Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Еряшкин, Михаил Сергеевич

• Еряшкин, Михаил Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Еряшкин, Михаил Сергеевич

Содержание

Введение

Глава 1. Инварианты действия полупростой алгебры Хопфа

§1.1. Предварительные результаты

§1.2. Инварианты кодействия кополупростой алгебры Хопфа

§1.3. Контрпример к конечной порожденности

Глава 2. Наибольшая подалгебра Хопфа в биалгебре

§2.1. Наибольшая обратимая подкоалгебра

§2.2. Подалгебры Хопфа в слабо конечных биалгебрах

Глава 3. Кольца Мартиндейла и инвариантные характеристические многочлены

§3.1. Предварительные результаты

§3.2. Конечномерность кольца Мартиндейла

§3.3. Классическое кольцо частных

§3.4. Расширения с инвариантными характеристическими многочленами

§3.5. Инварианты действия точечных алгебр Хопфа

Глава 4. Поле инвариантов кольца Мартиндейла

§4.1. Предварительные результаты

§4.2. Орбитальные подалгебры и стабилизаторы

§4.3. Действие пространства интегралов алгебры Хопфа

§4.4. Частные случаи

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида»

Введение

В этой диссертации обобщаются некоторые классические результаты теории инвариантов конечных групп на случай действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебре специального вида, гомоморфно отображающейся на коммутативную область целостности.

Хорошо известно, что для произвольной группы G на групповой алгебре kG можно задать структуру алгебры Хопфа, причем всякое действие группы G автоморфизмами на некоторой алгебре А дает действие алгебры Хопфа kG на алгебре А [14, глава 4]. Таким образом, понятие действия алгебры Хопфа обобщает действия групп автоморфизмами, а значит имеет смысл рассмотреть задачу переноса ряда фактов классической теории инвариантов на случай действия алгебр Хопфа. Классическим результатом теории инвариантов, принадлежащим Э. Нётер, является факт о том, что алгебра А является целым расширением подалгебры инвариантов в случае действия конечной группы G автоморфизмами на коммутативной алгебре А. Как обобщение этого результата Монтгомери был поставлен вопрос о том, будет ли коммутативная Л-модульпая А целым расширением подалгебры инвариантов Ан, в случае, если Н конечномерна [14, 4.2.6, р.45]. Положительный ответ на данный вопрос был получен в следующих случаях:

1. Н — ко коммутативная алгебра Хопфа, этот результат был получен в работах Феррера-Сантоса [10] и Шнайдера [18];

2. char к не делит dim Н и Н инволютивна, или char к ^ 0 и корадикал Н кокоммутативен, в работе Жу [26];

3. Н — точечная алгебра Хопфа и А — аффинная целостная алгебра, в работе Артамонова [1, теорема 4];

4. char к = p > 0 или А не содержит ненулевых нильпотентных идеалов, устойчивых относительно действия //, в работе Скрябина [19, proposition 2.7].

Контрпримеры, построенные в работах Жу [26] и Тотока [6], обусловлены наличием в А ненулевых нильпотентных //"-инвариантных идеалов. Если А конечно порождена как алгебра, свойство А быть целой над Ан равносильно тому, что А конечно порождена как модуль над Ан, и в этом случае Ан конечно порождена как алгебра.

В случае, когда алгебра Хопфа не является кокоммутативной, коммутативных //-модульных алгебр оказывается недостаточно много, например нельзя утверждать, что действие алгебры Хопфа Н на произвольном //"-модуле V можно продолжить до действия на симметрической алгебре S(V). Таким образом имеет смысл рассмотреть действие алгебры Хопфа Н на более широком классе //-модульных алгебр.

Определение 1. Обозначим через Л (или, более точно, Ан) категорию, объектами которой являются пары (Л, За), где А — некоторая //-модульная алгебра, За — идеал в А такой, что факторалгебра Sa = А/За коммутативна, и За не содержит ненулевых устойчивых относительно действия Н идеалов алгебры А.

Морфизмы в категории Л — это гомоморфизмы //"-модульных алгебр ф : А —>• В с условием Ф(За) С Зв-

Для краткости будем говорить об алгебрах из категории Л без явного упоминания идеалов За- Обозначим через тта А —> Sa каноническую проекцию.

Аналогичный вопрос о том, будет ли А конечно-порожденным модулем над Ан, и Ан конечно-порожденной k-алгсброй, представляет интерес и

для некоммутативной Я-модульной алгебры (см. [14, 4.3, р.45 - 48]). В первой главе диссертации этот вопрос рассматривается в случае кодействия ко-полупростой конечномерной алгебры Хопфа на конечно-порожденных алгебрах из категории А. Будет установлено, что свойства конечности остаются верными для конечно-порожденных алгебр А из категории Л в случае, когда Н кополупроста, но нарушаются в случае, когда Н пекополупроста, несмотря на отсутствие в А ненулевых нилыютентных ^/-инвариантных идеалов.

Результаты следующей главы, полученные совместно с С.М. Скрябиным, носят вспомогательных характер. Как известно, алгебры Хопфа выделяются среди биалгебр наличием антипода — обратного к тождественному отображению относительно операции конволюции. Для двух подалгебр Хопфа Н2 биалгебры В не ясно, всегда ли существует подалгебра Хопфа, содержащая Н\ и Н2 одновременно. Основной результат второй главы заключается в том, что ответ на предыдущий вопрос положителен, если В слабо конечна, и в этом случае В имеет наибольшую подалгебру Хопфа 7~С(В). Для произвольной алгебры Хопфа Н образ любого гомоморфизма биалгебр Н —> В содержится в Н(В).

Так как свойства конечности нарушаются в случае действия неполу-простой алгебры Хопфа Я, то требуется видоизменить первоначальную постановку вопроса. В третьей главе будет показано, что вопрос о том, цела ли А над Ан, решается положительно при переходе от алгебры А к некоторому ее расширению А, полученному присоединением набора инвариантных элементов.

Замечание. В третьей главе не требуется, чтобы алгебры из категории Л были конечно-порождены как к-алгебры.

Важную роль в этой главе будет играть //-эквивариантное кольцо

частных Мартиндейла Он (А)• введенное в обиход М.Коэн [9] для изучения внутренних действий алгебр Хопфа. В предположении, что Ба целостно, будет показано, что Я-эквивариантное кольцо частных Мартиндейла Он (А) является конечномерной фробениусовой алгеброй над подпол ем инвариантных элементов Он{А)н, является классическим кольцом частных алгебры А и ряд других свойств. Установленные факты о кольце частных Мартиндейла Он {А) помогли построить алгебру А1 которая цела над своей подалгеброй инвариантов и ассоциированная с А коммутативная алгебра изоморфна Б а- Эта конструкция была обобщена для произвольной алгебры из категории А, и было показано, что это соответствие задает функтор из категории Л в некоторую подкатегорию Л, алгебры из которой целы над своими подалгебрами инвариантов. Было показано, что данный функтор сопряжен слева к включению Л в А.

В последней главе изучается строение поля инвариантов кольца Мартиндейла Он(А)^ а именно вопрос о том, когда поле инвариантов кольца Мартиндейла Он (А) совпадает с полем частных алгебры Ан. Также для каждого простого идеала р алгебры Б а будут введены орбитальная подалгебра О(р) и стабилизатор и установлена связь между ними. Будет доказана теорема, которая позволяет получать равенство Он{А)н и поля частных Ан из свойств правых коидельных подалгебр 5£(р). С помощью этого результата будет показано равенство Он(А)н и поля частных Ан, в случае действия алгебр Тафта [23] и некоторых алгебр Хопфа из [8], а также и в других частных случаях.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю Сергею Марковичу Скрябину за постановку задач, поддержку в работе и интерес к исследованиям автора.

Определения и обозначения. Все рассматриваемые алгебры и алгебры Хопфа, если не оговорено противное, определены над полем к. Ал-

гебры предполагаются ассоциативными с единицей. Через А : Н Н ®Н будем обозначать коумножение, а через е : Н —> к — коединицу алгебры Хопфа Я. Далее всюду Я — алгебра Хонфа и А — ассоциативная к-алгебра. Все необходимые факты, касающиеся алгебр Хопфа, можно найти в [22]. Все тензорные произведения, если не оговорено иное, берутся над к, а Нот — это Нот^.

Определение 2. Алгебра Хопфа Я действует на Л, если А наделена структурой левого //"-модуля и для любых к Е Я, а,Ъ Е А

Н ■ (аЬ) = • а)(к(2) -6), к-1А = £(Ь)1А.

к

Алгебра А с заданным действием Я называется Я-модульной алгеброй.

Определение 3. Алгебра Хопфа Я ко действует на А, если А наделена структурой правого Я-комодуля и р \ А ^ А®Н является гомоморфизмом алгебр.

В этом случае также считается, что А является Я-комодульной алгеброй.

Определение 4. Элемент а £ А называется инвариантом, если к ■ а = е(Н)а для всех К Е Я, в случае Я-модульной алгебры, р(а) = а ® 1, в случае Я-комодульной алгебры.

Непосредственная проверка показывает, что множество инвариантов Ан является подалгеброй в А.

Если Я конечномерна, то Я* является алгеброй Хопфа, и любой левый Я-модуль II можно считать правым Я*-комодулем, с помощью изоморфизма Нот(Я &£/,£/)= Нот (Я, и ® Я*). Также любая Я-модульная алгебра

превращается в Я*-комодульную относительно структурного отображения

р: А-* А® Н* = Нот (Я, А),

/э(а)(/г) = К ■ а, /гбЯ, а £ А.

Поэтому все утверждения, сформулированные для Я-модульной алгебры (Я-комодульной алгебры), остаются верными и для Я-комодульной алгебры (Я-модульной алгебры), в случае, когда Я конечномерна.

Определение 5. Коалгебра С называется кополупростой, если для любого С-комодуля V и подкомодуля 11 С V существует подкомодуль \У С V такой, что V = II © Ш.

Корадикалом Со коалгебры С называется сумма (прямая) всех простых подкоалгебр в С. Алгебра Хопфа Я называется точечной, если любая ее простая подкоалгебра одномерна. Корадикал точечной алгебры Хопфа является линейной оболочкой ее группонодобных элементов, и множество всех группоподобных элементов алгебры Хопфа Я является группой, которая обозначается через С(Я).

Пусть С — некоторая коалгебра. Для каждого п > 0 по индукции определим

Сп = А-1(С®Сп-1 + С0®С),

где Со — корадикал коалгебры С. В [14, ТЬ 5.2.2] установлено, что множество {Сп}п>о является семейством подкоалгебр со следующими свойствами:

1- Сп-1 С Сп, С = ип>о С'пп

п

2. Д(С„) С £Сг(8>Сп^. ?;=о

Это множество подкоалгебр называется корадикальной фильтрацией коалгебры С. Более подробно свойства корадикальной фильтрации изложены в [22, главе 9] и [14, главе 5].

Пусть Н — алгебра Хопфа. Множество подпространств {Нг} в Н называется фильтрацией алгебры Хопфа Н, если это множество удовлетворяет свойствам 1 и 2, и является фильтрацией алгебры (т.е. НтНп С Нт+п для всех т,п> 0), и 3(Нп) С Нп для всех п. В лемме [14, 5.2.8] показано, что корадикальная фильтрация {Д;} алгебры Хопфа Н является фильтрацией алгебры Хопфа в том и только в том случае, когда корадикал Но является подалгеброй Хопфа в Н. В частности, это верно, когда Н — точечная алгебра Хопфа.

Обозначим — {х £ Н\ У/г £ Н кх = е(К)х} — пространство левых интегралов в Н. Известно, что если Н — конечномерная алгебра Хопфа, то <Ит(|я) = 1. Более подробно свойства пространства левых интегралов ]*я изложены в [22, глава 5]. Заметим, что - А С Ан. Также для каждой правой коидеальной подалгебры В в Н обозначим = {х £ В\ \/}г 6 В ¡гх = е{К)х} — пространство левых интегралов В.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Еряшкин, Михаил Сергеевич, 2012 год

Литература

[1] Артамонов В. А. Инварианты алгебр Хопфа. //Вестн. МГУ. Сер. 1, матем.мех.. - 1996. - №4. - С.45-49 ; Исправление Всстн. МГУ. Сер. 1, матем.мех.. - 1997. - №2. - С. 64.

[2] Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. - М.: Мир. - 1972.

[3] Каш Ф., Модули и Кольца. - М.: Мир. - 1981. - 368 с.

[4] Кертис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. - М.: Наука. - 1969. - 668 с.

[5] Спрингер Т. Теория инвариантов. - М.: Мир. - 1981. - 191 с.

[6] Тоток А. А. Об инвариантах конечномерных точечных алгебр Хопфа. //Вести. МГУ. Сер. 1, матем.мех.. - 1997. - №3. - С. 31-34.

[7] Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории (Т. 1) - М.: Мир. -1977. - 688 с.

[8] S. Caenepeel and S. Dascalescu. Pointed Hopf algebras of dimension ps. //Journal of Algebra - 1998. - V. 209. - P. 622-634.

[9] Cohen M. Smash products, inner actions and quotient rings. //Pacific J. Math.. - 1986. - V. 125. - № 1. - P. 45-66.

[10] Ferrer-Santos W. Finite generation of the invariants of finite dimensional Hopf algebras //J. Algebra - 1994. - V. 165. - P. 543-549.

[11] Kassel C. Quantum Groups - New York: Springer-Verlag. - 1995. - 552 p.

[12] Lambe L.A., Radford D.E. Introduction to the quantum Yang-Baxter' equation and quantum groups: an algebraic approach - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. - 1997. - 293 p.

[13] Lanski C. Nil subrings of Goldie rings are nilpotent //Canad. J. Math. -1969. -V. 21. - P. 904-907.

[14] Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings. - Providence, RI: American Mathematical Soc. - 1993. - 238 p.

[15] Montgomery S. Von Neumann finiteness of tensor products of algebras //Comm. Algebra. - 1983. - V. 11. - P. 595-610.

[16] Warren D.Nichols Quotients of Hopf algebras. //Comm. Algebra. - 1973. - V. 6. - P. 1789-1800.

[17] Rowen L. H. Ring Theory. Vol. I. - Boston: Academic Press. - 1988. - 462 p.

[18] Schneider H.J. On inner actions of Hopf algebras and stabilizers of representations J. Algebra - 1994. - V. 165. - P. 138-163.

[19] Skryabin S.M. Invariants of finite Hopf algebras. //Advances in Math. -2004. - V. 183. -P. 209-239.

[20] Skryabin S.M. Projectivity andfreeness over comodule algebras. //Trans. Amer. Math. Soc. - 2007. - V. 359. - P. 2597-2623.

[21] Skryabin S.M., Oystaeyen F.Van The Goldie Theorem for H-semiprime algebras. //J. Algebra - 2006. - V. 305. - P. 292-320.

[22] Sweedler M.E. Hopf Algebras - New York:Benjamin. - 1969. - 336 p.

[23] Taft E.J. The order oj the antipode of finite-dimensional Hopf algebra. //Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1971. - V. 68. - P. 2631-2633.

[24] Takeuchi M. Quotient, spaces for Hopf algebras //Comm. Algebra. - 1994.

- V. 22. - P. 2503-2523.

[25] Takeuchi M. Free Hopf algebras generated by coalgebras //J. Math. Soc. Japan. - 1971. - V. 23. - P. 561-582.

[26] Zhu S. Integrality of module algebras over its invariants. //J. Algebra -1996. - V. 180. - P. 187-205.

Публикации автора по теме диссертации:

[27] Еряшкин М.С., Скрябин С.М. Наибольшая подалгебра Хопфа в биал-гебре. //Матем. Заметки. - 2009. - Т. 86. - № 6. - С. 942-946.

[28] Еряшкин М. С. Инварианты действия полупростой конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида. //Изв. вузов. Матем..

- 2011. - №8. - С. 14-22.

[29] Еряшкин М. С. Кольца Мартиндейла и Н-модульные алгебры, обладающие инвариантными характеристическими многочленами. //Сиб. матем. журн.. - принята к печати.

[30] Еряшкин М.С., Скрябин С.М. Наибольшая подалгебра Хопфа в би-алгебре. //Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов": тезисы докл. (Самара, Россия, 8—15 июня 2009 г.). - Самара: Изд-во "Универс групп". - 2009. - С. 17-18.

[31] Еряшкин М.С. Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида. //Вторая школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов": тезисы докл.

(Москва, Россия, 31 января — 5 февраля 2011 г.). - Москва: Изд-во "Ол Би Принт". - 2011. - С. 27—29.

[32] Еряшкин М.С. Кольца Мартиндейла и инвариантные характеристические многочлены. //Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В.Морозова, (Казань, 25-30 сентября 2011г.). - Казань: Издательство Казанского (Приволжского) федерального университета. - 2011. - С. 91-92.