Инволюции конечных групп и выпуклые правильногранники тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Тимофеенко, Алексей Викторович

• Тимофеенко, Алексей Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Тимофеенко, Алексей Викторович

Введение

Глава 1. Инволюции, порождающие конечную группу, и её строго вещественные элементы

1.1. Об инволюциях в группах и геометриях

1.2. Строго вещественные спорадические простые конечные группы

1.3. О параметрах, связанных с заданием конечной группы множеством порождающих её элементов.

Глава 2. Порождающие тройки инволюций спорадических групп

2.1. Группы Коксетера.

2.2. Теоремы о порождающих тройках инволюций и схема их доказательств

2.3. Доказательство теоремы 2.2.

2.4. Доказательство теоремы 2.2.

2.5. Доказательство теоремы 2.2.

2.6. Результаты вычислений.

2.7. Гамильтоновы циклы графа Кэли.

2.8. Мазуровские тройки групп симметрий трёхмерных многогранников

Глава 3. Выпуклые правильногранники, не рассекаемые никакой плоскостью на правильногранные части.

3.1. Теорема о несоставных многогранниках без условных рёбер

3.2. Двойная серпоротонда М%

3.3. Уплощённая треугольная клиноротонда М20.

3.4. Клинокорона М

3.5. Большая клинокорона М23.

3.6. Уплощённая большая клинокорона М21.

3.7. Опоясанный двуклинник М

3.8. Плосконосая квадратная антипризма М

3.9. Плоскосный двуклиноид М^ъ.

3.10. Алгебраические модели некоторых несоставных многогранников без условных рёбер

3.11. Теорема о несоставных телах с условными рёбрами.

3.12. Наклонная призма Q\.

3.13. Правильногранник Фёдорова Q2.

3.14. Многогранник Иванова Q

3.15. Многогранник Иванова Q

3.16. Многогранник Пряхипа Qq.

3.17. Многогранник Иванова

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инволюции конечных групп и выпуклые правильногранники»

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена избранным проблемам теории групп, комбинаторной и метрической геометрии многогранников, а также применению систем компьютерной алгебры и графики как в приложениях этих теорий, так 1 и в доказательствах. Синтез этих дисциплин в диссертации отражает современную тенденцию развития теории групп и геометрии многогранников.

Фундаментальными результатами теории групп второй половины XX века стали теорема Брауэра-Фаулера о существовании только конечного числа конечных простых групп с данным централизатором инволюции [7, 68], теорема Фейта-Томпсона [74] о разрешимости конечной группы нечётного порядка, а также открытие периодических нелокально конечных групп и новых конечных простых групп. Эти факты коренным образом изменили строительство существующего тогда здания теории групп: в начале восьмидесятых годов было объявлено о завершении классификации конечных простых групп (ККПГ); появилась теория групп, удовлетворяющих условиям конечности более сильным, чем периодичность, и более слабым, чем локальная конечность. К настоящему времени конечные простые группы разделены на бесконечные серии групп: циклических, знакопеременных и групп лиева типа, а также на серию 26 исключительных (спорадических) групп [11, 67]. Большинство спорадических групп открыто сравнительно недавно (после 1964 г.) и остаются неясными причины их исключительности. Беспрецедентность объема создаваемого текста доказательства (оценки до 20000 журнальных страниц) теоремы о ККПГ делает актуальным поиск нового доказательства. Оно не может не опираться на свойства самих конечных простых групп, изучение которых далеко от завершения. Именно такие группы исследованы в первых двух главах диссертации.

Значительное увеличение роли симметрии в изучении геометрии многогранников, прежде всего под влиянием исследований А. В. Шубникова [64] и Г. С. М. Коксетера [70], а также появление таких фактов как теорема Александрова о развертках [1], позволили от построения отдельных примеров выпуклых многогранников с правильными гранями перейти к описанию всех таких фигур. В 1960 г. появилось предположение Н. Джонсона [79] о том, что кроме правильных и равноугольно-полуправильных многогранников существует только девяносто два выпуклых многогранника с правильными гранями. В. А. Залгаллер разделяет такие многогранники на простые и составные, причём для каждого составного тела существует плоскость, рассекающая его на два многогранника с правильными гранями. В работе [16] описаны все простые многогранники, а предположение Джонсона сформулировано в ней как теорема, доказательство которой состоит лишь из указания получить все составные многогранники путем соединения простых тел. Доказательство более сильной теоремы содержит четвёртая' глава настоящей диссертации. Ей предшествует построение алгебраических моделей несоставных многогранников.

Процесс нахождения составных многогранников алгоритмизирован. Пока не найдено принципиально иных подходов к увеличению прозрачности доказательства, естественным выглядит программирование тех его частей, которые позволяют это сделать. Действительно, проведённые по одной схеме рассуждения при таком подходе превращаются в программу с набором входных данных, соответствующих каждому логически повторяющемуся фрагменту доказательства. Собственно по такому пути и развиваются системы компьютерной алгебры. Факты, полученные с применением таких систем, вызывают не меньшее доверие, чем некоторые огромных размеров доказательства, не использующие компьютер. С развитием в последние два-три десятка лет систем компьютерной алгебры игнорировать "машинные" доказательства стало невозможно.

Цель работы заключается в отыскании всех составных многогранников трёхмерного евклидова пространства и в нахождении строго'вещественных элементов конечной простой группы, а также минимальных систем порождающих эту группу инволюций с ограничениями на порядки их произведений. Алгоритмизация процесса решения этих задач тоже относится к цели настоящего исследования, поскольку позволяет не только получать по созданным алгоритмам новые знания о группах и многогранниках, но и делает более надёжными и доступными для нематематиков как входные данные этих алгоритмов в виде систем порождающих групп и фундаментальных вершин многогранников, так и результаты вычислений, готовые к применению в специализированных компьютерных системах.

Методы исследования основаны на дополняющих друг друга алгебро-геометрической технике и системах компьютерной алгебры. В качестве метода исследования применены и системы компьютерной графики.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретичег ский характер. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших, исследованиях по теории групп и геометрии многогранников. Построенные в работе компьютерные модели групп и многогранников доступны для приложений в других областях знаний:

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений. Библиографический список содержит 93 наименования. В работе размещены 120 рисунков, 10 таблиц, предметный указатель. Диссертация изложена на 250 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Тимофеенко, Алексей Викторович

Заключение

Сформулируем предложения о приложениях результатов диссертации.

1. Количество мазуровских троек инволюций каждой небольшой простой группы лиева типа, в которой Я. Н. Нужин явно указал мазуровскую тройку, [31], можно увеличить и даже в некоторых случаях явно указать все такие тройки с точностью до сопряжённости. Этого можно добиться применением методов и программных продуктов, описанных в первых двух главах диссертации. Уже первые такие приложения привели А. И. Макосия, [25], к необходимости уточнить для каждой знакопеременной группы A^ki к > 2, строение её мазуровской тройки.

2. Полученный опыт нахождения мазуровских троек и автоматизация работы по схеме из статьи [23] позволяют надеяться на появление в недалёком будущем приложения к системе GAP, которое по заданной группе будет выбирать необходимый для построения мазуровской тройки алгоритм и строить инволюции самой тройки. t

3. Применение теоремы о примитивном элементе алгебраического расширения поля рациональных чисел Q позволит найти такой минимальный многочлен /, что каждая координата любой (фундаментальной) вершины несоставного многогранника принадлежит расширению Q(0), где в - некоторый корень многочлена /.

4. Алгебраические модели многогранников позволяют в автоматическом режиме найти такие стандартные характеристики каждого из них как количество, рёбер, вершин, граней; объём, площадь поверхности, радиусы сфер, касающихся граней, рёбер, а также описанных около многогранника сферы или эллипсоида.

5. Процесс получения выпуклых правильногранников из несоставных тел, описанный в 4-й главе может быть продолжен до заполнения пространства многогранниками, при более слабых, чем в настоящей работе ограничениях на несоставные слагаемые и составленнные из них тела, [12, 14, 15].

6. Непосредственно в естествознании уже применяются группы и геометрические фигуры, изученные в настоящей работе, [2, 64]. Для этих целей более доступными, чем чисто теоретические, могут оказаться компьютерные модели из приложений А и Б.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Тимофеенко, Алексей Викторович, 2009 год

1. Александров А. Д. Выпуклые многогранники.— М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

2. Асланов Л. А. Структуры веществ. — М.: МГУ, 1989.— С. 158.

3. Ашкинузе В. Г. О числе полуправильных многогранников // Математическое просвещение. Математика, ее преподавание, приложения и история. 1957. - Т. 1. - С. 107-118.

4. Ашкинузе В. Г. Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики, Книга 4, Геометрия.— М., 1963,— С. 382-447.

5. Бахман Б. Построение геометрии на основе понятия симметрии. — М.:1.1. Наука, 1969.

6. Беляев В. В. Инволютивное исчисление Бахмана // Математические системы. 2005. - № 3. — С. 28-33.

7. Брауэр Р. О строении групп конечного порядка // Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г.— М.: Физматгиз, 1961. — С. 23-35.

8. Галиулин Р. В., Михалёв С. Н., Сабитов И. X. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра // Матем. заметки. — 2004.— Т. 76, № 1. С. 27-43.

9. Глухое М. М. О числовых параметрах, связанных с заданием конечных групп системами образующих элементов // Труды по дискр. мат. — Т. 1.- 1997.- С. 43-66.

10. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.- М.: Мир, 1985.

11. Гурин А. М. Полиэдры случайной плотной упаковки равных шаров // Тр. участников междунар. школы-семинара по геом. и анал. пам. Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. — Южн.фед.ун-т, Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2008. С. 24-25.

12. Гурин А. М., Залгаллер В. А. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями и гранями составленными из правильных // Труды Математического Общества Санкт-Петербурга. — 2008. Т. 14, № 4. - С. 215-294.

13. Елгина К. Н. Алгебраические модели тел Фёдорова и приложения // Материалы междунар. российско-китайского семинара <Алгебра и логиках — Иркутск: ГОУ ВПО Иркут. гос. пед. ун-т, 2007. — С. 57-61.

14. Елгина К. Н. О многогранниках Фёдорова // Математические системы. 2007. - № 6. - С. 44-60.

15. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Записки научных семинаров ЛОМИ.— Т. 2.— М.-Л.: Наука, 1967.— С. 5-218.

16. Иванов Б. А. Многогранники с гранями, сложенными из правильныхмногоугольников // Украинский геометрический сборник.— 1971.— № 10. С. 20-34.

17. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1996.

18. Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Д. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. — М.: Наука, 1980.

19. Листова О. В. Параметры вложения инволюций знакопеременных групп // Algebra and Model Theory №4,— Новосибирск: НГТУ, 2003.— С. 62-68.

20. Листова О. В. Параметры вложения инволюций некоторых групп // Материалы конф. молодых учёных. — Красноярскк: ИВМ СО РАН, 2003. — С. 30-35.

21. Мазуров В. Д. О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Сиб. матем. журн.— 2003. — № 1. — С. 193-198.

22. Макосий А. И. Порождающие четверки инволюций группы PSUs(9) // Избр. докл. междунар. конф. по математике и механике. — Томск: ТГУ, 2003. С. 28-30.

23. Макосий А. И., Тимофеенко А. В. О мазуровских тройках спорадической группы В и гамильтоновых циклах графа Кэли // Дискретная математика. 2008. - Т. 20. - С. 87-93.

24. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2002.

25. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2006.

26. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика. — 1990. — Т. 29, № 2. С. 192-206.

27. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций знакопеременных групп // Математические заметки.— 1990.— Т. 51, № 4.— С. 91-95.

28. Нуокин Я. Н. Порождающие элементы простых групп и их приложения: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Красноярский государственный технический университет. — Красноярск, 1996. — октябрь.

29. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. I // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36, № 1.- С. 77-96.

30. Нужин Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. II // Алгебра и логика. — 1997. Т. 36, № 4. - С. 422-440.

31. Нужин Я. Н., Тимофеенко А. В. Порождающие тройки инволюций некоторых спорадических групп. — Красноярск: ИВМ СО РАН. — 20 с. — препринт №13-99.

32. Попов А. М., Созутов А. И., Шунков В. П. Группы с системами фробе-ниусовых подгрупп. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. — 212 с.

33. Пряхин Ю. А. О выпуклых многогранниках с правильными гранями // Украинский геометрический сборник. — 1973. — № 14. — С. 83-88.

34. Пряхин Ю. А. Выпуклые многогранники, грани которых равноугольны или сложены из равноугольных // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1974. - № 45. - С. 111-112.

35. Рябинина Н. А., Сучков Н. М., Шунков В. П. Об особых подгруппах конечных групп с инволюциями: Tech. Rep. 10.— Красноярск: ВЦ СО РАН, 1995. — Препринт.

36. Сабитов И. X. Обобщённая формула Герона—'Тарталья и некоторые её следствия // Матем. сб. — 1998. — Т. 189, № 10, — С. 105-134.

37. Созутов А. И., Тарасов Ю. С. Вариант алгоритма Тодда-Коксетера // Математические системы. — 2007. — № 6. — С. 115-118.

38. Тимофеенко А. В. Простые конечные спорадические группы, порождённые тремя инволюциями. — http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=2860.

39. Тимофеенко А. В. О порождающих тройках ииволюций в спорадических группах. — 2001. — март. — Рукопись деп. ред. Сиб.матем.журн. в ВИНИТИ 19.03.01 Ж393-В2001.

40. Тимофеенко А. В. Порождающие тройки инволюций групп Лайонса и Янко J4 // Украшський математичний конгрес-2001. — Киев: Институт математики HAH Украины, 2001.— С. 50.

41. Тимофеенко А. В. Компьютерные модели групп и многогранников // Избр. докл. междунар. конф. по математике и механике, (16-18 сентября, 2003). Томск: ТГУ, 2003. - С. 31-38.

42. Тимофеенко А. В. О порождающих тройках инволюций больших спорадических групп // Дискретная математика. — 2003.— Т. 15, № 2.— С. 103-112.

43. Тимофеенко А. В. О строго вещественных элементах конечных групп // Фундаментальная и прикладная математика.— 2005.— Т. 11, № 2.— С. 209-218.

44. Тимофеенко А. В. О классификации выпуклых правильногранников // Материалы междунар. российско-китайского семинара «Алгебра и логика». Иркутск: ГОУ ВПО Иркут. гос. пед. ун-т, 2007.- С. 103-108.

45. Тимофеенко А. В. Выпуклые правильногранники, не рассекаемые никакой плоскостью на правильнограиные части // Математические труды. 2008. - Т. 11, № 1. - С. 132-152.

46. Тимофеенко А. В. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда // Фундаментальная и прикладная математика. — 2008. — Т. 14, №2.-С. 179-205.

47. Тимофеенко А. В. Выпуклые многогранники с паркетными гранями // Доклады академии наук. — 2009. — Т. 428, № 4. — С. 454-457.