Интегральные представления электромагнитного поля тонкопроволочных излучающих структур с различными типами симметрий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Морозов Сергей Владимирович

• Морозов Сергей Владимирович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Морозов Сергей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ОДИНОЧНОЙ ТОНКОПРОВОЛОЧНОЙ СТРУКТУРЫ

1.1 Основные определения

1.2 Основные формы интегральных представлений электромагнитного поля

1.3 Сингулярные интегральные представления

электромагнитного поля

1.4 Интегральное представление электромагнитного поля

одиночной тонкопроволочной структуры

1.5 Дискретизация интегрального представления электромагнитного поля одиночной

тонкопроволочной структуры

1.6 Алгоритмы расчета весовых функций

1.7 Основные итоги главы

ГЛАВА 2. ТОНКОПРОВОЛОЧНЫЕ СТРУКТУРЫ

ОБЩЕГО ВИДА

2.1 Решение внешней и внутренней электродинамических задач

2.2 Дискретизированное интегральное представление электромагнитного поля и система линейных

алгебраических уравнений

2.3 Математическая модель планарного вибратора

2.4 Результаты численного моделирования

2.5 Основные результаты главы

ГЛАВА 3. ТОНКОПРОВОЛОЧНЫЕ СТРУКТУРЫ

С ОДИНОЧНОЙ СИММЕТРИЕЙ

3.1 Интегральное представление электромагнитного поля

3.2 Поворотно-симметричные структуры

3.3 Зеркально-симметричные структуры

3.4 Общая формулировка решения внутренней и внешней электродинамических задач

3.5 Дискретизированное интегральное представление электромагнитного поля и совокупность независимых

систем линейных алгебраических уравнений

3.6 Математические модели

тонкопроволочных вибраторов

3.7 Результаты численного моделирования

3.8 Основные результаты главы

ГЛАВА 4. ТОНКОПРОВОЛОЧНЫЕ СТРУКТУРЫ

С ДВОЙНОЙ СИММЕТРИЕЙ

4.1 Решение внешней и внутренней электродинамических задач

4.2 Дискретизированное интегральное представление электромагнитного поля и совокупность независимых

систем линейных алгебраических уравнений

4.3 Математические модели спиральных излучателей

4.4 Результаты численного моделирования

4.5 Основные результаты четвертой главы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Математический аппарат электродинамики является мощным инструментом для исследования процессов излучения и дифракции электромагнитных волн. На его основе можно строить математические модели излучающих и переизлучающих структур различного уровня сложности. Естественно, что первыми появились наиболее простые математические модели, опирающиеся на физику происходящих в электродинамических системах процессов, описывающихся в данном случае в довольно грубых приближениях. В дальнейшем происходило постепенное усложнение моделей, появление все более строгих методов расчета электродинамических структур, но серьезный качественный скачок в увеличении сложности моделей произошел только в конце двадцатого века, и он был тесно связан с резким увеличением вычислительных мощностей ЭВМ. История развития вычислительной электродинамики показала, что построение моделей излучающих и переизлучающих структур является очень нетривиальной задачей, и «прямое» решение многих электродинамических задач даже на современном уровне развития вычислительных технологий представляется затруднительным, а зачастую и невозможным. Под прямым решением будем понимать решение с использованием соответствующих методов [1]. Таким образом, построение эффективных электродинамических моделей предполагает серьезное привлечение аналитических приемов, позволяющих преодолеть недостатки численных методов.

Потребность в эффективных и корректных математических моделях на сегодняшний день очень высока. Если говорить об излучающих структурах, то сейчас существует множество типов антенн: вибраторные, рамочные, щелевые, спиральные, рупорные, зеркальные, линзовые и т.д. Данные излучающие структуры используются не только в качестве самостоятельных антенн, но и как образующие элементы сложных антенных систем. Более того, эксперименты с геометрией излу-

чающих структур приводят к появлению новых типов антенн. В настоящее время разработчики, следуя опыту природы, конструируют антенные системы, используя фрактальный принцип самоподобия [2, 3]. Такие антенны имеют «сгущенные» частотные диапазоны и очень мощную спектральную структуру с большим числом резонансных частот.

Развитие антенной техники происходило как в направлении поиска новых типов геометрии излучателей и приемников, так и в направлении применения все более новых типов материалов. Последнее можно отнести и ко всей технике СВЧ в целом. И если в прошлом веке наиболее характерным является использование материалов естественного происхождения, с известными электродинамическими характеристиками (металлы, диэлектрики, полупроводники, ферриты и т.д.), то в настоящее время все более популярными становится идея синтеза материалов с заранее заданными свойствами: диэлектрической и магнитной проницаемостью в заданной полосе частот, определенными параметрами анизотропии и т.д. Подобный подход позволяет получать материалы со свойствами, отсутствующими или крайне редко встречающимися в природе. Такие материалы называются ме-таматериалами [4, 5, 6]. Метаматериалы синтезируются внедрением в исходный природный материал частиц с самыми различными формами, которые модифицируют диэлектрическую и магнитную восприимчивость исходного материала. В очень грубом приближении их можно рассматривать как искусственные атомы чрезвычайно больших размеров. Таким образом, анализ существующих и создание новых излучающих и переизлучающих структур является мощным стимулом для дальнейшего развития методов электродинамики, на основе которых возможно создание их корректных и эффективных математических моделей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные представления электромагнитного поля тонкопроволочных излучающих структур с различными типами симметрий»

Актуальность работы

Основой для описания множества структур электродинамики являются уравнения Максвелла в различных формах записи. Они универсальны в максимально возможной степени, но их непосредственное применение к конкретным задачам затрудняется большой вычислительной сложностью. Данная идея реализована на ЭВМ в форме метода конечных разностей [7]). Недостатком этого метода является неэффективность в случае решения задач в неограниченном пространстве в связи с необходимостью дискретизации больших пространственных областей.

Решение таких задач удобнее осуществлять непрямыми методами, в основе которых лежит известное решение ключевой задачи об излучении точечного источника (функция Грина, [8]). В отсутствие нелинейности исходная задача сводится к совокупности ключевых задач с последующей суперпозицией известных для них решений. Данную идею можно выразить в форме интегрального представления электромагнитного поля (ИП ЭМП). Оно имеет существенно меньшую вычислительную в сравнении с прямыми методами, полностью описывая излучающую структуру и окружающее ее пространство с точки зрения электродинамики и позволяя эффективно решать множество задач излучения и дифракции электромагнитных волн [9, 10, 11]. Подход, основанный на ИП ЭМП, широко используется в современных системах автоматизированного проектирования (САПР). Достоинством данных САПР является универсальность, строгий подход к решению рассматриваемых задач, возможность контроля и оценки погрешности получаемого решения. К недостаткам следует отнести серьезные требования к вычислительным ресурсам, высокую стоимость программного обеспечения, в большинстве случаев закрытость программного кода, слабые возможности в плане прогнозирования и физической интерпретации результатов, неэффективность в случае непо-

средственного анализа некоторых электродинамических структур (композитные, сеточные и замедляющие структуры, поверхности со сложным рельефом, фрактальные антенны и т.д.). Анализ таких структур предполагает серьезную аналитическую проработку вычислительных методов и внесение этих изменений в универсальные САПР. Это является нетривиальной задачей. Устранение указанных недостатков предполагает получение специализированных ИП ЭМП, учитывающих особенности исследуемых структур, что представляется актуальной задачей.

Особое место в задачах излучения и дифракции занимают тонкопроволочные структуры, с которыми связано одноименное приближение при построении соответствующих моделей. Особенность данного приближения заключается в том, что на его основе можно наиболее простым, но при этом достаточно строгим способом сформулировать электродинамическую задачу. Вместе с тем, с помощью тонких проводников можно легко описывать геометрию исследуемых структур, а также осуществлять имитацию непрерывных поверхностей (сеточные модели, [12]). Использование тонкопроволочного приближения позволяет получать не только качественные, но и количественные результаты, имеющие хорошее совпадение с результатами экспериментов [13]. На сегодняшний день очень хорошо изучены процессы, протекающие в тонких проводниках, что позволяет успешно прогнозировать поведение построенных на их основе электродинамических систем. В работах [10, 14, 15] предлагается использовать тонкопроволочное приближение для корректного электродинамического анализа метаматериалов. Все это свидетельствует о том, что тонкопроволочное приближение на сегодняшний день не утратило своей актуальности.

В настоящей работе в непрерывной и дискретной формах сформулированы интегральные представления электромагнитного поля тонкопроволочных структур с одиночной и двойной симметрией, и связанные с ними решения внутренней задачи электродинамики. Данные выражения имеют высокую научную ценность

по крайней мере по трем причинам. Во-первых, подавляющее большинство современных излучающих структур обладают одной или несколькими симметриями, наиболее часто встречающимися среди которых является зеркальная, поворотная и осевая симметрии. Во-вторых, учет симметрии позволяет существенно упростить решение внутренней электродинамической задачи, которая сводится к совокупности независимых систем интегральных или линейных алгебраических уравнений. В-третьих, полученные ИП ЭМП позволяют осуществлять корректный расчет ближних полей рассматриваемых структур, что является крайне актуальной задачей в областях электромагнитной экологии и электромагнитной совместимости.

В качестве конкретных примеров в диссертации рассмотрено построение математических моделей вибраторов с большим поперечным сечением, а также многозаходной эллиптической спиральной антенны. Поясним причины выбора данных излучающих структур для демонстрации возможностей полученных ИП ЭМП. Вибраторные антенны были одними из первых антенн, нашедших широкое применение в радиотехнике. Они обладают простой геометрией и их характеристики очень хорошо изучены. Впервые решение внутренней задачи было сформулировано именно для тонкопроволочного вибратора Поклингтоном [16]. Им было показано, что распределение тока вдоль проводника имеет синусоидальный характер, а скорость распространения волны тока близка к скорости света. Заметим, что здесь же вскрылось ограничение тонкопроволочной модели, накладываемой на радиус проводника, который должен быть существенно меньше длины волны излучения. Поэтому в литературе обычно рассматривается только строгая модель тонкого вибратора. В диссертации показано, что на основе тонкопроволочных ИП ЭМП можно с успехом строить модели вибраторных антенн с большим поперечным сечением, обладающих при этом более сложной геометрией. Известно, что такие структуры являются более широкополосными [17], но их строгие модели

в литературе зачастую отсутствуют. То же касается и спиральных антенн. Как правило, они рассматриваются в различных приближениях [18], которые далее мы рассмотрим более подробно. Эти приближения позволяют получить количественные результаты высокой точности. Ситуация с приближенными расчетами усугубляется в случае, когда спиральный излучатель имеет нерегулярную структуру, меняющуюся на расстоянии, меньшем половины длины волны. Подводя итог сказанному, можно утверждать, что рассмотренные в диссертации математические модели излучающих структур являются актуальными как с научной, так и с практической точки зрения.

Степень разработанности темы исследования

Интегральные представления электромагнитного поля известны достаточно давно [19],[20]. Отметим, что обычно упор делается не на ИП ЭМП, а на интегральные уравнения (ИУ) [21],[22], возникающие при рассмотрении ИП ЭМП в объеме или на поверхности протекания токов совместно с соответствующими условиями для полей на границах раздела сред. Интегральные уравнения, полученные в тонкопроволочном приближении, являются одними из первых в истории ИУ вычислительной электродинамики [20]-[23], и классифицируются как ИУ Фредголь-ма первого рода [24]. Решение таких ИУ связано с определенными проблемами, а также с необходимостью математической регуляризации [25].

Исследования устойчивости решения для электрического вибратора проведены в [26]. Здесь показано, что максимальный радиус вибратора, допускающий тонкопроволочное приближение, составляет 0.125% длины волны. В [27] представлен общий подход к анализу устойчивости решения в тонкопроволочном приближении. В работе исследуются регуляризирующие свойства некоторых классов проекционных функций и приводится физически обоснованный критерий выбора

длины сегмента тонкопроволочной структуры в сравнении с ее радиусом. Таким образом работ, использующих тонкопроволочное приближение, достаточно много [28],[29], и в настоящее время такой подход считается довольно общим и строгим.

Как было отмечено ранее, первой работой в этой области следует считать [16]. В [30] также было записано интегральное уравнение типа Поклингтона. Основополагающими работами, посвященными строгому расчету распределения тока по проводнику можно считать труды Халлена Е. [31], Леонтовича М.А. и Левина М.Л. [32].

Отметим особо работы [33], [34] Васильева Е.Н., посвященные решению краевых задач на телах с осевой симметрией. Зарубежные работы по данной тематике появились с заметным опозданием [35] - [38]. На основе развитого Васильевым Е.Н. метода можно строить корректные математические модели с большим поперечным сечением.

Решение систем интегральных уравнений, в том числе сингулярных, осуществляется, как правило, методом моментов [20], [39] - [41]. Этот метод сводится к переходу от интегральных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно некоторых неизвестных постоянных. Эти постоянные обычно представляют собой коэффициенты разложения для тока в некоторой подходящей системе базисных функций. В зависимости от выбора базисных и весовых функций существует достаточно большое разнообразие конкретных реализаций данного подхода: метод Галеркина, сшивание в дискретных точках, согласование реакций и т.д. Некоторые из них рассмотрены в [42], [43].

Отметим снова, что в литературе, как правило, внутренняя и внешняя задачи разделены, и наиболее сложной считается внутренняя задача. Решение электродинамических задач в данной диссертации производится на единой теоретической базе, представляющейся естественным развитием используемых ранее подходов — с помощью различных форм интегральных представлений электро-

магнитного поля [44], причем в силу свойств ИП ЭМП внешняя и внутренняя электродинамические задачи сохраняют взаимосвязь. В свете этого полученные в диссетрации ИП ЭМП придают системный характер решаемым на их основе задачам.

Перейдем теперь к рассматриваемым в диссертации излучающим структурам и работам, посвященным данной тематике. Как уже было отмечено выше, хорошей основой для построения математических моделей вибраторных антенн с большим поперечным сечением являются работы Васильева Е.Н. В [45], [46] представлена математическая модель трубчатого вибратора, распределение тока на котором определяется решением сингулярного интегрального уравнения (СИУ, [46] - [49]). Такая постановка задачи корректна по Адамару [50] и снимает ограничение на радиус проводника. В [51] описан вывод СИУ тонкого криволинейного вибратора и приведен алгоритм его решения, но в качестве примера приведен численный расчет только прямолинейного полуволнового вибратора. В [52] - [55] представлена модель биконического вибратора, а в [56] - модель вибратора на основе эллипсоида. Из недостатков данных моделей следует отметить относительно высокую сложность и меньшую универсальность в сравнении с тонкопроволочными моделями вибраторных антенн, рассматриваемых в диссертации.

Однозаходные регулярные цилиндрические спиральные антенны были предложены Д.Краусом [57],[58]. Отметим также наиболее известные монографии [18], [59]. Характерной особенностью большей части работ является использование приближенных подходов к электродинамическому анализу спиральных структур - сложные модели антенн заменяются сильно упрощенными эквивалентами — спираль рассматривается как решетка кольцевых излучателей, как анизотропный цилиндр, результаты, полученные для бесконечных структур переносятся на структуры конечных размеров и т.д. Из наиболее ранних работ, в которых используются интегральные уравнения, следует упомянуть статью [60], в которой

приведены результаты расчета плоской равноугольной спиральной антенн из [61]. Вообще использование ИУ наиболее характерно для относительно современных работ [62] - [67].

Цель работы

Целью диссертационной работы является получение интегральных представлений электромагнитного поля тонкопроволочных структур с различными типами симметрий и построение на их основе универсальных математических моделей для решения задач, связанных с излучением и дифракцией электромагнитных волн.

Основные задачи работы

• Построение математической модели планарного вибратора на основе интегрального представления электромагнитного поля тонкопроволочной структуры общего вида;

• Вывод интегральных представлений электромагнитного поля тонкопроволочных структур с одиночной и двойной симметрией в непрерывном и дис-кретизированном виде;

• Запись общего решения внутренней задачи для соответствующих типов структур в форме независимых систем интегральных уравнений и в форме совокупности блочных систем линейных алгебраических уравнений;

• Построение математических моделей вибраторных антенн с поворотной симметрией и эллиптических спиральных излучателей с поворотно-зеркальной симметрией;

• Решение и анализ сходимости внутренней электродинамической задачи, расчет входного сопротивления, угловых распределений поля в ближней зоне и диаграмм направленности рассматриваемых в диссертации структур.

Методы исследования

Основу диссетрационной работы составляют строгие электродинамические методы, математический аппарат теории интегральных уравнений Фредгольма первого рода, методы численного интегрирования, решения систем интегральных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений. Результаты вычислений получены с использованием реализованных на ПЭВМ алгоритмов.

Научная новизна диссертационной работы

• Единый строгий подход к построению математических моделей излучающих структур, использующий в своей основе интегральные представления электромагнитного поля;

• Формулировка решения внутренней и внешней электродинамической задачи для широкого класса излучающих и переизлучающих тонкопроволочных структур с одиночной и двойной симметрией;

• Математические модели планарного вибратора, вибратора Надененко, а также поворотно-симметричных вибраторов с торцевыми и без торцевых элементов;

• Математическая модель многозаходного эллиптического спирального излучателя, расположенного над бесконечно протяженным идеальным электрическим или магнитным экраном;

• Результаты строгого решения внутренней и внешней электродинамических задач для рассмотренных в диссертации излучающих структур, включая расчет их входного сопротивления в широком диапазоне частот.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Результаты диссертационной работы получены на основе строгих электродинамических методов. Приближенные методы решения интегральных уравнений, использованные при численном моделировании, корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: сравнением для некоторых излучающих структур полученных результатов с расчетными данными, приведенными в работах других авторов, полученными с помощью других методов; исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решений.

Также достоверность полученных результатов подтверждается выполнением предельных переходов выражений для некоторых излучающих структур в известные соотношения. Аналогичные переходы наблюдаются и для полученных в диссертации результатов.

Научная и практическая значимость работы

Научная значимость работы заключается в разработке и развитии методов строгого электродинамического анализа применительно к некоторым важным классам излучающих и переизлучающих структур с одиночной и двойной симметрией на основе единого подхода, предполагающего использование интегральных представлений электромагнитного поля. Построенные с помощью данного подхода модели самодостаточны: они позволяют решать как внутреннюю, так и внешнюю задачу электродинамики, сохраняя при этом их взаимосвязь, а также учитывают симметрию излучающих структур, что повышает эффективность расчетов. Предложенные в диссертационной работе интегральные представления электромагнитного поля можно использовать не только для решения задач на излучение, но и в задачах дифракции, например, для строгого электродинамического анализа метаматериалов на основе тонкопроволочных элементов.

Практическую ценность представляют собой математические модели и численные результаты для различных типов вибраторных антенн, а также для многозаходных спиральных излучателей, расположенных над бесконечно протяженным электрическим или магнитным экраном.

Разработанные в рамках диссертационного исследования математические модели использованы для подготовки программного обеспечения к лабораторным работам по курсу «Теория электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств и систем» для магистрантов специальности 11.04.02 - Инфокоммуникаци-онные технологии и системы связи.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Получены интегральные представления электромагнитного поля тонкопроволочных структур с одиночной и двойной симметрией, а также соответствующие им совокупности независимых систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода;

2. Получены дискретизированные формы интегральных представлений электромагнитного поля тонкопроволочных структур с одиночной и двойной симметрией, а также соответствующие им совокупности независимых систем линейных алгебраических уравнений;

3. Разработаны математические модели планарного вибратора, вибратора На-дененко, поворотно-симметричных вибраторов с торцевыми и без торцевых элементов.

4. Разработана математическая модель многозаходного эллиптического спирального излучателя, расположенного над бесконечно протяженным металлическим или магнитным экраном.

Специальность и отрасль науки, которой соответствует

диссертация

Диссертационное исследование соответствует следующим пунктам паспорта специальности 01.04.03 - Радиофизика.

П.2. Изучение линейных и нелинейных процессов излучения, распространения, дифракции, рассеяния, взаимодействия и трансформации волн в естественных и искусственных средах;

П.3. Разработка, исследование и создание новых электродинамических систем и устройств формирования и передачи радиосигналов: резонаторов, волноводов, фильтров и антенных систем в радио, оптическом и ИК - диапазоне;

Тема диссертации соответствует отрасли «физико-математические науки» (за исследования общефизического характера).

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и вошли в материалы следующих конференций и симпозиумов:

• Х11-ХУ1 Международные научно-технические конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Нижний Новгород, 2014; Казань, 2015; Самара, 2016; Казань, 2017; Миасс, 2018);

• ХХ1,ХХ11 Всероссийские научные конференции профессорско - преподавательского состава научных сотрудников и аспирантов ФГБОУ ВО ПГУТИ (Самара, 2015; Самара, 2016)

• ХУШ,Х1Х Международные научно-технические конференции «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций» (Казань, 2017; Уральск, 2018)

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 18 работ, в том числе 4 статьи в журналах из перечня рецензируемых научных изданий ВАК.

Личный вклад автора

Соискатель имеет 2 публикации без соавторов. В остальных опублиован-ных работа соискателю принадлежит разработка методик численного расчета, программная реализация алгоритмов расчета, анализ и интерпретация полученных результатов и оформление их для публикации. Все результаты данной диссертационной работы получены автором лично.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, списка литературы из 72-х наименований, содержит 115 страниц текста, в том числе 35 рисунков.

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ОДИНОЧНОЙ ТОНКОПРОВОЛОЧНОЙ СТРУКТУРЫ

Настоящая глава диссертационной работы является вводной. В ней будут изложены подробные выводы некоторых форм интегральных представлений электромагнитного поля (ИП ЭМП), использующихся в качестве основы для решения задач в последующих главах, произведено сравнение с выражениями, традиционно применяемыми для решения задач внутреннего и внешнего электродинамического анализа излучающих и переизлучающих структур. Также здесь будет рассмотрен общий механизм выделения особенностей в ИП ЭМП при рассмотрении ближней зоны электродинамических структур и выполнено обобщение представленных выражений на случай электродинамических структур, обладающих зеркальной и поворотной симметрией.

1.1 Основные определения

Рассмотрим свободное пространство (среду) К3, в котором существует электромагнитное поле (ЭМП), определяющееся векторами Е и Н либо векторным потенциалом А. Введем в этом пространстве Декартову систему координат {х,у, г}. Пусть некоторый объем V € К3 свободного пространства занят источниками поля, характеризующимися объемной плотностью электрического тока

Введем в рассмотрение точку д € V (точка излучения), имеющую координаты {х,у,г}, и точку р € К3 (точка наблюдения), имеющую координаты {х',у',г'} (рисунок 1). Тогда:

г = х • х + у • у + Ъ • г

г

У

Рисунок 1 - К интегральным представлениям электромагнитного поля

радиус-вектор, проведенный в точку наблюдения р;

г = х • х + у • у + % • г

радиус-вектор, проведенный в точку источника д;

^г, Г) = г — г' = X • (х — хХ) + у • (у — у') + % • (г — г) вектор, проведенный из точки источника д в точку наблюдения р;

Я(г, г') = ^(г, г')\ = \/(х — х')2 + (у — у')2 + (г — г')2

в Декартовой системе координат:

_ л д л д л д

V = х— + у— +7—. дх ду дг

Предположим, что среда является однородной и изотропной, а векторы электромагнитного поля меняются во времени по гармоническому закону с частотой ш. В этом случае для описания среды используются следующие параметры:

• нк = На — I(т/ш = На (1 — г tg6m) — комплексная магнитная проницаемость, На = НоН — абсолютная магнитная проницаемость, Но = 4п • 10—7 Гн/м — магнитная проницаемость вакуума, н — относительная магнитная проницаемость среды, ут — удельная магнитная проводимость, tg5m — тангенс угла магнитных потерь;

• £к = £а — I(е/ш = £а (1 — {tg£e) — комплексная диэлектрическая проницаемость, еа = е0е — абсолютная диэлектрическая проницаемость, £0 = 10—9/(36п) Ф/м — диэлектрическая проницаемость вакуума, £ — относительная диэлектрическая проницаемость среды, уе — удельная электрическая проводимость, tg5e — тангенс угла диэлектрических потерь, с = 299 • 106 м/с — скорость света в вакууме;

• £ = шл/£кНк = 2п/Л — волновое число, Л — длина волны;

• = \]Нк/£к — волновое сопротивление среды, для вакуума = W0 = 120п.

В дальнейшем для описания среды, процессы в которой имеют гармоническую зависимость от времени, мы будем использовать волновое число £ и волновое сопротивление

1.2 Основные формы интегральных представлений

электромагнитного поля

Векторный электрический А(е) и магнитный А(т) потенциалы в точке наблюдения р, создаваемые соответственно объемными плотностями тока и ](т\ находящимися в объеме V, определяются выражением [68]:

А(г)(г) = -1 [ f)GdV; г = е,т; 3 у

Здесь Я = Я(г'),

G = G(г, г' ) = 6ХР(—^К) (1.1)

функция Грина свободного пространства. Векторы напряженностей электрического Е и магнитного Н полей связаны с векторным потенциалом А соотношениями [68]:

Е = Зт (к2А(е) + v(v• А(е))) — Vх А(т);

к

, 1 (1.2) чл?—1 / / \ \ у '

Н = (к2А(т) + V(V• А(т^ + VхА(е),

Метод расчета ЭМП с помощью выражений (1.2) называют методом векторных потенциалов.

Далее рассмотрим некоторые виды интегральных представлений электромагнитного поля. Первое интегральное представление вытекает из (1.2) после вне-

сения дифференциальных операторов в векторные потенциалы [68]:

Е(г) = / М(}(е))Сё,У - -1 / (V'х](т);

С 1 /*

Н(г) = —^ М^(т)^(У + — V j(e))GdУ. 4пк ]у 4п ]V

(1.3)

Здесь:

МО«) = Й(г) + V '(V'- j(г

— векторный дифференциальный оператор. Отличительной особенностью данных представлений является применение дифференциальных операторов к источникам поля. Некоторые преобразования с дифференциальными операторами в (1.3) можно осуществить без привязки к конкретной системе координат, в результате чего получается второе интегральное представление электромагнитного поля [9]:

Е Н

№т Г

4пк ¡у

№

-1

' т

4пк

j(e)k2G - (V '• ^ав! (1У -1 [ в (а х ](т)) (У;

4п } у/

j(m)k2G - (V '• ](т))аВ (У + -1 [ в (а х ](е)) (у,,

'у

(1.4)

4п

'у

здесь:

в кя + 1,, в = —яг-

(1.5)

в данных представлениях к источникам применяется только оператор дивергенции. Полностью свободным от дифференциальных операторов является третье интегральное представление электромагнитного поля [9]:

Е Н

№т

т

4пк

у

у

1

j(e)c - (j(e) • а)ал (У -— в (а х j(m)) (У;

4п

у

j(m)c - (j(m) • а)аЫ (у + — / в (а х j(e)) (У.

* 4п ] у

(1.6)

где:

- ядра интегральных представлений.

Для дальней зоны излучения из (1.6) можно получить упрощенные интегральные представления ЭМП, отбрасывая все слагаемые Я-п со степенями п выше первой:

где 1 = &/Я - единичный вектор, направленный из точки источника в точку наблюдения. Из данных выражений видно, что в дальней зоне излучающей структуры отсутствуют продольные составляющие ЭМП, так как:

В отличие от классических выражений для расчета дальней зоны [9], (1.6) является более предпочтительным, так как не требует знания фазового центра структуры, и следовательно, при том же расстоянии от излучающей структуры дает более точное значение ЭМП.

1.3 Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля

Очевидно, что ядра ИП ЭМП, приведенных в предыдущем разделе, имеют особенности при Я ^ 0. При решении внутренней электродинамической задачи, а

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Морозов Сергей Владимирович, 2018 год

Л -

п

V й ы т

V; \ Т/ с % и

с \ /

А

И

МА

, 1 1 1 , 1 \ , т

а)

601

701

801

у* \ 1 о

л % А

V 1 < Ч\ г\

\ / -Л

7 б)

Рисунок 28 - Графическая оценка сходимости решения внутренней задачи для различного количества сегментов при а/Х = 0.55: а - ЭС-2, б - ЭС-4

меняется на 180°.

При значении а/Х = 0.175 в длину спирали укладывается немного более двух волны излучения. Здесь наряду со стоячей волной тока также возникает бегущая волна. Амплитуда бегущей волны убывает при распространении по спиральному проводнику. Проводя сравнения с распределениями тока для поворотно-симметричных вибраторов, можно отметить, что скорость уменьшения амплитуды тока на единицу электрической длины для ЭС более низкая.

Дальнейшее увеличение отношения а/Х способствует увеличению доли бегущей волны в распределениях тока. На фазовых распределениях ей соответствуют участки с разрывно-линейными кривыми. Анализируя данные распределения,

2

5

6

0

1

2

3

5

6

можно сделать утверждение о том что скорость распространения тока вдоль спирали составляет примерно 0.9 от скорости распространения электромагнитного поля в свободном пространстве. Этот результат можно получить, вычитая значения абсцисс соседних разрывов, ограничивающих линейные участки изменения фазы, и умножая их на соответствующий коэффициент к,, % = 1, 2. Логичным выглядит предположение о том, что коэффициент замедления волны тока определяется радиусом е проводника и находится в прямой зависимости от него.

При значениях а/Х > 0.35 на распределениях преобладает бегущая волна и отчетливо наблюдается явление отсечки тока [18], также присущее плоским и коническим спиральным антеннам. Суть этого явления сводится к резкому падению амплитуды тока в процессе прохождения резонансной группы витков, находящейся в окрестности радиусов, удовлетворяющих соотношению 2па/Х = р, где р = 1, 2,... сю. Но локализовать эти группы витков достаточно сложно, так как на их положение оказывает большое влияние межвитковое расстояние, радиус проводников и т.д.

Достоинством представленных моделей является возможность прогнозирования и выявления данного эффекта при различных значениях геометрических параметров излучающих структур. Так, очевидно, что при а/Х = 0.35 для ЭС-2 резонансной группой является область проводника со значениями 1/Х ~ 2... 4, а для ЭС-4 в этой области интенсивность излучения ниже, что ведет к увеличению коэффициента стоячей волны тока. Для случая а/Х = 0.35 можно видеть две резонансные группы витков, соответствующих 1/Х ~ 3 ... 6 и 1/Х ~ 7... 8.5.

Рассмотрим результаты расчета входного сопротивления ЭС. Общая картина, рассчитанная для диапазона отношений а/Х Е [0.075; 0.7], представлена на Рисунке 31. Видно, что весь диапазон условно можно разбить на два поддиапазона, которым соответствует режим с преобладанием стоячей волны тока (а/Х Е [0.075; 0.35], С-диапазон) и режим с преобладанием бегущей волны то-

аЬвI(I/Л), мА

1 —2

180 120 60 0 -60 -120 -180

а^I(I/Л), град

1---2

0

0.25

0.5

0.75

1 а)

аЬвI(I/Л), мА

1---2

180 120 60 0 -60 -120 -180

а^I(I/Л), град

1---2

\ \ ' К' к ч Ч

\\ \\ я \ ! \ ! \ \ * \

\ \\ \ \ \ \ \ N \ 1 » -

'Л 1 \ » \ \ > 1 \ 1 ч

\ \ ч \ \\ % \ V а \ *

Л , , \ \ II \ , 1 Л N < --

0

в

1

2

3

аЬвI(I/Л), мА

1 —2

180 120 60 0 -60 -120 -180

агё I (I/А)

град

1---2

. I \\ \\ К \ N V * \ 1 V1 1 \ г—

\\ Л 1 д 1 \ \ \ \ \ \ 1 \ 1 1 \ ! \ \ \ \ \

\\ \\ \\ < \ 1 \ \ \ \ \ \ \ у < \1 1 1 \ \ 1

1 г \\ ■ИД 1 1 % \ \ \ » \ % \ \ N * \ \ N » \ \ \ » 1 ■

\ \ 1 Л] \ \| \ \ \ \ » нгт ■ \ -

\ , , , \ \ \ * \ \ \ .. \ \ \

0

а)

1

2

3

аЬвI(I/А), мА

1 —2

5 6 7 8 9

180 120 60 0 -60 -120 -180

а^I(I/А), град

1---2

1 1 11 1 И \ \ " \ц 1 V» 1' 1 ' 1 1 }

й 1 1 1 \ 1 |\ | \ \ 1 * \ V 1 * » \ № \" 1 » 1» V 1 ч

\! 'А 1 \\1 мм » \ 1 * \' 1 \ 1 » \ V \ \ \ \ 1 » ' \4 1 \\ "ТП

1 \\ 1 V Ч \ т! »\ 1 * ч ¡и 11\ ! V* < \ > 1 и 1 V | 1 1 и \ 1 I

\\! Ч ч 1 1 и 'Л \!\ \!\ \ I \ | и 1 V 1

* \! , ) 1 м , 1 \! ,1 * Г 1 * г

0

в

2

4

6

8

ка (а/Х Е [0.35; с], Б-диапазон). Более детальные графики для этих диапазонов представлены на Рисунках 32 и 33 соответственно.

В С-диапазоне зависимость входного сопротивления от частоты представляет собой чередование последовательных и параллельных резонансов, добротность которых с ростом частоты падает. Зависимость добротности от а/Х для обоих ЭС хорошо аппроксимируется экспоненциальной функцией с отрицательным показателем, причем показателя для ЭС-2 и ЭС-4 примерно одинаковое. Здесь можно отметить, что резонансы входного сопротивления ЭС-4 смещены в область более низких частот в сравнении с резонансами для ЭС-2, что можно объяснить наличием пассивных проводников, увеличивающих эффективную диэлектрическую проницаемость в окрестности спиральных элементов.

В Б-диапазоне зависимость входного сопротивления от частоты является практически постоянной и в среднем составляет около 200 Ом, что хорошо согласуется с данными, представленными другими авторами [18]. Также здесь можно отметить его плавный рост при увеличении а/Х. Этот рост обусловлен формой образующей (эллипсоид), на которой расположены спиральные проводники. Реактивная составляющая входного сопротивления в рассматриваемом участке Б-диапазона имеет индуктивный характер. При дальнейшем увеличении отношения а/Х следует ожидать уменьшения незначительного амплитуды входного сопротивления и проявления емкостного характера его реактивной составляющей (явление макрорезонанса, описанное в [67]).

На Рисунках 34,35 представлены угловые распределения амплитуды ближнего и дальнего поля ЭС в меридианной плоскости. Видно, что результаты для дальней и ближней зоны, а также для ЭС-2 и ЭС-4 сильно отличаются. В целом можно отметить, что с практической точки зрения обычно необходимы ДН с преобладанием осевого излучения, которое наблюдается у рассматриваемых ЭС в диапазоне а/Х ~ 0.275... 0.55. На более высоких частотах происходит развал

аЬв /Л), кОм 2.5

1---2

1.

0.

■ * *

■ * *

0.075 0.175 0.275 0.375 а^Z■m(a/Л), град.

■ * *

0.475 0.575 0.675 а) -1---2

0.075

0.475 0.575 0.675 б)

Рисунок 31 - Результаты расчета амплитуды (а) и фазы (б) входного сопротивления ЭС: а = 0.075 ... 0.7А; 1 - ЭС-2; 2 - ЭС-4

ДН и они приобретают многолепестковый характер. На более низких частотах ДН ЭС-2 и ЭС-4 имеют сильные отличия. Так, например, при а/А = 0.175 максимумы ЭС-2 расположены в плоскости экрана, а максимумы ДН ЭС-4 расположены вдоль главной оси эллипсоида. Эти отличия объясняются смещением рабочего диапазона ЭС-4 в более низкочастотную область. Здесь можно провести аналогии с режимами излучения цилиндрической спиральной антенны, для которой в зависимости от отношения а/А может быть реализовано боковая, осевая и коническая форма ДН.

Практический интерес в данном случае, представляет собой возможность построения оптимизационных моделей на основе математических моделей ЭС. Ме-

аЬв /Л), кОм 2.5

1---2

2 1.5 1

0.5 О

- '! 1 - ||

11 - || 1 , - 11 1 1 ■

- 1 1 • 1 1 • ' 1 . -

1

\ <Л ■

■ 1

1

[ ! ) Л ' / \ > / \ / / \ \ V X 4 4 А / N ■—Л—^ . /ч /Ху^ч / \ / \/ \ / V' V /\ Ч / __"

0.075

argZ■m(a/Л), град. 90

60 30 0

30 60

0.15

0.225

0.3

а)

1---2

0.075

0.15

0.225

0.3

б)

Рисунок 32 - Результаты расчета амплитуды (а) и фазы (б) входного сопротивления ЭС: а = 0.075 ... 0.35А: 1 - ЭС-2; 2 - ЭС-4

няя в некоторых пределах геометрические параметры моделей, можно достичь оптимального сочетания равномерности входного сопротивления и необходимой формы ДН, а затем на основе этих данных возможно создание опытных образцов реальных антенн. Важной задачей здесь представляется поиск более сложных форм спиральных проводников, обладающих дополнительным замедлением волны тока и позволяющих смещать границу Б-диапазона в область более низких частот. О возможности положительного решения такой задачи говорят результаты для поворотно-симметричных вибраторов, представленные в предыдущей главе.

аЬв /Л), кОм 0.4

1---2

0.3 0.2 0.1

- / / X /

\ ч/ / Ч'

8.35—

0.4

а^/Л), град. 90

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

-1---2

60 30 0

-30 -60

1

35

0.4 0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

а)

ч N ч./ ^ ---___ х - /

б)

Рисунок 33 - Результаты расчета амплитуды (а) и фазы (б) входного сопротивления ЭС: а = 0.35... 0.7А: 1 - ЭС-2; 2 - ЭС-4

р(0) -30° -60°

— 1 30° ___ 2

60°

-90°

-120

-150

р(в) -30° -60° '

— 1 30°---2

60°

-90°

-120

-150°

б)

0

°

0

°

°

°

°

р(0) -30° -60°

— 1 30° ___ 2

60°

-90°

-120

-150

р(0) -30° -60°

— 1 30°---2

60°

-90°

-120

-150

в)

0

°

°

0

°

°

4.5 Основные результаты четвертой главы 4

• Сформулирована обобщенная математическая модель излучающей структуры с двойной симметрией, состоящей из совокупности тонкопроволочных проводников. Приведены соответствующие выражения для решения внутренней и внешней электродинамической задачи;

• Представлены математические модели двух- и четырехзаходной эллиптических спиральных излучателей (ЭС). Установлено, что введение пассивных спиральных элементов между активными приводит к смещению электродинамических характеристик ЭС в область более низких частот, что эквивалентно увеличению эффективной диэлектрической проницаемости в окрестности эллипсоида;

• Для указанных структур проведен анализ сходимости и устойчивости решения внутренней задачи. Показано, что сходимость для ЭС хуже, чем для вибраторных антенн, рассмотренных в предыдущих главах, и это связано с большей электрической длиной спиральных проводников;

• Анализ распределений тока показал, что в спиральных проводниках ЭС реализуется режим смешанных волн тока, причем на низких частотах преобладает стоячая волна, а на более высоких - бегущая волна. Показано, что в ЭС возникает эффект отсечки тока, связанный с возникновением резонансных групп витков, с которые происходит интенсивное излучение. С ростом отношения а/А число таких групп возрастает;

• На основе анализа зависимости входного сопротивления от отношения а/А можно сделать вывод о том, что характер данной зависимости определяется распределением режимом распределения тока в спиральных проводниках.

На основе этого можно выделить диапазон, соответствующий стоячей волне тока, в котором с ростом а/А происходит смена последовательных и параллельных резонансов входного сопротивления, и диапазон, соответствующий бегущей волне тока, в котором входное сопротивление практически не меняет своего значения в зависимость от а/А;

• Анализ амплитуды угловых распределений поля в ближней и дальней зонах подтвердил, что в ЭС возникают режимы излучения, близкие к режимам излучения цилиндрических спиральных антенн.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в диссертационной работе развивается строгий метод электродинамического анализа излучающих и переизлучающих структур на основе интегральных представлений электромагнитного поля. В рамках диссертационного исследования получены ИП ЭМП тонкопроволочных структур с одиночной и двойной симметрией. Показано, что на полученных выражений можно проводить полный электродинамический анализ множества структур.

Представленный подход развивает метод векторного потенциала применительно к тонкопроволочным структурам, обладающим наиболее распространенными типами симметрий, но при этом более прост в использовании. ИП ЭМП сохраняет взаимосвязь между внутренней и внешней задачей электродинамики, согла-суя решение последней задачи с решением первой, что особенно важно при расчетах ближних полей, чувствительных к распределению источников. Иногда такая чувствительность имеет место и для дальней зоны даже для антенн с небольшими электрическими размерами [72], и практически всегда - для антенн с бегущей волной тока.

Дискретизированная формулировка внешней и внутренней электродинамических задач значительно ускоряет процедуру построения математических моделей исследуемых структур и упрощает их реализацию на ЭВМ. Вариант дискретизации, используемый в диссертационном исследовании, имеет четко выраженный физический смысл и может служить отправной точкой для перехода к более эффективным методам решения СЛАУ и расчета ЭМП, использующим оптимальные для конкретного случая пространства проекционных функций. Важным свойством полученных ИП ЭМП является сохранение однозначности и устойчивости получаемых решений при соблюдении оговоренных условий [27].

На основе представленных в диссертации выражений были построены математические модели вибраторных антенн с большим поперечным сечением, а также математическая модель многозаходной эллиптической спиральной антенны, расположенной над бесконечно протяженным электрическим или магнитным экраном. Для указанных структур был проведен полный электродинамический анализ, в некоторых случаях включающий расчет ближних полей, а также в широком диапазоне определена зависимость входного сопротивления от частоты. Установлено, что геометрия вибраторных антенн существенно влияет на решение и сходимость внутренней электродинамической задачи. В свою очередь это влияние распространяется на такие характеристики излучающих структур, как входное сопротивление и распределение ближних полей. Последнее обстоятельство является важным в вопросах электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии, а также при проектировании сложных антенных систем с множеством взаимодействующих элементов. На распределение полей в дальней зоне геометрия вибраторных антенн заметного влияния не оказывает. Математическая модель многозаходной эллиптической спиральной антенны позволяет выявить эффекты, предсказываемые в рамках приближенной теории спиральных антенн, и установить количественную взаимосвязь между законом распределения тока в спиральных элементах и характером зависимости входного сопротивления антенны от частоты.

Коротко отметим перспективы дальнейшего развития темы диссертационного исследования. Основной задачей можно считать улучшение сходимости решения внутренней задачи, решение которой связано с оптимальным выбором распределения сегментов, учитывающим особенности геометрии исследуемых структур и априорную информацию о поведении тока на их элементах. С этой задачей связана задача поиска систем проекционных функций для компактного представления

распределений источников. Естественно, что эти проекционные функции будут иметь привязку к конкретным типам излучающих структур, поэтому следующей актуальной задачей является создание обоснованной с помощью интегральных представлений электромагнитного поля древовидной иерархии излучающих и переизлучающих структур, позволяющей осуществлять переход от общих к более частным, а значит, и к более оптимально решаемым случаям.

В заключение перечислим отличительные особенности работы: строгий электродинамический подход к решению поставленных задач, имеющий системный характер, а также самодостаточность математических моделей, учитывающих особенности геометрии рассматриваемых структур.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Allen Taflove, Susan Hagness. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. — Artech House Publishers, 1980.

2. Нефедов Е. И. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн. — M: издательский центр «Академия», 2006. — 320 с.

3. Кравченко В. Ф., Масюк В. М. Кольцевые фрактальные антенные решетки // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2004. — Т. 9, № 5. — С. 312.

4. Nader Engheta. Metamaterials: Physics and Engineering Explorations. — Wiley & Sons & IEEE Press, 2006. — P. 440.

5. Веселаго В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и [ // Успехи физических наук. — 1967. — Т. 92, № 3. — С. 517-526.

6. Вендик И. Б., Вендик О. Г. Метаматериалы и их применение в технике сверхвысоких частот (Обзор) // Журнал технической физики.— 2013.— Т. 83, № 1. — С. 3-28.

7. Gallagher R.H. Finite element analysis: fundamentals. — Prentice-Hall, 1974.

8. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. — М., 1958.— Т. 1.— 931 с.

9. Неганов В. А., Табаков Д.П. Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля как средство корректного решения антенных задач // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.— 2014.— Т. 17, № 3. — С. 9-22.

10. Неганов В. А., Табаков Д. П. Корректный электродинамический анализ ки-ральных элементов и метаматериалов на основе интегральных представлений электромагнитного поля // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 29-39.

11. Neganov V. A., Tabakov D. P., Gradinar I. M. Self-consistent approach to the electrodynamic analysis of the chiral structures // Progress In Electromagnetics Research M. — 2010. — Vol. 12. — P. 107-113.

12. Электродинамика сетчатых структур / М. И. Конторович [и др.]. — М.: Радио и связь, 1987.— 135 с.

13. Теоретическое и экспериментальное исследование двузаходной конической равноугольной логоспиральной антенны малого космического аппарата «АИСТ-2» / В. А. Неганов [и др.] // Радиотехника. — 2015. — № 2. — С. 5-15.

14. Табаков Д. П. Построение матемамических моделей переизлучающих элементов и метаматериалов на их основе // Электросвязь. — 2014. — № 12. — С. 3640.

15. Неганов В. А., Марсаков И. Ю., Табаков Д. П. Расчет взаимодействия элементов метаструктуры на основе метода Гаусса — Зейделя // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2013. — Т. 16, № 3. — С. 7-16.

16. Pocklington. H.C. // Camb.:Phil. Soc. Proc. — 1897. — no. 9. — P. 324.

17. Табаков Д. П., Морозов С. В., Неганов В.А. Применение тонкопроволочных интегральных представлений электромагнитного поля к электродинамическому анализу вибраторный антенн с большим поперечным сечением // Физика волновых процессов и радиотезнические системы. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 414.

18. Юрцев О.А., Рунов А. В., Казарин А.Н. Спиральные антенны. — М.: Сов радио, 1974. — 223 с.

19. Stratton J. A., Chu L. J. Diffraction Theory of Electromagnetic Waves // Phys. Rev. — 1939. —Vol. 56.

20. Peterson A. F., Ray S.L., Mittra R. Computational Methods for Electromagnetics. — The IEEE/OUP Series on Electromagnetic Wave Theory and Oxford University Press, 1997.

21. Maue A.W. Toward Formulator of a General Diffraction Problem via an Integral Equation. — Zeitschrift für Phyzik, 1949. — Vol. 126. — P. 601-618.

22. Hühl H., Maue A. W., Westpfahl K. Theorie der Beugung. — Springer-Verlag, 1961.

23. Эминов С.И. Теория интегро-дифференциальных уравнений вибраторов и вибраторных решеток // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. — 1997. — Т. 5, № 2(18). — С. 2160-2168.

24. Неганов В. А., Нефедов Е. И., Яровой Г. П. Электродинамические методы проектирования устройств СВЧ и антенн / Под ред. В.А. Неганова. — М.: Радио и связь, 2002. — 416 с.

25. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986. — 288 с.

26. Радциг Ю.Ю., Сочилин А.В., Эминов С.И. Исследование методом моментов интегральных уравнений вибратора с точными и приближёнными ядрами // Радиотехника. — 1995. — № 3. — С. 55-57.

27. Стрижков В.А. Математическое моделирование электродинамических процессов в сложных антенных системах // Математическое моделирование. — 1989. — Т. 1, № 8. — С. 127-138.

28. Докуков И.А. Сравнительная оценка возможностей различных интегральных уравнений и базисных функций при численном решении задач о токораспре-делении и входном сопротивлении тонких криволинейных проволочных излучателей // Радиотехника. — 1987. — № 1. — С. 76-77.

29. Бородулин И.В., Стрижков В.А. Электродинамическое моделирование фазированных антенных решёток из проволочных излучателей // Электросвязь. — 1995.—№3. —С. 33-34.

30. Pichmond. J.H. // Proc. IEEE. — 1965. — no. 53. — P. 796.

31. E. Hallen. Theoretical investigation into the transmitting and receiving qualities of antennas // Nova Acta (Uppsala). — 1938. — no. 11. — P. 1-44.

32. Леонтович М. А., Левин М. Л. К теории возбуждения колебаний в вибраторных антеннах // ЖТФ. — 1994. — Т. 14, № 9. — С. 481.

33. Васильев Е. Н. Возбуждение гладкого идеально проводящего тела вращения // Известия вузов. Радиофизика. — 1975. — Т. 10, № 4. — С. 530-538.

34. Васильев Е. Н. Возбуждение тел вращения. — М.: Радио и связь, 1987. — 272 с.

35. Andreasen M. G. Scattering from parallel metallic cylinders with arbitrary cross-section // IEEE Trans. Antennas Propagat. — 1964. — Vol. 12. — P. 746-754.

36. Andreasen M. G. Scattering from bodies of revolution // IEEE Trans. Antennas Propagat. — 1965. — Vol. 13. — P. 363.

37. Schuman H. K., Warren D. E. Aperture Coupling in Bodies of Revolution // IEEE Trans. Antennas Propagat. — 1978. — Vol. AP-26, no. 6. — P. 778-783.

38. Toyoda I., Matsuhara M., Kumagai N. Extended Integral Equation Formulation

for Scattering Problems from a Cylindrical Scatterer // IEEE Trans. Antennas Propagat.- 1988.-Vol. 36, no. 11.- P. 1580-1586.

39. F. Harrington R. Field Computation by Moment Method. — Macmillan, New York, 1968.- P. 150.

40. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа.— М.-Л.: ГИФНЛ, 1962. — 708 с.

41. Лифанов И. К. Особые интегральные уравнения и методы их численного решения. Учебное пособие по курсу лекций. — М.: Макс-Пресс, 2006. — 68 с.

42. Неганов В. А., Нефедов Е. И. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линий передачи для объемных интегральных схем СВЧ // ДАН СССР. — 1988.— Т. 299, № 5.— С. 1124-1129.

43. Неганов В. А., Нефёдов Е. И., Яровой Г.П. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот. — М.: Наука. Физматлит, 1996. — 304 с.

44. Табаков Дмитрий Петрович. Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля излучающих и переизлучающих структур специальной формы: дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 01.04.03. — М., 2016. — 301 с.

45. Неганов В. А., Матвеев И. В. Сингулярное интегральное уравнение для расчёта тонкого вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 27-33.

46. Неганов В. А., Матвеев И. В., В. Медведев С. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению // Письма в ЖТФ. — 2000. — Т. 36, № 12. — С. 86-94.

47. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свёртки. — М.: Наука, 1978.— 296 с.

48. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977.— 640 с.

49. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1986. — 512 с.

50. Неганов В. А. Оценка погрешности решения краевых задач о собственных волнах полосковых и щелевых структур методом сингулярных интегральных уравнений // Радиотехника и электроника. — 1988. — Т. 33, № 5. — С. 10761077.

51. Лифанов И. К., Ненашев А. С. Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных антенн // Дифференциальные уравнения.— 2005.— Т. 11, № 1. — С. 121-137.

52. Сочилин А. В., Эминов И. С., Эминов С. И. Интегрально-дифференциальные уравнения линейных, биконических и криволинейных вибраторных антенн // Антенны. — 2010. — № 12. — С. 27-31.

53. Ашихмин А. В., Маршаков В. К., Преображенский А. П. Анализ направленных свойств плоского биконического вибратора // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. — 2005.— № 1.— С. 13-18.

54. Ашихмин А. В., Преображенский А. П. Моделирование плоского биконическо-го вибратора, находящегося в свободном пространстве и расположенного над металлическим экраном // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. — 2005.— Т. 1, № 8.— С. 52-57.

55. Попова О. Э., Разиньков С. Н. Угло-частотно-временные характеристики решеток биконических вибраторов, возбуждаемых сверхширокополосными сигналами // Нелинейный мир. — 2009. — Т. 7, № 11. — С. 846-856.

56. Надененко С. И. Антенны. — М.:Связьиздат, 1959.— 553 с.

57. Kraus J.D. Helical beam antenna // Electronics. — 1947. — P. 109-111.

58. Kraus J.D. Helical beam antennas for wide-band applications // Proc. IRE.— 1948. — P. 1236-1242.

59. Rumsey V. Frequency Independent Antennas. — New York: Academic Press, Inc., 1966.

60. Mei K.K. On the integral Equations of Thin Wire Antennas // IEEE Trans. on Ant. and Prop. AP-13. — 1965. — P. 374-378.

61. Bagdasarian A., Angelakos D. J. Scattering and radiation from conducting loops // Electromagnetic Research Lab. Rept 65-1, University of California, Berkeley.— 2010.

62. Чебышев В. В. Микрополосковые антенны в многослойных средах. — М.: Радиотехника, 2007.

63. Adekola S, Mowete A, Ayorinde A. Compact Theory of the Broadband Elliptical Helical Antenna // European Journal of Scientific Researsh. — 2009.— Vol. 31, no. 3. — P. 346-490.

64. Неганов В. А., Табаков Д. П. Применение теории сингулярных интегральных уравнений к электродинамическому анализу цилиндрической спиральной антенны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2009. — Т. 12, № 2. — С. 20-29.

65. Неганов В. А., Табаков Д. П. Электродинамический анализ плоских и цилиндрических спиральных антенн // Доклады Академии Наук. — 2010.— Т. 430, № 6. — С. 751-754.

66. Неганов В. А., Табаков Д. П. Математические модели цилиндрической спиральной антенны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 79-86.

67. Дементьев А. Н., Клюев Д. С., Табаков Д. П. Электродинамический анализ спиральных излучателей, расположенных на поверхности эллипсоида // Доклады академии наук. — 2017. — Т. 472, № 4. — С. 393-397.

68. Марков Г. Т., Ф. Чаплин. А. Возбуждение электромагнитных волн.— М.: Энергия, 1976. — 376 с.

69. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. — 624 с.

70. Интегральное представление электромагнитного поля геометрически кираль-ной структуры / В. А. Капитонов [и др.] // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 6-13.

71. Расчет входного сопротивления электрического вибратора методом сингулярного интегрального уравнения / В. А. Неганов [и др.] // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 57-58.

72. Неганов В. А., П. Табаков Д. Применение сингулярных интегральных уравнений для электродинамического анализа плоской кольцевой антенны // Антенны. — 2008. — № 10. — С. 25-33.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ

ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГУ - граничное условие

ВН-К - вибратор Надененко, где N - число поворотов основной образующей ДПФ - дискретное преобразование Фурье ИО - интегральный оператор ИП - интегральное представление ИУ - интегральное уравнение

ОДПФ - обратное дискретное преобразование Фурье ПС - полосковая квазиодномерная структура

ПСТВ-АК - поворотно-симметричный тонкопроволочный вибратор, где N - число поворотов основной образующей

ПСТВ-БК - поворотно-симметричный тонкопроволочный вибратор с торцевыми

элементами, где N - число поворотов основной образующей

ПЭВМ - персональная электронная вычислительная машина

САПР - система автоматизированного проектирования

СВЧ - сверхвысокие частоты

СИП - сингулярное интегральное представление

СИУ - сингулярное интегральное уравнение

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений

ТПС - тонкопроволочная структура

ЭВМ - электронная вычислительная машина

ЭМП - электромагнитное поле

ЭС-К - эллиптический спиральный излучатель, где N - число поворотов основной образующей