Интегро-локальные предельные теоремы для многомерных процессов восстановления при моментном условии Крамера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Прокопенко, Евгений Игоревич

• Прокопенко, Евгений Игоревич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Прокопенко, Евгений Игоревич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Предварительные сведения и утверждения, Интегро-

локальная теорема для функции восстановления

§1. Функция уклонений

§2. Вторая функция уклонений

§3. Базовая функция

§ 4. Интегро-локальная теорема для функции восстановления

§5. Доказательство вспомогательных утверждений

Глава 2. Интегро-локальная теорема для первого процесса восстановления в регулярной зоне

§ 1. Принцип больших уклонений для первого о.п.в

§2. Интегро-локальная теорема

§3. Доказательство принципа больших уклонений

§ 4. Доказательство интегро-локалыюй теоремы

§5. Свойства преобразования Лежандра

§6. Доказательство вспомогательных лемм

Глава 3. Интегро-локальная теорема для первого процесса восстановления в нерегулярной зоне

§ 1. Нерегулярная зона уклонений для первого о.п.в

§2. Нерегулярные уклонения для первого о.п.в.(одномерный случай)

§3. Интегро-локальная теорема в одномерном случае

§ 4. Нерегулярные уклонения для первого о.п.в.(многомерный случай)

§5. Интегро-локальная теорема в многомерном случае

§6. Доказательство вспомогательных лемм

Глава 4. Интегро-локальная теорема для второго процесса восстановления в регулярной зоне

§1. Интегро-локальная теорема

§2. Доказательство интегро-локалыюй теоремы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегро-локальные предельные теоремы для многомерных процессов восстановления при моментном условии Крамера»

ВВЕДЕНИЕ

Обобщенный процесс восстановления (о.п.в.) является классическим объектом исследования в теории вероятностей благодаря тому, что используется во множестве прикладных задач. Например, читатель может найти о.п.в. в теории массоого обслуживания, как суммарные затраты на восстановление или замену некоторых элементов, которые выходят из строя; в теории разорения, как суммарные выплаты страховых компаний клиентам, при возникновении страхового случая или как суммарный ущерб от нескольких природных катастроф. Нельзя не заметить, что обобщенный пуассоновский процесс, значимость которого невозможно переоценить, является частным случаем о.п.в. Перейдем к формальному определению о.п.в.

Условимся элементы d-мерного Евклидова пространства Md обозначать полужирными буквами, например, х = (ж(1), • • • , X(d)) ? О = (0, • • • , 0), ¡1 = = (/!(!),••• ,/i(d)). Скалярное произведение для элементов х,у 6 М^ будем обозначать

:= ^(1)2/(1) + •••+£(<№)•

Норму в M.d обозначим |х| := д/хх. Случайные векторы со значениями в M.d тоже будем обозначать полужирными буквами, например, £ =

= (C(i) 5''' ,C(d))- Через

(т,С) = (т, С(1)Г" ,C(d))

будем обозначать случайный вектор в пространстве .

Пусть заданы случайный вектор (ti,£i) и независимая от него последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов (т, £), (т2, С2), • • •, где т\ > 0, г > 0. Обозначим

п п

Zn:=^Cj при n^l, Т0 = 0, Z0 = 0.

3=1 з=1

Пусть при t ^ 0

ф) := min {к ^ 0 : Тк > t} , v(t) := max {к > 0 : Тк < t} .

Ясно, что для всех / ^ О выполняется равенство

Щ = //(/) - I.

Первым, обобщенным, процессом восстановления (и.о.п.в.) называется процесс

Z(t):=ZHt), 1^0.

Наряду с п.о.п.в. Z(t) мы также будем рассматривать второй обобщенный прогресс восстановления (в.о.п.в.)

Y(t) := Z,(íj - Z(/) - С/(П- I > 0.

Легко заметить, что

|0, если Ti > 0; = Г если т, > 0:

[ Сь если Т1 = 0? I. Ci + S25 если Г] = 0.

Стандартная общепринятая модель о.п.в. предполагает, что время т\ появления первого скачка и величина ¿д этого скачка имеют совместное распределение, отличное, вообще говоря, от совместного распределения (г, £)

(см., например, | ], | ]). Если (ti,Ci) = (Т«С)> то процессы Z(t),Y(t) будем называть однородными о.п. в.; в противном случае — неоднородными.

Если Т| = т = 1. то процесс Z(t) при I = 1.2,3,... становится случайным блуждание,м, порожденным последовательностью сумм независимых случайных векторов {Ск} ■ Интегро-локальные теоремы для сумм случайных векторов можно найти в | ] [7].

Если <д = ( = 1, то процесс Z(t) = v(t) становится простым процессом восстановления. Для таких процессов распределение Z(t) совпадает с точностью до 1 с распределением времени i](t) первого прохождения блужданием {Тк\ уровня t. Так как ту ^ 0, то справедливо равенство

Р ( Z(t) >п) = Р ( У {I) >п) = Р (//(/) > п ) = Р (Т„ </.), (0.1)

и изучение распределений Z(t),Y(t) в силу (0.1) вновь сводится к изучению распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Этот объект хорошо исследован как в области нормальных, так и в области больших уклонений, включая иптегро-локальные теоремы (см., например, [5], Гл.9; | ], Гл. VIII).

Иптегро-локальные теоремы в одномерном случае d = 1 для Z(l), Y(t) (в одномерном случае в обозначениях полужирные буквы заменяем обычными) при i —¡н оо в области нормальных уклонений в случае независимых нерешетчатых г и С с конечными вторыми моментами установлены в [ ]; в общем случае при выполнении некоторых дополнительных условий в [8].

Грубые аналоги интегро-локальных теорем в одномерном случае с! = 1 (локальные принципы больших уклонений для конечномерных распределений) установлены в [7], [ _].

Везде, если пе оговорено противное, будем предполагать, что выполнено условие Крамера для случайного вектора (т. £) в следующем виде:

[Со] • ~Еёит+1'\<*\ < оо при некотором V > 0.

Кроме того, мы будем предполагать, что случайный вектор (т, £) является нерешетчатым, т.е. для любого ненулевого вектора (с, с) € выполняется |Ее'^ст+с^| < 1. Эти два условия для случайного вектора (т, £), во избежание повторений в формулировках основных утверждений, напоминаться не будут. Моментные условия для случайного вектора (т] .^) (т.н. условия «допустимой неоднородности») будут приводиться в каждом из утверждений.

Заметим попутно, что из нерешетчатости случайного вектора (т, £) вытекает его невырожденность в Ш'1,' 1: для любого ненулевого вектора (с, с) € и любого числа Ь € Ж выполняется Р(ст + = Ь) < 1.

Итак, основными объектами изучения будут точные асимптотики интегро-локальных вероятностей

РЩг) е Д[х)), Р(У(*) е А[х)), (0.2)

где А[х) есть куб

[ж(1), Х{\) + А) х • • • х [х{а), хщ + А)

в пространстве с вершиной х и стороной А, причем А = А^ —> 0 достаточно медленно при I —> оо, а. := * принадлежит некоторому компактному множеству К, которое будет определено ниже.

Асимптотика вероятностей (0.2) есть весьма непростой объект; он требует привлечения для его исследования интегро-локальных теорем для меры восстановления, соответствующей последовательности (т./,^). Это позволяет получить весьма полные результаты. Как замечено в | ],[ 0], подход, свя-

запный с использованием асимптотики меры восстановления, является по-видимому, единственно возможным; иных подходов к получению предельных теорем для о.п.в. в области больших уклонений (в том числе интегральных теорем) в настоящее время не видно.

Настоящая работа состоит из четырех глав. В Главе 1 вводятся основные понятия, которые будут использоваться на протяжении всей работы, а также формулируется и доказывается иитегро-локальная теорема для меры восстановления. Эта теорема обобщает аналогичную теорему из [ ],[ ] на многомерный случай (1^1, а также упраздняет условие [Со] на первый скачок (ti,£i) в неоднородном случае. Глава 2 посвящена интегро-локальной предельной теореме для первого о.п.в. Z(t) в т.н. регулярной зоне уклонений этого процесса; в этой главе обобщаются на случай d ^ 2 результаты работ [9],[ ], где эта задача решена в одномерном случае d = 1. В Главе 3 установлена интегро-локальная предельная теорема для первого о.п.в. Z(t) в т.н. нерегулярной зоне уклонений этого процесса. В Главе 4 получена ипте-гро-локальпая предельная теорема для второго о.п.в. Y(/.) в регулярной зоне уклонений этого процесса; результаты этой главы также обобщают и дополняют утверждения работ [ ],[ ], где аналогичная задача решена в одномерном случае d = 1.

Заметим, что интегро-локальные предельные теоремы для второго о.п.в. Y(/) вне регулярной зоны уклонений этого процесса остаются открытой проблемой.

Актуальность работы. Предельному распределению различных случайных процессов посвящено большое количество работ в теории вероятностей, такие работы появляются и по сей день. Одной из классических предельных теорем является теорема Стоуна для случайного блуждания. В ней находятся асимптотика вероятности попадания сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов в «малый» куб.

A.A. Боровков такой тип теорем в [ ] предложил называть «интегро-локальпыми предельными теоремами» так как в них содержатся элементы интегральных теорем (попадание в множество) и локальных теорем (это множество мало). Интегро-локальная теорема Стоуна является наиболее совершенной и точной версией классической центральной предельной теоремы, не предполагающей никаких дополнительных условий, кроме существования дисперсий. Она лишь различает решетчатый и нерешетчатый случаи. В решетчатом (арифметическом) случае она превращается в локальную теорему. В нерешетчатом случае интегро-локальпая теорема Стоуна дает, по существу, ту же точность, что и локальные предельные теоремы, но ничего не предполагает относительно существования плотностей. С помощью интегро-

локальных теорем можно получить интегральные, но не наоборот. Интегро-локальные теоремы являются весьма эффективным техническим приёмом для изучения вероятностей больших уклонений.

В данной работе получены интегро-локальные предельные теоремы для классического в теории вероятностей многомерного обобщенного процесса восстановления, при выполнении моментного условия Крамера.

Научная новизна. В диссертации получен ряд интегро-локальных теорем для многомерных обобщенных процессов восстановления, которые являются обобщением аналогичных теорем A.A. Боровкова, A.A. Могульского на многомерный случай, а также ослабляют некоторые условия в одномерном случае. При этом, интерго-локальная теорема для первого процесса восстановления в нерегулярной зоне является новой. Все теоремы получены при выполнении моментного условия Крамера на случайный вектор, порождающий обобщенный процесс восстановления.

Цель и задачи исследования. Объектами исследования данной работы являются два многомерных обобщенных процесса восстановления. Основная цель диссертации — получение ряда интегро-локальных предельных теорем для этих процессов восстановления.

Практическое значение полученных результатов. Диссертация носит теоретический характер. Изложенные в ней результаты могут быть использованы при изучении прикладных задач, связанных с обобщенным процессом восстановления, с целью оценки вероятности редких событий.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены и опубликованы в 3 работах в соавторстве с A.A. Могульским. Вклады обоих авторов в эти работы равнозначны.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:

1. Международной конференции «Symposium on Probability Theory and Random Processes» ,5-9 июня 2017 г., г. Санкт-Петербург;

2. Международной конференции «The 39th Conference on Stochastic Processes and their Applications (SPA2017)» , 24-28 июля 2017г., г. Москва;

3. Международной конференции «Mathematics of risk» 27 ноября - 1 декабря 2017г., г. Кресвик, Австралия;

4. Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике Санкт-Петербурского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН, г. Санкт-Петербург (руководитель семинара академик РАН H.A. Ибрагимов).

5. Научном семинаре лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. г. Новосибирск (руководитель семинара академик РАН A.A. Боровков).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ ]-[1б].

Структура диссертации. Диссертация состоит из содержания, введения, четырёх глав, заключения и списка используемой литературы.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.ф.-м.п. Анатолию Альфредовичу Могудьскому за неоценимую помощь па всех этапах выполнения диссертации.

ГЛАВА 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И УТВЕРЖДЕНИЯ. ИНТЕГРО-ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ФУНКЦИИ

ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Обозначения и утверждения настоящей главы будут использоваться в каждой из четырех глав настоящей работы. В этих обозначениях мы будем следовать в значительной степени работам [ ],[ ]. Положим для (Л, /л) € М^1

ф(Х^) := ЕеЛт+^С, ф!(Л, ц) : = ЕеЛг1+^\

А{А,//) := 1п^(Л, д), Лх(А, /х) := 1п 0х(Л, /х);

А ^ {(Л./х) : А(А,д) < ос}, Л = {(Л.//) : ^(Л, ц) < оо} . (1.1)

Ясно, что в соответствии с условием [Со] внутренность (А) множества А содержит точку (Л, \±) = (0, 0) и является областью аналитичности функции

А( Хф).

Векторы, если они обозначаются одним символом, мы будем также выделять полужирным шрифтом. Если дана функция 1<\и, V) двух переменных и ЕМ и V е то в дальнейшем нижними индексами (1) и (2) мы будем отмечать производные по первому и второму (градиент) аргументу, соответственно, например:

д

д2

?

и~и I

5

и и |

* ^ д

у2

= ^{чи*) ЪцЫ,*) = {ау)={щщ)

Через F/ = F/(гí, г?) и = г"(и, у) мы будем обозначать, соответственно, вектор

^ = = (^(и^^щу))

и матрицу

Через (обозначим определитель матрицы Г ".

Для функций G = G(v) : Wl —» R будем использовать аналогичные обозначения. Через G' и G" мы будем обозначать, соответственно, вектор G' = G'(v) первых производных (т.е. градиент) и матрицу G" = G"(v) вторых производных функции G = G(v).

§ 1. ФУНКЦИЯ УКЛОНЕНИЙ

Мы будем использовать известные иптегро-локальные теоремы для сумм п ^ 1 независимых случайных векторов :=■ (ту, Е R''"1"1:

п

= So := (0,0)

3=1

(см., например, | ], § 2.9 или теорему 1.2 ниже). Важную роль при этом играет функция уклонений

Л(в, а) := sup {Хв + ца - А{\, /л)} , (1.2)

М

соответствующая случайному вектору £ = (т, £)• Это есть преобразование Лежандра над выпуклой, полунепрерывной снизу функцией А(\,[л): поэтому функция Л(0, а) также выпукла и полунепрерывна, снизу.

Наряду с множествами и Л нам понадобится область ана-

литичности функции Л(0, а). Эта область содержит те точки (в, о.), для которых система уравнений (в количестве d + 1)

А[1)(Х^) = в, Л(2)(А,/х) = а,

для координат точки (Л,/х) (где достигается верхняя грань в (1.2)), имеет решение

(А(0,а),/х(0,а)),

принадлежащее (*4), так что

Л'(2)(Л(0,а),^(0,а)) = а, ( J

и при этом

£ = {(£,«) :=Л'(А,М): (А,/х) СЕ (Л)} .

Так как функция А(А,/х) строго выпукла в {А), то такое решение всегда единственно (см., например, [ ], Гл. 1). Сказанное означает, что условия

(0,а)е£ и (Л(0,а),Ал(0,а)) € (А)

эквивалентны. Ясно, что точка {0, сх) = (ат, ал), где

ат := Ег, а^ ;= Е£,

всегда принадлежит С; для нее (Л(ог, а^). /х(аг. а^-)) = (0,0) € (А).

Поясним принцип, которому следуем мы при использовании полужирных и обычных букв. Если аргумент функции является вектором, который обозначается одной буквой, то для этой буквы используется полужирный шрифт. Если значение функции многомерно, то для обозначения этой функции тоже используется полужирный шрифт. Например, для д, а е обозначения

А( Л,/л), \{0.а). ц(0.а)

следуюг этому принципу. Если же при этом <1 —- 1 . то эти же функции будут обозначаться как

Л(А.//.). Х(0.а). //(О. а).

Пусть (<9, а) € С. Тогда

Л(0, а) = Л(0, а)в + /х(0, а)а - Л(А(0, а), //(0, а)), (1.4)

Л;|;,(УЛ а) = Л(0, а) + А'(1)(0, а)0 + //(1)(0, а)а-

4)(Л(0, а), а/(0, а))Х[,}(0.сх) - Л[2)(Х(0. а), /х(0, а))//(1)(0, а). В силу (1.3) отсюда получаем

ос) = А(0, а). (1.5)

Аналогично находим

Л'(2)(0,а) = /х(0,а), (1.6)

так что

А'(в, а) := (Л'(1)(0, а), Л'(2)(0, а)) = (А(0, а), »(в, а)). (1.7) Если т и £ независимы, то

А(Х.11) = А^(Х) + А^(/л),

где

А^Т\Х) := 1пЕеЛт, А(С)(м) := 1пЕсК.

Поэтому в этом случае не зависит от д, А'^(Х, ц.) не зависит от

Л, области (Д) и С прямоугольны.

§ 2. ВТОРАЯ ФУНКЦИЯ УКЛОНЕНИЙ

Наряду с функцией уклонений (первой) А(в.а) нам понадобится вторая функция уклонений 1)\{0. а), определяемая соотношением (см., например,

I ],[Ю])

Ih(O.a) := infW-^Y

г>0 \Г Г J

Она возникает естественным образом при изучении асимптотики меры восстановления, соответствующей случайному блужданию {Тп, Zп}, и играет определяющую роль при ее описании (см. теорему 1.1 ниже). Свойства функции D\(9,a) изучены весьма полно (см., например, [ j §2.9; [18]; [9],[1 j). Она выпукла, полу аддитивна, линейна вдоль любого луча, исходящего из 0. Чтобы функция /)д {(). ос) лучше соответствовала названию «функция уклонений» ее немного следует «подправить», доопределив на границе множества

v<oo {(УЛ . 1)^(0, а) < ос} (1.8)

конечности функции по полунепрерывности снизу (функция уклонений в п.б.у. с необходимостью полунепрерывна снизу (см., например, [ ] §2.9)). Этот подправленный вариант обозначается через (см., например, [,■],[ |)

1)(0.а) !•= lim iiif l)x(0'.a.').

40 {9',а')£{в,а)е

где (0,а)£ := {{0',ol') : \в' - 0\ + \а' - а\ < s} -е--окрестность точки

(в, а) е Rd+1.

В | ], §2.9, (см. также [ ], [ ], лемму 2.7 ниже) установлено следующее утверждение:

Функция D(6. а) допускает представление

D{0,ol)= sup {А0 + /ха} = sup {\0 + /ха}, (1.9) := {(Л, ц) : А(А.д)<()},

dB - граница В.

Для описания границы дА^° рассмотрим сечение А,л множества А на уровне /х:

А* := {Л : (А./х) Е А) •

При любом /х Е Md определены значения

А(ц) := inf {А : А(-\, ц) <* о} = - sup {А : А{А, /х) < 0} , (1.10)

А°°(р) := inf {А : А{-Л,/л) < оо} = - sup {Л : /1(А./х) < ос.} . считая по определению

inf {А : А Е 0} = оо, sup {А : А Е 0} = -оо.

Очевидно,

(-А(/1), ц) е а4^0, (-A^(ß), ц) g ал,

т.е. кривая Л = —А(/л) в 1Г+1 есть параметрическое задание границы , а кривая Л = —Аос(/л) параметрическое задание границы множества А. Определим функцию

D(a) := sup{/xa - A(ii)} (1.11)

д

преобразование Лежанёра над функцией A(ß) ■ Легко показать (см. лемму 2.7 ниже и (1.9)), что

D{ol) = sup {ßa -!- Л} = D{ 1, a). (1.12)

Тогда представление (1.9) позволяет найти еще одну весьма важную харак-теризацию функции Г)(0. а). Действительно, в силу линейчатости функции D при 0 > 0 выполняется равенство

D(e,a) = eD(l,f) (1.13)

и, стало быть, функция двух переменных D(6,a.) полностью определяется значениями функции одной переменной D(cx). Кроме того, именно в терминах функции D(ql) будут сформулированы основные результаты настоящей работы.

§ 3. БАЗОВАЯ ФУНКЦИЯ

В силу леммы 2.1, функции D(ac), A(ß) выпуклы и полунепрерывны снизу (это нетрудно установить и непосредственно, с помощью (1.10)), при этом

А(ц) = sup {iia — D(a)}.

сх

Функция Aiß) обладает и многими другими свойствами логарифма преобразования Лапласа над распределением некоторого случайного вектора. В [9],[1( ] показано для одномерного случая d = 1, что /1(0) = 0, А(ц) —> оо при |/i| —> оо, если случайная величина ( разнозначна (так что /)(()) = = sup{— А((л)} < оо), то для однородного о.п.в. Z(t)

А'{0) = fl := ^ ~ Е^, (1.14)

dq- t

А"(0) = (J2 := —D(С - ат) ~ Е^ при t оо. (1.15)

CLj- t<

Аналоги соотношений (1.14), (1.15) справедливы и в общем случае <1 ^ 1 и сохраняются в неоднородном случае при выполнении условий «допустимой неоднородности».

Как показано в [ ],[ ], в одномерном случае <1 — 1, в широких предположениях в однородном случае (и в неоднородном случае при выполнении некоторых условий «допустимой неоднородности») справедливо соотношение

Л(/х) ~ -ЬЕе^ при £ 00. (1.16)

Это же соотношение выполнено и в многомерном случае (1^1.

Таким образом, функция А(/л) играет по отношению к о.и.в. ту же роль, какую играет логарифм преобразования Лапласа над распределением случайного вектора £ по отношению к соответствующему случайному блужданию (п, Ъп) (для случайных блужданий соотношения (1.14) (1.16) имеют вид точных равенств, а не асимптотических). Чтобы подчеркнуть эту роль, функции Л(д) в работах [9],[ | предложено назвать ее базовой функцией, для первого о.п.в. Z(í).

Очевидно, что всегда А00(/х) ^ Л(д). Так как (0,0) Е (А), Л(0,0) = О, Л(0) = 0, то в окрестности точки /л = 0 всегда А°°(д) < А (¡л). Обозначим

т:={1леМ.а: {-А{ц),1л) е (А)}.

Это открытое (но не обязательно односвязное) подмножество К/', содержащее точку /1 = 0. Для любого д0 ^ 2Л выполняется Л°°(до) < А(/л0) и при этом

А{-А{/л о),до) = 0.

Поскольку при этом

■£€-А{1л0)т+цоСТ /ло)1А=-А(мо) = Ее-ЛЫтТ^ >

то, по теореме о неявной функции, функция А(д) апалитична в точке /х = = до (см. пояснение к доказательству этого факта в доказательстве леммы

1.1 ниже).

Множество ШТ будем называть зоной, аналитичности функции А(/л). Основное отличие базовой функции А(д) от логарифма преобразования Лапласа состоит в том, что при /л ^ Ш функция А{/л) может быть конечной, но не аналитической. В лемме 1.1 (см. ниже) установлено, что в зоне аналитичности Ш функция А(ц) строго выпукла, т.е. матрица А'(¡л) вторых производных функции А(/л) при ¡л е Ш положительно определена (и найдена в явном виде).

Для // С Ш через (т(/х), С(/-0) обозначим случайный вектор в + i с распределением

■р/р-А(д)т+К- (т t) G ■)

Р(Ш),СМ) е .) := (е а-^Т^Г—1 = CnC) е •).

(1.17)

Пояснение: последнее равенство в (1.17) следует из тождества

Ее-Жд)т+/х С = eA(-A(fi),fi) = 1

верного при /л е Ш. Обозначим для ¡л Е Ш

а(/х) := ас( } := ЕС(д), атЫ := Ет(/л),

так что

(r(0),C(0))i(r,C), а = а(0).

Лемма 1.1. Пусть до £ 9Л. Тогда

(г). Случайный вектор (т(/хо),С(Мо)) невырожден в Rd+1; (м). Случайный вектор

С(Мо) := С(Мо) - а(доМдо)

певырож.ден в Rd;

(Hi). Функция А(/л) аналитична в точке До « мещрица вторых производных А"(р) при ц = до 'имеет вид

= r^-Sfr^. (1-18)

ат{ц о)

С(мо)'

где ковариационная матрица случайного вектора С(Мо) (см-

s( /-'о)

(1.67)).

Доказательство леммы 1.1 мы поместили ниже, в параграфе 5. Продолжим изучение базовой функции . 1(/х). Пусть д(а) точка, в которой достигается sup (точная верхняя грань) в (1.11), если такая единственная точка имеется. Если ¡jl(ol) € ШТ, то функция А(ц) аналитична в точке д(а), значение д(а) есть решение уравнения (системы уравнений)

Л'(д) = (1.19)

Так как матрица А"(¡л) положительно определена в некоторой окрестности точки ¡i(ol) , то единственное решение этого уравнения

ц(а) = {А')^(а) (1.20)

является обратной вектор-функцией к вектор-функции А!{¡л). Пусть

21 := {а е Rd : д(а) G Ш}.

Тогда в открытом множестве 21 (оно не всегда односвязно) вектор-функция 1л(а) будет, очевидно, аналитической, и выполнено

D{ot) = ß{a)a - A{ß{a)). (1.21)

Дифференцируя (1.21) и используя (1.19), получаем для а е 21

D'(a) = 1л(а). (1.22)

Стало быть, отсюда следует, что функция D(ot) также аналитична в 21.

Из сказанного и (1.13), (1.12) получаем, что функция D{6<ol) конечна в конусе (ср. с (1.8))

Р<°° = {(6>,а) : < ос. 0>О}

и аналитична в конусе

V := {(0,а) : j Е 21, в > о}. (1.23)

Если положить

А(а) := -А(д(а)), (1.24)

то из (L20), (1.21) получаем, что при а е 21 £>(а) = А(а) + а/л(а), А{Х{а),/л{а)) = 0, (А(а),/¿(а)) € (Л). (1.25)

На рисунке 2 показан способ нахождения точки (А(а),/л(а)) — это точка касания гиперплоскостью с нормалью (1,а) выпуклого множества Таким образом, точка (А(а),/х(а)) при движении а пооткрытому множеству 21 движется по «регулярной» части г)А^° П {А) границы проходя при этом через точку (0,0) при а = а. Пара (А(а),/х(а)) определяет, наряду с

еще одно параметрическое задание регулярной части границы множества

Рис. 2. Определение точки (А(а), ¡j,(a)).

-о

~в)

§ 3. Базовая функция

В силу (1.13), (1.21) для (в, а) е V имеем Асимптоти ка вероятностей

Р(ги е Д[х))

(см. (0.2)) в главе 2 будет изучаться в зоне нормированных уклонений

X

а := - е 21, г

и эту зону, по аналогии с областями аналитичности, возникающими в классических предельных теоремах для случайных блужданий, естественно назвать крамеровской зоной. Однако, в отличие от названных классических теорем, асимптотику (1.28) не всегда возможно получить во всей зоне (1.29). В ряде случаев ее приходится сужать. Если А+ > /)(0), где

Л+ = вир{Л : /1(т)(А) < ос}.

то сужение не требуется.

Рассмотрим случай А+ ^ /)(0). В этом случае запретной частью зоны 21 будет замыкание множества

(1.26)

(1.27)

(1.28) (1.29)

03 := {а е : А(а) > А+}.

(1.30)

а,м

*(X.а — >

Рис. 3. Множества 21 = (а_. ос).

= (/?_,/3+).

93 =

Множества 21, Ъ можно определить с помощью вектора нормали к границе множества Для множества 21 нужно выбрать нормали в точках пересечения границ множеств Л. для множества Ъ в точках пересечения границы с гиперплоскостью А = А | , при этом первую координату нормалей необходимо положить равной 1. На рисунке 3 множество 21 совпадает с лучом (а_,оо); множество Ш совпадает с интервалом (Д .¡3.).

Таким образом, в главе 2 будет получена интегро-локальная предельная теорема

для первого о.п.в. Z(¿) при £ —оо:

е Д[х)) -?,

в регулярной зоне уклонений

а := - е 21 \ [щ .

В главе 3, при некоторых дополнительных условиях, эта задача будет решена в нерегулярной зоны уклонений 23 :

<*:=*£ (23),

которая иным способом будет определена в главе 3.

Для формулирования и доказательства основных результатов глав 1, 2 нам необходимы дополнительные обозначения. При (6, а) е Т> положим для краткости (см. (1.26), (1.27))

(А,Д) := (А(|),м(|)) = О'Ю.а) = (-¿(„(|)), „(«)), (1.31)

где [0. а>) := Л'(Л, Д), так что векторы

(0,а) = (6(6,а),а(6,а)) = Л'(Л(|),М(|))

суть функции от одной переменной ^. Заметим, что при {в, а) е справедливо (см. (1.13), (1.25))

= =0(л(|)+|д(|)) /КЛ.Д). 0. (Л,м)Е(Д).

(1.32)

Ниже будет установлено (см. лемму 1.2), что для {0, а.) е Р минимум по т е (0, оо) функции

¿(г) = ^(г) 1= гЛ (1.33)

достигается в единственной точке

в

= ^

и при этом выполняется

(0,а}= —

Гв,а

где функции 6 = 6(6, сх), а. = а ((9, а) определены в (1.31).

Обозначим

С(0,а) :=

\

Qd

А" (0, а

(27r9)dQ (О. а

Q (0, а) := 0, а Л" 0, а 0, а

т

т

(1.34)

где верхний индекс означает транспонирование, так что

т

0, а) А" [в, а) [в, а) := 02Л/(/1) (в, aj +'2вА'(1:2) (в, a) ат+аА'[2) (д. a] ат.

Нам понадобится

Лемма 1,2. Пусть (0, a) G V, векторы, (А,Д); (0, а) определены, в (1.81). Тогда:

I. Минимум функции (см. (1.33))

Цг) = Ьв,а(г) = г А (в~, Н)

достигается в единственной точке

в

г0.а = J)

и при этом выполняется векторное тождество

а Ы) а =----

(1.35)

re,а

в

Так,им, образом, наряду с определением, вектора (0,0.), данного в (1.31), имеет место следующее представление

(0, а) = — (0,а). Г().а

Для функций X, /2 справедливо представление

А = А

0 а

Г 0,а Г в,а.

(в а

/' /м —> —

J в,а Г в,а.

(1.36)

где функции X (в, а), /х(0,а)

являются, решением системы (1.3). При этом

L{r$,a) — D(0, a), L'(r)

1

= О,

L"(r)

Г=Гв,а Гв.

>■ 'О.,у

Q(0,a) > 0.

(1.37)

(1.38)

а

§ 3. Базовая функция 20

II. Для заданного г > 0 найдется е\ > 0 такое, что

min Цг) ^ L(re)Cí) + £1-

\Г-Гв,а№£

В одномерном случае d = 1 лемма 1.2 доказана в [9],[10], и приведенное ниже доказательство в значительной степени повторяет доказательство для одномерного случая.

Доказательство леммы, 1.2. Разобьем доказательство на несколько этапов.

1. Функция уклонений А(0. а) выпукла (см., например, [ ], Гл. 9): для любых р > О, q > 0, р — г/ 1 . ai), (02,а2) Е R1+d выполняется

рА(01, ai) + дЛ(02, а2) > A(p0i + q02lpa\ + qcx2).

Отсюда вытекает выпуклость в области (0, оо) функции Ь(г): для любых г i > 0, г-2 > 0, р > 0, g > 0, р + q = 1, справедливо

pL(n) + qb(r2) > Црп + qr2).

2. Полагая (0r,ar) := 1,(0. a) и дифференцируя функцию Ь(г), получаем

//(г) = A(0r, ar) - /\J|)(0r. ar)0r — A^(0r, ar)ar. Привлекая (1.7), (1.4), находим

Z/(r) = А(0Г. ar) — A(0r, ar)0r — /i(0r, ar)ar = —A(X(0r, ar), /x(0r, ar)).

(1.39)

3. Дифференцируя функцию Lf(r) в представлении (1.39), получаем

A/(1)(0r,ar) f-~) +A¡2}(Í,ar)

L;/(r) = —A^(A(0r, af), /i(0f, ar))

ti'a)(0r■(*,-) (-4) +Мд(0г,аг) (-3)

Л',2)(\(0Г. аг).ц(0г. аг))

Поскольку, в силу (1.7)

А'(1)(0Г, аг) = Л/('1)(0Г, аг), А|2)(0г, аг) = Л/(/1^(0г, аг),

д'(1)(0г, аг) = Л^д )(0Г, аг), д'(2)(0г, аг) = Л"2)(0Г, аг), и, в силу (1.3),

А(!)(А(0г, аг), д(0г, аг)) = О,.. ,4^(А(0/.. аг). ц(0г. аг)) = аг,

то

Ь"(г) = ^(0Г, схг)А"(0г, аг)(0г. аг)Т > 0, (1.40)

где матрица Л"(0г,аг) положительно определена (см., например, [ ]. § 1.2).

4. Из утверждений 1-3 вытекает следующее: если число р > 0 таково, что для вектора (9 р, ар) := ~(9,а) выполняются два условия:

А(Х(9р, ар),ц(вр, ар)) = 0, (0р, ар) G С, (1.41)

то точка г — р является единственным на 'полуоси (0, ос) значением,, где достигается минимум функции L(r), т.е.

L(p) = inf L{r), L(r) > IАр) при г > 0, г ^ р.

г> О

5. Убедимся, что число

п

где, как и прежде, (А,/2) = (А(^). /¿('J)) (см. (1.31)), удовлетворяет обоим условиям (1.41). Для этого продифференцируем по t G 21 каждое из двух равенств (см. (1.25), (1.24)):

A(A(t),/i(t)) = 0, -A(M(t)) = A(t).

Получим два векторных равенства

A'(1)(A(t), M(t))A'(t) + A[2](\(t),n(t))n'(t) = 0, -A'(n(t))n\t) = A'(t).

Исключив (с помощью второго равенства) из первого равенства вектор-функцию А'(£), получим тождество

Л'(1)(АВД, n(t))A\n(t))n'(t) = A[2](\(t),n(t))n'(t). (1.43)

В силу (1.19) для t G 21 имеем

A'Wt)) = t.

Дифференцируя последнее равенство по t, получаем матричные равенства

fj,'(t)A"(iJ,(t)) = A"(n(t))n'(t) = /, (1.44)

где I единичная матрица порядка d. матрица A"(/i(t)), в силу леммы 1.1, положительно определена. Поэтому, умножая левую и правую части (1.43) справа на матрицу A"(n(t)), получаем в силу (1.44) тождество

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Прокопенко, Евгений Игоревич, 2018 год

Список литературы

[1] Д. Р. Кокс, В. JI. Смит, Теория восстановления, Советское радио, М., 1967, 299 е.; пер. с англ.: D. R. Сох, Renewal theory, Methuen & Co. Ltd., London; John Wiley & Sons, Inc., New York, 1962, ix 142 pp.; W. L. Smith, "Renewal theory and its ramifications", J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, 20:2 (1958), 243-302

[2] S. Asmussen, H. Albrecher, Ruin probabilities, 2nd ed., Adv. Ser. Stat. Sci. Appl. Probab., 14, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2010, xviii+602 pp.

[3] C. Stone, A local limit theorem for nonlattice multi-dimensional distribution functions, Ann.Math. Statist., 36, (1965), 546-551.

[4] C. Stone, On local and ratio limit theorems, in Proc. Fifth Berkeley Symp. Math. Stat. Prob. 11(2), ed. Neyman, J. (University of California Press, Berkeley, (1967), 217-1224.

[5] А.А. Боровков, Теория вероятностей, M.: URSS, (2009) - 652 с.

[6] В.В. Петров, Суммы независмых случайных величин, М.: Физматлит, (1972),- 416 с.

[7] A.A. Боровков, Асимптотический анализ случайных блужданий. Быст-роубывающие распределения приращений, М.: Физматлит, (2013), - 448 с.

[8] А. А. Боровков, Интегро-локальные предельные теоремы для обобщенных процессов восстановления, Теория вероятн. и ее примен., 62:2 (2017), 217-240

[9] А. А. Боровков, А. А. Могульский, Интегро-локальные предельные теоремы для обобщенных процессов восстановления при выполнении условия Крамера. I, Сиб. матем. журн., Том 59, №3 (2018), 491-514.

[10] А. А. Боровков, А. А. Могульский, Интегро-локальные предельные теоремы для обобщенных процессов восстановления при выполнении условия Крамера II, Сиб. матем. жури., Том 59, №4 (2018), 731-750.

[11] А. А. Боровков, А. А. Могульский, Большие уклонения и проверка статистических гипотез, Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. — 222 с. — (Труды института математики СОРАН, Том № 19)

[12] A.A. Боровков, A.A. Могульский, Принципы больших уклонений для конечномерных распределений обобщенных процессов восстановления, Сиб. матем. журн., Том 56 (2015), Номер 1, стр. 36-64

[13] А. А. Боровков, А. А. Могульский, Интегро-локальные предельные теоремы для сумм случайных векторов, включающие большие уклонения. I, Теория вероятн. и ее примен., 43:1 (1998), 3-17.

[14] A.A. Могульский, Е.И. Прокопенко, Интегро-локальные предельные теоремы для многомерных обобщенных процессов восстановления при мо-ментном условии Крамера. I, Сиб. электрон, матем. изв., Том 15 (2018), 475-502.

[15] A.A. Могульский, Е.И. Прокопенко, Интегро-локальные предельные теоремы для многомерных обобщенных процессов восстановления при мо-ментном условии Крамера. II, Сиб. электрон, матем. изв., Том 15 (2018), 503 527.

[16] A.A. Могульский, Е.И. Прокопенко, Интегро-локальные предельные теоремы для многомерных обобщенных процессов восстановления при мо-ментном условии Крамера. III, Сиб. электрон, матем. изв., Том 15 (2018), 528-553.

[17] М. Herve, Several complex variables. Local Theory, Oxford University Press, Bombay, (1963).

[18] А. А. Боровков, А. А. Могульский, Вторая функция уклонений и асимптотические задачи восстановления и достижения границы для многомерных блужданий, Сиб. матем. журн., Том 37 (1996), Номер 4, стр. 745-782

[19] Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том II, М.: Физматлит, (2006), - 800с.

[20] R. Lefevere, М. Mariani, L. Zambotti, Large deviations for renewal processes, In Stochastic Processes and their Applications, Volume 121, Issue 10, (2011), 2243-2271.

[21] A.S.Strokalovskii, Introduction in Convex Analysis, Irkutsk, University of Irkutsk, (2009), 81 p.

[22] M.A. Евграфов, Аналитические функции, — 3-е изд., — М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. (1991), -448 с.