.

149. Плотников П.К. Модели сил трения одномерных кинематических пар и свойства движений твердых тел // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 4. С. 66-80.

150. Погорелое Д.Ю., Симонов В.А. Показатель для оценки опасности схода подвижного состава путем вкатывания колеса на головку рельса // Вюник СНУ iM. В. Даля. 2010. № 5 (147). Ч. 1.

151. Пожарицкий Г.К. Исчезающие скольжения механических систем с сухим трением // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 3. С. 558-563.

152. Пойда В.К. Переходные кривые вертикально-параллельного двухколес-ника//Вестн. Ленинградского ун-та. Вып. 1. 1977. № 1. С. 100-105.

153. Пономарев А.Е., Булатицкий С.И., Сапожников O.A. Компрессия и усиление ультразвукового импульса, отраженного от одномерной слоистой структуры // Акуст. журн. 2007. Т. 53. № 2. С. 157-167.

154. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

155. Приварников А.К. Граничные задачи теории упругости для многослойных оснований простой и сложной структуры: Дисс.... докт. физ.-мат. наук. Днепропетровск, 1981. 388 с.

156. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954. 316 с.

157. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.

158. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

159. Развитие механики контактных задач в СССР / Под ред. JI.A. Галина. М.: Наука, 1987. 688 с.

160. Регирер С.А., Штейн АЛ. Методы механики сплошной среды в применении к задачам роста и развития биологических тканей // Современные проблемы биомеханики. Т. 2. Механика биологических тканей. Рига: Зинатне, 1985. С. 5-37.

161. Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965. 224 с.

162. Ривлин P.C. Большие упругие деформации // Реология. Теория и приложения / Пер. с англ.; Под ред. Ф.Эйриха; Под общ. ред. Ю.Н. Работнова и П.А. Ребиндера. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 824 с.

163. Родзевич И.А. О расчете многослойного упругого основания. // Вопросы механики. Вып. 193. М.: Изд-во МГУ, 1961. С. 57-67.

164. Розенблат Г.М. Об устойчивости движения железнодорожной колесной пары // Доклады РАН. 2012. Т. 442. № 5. С. 623-627.

165. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 261 с.

166. Садовничий В.А., Горячева И.Г., Акаев A.A., Мартыненко Ю.Г., Оку-невЮ.М., Влахова A.B., Богданович И.Ю. Применение методов механики контактных взаимодействий при диагностике патологических состояний мягких биологических тканей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. 306 с.

167. Садовничий В.А., Григорьев А.К, Окунев Ю.М., Соколов М.Э., Буданов В. М., Мартыненко Ю.Г. Искусственный тактильный механоре-цептор. Теория, опыт создания, экспериментальная апробация // Технология живых систем. 2005. Т. 2. № 4-5. С. 3-10.

168. Садовничий В.А., Григорьев А.И., Соколов М.Э., Буданов В.М., Подольский В.Е., Сурин A.B., Панарин В.М. Устройство для исследования плотности ткани при эндоскопическом обследовании // Патент на изобретение № 2391892 от 20 июня 2010 г.

169. Садовничий В.А., Соколов М.Э., Буданов В.М., Сурин A.B., Подольский В. Е., Соколова Л. М., Панарин В.М. Устройство передачи и отображения тактильной информации при эндоскопическом исследовании плотности ткани // Патент на изобретение № 2391891 от 20 июня 2010 г.

170. Самсонов В.А. О трении при скольжении и верчении тела // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1981. № 2. С. 76-78.

171. Сарвазян А.П. Низкая скорость звука в гелях и биологических тканях: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Пущино, 1968. 99 с.

172. Сарвазян А.П. Низкочастотные акустические характеристики биологических тканей // Механика полимеров. 1975, № 4. С. 691-695.

173. Сарвазян А.П., Пасечник В.П., Шноль С.Э. Низкая скорость звука в гелях и протоплазматических структурах. Возможное биологическое значение этого явления // Биофизика. 1968. Т. 13. № 4. С. 587-594.

174. Сарвазян А.П., Пономарев В.П. Устройство для оценки упругости ткани: Авторское свидетельство SU 1344323 // Бюллетень изобретений. №38. 1987.

175. Сарвазян А.П., Шноль С.Э., Пасечник В.И. Акустические свойства гелей и биологических тканей в низкочастотном звуковом поле. Свойства и функции макромолекул и макромолекулярных систем. М.: Наука, 1969. С. 121-134.

176. СеберДж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. 456 с.

177. Седов Л.И. Механика сплошной среды. 5-е изд., испр. М.: Наука, 1994. Т. 1. 528 е.; Т. 2. 560 с.

178. Сергеев B.C. К задаче об устойчивости движения железнодорожной колесной пары // В сб. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: Выч. Центр имени Дородницына РАН, 2009. С. 3-13.

179. СидоренкоВ.В. Об эволюции движения механической системы с линейным демпфером большой жесткости // ПММ, 1995. Т. 59. Вып. 4. С. 562568.

180. Сковорода А.Р. Задачи теории упругости в проблеме диагностики патологий мягких биологических тканей. М.: Физматгиз, 2006. 232 с.

181. Сокол Э.Н. Сходы с рельсов и столкновения подвижного состава (Судебная экспертиза. Элементы теории и практики). К.: Транспорт Укра'ши, 2004. 368 с.

182. Соколов М.Э., Буданов В.М., Мартыненко Ю.Г., Перов Ю.Л., Сурин A.B. Устройство для исследования ткани при эндоскопическом исследовании // Патент на изобретение № 2286080.

183. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. 256 с.

184. Татаринов Я.В. Универсальная характеристическая функция и метод подвижного репера в динамике систем с неинтегрируемыми связями // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1989. № 2. С. 60-66.

185. Тиманин Е.М. О возможности измерения реологических характеристик мягких тканей предплечья человека на основе регистрации их поперечной жесткости // Биофизика. 1989. Т. 34. № 3. С. 512-516.

186. Тиманин Е.М. Поля смещений поверхностного источника колебаний в слоистой биологической ткани // Акустический журнал. 2002. Т. 48. № 1. С. 98-104.

187. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Мат. сб. 1952. 31, № 3. С. 575-586.

188 .Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.:

Наука, 1986. 288 с.

189 .Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи ком-

пьютерной томографии. М.: Наука, 1987. 160 с.

190. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., ЯголаА.Г. Регуляризую-щие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. 200 с.

191. Тихонов А.Н., Леонов A.C., ЯголаА.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука: Физматлит, 1995. 312 с.

192. Ткачев С. Б. Реализация движения колесного робота по заданной траектории // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2008. №2. С. 35-55.

193. Трифонов Е.В. Психофизиология человека: Толковый русско-английский словарь. 12-е изд. СПб.: 1997-2008. http://www.trvphonov.ru/ (дата обращения: 30.05.2013).

194. Универсальный механизм - программное обеспечение для моделирования динамики механических систем. URL: http://www.umlab.ru/index rus.htm (дата обращения: 30.05.2013).

195. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.368 с.

196. ФаркашЗ., Бартельс Г, Унгер Т., Вольф Д. Э. О силе трения при поступательном и вращательном движении плоского тела // Нелинейная динамика, 2011. Т. 7. №1. С. 13,9-146. = FarkasZ., Bartels G., UngerT, Wolf D.E. Frictional Coupling between Sliding and Spinning Motion // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90. № 24, 248302.

197. Федосов С. А., Пешек JI. Определение механических свойств материалов микроиндентированием. М.: Физ. фак. МГУ, 2004. 100 с.

198. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

199. Фуфаев H.A. Об идеализации поверхности соприкосновения в виде точечного контакта в задачах качения // ПММ. 1966. Т. 39. Вып. 1. С. 6772.

200. Черноусько Ф.Л. Динамика систем с упругими элементами большой жесткости // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 4. С. 101-113.

201. Чудаков Е.А. Избранные труды. Т. 1. Теория автомобиля. М.: Изд-во АНСССР, 1961.464 с.

202.ЯхноВ.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990. 304 с.

203. Ackermann J., Biinte T., OdenthalD. Advantages of active steering for vehicle dynamic control // 32nd Int. Symp. Automotive Technology and Automation. Vienna, Austria, 1999. P. 263-270.

204. Ahn B., Kim J. Measurement and characterization of soft tissue behavior with surface deformation and force response under large deformations // Med. Image Analysis. 2010. Vol. 14. P. 138-148.

205. Aneke N.P.I., Ackermann J., Biinte T., Nijmeijer H. Application of nonlinear disturbance decoupling to active car steering // Proc. European Control Conf. Karlsruhe, 1999.

206. Bar-Cohen Y., Mavroidis C., Bouzit M., Dolgin B., Harm D.L., Kopchok G.E., White R. Virtual reality robotic telesurgery simulations using MEMICA hap-tic system // Proc. of SPIE's 8th Annual International Symposium on Smart Materials and Structures, 5-8 March 2001. Newport Beach, CA. Vol. 4329. P. 357-363.

207. Cerone V., Milanese M., Regruto D. Simulation results on combined automatic lane keeping and driver's maneuvers // Proc. European Control Conf. 2007. P. 1241-1248.

208. Chien-Shien Yeh, Ming-Shaung Ju, Martynenko Yu., Goryacheva /., Fong-Chin Su. Development of Vision-Based Tactile Sensor for Palpation of Pathological Soft Tissues // C.T. Lim and J.C.H. Goh (Eds.): WCB 2010, IFMBE Proc. 31.2010. P. 1270-1273.

209. Chien-Shien Yeh, Ming-Shaung Ju, Martynenko Yu., Goryacheva I., Fong-Chin Su. Optical Design of Vision-Based Tactile Sensor for Palpation of Soft Tissues // Biomech. Conf. 2010. TSB Proc. 2010. P. 348-351.

210. Egorov V., TsyuryupaS., KaniloS., KogitM., SarvazyanA. Soft tissue elastometer // Med. Eng. Phys. 2008. Vol. 30. № 2. P. 206-212.

211. Gentle C.R. Mammobarography: a possible method of mass breast screening // J. Biomed. Eng. 1988. Vol. 10. P. 124-126.

212. Goryacheva I. G, Martynenko Yu. G., Dosaev M. Z., Ryazantseva M. Yu., Antonov F.K., MorozovA.V., Fong-ChinSu, Chien-Hsien Yeh. Visual sensor approach for the determination of mechanical properties of soft biological tissues // Proc. First IFToMM Asian Conf. Mechanism and Machine Science. Oct. 2010. Taipei (internet version).

213. He J., Crolla D.A., Levesley M.C., Manning W.J. Coordination of active steering, driveline, and braking for integrated vehicle dynamics control // Proc. IMechE Part D: J. Autom. Engineering. 2006. V. 220. P. 1401-1421.

214. Hendriks F.M., BrokkenD., EemerenJ., Oomens C.W.J., Baaijens F.P.T. A numerical-experimental method to characterize the non-linear mechanical behaviour of human skin // Skin Research and Technology. 2003. Vol. 9. P. 274-283.

215. Hoshi T., Shinoda H. A sensitive skin based on touch-area-evaluating tactile elements // Proc. IEEE Virtual Reality. 2006. P. 89-94.

216. Jalkanen V. Resonance sensor measurements of stiffness variations in prostate tissue in vitro - a weighted tissue proportion model // Physiol. Meas. 2006. Vol. 27. P. 1373-1386.

217. Jalkanen V. Tactile sensing of prostate cancer. - A resonance sensor method evaluated using human prostate tissue in vitro / Department of Applied Physics and Electronics Centure for Biomedical Engineering and Physics. Umea University, Sweden, 2007. 70 p.

218. Keen S.D., Cole D.J. Steering control using model predictive control and multiple internal models // Proc. Of Advanced Vehicle Control. 2006.

219. Keviczky T., Falcone P., Borrelli F., AsgariJ., Hrovat D. Predective control approach to autonomous vehicle steering // Proc. Amer. Control Conf. 2006. P. 4670-4675.

220. Kovalev R., LysikovN., Mikheev G., Pogorelov D., Simonov V., YazykovV., Zakharov S., Zharov /., Goryacheva /., Soshenkov S., Torskaya E. Freight Car Models and Their Computer-Aided Dynamic Analysis // Multibody System Dynamics. 2009. Vol. 22, № 4. Pp. 399-423.

221 .LedermanS., Klatzky R. Hand movements: a window into haptic object recognition // Cognit. Psychol. 1987. Vol. 19. № 3. P. 342-368.

222. Lerner R.M. et al. Sono-Elasticity: Medical Elasticity Images Derived from Ultrasound Signals in Mechanically Vibrated Targets // Acoustical Imaging. 1988. Vol. 16. P. 317.

223. Liu Yi., KerdokA.E., Howe R.D. A nonlinear finite element model of soft tissue indentation // Proceedings of Medical Simulation: Int. Symp. - ISMS 2004. Cambridge, MA, June 17-18, 2004.

224. Milliken W.F., MillikenD.L. Race Car Vehicle Dynamics. Warrendale, PA: Soc. Automotive Eng., 1995. 992 p.

225 .MiuraT., UshirodaY., SawaseK., Takahahi^N., Hayashikawa K. Development of Integrated Vehicle Dynamics Control System 'S-AWC' // Mitsubishi Motors technical review. 2008. № 20. P. 21-25.

226. Nadal M.J. Locomotives a Vapeur. Collection Encyclopedie Scientifique, Biblioteque de Mecanique Appliquee et Genie, Vol. 186, Paris, 1908.

227. Nicolson E. Tactile sensing and control of a planar manipulator: PhD thesis. University of California, Berkley, 1994.

228. Olley M. Road manners of the modern car. Institution of Automobile Engineers // Proc. 1946-1947, V. 51.

229. Orlova A. The refined linear model of wheelset on track motion // Proc. of the 7-th Mini Conference on Vehicle System Dynamics, Identification and Anomalies. Budapest: BUTE, 2000. P. 233-241.

230. Pacejka H.B. Tyre and vehicle dynamics. Warrendale, PA. Soc. Automotive Eng., 2005. 621 p.

231. Sarvazyan A.P. Mechanical imaging: A new technology for medical diagnostics // Int. J. of Med. Inform. 1998. Vol. 49. P. 195-216.

232. Sarvazyan A.P. Method and device for mechanical imaging of prostate. US Patent N5,785,663, 1998.

233. Sarvazyan A.P., Egorov V. Self-palpation device for examination of breast. US Patent N 6, 468, 231, 2002.

234. Sarvazyan A.P. et al. Biophysical Bases of Elasticity Imaging // Acoustical Imaging. 1995. Vol. 21. P. 223-240.

235. Singh U., FearingR.S. Tactile after images from static contact. 7th Symp. on Haptic Interfaces for Virtual Environment and Teleoperator Systems // ASME IMECE Anaheim, CA, Nov. 1998.

236. Tristan M., Barbosa D. C., Cosgrove D. O., Nassiri D. K., Bamber J. C., Hill C.R. Ultrasonic study of in vivo kinetic characteristics of human tissues // Ultrasonic Med. Biol. 1986. 12. P. 695-707.

237. Wang Qi, Hayward V. In vivo biomechanics of the fingerpad skin under local tangential traction // J. of Biomechanics. 2007. Vol. 40. № 4. P. 851-860.

238. Whitcomb D. W., Milliken W.F. Design implications of a general theory of automobile stability and control // Proc. Automobile Division, The Institution of Mechanical Engineers. 1956. Vol. 7. P. 367-391.

239. YanJ., Scott P.K., Fearing R.S. Inclusion Probing: Signal Detection and Haptic Playback of 2D FEM and Experimental Data. Proc of ASME Dynamic Systems and Control Div. 1999. Vol. 67. Nov. P. 203-210.

240. YihP., Ryu J., Gerdes J.C. Vehicle state estimation using steering torque // Proc. American Cont. Conf. 2004. P. 2116-2121.