Инварианты и дискретизация кинетических уравнений Больцмана и Лиувилля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Аджиев Сергей Загирович

• Аджиев Сергей Загирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Аджиев Сергей Загирович

Введение

Глава 1. Одномерные дискретные модели уравнения Больцмана для смесей

§ 1. Об инвариантах одномерных дискретных моделей уравнения Больцмана для

смесей

§ 2. Аппроксимация интеграла столкновений одномерного уравнения Больцмана

для смесей дискретной моделью

Глава 2. О размерах дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей

§ 1. Постановка задачи

§ 2. О размерах моделей в общем ^-мерном случае

§ 3. О размерах моделей в одномерном случае

Глава 3. Я-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений,

уравнения Лиувилля и их обобщений

§ 1. Необратимость и дискретизация

§ 2. Я-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и их

обобщений

§ 3. Временные средние и экстремали Больцмана для дискретного уравнения

Лиувилля и круговой модели Марка Каца

§ 4. Вариационный принцип для уравнения Лиувилля

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инварианты и дискретизация кинетических уравнений Больцмана и Лиувилля»

Введение

Актуальность темы исследования. В связи с развитием вычислительной техники и расширением границ применимости методов численного моделирования весьма актуальной становится задача создания адекватных (физически обоснованных) математических моделей различных процессов.

Адекватность дискретных моделей подразумевает требование, чтобы модель наследовала основные свойства исходного уравнения. Весьма существенным является требование консервативности, т.е. чтобы в дискретной модели присутствовали те законы сохранения, которые есть в исходном уравнении.

При дискретизации кинетических уравнений особую роль играют линейные законы сохранения. Именно они определяют переменные, возникающие при переходе к гидродинамике.

Более того, пусть для рассматриваемых уравнений справедлива Я-теорема (закон убывания Я-функции или закон возрастания энтропии), которая впервые была рассмотрена Больцманом в работе 1872 года [51]. Тогда именно линейные законы сохранения определяют то, куда сходятся решения при времени, стремящемся к бесконечности. Для классического уравнения Больцмана процедура варьирования энтропии при условии, что постоянные линейных законов сохранения фиксированы, дает стационарные решения - экстремали Больцмана. Я-теорема обеспечивает их устойчивость.

Итак, при дискретизации кинетических уравнений оказывается важной не только консервативность, но и отсутствие лишних (spurious) инвариантов, т.к. если в модели существуют лишние линейные законы сохранения, то в гидродинамике, получаемой из данной модели, возникают лишние переменные, а устойчивые стационарные решения при наличии Я-теоремы будут отличаться от тех, которые должны быть. Например, в случае дискретных моделей уравнения Больцмана стационарные решения будут отличаться от максвелловского

распределения, т.е. распределения, определяемого законами сохранения числа частиц, импульса и энергии.

Уравнение Больцмана является основным уравнением в кинетической теории газов. Очень часто для моделирования тех или иных физических процессов в газах используют различные аналоги этого уравнения. Одним из таких объектов, активно изучаемых в последние четыре десятилетия, являются дискретные модели уравнения Больцмана [1], [11], [12], [13], [20]-[22], [28], [46]-[50], [53], [54], [60], [62]. Они приобрели особую актуальность во многом благодаря развитию вычислительной техники. Однако, несмотря на значительный рост возможностей вычислительных технологий, уравнение Больцмана остается сложным уравнением для моделирования. В случае однокомпонентной смеси всегда есть модели с малым числом дискретных значений импульсов: например, модель Бродуэлла. В случае смеси газов, состоящих из различающихся по массе молекул, задача построения дискретных моделей с малым числом значений импульсов рассматривалась для некоторых значений масс частиц, но в общем случае для произвольных значений масс пока не построено простых моделей. В связи с этим актуальна ставящаяся в настоящей диссертации задача оценки вычислительной сложности задачи моделирования уравнения Больцмана для смесей частиц, отличающихся по массе. Вычислительная сложность пропорциональна числу дискретных значений импульсов в модели.

Рассмотрение Н -теоремы как для нелинейных уравнений типа классических и квантовых кинетических уравнений, так и для линейного уравнения Лиувилля и их дискретизаций также оказывается актуальной задачей, поскольку проясняет вопрос адекватности дискретных моделей. При этом определяющую роль здесь также играет пространство линейных инвариантов, а его размерность дает основную информацию об асимптотических свойствах. Поэтому исследование таких пространств и поиск их размерностей также является актуальной задачей.

Объект исследования - кинетические уравнения Больцмана и Лиувилля и их дискретизации и обобщения. А предмет исследования - роль линейных законов сохранения для этих уравнений.

Цели и задачи. Целью настоящей работы является исследование кинетических уравнений и их дискретизаций с позиции вопроса о линейных законах сохранения. При этом для дискретных моделей уравнения Больцмана возникает задача оценки минимального числа дискретных значений импульсов такого, чтобы модель не имела лишних линейных инвариантов. Также существенной задачей оказывается продолжение линии работ Больцмана [51],

[52] с целью расширить класс уравнений, для которых справедлив закон возрастания энтропии (закон убывания Н-функции) и процедура варьирования энтропии при условии, что постоянные линейных законов сохранения фиксированы, которая дает стационарные решения - экстремали Больцмана. Здесь возникают задачи и рассмотрения условий, при которых справедлива Н -теорема, и исследования пространств линейных инвариантов, которыми определяются экстремали по Больцману.

Степень разработанности темы исследования. Построению дискретных моделей кинетических уравнений с правильным числом линейных законов сохранения посвящено много работ [1], [12], [13], [20]-[22], [28], [46]-[48], [50],

[53], [54], [60], [62], и здесь стоит отметить кандидатскую диссертацию С. А. Амосова "Дискретные модели кинетических уравнений для смесей", которая посвящена построению таких моделей для классических и релятивистских газовых смесей. Постановка задачи восходит к работе С. К. Годунова и У. М. Султангазина 1971 года [28], в которой они делают следующее замечание: "Следует заметить, что способ выбора дискретных скоростей, обеспечивающих описание течения газа с законами сохранения трех компонент импульса и с сохранением энергии, в общем случае не разработан. Эта разработка связана с трудностями комбинаторно-геометрического характера". Простых моделей для смесей в общем случае для произвольных отношений масс частиц не построено до сих пор. Поэтому в настоящей диссертации В.В. Веденяпиным была

поставлена задача: оценить минимальный размер дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей частиц, отличающихся по массе, в зависимости от масс компонент смеси.

В работах А. Пуанкаре [41], В. В. Козлова [32] и Д. В. Трещева [33] возникает новая форма Н -теоремы: энтропия временного среднего для уравнений Лиувилля не меньше, чем энтропия начального распределения. В работе В. В. Веденяпина 2008 года [15] было показано, что в случае, когда дивергенция скорости равна нулю, решение уравнения Лиувилля сходится «туда, куда надо» -временные средние определяются принципом условного максимума энтропии (принципом Больцмана). В настоящей диссертации ставилась задача обобщить этот результат на случай, когда дивергенция скорости не равна нулю. Постановка задачи рассмотрения вариационного принципа Больцмана для уравнения Лиувилля для круговой модели М. Каца [31] также возникла на основе работ В. В. Козлова [32] и обсуждений В. В. Козловым и В. В. Веденяпиным этой модели.

В представляемой к защите диссертации получены оценки вычислительной сложности задачи моделирования уравнения Больцмана с помощью дискретных моделей для смесей частиц, отличающихся по массе. Доказана теорема, обобщающая результат работы В.В. Веденяпина 2008 года на случай, когда дивергенция скорости не равна нулю, но существует положительное стационарное решение уравнения Лиувилля. Рассмотрен условный принцип максимума энтропии для уравнения Лиувилля для круговой модели М. Каца, и получены точные формулы для размерности пространства линейных инвариантов в этой модели.

Дискретные модели уравнения Больцмана (сокращенно ДМУБ) рассматриваются в каждой из глав диссертации, поэтому рассмотрим здесь определение этого понятия.

Будем считать, что движение частиц происходит в ё -мерном пространстве, ё = 1,2,3.

Введем равномерную сетку в пространстве импульсов с шагом И так, чтобы узлы сетки отвечали значениям импульсов рк = кИ, к е .

Дискретная модель с импульсами на решетке - это набор масс щ,...,щ (среди них могут быть и совпадающие), векторов р,..., р„, принадлежащих сетке, и столкновений (г, у I), являющихся неупорядоченными парами неупорядоченных пар целочисленных индексов. Обозначим это множество четверок (г, уI) через 5. Множество 5 указывает ненулевые сечения столкновений а к: а = аК = С = Ск> 0. Этой совокупности

п, 5, а к, |(', /|-о-(к, /||е 54 ставится в соответствие система

Щ1,..., щп; p1,..., р п; 5; <, ((', к К1 5}

дифференциальных уравнений (дискретная модель столкновений):

/ + Г Р, /

щ' йх

= Ф 1(/1,/2,./я), XеЯ , '=1,2,...,п, (1)

Ы

где скорость изменения функции распределения / (г, х) в результате взаимодействия частиц есть Фг(/,/,...,/) = ^стк (// - //) - моделирует интеграл

столкновений. Суммирование ведется по четверкам из множества 5 , в которых есть индекс ': для них а к ф 0, а / = / (г, х) - функция распределения частиц массы щ со значением импульса р по координатам х в момент времени г.

Подчеркнем, что запись (1) с совпадающими массами удобна тем, что позволяет избежать двухиндексных обозначений: реальное количество разных масс г значительно меньше п.

Описанная модель столкновений называется дискретной моделью уравнения Больцмана, если выбранные столкновения таковы, что для каждого столкновения (', к)-^(к, I) удовлетворяются законы сохранения числа частиц каждого сорта, импульса и энергии:

щ = тк, щ = щ,

Р' + Р к = Р к + Р

р2.+_Р1=+ р 2

(2)

2щ 2щ 2щ 2щ;

То есть предполагается, что молекулы упруго и без химических реакций взаимодействуют по законам классической механики.

Будем считать, что в модели присутствуют все возможные столкновения, которые можно создать для значений импульсов р,...,рп частиц масс щ,...,щ соответственно.

Значения импульсов р, и рк частиц массы щ = щ будем называть значениями импульсов частиц массы щ = щ, соответствующими столкновению (/', 7, /). Аналогично, значения импульсов р} и р1 частиц массы щ = щ будем называть значениями импульсов частиц массы щ = щ, соответствующими столкновению (', 7, I). Рассматривая столкновение (', 7, I) с законами сохранения (2), р и р будем называть значениями импульсов частиц до столкновения (', 7I), рк и р1 - после столкновения.

Исключим из рассмотрения такие столкновения (', 7I), для которых хотя бы один из индексов, определяющих столкновение, равен другому индексу. Если щ ф щ, то возможен следующий вариант: /=&, что согласно (2) равносильно

7=1. В этом случае значения импульсов частиц не меняются при столкновении. Если щ = щ, то, кроме рассмотренного, возможны следующие варианты: /=/', что

согласно (2) эквивалентно &=/, в этом случае /=^'=^=/; /=/, что равносильно 7=к. В этих случаях множество значений импульсов частиц до столкновения совпадает с множеством значений импульсов после столкновения. Т.к. во всех случаях вклад таких столкновений в правые части уравнений системы (1) равен нулю, то мы можем исключить из рассмотрения все такие столкновения.

Обычно будем рассматривать ДМУБ для смеси частиц двух сортов, различающихся по массе, с отношением массы более тяжелой частицы к массе более легкой, равным М/щ (М>ш).

Законы сохранения импульса и энергии для любого столкновения между двумя частицами, принадлежащими различным компонентам смеси, имеют вид:

р + Ч = р+ я',

р2 - р2= я'2 - Ч2 (3)

2М 2щ '

где p и q - значения импульсов тяжелой и легкой частиц до столкновения, p ' и q' - после столкновения. Отметим, что условия q'-qф0 и p'-pф0 равносильны согласно первому уравнению системы (3) и выполняются, т.к. мы исключили из рассмотрения столкновения, для которых q' = q и p' = p.

Будем говорить, что столкновение между двумя частицами, принадлежащими различным компонентам смеси, происходит с обменом энергией, если правая и левая части второго уравнения системы (3) ненулевые: q'2 - q2 ф о и p'2 - p2 ф 0. Если они нулевые, то столкновение осуществляется без обмена энергией. Мы будем называть модель тривиальной, следуя [12], [13], [48], [53], если она не допускает обмена энергией между разными компонентами, что равносильно тому, что она не содержит хотя бы одного столкновения с обменом энергией между частицами, принадлежащим различным компонентам смеси. Остальные ДМУБ мы будем называть нетривиальными.

Из второго уравнения системы (3) мы получаем: если есть обмен энергией между компонентами смеси, тогда M/m должно быть рациональным числом, т.к. вектора импульсов принадлежат сетке (с шагом h).

Удобная параметризация [48] получается, если мы решим первое из уравнений (3), вводя вектор a так, что

p=q' + а, (4)

p = q + а.

Подставляя во второе из уравнений (3), имеем:

(q '2 - q2 )(M/m -1) = 2(a, q'-q), (5)

или

(p '2 - p2 )(1 - m/M) = 2(a, p '-p). (6)

В одномерном случае: т.к. p' - p ф 0, то, деля (5) на q' - q ф 0 и (6) на p' - p ф о, мы получаем:

(q ' + q)M/m -1) = 2a , (7)

(p ' + p)(1 - m/M) = 2a, (8)

где очевидно, что д' Ф-д и р' ф-р, если осуществляется обмен энергией между компонентами смеси.

Мы будем рассматривать только симметричные ДМУБ, т.е. модели, в которых значения импульсов частиц каждого из сортов расположены симметрично относительно нуля в одномерном случае, относительно осей координат и биссектрис углов между ними в двумерном случае, относительно плоскостей, каждой из которых принадлежат две оси координат, и плоскостей, каждой из которых принадлежит биссектриса угла между двумя осями координат и третья оставшаяся ось координат в трехмерном случае. Столкновение будем называть симметричным данному, если значения импульсов частиц каждого из сортов, соответствующие этому столкновению, получаются из значений импульсов частиц того же сорта, соответствующих исходному столкновению, в результате некоторой (одинаковой для всех компонент смеси) последовательности указанных выше симметрий. Из законов сохранения (2) следует корректность определения симметричного столкновения: если значения импульсов, соответствующие некоторому столкновению, удовлетворяют законам сохранения, то и для значений импульсов, соответствующих любому симметричному по отношению к исходному столкновению, они будут выполняться. Очевидно, что модель будет симметричной тогда и только тогда, когда в ней для каждого столкновения присутствуют все симметричные ему столкновения. Важно, чтобы модель была симметричной, это производится ради попытки избежать выделенных направлений в пространстве значений импульсов.

Построение правильной модели хотя бы для случая двух компонент связано с преодолением трудности так называемых лишних законов сохранения (инвариантов, интегралов) [1], [12], [13], [20]-[22], [28], [46]-[48], [50], [53], [54], [60], [62], например, энергии отдельных компонент, которые присутствуют в дискретной по скоростям модели, но отсутствуют в исходном кинетическом уравнении. Из-за этого последнее при проведении численных расчетов приводит к неправильной гидродинамике, поскольку в этом случае в уравнениях

гидродинамики, кроме плотности, гидродинамической скорости и внутренней энергии, возникнут другие (лишние) параметры.

Для уравнения Больцмана для смесей существует ровно г + ё +1 линейный инвариант, отвечающий сохранению числа частиц каждого из г сортов: | | ^ (г, Р, х)ф'х, где ^ (г, Р, х) - функция распределения частиц ' -го сорта,

к' к'

г

имеющих массу мг (' = 1,2,.,г), ё компонент импульса: {р^(г,Р,х^р^х, и

'= к' к'

полной энергии: ^Г | | -Р— ^(г,Р,х)ф'х. Столько же законов сохранения должна

'=! к.' к.' '

иметь и дискретная модель.

В [12]—[13], [62] описан метод, названный индуктивной процедурой, позволяющий определять число инвариантов в модели.

Дискретные модели квантовых кинетических уравнений (уравнений Юлинга-Уленбека) [12], [13], [23] отличаются от ДМУБ (1) интегралом столкновений:

Ф' С/1:—,/п ) = (!+ вX1+ /X1+ /)(1 +в - ИИ ) (9)

к ,1 ,к

где ' = 1,.,п, И = /1/(1 + в); в>0 для бозонов, в<0 для фермионов, в = 0 для дискретных моделей уравнения Больцмана. Здесь / = / (г, х) - среднее число частиц в одном квантовом состоянии, поэтому / /И3 (где И - постоянная Планка) - функция распределения частиц в пространстве х е к' в момент времени г, имеющих массу щ и импульс Р , поскольку число квантовых состояний в фазовом объеме ДрДх равно ЛрЛх/И3 (квазиклассическое приближение) [9].

Введем две функции, определенных на множестве рациональных чисел: N(1) и ДЛ), где X - любое рациональное число. N(1) - числитель дроби X, представленной в несократимом виде, О(Х) - знаменатель дроби X, представленной в несократимом виде. В несократимой форме рациональное число X таково: Х=ЩХ)Ю(Х).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Первая глава содержит два параграфа, вторая -три, третья - четыре.

Первая глава диссертации посвящена одномерным дискретным моделям уравнения Больцмана для смесей. Рассмотрение одномерных дискретных моделей является важным хотя бы потому, что с помощью симметризации из одномерной модели легко получаются модели большей размерности, причем из модели без лишних инвариантов получается модель большей размерности с тем же свойством.

В § 1 первой главы исследуется гипотеза о том, что существуют только две модели (Амосова-Веденяпина [1], [12], [13], [20], [21] и Монако-Прециози [60]) с правильным (физически обоснованным) количеством законов сохранения в классе одномерных симметричных дискретных моделей уравнения Больцмана для двухкомпонентной смеси. В широком классе моделей эта гипотеза оказывается верной, и во многих случаях указан конкретный вид лишних инвариантов.

В § 2 рассмотрена аппроксимация уравнения Больцмана для двухкомпонентной смеси газов дискретной моделью в одномерном случае и приведена оценка сходимости квадратурной формулы для интеграла столкновений.

Во второй главе для задачи моделирования уравнения Больцмана для смесей частиц, отличающихся по массе, с помощью симметричных дискретных моделей, в которых есть обмен энергией между компонентами смеси, исследуется ее вычислительная сложность. Также в ней представлены новые дискретные модели.

При моделировании уравнения Больцмана на компьютере с помощью ДМУБ вычислительная сложность задачи пропорциональна числу п с коэффициентом п(пх, где п - число уравнений в (1), пх - число узлов пространственной сетки, п - число шагов вычисления по времени. Мы видим, что вычислительная сложность задачи пропорциональна п с очень большим коэффициентом. Таким образом, при больших п моделирование становится

затруднительным. Фактически, в настоящей главе исследуется зависимость числа n от отношений масс частиц различных компонент смеси.

В § 1 второй главы рассматривается поставка этой задачи. Для заданной ДМУБ будем называть максимум абсолютных величин координат значений импульсов вдоль каждой оси размером этой модели. Он равен половине длины ребра d-мерного минимального куба, который содержит ДМУБ, с центром в начале координат и с ребрами, параллельными координатным осям. Наименьший размер d-мерных моделей с правильным числом линейных инвариантов для данного отношения масс M/m мы будем обозначать через Sd (M/m). Правильное число линейных законов сохранения равно r + d +1, как у уравнения Больцмана для r -компонентной смеси. В данном случае r = 2.

В § 2 рассматриваются оценки для значений Sd (M/m). В одномерном случае: d = 1, оказывается возможным улучшить все рассмотренные оценки, и этому вопросу посвящен § 3. В § 4 кратко сформулированы основные итоги главы 2.

Третья глава диссертации посвящена рассмотрению Я-теоремы. Цель этой главы - продолжать линию работ Больцмана, стараясь расширить класс уравнений, для которых справедлив закон возрастания энтропии (закон убывания Я-функции), и исследовать условия, при которых справедлива H -теорема.

Более подробно, цели этой главы следующие.

1. Написать обыкновенные дифференциальные уравнения, для которых имеется теорема о росте энтропии ( H -теорема Больцмана), максимально обобщив результаты работ [2], [9], [12], [13], [23], [28], [36], [39], [40], [51], [52], [58], для квантового вида энтропии в бозе- и ферми- случаях и для произвольного вида H -функции.

2. Вывести формулу для относительной энтропии в квантовом случае и в случае общего вида H -функции.

3. Рассмотреть вариационный принцип (Больцмана) с целью поиска стационаров на примере круговой модели М. Каца [32], [31].

4. Получить формулу для относительной энтропии (иногда ее называют энтропией Кульбака) для уравнения Лиувилля, определяемой произвольной выпуклой функцией, обобщая этим результаты работ [15], [32], [33], [41], [55], [61]. Относительная энтропия требуется для систем, у которых дивергенция не равна нулю.

5. Проверить, что во всех этих случаях временные средние совпадают с экстремалями Больцмана, обобщая и упрощая результаты работ [15], [31], [32], [33], [41], [42], [51], [52], [55], [61].

Н -теорема не только обосновывает 2-й закон термодинамики, но и дает информацию о поведении решений. Доказательство Н -теоремы делает поведение решений уравнений понятным, так как позволяет узнать, куда они сходится при времени, стремящемся к бесконечности. Это можно сделать без решения уравнений, найдя экстремаль Больцмана - аргумент минимума Н -функции (убывающего на решениях функционала) при условии, что значения линейных законов сохранения фиксированы. Я-теорема обеспечивает устойчивость полученных решений.

В § 1 третьей главы дан краткий исторический обзор - обсуждается работа Больцмана 1872 года [51], рассматривается вопрос о правильной (физически обоснованной) дискретизации уравнения Лиувилля с позиции Н -теоремы.

В § 2 доказывается Н -теорема для обобщений уравнений химической кинетики, включающих в себя дискретные модели квантовых кинетических уравнений (уравнений Юлинга-Уленбека) и квантовый марковский процесс (квантовое случайное блуждание). Доказывается, что понятие экстремали Больцмана работает и в этом случае.

В [15] доказывалось совпадение временных средних (средних по Чезаро) с экстремалями по Больцману для уравнения Лиувилля, когда дивергенция скорости равна нулю.

В § 3 рассматривается вариационный принцип для поиска стационарных решений для уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели Марка Каца: исследуется множество всех линейных законов сохранения для этой

модели, которым определяются стационарные решения - экстремали по Больцману, совпадающие с временными средними. Получены точные формулы для размерности пространства линейных инвариантов. В частности, полученные формулы дают доказательство и малой теоремы Ферма, и теоремы Эйлера из теории чисел.

В § 4 рассматривается обобщение теоремы работы [15] на случай, когда дивергенция скорости необязательно равна нулю.

Научная новизна. Результаты, изложенные в настоящей диссертационной работе, представляют собой ряд новых научных результатов-теорем и получены при помощи строгих математических методов, таких как теория выпуклых функций, теория линейных операторов. В частности, получены теоремы-оценки минимального размера сетки в пространстве импульсов, используемой для дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей, исследовано множество всех линейных законов сохранения уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели Марка Каца, доказано некоторое обобщение теоремы из [15] о совпадении временного среднего с экстремалью по Больцману.

Постановка всех задач диссертации принадлежит В.В. Веденяпину. Результаты § 1 главы 1, § 1 главы 2, §§ 1 и 2 главы 3 получены в соавторстве с В.В. Веденяпиным. Теоремы § 2 первой главы и §§ 2 и 3 главы 2 получены автором самостоятельно, а новые дискретные модели без лишних инвариантов с нерегулярными сетками ("кресты") предложены В.В. Веденяпиным. Формулы для размерности пространства линейных инвариантов для уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели Марка Каца в § 3 главы 3 и доказательство теоремы § 4 (теорема 3.3) также получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы в решении различных задач, допускающих кинетическое описание, например, в физической кинетике, в механике жидкости и газа. Предъявлены новые дискретные модели квантовой и классической химической кинетики с правильным числом линейных инвариантов.

Результаты диссертации используются при чтении курса лекций "Кинетические уравнения" в МФТИ.

Методология и методы диссертационного исследования. Все новые утверждения, сформулированные в диссертационной работе, строго доказаны. В диссертационной работе применялись следующие математические методы:

1. Методы теории выпуклых функций.

2. Методы функционального анализа и теории линейных операторов.

3. Теория чисел.

На защиту выносятся следующие положения диссертации:

1. Теоремы-оценки минимального размера дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей частиц, отличающихся по массе, с физически обоснованным числом линейных законов сохранения. Размер дискретных моделей определяет вычислительную сложность задачи моделирования уравнения Больцмана.

2. Исследование множество всех линейных законов сохранения уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели Марка Каца, которым определяются стационарные решения - временные средние (средние по Чезаро), совпадающие с экстремалями по Больцману. Теоремы, дающие точные формулы для размерности пространства линейных инвариантов. Ответ оказывается связанным с малой теорема Ферма и теоремой Эйлера из теории чисел (для основания степени, равного двум).

3. Теорема о совпадении временного среднего с экстремалью по Больцману, для случая, когда существует положительное стационарное решение уравнения Лиувилля. Этот результат является обобщением аналогичной теоремы, новой формы Н-теоремы для уравнения Лиувилля, для случая, когда дивергенция скорости равна нулю.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аджиев Сергей Загирович, 2016 год

Список литературы

1. Аджиев, С. З. Одномерные дискретные модели кинетических уравнений для смесей / С. З. Аджиев, С. А. Амосов, В. В. Веденяпин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2004. — Т. 44. № 3. — С. 553-558.

2. Аджиев, С. З. О размерах дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2007. — Т. 47. № 6. — С. 1045-1054.

3. Аджиев, С. З. Временные средние и экстремали Больцмана для марковских цепей, дискретного уравнения Лиувилля и круговой модели Марка Каца / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2011. — Т. 51. № 11. — С. 2063-2074.

4. Аджиев, С. З. Об одномерных дискретных моделях уравнения Больцмана для смесей / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин, Ю. А. Волков. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Тезисы XLIV научной конференции Московского физико-технического института (государственного университета). Часть VII. — Москва-Долгопрудный: МФТИ, 2001. — С. 45.

5. Аджиев, С. З. Об одномерных дискретных моделях уравнения Больцмана для смесей / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин, Ю. А. Волков. Сборник научных трудов "Обработка информации и моделирование". — М.: Московский физико-технический институт (государственный университет), 2002. — С. 127-136.

6. Аджиев, С. З. Теорема единственности модели Амосова-Веденяпина и модели Монако в классе одномерных симметричных нормальных дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей / С. З. Аджиев. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды XLVI научной конференции Московского физико-технического института (государственного университета). Часть VII. — Москва-Долгопрудный: МФТИ, 2003. — С. 165.

7. Аджиев, С. З. Об одномерных дискретных моделях уравнения Больцмана для смесей и о размерах моделей в общем случае / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин. Материалы XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2005), 25-31 мая 2005 г., Алушта. — М.: Изд-во МАИ-ПРИИНТ, 2005.

8. Аджиев, С. З. Н-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений / С. З. Аджиев, В. В. Веденяпин. Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов. 1-5 июля 2011 г., Суздаль. — М.: МИАН, 2011. — С. 19-21.

9. Батищева, Я. Г. 11-й закон термодинамики для химической кинетики / Я. Г. Батищева, В. В. Веденяпин // Математическое моделирование. — 2005. — Т. 17. № 8. — С. 106-110.

10. Брюно, А. Д. Ограниченная задача трех тел. / А. Д. Брюно. — М.: Наука, 1990.

11. Веденяпин, В. В. Энтропия по Больцману и Пуанкаре / В. В. Веденяпин, С. З. Аджиев // Успехи математических наук. — 2014. — Т. 69. № 6. — С. 4580.

12. Веденяпин, В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова / В. В. Веденяпин. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

13. Веденяпин, В. В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову / В. В. Веденяпин — М.: изд-тво МГОУ, 2005.

14. Веденяпин, В. В. О единственности Н-функции Больцмана / В. В. Веденяпин // Доклады Академии наук СССР. — 1977. — Т. 233. № 5. — С. 765-768.

15. Веденяпин, В. В. Временные средние и экстремали по Больцману / В. В. Веденяпин // Доклады Академии наук. — 2008. — Т. 422. № 2. — С. 161-163.

16. Веденяпин, В. В. Н-теорема для дискретных кинетических уравнений и их обобщений / В. В. Веденяпин, С. З. Аджиев. Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011), 25-31 мая 2011 г., Алушта. — М.: Изд-во МАИ-ПРИИНТ, 2011. — С. 496-498.

17. Веденяпин, В. В. H-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений / В. В. Веденяпин, С. З. Аджиев. Моделирование нелинейных процессов и систем. Сборник тезисов второй международной конференции. — М: Янус-К, 2011. — С. 82-84.

18. Веденяпин, В. В. H-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений / В. В. Веденяпин, С. З. Аджиев. The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 14-21, 2011. International Workshop "Spatio-temporal dynamical systems". Moscow, Russia, August 18-20, 2011. Abstracts. — М.: Типография РУДН, 2011. — С. 86-87.

19. Веденяпин, В. В. Дискретные кинетические модели и точная консервативность / В. В. Веденяпин, C. А. Амосов, С. З. Аджиев. Современные проблемы механики и физики космоса. Сборник статей. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — С. 174-185.

20. Веденяпин, В. В. Инварианты для гамильтонианов и кинетических уравнений / В. В. Веденяпин, С. А. Амосов, Л. Тоскано // Успехи математических наук. —

1999. — Т. 54. № 5. — С. 153-154.

21. Веденяпин, В. В. Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей / В. В. Веденяпин, С. А. Амосов, Л. Тоскано // Математическое моделирование. —

2000. — Т. 12. № 7. — С. 18-22.

22. Веденяпин, В. В. О дискретных моделях уравнения Больцмана для смесей / В. В. Веденяпин, С. А. Амосов // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36. № 7. — С. 15-20.

23. Веденяпин, В. В. О дискретных моделях квантового уравнения Больцмана / В.

B. Веденяпин, И. В. Мингалев, О. В. Мингалев // Математический сборник. — 1993. — Т. 184. № 11. — С. 21-38.

24. Веденяпин, В. В. О законах сохранения для полиномиальных гамильтонианов и для дискретных моделей уравнения Больцмана / В. В. Веденяпин, Ю. Н. Орлов // Теоретическая и математическая физика. — 1999. — Т. 121. № 2. —

C. 307-315.

25. Вершик, А. М. Общая эргодическая теория групп преобразований с инвариантной мерой. I. / А. М. Вершик, И. П. Корнфельд, Я.Г. Синай. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 2. (Итоги науки и техники). — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. — С. 5-111.

26. Вольперт, А. И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики / А. И. Вольперт, С. И. Худяев. — М.: Наука, 1975.

27. Гасников, А. В. О возможной динамике в модели расчета матрицы корреспонденций (А. Дж. Вильсона) / А. В. Гасников, Е. В. Гасникова. Труды МФТИ. — 2010. — Т. 2. № 4.

28. Годунов, С. К. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана / С. К. Годунов, У. М. Султангазин // Успехи математических наук. — 1971. — Т. 26. № 3. — С. 3-51.

29. Гуревич, Б. М. О множествах временных и пространственных средних для непрерывных функций на пространстве конфигураций / Б. М. Гуревич, А. А. Темпельман // Успехи математических наук. — 2003. — Т. 58. № 2. — С. 161162.

30. Карлеман, Т. Математические вопросы теории газов / Т. Карлеман. — М.: ИЛ, 1960.

31. Кац, М. Несколько вероятностных задач физики и математики / М. Кац. — М.: Наука, 1967.

32. Козлов, В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре / В. В. Козлов — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

33. Козлов, В. В. Слабая сходимость решений уравнения Лиувилля для нелинейных гамильтоновых систем / В. В. Козлов, Д. В. Трещев // Теоретическая и математическая физика. — 2003. — Т. 134. № 3. — С. 388400.

34. Ландау, Л. Д. Квантовая механика. Краткий курс теоретической физики. Книга 2 / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. — М.: Наука, 1972.

35. Лившиц, Е. М. Физическая кинетика. Серия: "Теоретическая физика", том X / Е. М. Лившиц, Л. П. Питаевский. — М.: Наука, 1979.

36. Малышев, В. А. Обратимость и необратимость в стохастической химической кинетике / В. А. Малышев, С. А. Пирогов // Успехи математических наук. — 2008. — Т. 63. № 1. — С. 3-36.

37. Мозер, Ю. Лекции о гамильтоновых системах / Ю. Мозер. — М.: Мир, 1973.

38. Олвер, Ф. Введение в ассимптотические методы и специальные функции. Ф. Олвер. — М.: Наука, 1978.

39. Орлов, В. И. Вариационный принцип для уравнений макроскопической динамики и его приложения в химической кинетике / В. И. Орлов, Л. И. Розоноэр // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1981. — Т. 21. № 5. — С. 1192-1205.

40. Пирогов, С. А. Равновесные и неравновесные свойства больших случайных систем: диссертация доктора физ.-мат. наук: 05.13.17 / Пирогов Сергей Анатольевич. — М., 2009.

41. Пуанкаре, А. Замечания о кинетической теории газов / А. Пуанкаре. Избранные труды. Т. 3. — М.: Наука, 1974 — C. 385-412.

42. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь. — М.: Мир, 1979.

43. Санов, Н. Н. О вероятностях больших отклонений случайных величин / Н. Н. Санов // Математический сборник. — 1957. — Т. 42. № 1. — С. 11-44.

44. Ферцигер, Дж. Математическая теория процессов переноса в газах / Дж. Ферцигер, Г. Капер. — М.: Мир, 1976.

45. Ченцов, Н. Н. Несимметричное расстояние между распределениями вероятностей, энтропия и теорема Пифагора / Н. Н. Ченцов // Математические заметки. — 1968. — Т. 4. № 3. — С. 323-332.

46. Amossov, S. A. Discrete models of relativistic Boltzmann equation for mixtures / S. A. Amossov // Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. — 2001. — V. 301. № 1. — P. 330-340.

47. Amossov, S. A. Two-level discrete models of Boltzmann equation for binary mixtures / S. A. Amossov // Transport Theory and Statistical Physics. — 2002. — V. 31. № 2. — P. 125-139.

48. Bobylev, A. V. Discrete velocity models for mixtures / A. V. Bobylev, C. Cercignani // Journal of Statistical Physics. — 1998. — V. 91. № 1/2. — P. 327341.

49. Bobylev, A. V. On approximation of the Boltzmann equation by discrete velocity model / A. V. Bobylev, A. Palczewski, J. Schneider // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris. Series I. — 1995. — V. 320. — P. 639-644.

50. Bobylev, A. V. Construction of discrete kinetic models with given invariants / A. V. Bobylev, M. C. Vinerean // Journal of Statistical Physics. — 2008. — V. 132. № 1.

— P. 153-170.

51. Boltzmann, L. Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen / L. Boltzmann // Wien: Akad. Sitzungsber. — 1872. — Bd. 66. — S. 275-370. Перевод: Больцман, Л. Дальнейшие исследования теплового равновесия между молекулами газа / Л. Больцман. Избранные труды. — М.: Наука, 1984.

— С. 125-189.

52. Boltzmann, L. Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der Mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, respektive den Satzen über das Wärmegleichgewicht / L. Boltzmann // Wien: Akad. Sitzungsber.

— 1878. — Bd. 76. — S. 373-435. Перевод: Больцман, Л. О связи между вторым началом механической теории теплоты и теорией вероятностей в теоремах о тепловом равновесии / Л. Больцман. Избранные труды. — М.: Наука, 1984. — С. 190-235.

53. Cercignani, C. Temperature, entropy and kinetic theory / C. Cercignani // Journal of Statistical Physics. — 1997. — V. 87. № 5/6 — P. 1097-1109.

54. Cornille, H. A class of planar discrete velocity models for gas mixtures / H. Cornille, C. Cercignani // Journal of Statistical Physics. — 2000. — V. 99. № 3/4.

— P. 967-991.

55. Csiszar, I. Eine informationstheoretische Ungleichung und ihre Anwendung auf den Beweis der Ergodizitat von Markoffschen Ketten / I. Csiszar // Magyar. Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Közl. — 1963. — V. 8. — P. 85-108.

56. Egan, Chas A. A Larger Estimate of the Entropy of the Universe / Chas A. Egan, Charles H. Lineweaver // The Astrophysical Journal. — 2010. — V. 710. № 2. — P. 1825-1834.

57. Kullback, S. On information and sufficiency / S. Kullback, R. A. Leibler // Annals of Mathematical Statistics. — 1951. — V. 22. № 1. — P. 79-86.

58. Kwang-Hua, Chu A. Dispersion relations for waves in dilute hard-sphere Boze gases / Chu A. Kwang-Hua // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. Letter to the Editor. — 2001. — V. 34. — L.711-L.717.

59. Lorch, E. R. Means of iterated transformations in reflexive vector spaces / E. R. Lorch // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1939. — V. 45. № 12. — P. 945-947.

60. Monaco, R. Fluid dynamic applications of the discrete Boltzmann equation / R. Monaco, L. Preziosi. — Singapore: World Scientific, 1991.

61. Morimoto, T. Markov processes and the H-theorem / T. Morimoto // Journal of the Physical Society of Japan. — 1963. — V. 18. № 3. — P. 328-331.

62. Vedenyapin, V. V. Velocity inductive construction for mixtures / V. V. Vedenyapin // Transport Theory and Statistical Phys. — 1999. — V. 28. № 7. — P. 727-742.

63. Vedenyapin, V. V. Н-theorem for the discrete quantum kinetic equations and its generalizations / V. V. Vedenyapin, S. Z. Adzhiev. Современные достижения в науке и образовании. Сборник трудов IV Международной научной конференции, 11-18 сент. 2010 г., г. Будва (Черногория). — Хмельницкий: ХНУ, 2010. — С. 235-238.

64. Vedenyapin V. V. The Н-theorem for the discrete quantum kinetic equations and for its generalizations / V. V. Vedenyapin, S. Z. Adzhiev. International Mathematical Conference "50 years of IPPI". Procceedings. July 25-29 2011, Moscow, Russia. — М.: ИППИ РАН, 2011. — 1 электрон. опт. диск (CD-ROM).