Интегрируемая модель космологии со скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Чэнь Лань

• Чэнь Лань
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Чэнь Лань

Оглавление

Введение

1 Геометродинамика и неэрмитова теория

1.1 Теория относительности как калибровочная теория

1.2 Геометродинамика, АДМ-формализм

1.3 Первичное квантование континуальной системы

1.4 Приближение минисуперпространства

1.5 РТ-симметричная квантовая механика

1.6 Псевдо-эрмитовая теория

1.7 Темная энергия, проблема сингулярности

2 Модель космологии с метрикой ФРУ и одним скалярным полем

2.1 Формулировки моделей

2.2 Калибровочные условии

2.3 Квинтэссенция

2.3.1 Классическая теория

2.3.2 Квантовая Теория

2.3.3 ВКБ предел, сравнение с классическим решением

2.3.4 ВКБ приближение, ВКБ пакет

2.4 Фантом

2.4.1 Классическая Теория

2.4.2 Квантовая теория

2.4.3 Равномерное асимтотическое разложение функции Бесселя

2.4.4 Сравнение с классическим решением

2.4.5 ВКБ волновой пакет

2.5 РТ-ом

2.5.1 Классическая теория с комплексным потенциалом

Лиувилля

2.5.2 Наглядный классический РТ-ом

2.5.3 Квантовая теория

3 Интегрируемая модель космологии с несколькими скалярными полями

3.1 Классическая модель

3.2 Квантовая теория

3.3 Квазиклассическое решение

4 Гибридная модель космологии с РТ-симметричным комплексным потенциалом

4.1 РТ-симметричные свойства динамических переменных

4.2 Классическое решение

4.3 Квантовая теория

4.4 Квазиклассическое приближение

4.5 Гауссовский пакет

Заключение

Приложение

Равномерное Асимптотическое Разложение Функции Бесселя

Классические Сингулярности

Благодарности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемая модель космологии со скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории»

Введение

Актуальность темы исследования. С одной стороны, после наблюдения бозона Хиггса [49], и первого прямого детектировании гравитационных волн коллаборациями LIGO и VIRGO [51], приходит новая эпоха пост-стандартной модели, в которой квантование гравитации становится одним из наиболее важных вопросов в теоретической физике, а квантовая космология, представляющая собой одно из применений квантования гравитации, вызывает интересные концептуальные, математические и физические вопросы. Эта теория применяет квантовую физику к целой Вселенной, она возникла в результате понимания, что квантовая физика должна применяться ко всему в природе, в том числе и ко Вселенной [21].

Мы знаем что, на сегодняшний день, инфляционная стадия развития Вселенной принята как ранний период во вселенной, но, чтобы возникла подходящая инфляция, Вселенная должна иметь некоторые необходимые доинфляционые начальные условия [28,31]. Это и есть вопрос начальных условий, квантовая космология, как один из кандидатов, отвечает на него.

Кроме того, при исследовании темной энергии, появляются новые типы сингулярностей в развитии Вселенной, напр. большой разрыв, большое торможение, и т. д., которые отличаются от большого взрыва и большого сжатия [40]. Это и есть новый вопрос сингулярностей. Квантовая космология предлагает инструмент, чтобы рассматривать квантовое состояние Вселенной при наличии сингулярностей, кроме того изучение квантового эффекта дает возможность дополнить классическое уравнение Фридмана, так что в итоге можно исключить классическую сингулярность [41].

В соответствии с настоящими данными [50], в уравнении состояния Вселенной, описывающем связь давления p с плотностью материи р, его

индекс w = p/p возможно пересекает значение w = — 1. Но одно скалярное поле материи не может реализовать такое явление, это запрещено "no-go"теоремой [48], таким образом, теории со многими полями вызывают большой интерес, особенно, интегрируемые модели [46] .

Вселенная как замкнутая система не только образуется квантовыми элементами, но и она сама в целом является квантовым объектом на ранних этапах. Таким образом, Вселенная является типичным объектом для изучения квантования замкнутой системы, особенно потерь когерентности [24].

Рис. 1: Схема квантовой гравитации

С другой стороны, активно развиваются некоторые обобщения квантовой механики. Бендер К. (C. Bender), Мустафазаде А. (A. Mostafazadeh) со своими соавторами исследовали возможность неэрмитовой квантовой теории [34,35], которая утверждает что эрмитовость не является обязательным условием вещественности спектров энергий в квантовой механике. Эта теория одновременно дает возможность изменить точку зрения на проблему стабильности, например, Гамильтониан с потенциалом V = —x4 в PT-симметричной теории имеет положительный дискретный спектр энергии, и, самое удивительное, авторы показывают, что неэрмитова квантовая механика может иметь вещественный спектр как эрмитова теория, например, теория с потенциалом V = ix3. Такая идея может пролить свет на решение проблемы фантомной материи с индексом уравнения состояния w < — 1.

Степень разработанности темы исследования. Квантовая космология является применением квантовой теории ко Вселенной в целом [11,18,25,29]. Несмотря на то, что много исследователей сделали большие

вклады в создание квантовой космологии [19], официальная история модели должна начитаться с определения главного динамического уравнения, т.е. уравнения Уилера-ДеВитта, которое получено в 1967-1968 годах в пионерских работах ДеВитта и Уилера [22,23]. В своей работе Б. Де-Витт применил каноническое квантование к замкнутой Вселенной Фридмана с веществом, которое не описывается фундаментальным полем. Это первая модель квантовой космологии в минисуперпространстве. Мини-суперпространтво (сокращенно МСП), это - общее название для космологической модели с конечным числом степеней свободы. Центральным объектом интереса в квантовой космологии является волновая функция замкнутой Вселенной, которая инвариантна относительно трехмерных диффеоморфизмов и удовлетворяет уравнению Уилера-ДеВитта.

После начальных попыток нескольких авторов, в квантовой космологии некоторое время, в 1970-х годах, было затишье . Однако, она была снова активизирована в 1980-х годах после работ Джеймса Хартля, Стивена Хокинга и Александра Виленкина. Как и любое функциональное дифференциальное уравнение, уравнение Уилера-ДеВитта имеет бесконечное число решений. Чтобы получить единственное решение, необходимо задать некоторые граничные условия в суперпространстве, поэтому вопрос о выборе соответствующих граничных условий на волновую функцию Вселенной стоит очень серьезно. Идея заключается в том, что такие граничные условия должны описать возникновение Вселенной из ничего, где ничего означает отсутствие пространства и времени. Двумя основными кандидатами являются предложение Хартля и Хокинга без границ и туннельное предложение, сделанное Виленкиным [14].

Происхождение неэрмитовых теорий имеет разные корни [1,32,33], но они становятся актуальными только при осуществлении в моделях РТ-симметрии[34]. Бендер со своими коллегами показали, что вещественность спектров связана с принципом симметрии относительно отражения пространства-времени, и они утверждали, что этот принцип симметрии может заменить обычное требование эрмитовости Дирака. Мустафа-заде предложил другой подход, введя понятие псевдо-эрмитовости. Он показал, что все РТ-симметричные теории являются Р-псевдо-эрмитовыми, т.е. РТ-теория принадлежит к одному из классов псевдо-эрмитовой теории. Центральный вопрос псевдо-эрмитовой теории состоит не только в доказательстве вещественности спектра, но и в нахождении метрического оператора, с помощью которого можно построить норму и эквивалентную эрмитову теорию.

Цели и задачи диссертационной работы. В настоящей работе, мы рассматриваем космологию скалярных полей материи с потенциалами типа Лиувилля, и её квантование в подходе геометродинамики, в котором космологическое состояние описывается уравнениями Уилера-ДеВитта.

В приближении минисуперпространства квантуется метрика Фридмана - Робертсона - Уокера. Построена модель нескольких скалярных полей с потенциалами Лиувилля и кинетическими членами, в которые включено специальное смешивание такое, что в конечном итоге можно разделить переменные в уравнении Уилера-ДеВитта и найти его точные решения в терминах специальных функций.

В рамках РТ-симметричной теории, также рассмотрена модель с двумя типами полей, в которой одно из полей имеет неэрмитово, но РТ-симметричное действие. Мы называем такое поле РТ-омом. Используя технику общей псевдоэрмитовой теории, показано, что космология двух скалярных полей с РТ-омом имеет вещественный спектр энергии.

Научная новизна. В настоящей работе была впервые построена интегрируемая модель космологии с несколькими скалярными полями, потенциалы которых являются экспоненцильными функциями. В работе предложен интеграл движения как калибровочное условие, получена траектория в минисуперпространстве, с которой можно прямо сравнить Гауссовский пакет.

Впервые было проведено исследование РТ-симметричной теории в квантовой космологии для решения проблемы фантома в рамках гео-метродинамики. Получено, что РТ-симметричная космология имеет вещественный спектр энергии.

Методология и методы исследования. Исследования, составляющие диссертацию, проводились методами геометродинамики в приближении минисуперпространства и псевдо-эрмитовой квантовой механики. Первый метод позволяет интегрировать уравнение Уилера-ДеВитта, рассмотреть космологическую сингулярность и до-инфляционые условия; второй позволяет исследовать неэрмитовую квантовую космологию, получить вещественный спектр энергий Вселенной. Подробное изложение см. в главе 1.

Положения, выносимые на защиту:

• Используя интегралы движения на связях как калибровочные условия, решены уравнения Фридмана с тремя типами полей Лиувил-ля. Решения являются траекториями в МСП, которые неявно зависят от времени. Полученные решения сопоставлены с волновыми пакетами в квантовой теории.

• Построена интегрируемая модель с несколькими скалярными полями, при помощи специальной кинетической матрицы, которая обеспечивает возможность разделения переменных. Для этой модели получены решения уравнения Уилера-ДеВитта в терминах специальных функций.

• Для описания периода эволюции Вселенной с индексом уравнения состояния меньше -1, применена идея PT-симметрии: рассмотрена квантовая геометродинамика с двумя типами скалярных полей, одно - типа квинтэссенции, другое - типа РТома. Показано, что для периодических граничных условий, спектр энергий вещественный.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 2 печатных работах из списка ВАК, докладывались и обсуждались на 4 международных конференциях:

Публикации:

1. Andrianov A. A., Novikov O. O., Lan Chen. Quantum cosmology of multi field scalar matter: Some exact solutions[J]. Theoretical and Mathematical Physics, 2015, 184(3): 1224-1233.

Theoretical and Mathematical Physics, 2015, 184(3): 1224-1233.

2. Andrianov A. A., Lan Chen, Novikov O. O.. PT-Symmetric Classical and Quantum Cosmology// In: Non-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics. Springer Proceedings in Physics 184, 2016: 29-44.

Springer Proceedings in Physics 184, 2016: 29-44.

Доклады на конференциях:

1. 2016. «QUARKS-2016». 19th International Seminar on High Energy Physics. (Dropbox link): PDF talk

2. 2015. 15th International Workshop on Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics. (PHHQP'15): PDF talk

3. 2015. 5th International Conference "Models in Quantum Field Theory", dedicated to Alexander Nikolaevich Vasiliev. (MQFT-2015): Timetable

4. 2014. International Conference dedicated to the Yu.V. Novozhilov's 90-th anniversary. In Search of Fundamental Symmetries. (Novozhilov-90): PDF talk

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Все представленные в диссертации результаты получены авторам самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя введение, 4 главы основного текста, заключение и приложение. Объем диссертации составляет 81 страниц, включая 26 рисунок. Список литературы содержит 52 источник.

Глава 1

Геометродинамика и неэрмитова теория

Целью данной диссертации является изучение квантовой космологии с несколькими скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории.

Квантование здесь проводится в рамках геометродинамики Джона Уилера, т.е. каноническим методом, в котором построен гамильтониан до квантования. Как динамика частиц действует в области четырехмерного пространства-времени, так и геометродинамика действует в суперпространстве трехмерных метрик, см. Рис. (1.1).

Квантовая геометродинамика является невозмущенной теорией, отличающейся от теории возмущений и теории струны. Кроме того, поскольку физическими объектами этой теорий являются трехмерные геометрии, представляющиеся метриками 3-мерных гиперповерхностей, поэтому она отличается от петлевой квантовой гравитации, в которой каноническими переменными являются голономии , см. Рис.(1).

Рис. 1.1: 3-мерные геометрии в суперпростантве [23]

1.1 Теория относительности как калибровочная теория

Гравитационная система является калибровочной теорией, в которой существует феномен нулевого гамильтониана, см. напр. [27,29]. Суть этого явления заключается в том, что в гравитационной системе существует нединамическая симметрия, называемая инвариантностью относительно диффеоморфизмов, т.е., действие системы

5 =

1

/+ вийасе гегш

+ J d х4р—д С

2{, (и)

не меняется при преобразованиях диффеоморфизмов. Нединамическая симметрия по сравнению с динамической симметрией, которая приводит к инвариантной величине, дает нам лишь тождество. Чтобы понять это утверждение, рассмотрим инфинитезимальное преобразование диффеоморфизма

дм! дГ + (1.2)

где £^дм - производная Ли метрики по направлению векторного поля £, при этом преобразовании инвариантность действия приводит к тождеству Бьянки

V = о (1.3)

В АДМ (Арновитт-Дезер-Мизнер)-формализме, это эквивалентно одной связи в форме гамильтониана (1.12) и трем связям в форме импульса (1.13). Такое явление встречается уже в классической механике [12,45]. Когда система

5 = у d£L{q,q) (1.4)

инвариантна относительно перепараметризации времени £ ! £ + е{Ь), тогда из вариации действия

0 = 5 Б = Le

/ Ч ВХМ X" - Т "

^ - т I dt ( —Xм - Т ) " (1.5)

получается, что полный гамильтониан равен нулю.

ВТ

Н = —Xм - Т = 0 (1.6)

t

Слагаемое на поверхности в действии (1.1) носит название член Гиббонса-Хокинга-Йорка. Оно необходимо, поскольку предположение 5дру = 0 на поверхности недостаточно, чтобы уничтожить поверхностный вклад, т.к. в него входит не только 5дру, но и 5(дадру)

^ = - IАах (дд - дЛу д )г 5д-в (1.7)

где

Г5дар = ду5да(3 - Граи5др(3 - Гву5дар (1.8)

Добавка поверхностного слагаемого сокращает эту часть и обеспечивает корректную вариационную задачу.

1.2 Геометродинамика, АДМ-формализм

Геометродинамика изучает динамику 3-мерных геометрий в конфигурационном пространстве, которые образуют суперпространство [11,12,1421,39]. Чтобы выделить 3-геометрии из 4-мерного пространства в рамках теории относительности, нужно сначала переписать теорию Эйнштейна в так называемым АДМ-формализме, т.е. расслоить пространство-время на совокупность пространственно-подобных 3-хмерных гиперповерхностей с t = const, см. Рис.(1.2).

Рис. 1.2: АДМ-формализм [29]

Формально, для этого нужно записать метрику в следующем виде

= N2 &г2 - нгз (ах + нг а£)(ах" + N (1.9)

где N - функция хода, тогда N № является ходом собственного времени между верхними и нижними гиперповерхности, Nг - функция сдвига, она дает соответствие между двумя точками на гиперповерхностях, а

- трехмерная метрика. Таким образом, действие Эйнштейна-Гильберта переписывается в виде

1

^ЕН =

2{

¿г N

саШкаЪкС(1 + Рн(3) я

с

аЪс(

метрика Де-Витта. Альтернативно,

^ЕН =

1

2{

¿г ¿3х

раЪНаЪ - NН± - N°Н,С

(1.10)

(1.11)

Из действия хорошо видно, что динамические переменные являются метриками Зхмерных геометрий и их сопряженными импульсами, а гамильтонианы Н± и На являются связями,

Н = 2{СаЪс(РаЪрЫ - (3)я « 0

На = -2ЛърЪ

2{ 0

(1.12) (1.13)

Практически, когда мы проквантуем эту систему в каноническом формализме, мы получим бесконечномерные уравнения из-за того, что метрика, вообще говоря, имеет разные величины в разных точках пространства. Поэтому решать квантовые уравнения, т.е.

Ш Ф =

2

— 2{~ СаЪс(

52

л/Н

5Наь5Нс( 2{

((3)я)

Ф = 0

~ 5Ф

На Ф = -2ВаНас ~ = 0 1 дкъс

(1.14)

(1.15)

реально невозможно, потому что вышеприведенные функциональные уравнения - бесконечномерные.

Здесь, первое уравнение Ед.(1.14) называется уравнением Уилера-ДеВитта, второе Ед.(1.15) называется связью квантового импульса или связью диффеоморфизма, которая гарантирует, что волновой функционал Ф инвариантен относительно Зхмерного координатного преобразования.

1.3 Первичное квантование континуальной системы

Трудности мы уже встречаем при квантовании континуальнной системы [52]. Давайте рассмотрим такой пример, первичное квантование скаляр-

ного поля. Гамильтонианом системы является

н = | ¿х3 2 + 2(ГФ)2 + V(ф^ (1.16)

затем превратим все переменные в операторы, которые образуют некоторую алгебраическую структуру, и эти операторы имеют дифференциальное представление

7г(х) ! , Ф(х) ! Ф(х) (1.17)

Однако, если используем эти операторы для построения уравнения Шре-дингера, получим бесконечномерное (функциональное) дифференциальное уравнение, потому что ф - функция, зависящая от координат, т.е. в каждой точке мы имеем одну динамическую переменную, и, вообще говоря, значения поля - разные в разных пространственных точках. Таким образом, конфигурационное пространство континуальной системы является бесконечномерным. Кроме того, с (Гф)2 как потенциалом нелегко разбираться. Все это определяет вторичное квантование.

Это то, что случается, когда квантуем гравитационую систему по схеме канонического квантования, потому что метрики как динамические переменные являются континуальными относительно х. Однако, наряду с вторичным квантованием, развивалась и другая, упрощенная схема, которая известна как приближение минисуперпространства. В соответствии с этим подходом, мы не квантуем на всем конфигурационном пространстве, но на его части при наложении некоторой симметрии. Для скалярного поля, мы реализуем приближение минисуперпространства, предполагая, что поле является пространственно однородным, тогда гамильтониан упрощается

Н = 2 ^ + V (ф) (1.18)

Самое важное, что теперь размерность конфигурационного пространства оказывается конечной. Тогда уравнение Шредингера становится

1 2

- о + V(ф)

Ф(ф) = Л2Ф(ф) (1.19)

1.4 Приближение минисуперпространства

В космологии подробную идею реализуют, налагая требование наибольшей симметричности метрики, однородности и изотропности распреде-

ления материи, т.е. метрика имеет вид

¿й2 = N2 ¿г2 - а2 ¿X ¿X (1.20)

где 'Уц - метрика 3-сферы, 3-плоскости или 3-гиперболоида. а = ехр(а) -масштабный фактор, а поле ф - лишь функция времени. Тогда действие Вселенной с одним скалярным полем можно записать так,

5=/ ^ (-{N2+1 N2 - ^ (ф)) (121)

Используя канонические импульсы

Ра = --е3а N, РФ = е3а N, РN = 0 (1.22)

{ N N

построим гамильтониан

Н = Nе~3а ✓-+ 1"2

( -12 Ра + 2РФ + V (ф)е6^ = 0 (1.23)

Чтобы проквантовать систему, превращаем импульсы в операторы

Ра ! -1~@а, РФ ! -1~@ф (1.24)

и тогда получим уравнение Уилера-ДеВитта

€ - у@ф + V(ф)е6а) Ф(а, ф) = 0 (1.25)

Для произвольного потенциала, это уравнение не всегда интегрируемо, поэтому, как пример, мы рассмотрим разложение потенциала в окрестности заданной классической конфигурации ф

V(ф) - V + V (ф - фо) + ^(ф - ф)2 + ... (1.26)

так что уравнение сокращается до

@а - |@Ф + К,е6а) Ф(а, ф) = 0 (1.27)

затем подставим следующий анзац

ф(а, ф) = е~Фрф/(а) (1.28)

получим

р 2

(1.29)

Для V < 0, мы имеем следующую комбинацию решений

/ (а) = е1К,( ~ е3<>) + С21,( ~ .^е3«) (и°)

где

Учитывая граничное условие ограниченности волновой функции при а ! ±1, уберем одно из них, и построим полное решение, используя форму волнового пакета

1.5 РТ-симметричная квантовая механика

РТ-симметричная квантовая механика является обобщением эрмитовой квантовой теории. Известно, что в эрмитовой теории все наблюдаемые величины соответствуют эрмитовым операторам. Такое предположение обеспечивает вещественность спектров, т.е. вещественность наблюдаемых величин. Однако существует такой класс систем, у которых гамильтонианы неэрмитовы, но спектры их - вещественные [32,36] . Например,

Этот гамильтониан неэрмитов, но при РТ-преобразовании (отражении пространства и времени) не меняется, т.е.

Для вещественной энергии Е, классическое решение имеет вид Рис.(1.3).

с\ с\

Н = р + х + 1х

(1.33)

РхР = -х, тгт = -г, Т\Т = -1, РТрРТ = р (1.34)

„ О х

е

-2

-4

Рис. 1.3: Классическая траектория в комплексной плоскости для различных начальных условий х0 при Е = 1

Легко проверить, что спектр остается вещественным на вещественной оси, т.е. Еп = 2п + 5/4, Рис.(1.4). Волновые функции имеют вид

фо ф\

е 2

е-2х(х+1)(2х + 1

(1.35)

8 _______/

_______6

____4 _____

-4 -2 2 4

8 ---/■

в /

\ /

4 /

\ /

2 / ~

-^ -4 -2 ^- 2 4

Рис. 1.4: Энергетические уровни с волновыми функциями. Слева - Н = р2 + х2, справа - ( .3 ).

Однако здесь появляется некоторая проблема - проблема ортогональности. Напомним, что ортогональность в эрмитовой теории опре-

деляется в следующем виде, Рис.(1.5)

¿х фп фт — $пт

Таким образом, имеем

¿х фофо — / ¿х ф1фг — 1

но

¿х ф оф —

¿х фОф —

л/3' У г1ги л/3' Это значит, что ортогональность нарушается.

(1.36)

(1.37)

(1.38)

Рис. 1.5: Ортогональность. Слева - ( .36), справа -( .3 ).

Чтобы восстановить ортогональность, необходимо переопределить соотношение ортогональности

¿х ^С фи — $пт

где

фР — РТфтРТ, С — (-1)

(1.39)

(1.40)

Можно проверить, что

ф — -^е-1 (2ж+1):

Ф1 —

^е-8(2^)2 | х + -

(х+2)

(1.41)

эо

п

действительно образуют ортогональный базис, Рис.(1.5). Это представляет собой соотношение СРТ-ортогональности.

Еще существует одна проблема - так называемая проблема соответствия. Построим ВКБ-анзац

ф™ — А(х) ехр

т ^о(х)

(1.42)

А - амплитуда, а обычно считается как фаза, они все вещественны в обыкновенной квантовой механике, но в РТ-теориях сразу возникает вопрос: является ли вещественная фаза квазиклассическим действием системы (1.33)?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте подставим ВКБ-анзац в уравнение Шредингера,

- ~2@Хф + (х2 + 1х)ф — Еф (1.43)

получим

50(х)2 + х2 - Е — 0 (1.44)

- 2ША/(х)5'0(х) - ША(х)£о (х) + 1хА(х) — 0 (1.45)

и их решения при х2 < Е

(х) — ±-х\!Е — х2 ± -Е аге1ап | . х Л

К ' 2 У 2 Чл/Е-х2 У

А(х) — —. С1 ехр ( ) р

л/Е - х2 2~

(1.46)

Как видно, совпадает с действием вещественного гармонического осциллятора, поэтому дЕ5 — 0, где 5 — $о + Ег, даст лишь траекторию осциллятора, и она -вещественная. Это значит, что вещественная фаза $о не является квазиклассическим действием системы (1.33). Проблема в том, что в РТ-теориях мы должны допускать комплексный ВКБ-анзац, т.е. теперь "фаза"$о - не вещественная, а, вообще говоря, комплексная. А именно, показатель экспоненты -^Ер- из функции А(х) должен быть добавлен в действие (с мнимой единицей). Соответственно, экстремум действия находится в комплексной плоскости координаты.

1.6 Псевдо-эрмитовая теория

РТ-симметричная неэрмитовая теория в предыдущем разделе принадлежит к классу псевдо-эрмитовых теорий. По определению, гамильтониан является псевдо-эрмитовым, если существует линейный эрмитовый оператор !, такой что

= H (1.47)

кроме того, если ! еще и положительно определенный, тогда можно построить эквивалентный эрмитовый гамильтониан

h = pH р-1, ! = р2 (1.48)

здесь hh = h и р - положительный эрмитовый оператор. Согласно этому определению, РТ-симметричный неэрмитовый гамильтониан является псевдо-эрмитовым оператором с ! = P, т.е.

H = PTHPT = PH*P = PH]P (1.49)

Однако, c одной стороны, для псевдо-эрмитового гамильтониана, ! не единственный оператор; с другой стороны, P - не положительно определенный оператор, это значит что у него не существует положительного эрмитового корня для построения эквивалентной эрмитовой теории. Поэтому нахождение подходящего оператора ! является главной задачей в псевдо-эрмитовой теории [33].

Вернемся в наш пример (1.33) с небольшим изменением

H = p2 + x2 + 2iax, a > 0,x,p 2 R. (1.50)

Поскольку гамильтониан PT-симметричный, отражение пространства служит как оператор т.е.

PHP = p2 + x2 - 2iax = Hf (1.51)

однако, как мы упоминали, P не имеет положительно определенного корня и мы должны искать другой вариант. Такой оператор является просто сдвигом ! = e2ap, при этом

e2apHe-2ap = H + 2a[p, H] + 2a2 [p, [p, H]]

= p2 + x2 + 2iax + 2a[p, x2 + 2iax] + 4a2[p, [p, x2]]

0 0 0 0 = p + x + 2iax — 4iax + 4a — 4a

= p2 + x2 — 2iax = H (1.52)

это то, что нам подходит, потому что ^ = e2ap положительно определен, и его корень р = eap также хорошо определяется. Это значит, мы можем построить эквивалентный эрмитовый оператор

h = eapHe-ap = p2 + x2 + a2 (1.53)

1.7 Темная энергия, проблема сингулярности

Темная энергия введена в современную космологию ради объяснения расширения вселенной с ускорением. Она классифицирована по поведению параметра уравнения состояния в рамках классической теории поля:

• Космологическая константа с постояным w = —1

• Квинтэссенция с динамическим, но ограниченным w > —1

• Фантом с динамическим, но ограниченным w < —1

• Квинтом с динамическим w имеет шанс перехода через линию w = —1

Последние экспериментальные данные из PLANCK, Рис.(1.6) указывают на значение w ~ —1, т.е. w может со временем двигаться в область w > —1 или w < —1, через линию w = —1.

Однако, w < —1 означает нарушение изотропного условия энергодоминантности (NEC) р + p > 0, следовательно приводит к нарушению стабильности. Это иногда носит название - проблема фантома. В серии работ [3, 4, 8] авторы привлекли РТ-симметричную теорию к решению этой проблемы в классических рамках. В данной диссертации, мы попытаемся расширить эту идею на квантовую теорию.

Рис. 1.6: Эмпирическое описание индекса т = т0 + та(1 — а) + 0[(1 — а)2], а < 1 соответствует прошлому, а а > 1 - будущему. [50]

Рис. 1.7: Условия энергодоминантности: WEC - weak energy condition, NEC - null energy condition, DEC - dominant energy condition, NDEC - null dominant energy condition, SEC - strong energy condition, and the condition w > — 1 .[47]

Глава 2

Модель космологии с метрикой ФРУ и одним скалярным полем

Классическая теория с одним полем Лиувилля как интегрируемая модель изложена в учебниках, напр. [46], историю этой модели см. в работах [9,26]. Однако изложение ее в этом разделе приведено не только из соображения цельности изложения, но и для того, чтобы показать решения в альтернативных калибровках. Кроме того, допуская А^), зависящее от температуры вселенной T, исследованы динамические модели с А^) ! 0 при T ! 0. Рассмотрены также квазиклассические пределы ~ ! 0 волновых функций и построены гауссовские волновые пакеты для того, чтобы сопоставить их с классическими траекториями.

2.1 Формулировки моделей

Мы рассмотрим сначала двумерную геометродинамику для космологии одного поля с минимальной связью. Поля с потенциалом Лиувилля в космологии имеют три типа: квинтэссенция, обозначается символом ф , фантом, обозначается символом а и РТ-ом, обозначается Соответствующие лагранжианы имеют вид

=^ (-{N2+А - (.1) ={# - А - ^еА-) (22)

= ^ (-{N + ^ - Vе'Ах) (2.3)

Все параметры, входящие в лагранжианы - вещественные.

На первый взгляд, требование вещественности классического космологического фактора дает нам чисто мнимый х для РТ-ома (с произвольной константой 2иж/Х для вещественной части ) , однако, поскольку лагранжиан имеет РТ-симметрию, то х - не просто фантом, продолженный на мнимую ось, он - уже не скаляр, а псевдоскаляр. Кроме того, в силу периодичности комплексного потенциала Лиувилля, можно наложить периодическое граничное условие, так что в квантовой теории возникнет дискретный спектр, это является вторым отличием РТ-ома от фантома.

Для квинтэссенции, уравнения Эйлера — Лагранжа Уравнение Фридмана:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чэнь Лань, 2016 год

Литература

Работы Руководителя по теме дисертации

[1] Andrianov A A. The large N expansion as a local perturbation theory[J]. Annals of Physics, 1982, 140(1): 82-100. 6

[2] Andrianov A A, Cannata F, Kamenshchik A Y. Smooth dynamical crossing of the phantom divide line of a scalar field in simple cosmological models[J]. Physical Review D, 2005, 72(4): 043531.

[3] Andrianov A A, Cannata F, Kamenshchik A Y. Complex Lagrangians and phantom cosmology[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 2006, 39(32): 9975. 21

[4] Andrianov A A, Cannata F, Kamenshchik A Y. Phantom universe from CPT symmetric QFT[J]. International Journal of Modern Physics D, 2006, 15(08): 1299-1310. 21

[5] Andrianov A A, Cannata F, Kamenshchik A Y, et al. Reconstruction of scalar potentials in two-field cosmological models[J]. Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, 2008, 2008(02): 015.

[6] Andrianov A A, Cannata F, Kamenshchik A Y, et al. Two-field cosmological models and large-scale cosmic magnetic fields[J]. Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, 2008, 2008(10): 019.

[7] Andrianov A A, Cannata F, Kamenshchik A Y, et al. Cosmology of non-Hermitian (C) PT-invariant scalar matter[C]//Journal of Physics: Conference Series. IOP Publishing, 2009, 171(1): 012043.

[8] Andrianov A A, Cannata F, Kamenshchik A Y, et al. Phantom cosmology based on PT symmetry[J]. International Journal of Modern Physics D, 2010, 19(01): 97-111. 21

[9] Andrianov A A, Cannata F, Kamenshchik A Y. General solution of scalar field cosmology with a (piecewise) exponential potential[J]. Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, 2011, 2011(10): 004. 23

[10] Andrianov A A, Cannata F, Kamenshchik A Y. Remarks on the general solution for the flat Friedmann universe with exponential scalar-field potential and dust[J]. Physical Review D, 2012, 86(10): 107303.

Геометродинамика Обзорные статьи

[11] Halliwell J J. Introductory lectures on quantum cosmology[J]. "Introductory lectures on quantum cosmology., by Halliwell, JJ. Massachusetts Inst. of Tech., Cambridge (USA). Center for Theoretical Physics, Mar 1990, 54 p., in "Proceedings of the Jerusalem Winter School on Quantum Cosmology and Baby Universes"edited by T. Piran, 1990.1990, 1. 5, 12

[12] Barvinsky A O. Unitarity approach to quantum cosmology[J]. Physics Reports, 1993, 230(5-6): 237-367. 11, 12

[13] Халатников И М, Каменщик А Ю. Сингулярность, начальные условия и квантовое туннелирование в современной космологии [J]. Успехи физических наук, 1998, 168(6): 593-611. 12, 69

[14] Wiltshire D L. An introduction to quantum cosmology[J]. arXiv preprint gr-qc/0101003, 2000. 6, 12

[15] Barvinsky A O. Quantum cosmology at the turn of millennium[J]. arXiv preprint gr-qc/0101046, 2001. 12

[16] Carlip S. Quantum gravity: a progress report[J]. Reports on Progress in Physics, 2001, 64(8): 885. 12

[17] Халатников И М, Каменщик А Ю. Лев Ландау и проблема сингу-лярностей в космологии[J]. Успехи физических наук, 2008, 178(6): 639-647. 12

[18] Kiefer C, Sandhoefer B. Quantum cosmology[J]. arXiv preprint arXiv:0804.0672, 2008. 5, 12

[19] Kiefer C. Quantum geometrodynamics: whence, whither?[J]. General Relativity and Gravitation, 2009, 41(4): 877-901. 6, 12

[20] Каменщик А Ю, Проблема сингулярностей и хаос в космологии[J]. Успехи физических наук, 2010, 180: 313-322. 12

[21] Bojowald M. Quantum cosmology: a review[J]. Reports on Progress in Physics, 2015, 78(2): 023901. 4, 12

Исторический след

[22] DeWitt B S. Quantum theory of gravity. I. The canonical theory[J]. Physical Review, 1967, 160(5): 1113. 6

[23] Wheeler J A. Superspace and the Nature of Quantum Geometrodynamics[J]. pp 615-724 of Topics in Nonlinear Physics. Zabusky, Norman J.(ed.). New York, Springer-Verlag New York, Inc., 1968., 1969. 6, 10

[24] Gell-Mann M, Hartle J B. Quantum mechanics in the light of quantum cosmology[J]. Complexity, entropy and the physics of information, 1990, 8. 5

[25] Vilenkin A. Approaches to quantum cosmology[J]. Physical Review D, 1994, 50(4): 2581. 5

[26] Dabrowski M P, Kiefer C, Sandhoefer B. Quantum phantom cosmology[J]. Physical Review D, 2006, 74(4): 044022. 23

[27] Barvinsky A O, Kamenshchik A Y. Selection rules for the Wheeler-DeWitt equation in quantum cosmology[J]. Physical Review D, 2014, 89(4): 043526. 11

[28] Calcagni G, Kiefer C, Steinwachs C F. Quantum cosmological consistency condition for inflation[J]. Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, 2014, 2014(10): 026. 4

Монографии

[29] Kiefer C. Quantum Gravity 2nd[M]. Oxford University Pres, 2007. 5, 11, 12

[30] Montani G, Battisti M V, Benini R and Imponente G. Primordial cosmology[M]. World Scientific, Singapore, 2011.

[31] Linde A D. Inflation and quantum cosmology[M]. Elsevier, 2012. 4

Неэрмитова Квантовая Механика Обзорные статьи

[32] Bender C M. Making sense of non-Hermitian Hamiltonians[J]. Reports on Progress in Physics, 2007, 70(6): 947. 6, 16

[33] Mostafazadeh A. Pseudo-Hermitian representation of quantum mechanics[J]. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, 2010, 7(07): 1191-1306. 6, 20

Исторический след

[34] Bender C M, Boettcher S. Real spectra in non-Hermitian Hamiltonians having P T symmetry[J]. Physical Review Letters, 1998, 80(24): 5243. 5, 6

[35] Mostafazadeh A. Pseudo-Hermiticity versus PT symmetry: the necessary condition for the reality of the spectrum of a non-Hermitian Hamiltonian[J]. Journal of Mathematical Physics, 2002, 43(1): 205-214. 5

[36] Curtright T, Mezincescu L. Biorthogonal quantum systems[J]. Journal of Mathematical Physics, 2007, 48(9): 092106. 16

[37] Bender C M, Hook D W, Meisinger P N, et al. Probability density in the complex plane[J]. Annals of Physics, 2010, 325(11): 2332-2362.

Монография

[38] Moiseyev N. Non-Hermitian quantum mechanics[M]. Cambridge University Press, 2011.

Космологические Сингулярности

[39] Халатников И М, Каменщик А Ю. Сингулярность, начальные условия и квантовое туннелирование в современной космологии [J]. Успехи физических наук, 1998, 168(6): 593-611. 12, 69

[40] Nojiri S, Odintsov S D, Tsujikawa S. Properties of singularities in the (phantom) dark energy universe[J]. Physical Review D, 2005, 71(6): 063004. 4

[41] Kamenshchik A Y. Quantum cosmology and late-time singularities[J]. Classical and Quantum Gravity, 2013, 30(17): 173001. 4

[42] Stefancic H. Expansion around the vacuum equation of state: Sudden future singularities and asymptotic behavior[J]. Physical Review D, 2005, 71(8): 084024. 72

Другая Литература

[43] Balogh C B. Asymptotic expansions of the modified Bessel function of the third kind of imaginary order[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1967, 15(5): 1315-1323.

[44] Olver F W J. Asymptotics and special functions[M]. Academic press, 1994.

[45] Fulop G, Gitman D M, Tyutin I V. Reparametrization invariance as gauge symmetry[J]. International journal of theoretical physics, 1999, 38(7): 1941-1968. 11

[46] Liddle A R, Lyth D H. Cosmological inflation and large-scale structure[M]. Cambridge University Press, 2000. 5, 23

[47] Carroll S M, Hoffman M, Trodden M. Can the dark energy equation-of-state parameter w be less than —1?[J]. Physical Review D, 2003, 68(2): 023509. 22

[48] Cai Y F, Saridakis E N, Setare M R, et al. Quintom cosmology: theoretical implications and observations[J]. Physics Reports, 2010, 493(1): 1-60. 5

[49] Aad G, Abajyan T, Abbott B, et al. Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC[J]. Physics Letters B, 2012, 716(1): 1-29. 4

[50] Ade PAR, Aghanim N, Arnaud M, et al. Planck 2015 results. XIV. Dark energy and modified gravity[J]. arXiv preprint arXiv:1502.01590, 2015. 4, 22

[51] Abbott B P, Abbott R, Abbott T D, et al. Observation of gravitational waves from a binary black hole merger[J]. Physical review letters, 2016, 116(6): 061102. 4

[52] Bojowald M, Brahma S. Minisuperspace models as infrared contributions[J]. Physical Review D, 2016, 93(12): 125001. 13