Использование эффективных переобуславливателей для численной реализации математических моделей конвективно-диффузионного переноса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Пичугина, Ольга Александровна

• Пичугина, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пичугина, Ольга Александровна

Введение

1 Моделирование процессов распространения в средах с сильным течением

1.1 Некоторые подходы к построению математических моделей

1.2 Моделирование процессов в движущихся средах.

1.3 Уравнение конвекции-диффузии и его свойства

1.4 Обзор математических моделей процессов конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией

1.5 Аппроксимация.

1.6 Описание тестовых задач.

2 Методы решения системы линейных алгебраических уравнений

2.1 Общие сведения

2.1.1 Линейное пространство.

2.1.2 Линейные операторы и матрицы.

2.1.3 Специальные матрицы и их свойства.

2.1.4 Скалярные произведения и нормы.

2.1.5 Базис

2.2 Классические итерационные методы.

2.2.1 Общая теория итерационных методов.

2.2.2 Метод простой итерации (Якоби).

2.2.3 Метод Гаусса-Зейделя.

2.2.4 Методы SOR и SSOR

2.2.5 Треугольные и попеременно-треугольные методы

2.2.6 Ускорение классических итерационных методов

2.2.7 Методы неполной факторизации.

2.3 Проекционные итерационные методы.

2.3.1 Общий подход к построению проекционных методов

2.3.2 Подпространства Крылова.

2.3.3 Базис подпространства Крылова.

2.4 Методы крыловского типа.

2.4.1 Методы подпространства Крылова.

2.4.2 GMRES.

2.4.3 BiCG.

2.5 Переобуславливание.

2.5.1 Переобуславливатели Якоби и Гаусса-Зейделя

2.5.2 SOR- и SSOR-переобуславливание.

2.5.3 Неполное LU-разложение.

2.5.4 Полиномиальное переобуславливание.

2.5.5 Минимизация функционала.

2.5.6 Декомпозиция области.

Современные методы решения сильно несимметричных систем

3.1 Вариационные методы.

3.2 Метод симметрического и кососимметрического расщепления

3.3 Кососимметрические методы.

3.3.1 Базовые кососимметрические методы.

3.3.2 Ускорение базовых кососимметических методов

3.3.3 Беспараметрические кососимметрические методы

3.3.4 Модифицированные кососимметрические методы . ИЗ

3.4 Треугольные и попеременно-треугольные кососимметриче-ские переобуславливатели.

3.5 Сравнение треугольных и попеременно-треугольных кососим-метрических переобуславливателей.

4 Программный комплекс

4.1 Структура и описание программного комплекса.

4.2 Описание интерфейса с пользователем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование эффективных переобуславливателей для численной реализации математических моделей конвективно-диффузионного переноса»

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его "образом" - математической моделью -и в дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Такой подход сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом, а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат использовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В тоже время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы.

В настоящее время сложилась вполне определенная технологическая цепочка математического моделирования: объект исследования - физическая модель - математическая (непрерывная) модель - численная (дискретная) модель - алгоритмическая модель - компьютерная модель (программа) -расчет (вычислительный эксперимент) - интерпретация результатов (анализ, сравнение с экспериментальными и другими данными).

Первые три этапа - построение собственно математической модели. Основное требование, предъявляемое к математической модели, - адекватное описание физических процессов, протекающих в исследуемых системах. Однако охватить все многообразие явлений чрезвычайно трудно. Необходимо упростить проблему и рассмотреть только основные процессы. Какие из них являются основными, а какие второстепенными определяется в первую очередь свойствами изучаемой системы и тем кругом задач, для решения которых она предназначена. Таким образом здесь проводится математическая формализация явления (выбор характеристик, которые поддаются математическому описанию, нахождение математического выражения соотношений между характеристиками и т.п.), развивается математический аппарат, позволяющий построить математическую модель, проводится ее упрощение и т.д.

На следующих этапах строится дискретная задача и численный метод решения этой дискретной задачи. Проводятся строгие доказательства существования и единственности решения дискретной задачи, получают теоретические оценки погрешности приближенного решения, сходимости итерационного процесса. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Используемые вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач.

На последних этапах создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере, а так же выполняется анализ результатов, сопоставление их с теоретическими выводами и с данными натурного эксперимента. При необходимости математические модели и вычислительные алгоритмы уточняются, так что вычислительный эксперимент повторяется на более совершенной основе. Отсюда следует, что программный продукт должен учитывать важнейшую специфику математического моделирования, связанную с использованием иерархии математических моделей, а так же многовариантностью расчетов. Это подразумевает широкое использование комплексов и пакетов прикладных программ. Комплексы программ предназначены для решения близких по своей математической природе задач из одной предметной области. Они включают в себя библиотеку программных модулей (в большей или меньшей степени независимых), из которых комплектуются рабочие программы.

Математическое моделирование широко используется при описании процессов в движущихся средах. Значительная сложность явлений вынуждает ученых не ограничиваться теоретическими исследованиями, но также использовать при изучении процессов методы математического моделирования.

Математические модели в движущихся средах, которые включают в себя конвективный и диффузионный перенос, описывают самые различные процессы и явления в физике, механике, биологии и экономике [101, 72, 44, 91]. В тех случаях, когда мы имеем дело со средами с сильным течением, а значит процесс конвекции является преобладающим, применение стандартных численных методов становится весьма проблематичным, с математической точки зрения это объясняется наличием малого параметра при старшей производной. При некоторых дополнительных условиях - несогласованности правой части дифференциального уравнения с краевыми условиями - в таких задачах может возникать явление пограничного слоя, т.е. резкое изменение решения в очень малой области расчета [111]. Для таких задач очень важно правильно выбрать метод разностной аппроксимации. При различных методах разностной аппроксимации дифференциального уравнения конвекции-диффузии получаем системы линейных алгебраических уравнений, обладающие различными свойствами. В случае преобладающей конвекции использование противопотоковых схем приводит к системе линейных алгебраических уравнений с монотонной матрицей (М-матрицей) и сильному сглаживанию решения за счет появления в разностных уравнениях искусственной вязкости. Поэтому при решении данных задач эффективнее использовать центрально-разностную аппроксимацию, при которой сохраняется характер поведения решения, но в результате получается система линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, не имеющей диагонального преобладания. В этом случае большинство классических и современных итерационных методов либо вообще не работают, либо обладают очень медленной скоростью сходимости. Поэтому так актуальна проблема создания эффективных численных методов для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией [90, 18, 42, 48].

В настоящее время для решения задач линейной алгебры существует множество различных численных методов, которые непрерывно усовершенствуются и модифицируются. Активно разрабатываются новые методы. В результате оказывается, что значительная часть созданных методов имеет право на существование, обладая своей областью применимости. При решении конкретной задачи важно выбрать наиболее подходящий для рассматриваемого класса задач метод из множества допустимых методов решения данной задачи. Этот метод, очевидно, должен обладать наилучшими характеристиками, такими как минимум времени решения задачи на компьютере (или минимум числа арифметических и логических операций при нахождении решения), минимальный объем вычислительной работы, вычислительная устойчивость, т. е. устойчивость по отношению к ошибкам округления и др. При выборе метода решения задач конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной необходимо учитывать все перечисленные выше особенности этого класса задач.

Проблемы численного моделирования не снимаются сами собой по мере появления все более мощных компьютеров. Это связано, по меньшей мере, с двумя причинами: усложнением выдвигаемых как практикой, так и теорией, задач и необходимостью большого числа серий вычислительных экспериментов для достаточно полного изучения объекта. Поэтому разработка эффективных вычислительных алгоритмов всегда остается одной из ключевых задач математического моделирования.

Цель и задачи работы. Целью данной работы является разработка, исследование и программная реализация эффективных методов решения задач математического моделирования конвективно-диффузионного переноса в средах с преобладающей конвекцией.

В соответствии с этими целями решен ряд задач:

• определен и исследован класс систем линейных алгебраических уравнений, к которым сводятся после аппроксимации рассматриваемые дифференциальные задачи;

• разработан новый класс эффективных переобуславливателей методов подпространства Крылова для решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений;

• проведено теоретическое исследование и численная проверка предложенных переобуславливателей;

• создано программное обеспечение, позволяющее использовать предложенные переобуславливатели методов подпространства Крылова для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.

Методы исследования рассмотренных переобуславливателей основаны на спектральном подходе, а также на теории итерационных методов, понятиях и методах матричного анализа.

Научная новизна. Предложен новый класс переобуславливателей для методов подпространства Крылова, основанный на кососимметрических треугольных и попеременно-треугольных итерационных методах, позволяющий эффективно решать СЛАУ сильно несимметричными матрицами. Проведено теоретическое исследование сходимости предложенных переобуславливателей. Проделан ряд численных экспериментов, подтверждающих эффективность данной методики.

Достоверность. Представленные в диссертации леммы и теоремы имеют строгое математическое обоснование, предложенные методы теоретически исследованы и численно проверены.

Практическая значимость. Предложен эффективный алгоритм реализации математической модели конвективно-диффузионного переноса с преобладающей конвекцией с использованием переобуславливателей методов подпространства Крылова для решения сильно несимметричных СЛАУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на X и XI Всероссийских школах-семинарах молодых ученых "Современные проблемы математического моделирования" (п. Абрау-Дюрсо 2003г., 2005г.); на IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященном памяти А.Ф. Сидорова (п. Абрау-Дюрсо, 2002г.); на II Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (г. Казань, 2003г.); на Международной конференции "Iterative methods and matrix computations" (г. Ростов-на-Дону, 2002г.); на I и II Всероссийских конференциях "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (г. Екатеринбург, 2003г., п. Абрау-Дюрсо, 2004г.); на Международной конференции GAMM (г.Падуя, Италия, 2003г.); на XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г.Владимир, 2003г.); на I Международной конференции "Computational methods in applied mathematics" (г.Минск, 2003г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики" (г. Ростов-на-Дону, 2004г.).

В полном объеме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ.

Публикации. Общее число публикаций -19. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, в том числе 7 в соавторстве. Из них 3 статьи в реферируемых отечественных и зарубежных журналах, 5 статей в сборниках трудов и 6 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пичугина, Ольга Александровна, 2006 год

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров М: Высшая школа, 1994

2. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. М: Мир, 1990

3. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности. Новосибирск: Изд. НГТУ, 2000.

4. Белоконь Т. В. Использование эффективных численных методов при моделировании конвективно-диффузионных процессов в средах с преобладающей конвекцией. Диссертация на соискание уч. ст. канд. ф.-м. Наук, РГУ, б-ка ЛВЭ ЮГИНФО РГУ, 2003

5. Богачев К.Ю. Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. М: Изд. МГУ, 1998.

6. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Изд. МГУ, 1993.

7. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления, Москва: Мир, 1999

9. Деммелъ Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, М: Мир, 2001

10. Дуллан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем М.: Мир, 1983.

11. Еремин А.Ю., Капорин И.Е. Реализация явных чебышевских методов при решении задач большой размерности. в кн. Многопроцессорные вычислительные структуры, Таганрог, ТРТИ, 1985, вып.7, стр. 43-46

12. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений Новосибирск: Издательство института мате-митики, 2000.

13. Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидрофизических процессов в мелких водоемах. Диссертация на соискание ученой степени док-тора ф.-м. наук, РГУ, б-ка ЛВЭ ЮГИНФО РГУ, 1994

14. Крукиер Л.А. Достаточное условие сходимости треугольного итерационного метода с несамосопряженным исходным оператором.// Изв. СКНЦ ВШ. Ест. Науки, 1989, №4, стр. 52-54

15. Крукиер Л.А. Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной.// Изв. ВУЗов. Математика, 1997, №4, стр.7785.

16. Крукиер Л.А., Лапшина О.Л.Численное сравнение вариационных методов решения СЛАУ, получаемых при конечно-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии. // Математическое Моделирование т. 16, №4, 2004г. с. 23-32.

17. Крукиер Л.А., Мартынова Т.О. О влиянии формы записи уравнения конвекции-дифузии на сходимость метода верхней релаксации.// ЖВ-МиМФ, т.39, №11,1999, с. 1821-1827

18. Крукиер Л.А, Чикина Л.Г. Кососимметрические итерационные методы решения стационарных задач конвекции-диффузии.// Изв. ВУЗов,ф Ма-тем., 2000. №11. с.62-76.

19. Крукиер Л.А., Чикина Л.Г. Двуциклический треугольный кососим-метрический итерационный метод решения сильно несимметричных систем.// Известия высших учебных заведений. Математика, №5, 2001, стр. 36-42

20. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1958.

21. Математическое моделирование / Под редакцией Эндрюса Дж., Мак-Лоурена Р.; пер. с англ. М.: Мир, 1979.

22. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем.М.: Мир, 1991.

23. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972, 418с.

24. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980

25. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем, М: Наука, 1971

26. Самарский A.A. Введение в численные методы. М: Наука, 1987

27. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений М*. Наука, 1978

28. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

29. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М: Наука, 1989

30. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. М: Изд. Физтеха, 1994.

31. Хейгеман Л. Янг Д. Прикладные итерационные методы, Москва: Мир, 1986

32. Чикина Л. Г. Об одном методе решения уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.// Математическое моделирование, 1997, т. 9, № 2, стр. 20-25.

33. Чикина Л. Г. Решение уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией в областях сложной формы. Диссертация на соискание уч. ст. канд. ф.-м. Наук, РГУ, б-ка ЛВЭ ЮГИНФО РГУ, 1997

34. Чикина Л.Г., Крукиер Б.Л. Двухпараметрический двуциклический итерационный метод решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. // Вычислительные технологии , 2004 , т. 9, № 5, стр. 102-113.

35. Хорн Р. Джонсон Ч. Матричный анализ. Москва: Мир, 1989.

36. Arnoldi W.E. The principle of minimized iteration in the solution of the ma-trix eigenproblem. // Quart. Appl. Math., 1951, №9, p. 17-29

37. Ashby S.F. Minimax polynomial preconditioning for Hermitian linear systems. // SIAM J. Matrix. Fnal. Applic. 12, 1991, p. 766-789.

38. Axelsson 0. On preconditioning And convergence acceleration for spase matrix problems // Peport 74-10, CERN, 1974.

39. Axelsson 0. Iterative solution Methods. Cambridge University Press, Cam-bridge, 1994

40. Bai Z. Error Analysis of the Lanczos algorithm for the nonsymmetric eigenvalue problem. // Math. Сотр., V.62, N.205, p.209-226.

41. Bai Z.Z., Krukier L.A., Martynova T.S. Two step iterative methods for solution of steady convection-diffusion equation with small parameter at the higher derivatives on regular mesh // ЖВМ и МФ, 2006, N2, с.

42. Barrett R., Berry M., Chan T.F., Demmel J., Donato J., Dongarra J., Eijkhout V., Pozo R., Romine C., and Van der Vorst. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd Edition. SIAM, Philadelphia, PA, 1994

43. Benson M.W. Iterative Solution of Large Scale Linear Systems, M.Sc. thesis (Lakehead University, Thunder Bay, Ontario, 1973).

44. Benzi M. and Tuma M. A comparative study of sparse approximate inverse preconditioners. // Appl. Numer. Math. V.30, 305, 1999.

45. Benzi M. and Tuma M. A sparse approximate inverse preconditioner for nonsymmetric linear systems. // SIAM J. Sci. Comput. v.19, 968 (1998).

46. Bjorch A. and Elfving T. Accelerated projection methods for computing pseudoinverse solutions of system linear equation. BIT, 19, 145-163, 1979.

47. Chan T.F., Galloloulos E., Simoncini V., Szeto T., Tong C.H. A quasiminimal residual variant of the BiCGSTAB algorithm for nonsymmetric sys-tems.// SIAM J. Sci. Statist. Comput., 1994, №15, p. 338-347

48. Chikina L.G., Krukier B.L. Solution of linear equation systems with dominant skew-symmetric part using the product triangular iterative method. // Computational methods in applied mathematics, 2003, v.3, №, p. 447-450.

49. Cosgrove J. D. F., Diaz J. C., and Griewank A. Approximate inverse preconditioning for sparse linear systems, Int. J. Comput. Math. 44, 91 (1992).

50. Eisenstat S., Efficient implementation of a class of conjugate gradient methods // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 2, 1 (1981).

51. Edwards D. A. Estimating rate constants in a convection-diffusion system with a boundary reaction // IMA J. Applied Math., 1999, v.63, p.89-112.

52. Dubois P.F., Greenbaum A. and Rodrigue G.H. Aproximating the inverse of matrix for use in iterative algorithms on vector processors. Computing, 22. 1979. pp.257-268.

53. Fletcher R. Conjugate gradient methods for indefinite systems.// G.A. Watson (Ed.), Proceedings of the Dundee Biennal Conference on Numerical analysis, Springer, New York, 1975, p.73-89

54. Freund R.W., Nachtigal N.M. An implementation of the look-ahead Lanczos algorithm for non-Hermitian matrices.// Technical Report 90.46, Part2, RI-ACS, NASA Ames Center, 1990

55. Golub Gene, Van Loan Ch. Matrix Computations, Oxford, North Oxford Academic Publishing, 1983

56. Golub G.H., Van der Vorst H. A. Closer to the solution: Iterative linear solvers.// in I.S. Duff and G.A.Watson (eds), The State of the Art in Numeri-cal Analysis, Clarendon Press, Oxford, 1997, p. 63-92

57. Greenbaum A. Iterative methods for solving Linear Systems. SIAM, Philadelphia, PA, 1997

58. Johnson O.G., Micheli C.A. and Paul G. Polynomial preconditioning for conjugate gradient calculations // SIAM J. Numer. Anal., 20, 1983, p. 363-376.

59. Kolotilina L. Yu., Yeremin A. Yu. Factorized sparse approximate inverse pre-conditionings.// SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1993, №14, p. 45-58

60. Krukier L.A. Convergence acceleration of triangular iterative methods based on the skew-symmetric part of the matrix.// Applied Numer. Math., 1999, v.30, N3-4, p.281-290

61. Krukier L.A., Chikina L.G., Belokon T.V. Triangular skew-symmetric itera-tive solvers for strongly nonsymmetric positive real linear system of equations.// Applied Numerical Mathematics, 2002, J№41, p. 89-105

62. Krukier L.A., Lapshina 0. Skew-symmetric iterative methods for solution of nonlinear steady convection-diffusion equation. // Nonlinear analysis and nonlinear modeling. Part 1, Nonlinear differential equations. 2001. -P. 283-291.

63. Krukier L.A., Lapshina O.A., Krukier B.L. Special preconditioners for solution of transport-dominated convection-diffusion problem. // Annual Scientific Congerence GAMM 2003. Book of Abstracts. Abano Terme -Padua, 2003. - Session 22. - P. 234.

64. Krukier L.A., Pichugina O.A. and Sokolov V. Numerical investigation of Krylov subspace methods for solving non-symmetric systems of linear equations with dominant skew-symmetric part // Numerical Analysis and Modeling, V.3, N.l, 2006, pp. 115-124.

65. Kuznetsov Y.A. Matrix Iterative Methods in subspace.// Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Warszawa, August 16-24, 1983, North Holland, Amsterdam

66. Lapshina O.A. Trangular skew-symmetric iterative solvers as preconditioners for solving system of linear equations. // First International Conference "Computational methods in applied mathematics". Abstracts. Minsk, 2003. - C. 35-36.

67. Manteuffel T.A. Adaptive procedure for estimating parameters for the non-symmetric Tchebychev iteration.// Numerical Math., 1978, v. 31, p 183-208

68. Manteuffel T.A. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems.// Math Comp., 1980, V. 34, p. 473-497

69. Meijerink J.A., Van Der Vorst H.A. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is symmetric M-matrix.// Math. Comp., 1977, №31(137), p. 148-162

70. Meurant G. Computer solution for large linear systems. Elsevier Science B.V., 1999

71. Morton K.W. Numerical solution of convection-diffusion problems. Chapman and Hall, 1996

72. Paige C. C., Saunders M.A. Solution of sparse indefinite systems of linear equations.// SIAM J. Numerical Anal., 1975, №12, p. 617-629

73. Paige C.C., Saunders M.A. LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares// ACM Trans. Math. Soft., №8,19826 43-71.

74. Parlett B.N., Taylor D.R., Lin Z.A. A look-ahead Lanczos algorithm for un-symmetric matrices.// Math. Comp., 1985, №44, p. 105-124

75. Saad Y. A flexible inner-outer preconditioned GMRES algorithm.// SIAM J. Scientific Computing., 1993, №14, p. 461-469

76. Saad Y. ILUT: A dual threshold incomplete LU factorization, Numer. Linear Algebra Appl. 1, 387 (1994).

77. Saad Y. Iterative methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1995

78. Saad Y. Practical use of polynomial preconditionings for the conjugate gradient method. SIAM J. Sci. Statist. Comput., 6, 1985, p. 865-881.

79. Saad Y., Van der Vorst H. A. Iterative solution of linear systems in the 20th century.// J. of Computanional and Applied Mathemetics , Elsevier Science, 2000, №123, p. 1-33

80. Schlichting H. Boundary-Layer Theory. New-York. McGraw-Hill. 1968.

81. Sturler E. De Truncation strategies for optimal Krylov subspace methods.// SIAM J. Numerical Anal., 1999, v. 36, №3. p. 864-889

82. Sonnoveld P. CGS: a fast Lanzos-type solver for nonsymmetric linear sys-tems.// SIAM J. Sei. Statist. Comput., 1989, №10, p. 36-52

83. Stewart G. W. A Survey of Matrix Algorithms. Vol.1: Basic Decompositions.University of Maryland, 1995.

84. Tang W.P. Generalized Schwarz splitting. SIAM J. Sei. Statist. Comput., 13,1992, p.573-595.

85. Tong C.E., Ye Q. Analysis of the finite precision biconjugate gradient algorithm for nonsymmetric linear systems // Report SCCM 95-11, Computer Science Dept., Stanford University, 1995.

86. Van der Vorst H.A. Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant if Bi-CG for the solution of non-symmetric linear systems.// SIAM J. Sei. Sta-tist. Comput., 1992, №13, p. 631-644

87. Van der Vorst H.A. Krylov Subspace Iteration.// Computing in Science and Engineering, Vol. 2(1) January/February 2000, p. 32-37

88. Van der Vorst H.A. Iterative Krylov Methods for Large Linear System. Cambridge University, 2003.

89. Varga R.S. Factorization and normalized iterative methods.// R.E. Langer (Ed), Boundary Problems in Differential equation, University of Wisconsin Press, Madison, 1960, p.121-142

90. Varga R.S., Eiermann M., Niethammer W. Acceleration of Relaxation Meth-ods for Non-Hermitian linear systems.// SIAM J. Matrix Anal. Appl., 1991, №13, p. 979-991

91. Wang L., Bai Z.-Z. Skew-Hermitian triangular splitting iteration methods for non-Hermitian positive definite linear systems of strong skew-Hermitian parts // BIT Numer. Math. 2004. V.44. P.363-386.

92. Watts J. W. A conjugate gradient truncated direct method for the iterative solution of the reservoir simulation pressure equation, Soc. Petrol. Eng. J. 21, 345 (1981).

93. Weiss R. Parameter-Free linear solvers, Berlin: Akademie Verlag, 1996

94. Woznicki Z.I. The sigma-SOR algorithm and the optimal strategy for the il-lustration of the SOR iterative method.// Math. Comp., 62, 1994, p. 619-644

95. Young D.M. Iterative solution of large linear iterative systems. Academic Press, New York, 1971

96. Young D.M. On accelerated SSOR method for solving large linear systems.// Advances in Mathematic, V.23, 1977, p.215-271.