Инвариантные меры самоподобных фракталов и метрические свойства самоаффинных кривых тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кравченко, Алексей Станиславович

• Кравченко, Алексей Станиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кравченко, Алексей Станиславович

Введение

1 Полнота пространства сепарабельных мер в метрике Канторовича-Рубинштейна

§1. Основные определения.

§2. Метризация пространства мер.

§3. Основные теоремы о полноте пространства мер.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные меры самоподобных фракталов и метрические свойства самоаффинных кривых»

История вопроса. Основные направления. Хотя геометрическая теория множеств целой и дробной размерности размииа. iaci> с начала прошлого века, но бурное развитие её развитие началось после публикации Маидельброта 1975 г. (см. [39]), впервые применившего эти множества для описания широкого круга научных явлений от молекулярных до астрономических, например: броуновское движение частиц, турбулентность в жидкостях, рост растений, география побережий и горных поверхностей, распределение галактик во вселенной и скачки цен на фондовой бирже. Множества дробной размерности встречаются во многих областях математики, таких как теория чисел и нелинейные дифференциальные уравнения.

Введённый Мандельбротом термин «фрактал» происходит от латинских слов fractns дробный и frangere ломать, что отражает суть фрактала, как «изломанного», нерегулярного множества. Мандельброт дал «пробное» определение фрактала как множества, Хаусдорфова размерность которого строго больше топологической размерности. Но Мандельброт также указал, что данное определение неудовлетворительно и не включает некоторые нерегулярные множества, которые необходимо рассматривать как фракталы.

Одним из крупнейших разделов фрактальной геометрии является теория самоподобных фракталов, берущая своё начало со статьи Дж. Хатчинсона «Fractals and Self Similarity» (см. [34]), и превратившаяся сегодня в обширный раздел математики с множеством ответвлений и приложений. Хатчинсон ввёл понятие инвариантного множества в полном метрическом пространстве как компактного множества, составленного из своих образов под действием некоторого конечного набора сжимающих отображений данного метрического пространства в себя. Такие наборы сжимающих отображений принято называть системами итерируемых функций (IFS), а их инвариантные множества аттракторами (см. рис. 5 G). Аттрактор системы сжимающих подобий называется самоподобным множеством, и, аналогично, аттрактор системы сжимающих аффинных отображений в банаховом пространстве называется самоаффинным множеством.

Хатчинсоном было предложено условие открытого множества (OSC), выделяющее в классе самоподобных множеств такие, которые имеют ненулевую конечную меру Хаусдорфа. Для множеств удовлетворяющих OSC размерность Хаусдорфа совпадает с размерностью подобия, нымисляомой по простом формуле. Обобщения OSC, названные условиями отделимости, исследовались Бапдтом (см. [20]), Шифом (см. [42],[43]), Зернером (см. [46]). Шифом 6i>uia также; установлена связь между различными условиями отделимости. Для систем аффинных отображений Фалконером была введена аффинная размерность, совпадающая в случае выполнения OSC с размерностью Хаусдорфа инвариантного множества.

Для более детального изучения аттракторов IFS Хатчинсон предложил рассматривать меры на фракталах и ввёл инвариантные меры системы сжимающих отображений, называемые также самоподобными мерами. Изучению самоподобных мер посвящено большое число статей, в частности, Бандта, Графа, Фалконе-ра, Мораиа и Рейя и др.

Некоторые из инвариантах множеств являются непрерывными кривыми (см. рис. 7). Достаточное условие, когда аттрактор IFS является непрерывной кривой, было предложено Хатчинсоном. Первые примеры самоподобных кривых были построены Кохом (1904) и Леви (1938). Самоподобные и самоаффипиыс кривые изучались Астала, Бедфордом, Асеевым, Шалагиновым.

Одним из наиболее интересных классов фракталов являются самоподобные и самоаффинные тайлы, изучавшиеся Бандтом (см. [21],[22],[23]), Лагариасом и Байтом (см. [35],[36[,[37]), Дуваллом (см. [29]) и др. Самоподобное (самоаффинное) множество, имеющее внутренность и удовлетворяющее OSC, называется самоподобным (самоаффинным) тайлом (от англ. tile — черепица) (см. рис. 8). Известно, что образами любого самоподобного тайла под действием отображений подобия можно покрыть всю плоскость R2 'i-aк, чтобы внутренности отдельных образов тайла не пересекались и их минимальный диаметр был строго больше нуля.

Известны различные обобщения IFS, такие как бесконечные системы итерируемых функций (IIFS) (см. [33]), конформные системы итерируемых функций. Среди различных обобщений особо стоит отметить богатую теорию графоориенти-рованных систем итерируемых функций (Digraph IFS), развиваемую Маулдином и Виллиамсом (см. [41]), Дасом, Нгаи, Эдгаром (см. [27],[28]) и др.

Методы фрактальной геометрии широко применяются в компьютерной графике, математическом моделировании, при построении новых разделов анализа, решении дифференциальных уравнений. В частности, самоподобные кривые используются для аппроксимации жордановых кривых и границ областей. Современная теория фракталов имеет такие важные приложения, как сжатие изображений, моделирование трафика в компьютерных сетях; применяется в экономике при анализе колебаний курса валют.

О содержании диссертации

Диссертация выполнена в издательской системе ЬМ^Х, содержит 82 страницы и состоит из введения, трёх глав и списка используемой литературы. Иллюстрации созданы с помощью оригинальной программы IFS Builder 3d, написанной автором совместно с выпускником НГУ Мехопцевым Д. Ю.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кравченко, Алексей Станиславович, 2006 год

1. Асеев В. В. Критерий регулярности аттрактора системы сжимающих подобий в полном метрическом пространстве // Математические проблемы механики сплошных сред. Новосибирск: Пн-т гидродинамики СО РАН, 2002. С. 3-7. (Динамика сплошной среды; выи. 120)

2. Асеев В. В., Тетспов А. В., Кравченко А. С. О самоподобных жордановых кривых на плоскости // Сиб.Мат.Журнал Новосибирск: ИМ СО РАН, 2003. Том 44. т. С. 481-492.

3. Биллипгсли П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука, 1977.

4. Кравченко А. С. Гладкие самоаффинные кривые // Препринт JY? 161, Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005. 26 с.

5. Кравченко А. С. Полнота пространства сепарабельпых мер в метрике Канторовича-Хатчинсона // Сиб.Мат.Журнал, Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006. Том 47. № 1. С. 85-96.

6. Кравченко А. С. Полнота пространства вероятностных мер // Материалы XXXVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Математика. Новосибирск:НГУ, 1999. С. 82.

7. Кравченко А. С. Полнота пространства мер в метрике Канторовича // 4-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), поев, памяти М. А. Лаврентьева: Тез. докл. Новисибирск:ИМ СО РАН, 2000. 4.1. С. 153.

8. Кроповср М. Р. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000.

9. Куратовскпй К. Топология. М.:Мир, 1966. Т.1.

10. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. Новосибирск:Наука, 1983.

11. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.:Мир, 1969.

12. Сакс. С. Теория интеграла. М.:ИЛ, 1949.

13. Форстер О. Римановы поверхности. М.: Мир, 1980.

14. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.

15. Akerlund-Bistrom, Cecilia A generalization of Hutchinson distance and applications // Random and Comput. Dyn., 1997, 5, No. 2-3, P. 159 176.

16. Astala K. Selfsimilar zippers // Holomorpliic functions and moduli: Proc. Workshop, March 13-19, 1986. New York etc., 1988, V. 1, P. 61 73.

17. Bandt. Cli., Graf S. Self-similar sets 7. A characteriation of self-similar fractals with positive Hausdorff measure // Proc. Arrier. Math. Soc. 1992, V. 114, N 4, P. 995-1001.

18. Bandt Ch. Self-similar sets 5: Integer matrices and tilings of Ed // Proc. Amer. Math. Soc. 112 (1991), P. 549-562

19. Bandt Ch., Gelbrich G. Classification of self-affine lattice tilings // J. London Math. Soc. (2), 50, (1994), P. 581-593.

20. Bandt Ch. Disk-Like Self-Affine Tiles in E2 // Discrete Comput. Geom., 26 (2001), P. 591-601.

21. Bedford T. Holder Exponents and Box Dimension for Self-Affine Fractal Functions. Constructive Approximation 5, 1989, P. 33 48.

22. Bedford T. The Box dimension of self-affine graphs and repellers // Nonlinearity, No. 2, 1989, P. 53-71.

23. Brandt J., Cabrelli C., Molter U. An algorithm for the computation of the Hutchinson distance. // Inf. Process. Lett. 40, No.2, (1991), P. 113-117

24. Das M., Ngai S. M. Graph-directed iterated function systems with overlaps // Indiana Univ. Math. J. 59 (2004), P. 109-134

25. Das M, Edgar G. A. Separation Properties for Graph-Directed Self-Similar Fractals // Topology Appl. 152, No.l 2, (2005), P. 138 15G

26. Duvall P., Kecsling J., Vinco A. The Hausdorff dimension of the boundary of a self-similar tile // J. London Math. Soc. 2000, Gl, P. 649-760.

27. Falconer K. Fractal geometry: mathematical foundations and applications // Wiley, Chichester. New York, 1990.

28. Falconcr K. The geometry of fractal sets // Cambridge Cambridgeshire]; New York: Cambridge University, 1985.

29. Feclerer H. Geometric Measure Theory // Springer-Verlag, New York, 1996.

30. Fernaii Ii. Infinite Iterated Function Systems // Math. Nachr., 170. 1994. P. 79-91.

31. Hutchinson J. Fractals and Self Similarity 11 Indiana Univ. Math. Journal, Vol. 30, No. 5, 1981. P. 713-747.

32. Lagarias J. C., Wang Y. Self-affine tiles in Rn // Advances in Math. 121 (1996), P. 21-49.

33. Lagarias J. C., Wang Y. Integral self-affine tiles in Rn. I. Standard and nonstandard digit sets // J. London Math. Soc.54 (1996), P. 161-179

34. Lagarias J. C., Wang Y. Integral self-affine tiles in Rn. II. Lattice tilings // J. Fourier Anal. Appl. 3 (1997), P. 83-101

35. Lehto ()., Virtanen K. Quasikonforme Abbildungen // Berlin, New York, SpringerVerlag, 1965.

36. Mandelbrot B. Les objets fractals: forme hasard et, dimension // Paris, Flamrnarion, 1975.

37. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature // San Francisco: Freeman. 1977.

38. Mauldin R. D., Williams S. C. Hausdorff dimension in graph directed constructions // Trans. Amer. Math. Soc 1988, V 309, N 2.

39. Schief A. Separation properties of self-similar sets / / Proc. Arner. Math. Soc. 1994. V. 112, N 1. P. 111-115.

40. Schief A. Self-similar sets in complete metric spaces // Proc. Arner. Math. Soc. 199G. V. 124, P. 481-490.

41. Tukia P., Väisälä J. Quasisymmetric embeddings of metric spaces // Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Math. 1980. V. 5. P. 97-114.

42. Tsuji M. Potential Theory in modern function theory. // Maruzen Co., LTD, Tokyo, 1959.

43. Zerner M. P. W. Weak separation properties for self-similar sets // Proc. Airier. Math. Soc, V. 124, N 11, 1996.