Инвариантные меры для многозначных отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Горбачев, Алексей Николаевич

• Горбачев, Алексей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горбачев, Алексей Николаевич

Введение (постановка задачи, обзор литературы и формулировка полученных результатов).

Часть 1 Многозначные отображения с инвариантной мерой и параметризация

1.1 Полиморфизмы и общие свойства инвариантных мер многозначных отображений.

1.2 Полугруппа, образованная параметризующими преобразованиями и инвариантная мера для многозначного отображения

Часть 2 Линейные многозначные отображения.

2.1 Структура множества инвариантных мер многозначных отображений

2.2 Инвариантные меры и заряды для линейного (2, 3)-отображения и уравнение на функцию распределения. Линеаризация.

Часть 3 Абсолютно непрерывные инвариантные меры многозначных отображений.

3.1 Уравнение на плотность абсолютно непрерывной инвариантной меры многозначного отображения.

Содержание

3.2 Инвариантные меры для несжимающих многозначных отображений окружности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные меры для многозначных отображений»

Начиная с 30-х годов XX века эргодическая теория активно развивалась и в настоящее время представляет собой основной аппарат для анализа статистических свойств динамических систем. Базовым понятием эргодической теории является понятие инвариантной меры отображения. Различные вопросы, связанные с существованием инвариантных мер, статистическими свойствами динамических систем, подходы к изучению и применению эргодической теории, содержатся в работах [1], [6], [15], [21], [27] [30], [37], [47], каждая из которых, в свою очередь, повлекла за собой серию работ в данном направлении.

Необходимость в изучении многозначных отображений возникла в таких классических областях как анализ (см. [48], [40]), геометрия (см. [16], [29]), топология (см. [7], [23]). Свойства многозначных отображений исследуются в теории марковских процессов [4] и в приложениях, связанных с динамическими системами, таких, как, математическая экономика [9] и теория игр [5].

В настоящей работе изучаются инвариантные меры многозначных отображений. Родственное понятие полиморфизмов ввел А. М. Вершик [8], одновременно распространив на них некоторые результаты классической эргодической теории. Кроме того, ряд результатов, относящихся к исследованию эргодических свойств, полиморфизмов принадлежат А. Л. Федорову [25], В. В. Рыжикову [22], К. Б. Игудесману [38]. Многозначные отображения с инвариантной мерой появляются в связи с подходом Монжа-Канторовича к гидродинамической задаче Ньютона (см. обзор [19]), а также в проблеме сингулярности бесконечных сверток распределений Бернулли (см. работы [33], [43], [44], [24]).

Результаты диссертации связаны со следующими вопросами эргодической теории однозначных отображений.

Известное утверждение Н. Н. Боголюбова, полученное на базе его и Н. М. Крылова результата об инвариантной мере непрерывного отображения [31], состоит в следующем: для аменабельной полугруппы однозначных преобразований S компактного пространства найдется 5-инвариантная мера [6].

Уравнение для плотности абсолютно непрерывной инвариантной меры однозначного отображения (в одномерном случае) было выведено в работе [45]. Там же было показано, что для кусочно гладкого растягивающего отображения такая мера эргодична и, следовательно, единственна.

В монографии Р. Фелпса [26] с помощью теоремы представления Шоке и построенного Дж. Фельдманом [34] описания крайних точек множества инвариантных вероятностных мер показано, что множество инвариантных мер однозначного отображения является симплексом.

Для несжимающих однозначных отображений окружности в работе [2] найдена граница гладкости отображения, при переходе через которую абсолютно непрерывная инвариантная мера данного отображения становится бесконечной.

Одним из нерешенных вопросов в эргодической теории однозначных отображений является задача Фюрстенберга [35] о существовании сингулярной меры на окружности, инвариантной относительно преобразований возведеиия в квадрат и возведения в куб. В настоящей работе предложена чисто аналитическая формулировка этой задачи и указана ее связь с инвариантными мерами для многозначных отображений.

В работах автора [12], [36] приводятся формулировка и идея доказательства следующих фактов:

1. Описание всех решений уравнений и систем уравнений, которые задаются действием отображений на меры.

2. Множество инвариантных мер линейного многозначного отображения не является симплексом Шоке.

В работе [11] приведено полное доказательство этих утверждений, а также построен ряд примеров, показывающих сходства и отличия случая многозначных отображений от случая однозначных.

В работе [10] установлено, что конечность или бесконечность абсолютно непрерывных инвариантных мер зависит от класса гладкости несжимающего многозначного отображения.

Основной целью данной диссертации является изучение эргодических свойств многозначных отображений, исследование вопроса о существовании инвариантных мер различных многозначных отображений, изучение их свойств и структуры множества инвариантных мер.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Михайловичу Степину за постановку задач, ценные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав. Во введении дано краткое изложение работы. В первой главе исследован вопрос существования инвариантных мер для растягивающих многозначных отображений и многозначных отображений, задаваемых параметризацией. Во второй главе изучены свойства множества инвариантных мер линейного многозначного отображения и связь с задачей Фюрстенберга. В третьей главе изучены свойства абсолютно непрерывных инвариантных мер для многозначных отображений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горбачев, Алексей Николаевич, 2010 год

1. Аносов, Д. В. Некоторые гладкие эргодические системы / Д. В. Аносов, Я. Г. Синай // Успехи мат. наук. - 1967. — Т. 22, № 5(137). - С. 107-172.

2. Ахалая, Ш. И. Об абсолютно непрерывных инвариантных мерах несжи-мающих преобразований окружности / Ш. И. Ахалая, А. М. Степин // Труды МИ АН. 2004. - № 244. - С. 23-34.

3. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари. — Москва: Издательство "Физматгиз.", 1961.

4. Бебутов, М. Цепи Маркова с компактным пространством состояний / М. Бебутов // Мат. сборник. — 1942. — Т. 10(52), № 3.- С. 213-238.

5. Берж, К. Общая теория игр нескольких лиц / К. Берж. — Москва: Издательство "Физматгиз.", 1961.

6. Боголюбов, Н. Н. Избранные труды в трех томах, т.1 / Н. Н. Боголюбов. — Киев: Издательство "Наукова думка", 1969.

7. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обу-ховский. — Москва: КомКнига, 2005.

8. В ершик, А. М. Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские операторы / А. М. Вершик // Записки научн. сем. ЛОМИ.- 1977,- Т. 72.- С. 26-61.

9. Гиндельбранд, В. Ядро и равновесие в большой экономике / В. Гиндель-бранд. — Москва: Издательство "Наука", 1986.

10. Горбачев, А. Н. Инвариантные меры несжимающих многозначных отображений окружности / А. Н. Горбачев // Вестник МГУ, сер.1. Математика. Механика. — 2010. — № 3. — С. 43-46.

11. Горбачев, А. Н. Инвариантные меры многозначных отображений / А. Н. Горбачев, А. М. Степин // Деп. в ВИНИТИ 13.10.09 № 619-В2009. — 2009.

12. Горбачев, А. Н. Об инвариантных мерах для многозначных отображений / А. Н. Горбачев, А. М. Степин // Успехи мат. наук.— 2009.— Т. 64, № 6(390).- С. 173-174.

13. Григорчук, Р. И. Об аменабельности полугрупп с сокращением / Р. И. Григорчук, А. М. Степин // Вестник МГУ, сер. 1.— 1998.— Т. N 3. С. 12-16.

14. Гринлиф, Ф. Инвариантные средние на топологических группах и их приложения / Ф. Гринлиф. — Москва: Издательство "Мир", 1973.

15. Каток, А. Б. Аппроксимации в эргодической теории / А. Б. Каток, А. М. Степин // Успехи мат. наук. — 1967,— Т. 22, № 5(137).— С. 81106.

16. Каток, А. Б. Введение в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. Хасселблат. — Москва: Издательство "Факториал", 1999.

17. Клиффорд, А. Алгебраическая теория полугрупп Т.1 / А. Клиффорд, Г. Престон. — Москва: Издательство "Мир", 1972.

18. Корнфельд, О. П. Эргодическая теория / О. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. — Москва: Издательство "Наука", 1980.

19. Плахов, А. Ю. Рассеяние в биллиардах и задачи ньютоновской аэродинамики / А. Ю. Плахов // Успехи мат. наук. — 2009.— Т. 64, № 5(389).— С. 97-166.

20. Рохлин, В. А. Точные эндоморфизмы пространства Лебега / В. А. Рохлин // Изв. АН СССР, сер. матем. 1961. - Т. 25, № 4. - С. 499-530.

21. Рохлин, В. А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой / В. А. Рохлин // Успехи мат. наук.— 1967.— Т. 22, № 5. С. 3-56.

22. Рыжиков, В. В. Полиморфизмы, джойнинги и тензорная простота динамических систем / В. В. Рыжиков // Функц. анализ и его приложения. — 1997. Т. 31, № 2. - С. 45-57.

23. Сибирский, К. С. Полудинамические системы / К. С. Сибирский, А. С. Шубэ. — Кишинев: Штиинца, 1987.

24. Трошин, П. И. Об инвариантности меры для одной 2-трансформации / П. И. Трошин // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.— 2009.-Т. 151.— С. 183-191.

25. Федоров, А. Л. Полиморфизмы и разбиения пространств Лебега / А. Л. Федоров // Функц. анализ и его приложения.— 1982,— Т. 16, № 2. С. 88-89.

26. Фелпс, Р. Лекции о теоремах Шоке / Р. Фелпс. — Москва: Издательство "Мир", 1968.

27. Халмош, П. Лекции по эргодической теории / П. Халмош. — Москва: пер. с англ., 1959.

28. Шилов, Г. Е. Интеграл, мера и производная. Общая теория / Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич. — Москва: Издательство "Наука", 1967.

29. Barnsley, М. Fractals everywhere / М. Barnsley. — Boston: Academic press, 1988.

30. Birkhoff, G. D. Proof of the ergodic theorem / G. D. Birkhoff // Proc Natl Acad Sci USA. — 1931. Vol. 17. - Pp. 656-660.

31. Bogoliubov, N. N. La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire / N. N. Bogoliubov, N. M. Krylov // Ann. Math. II.- 1937,- Vol. 38.— Pp. 65-113.

32. Day, M. M. Fixed-point theorems for compact convex sets / M. M. Day // Illinois J. Math. — 1961. Vol. 5. - Pp. 585-590.

33. Erdos, P. On a family of symmetric Bernoulli convolutions / P. Erdos // Amer. J. Math. 1939. - Vol. 61. - Pp. 974-975.

34. Feldman, J. Representations of invariant measures / J. Feldman // dittoed notes. — 1963. — P. 17 pp.

35. Furstenberg, H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problemin diophantine approximation / H. Furstenberg // Mathematical Systems Theory. — 1967. Vol. 1, no. 1. - Pp. 1-49.

36. Gorbachev, A. N. Invariant measures for multivalued mappings / A. N. Gorbachev // Сборник трудов Добрушинской международной конференции. — 2009. — С. 71-73.

37. Hop}, Е. Statistik der geodatischen linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krummung / E. Hopf // Leipzig Ber. Verhandl. Sachs. Akad. Mss. — 1939. Vol. 91. - Pp. 261-304.

38. Igudesman, К. B. Dynamics of finite-multivalued transformations / К. B. Igudesman // Lobachevskii Jour, of Math. — 2005. — Vol. 17. — Pp. 4760.

39. Kendall, D. G. Simplexes and vector lattices / D. G. Kendall // J- London Math. Soc. 1962. - Vol. 37, no. 3. - Pp. 365-371.

40. Kigami, J. Analysis on fractals / J. Kigami. — Cambridge: Cambridge univ. press, 2001.

41. Lasota, A. On the existence of invariant measures for piecewise monotonic transformations / A. Lasota, J. A. Yorke // Trans. Amer. Math. Soc. — 1973. Vol. 186. - Pp. 481-488.

42. Namioka, I. Folner's condition for amenable semigroups / I. Namioka // Math. Scand. 1964. - Vol. 15. - Pp. 18-28.

43. Parry, W. On the /З-expansions of real numbers / W. Parry // Acta. Math. Acad. Sci. Hung. — 1960. Vol. 11.-Pp. 401-416.

44. Peres, Y. Sixty years of Bernoulli convultions / Y. Peres, W. Shlag, B. Solomyak // Fractal Geometry and Stochastics 2 (ed. by C. Bandt). Basel — 2000. Pp. 39-65.

45. Reniy, A. Representations for real numbers and their ergodic properties / A. Reniy // Acta math. Acad. sci. hungar.— 1957. — Vol. 8. — Pp. 477-493.

46. Yuan, G. X.-Z. KKM theory and applications in nonlinear systems / G. X-Z. Yuan. — New York: Marcel Dekker, 1999.